圓周率

名称

数学家用小写希腊字母表示圆周和其直径之比，有时也将其拼写为pi，这来自于希腊语“περίμετρος”（周长）的首字母。在英语中，的发音与英文单词“pie”（/paɪ/，西式馅饼）相同。在数学中，的小写字母（或者是其无衬线体）要和表示连乘积的大写形式Π相区分开。
关于为何选择符号的原因，请参见π符号的引入一节。

无理性及正规性

是个无理数，也就是说，无法表示成两个整数之比的形式（形如的分数常用来近似表达，但是没有任何普通分数（指整数的比）可以取到的精确值）。由于是无理数，故可表示为无限不循环小数。有多种方法能证明π是无理数，这些证明也都要用到微积分学和反证法。人们还无法准确得知可以用有理数来近似的程度（称为无理性度量），不过估计其无理性度量比e或ln(2)的要大，但是小于刘维尔数的无理性度量。
人们通过统计随机性检验，包括正规数的检验，验证了的位数没有明显的固定模式。因此，的小数中任意固定长度的序列（例如3位数字的000,001……999）出现概率都相同。不过有关π是正规数的猜想既无证明，亦无证伪。
电脑的出现使得人们可以生成大量π的不同位数，并进行统计分析。金田康正针对π的十进制数字进行了详细的统计分析，并验证了其分布的正规性：例如，将出现0到9十个数字的频率进行假设检定，找不到有特定重复规律的证据。根据无限猴子定理，任何任意长度，由随机内容组成的子序列都有可能看起来像不随机产生的。因此，就算π的小数序列通过了随机性统计测试，其中也可能有几位的数字看起来似有规律可循而非随机数，例如π的十进制写法中，自第762位小数后开始出现了连续六个的9。

超越性

不仅是个无理数，还是一个超越数，即不是任何一个有理数系数多项式的根。（比方说，试图通过解有限项方程，来求得的值。）
的超越性衍生出了一些重要的结果：不能通过有理数经有限次四则运算和开平方运算来获得，因此不是规矩数。换言之，利用尺规作图作不出长度为的线段，也就不可能用尺规方法做出一个与已知圆面积相等的正方形。后者即为有名的化圆为方问题，该问题早在古典时代即已提出，曾困扰人们数千年之久。直至今天，依然有民间数学爱好者声称他们解决了这一问题。

远古时期

圆周率在远古时期（公元前一千纪）已估算至前两位（“3”和“1”）。有些埃及学家声称，远至古王国时期时期的古埃及人已经用作为圆周率的约数，但这个说法受到了质疑。
最早有记载的对圆周率估值在古埃及和巴比伦出现，两个估值都与圆周率的正确数值相差不到百分之一。巴比伦曾出土一块公元前1900至1600年的泥板，泥板上的几何学陈述暗示了人们当时把圆周率视同（等于3.125）。埃及的莱因德数学纸草书（鉴定撰写年份为公元前1650年，但抄自一份公元前1850年的文本）载有用作计算圆面积的公式，该公式中圆周率等于（约等于3.1605）。
公元前4世纪的《百道梵书》中的天文学运算把（约等于3.139，精确到99.91%）用作圆周率估值。公元前150年前的其他印度文献把圆周率视为（约等于3.1622）。

