同态

抽象代数中，同态是两个代数结构（例如群、环、或者向量空间）之间的保持结构不变的映射。英文的同态(homomorphism)来自希腊语:ὁμός (homos)表示"相同"而μορφή (morphe)表示"形态"。注意相似的词根ὅμοιος (homoios)表示"相似"出现在另一个数学概念同胚的英文(homeomorphism)中。

非正式表述

因为抽象代数研究带有能产生有意义的集合上的结构或者属性的运算的集合，最有意义的函数就是能够保持这些运算不变的那些。它们被称为同态。
例如，考虑带加法运算的自然数。保持加法不变的函数有如下性质：f(a + b) = f(a) + f(b).例如f(x) = 3x就是这样的一个同态，因为f(a + b) = 3(a + b) = 3a + 3b = f(a) + f(b)。注意这个同态从自然数映射回自然数。
同态不必从集合映射到带相同运算的集合。例如，存在保持运算的从带加法的实数集到带乘法的正实数集。保持运算的函数满足：f(a + b) = f(a) * f(b)，因为加法是第一个集合的运算而乘法是第二个集合的运算。指数定律表明f(x) = eˣ满足如下条件 : 2 + 3 = 5变为e² * e³ = e⁵.
同态的一个特别重要的属性是如果幺元存在，它将被保持，也即，被映射为另一个集合中的幺元。注意第一个例子中f(0) = 0,而零是加法幺元。第二个例子中，f(0) = 1，因为0是加法幺元，而1是乘法幺元。
若考虑集合上的多个运算，则保持所有运算的函数可以视为同态。虽然集合相同，相同的函数可以是群论（只考虑带一个运算的集合）中的同态，而非环论（带两个相关运算的集合）中的同态，因为它可能不保持环论中需要的另外那个运算。

同态的核

任意同态f : X → Y 都定义了一个X 上的等价关系 ~ 。 X 中元素a ~ b 当且仅当f(a) = f(b)。等价关系被称为f 的核。这个关系也是X 上的一个同余关系，因此在其商集 X/~ 上也可以自然地定义一个结构：[x] * [y] = [x * y]。这时，X 通过同态f 在 Y 中的像必然同构于 X/~。这就是所谓的同构基本定理之一。注意到在有些情况下（比如说在群结构或环结构时），仅仅一个等价类 K 就可以决定商集的结构，因此这时我们可以将它记作X/K（一般读作X 模 K ）。在这种情况下，一般将K，而不是~，称作f 的核（参见正规子群和理想）。

同态和形式语言理论中的无幺元同态

同态也被用于形式语言的研究中。给定字母表和，函数h :  → 使得对于所有中的u和v成立，则称为上的同态.令e表示空词。若h为上同态，对于上所有成立，则h成为无幺元同态（e-free homomorphism）。