Obsah dvojrozměrné plochy S jakožto útvaru v třírozměrné varietě není definován. Fyzikální stav gravitačního pole je charakterizován spinovou sítí (název je odvozen z formální podobnosti s matematickými vlastnostmi spinu v obyčejné kvantové mechanice). Tato síť se skládá z hran a vrcholů, jimž jsou přiřazeny jisté matematické veličiny. Obsah plochy je určen stavem jako součet určitých výrazů, které jsou v tomto stavu přiřazeny hranám, přes všechny průsečíky hran sítě s danou plochou (v našem obrázku jsou to průsečíky p1 ..., p6). V jiném stavu mohou být síť, jí přiřazená čísla, počet průsečíků, a tedy i plošný obsah úplně jiné.
Zadejte text

Zadejte text

OK

Přihlášení

### Aktuální číslo:

## 2024/9

### Téma měsíce:

## Chiralita

# Kvantová gravitace, kvantový prostor

Vznik plošného obsahu v kvantové geometrii

|  5. 10. 1998

Fyzika elementárních částic udělala nepochybně v posledních desetiletích nesmírný experimentální a technický pokrok. Počet částic pozorovaných v ohromných urychlovačích se stále rozmnožuje a zároveň se na teoretické úrovni podařilo uskutečnit dalekosáhlé sjednocení fyzikálních představ o struktuře hmoty a o základních interakcích v přírodě. Takzvaný standardní model obsahuje jen poměrně málo základních kamenů: leptony, jako jsou elektron a neutrino, a kvarky, z nichž se skládají těžší částice, jako protony a neutrony. K tomu přistupují intermediální částice zprostředkující síly či interakce, jako je foton, světelné kvantum, které přenáší elektromagnetickou interakci. Kromě elektromagnetizmu umožňuje standardní model popsat ještě dvě další interakce, „silnou“ a „slabou“, které působí na úrovni atomových jader a odpovídají za jejich stabilitu i za radioaktivní rozpad. Tak standardní model uspokojuje současné potřeby fyziky elementárních částic a dává jí teoretickou výzbroj k vysvětlení světa od nejmenších dnes dostupných velikostí (~10-18 m) až do měřítka metrů.

Teoretickým základem standardního modelu je kvantová teorie pole (KTP), podle níž jsou základními veličinami spojité funkce v prostoru a v čase – „pole“. Uveďme jednoduchý příklad: polem v dvojrozměrném prostoru je teplota kovové desky, která je v různých místech nahřívána či chlazena, takže každému jejímu bodu je přiřazeno jedno číslo – místní teplota. Pole příslušející elementárním částicím se vlnivě pohybují prostorem a časem, a částice se objevují jako kvanta energie příslušného pole – jsou tedy lokalizovány jen přibližně, kdežto v klasické teorii byly částice bodovými útvary. (V jazyce teoretické fyziky „klasická teorie“ znamená „nekvantová, v jejímž rámci částice a pole představují dvě odlišné složky přírody“; takové teorie jsou obyčejně dobrým makroskopickým přiblížením i dnes.) Typický rozměr elementární částice je 10–13 cm. Obrazně lze říci, že v kvantové teorii pole jsou částice rozpuštěny do vlnových balíčků. Starý spor mezi „atomisty“ a „energetisty“ o diskrétní či spojitou povahu hmoty, který byl na začátku našeho století dočasně rozhodnut ve prospěch prvních, je tak v kvantové teorii pole vyřešen opačně. Stručně řečeno, částice jsou nositeli (ovšem pomíjivými a vzájemně přeměnitelnými) energie, náboje, spinu a jiných vlastností pole.