割圆时代

第一个有纪录、严谨计算π数值的算法是透过正多边形的几何算法，是在公元前250年由希腊数学家阿基米德所发明。这个算法使用了有一千年之久，因而有时π亦称阿基米德常数。阿基米德的算法是在计算圆的外切正六边形及内接正六边形的边长，以此计算的上限及下限，之后再将六边形变成十二边形，继续计算边长……，一直计算到正96边形为止。他根据多边形的边长证明（也就是）。阿基米德得到的上限也造成一个常见误解，认为就等于。在公元前150年，希腊罗马的科学家克劳狄乌斯·托勒密在《天文学大成》一书中提到π的数值是3.1416，可能来自阿基米德，也可能来自阿波罗尼奥斯。数学家在1630年利用多边形的方式计算π到第39位小数，一直到1699年，其他数学家才利用无穷级数的方式打破其纪录，计算到第71位小数。
中国历史上，的数值有3、3.1547（公元前一世纪）、（公元前100年，数值约3.1623）及（第三世纪，数值约3.1556）。大约在公元265年，曹魏的数学家刘徽创立了割圆术，用3,072边的正多边形计算出π的数值为3.1416。刘徽后来又发明了一个较快的算法，利用边数差两倍的正多边形，其面积的差值会形成等比数列，其公比为的原理，配合96边形算出的数值为3.14。祖冲之在公元480年利用割圆术计算12,288形的边长，得到（现在称为密率），其数值为3.141592920，小数点后的前六位数都是正确值。在之后的八百年内，这都是准确度最高的π估计值。为纪念祖冲之对圆周率发展的贡献，日本数学家三上义夫将这一推算值命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。
印度天文学家阿耶波多在公元499年的著作《阿里亚哈塔历书》中使用了3.1416的数值。斐波那契在大约1220年利用独立于阿基米德多边形法，计算出3.1418。意大利作家但丁·阿利吉耶里用的数值则是。
波斯天文学家卡西在1424年利用3×2²⁸边的多边形，计算到六十进制的第9位小数，相当十进制的第16位小数。这一突破成为当时的纪录，延续了约180年。法国数学家弗朗索瓦·韦达在1579年用3×2¹⁷边形计算到第9位小数，佛兰芒数学家阿德里安·范·罗门在1593年计算到第15位小数。荷兰数学家鲁道夫·范·科伊伦在1596年计算到第20位小数，他之后又计算到第35位小数（因此在二十世纪初之前，圆周率在德国会称为鲁道夫数）。荷兰科学家威理博·司乃耳在1621年计算到第34位小数，而奥地利天文学家克里斯托夫·格林伯格在1630年用10⁴⁰边形计算到第38位小数，至今这仍是利用多边形算法可以达到最准确的结果。

π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
符号的引入

在用π专指“圆周率”之前，希腊字母即已用于几何概念中。威廉·奥特雷德在1647年起在《数学之钥》（Clavis Mathematicae）就已经用及（对应p和d的希腊字母）来表示圆的周长及直径的比例。
威廉·琼斯在他1706年出版的《新数学导论》（A New Introduction to the Mathematics）中提到了，是目前已知最早专门用希腊字母表示圆周和其直径比例的人。这个希腊字母的第一次出现，是在书中讨论一个半径为1的圆时，提到“其圆周长的一半（）”。琼斯选用了的原因可能是因为它是希腊文中“周边”一词“περιφέρεια”的第一个字。不过琼斯提到，他的那些有关的算式是出自“真正聪明的约翰·梅钦先生”，因此人们推测在琼斯之前，约翰·梅钦就已经开始使用此希腊字母表示圆周率。
琼斯是在1706年开始使用此希腊字母，但直到莱昂哈德·欧拉在其1736年出版的《力学》中开始使用之后，其他的数学家们才纷纷开始用来指代圆周率。在此之前，数字家可能用像c或p之类的字母代表圆周率。因为欧拉与欧洲其他数学家之间时常互相写信来往，的用法迅速传播开来。1748年欧拉在他的《无穷小分析引论》再一次提到了，写道：“为了简洁起见，我们将此数字写为，等于半径为1的圆周长的一半。”这个表示方式之后也推展到整个西方世界。

计算
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的意义

一般而言，值并不需要过于精确便能够满足大部分的数学运算的需求。按照约尔格·阿恩特（Jörg Arndt）及克里斯托夫·黑内尔（Christoph Haenel）的计算，39个数位已足够运算绝大多数的宇宙学的计算需求，因为这个精确度已能够将可观测宇宙圆周的精确度准确至一个原子大小。
尽管如此，人们仍然是奋力地运算出小数点后的上千甚至上百万个数位。这一部分是出于人类对打破记录的冲动，因为那些和有关的成就往往成为世界各地的新闻头条。此外，这其中也有一些实际的好处，例如测试超级计算机、测试数值分析算法等（包括高精度乘法算法）。在纯粹数学的领域中，计算的位数也能让人们来评定π的随机性。

用途

由于与圆密切相关, 它出现了许多几何学和三角学的公式中（特别是与圆、球体和椭圆相关的那些）。 此外也出现在其他学科的一些重要公式中，比如统计学、物理学，傅立叶分析和数论的公式。

傅里叶级数

周期函数的傅里叶级数中，很自然地出现了。周期函数即实数的小数部分所构成群上的函数。傅里叶分解指出，一个上的复值函数可表示为无穷多个的酉特征的线性叠加之和。也就是说，到圆群（模为1的复数组成的乘法群）的映射是连续群同态。的特征都具有的形式，这是一个定理。
在上存在一个唯一的特征值，直到复共轭，那是一个群同态。在圆群中使用哈尔测度，常数是这个特征值的拉东-尼科迪姆导数值的一半。其他的特征值的导数值为的正整数倍。因此，常数是一个独特的数字，以至于配备了其哈尔测度的群，具有对于整数倍的点阵的庞特里亚金对偶性。这是泊松和公式的一维版本。

