可數集

在数学上，可数集，或称可列集，是与自然数集的某个子集具有相同基数（等势）的集合。在这个意义下，可数集由有限可数集和可数无穷集组成。不是可数集的无穷集称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是“可以计数”的：尽管计数有可能永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。 
“可数集”这个术语有时也指代可数无穷集，即仅代表能和自然数集本身一一对应的集合。两个定义的差别在于有限集合在前者中算作可数集，而在后者中不算作可数集。
为了避免歧义，前一种意义上的可数有时称为至多可数，后一种可数集则称为无限可数集。

定义

如果存在从到自然数集合存在单射函数，则称为可数集。
如果还是满射，则同样是双射，则称是无限可数集。
换句话说，一个集合要想是无限可数集，它要和自然数集有一一对应关系。
如上所述，这个术语不普遍：一些作者在这里使用可数来表示被称为“无限可数”，并没有包括有限集。

介绍

由定义易知所有偶数所构成的集合为可列的，因为我们可以将所有的都对应到，如此就完成了一一对应。类似地，不难证明所有整数构成的集合、所有有理数构成的集合、甚至所有代数数构成的集合都是可列的。
并非所有的无穷集都可数。乔治·康托首先指出存在有不可列的无穷集合。他利用他发明的对角论证法证明了由所有实数构成的集合是不可列的，即与之间不可能存在一种一一对应。这同时也表示实数当中存在有一些数不是代数数，因为刚才已经说过代数数是可列的；于是这就给出了一种超越数存在的非构造性证明。