## Gravitace jako „zdánlivá síla“

Co však do standardního modelu začlenit nelze, je čtvrtá základní interakce – gravitace. Protože je ve srovnání s jinými silami přírody daleko nejslabší, hraje zdánlivě roli jen ve velkých rozměrech, v planetárním systému či v celém vesmíru, a její teorie je od kvantové teorie pole naprosto odlišná. Obecná teorie relativity (OTR) vykládá gravitační sílu pomocí křivosti čtyřrozměrného prostoročasu. Zakřivené a zrychlené pohyby způsobené gravitací vznikají podle ní podobně, jako když se koule valí po nerovné podložce a „sama od sebe“ sleduje její křivost. Z tohoto hlediska je gravitace „zdánlivou silou“. Podle Einsteinových rovnic platných v obecné teorii relativity prostoročas zakřivuje každý druh energie, která je v něm rozložena. Obecná teorie relativity je klasická teorie, jež nezná pojem zprostředkujících částic. Částice gravitace analogické fotonům – gravitony – v ní proto nevystupují.

Kdo potřebuje gravitony? Co se týče experimentů, není gravitace vůbec patrná ani v těch největších urychlovačích. Sjednocená teorie proto není potřebná pro výklad žádného jevu. Graviton také zatím nikdo nikde nepozoroval. Pro porozumění experimentálním skutečnostem jsou standardní model a obecná teorie relativity úplně dostatečné. Zatím je to spíše estetická potřeba harmonie a úplnosti, která teoretické fyziky už po mnoho desetiletí podněcuje, aby hledali jednotnou teorii čtyř základních interakcí, popřípadě kvantovou teorii gravitace. Taková teorie může nabýt fyzikálního významu tam, kde je gravitace velmi silná: v blízkosti černých děr, v centru galaxií, v raném vesmíru. Pokud jsou však vůbec tyto oblasti fyzikálnímu bádání přístupné, pak jen nepřímo.

Při snahách o kvantovou teorii gravitace se nejprve zdálo rozumné považovat křivost prostoru – tj. jeho odchylku od plochého prostoru v každém místě – za dynamické pole na nezměnitelném, plochém pozadí. Kvantový formalizmus by nám měl ukázat, jaká je energie těchto odchylek „zabalená“ v gravitonech. Avšak gravitony jako balíčky energie působí zpětně na prostor a dále jej zakřivují. Na rozdíl od jiných případů „samointerakce“ není běžný formalizmus kvantové teorie pole schopen tuto komplikaci vyřešit pro případ obecné teorie relativity – to lze dokázat matematicky. Výsledky běžné kvantové teorie pole jsou nepoužitelné, protože dávají fyzikálním veličinám nekonečné hodnoty.

## Teorie strun a kvantová teorie prostoru

Část teoretických fyziků pracujících v oblasti elementárních částic zkouší vyvíjet a zobecňovat standardní model, aby tak dostali „teorii všeho“ včetně gravitace. Nejpokročilejším výsledkem tohoto přístupu jsou různé teorie strun, podle nichž jsou elementární částice složeny z maličkých nitkovitých útvarů. Stejně jako standardní kvantová teorie pole se teorie strun odehrávají na daném prostorovém pozadí, většinou plochém, které má však ve všech variantách teorie více než čtyři rozměry. Význam nadbytečných rozměrů nebyl ještě uspokojivě vysvětlen.