复变动态系统

大卫·波尔（David Boll）在1991年发现在曼德博集合分形中也有π的出现。他检查在曼德博集合在位置的特性。若考虑坐标在“颈部”的点，而趋近于零，在发散之前迭代的次数和相乘，会趋近于。若是在右侧尖点处附近的点也会有类似的特性：在发散之前迭代的次数和的平方根相乘，也会趋近于。

π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的记忆技巧

π文字学（或译作圆周率π的语言学）是指人们记住大量的位值，并将其世界纪录载于吉尼斯世界纪录大全中的做法。维尔·米纳（Rajveer Meena）于2015年3月21日在印度于9小时27分钟内背诵了7万位的，创下吉尼斯世界纪录大全认证的世界纪录。2006年，日本退休工程师原口证，自称已经背诵了十万个小数位，但他未获吉尼斯世界纪录大全认证。
一个常用于记忆π的技巧是背诵一个以单词的长度代表数值的故事或诗歌：第一个单词有三个字母，第二个单词有一个字母，第三个单词有四个字母，第四个单词有一个字母，第五个单词有五个字母，如此类推。一个早期的例子是由英国科学家詹姆士·金斯设计的诗歌：“How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.”这一类的诗歌有时在英文中称为“piem”。除了英文，用于记忆π的诗歌亦有不同语言的版本。但是，创下纪录的记忆的人一般并不以诗歌记忆，而是用如记忆数字规律或轨迹法的方法。
有好几位作家仿照上述记忆技巧，用的数值创作了新型的约束写作方式，其中单词的长度须符合的数值。《The Cadaeic Cadenza》以上述技巧包含了前3835位的值，一本标准长度的书《Not a Wake》有一万个单词，其中每个单词亦代表了的一个位值。

大众文化中的
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }

也许因为的公式很简短而且四处可见， 比其他数学常数在流行文化中更常见。
在2008年由英国公开大学及英国广播公司联合制作的记录片《数学的故事》于2008年十月由英国广播公司第四台播放。影片讲述了英国数学家马库斯·杜·索托伊在到访印度研究当地三角学的贡献时，展示出历史上π最精确的计算公式的信息图形 。
在巴黎的科学博物馆发现宫中有一个称为“房”的圆形房间。墙上刻有的707位数字。数字贴在圆顶状的天花板上，由大型的木制字符组成。数值是1853年由英国数学家威廉·尚克思的计算结果，但是该结果于第528位后开始出现谬误，其在1946年发现，1949年修正。
卡尔·萨根的小说《接触未来》中则暗示说，宇宙的创造者在π的数字中暗藏了一则信息。π的数字也用在凯特·布希所出的专辑Aerial中的《Pi》的歌词里。
在美国，人们在3月14日庆祝圆周率日，一个在学生中很流行的节日。一些自称“数学极客”的人常常用与其数位来创作一些数学或技术圈内人士才能领会到的笑话。麻省理工学院则有几个包含“3.14159”的大学欢呼口号。2015年的圆周率日格外重要，因为按照美式的写法，当天的日期时间3/14/15 9:26:53较之于其他的圆周率日包含了更多位数的。
在北电网络于2011年举行的技术专利拍卖会上，谷歌使用了一些包含在内的数学或科学常数进行竞价。
 
在1958年，阿尔伯特·伊格尔提议将换成τ（tau）以便简化公式。在此定义为的两倍。然而，没有任何其他作者曾这样使用过。有些人使用一个不同的值，。这些人辩称，不论是作为弧度制下一个圆形周长的1转，还是作为弧长与半径的比值（而不是与直径的比值），都比显得更加自然，也能因此简化掉许多公式。已经有媒体报道称，有人在6月28日庆祝“节”，并吃“两个派”，因为的值大小约为6.28。然而，对于的使用还并没有在数学界成为主流。
在1897年，一个业余的美国数学家试图通过印第安纳州议会来通过后世所谓印第安纳圆周率法案的法案。这一法案因试图以法律命令强制规定一个数学常数而臭名远扬。该法案描述了一个化圆为方的方法，并间接提到了的错误值，例如3.2。该法案通过了印第安纳州众议院的表决，但是被参议院否决。