對稱

对称是几何形状、系统、方程以及其他实际上或概念上之客体的一种特征－典型地，对象的一半为其另一半的镜射。
在数理上，如果称一个几何图形或物体为对称的话，即表示它是变形的不变量，而对称一词亦包含在此定义之中。若两个物体称为互相对称时，即表示其中一者的形状经几何分割后，在不变更整体形状的情况下，可以将分割片段重组为另一者，且反之亦然。
对称亦可在人类与其他动物等生物体中发现（见如下之生物内的对称）。在二维几何中，较有趣味的几种主要的对称为相对于基本之欧几里得空间等距的：平移、旋转、镜射及滑移镜射。

旋转对称

旋转对称是对应于m维欧几里得空间内某些或所有旋转的对称。旋转为一直接等距同构，即保持定向的等距同构。因此，旋转对称的对称群为E+(m)的子群。(见欧几里得群)
绕所有点的所有旋转的对称表示著对应着所有平移的平移对称，且其对称群为整个E+(m)。这不可以应用在对象上，因为它让整个空间变均匀，但它可能可以应用在物理定律上。
对于绕一点旋转的对称，可以将此点取为原点。这些旋转形成了特殊正交群SO(m)，行列式为1的m×m正交矩阵所组成的群。m=3时，其为旋转群。
在此字的另一个意思里，一对象的旋转群是E+(n)内的对称群；换句话说，是全对称群与直接等距同构群的交集。对于手征对象而言，这和全对称群是一样的。
一物理定律若是SO(3)-不变的，即表示它们不会因在空间的方向不同而有不同。根据诺特定理，一物理系统的旋转对称是等价于角动量守恒定律。详见旋转不变性。

平移对称

平移对称是指一对象在平移Tₐ(p) = p + a的离散或连续群之下为不变的。

滑移镜射对称

滑移镜射对称指对一线或一面做镜射加上沿着此线或此面做平移后会有同样的对象的对称。它意味着具有两倍平移向量的平移对称性。
其对称群和Z同构。

对称与分形

分形(通常)是一种在不同尺度上看起来都一样的形状。另一种说法是其在尺度转换下是对称的。此一对称是其美学展现的立基之处。

相似对相同

尽管两个对象有着极大的相似度而使其看起来是相同的，但它们在逻辑上必须是不同的。例如，若绕一等腰三角形之中心旋转120度，则它会和旋转前看起来是一样的。在理论欧几里得空间内，如此的旋转和其原本的形式是不可分的。但在真实的世界里，任一由物质所组成的等腰三角形之任一角都必须有着不同的分子在不同的位置上。因此，现实物理世界上的对象之对称是一样相似，而非相同。一个智力要能去区分如此看似精确的相似之困难度是可想而知的。

逻辑中的对称

一二元关系R是对称的当且仅当当Rab为真时，Rba也必为真。因此，“…的年龄和…一样”是对称的，因为若小黄的年龄和老王一样，则老王的年龄和小黄一样。
对称的二元逻辑运算符有逻辑与(∧, , or &)、逻辑或(∨)、双条件(当且仅当)(↔)、NAND、XOR和NOR。

类型

对称性已被用作一个正式的形式典范，许多作曲家如史蒂夫帝国，巴尔托克，詹姆斯坦尼所使用的拱桥形式（ ABCBA ） 。在古典音乐，巴赫使用了对称的概念，排列上下声部；见(外部链接"赋格曲第21号," pdf 或Shockwave)，倒转卡农曲。

音高结构

上行音阶与下行音阶就是最简单的对称结构。

等价

音列的逆行，属于横向对称；音类集和弦的转位，属于垂直对称。另，请参见不对称的节奏。

其他手工艺

对称的观念被应用在所有有关形状及大小的对象之设计上，在珠饰、家具、沙画、编织、面具及乐器等设计上都可以找到有关对称的观念存在着。

社会学中的对称

人们观察到在各种环境中的社会交往的对称性，通常包括不对称的平衡。包括对互惠，共情，同情，道歉，对话，尊重，正义和报复的评价。 反思平衡是通过在一般原则和具体判断之间进行协商相互调整可以实现的平衡。 对称交互发送的道德信息是“我们都一样”，而不对称的交互可能发送的消息是“我是特别的，比你更好”。 同行评审，例如可以由黄金法则支配，基于对称性，而权力关系则基于不对称性。对称关系在一定程度上可以通过在对称游戏中看到的简单（博弈）策略来维持，例如以牙还牙。

通讯中的对称

某些通讯服务(尤其是资料传输)可能会提到是对称的或不对称的。这是指其资料传送出去和接收进来的带宽是否相同。大部分互联网所提供的服务为不对称的：由主机传出的资料一般会远小于主机所接收的资料。