Relativisté se naopak snaží nejprve kvantovat samotnou obecnou teorii relativity. Zatímco teoretikové strun vyzbrojují prostor dodatečnými rozměry, aby získali konečné, dobře definované výsledky, tato skupina si z neúspěchu dosavadních snah o kvantování gravitace vyvodila jiné poučení. Podle nich by bylo rozštěpení prostoru na ploché pozadí a „dynamické vlnění“ vzhledem k obecné teorii relativity krokem zpět. Nemůže proto jít o dobré východisko ke kvantové teorii gravitace. Namísto toho se hledá kvantová teorie prostoru jako celku. Otázkou je, na jakém pozadí má být matematické lešení teorie vystavěno. Prvním návrhem byl již v šedesátých letech prostě „prostor všech geometrií třírozměrného prostoru“ (J. Wheeler, B. DeWitt). Kvantová teorie by měla předpovědět rozložení pravděpodobnosti, kde se právě nachází v tomto abstraktním prostoru reálný prostor, v němž žijeme. To by vedlo k časovému vývoji vesmíru nebo nějakého jeho podsystému, např. galaxie, který by byl postižen jistým stupněm kvantové neurčitosti. Tak by se zároveň vytvořil most ke kvantové kosmologii. Bohužel je „superprostor trojrozměrných geometrií“ nekonečně rozměrná obluda, a proto se na této cestě daleko nedospělo, dokud před deseti lety nepřišel A. Ashtekar s nápadem použít pro popis geometrie prostoru nové proměnné. Fyzikálně znamená výběr určitých proměnných pouze volbu jedné z mnoha možností (srovnatelnou s užitím různých soustav jednotek nebo různých souřadnic). Ale při výpočtu to působilo takové zjednodušení, že se během minulých deseti let podařilo redukovat nekonečné rozměry a sestavit formálně konzistentní kvantovou teorii trojrozměrných geometrií. Je to kvantová teorie na varietě místo na prostoročase. Varieta je hladký souvislý útvar, původně bez metriky, tj. pojem vzdálenosti dvou bodů zde neexistuje předem. Vzdálenost, obsah, objem jsou ve fyzikálním prostoru spíše dynamické veličiny teorie, která předpovídá, s jakou pravděpodobností tyto veličiny nabývají jisté hodnoty.

## Kvantová pěna

Opravdu se podařilo konstruovat kvantový operátor objemu a obsahu. Na první pohled může takové konstatování působit nepřitažlivě. Jaký má smysl formulovat nejvšednější a nejnázornější věci tak složitě? Důsledky jsou však zajímavé. Teorie říká, že možné hodnoty obsahu a objemu jsou v měřítku Planckovy délky (10–35 m) diskrétní. Tak se dostáváme od obecné teorie relativity, jíž se řídí pohyb galaxií, k výpovědi o nejmenších možných velikostech! Jako jiné kvantové teorie pole generují diskrétní kvanta (totiž elementární částice) v prostoru, který je pokládán za spojitý, v kvantové teorii gravitace vzniknou „kvanta prostoru“ na abstraktní, hladké varietě bez metrické struktury. Podle této teorie neexistují menší vzdálenosti než Planckova délka, mluví se proto o „kvantové pěně“. Tento výsledek, bude-li potvrzen, může mít velký význam i pro jiné kvantové teorie pole, ačkoliv vychází z kvantování samotné obecné teorie relativity. Energie libovolných kvant je totiž nepřímo úměrná vlnové délce příslušného vlnového balíčku. Nemohou-li být vlnové délky menší než určitá dolní mez, protože kratší délka neexistuje, pak je energie omezena shora a kvanta s nekonečnou energií jsou předem vyloučena. Přestože problém odstranění těchto kvant byl většinou řešitelný i v jiných teoriích, vyžádal si dodatečnou změnu teorie (tzv. renormalizaci).

