頂點算子代數

数学中的顶点算子代数 (vertex operator algebra，VOA)为一代数结构，于二维保守场论及弦论扮演了非常重要的角色，此外并应用在物理上，而顶点算子代数在基础数学方面更已经被证实其用处，如在魔群月光及几何Langlands对应。
因着Igor Frenkel曾提出想构造一无限维李代数，1986年由Richard Borcherds 提出一个相关的名词顶点代数，在这样的路径发展后，人们允以附络向量之顶点算子作用之Fock 空间，而Borcherds 透过将络顶点算子间的关联及名词公理化后，造出允许Frenkel所提方法构造新李代数的代数结构。
顶点算子代数的名词引入则是于1988年由Igor Frenkel、James Lepowsky与 Arne Meurman修正顶点代数后而被正式提出，作为它们计划中构造月光模的部分方法。他们发现很多的顶点代数很自然地就给出了有用的加法结构(Virasoro 代数之作用)，并且满足关于能量算子之有界下方性质，基于如此的观察，他们添加了Virasoro 作用与有界下方性质于所提公理中。
名词提出后我们亦于物理上观察并检核这些名词的概念，并有起初公理提出时并未明的几种解释。物理上，顶点算子是在允许算子乘法展开附加之二维保守场中，由其上的点上附加全纯场而提出(i.e., 顶点) ，而其所附加的全纯场相互碰撞时，并恰好满足顶点算子代数公理下所指之关联性。实际上，顶点算子代数公设就是物理学家称为chiral代数或 "chiral对称代数"的正式代数解释，而该对称代数描述了由保守场论给出包含保守不变量的Ward恒等式。其余顶点代数公理之公式包含Borcherds后续于奇异交换环的工作、由Huang, Kriz等提出于某曲线上算子上之代数、以及由Alexander Beilinson 和 Vladimir Drinfeld提出称为chiral代数 D-模-理论之物等。然这些拟chiral代数并不与物理学家所用之物全等同。
顶点算子代数基础之重要例子包含络顶点算子代数(用以模式化络保守场论)、由仿射Kac–Moody 代数 (自WZW模型)之表示给定之顶点算子代数、Virasoro 顶点算子代数(i.e.,对应 Virasoro代数表示之顶点算子代数) 与 月光模 V♮等；至于较复杂的例子就如由几何表示理论及数学物理引出在复流形上的仿射W-代数与chiral de Rham复丛等。