实射影空间

构造

与所有射影空间一样，RPⁿ 是通过取Rⁿ⁺¹ − {0} 在等价关系 x ∼ λx 对所有实数 λ ≠ 0 下的商空间。对所有x 属于 Rⁿ⁺¹ − {0}，总可找到一个λ 使得t λx 的范数为 1。恰好有相差一个符号的两个这样的λ。
故 RPⁿ 也可通过将Rⁿ⁺¹ 中单位n-维球面 Sⁿ 的对径点等同起来得到。
进一步我们限制在Sⁿ 的上半球面，仅将边界赤道上的对径点等同。这说明RPⁿ 闭 n-维圆盘Dⁿ 将边界∂Dⁿ = Sⁿ⁻¹ 上的对径点等同。

低维例子

也成为实射影直线，拓扑等价于圆周。
 称为实射影平面。
 （微分同胚）是 SO(3)，从而有一个群结构；覆叠映射 是一个群映射，这里 Spin(3)是 SO(3) 的万有覆叠李群。

拓扑

n-维球面的对径映射（将 x 送到-x）生成 Sⁿ 上一个Z₂ 群作用。上已提到，这个作用的轨道空间是RPⁿ。这个作用恰是一个覆叠空间作用，使 Sⁿ 成为 RPⁿ 的二重复叠。因为对n ≥ 2，Sⁿ 是单连通的，它们在此情形也是万有覆叠。从而当n > 1 时，RPⁿ 的基本群是 Z₂（当 n=1 基本群是Z 因为同胚于S¹）。基本的一个生成元是连接Sⁿ 中一组对径点的曲线投影到RPⁿ 上的闭曲线。

光滑结构

实射影空间是光滑流形。在 Sⁿ 的齐次坐标(x₁...xₙ₊₁) 中，考虑子集Uᵢ 使得 xᵢ ≠ 0。每个Uᵢ 同胚于Rⁿ 中的开单位球体，且坐标转移函数是光滑的。这给出了RPⁿ 一个光滑结构。

可定向性

可定向当且仅当n 为奇数，上面的同调计算已经做了说明。更具体地， 上的对径映射有符号，所以它是保定向的当且仅当p 是偶数。从而定向特征标（orientation character）是： 中的非平凡回路作为 作用在定向上，所以  可定向当且仅当n+1 为偶数，即 n 为奇数。

重言丛

在实射影空间上有一个自然的线丛，称为重言丛。更确切地，这称为重言子丛，也存在一个对偶n-维丛称为重言商丛。

几何

实射影空间有一个常正数量曲率度量，由二重复叠的标准圆球面（对极映射是一个等距）得来。
对标准圆度量，其截面曲率恒等于1。

测度

在标准圆度量中，射影空间的测度恰好是球面测度的一半。