主曲率

在微分几何中，在曲面给定点的两个主曲率（principal curvatures）衡量了在给定点一个曲面在这一点的不同方向怎样不同弯曲的程度。
在曲面上取一点E，曲面在E点的法线为z轴，过z轴可以有无限多个剖切平面，每个剖切平面与曲面相交，其交线为一条平面曲线，每条平面曲线在E点有一个曲率半径。不同的剖切平面上的平面曲线在E点的曲率半径一般是不相等的。这些曲率半径中，有一个最大和最小的曲率半径，称之为主曲率半径，记作k₁ 与 k₂，这两个曲率半径所在的方向，数学上可以证明是相互垂直的。
这里一条曲线的曲率由定义是密切圆半径的倒数。当曲线转向与平面给定法向量相同方向时，曲率取正值，否则取负值。当曲率取最大与最小值的两个法平面方向总是垂直的，这是欧拉在1760年的一个结论，称之为主方向。从现代的观点来看，这个定理来自谱定理因为它们可以作为对应于高斯映射微分的一个对称矩阵的本征向量。对主曲率和主方向的系统研究由达布使用达布标架完成。
两个主曲率的乘积k₁k₂ 是高斯曲率 K，而平均值(k₁+k₂)/2 是平均曲率 H。
如果在每一点至少有一个主曲率是零，则高斯曲率是零，这种曲面是可展曲面。对极小曲面，平均曲率在每一点是零。

曲率线

曲率线（lines of curvature 或 curvature lines）是总与一个主方向相切的曲线，它们是主方向场的积分曲线。过每个非脐点有两条曲率线，它们相交成直角。
在一个脐点附近曲率线有三类布局：星形（star）、柠檬形（lemon）以及檬星形（monstar，源于lemon-star）。为了纪念达布，这些点也称为达布脐点，他最先在他1896年的课程（Vol. 4, p455）中做了系统性研究。
在这些布局中，红色曲线是一类主方向的曲率线，而蓝色曲线是另一类的。
当一条曲率线对同一个主曲率有一个局部极值，则此曲线有一个脊点（ridge point）。曲面上曲线的脊点称为脊。脊曲线经过脐点。对星形布局有3 条或1 条脊线经过脐点，对 monstar 与 lemon 只有一条脊线经过。