拓撲斯

格罗滕迪克拓扑斯（几何中的拓子）

自1940年代层的引入，数学中一个重要的主题便成了用空间上的层研究空间。亚历山大·格罗滕迪克以引入拓子的概念，详细说明了这个想法。在数学中，常常有这样的情况：拓扑直觉很有效，但是并没有拓扑空间，这时拓扑斯便显出它的功效；有时可以找到一个拓扑斯，使得直觉形式化。这个程式化的想法最伟大的成就是概形的平展拓扑斯的引入。

例子

Giraud定理已经给出了“sites上的层”作为例子的完全列表。注意不等价的sites常常给出等价的拓扑斯。如介绍所示，普通拓扑空间上的层激发了很多拓扑斯理论的基本定义和结果。
集合的范畴是特别而重要的情形：它在拓扑斯理论中扮演了点的角色。确实，一个集合可被理解成单点上的层。
更多外来的例子和拓扑斯理论存在的理由来自代数几何。对一概形甚至是栈，我们可关联平展拓扑斯，fppf拓扑斯，Nisnevich拓扑斯……

几何态射

如果X和Y是拓扑斯，一个几何态射u: X→Y是一对伴随函子(u∗,u∗)，使得u∗保持有限极限。注意u∗由于有右伴随而自动保持余极限。
通过Freyd伴随函子定理，给定一几何态射X → Y相当于给定一保持有限极限和所有小余极限的函子u∗: Y → X。
因此拓扑斯间的几何态射可以被看成locales的映射的类似。
若X和Y是拓扑空间，u是其间的连续映射，层上的前推和拉回给出相关拓扑斯间的几何态射。

拓扑斯的点

拓子X中的点是从集合的拓子到X的几何态射。
若X是普通拓扑空间，x是X的点，那么把层F带到它的茎Fₓ的函子有右伴随（“摩天大楼层”函子），因此X的普通点同时决定了一个拓扑斯理论中的点。这些可以用沿连续映射x: 1 → X的拉回前推来构造。

基本几何态射

一几何态射(u∗,u∗)被称为基本的，若u∗有进一步左伴随u!，或等价地（由伴随函子定理）若u∗不仅保持有限而且保持所有小极限。

赋环拓扑斯

一个赋环拓扑斯是对(X,R)，其中X是一拓扑斯而R是X中交换环对象。大部分赋环空间的构造可用在赋环拓扑斯上。X中R模对象范畴是有足够内射元的阿贝尔范畴。更有用的阿贝尔范畴是拟凝聚R模子范畴：它们是有展示的R模。
除赋环空间，另一类重要的赋环拓扑斯是德利涅-芒福德栈的平展拓扑斯。