ħ = 1.05×10−34 Js_Redukovaná Planckova konstanta_. Tato konstanta
se dnes používá jako základní konstanta kvantové teorie. Před původní
Planckovou konstantou se jí dává přednost z mnoha důvodů. Především je
redukovaná konstanta přirozenou jednotkou momentu hybnosti, vystupuje v převodních vztazích mezi částicovými a vlnovými vlastnostmi objektů
mikrosvěta, je na pravé straně Heisenbergových relací neurčitostí. Ve
všech těchto vztazích by se při použití neredukované konstanty vyskytly
členy 2π. V kvantové teorii se navíc zpravidla volí přirozená soustava
jednotek, ve které jsou rychlost světla a redukovaná Planckova konstanta
rovny jedné.h ≡ 2π ħ = 6.63×10−34 Js_Planckova konstanta_. Původní Planckova konstanta
(neredukovaná). Dnes se používá zřídka.
Aktuálně

Fyzika

Různé

# FYZIKA – KVANTOVÁ TEORIE

## Planckova konstanta

ħ = 1.05×10−34 Js_Redukovaná Planckova konstanta_. Tato konstanta
se dnes používá jako základní konstanta kvantové teorie. Před původní
Planckovou konstantou se jí dává přednost z mnoha důvodů. Především je
redukovaná konstanta přirozenou jednotkou momentu hybnosti, vystupuje v převodních vztazích mezi částicovými a vlnovými vlastnostmi objektů
mikrosvěta, je na pravé straně Heisenbergových relací neurčitostí. Ve
všech těchto vztazích by se při použití neredukované konstanty vyskytly
členy 2π. V kvantové teorii se navíc zpravidla volí přirozená soustava
jednotek, ve které jsou rychlost světla a redukovaná Planckova konstanta
rovny jedné.h ≡ 2π ħ = 6.63×10−34 Js_Planckova konstanta_. Původní Planckova konstanta
(neredukovaná). Dnes se používá zřídka.

## Experimenty a jevy, které vedly ke   kvantové teorii

Záření absolutně černého
tělesaMax Planck ukázal (1901), že soulad mezi experimentálně
naměřenými křivkami záření těles a teorií lze dosáhnout, je-li
energie záření kvantována. Některé veličiny mohou v mikrosvětě
nabývat jen diskrétních hodnot (energie, moment hybnosti, ...).Fotoelektrický jev

ħω = A ioniz + m e υ 2/2Albert Einstein (1905) ukázal, že experimentální výsledky
s vytrháváním elektronů z povrchu kovů za pomoci záření lze vysvětlit, je-li
záření složeno z oddělených kvant (částic), které nazval fotony. Energie fotonu
se spotřebuje na vytržení elektronu a na jeho kinetickou energii. Nemá-li foton
daného záření energii (frekvenci) dostatečnou k vytržení elektronu, k fotoefektu
nedojde vůbec. Vlnění se může projevovat v některých situacích jako tok
částic.Ohyb elektronů a neutronůNa periodických strukturách dochází k ohybovým a interferenčním jevům u elementárních částic tak, jako by to byly vlny. Do
určitého místa dopadá značné množství částic (ohybové maximum), do jiných míst
žádné (ohybové minimum). Jde tedy o jakési „statistické“ vlny počtu dopadů.
Částice se mohou projevovat v některých situacích jako vlnění.
Měření v mikrosvětě mohou mít jen pravděpodobnostní charakter.Bohrův paradoxPředstavíme-li si elektrony jako částice obíhající v atomech kolem jádra (planetární model), měly by podle Maxwellových rovnic tyto
elektrony ztrácet energii zářením a po spirále se blížit k jádru. Doba, za
kterou by měl elektron kroužící kolem jádra dopadnout na povrch jádra vychází 10−11 s.
Pak ale na základě klasické elektrodynamiky nelze vysvětlit ani prostou
existenci atomu.Nekomutativnost aktu měření_Měření v mikrosvětě závisí na pořadí_. Měříme-li
například kinetickou energii a polohu částice, dostaneme různé výsledky podle
pořadí měření.Neurčitost měření_Některé veličiny nelze současně měřit s neomezenou_
přesností (například polohu a rychlost). Existuje jistá principiální
hranice, kterou nelze překročit, daná Heisenbergovými relacemi
neurčitosti.

