對偶性 (弦論)

弦论中的对偶性（duality），是指弦论中的是两个看似不相同的理论，实际上是等价的。所谓等价，意思是即使两个理论对实验本身的物理描述可能完全不同，两个理论对所有可以测量的值都有相等的预测。

概述

弦论的对偶性是其中心观念之一。在弦论的第二次革命中发现了许多新的对偶性，它解决了弦论中许多困难的问题。除此之外，对偶性还有另一个重要的结果。过去研究弦论的人发现了五种不同的超弦理论，现在却发现这些看似不同的弦论，其实互为对偶、拥有相同的物理性质。换句话说，我们只有一个理论，但它有五种不同的表示方法。这个唯一的理论，现在被称为M理论。 常见的对偶性有：S对偶、T对偶、U对偶，次外尚有镜像对称性、AdS/CFT对偶等。

IIA型弦与11维的对偶性

M理论的11维真空，能用一个称作11维时空普朗克质量mP的单一标度表现。若将11维时空中的一个空间维度，取成半径为R的圆周，就可以将它与类型IIA的弦论联系起来。IIA弦论有一个无量纲的弦耦合常数gs，它由膨胀子场Φ(一种属于类型ⅡA超引力多重态的无质量标量场)的值决定。IIA的质量 标度ms的平方，给出基本IIA弦的张力，11维与10维的ⅡA的参数之间的关系为(略去数值因子2π)ms2=RmP3，gs=Rms 。

IIA理论中经常使用的摄动分析，是将ms固定而对gs展开。从第二个关系式可见，这是关于R=0的展开，这也就是为什么在弦摄动理论中没有发现11维解释的原因。半径R是一个模(modulas)，它由带有平坦势的无质量标量场的值确定。若这个模取值为零，对应于ⅡA理论；若取值无穷大，则对应于11维理论。

E型杂弦与11维的对偶性

杂弦HE与11维理论也有相似的联系，差别在于紧致空间不再是圆周，而是一条线段。这个紧致化会产生两个平行的10维切面，而每一面又对应于一个E8规范群。引力场存在于块中。从11维时空更能说明，为什么采用E8×E8规范群才会是量子力学“反常自由”的。

I型弦与O型杂弦的对偶性

根据诺特定理，对称性对应于某一种物理守恒定律，电荷、色荷，以及别的守恒荷，都能看成是诺特荷。某些粒子的特性在场变形下保持不变，这样的守恒律称为拓扑的，其守恒荷为拓扑荷。按照传统观点，轻子与夸克被认作是基本粒子，而磁单极子等携带拓扑荷的孤立子是派生的。至于磁单极子带诺特荷，而电子带拓扑荷的此一猜想，被称作蒙托南-奥利夫猜想，它给物理计算带来了意料不到的惊喜—带有e荷的基本粒子等价于1/e的拓扑孤子，而粒子的荷对应于它的相互作用耦合强度。夸克的耦合强度较强，因而不能用摄动论计算，但可用耦合强度较弱的对偶理论计算。

这方面的一个突破性进展，是由印度物理学家森(Ashoke Sen)取得的。他证明在超对称理论中，必然存在既带电荷又带磁荷的孤立子。当这一猜测推广到弦论后，它被称作S对偶。S对偶是强耦合与弱耦合之间的对偶性，由于耦合强度对应于膨胀子场Φ的值。O型杂弦与I型弦可通过各自的膨胀子场联系起来，即Φ(I)＋Φ(HO)=0。弱HO耦合对应Φ(HO)=-∞，而强HO耦合对应Φ(HO)=＋∞。可见，杂弦是I型弦的非摄动激发态。这样，S对偶性便解释了一个长期令人疑惑的问题：HO弦与I型弦,有着相同的超荷和规范群SO(32)，却有着非常不同的性质。

IIA型弦与IIB型弦的对偶性

在弦论中，还存在着一种在大小紧致体积之间的对偶性，称作T对偶。举例来说，IIA型弦理论在某一半径为RA的圆周上紧致化和IIB型弦理论在另一半径为RB的圆周上紧致化，两者是等价的，且有关系RB=(ms2RA)-1。于是，当模RA从无穷大变到零时，RB从零变到无穷大，这给出IIA和IIB之间的联系。两种弦间的联系，虽有技术细节的不同，本质却是一样的。

弦论还有一个定向反转的对称性，如将定向弦进行投影，将会得到两种不同的结果：扭曲的非定向开弦和不扭曲的非定向闭弦。这就是IIB型弦和I型弦之间的联系。在M理论的语言中，这一结果可视开弦为D膜的衍生物。

膜的对偶性

有质量的矢量粒子有3个极化态，而无质量的光子只有2个极化态，且无质量态可以看作是有质量态的临界状态。在4维时空的庞加莱对称中，用小群表示（短表示）描述光子态，这一代数结构可以推广到11维超对称理论。临界质量也会在M理论中重现。由诺特定理，即能量和动量守恒是时空平移对称性的推论，可得出超荷的反对易子是能量和动量的线性组合，这是超引力的代数基础。然而，两个不同超对称荷的反对易子，却可生成新的荷。这个荷称作中心荷 Q。对于带有中心荷的超代数也有一个短表示，它将与M理论的非摄动结构密切相关。

对于带有中心荷的粒子态，代数结构蕴涵着物理关系m≧|Q|，即质量将大于中心荷的绝对值。若粒子态是短表示的话，该关系取临界情形m=|Q|,通常称为BPS态。这一性质的最初形式是前苏联学者博戈莫•尔内(E.B.Bogomol'nyi)、美国学者普拉萨德(M.K.Prasad)和萨默菲尔德(C.M.Sommerfield)在研究规范场论中的磁单极子时发现的。如果将BPS态概念应用到p膜，这时中心荷用一个p秩张量来描述，BPS条件化作p膜的单位体积质量等于荷密度。处于BPS态的p膜将是一个保留某种 超对称性的低能有效理论的解。第二型弦理论与11维超引力都含有两类BPS态p膜，一类称为电性，另一类称为磁性，它们都保留了一半的超对称性。

在10维弦论中，据弦张力Tp与弦耦合常数gs的依赖关系，P膜可分成三类——当Tp独立于gs，且与弦质量参数的关系为Tp∽(ms)p＋1，则称膜为基本p膜；这种情形仅发生在p=1时，故又称它为基本弦；这又是在弱耦合下仅有的解，故它又是仅可使用摄动的弦。当弦张力Tp∽(ms)p＋1/gs2，则称为孤子p膜；事实上这仅发生在p=5时，它是基本弦的磁对偶，记作NS5膜。当 Tp∽(ms)p＋1 /gs，则称为狄利克雷p膜，记作Dp膜，其性质介于基本弦和孤立子之间。通过磁对偶性，Dp膜将与Dp′膜联系起来，其中p＋p′=6。

在11维时空中，存在两类p膜：一类是曾被命名为超膜的M2膜，另一类称为M5膜的5维膜，它们互有电磁对偶性。11维理论仅有一个特征参数mP，它与弦张力Tp的关系为Tp∽(mP)p＋1。将11维理论通过其中1维空间作圆周紧致化,能导出IIA型弦论。此外，p膜在这个紧致化过程中将做出什么变化呢，其空间维数可以占据或不占据紧致维。倘若占据，M2膜将卷曲成基本弦, M5膜卷曲成D4膜；倘若不占据，M2膜化作D4膜，M5膜化作NS5膜。