线性代数

基本介绍

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。
现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为的向量空间叫做维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象维空间中的向量，这样的向量（即n元组）用来表示数据非常有效。由于作为n元组，向量是个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用8维向量来表示8个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如（中国，美国，英国，法国，德国，西班牙，印度，澳大利亚），可以使用向量显示这些国家某一年各自的GNP。这里，每个国家的GNP都在各自的位置上。
作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。
线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。
向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。
我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。
线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。

矩阵理论

矩阵是一个矩形的数学方阵。一个方阵可看作两个矢量空间的线性变阵，故矩阵理论可当作线性代数的一个分枝。
在图论，每一个加上标示图对应唯一的非负矩阵，称为邻接矩阵。
排列矩阵是排列的矩阵表达式，在组合数学极为重要。
正定矩阵及半正定矩阵可用来寻找实数函数的极大值或极小值。
任意环矩阵亦非常重要。举例说，多项式环的矩阵用于控制理论。
另外，不同的矩阵环经常是提供数学上反例的素材。

一般化和相关主题

线性代数是一个成功的理论，其方法已被应用于数学的其他分支。模论就是将线性代数中的标量的域用环替代，并进行研究，像线性无关、线性生成空间、基底、秩等概念仍然可以适用。不过许多线性代数中的定理在模论中不成立，例如不是所有的模都有基底（有基底的模称为自由模），自由模的秩不唯一，不是所有模中的线性无关的子集都可以延伸成为基底，也不是所有模生成空间的子集都包括基底。
多重线性代数推广线性代数的方法。和线性代数一样也是建立在向量的概念上，发展向量空间的理论。在应用上，出现许多类型的张量。
在算子的谱理论中，通过数学分析，可以控制无限维矩阵。泛函分析混合线性代数和数学分析中的方式，研究许多不同函数空间，例如Lp空间。