哈密頓-雅可比方程式

各种力学表述的比较

哈密顿-雅可比方程是一个一阶非线性偏微分方程；其中，函数  有  个广义坐标 ，和  个独立的积分常数 。在 HJE 中，哈密顿主函数 有一个很有意思的属性，它是一种经典作用量。
与拉格朗日力学的拉格朗日方程比较，哈密顿力学里使用共轭动量而非广义速度。并且，哈密顿方程乃是一组 个一阶微分方程，用来表示 个广义坐标和 个广义动量随时间的演变，而拉格朗日方程则是一组 个二阶微分方程，用来表示 个广义坐标随时间的演变。
因为 HJE 等价于一个最小积分问题（像哈密顿原理）， HJE 可以用于许多关于变分法的问题。更推广地，在数学与物理的其它分支，像动力系统、辛几何、量子混沌理论，都可以用HJE 来解析问题。例如，HJE 可以用来找寻黎曼流形的测地线，这是黎曼几何一个很重要的变分法问题。

薛定谔方程

“哈密顿类比”是威廉·哈密顿在研究经典力学时给出的理论，又称为“光学-力学类比”；哈密顿指出，在经典力学里粒子的运动轨道，就如同在几何光学里光线的传播路径；垂直于这轨道的等作用量曲面，就如同垂直于路径的等传播时间曲面；描述粒子运动的最小作用量原理，就如同描述光线传播的费马原理。哈密顿发现，使用哈密顿-雅可比方程，可以推导出最小作用量原理与费马原理；同样的形式论，可以描述光的物理行为，不论光是由遵守费马原理的光线组成，还是由遵守最小作用量原理的粒子组成。
很多光的性质，例如，衍射、干涉等等，无法用几何光学的理论来作解释，必须要用到波动光学的理论来证实。。这意味着几何光学不等价于波动光学，几何光学是波动光学的波长超短于粒子轨道曲率半径的极限案例。哈密顿又研究发现，使用哈密顿-雅可比方程也可以描述波动光学里遵守惠更斯原理的光波，只要将光线的等传播时间曲面改为光波的波前。薛定谔寻思，经典力学与量子力学之间的关系，就如同几何光学与波动光学之间的关系；哈密顿-雅可比方程应该对应于量子力学的波动方程在某种极限的案例，而这极限应该也是物质波波长超短于粒子轨道曲率半径的极限（或按照对应原理，普朗克常数趋于0的极限）；按照先前哈密顿类比的模式，依样画葫芦，应该可以找到正确形式的波动方程。这想法很正确，经过一番努力，他成功地推导出薛定谔方程。