线性映射

不同作者的术语差异

“线性变换”和“线性算子”是与“线性映射”有关的名称。但不同作者会按个人喜好对“线性变换”和“线性算子”下不同的定义。这导致这2个概念与“线性映射”的关系比较乱，没有统一的标准。
从向量空间内的向量映射到同一个空间内的线性映射是一类重要的线性映射，而且是一种自同态。是否给它一个特殊的术语作为名称就导致了不同作者做法的分歧。比如Axler的书将“线性映射”和“线性变换”当做同义词，但“线性算子”则用于定义这种线性映射中特殊的自同态映射。龚昇的书也将“线性算子”定义为线性的自同态映射。李尚志的书则将线性自同态映射称为“线性变换”。而泛函分析教材中一般将“线性变换”和“线性算子”都当做“线性映射”的别称，彼此不加区别。
为避免词义混乱，本条目暂将“线性算子”视作在同一空间内的“线性映射”（即认为二者存在区别），并将“线性变换”当做“线性映射”的同义词。认定“线性算子”仅指从向量空间内的向量映射到同一个空间内的线性映射。即“线性算子”只是“线性映射”的其中一种。“线性算子”是从向量空间到其自身的线性映射(自同态)，而“线性映射”则只是一般的同态（不一定是自同态）。

从给定线性映射构造新的线性映射

两个线性映射的复合映射是线性的：如果和是线性的，则也是线性的。 
若线性映射可逆，则该线性映射的逆也是线性映射。
如果和是线性的，则它们的和也是线性的(这是由定义的)。
如果是线性的，而a是基础域K的一个元素，则定义自(af)(x) = a (f(x))的映射af也是线性的。
所以从到的线性映射的集合自身形成在上的向量空间，有时指示为。进一步的说，在的情况中，这个向量空间(指示为)是在映射复合下的结合代数，因为两个线性映射的复合再次是线性映射，所以映射的复合总是结合律的。
给定有限维的情况，如果基已经选择好了，则线性映射的复合对应于矩阵乘法，线性映射的加法对应于矩阵加法，而线性映射与标量的乘法对应于矩阵与标量的乘法。

自同态和自同构

线性算子是的自同态；所有这种自同态的集合与如上定义的加法、复合和标量乘法一起形成一个结合代数，带有在域上的单位元(特别是一个环)。这个代数的乘法单位元是恒等映射。
若的自同态也刚好是同构则称之为自同构。两个自同构的复合再次是自同构，所以的所有的自同构的集合形成一个群，的自同构群可表为或。因为自同构正好是那些在复合运算下拥有逆元的自同态，所以也就是在环中的可逆元群。
如果之维度有限同构于带有在中元素的所有矩阵构成的结合代数，且的自同态群同构于带有在中元素的所有可逆矩阵构成的一般线性群。

推广

多重线性映射是线性映射最重要的推广，它也是格拉斯曼代数和张量分析的数学基础。其特例为双线性映射。