黎曼猜想

历史

黎曼1859年在他的论文《Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe》中提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。黎曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域中。
1896年，雅克·阿达马和Charles Jean de la Vallée-Poussin分别独立地证明了在直线上没有零点。连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域上。这是素数定理第一个完整证明中很关键的一步。
1900年，大卫·希尔伯特将黎曼猜想包括在他著名的23条问题中，与哥德巴赫猜想一起组成了希尔伯特名单上的第8号问题。同时黎曼猜想也是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖难题的。希尔伯特曾说，如果他在沉睡1000年后醒来，他将问的第一个问题便是：黎曼猜想得到证明了吗？
1914年，高德菲·哈罗德·哈代证明了有无限个零点在直线上。然而仍然有可能有无限个不平凡零点位于其它地方（而且有可能是最主要的零点）。后来哈代与约翰·恩瑟·李特尔伍德在1921年及塞尔伯格在1942年的工作（临界线定理）也就是计算零点在临界线上的平均密度。
近年来的工作主要集中于清楚的计算大量零点的位置（希望借此能找到一个反例）以及对处于临界线以外零点数目的比例置一上界（希望能把上界降至零）。

黎曼猜想之结果及其等价命题

黎曼猜想的实际用途包括一些在黎曼猜想成立前提底下能被证明为真的命题，当中有些更被证明了跟黎曼猜想等价。其中一个就是以上素数定理误差项的增长率。

韦伊判准、李判准

韦伊判准断言某些函数的正定性等价于广义黎曼猜想。与此相似的还有李判准，这断言某些数列的正性等价于黎曼猜想。

大素数间隙猜想

另一个猜想是大素数间隙猜想。哈拉尔德·克拉梅尔证明了：假设黎曼猜想成立，素数与其后继者之间的间隙将会为。平均来说，该间隙的阶仅为，而根据数值计算结果，它的增长率并不似黎曼猜想所预测的那么大。

证明黎曼猜想的尝试

过去的一百多年，许多数学家声称证明了黎曼猜想。截至2015年为止，尚有一些证明还未被验证；但它们都被数学社群所质疑，多数专家并不相信它们是正确的。艾希特大学的Matthew R. Watkins为这些或是严肃或是荒唐的证明编辑了一份列表。其他一些证明可在arXiv数据库中找到。
2018年9月24日迈克尔·阿蒂亚爵士声称证明黎曼猜想。他用精细结构常数作为一个主要成分用以证明，然而由于一个物理观测数字能否用于纯数学领域证明题产生争议，而精细结构常数本身的由来理由还是谜团，且该数字是否全宇宙永恒不变有重大疑问，阿蒂亚爵士则主张“数学是物理学的理想化版本”所以两领域之间的学问可以共通共用。导致本次证明以疑虑和失败论点者居多无法使大部分数学家信服。

黎曼猜想证明的可能的着手方向

由于黎曼猜想是有关二维变量（临界线（critical line）上的虚数解和黎曼ζ函数中的自然数变量）的问题，故不但要考虑在二维变量下的情况，似乎还可以从更高维数（例如三或四维甚至更高维）变量的情况下来考虑问题。
另外，由于黎曼猜想从本质上来说是证明一个方程的非平凡的复数解必然是的形式（是实数，是虚数单位），因此应该与代数学是密不可分的；就是说，代数几何、代数数论甚至代数拓扑等学科的知识是不可缺少的。如果能从上述几个分支学科之间找到新的联系，以及对这些分支学科有进一步的新发现，那可能可以为证明黎曼猜想打下基础，或为黎曼猜想的证明做好准备。

搜寻ζ函数的零点

关于电脑计算上找寻ζ函数零点越多越好的尝试，已经有一段很长的历史了。其中一个出名的尝试乃ZetaGrid，一个分散式计算的计划，一天可检查上十亿个零点。这计划在2005年11月终止。直至2006年没有计算计划成功找到黎曼猜想的一个反例，这一型类穷尽法的结果再次吻合了众多科学家在“直觉”上认知黎曼猜想为真的倾向，但不能成为最终数学证明。
2004年，Xavier Gourdon与Patrick Demichel透过Odlyzko-Schönhage algorithm验证了黎曼猜想的头十兆个非平凡零点。而Michael Rubinstein给了公众一个算法去算出零点。