半直积

基本事实和提醒

若G是正规子群N和子群H的半直积，而且N和H都是有限的，则G的阶等于N和H的阶的积。
注意，和直积的情况不同，半直积通常不是唯一的；如果G和G' 是两个群，都包含N为正规子群，并且都包含H为子群，而且二者都是N和H的半直积，则未必 G和G' 是同构的。

例子

有 2n个元素的二面体群 Dₙ 同构于循环群Cₙ 和C₂的半直积。这里，C₂的非单位元作用于Cₙ，将元素变成其逆；这是一个自同构因为Cₙ是交换群。
平面的刚体运动群(映射f : R² → R² 使得x和y之间的欧氏距离等于f(x) 和f(y)之间的距离对于所有在R²中的x和y成立)同构于交换群R² (描述平移)和正交 2×2矩阵的群O(2)(描述转动和反射)的半直积。每个正交矩阵通过矩阵乘法作用在R²上，并且是一个自同构。
所有正交n×n矩阵的群O(n)(直观的讲，所有n维空间的所有转动和反射的集合)同构于群SO(n) (所有行列式值为1的正交矩阵，直观的讲n维空间的转动的集合)和C₂的准直积。如果我们将C₂表示为矩阵{I, R}的乘法群,其中R是n维空间的翻转(也就是行列式为-1的正交对角矩阵),则φ : C₂ → Aut(SO(n)) 由φ(H)(N) = H N H–1对所有 在C₂中的H 和SO(n)中的N给出.

与直积的关系

假设G是一个正规子群N和子群H的半直积。若H也在G中正规，或者说，若存在一个同态G → N是N上的恒等映射，则G是N和H的直积。
两个群N和H的直积可以视为N和H相对于φ(h) = idN (对于所有H中的h)的外半直积。
注意在直积中，因子的次序不重要，因为N × H同构于H × N。这在半直积中不成立，因为两个因子的角色不同。

推广

半直积的构造可以推得更广。在环理论中有一个版本，环的交叉积（crossed product of rings）。一旦构造了群的一个半直积的群环，这可以很自然的看出。还有李代数的半直和。给定拓扑空间上的一个群作用，存在一个相应的交叉积，它通常非交换，即使群是可交换的。这样的环在群作用的轨道空间有重要作用，特别是当该空间不能用常规的拓扑技术处理的时候，例如在阿兰·孔涅的工作中（细节请参见非交换几何）。
在范畴论中也有推广。它们表明了如何从“指标范畴(indexed categories)”构造“纤维范畴(fibred categories)”。这是外准直积的抽象形式。