說謊者悖論

历史

公元前6世纪，古希腊克利特岛哲学家埃庇米尼得斯说了一句著名的话：“所有克利特人都是谎言者。”
严格来说，埃庇米尼得斯这句话并不能算是严格意义上的悖论，只能说根本不成立。如果埃庇米尼得斯所言为真，那么克利特人就全都是说谎者，身为克利特人之一的埃庇米尼得斯自然也不例外，于是他所说的这句话应为谎言，但这跟先前假设此言为真，互相矛盾；假设此言为假，那么也就是说有部分克利特人是不说谎的，则表示埃庇米尼得斯说谎，仍符合假设（即埃庇米尼得斯属于克利特岛的人中说谎的部分），因此这句话一定为假。
这句话被基督教圣人保罗引用在提多书1:10-13节中来告诫教会成员，让他们警惕克利特人。并于1:13节中称埃庇米尼得斯的语句为真。但圣经原文为：“革哩底人常说谎话” "1:12 One of their prophets has said, The men of Crete are ever false, evil beasts, lovers of food, hating work." 而非“所有克利特人都是谎言者。”
早期伊斯兰教传统将说谎者悖论反复推敲了将近五个世纪，在此过程中，伊斯兰学者们并没有受到其他文化圈的影响。波斯伊儿汗国时代的纳西尔丁·图西可能是第一个指出说谎者悖论属于“自我指涉”的哲学家。

说谎者悖论与其流变之说明

说谎者悖论的问题在于它似乎证明了关于真值的一般信念实际上可推导出矛盾。语句即使完全根据语义和语法规则建构，也无法一致地指定真值给每一个语句。
最简化版的说谎者悖论如下：
（Ａ）这个语句为假
如果（Ａ）为真，那么“这个语句为假”为真。如此一来，（Ａ）一定为假。从（Ａ）为真的假设推导出（Ａ）为假的结论，矛盾。

如果（Ａ）为假，那么“这个语句为假”为假。如此一来，（Ａ）一定为真。从（Ａ）为假的假设推导出（Ａ）为真的结论，另一个矛盾。
对一个说谎者语句（所谓说谎者语句（liar sentence），是指像（Ａ）那样会推导出矛盾结论的语句）而言，如果它是假的，那么它可以被证明为真，如果它是真的，那么它可以被证明为假的。这推导出有些语句是不真不假的。

因此，对于说谎者悖论有效的回应是，拒绝“所有语句要么为真要么为假”的主张，也就是拒绝与排中律有关的二值原理。
但对于“有些语句不真不假的”的解决方案，马上又面临到下一个挑战，也就是强化版的说谎者悖论，如下：
（Ｂ）这个语句不为真
如果（Ｂ）是不真不假的，那么（Ｂ）一定不为真。但从（Ｂ）对它自身的陈述，又意味着（Ｂ）一定为真。由于（Ｂ）不为真但又为真。另一个悖论于焉成形。
由于上述认定说谎者语句为不真不假的解决方案仍然会遭遇强化版说谎者悖论的挑战。因此，Graham Priest建议认定说谎者语句是既真且假的。Graham Priest的认定不只拒绝了古典逻辑中的排中律，也拒绝了矛盾律（即不存在既真且假的语句）。但Graham Priest的分析仍然会遭遇以下困难：
（Ｃ）这个语句只为假
如果（Ｃ）是既真且假的，那么（Ｃ）只为假。然而，这不为真。（Ｃ）为真却又不为真。矛盾。
另外，也存在多语句版本的说谎者悖论，以下是双语句版本的说谎者悖论：
（Ｄ１）下个语句为真
（Ｄ２）上个语句为假
假设（Ｄ１）为真。那么（Ｄ２）为真。这意味着（Ｄ１）为假。如此一来（Ｄ１）既真且假。

