丟番圖逼近

丢番图分析是数论的一个分支。最经典的丢番图逼近主要用于有理数逼近实数，亦即实数的有理逼近相关问题。其中有理数一般用分数形式表达，且一律要求分子为整数，分母为正整数，通常要求是既约分数。
丢番图逼近的名称源于古希腊数学家丢番图。这是因为有理逼近可以归结为求不等式整数解的问题，而求方程整数解的问题一般称为丢番图方程（或不定方程），故而得名。事实上，丢番图逼近与不定方程的研究确有颇多相关。
丢番图逼近的首要问题是寻求实数的最佳（有理）丢番图逼近，简称最佳逼近。具体来说，对于一个实数，希望找到一个“最优”的有理数 作为  的近似，使在分母不超过 的所有有理数中， 与  的距离最小。这里的“距离”可以是欧氏距离，即两数之差的绝对值；也可以用 等方式度量。满足此类要求的有理数 称为实数 的一个最佳逼近。关于如何寻找实数的最佳逼近及相关论题，已于18世纪随着连分数理论的发展得到基本解决。
其后，该领域的主要注意力转向对有理逼近的误差进行估计、度量，以给出尽可能精确的上下界（一般用分母的函数表示）。作为分母的函数, 这种上下界的阶与 的性质密切相关。当  分别为有理数、代数数、超越数时，其最佳逼近误差下界的阶是不同的。基于这种思想，刘维尔在1844年建立了有关代数数逼近的一个基本结论，并由此具体地构造出了一个超越数（参见刘维尔数），证明了它的超越性。这在人类历史上尚属首次。由此可见，丢番图逼近与数论的另一分支——超越数论紧密相关。
除了上述最经典的单个实数的有理逼近问题，该领域还包括多个实数的联立逼近，非齐次逼近，实数的代数数逼近，一致分布（均匀分布）等方面。甚至连p进数上的丢番图逼近也有颇多研究。

第二类最佳逼近

第二类最佳逼近的结论比较简单：实数的第二类最佳逼近恰是它的简单连分数的所有渐近分数。此时需要注意： 为有理数时，它的简单连分数展开要取最后一位不是1的那个。例如2/3的连分数要写成[0; 1, 2]而不是[0; 1, 1, 1]，故此时[0; 1, 1]=1/2不是2/3的渐近分数。事实上，1/2确实不是2/3的第二类最佳逼近。另外，此论断有一个平凡的例外：若， 的第0个渐近分数并非第二类最佳逼近。
对于问题2，给定正整数，设 ，则在分母不超过M的有理数中，最优的是第 个渐近分数 
对于问题3，给定一个第二类最佳逼近，它一定是某个渐近分数（ 为半整数时有例外，此时 也第二类最佳逼近，但对结论没有本质影响），那么比它更优的有理数中分母最小的是。

均匀分布

另一个主题是模1的均匀分布理论。取一实数序列 并考虑其真分数部分；或抽象地说，将其看作，即拓扑学中所说的一维圆环上的数列。对圆环上的任一段区间，我们研究有限集 中有多大比例落在该区间内，并考虑这个比例与区间长度之间的关系。一个序列均匀分布意味着当 时，此比例收敛于我们所“期望”的值。赫尔曼·外尔证明了一个基本结论：均匀分布等价于该序列元素的指数和有上界。这表明丢番图逼近与指数和相消的一般问题密切相关，而后者在解析数论的误差项估计中无处不在。