刘维尔定理 (哈密顿力学)

在物理学中，刘维尔定理（Liouville's theorem）是经典统计力学与哈密顿力学中的关键定理。该定理断言相空间的分布函数沿着系统的轨迹是常数——即给定一个系统点，在相空间游历过程中，该点邻近的系统点的密度关于时间是常数。
它以法国数学家约瑟夫·刘维尔命名。这也是辛拓扑与遍历论中的有关数学结果。

遍历论

在遍历论与动力系统中，由目前给出的物理考虑启发，有相应的结果也称为刘维尔定理。在哈密顿力学中，相空间是一个自然赋有一个光滑测度的光滑流形（局部这个测度是6n-维勒贝格测度）。该定理说这个光滑测度在哈密顿流下不变。更一般地，我们可以描述一个光滑测度在一个流下不变的充分必要条件。哈密顿力学情形便是一个推论。

辛几何

在辛几何方面，此定理断言辛结构（2-形式，由  与  的楔积之和组成）的 d 次幂在其哈密顿演化下的李导数为零。辛结构的d 次幂就是相空间中上面所说的测度。
事实上，辛结构自身（不仅是d 次幂）也不变。因此，在这种情形下，辛结构也称为庞加莱不变量。从而关于庞加莱不变量的定理是刘维尔定理的推广。
还可以进一步推广。在不变哈密顿形式化的框架下，不变相空间中的辛结构的存在性定理是关于庞加莱不变量定理的一个深入推广。