初等阿貝爾群

向量空间结构

假设 V = (Z/pZ)ⁿ 是初等阿贝尔群。因为 Z/pZ  Fₚ，即 p 个元素的有限域，我们有V = (Z/pZ)ⁿ  Fₚⁿ，所以 V 可以被认为是在域Fₚ 上的n-维向量空间。
机警的读者可能发现Fₚⁿ 有比群V 更大的结构，特别是它除了(向量/群)加法之外还有标量乘法。但是 V 作为阿贝尔群有唯一一个Z-模结构，这里的Z 的作用对应于重复的加法，而这个Z-模结构一致于Fₚ 标量乘法。就是说，c·g = g + g + ... + g (c 次) 这里的c 在 Fₚ 中(考虑为整数带有0 ≤ c < p) 给予 V 一个自然的Fₚ-模结构。

自同构群

作为向量空间V 有如例子中那样的基 {e₁, ..., eₙ}。如果我们选取{v₁, ..., vₙ} 为任何V 的 n 个元素，则通过线性代数我们有映射T(eᵢ) = vᵢ 唯一扩张为V 的线性变换。每个这种T 都可以被认为是从V 到 V 的群同态(自同态)并同V 的任何自同态一样可以被认为是V 作为向量空间的线性变换。
如果我们限制注意力于V 的自同构，我们有Aut(V) = { T : V -> V | ker T = 0 } = GLₙ(Fₚ)，即在Fₚ 上的n ×n 可逆矩阵的一般线性群。