## Záření absolutně černého tělesa

eqHustota energie [Jm−3]. Vyjádřeno
pomocí úhlové frekvence záření.eqTok energie (intenzita). I = uc.
[Jm−2s−1]. Vyjádřeno pomocí úhlové frekvence záření.eqHustota energie [Jm−3]. Vyjádřeno
pomocí vlnové délky záření. Znaménko minus znamená, že s rostoucí vlnovou délkou
klesá hustota energie.eqTok energie (intenzita). I = uc.
[Jm−2s−1]. Vyjádřeno pomocí vlnové délky záření.I = σT 4_Stefanův-Boltzmannův zákon_. Celková intenzita
záření je úměrná čtvrté mocnině teploty. Tento vztah lze odvodit integrováním
vztahu pro tok energie přes úhlovou frekvenci nebo přes vlnovou délku. Stefanova-Boltzmannova konstanta má hodnotu
σ = 5.67×10−8 Wm−2K−4.
Prohlédněte si příklady „ Stefan   
Boltzmannův zákon“ a „ Slunce“.λ max
= b/ T,

ω max =
aT__Wienův posunovací zákon. Vlnová délka maxima
vyzařování je nepřímo úměrná teplotě. Lze odvodit vyhledáním maxima v
Planckově zákonu. Wienova konstanta má hodnotu
b = 0.00289 m K. Prohlédněte si příklady „ Wiennův zákon“,
„ Slunce" a „ Člověk“.

## Bohrův model atomu

1. m e υn 2/ rn = Q 2/(4πε0 rn)

2. 2π rn
= nλ_První Bohrův axiom je jen rovnováha Coulombovy a
odstředivé síly. Druhý axiom, říká, že na obvod dráhy elektronu se může
„naskládat“ celistvý násobek vlnové délky elektronu určené z de
Broglieho vztahů pro dualitu vlna-částice. Po dosazení za _λ dostaneme
skutečný význam 2. Bohrova axiomu − jde o kvantování momentu hybnosti,
ve kterém je přirozenou jednotkou momentu hybnosti právě redukovaná
Planckova konstanta: mrnυn = nħ. Obě rovnice tvoří soustavu rovnic pro hodnoty rn
a υn. Z nich potom můžeme určit další veličiny, například
kinetickou a potenciální energii. Prohlédněte si příklad „ Čára   
Hα“.rn
= r 1 n 2_Poloměr trajektorií elektronů_. Bohrův poloměr r 1 = 50 nm.υn
= υ 1/ n__Rychlosti elektronů. První Bohrova rychlost
υ 1 = 2×106 ms−1.bn
= b 1 n__Momenty hybnosti elektronů. Moment hybnosti na
první dráze b 1 = ħ.En
= E 1/ n 2_Energie vázaných stavů_. Energie základního
stavu:
E 1 = −13.6 eV. Vyzářená kvanta záření mohou být
rozdíly energií vázaných stavů.

## Základní principy kvantové teorie

E → i ħ∂/∂t p  → −i ħ ∇A → Ȃ.
Akt měření provedený na objektech mikrosvěta nekomutuje. Proto se místo
dynamických proměnných používají operátory, které vzájemně nekomutují.
Lze použít například matice (Heisenbergova maticová mechanika) nebo
diferenciální operátory působící na funkce (Schrödingerova vlnová
mechanika). Místo dynamické proměnné máme tedy operátory, místo
stavu tzv. vlnovou funkci, na kterou operátory působí.
Prohlédněte si příklad „ Komutátor“.Ȃψn = an ψn__Problém vlastních hodnot. V přírodě můžeme
naměřit jen ty hodnoty, které jsou vlastními čísly operátoru příslušícího dané
dynamické proměnné. Speciálním případem této rovnice je Schrödingerova rovnice
(bezčasová). Jde o rovnici pro vlastní hodnoty operátoru energie (Hamiltonova
operátoru).ψ* ψ__Hustota pravděpodobnosti výskytu částice.
Nejjednodušší výraz vytvořený z komplexní vlnové funkce, který poskytne reálné
číslo.eqStředování. Výraz pro průměrnou naměřenou
hodnotu veličiny A v kvantovém stavu s vlnovou funkcí ψ. Jmenovatel
zajišťuje správné normování pravděpodobností.ψ
= c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2_Princip superpozice_. Kvantová teorie je
lineární. Jsou-li ψ 1
a ψ 2 možné kvantové stavy, je jejich libovolná superpozice
také fyzikálně realizovatelný kvantový stav.