## Informace spolykaná černými dírami

K matematickému úspěchu teorie se přidává i úspěch „fyzikální“ – předpověď entropie čili informace spolykané černými dírami. Černé díry (viz též Vesmír 76, 9, 1997/1) jsou vychladlé hvězdy, stlačené vlivem vlastní gravitace na tak nepředstavitelnou hustotu, že ani světlu gravitace nedovolí uniknout z jejich povrchu – proto název „černá“. Entropie by byla spojena s teplotou různou od nuly a to by znamenalo záření černé díry – v rozporu s naprostou čerností vyplývající z klasické teorie. Toto záření, pokud existuje, je tedy čistě kvantový jev, slovo „fyzikální“ jsme dali do uvozovek, protože záření černých děr dosud nikdo nezměřil. O úspěch však rozhodně jde, protože J. Bekenstein a S. Hawking toto záření předvídali před dvaceti lety na základě jiných úvah. Spojovali je s vytvářením dvojic částic (částice + antičástice) silnou gravitací v bezprostřední blízkosti černé díry. Slavný Hawkingův jev byl tehdy odvozen semiklasickým postupem: Silná křivost prostoročasu (klasická přísada) povzbuzuje záření nějakého přítomného kvantového pole. Takovéto předběžné, v jistém smyslu nedůsledné úvahy nejsou ve fyzice ničím neobvyklým. Pomáhají předvídat výsledky, které jednou přinese dosud neexistující důslednější teorie. Je proto velmi významné, že nová teorie potvrzuje Hawkingův jev na fundamentálnější úrovni.

Na druhé straně je nutno přiznat, že je dosud mnoho neřešených problémů. Hlavně zůstává neobjasněna úloha gravitonů v teorii a časový vývoj. Až dosud se kvantová teorie gravitace zabývala jen třírozměrným prostorem, který se stal „pěnovitým“. Pokud tyto problémy nejsou řešeny, nelze tvrdit, že byla vytvořena kvantová verze obecné teorie relativity, popřípadě úplná kvantová teorie gravitace. Čas není – v duchu obecné teorie relativity – vnější pojem nezávislý na prostoru. Z mnoha možných geometrických veličin je nutno vybrat jednu, která by sloužila jako míra času. U jednoduchých kosmologických modelů se pro tuto roli nabízí například poloměr vesmíru. Uspořádaná posloupnost kvantových prostorů odpovídajících rostoucím nebo klesajícím poloměrům (či jiným vhodným časovým parametrům) pak může vést k čtyřrozměrnému prostoročasovému modelu.

## Je plochý prostoročas stabilní?

Zda z toho skutečně vyjde náš přibližně plochý prostoročas, to je opět problém, a stejně tak je problémem jeho stabilita. I kdyby se totiž podařilo zjistit, že náš prostoročas má mezi jinými nefyzikálními možnostmi velkou pravděpodobnost, bylo by ještě třeba dokázat, že je stabilní vůči malým poruchám (doufejme všichni, že tomu tak je!). Při vyšetřování malých odchylek pozoroval L. Smolin (1997), že poruchy mají podobu uzavřených smyček v prostoru a že jejich časový vývoj se shoduje s tím, který nastává u jednoduchých strunových modelů.

Tvrdit, že protichůdné přístupy se začínají setkávat, by ovšem bylo předčasné již proto, že zmíněné strunové modely jsou až příliš jednoduché, než aby mohly být vážně považovány za fyzikální. Náznak je však zajímavý. Budoucnost ukáže, zda některý z uvedených postupů anebo nějaké sjednocení obou povede k úspěchu. Poslední slovo bude patřit přírodě. Jisté nápovědi mohou přinést kosmické experimenty s gravitačními vlnami, které se již dnes připravují. 1)

## Poznámky

1) Autor děkuje za přečtení rukopisu i za připomínky k němu Evě Fialové a prof. Janu Novotnému (z Brna) a dr. Petru Stöcklovi (z Vídně). Prof. Novotnému vděčí také za zdokonalení své češtiny.

## Planckova délka

Mezi nejdůležitější fyzikální konstanty patří nepochybně:

gravitační konstanta G ≈ 6×1011 m3/kg.s2,

rychlost světla ve vakuu c ≈ 3×108 m/s,

Planckova konstanta (h s pruhem: ħ) ≈ 1×1034 kg.m2/s.