假设（Ｄ１）为假。那么（Ｄ２）为假。这意味着（Ｄ１）为真。如此一来（Ｄ１）既真且假。

无论假设（Ｄ１）为真或为假，最终将推导出（Ｄ１）既真且假的结论—以上，与（Ａ）同样的悖论于焉成形
多语句版本的说谎者悖论可推广致任何语句循环序列，只要该语句循环序列规定存在奇数语句，且每一个语句皆指定假给它们的后继（只要最后一个语句指派真或假给第一个语句）；以下是三语句版本的说谎者悖论，每一个语句皆指定假给他们的后继：
（Ｅ１）Ｅ２为假
（Ｅ２）Ｅ３为假
（Ｅ３）Ｅ１为假
假设（Ｅ１）为真。那么（Ｅ２）为假。这意味着（Ｅ３）为真，如此一来（Ｅ１）为假，矛盾。

假设（Ｅ１）为假，那么（Ｅ２）为真。这意味着（Ｅ３）为假，如此一来（Ｅ１）为真，矛盾。

阿尔弗雷德·塔斯基

阿尔弗雷德·塔斯基认为这个悖论的出现是由于语言的“语义封闭性”。所谓“语义封闭性”是指一语言中的一语句被同一语言中另一语句(或者该语句自身)的真理述词指涉“为真”(或“为假”)。为了避免自我矛盾，当讨论真值有必要区分语言的阶层，每一个含有真理述词的语句只能指涉较低层级的语言的语句“为真”(或“为假”)。如此一来，当一个语句指涉另一语句的真值时，该语句所在的语言在语义学上更高阶。这个语句所指涉的较低阶层的语句，其所属的语言被称为“对象语言”，而指涉较低阶层语句真值的语句本身所在的语言则被称为“后设语言”。较高语义层级的语言指涉较低阶层级语言是合法的，反之则不然。
塔斯基区分了“对象语言”以及“后设语言”，是为了避免语言系统中产生自我指涉而产生说谎者悖论。以简单版和加强版的说谎者悖论为例，“这个语句为假”或“这个语句不为真”，根据塔斯基的区分，这个语句是不合法的，因为该语句的真理述词是指涉同一阶层的语言的语句（也就是该语句本身）。而在双语句以及多语句的说谎者悖论，一定存在一个语句是属于较低阶层的语言，其真理述词却指涉较高阶层的语言，因而不合法。因此塔斯基的语义阶层理论被视为是说谎者悖论的解答之一。
不幸的是，这个系统是不完备的。一考虑以下语句“对每一个在阶层中α层级的语句，存在一个在α+1 层级的语句声称第一个语句为假”。这是一个关于塔斯基所定义的阶层的语句，该语句有意义且为真，但是该语句指涉阶层中的每个层级，如此它必须是在阶级中的每个层级之外，因此该语句不可能在这个阶级里面。

Jon Barwise与John Etchemendy

Jon Barwise与John Etchemendy提议说谎者悖论是来自于说谎者语句存在歧义。他们这个结论的的基础在于区别“拒绝”(denial)以及“否定”(negation)。如果说谎者的意思是“并非这个句子为真”，那么它是拒绝自身。如果意思是“这个句子不为真”，那么它是否定自身。他们接着论证，基于情境语义学，“拒绝的说谎者”可以为真而不矛盾，同时“否定的说谎者”可以为假而不矛盾。

双面真理论

Graham Priest以及其他逻辑学家，包含 J.C. Beall，以及 Bradley Armour-Garb提议说谎者语句应该被考虑成是既真且假的，这种观点被称为“双面真理论”。双面真理论的观点是说存在着一些为真的矛盾句。承认有矛盾句为真马上面临问题，首先由于双面真理论承认说谎者悖论为真，也就承认内在矛盾为真，这必须丢弃长久被承认的爆炸原理，爆炸原理是说任何的命题都可以从矛盾句演绎而来，如果接受矛盾为真却不拒绝爆炸原理，那么根据爆炸原理，从矛盾句可以推论出所有的命题皆为真。除非双面真理论者愿意接受琐碎论—这个观点是说所有命题都为真。由于琐碎论是一个直观上为假的观点，双面真理论者几乎总是拒绝爆炸原理。拒绝爆炸原理的逻辑被称之为次协调逻辑。