## Základní rovnice kvantové teorie

i ħ ∂ ψ/∂ t =[−( ħ 2/2 m)Δ +
V] ψ__Schrödingerova rovnice. Základní rovnice vlnové
mechaniky, ve které jsou dynamické proměnné nahrazeny nekomutujícími
operátory. Rovnice není relativistická, obsahuje první časové a druhé
prostorové derivace. Správná relativistická rovnice musí mít všechny
derivace stejného řádu a být lorentzovsky invariantní.(□ − m 02 c 2/ ħ 2) ψ = 0 Kleinova-Gordonova rovnice. Správná relativistická
verze pro volné částice se spinem s = 0. Rovnice platí například pro
skalární mezony.(∑ i ħ ∂μγμ−m 0 c) ψ = 0 Diracova rovnice. Správná relativistická verze
pro volné částice se spinem s = 1/2. Rovnice platí například pro elektrony.
Veličiny γ μ jsou matice 4×4 obsahující prvky 0, ±1, ±i a vlnová
funkce je čteřice funkcí tvořících bispinor. Pomocí této rovnice Dirac
předpověděl existenci pozitronu.

## Důležité vztahy

E = ħω

p = ħ kDualismus vlna částice. Vztahy původně
formulované Louis de Brogliem. Objekty mikrosvěta se mohou v některých
situacích chovat jako vlny popsané čtyřvektorem ( ω, k), jindy
jako částice popsané čtyřvektorem ( E, p). Převodním
koeficientem je redukovaná Planckova konstanta. V přirozené soustavě
jednotek by převodní koeficient byl roven jedné. Prohlédněte si příklad
„ Mikroskop“.Δ E Δ t  ≥ ħ/2

Δ x Δ p  ≥ ħ/2 Relace neurčitosti. Poprvé objevené
Heisenbergem. Jde o střední kvadratické hodnoty měřených veličin. Měření
veličiny jedné ovlivní měření veličiny druhé. Čím přesněji změříme polohu
objektu, tím horší máme informaci o jeho hybnosti. U fotonu procházejícího
štěrbinou máme konkrétní informaci o poloze (prošel štěrbinou). Ztrácíme ovšem
informaci o hybosti, dochází totiž k ohybu. Jiný příklad: Emisní akt v atomárním
obalu trvá určitou dobu Δ t. Energetické hladiny proto již nemohou být
„ostré“, mají neurčitost Δ E. Prohlédněte si příklad „ Emise“.[−( ħ 2/2 m)Δ +
V] ψ = Eψ__Shrödingerova rovnice. Rovnice pro vlastní
hodnoty Hamiltonova operátoru (operátoru energie vyjádřeného v hybnostech a
polohách). Cílem je najít hodnoty energie En tak, aby vlnové
funkce byly z prostoru L 2 (integrovatelné s kvadrátem).
Nalezené hodnoty odpovídají možným naměřeným hodnotám energie. V
je předpis pro potenciální energii. Nerelativistický vztah. Prohlédněte si
příklad „ Jáma“.

