泛性质

在数学的很多分支，经常用“在给定某些条件下存在唯一态射”这种形式的性质来定义一些构造。这种性质统称为泛性质（英语：Universal property），有时也称为万有性。范畴论研究泛性质。
了解泛性质最好先研究一些例子。如：群积、直和、自由群、积拓扑、斯通-切赫紧致、张量积、反极限、直极限、核与上核、拉回、推出、等子等。

存在性和唯一性

具有泛性质的构造不一定存在。给定上述函子U和对象X，从X到U（或从U到X）的泛态射不一定存在。然而，若其存在，则该构造在同构下唯一。也就是说，若(A′, φ′)为另一个满足该条件的泛态射，则存在唯一的同构态射g : A → A′满足φ′ = U(g)φ。用(A′, φ′)代替定义中的(Y, f)易知该结论成立。

张量代数

设C为域K上的向量空间范畴 K-Vect，D为K上的代数范畴（假定满足unitall和结合律），U为将代数映射为所基向量空间的遗忘函子。
给定任何基于K的向量空间V，构造V的张量代数T(V)。此张量代数的泛性质体现为偶(T(V), i)（其中i : V → T(V)为一inclusion map）是从V到U的泛态射。
由于此方法适用于任何V，因此T为从K-Vect到K-Alg的函子，且为U的左伴随。

极限与上极限

极限与上极限为范畴论中重要的泛构造。设J为小范畴、C为范畴，J看作为C的索引范畴。记Cᴶ为相应的函子范畴。对角函子 Δ : C → Cᴶ 将C中每个对象N映射到常函子Δ(N) : J → C to N (i.e. 对任意X属于J有Δ(N)(X) = N).
给定函子F : J → C（看作Cᴶ的对象），F的极限，若存在，即为从Δ到F的泛态射。由对偶性质，F的上极限为F到Δ的泛态射。

历史

Pierre Samuel在1948年给出了多种拓扑结构的泛性质。布尔巴基大量使用了其结论。丹尼尔·阚与1958年独立发现了与其密切相关的伴随函子概念。