贝塞尔不等式

在数学里的泛函分析中，贝塞尔不等式是类似于勾股定理的一种不等式。贝塞尔不等式揭示了希尔伯特空间中的一个元素和它在一个正交序列上的投影之间的关系。举例来说，平面上的一个向量的长度的平方等于它在两个相互垂直的坐标轴上的投影的平方和，而对于一个三维空间上的向量，它在两个相互垂直的坐标轴上的投影的平方和一般会小于它自身的长度的平方，除非它就在这两个坐标轴构成的平面上。对于一个希尔伯特空间中的向量来说，它在任意一个正交序列上的投影的平方和也是小于等于它自身的长度的平方。这就是贝塞尔不等式。贝塞尔不等式的等号成立当且仅当正交序列是完全序列。这时贝塞尔不等式转化为帕塞瓦尔定理。

定理的叙述

设 是一个装备了内积： 的希尔伯特空间。考虑一组规范正交向量的序列：。那么，对于任意一个 中的元素，都有：
其中的系数 是x 在一个正交向量序列中元素 上的投影的长度。

例一：平面直角坐标系

在平面上，假定已经存在一个由相互垂直的向量构成的直角坐标系。根据勾股定理，一个向量的长度的平方 等于它在X 轴的投影的长度的平方（） 加上它在Y 轴的投影的长度的平方（），如右图。
实际上，整个平面上的每一个向量都可以由这两个相互垂直的单位向量的有限线性组合表示。这样的一组相互垂直的向量被称为是这个平面里的一组完全规范正交向量：每个向量都可以被这一组向量的有限线性组合作任意程度的逼近（事实上是等于）。

例二：三维空间中的平面投影

当向量是在三维欧几里得空间中时，对于一个平面（比如说xOy平面）以及平面上的一个由相互垂直的向量（Ox 方向上的 和Oy 方向上的）构成的直角坐标系，向量的长度的平方会比它在X 轴的投影的长度平方加上它在Y 轴的投影的长度平方之和还要大。实际上，这个平方和正是向量在xOy平面上的投影的长度的平方。而原来的向量的长度的平方是这个投影长度的平方加上它在Z 轴的投影的长度平方。
这个事实说明，向量 和 不是三维欧几里得空间里的一组完全正交向量。