## Kvantová čísla

Dále uvedené vztahy se týkají situací se sféricky symetrickým
potenciálem (Coulombův potenciál, sférický harmonický oscilátor,
sférická jáma, ...). V těchto situacích lze současně měřit energii,
kvadrát momentu hybnosti, jednu libovolnou komponentu momentu hybnosti
a spin.
n__Hlavní kvantové číslo. Čísluje energetické stavy
(řešení rovnice pro vlastní hodnoty Hamiltonova operátoru). Tyto hodnoty
závisí na předpisu pro potenciální energii a jsou případ od případu
různé. Některé hodnoty pro typické potenciály jsou v následující
tabulce.l__Vedlejší kvantové číslo. Čísluje velikost
momentu hybnosti. Jde o řešení rovnice pro vlastní hodnoty operátoru kvadrátu
momentu hybnosti. Tato rovnice poskytuje řešení: b 2 =
l( l +1) ħ 2,
l = 0, 1, 2...m__Magnetické kvantové číslo. Čísluje projekci
momentu hybnosti do libovolné osy. Jde o řešení rovnice pro vlastní hodnoty
operátoru libovolné komponenty momentu hybnosti. Tato rovnice má řešení: bz
= mħ,  m = − l, − l +1, ..., l −1, l. Moment hybnosti nabité částice souvisí s magnetickým
momentem částice ( μ = Q b/2 m). Proto se toto číslo
nazývá magnetické kvantové číslo.s__Spinové kvantové číslo. Spin je veličinou
souvisící se symetrií rovnic vzhledem k Lorentzově transformaci. Odpovídá rotaci
mezi časovou a prostorovou osou ve čtyřech dimenzích. Přirozeným způsobem se
skládá s momentem hybnosti, který souvisí se symetriemi vzhledem k prostorovým
rotacím.
S 2 =
s( s +1) ħ 2,
s = 0, 1/2, 1...sz__Projekce spinu. Čísluje projekci spinu do
libovolné osy. Jde o analogii magnetického kvantového čísla pro moment hybnosti.
Opět platí Sz
= szħ,    sz = − s, − s +1, ..., s −1, s.

## Kvantování energie v některých systémech

Oscilátor_V_( x) = kx 2/2 = mω 2 x 2/2_En_ = ( n +½) ħω__n = 0, 1, ...Jáma_V_( x) = 0,    x ∈ (0, a)

V( x)
= ∞,   x ∉ (0, a) En = π2 ħ 2 n 2/(2 ma 2)n = 1, 2, ...3D oscilátor_V_( r) = kr 2/2 = mω 2 r 2/2_En_ = ( n +3/2) ħω__n = 0, 1, ...Coulombovo pole_V_( r) = α/ r__En = − mα 2/(2 ħ 2 n 2) n = 1, 2, ...

Povšimněte si, že základní hladiny energie u harmonických oscilátorů i u
nekonečné jámy jsou nenulové. Jde o nulové kmity, které nevymizí ani při
absolutní nule. Prohlédněte si příklad „ Jáma“.
Prohlédněte si aplet „ Jáma“.
Prohlédněte si aplet „ Harmonický   
oscilátor“.

## Druhy polí

s = 0;   sz = 0_Skalární pole_. Má jedinou možnou projekci spinu
do určité osy. Je popsáno jedinou vlnovou funkcí. Tyto částice se nazývají
skalární bosony. Patří k nim například mezony π a K. Skalární pole je
popsáno Klein-Gordonovou rovnicí.s = 1/2;   sz = −1/2, 1/2_Spinorové (Diracovo) pole_. Má dvě možné
projekce spinu do určité osy. Je popsáno dvojicí funkcí, tzv. spinorem.
Popisujeme-li současně částice i antičástice je k popisu nutný bispinor
(čtveřice funkcí s přesně stanovenými transformačními pravidly). K těmto
částicím patří především elektrony, neutrina a kvarky. Chování částic je popsáno
Diracovou rovnicí.s = 1;   sz = −1, 0, 1_Vektorové pole_. Má tři možné projekce spinu do
určité osy. Je popsáno vektorovými funkcemi. K těmto částicím patří především
foton (elektromagnetické pole), dále pak intermediální vektorové bosony slabé
interakce W+, W−, Z0. Chování částic je popsáno
kvantovou teorií elektromagnetického pole (Feynman, Dirac, ...).s = 2;   sz = −2, −1, 0, 1, 2_Gravitační pole_. Je popsáno deseti funkcemi,
které zadávají křivost časoprostoru. S kvantovým popisem jsou stále problémy.

bullet