超現實數

概述

康威使用递归构造了超现实数，其中每个数都是两个数集构成的序对，记为。这两个集合要求 里的每个元素都严格小于每个 里的元素。不同的序对可能表达同样的数字：。

其他实数

为了定义更多的实数，我们可以将使用无限的左右集合：，，事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。

无穷数

根据归纳法，我们可以构造出， 等无穷大的数， 等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。

加法

我们定义超现实数之间的加法为 ，其中 。

加法逆元

我们定义负号（加法逆元）为 ，其中 。
可以验证这两个运算构成了（真类上的）阿贝尔群。

乘法

我们定义乘法运算为，其中 。

乘法逆元

我们定义（正数的）乘法逆元为，这样除法就是。我们可以发现这个定义是递归的，但是实际上这个数字是良定义的：我们取 那么   会有一个 作为左项，导致了 会是一个右项。这又意味着 作为左项、 作为右项，以此类推，所以我们有 （考虑两边的序列在实数中分别收敛到，因此是相容的）。
对于负数，我们定义。

子集对应

有理数、实数、序数分别是超现实数的子集。

有理数

所有二进分数都可以定义为超现实数，而所有分数都可以表示为两个整数之比，因此所有有理数都可以表示为超现实数。

实数

在定义出了有理数之后，使用戴德金分割可以立刻将实数映射到超现实数中。
假设，其中 ，那么立刻可知存在 是  的一个超现实数表示，其中  是有理数到超现实数的域同态。