Panlevé分析

Painlevé分析原是Panlevé在1895年关于非线性常微分方程可积性的理论，后经数学家推广到分析非线性偏微分方程中，并发展出几种程序，常见的有Ablowitz-Ramani-Segur(ARS)程序、Weiss-Tabor-Carnevale(WTC)程序和Kruskal简化法等。Panlevé分析的过程复杂，需借助Maple、Mathematica等计算机代数系统进行运算

Kruskal 简化法原理

对于给定的 偏微分方程
   
假设其解可展开为Laurent级数形式：
设定方程解的首项目可以表示为
≈
代人原式，平衡φ的幂次，得到一个含共振点的递推关系，如果对于任意的u(j)、φ，此递推关系是自相容的，则原来的方程是可积的。

实例

伯格斯方程的Painlevé分析
作Laurent级数展开
其中 和  是非特征奇异点流型 和 u[0]≠0附近的解析函数。
设定方程解的首项可以表示为
≈
代人原式，得到
平衡最高阶微商与非线性项，得到：
ρ=1，u[0] = 2 b/a；
将
 代人偏微分方程，
φ的最低次项为
代入伯格斯方程，
因此 j=-1,2
取  再带入原方程得：
整理后，令其φ 的2次、1次，及常数项为零 得到一组多项式方程组：
伯格斯方程通过Painlevé测试的条件是 在截短短展开式中，φ、u[2] 是任意函数。
经过一系列运算可知u[2],φ为任意函数，伯格斯方程乃Panlevé可积，其解有如下形式：