První dvě konstanty jsou známy z kosmické a laboratorní fyziky, třetí vystupuje v mikrofyzice, kde udává např. koeficient úměrnosti mezi energií a (kruhovou) frekvencí fotonu. Čtenář si může snadno ověřit, že součinem mocnin těchto konstant lze sestavit jedinou veličinu o rozměru délky Lp=√((Għ)/(c3)) ≈ 1035 m, což je Planckova délka. Max Planck ji zavedl ve snaze dospět k přirozené soustavě jednotek. Později se však ukázalo, že tato veličina má význam nejmenší délky, o níž má smysl ještě hovořit. Zdůvodnění je asi takovéto: Rozlišení dvou blízkých bodů optickým mikroskopem si žádá vlnovou délku světla kratší, či nanejvýš rovnou jejich vzdálenosti. Poněvadž energie fotonu je nepřímo úměrná vlnové délce, vyžaduje rozlišení blízkých bodů velkou energii. Podle obecné teorie relativity je tato energie zdrojem zakřivení prostoročasu. Lze ukázat, že při Planckově délce naroste křivost natolik, že se body ocitnou uvnitř černé díry. Pokus o měření tak malých vzdáleností proto nedospěje k svému cíli. Představa o zakřiveném, ale spojitém prostoročase tak ztrácí smysl. Planckova délka je považována za veličinu, u níž končí platnost obecné teorie relativity a fyzikální procesy začnou být ovládány kvantovou teorií gravitace.

## Vznik plošného obsahu v kvantové geometrii

Obsah dvojrozměrné plochy S jakožto útvaru v třírozměrné varietě není definován. Fyzikální stav gravitačního pole je charakterizován spinovou sítí (název je odvozen z formální podobnosti s matematickými vlastnostmi spinu v obyčejné kvantové mechanice). Tato síť se skládá z hran a vrcholů, jimž jsou přiřazeny jisté matematické veličiny. Obsah plochy je určen stavem jako součet určitých výrazů, které jsou v tomto stavu přiřazeny hranám, přes všechny průsečíky hran sítě s danou plochou (v našem obrázku jsou to průsečíky p1 ..., p6). V jiném stavu mohou být síť, jí přiřazená čísla, počet průsečíků, a tedy i plošný obsah úplně jiné.

### Ke stažení

### O autorovi

#### Franz Hinterleitner

Dr. Franz Hinterleitner (*1954) vystudoval fyziku na Vídeňské univerzitě. Nyní pracuje na katedře teoretické fyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně a zabývá se problémy spojenými s kvantováním gravitačního pole. (e-mail: franz@elanor.sci.muni.cz)

### Doporučujeme

### Homochirální život a racemická smrtuzamčeno

Saský král Lothar III. zahájil krátce po své korunovaci římským císařem tažení na Sicílii, ovládanou normanským panovníkem Rogerem II. Ačkoli...

### Žabí poklad amazonských domorodců

Pro někoho jde o magickou medicínu prodávanou na internetu, pro domorodé obyvatele Amazonie o cennou surovinu využívanou v tamní medicíně, ale v...

### Podvodní ohňostrojuzamčeno

Bioluminiscence, tedy proces produkce a emise
studeného světla živými organismy, se může uplatnit
v základním výzkumu, v neinvazivním...

### Předplatným pomůžete zajistit budoucnost Vesmíru



Tištěná i elektronická

verze časopisu



Digitální archiv

od roku 1994



Speciální nabídka

pro školy a studenty

### Partneři Vesmíru

### Partneři Vesmíru

#### Sledujte nás na sociálních sítích

ISSN 1214-4029, © VESMÍR, spol. s r. o.

## Nastavení cookies

Pro správné fungování našeho webu a pro zlepšování našich služeb používáme soubory cookies. Kliknutím na „Přijmout všechny“ nám poskytnete souhlas k jejich ukládání ve vašem zařízení. Umožní nám to zajistit správné fungování všech součástí webu a sbírat anonymní statistické informace o návštěvnosti stránek. Můžete také přijmout jen technicky nezbytné soubory cookies.

Přijmout všechny

Přijmout jen nezbytné

Podrobné nastavení

Nastavení cookies