穩定性理論

数学中的稳定性理论是指微分方程的解以及动态系统的轨迹在初始条件有小扰动时的稳定性。像热传导方程式就是稳定的偏微分方程，因为初始值的小扰动只会造成之后温度的小幅变化（这是偏微分方程中最大值定理的结果）。在偏微分方程中可以用Lp范数或是sup范数来量测二个函数之间的距离，而在微分几何中可以用Gromov–Hausdorff距离来量测二个空间之间的距离。
在动态系统中，轨道为李雅普诺夫稳定的条件是，在前进轨道上的任何一点，都会在够小的邻域中，或是会维持在小的邻域内（也许会比原来的距离要远一点）。为了判断轨道的稳定性或是不稳定性，已发展出许多不同的准则。在较理想的情形下，此问题可以简化成一个已有相当多研究，和矩阵特征值有关的问题。另一种更通用的方式会用到李亚普诺夫函数。在实务上，会用到许多的稳定性判据。

不动点的稳定性

最简单的轨道是不动点，也称为平衡点。若一力学系统在稳定平衡点下，轻推一下之后，系统最终会回到原来的位置，像摆的小振荡即为此例。若是有阻尼的系统，稳定状态会进一步形成渐进稳定。相反的，若是不稳定的平衡点，就像在山顶上的一个球，轻推一下可能就有大的位移，之后可能可以回到原始位置，也有可能无法收敛到原始位置。
有许多针对线性系统的稳定性测试方式，非线性系统的稳定性也可以透过其线性化系统的稳定性来判断。

通用动态系统的李亚普诺夫函数

要确认动态方程的李亚普诺夫稳定性或是渐近稳定性，有另一种更通用的方式，是透过李亚普诺夫函数。