正交群

共形群

作为保持距离的同构，正交变换也保角，从而是共形变换，但是不是所有的共形变换都是正交变换。Rⁿ的线性共形映射构成的群记作CO(n)，由正交群和收缩的乘积给出。如果n是奇数，两个子群不相交，他们是直积：；如果n是偶数，两个子群的交是，所以这不是直积，但这是和正收缩子群的直积：。
我们可以类似地定义CSO(n)，这时总有。

复数域上正交群

复数域C上，O(n,C)和SO(n,C)是C上n(n-1)/2维的李群，这意味着实维数是n(n-1)。O(n,C)有两个连通分支，SO(n,C)是包含恒同矩阵的分支。当n ≥ 2时，这些群非紧。
和实情形一样，SO(n,C)不是单连通的，对n > 2  SO(n,C)的基本群是2阶循环群，而SO(2,C)的基本群是无穷循环群。
O(n,C)和SO(n,C)的复李代数由斜对称复n×n矩阵组成，李括号由交换子给出。

李群

由李群一般性事实，总消失，是自由阿贝尔群。

环路空间

利用博特周期性中环路空间具体的描述，我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用、O，以及O/U有两个分支，和有个分支，其实是连通的。

迪克森不变量

对偶数维正交群，迪克森不变量是从正交群到Z/2Z的同态，是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价：行列式等于−1的迪克森不变量次幂。
在特征2的域上，行列式总为1，所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素，而不是行列式为1。
迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和Pin群类似地定义。