GCD環

GCD环是一种有特殊性质的整环R，满足其中任二个非零的元素都有最大公因数（GCD），或者等价的，都有最小公倍数（LCM）。
GCD环是将唯一分解整环推广到非诺特环的情况，事实上，一个整环是唯一分解整环若且惟若其为满足主理想升链条件的GCD环。

性质

GCD环中每个不可约元素都是质元素（不过GCD环中不一定要有不可约元素，其至GCD环可能不是一个域）。GCD环是整数封闭的，且其中每一个非零的元素都是素性元素。换句话说，每个GCD环都是Schreier环。
针对GCD环R中的每一对元素x和y，其最大公因数d及最小公倍数m可以选择为使dm = xy成立的数值，换句话说，若x和y为非零元素，而d是x的y的任何一个最大公因数，则xy/d为x和y的最小公倍数，反之亦然。
若R是GCD环，其多项式环R[X₁,...,Xₙ]也是GCD环。
针对一个GCD环中的多项式X，可以定义其内容为所有系数的最大公因数。因此多项式乘积的内容即为其多项式内容的乘积，如同高斯引理叙述的一样。