刘维尔定理 (复分析)

刘维尔定理是数学中复分析的一个定理，由十九世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔最先证明。刘维尔定理对整函数（即在整个复数域上都是全纯函数）的值域进行了刻画。它表明，任何有界的整函数都一定是常数。
比刘维尔定理更进一步的是皮卡定理。后者说明，只要存在两个相异的复数，它们都不属于一个整函数的值域，则这个整函数是常数函数。

代数基本定理

代数基本定理的证明中有一个较为简明的基于刘维尔定理的证明。

整函数的大小关系

应用刘维尔定理可以证明，如果一个整函数总比另一个整函数小：，那么这两个整函数成比例关系：，其中是比例常数。
考虑函数
说明，函数的模长总小于等于1。另一方面，由于，所以的奇点都是可去奇点，可以依照上面的方式拓延为整函数。所以作为一个有界的整函数，根据刘维尔定理，必然是常数函数。这说明和成比例关系。