施瓦茨引理

陈述

设是复平面上以原点为圆心的单位开圆盘。全纯函数满足，则对任意，且。此外，如果存在使得，或者，则f是一个旋转，其中。
施瓦茨引理表明，若是从单位圆盘到单位圆盘的解析映射，且原点为其不动点，则像点到原点的距离比到原点的距离近。如果有一点使得这两个距离相等，那么就一定是一个旋转。如果在单位圆盘内画一个圆心在原点的圆（半径小于1），那么这个圆在映射下的像一定在这个圆所包围的区域内部。

施瓦茨-皮克定理的证明

以下形式的莫比乌斯变换
把单位圆映到自身。固定并定义莫比乌斯变换
由于，且莫比乌斯变换是可逆的，所以复合把0映为0，把单位圆盘映到自身。从而可以使用施瓦茨引理，得到
记，就得到想要的结论
要证明定理的第二部分，把上式左边整理成差商的形式
令趋向于即得。

进一步的推广与相关结果

施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理给出对双曲流形的类似结果。
De Brange定理，以前称为Bieberbach猜想，是该引理的一个重要推广。
Koebe四分之一定理，给出了f是单值的情况下的一个相关的估计。