盈不足术

盈不足术是中国古代数学的一种算术方法。西汉成书的算学经典《九章算术》的第七章即名为“盈不足”。狭义的盈不足术指典型的盈亏问题的算法。广义的盈不足术则指通过双假设法将其他数学问题转化为盈亏问题、再用机械化算法求解的方法。

证明

刘徽在为《九章算术》作注时，利用齐同原理对盈不足术进行了证明：“盈朒维乘两设者，欲为同齐之意。……齐其假令，同其盈朒……通计齐则不盈不朒之正数，故可并之为实，并盈、不足为法。”
刘徽指出，交叉相乘的意义是使其“同齐”。每人所出为时，盈 ，那么总价变为倍、每人所出变为时，盈 。每人所出为时，不足 ，那么总价变为倍、每人所出变为时，不足 。这样就“同其盈朒”，两者相加则盈亏相抵，就“不盈不朒”，此时总价为倍，每人所出为，相除即得到总价不变时每人所出的钱。

历史

在中国最早的数学书《算数书》中，就有通过盈不足术计算面积为一亩的正方形田地的边长的记载。《九章算术》第七章“盈不足”，则是对双假设法最早的详细说明。
伊斯兰黄金时代的阿拉伯数学家也大量研究了双假设法。阿布·卡米勒著有《双假设法之书》（Kitāb al-khaṭaʾayn）。古斯塔·伊本·卢卡采用欧式几何的方法，第一次对双假设法给出了几何证明。
中世纪欧洲数学家斐波那契在《计算之书》的第十三章中讨论了双假设法。他明确承认该方法来自阿拉伯数学，并称之为elchataym，即来自阿拉伯语的 al-khaṭāʾayn。在代数符号尚未普及的时代，这种万能算法在欧洲流传甚广，兴盛一时。
明朝时，中国传统数学已经衰落，《九章算术》近乎失传，盈不足术不为人所知。利玛窦和李之藻将克里斯托弗·克拉维乌斯的《实用算术概论》（Epitome arithmeticae practicae）编译为《同文算指》，将其中的双假设法称为“叠借互征法”。
钱宝琮最早提出，阿拉伯数学中的双假设法来自中国的盈不足术，al-khaṭāʾayn 即与“契丹”有关。李约瑟也认为有此种可能性。这种说法已被中国数学史界广泛接受；但也有学者认为，中国盈不足术是欧洲双假设法的源头的说法仍然缺乏令人信服的证据支持。