三角矩阵

严格三角矩阵

一个上（下）三角矩阵是严格上（下）三角矩阵当且仅当其主对角线上的系数都为零。所有的是严格上（下）三角矩阵也形成一个子代数。所有的严格三角矩阵都是幂零矩阵。

单位三角矩阵

一个上（下）三角矩阵是单位上（下）三角矩阵当且仅当其主对角线上的系数都为1。单位三角矩阵都是幺幂矩阵。

性质

一个同时是上三角矩阵和下三角矩阵的矩阵必然是对角矩阵。单位矩阵是唯一同时为单位上三角矩阵和单位下三角矩阵的矩阵。
分别计算乘积A*A 与 AA*的系数并进行比较后就可以发现：一个同时为三角矩阵和正规矩阵的矩阵也必然是对角矩阵（因为正规矩阵满足A*A='AA*）。 
上三角矩阵的转置矩阵是下三角矩阵，反之亦然。
三角矩阵的行列式等于其对角线上所有元素之乘积。对于三角矩阵A，其特征多项式也是三角矩阵。三角矩阵的对角线元素的集合实际上是它的特征值的集合（其重数为在特征多项式中的重数）。

矩阵的三角化

每个复系数矩阵都与一个三角矩阵相似。实际上，如果矩阵A的特征值都包含于其系数域中（比如一个代数闭域），那么A相似于一个三角矩阵。这个性质可以用归纳法证明。一个更进一步的结论是由若尔当标准形定理得出，说明了A实际上相似于一个十分特别的上三角矩阵（若尔当形）。
在复系数的情况下，每个方阵A都有一个舒尔分解，即A酉相似（即在酉矩阵的基变换下）于一个上三角矩阵。
求三角矩阵的逆比求一般矩阵的逆要简单很多，可以直接逐个元素算出，而不必用高斯消元法。
一般用L来做下三角矩阵的记号，因为英文中的“下”为“Lower”，首字母为L。同样的，上三角矩阵的记号通常是U(Upper)。

推广

上三角矩阵构成了一个矩阵上的代数，因此在泛函分析中有一个自然的推广，即无穷维希尔伯特空间上的套代数。
可逆上（下）三角矩阵的集合构成了一个群。它是一般线性群的一个子群。2×2的上（下）三角矩阵构成的群同构与系数域的加法群。当系数域是复数时，就成为了抛物线型莫比乌斯变换。3×3的上三角矩阵构成了海森堡群。

向前与向后替换

矩阵方程和有着非常简洁的解法 。对于包含下三角矩阵的方程，可以使用所谓的“向后替换法”，即是在解出了第一个未知数后，将它代入下一个方程（向后），解出下一个未知数，依此类推，直到解出。对于方程，则使用“向前替换法”，即将上面的方法倒过来，从后向前解出未知数。
注意这里不需要求矩阵的逆，因此复杂度大大下降。

应用

在金融方面，向后替换法被运用在步步为营法中，用来构造收益曲线。