多極展開

在物理学里，多极展开方法广泛应用于涉及于质量分布产生的重力场、电荷分布产生的电势或电场、电流分布产生的磁向量势和磁场、电磁波的传播等等问题。使用多极展开，重力场或电势等等，都可以表达为单极项、偶极项、四极项、八极项等等的叠加。一个典型范例是，从原子核的外部多极矩与电子轨域的内部多极矩之间的交互作用能量，计算求得原子的原子核外多极矩。由于从原子核的外多极矩可以给出原子核内部的电荷分布，物理学者可以研究原子核的形状。
做理论运算时，在允许误差范围内，时常可以只取多极展开的最低阶的几个非零项目，忽略其它项目，因为它们的数值超小。

多极展开式的特性

对于多极展开式的每一阶 ，笛卡儿多极展开会得到 个笛卡儿多极矩，而球多极展开会得到 个球多极矩。这是因为两种展开各自具有不同的旋转变换属性。笛卡儿多极矩是可约的（reducible）；而球多极矩则是不可约的，这种分解能够得到旋转群的不可约表示。
在多极展开式里，不等于零的最低阶多极矩，其数值与原点的选择无关。例如，对于在 内部、位置为 的单独点电荷，电荷密度可以写为 。这单独点电荷的电单极矩为 ，与原点位置无关。 
对于在 内部、位置分别为 、 的两个异电性、同电量的点电荷，电荷密度可以写为 。这单独点电荷的电单极矩为 。最低阶多极矩为电偶极矩 。这电偶极矩与原点位置无关，与两个点电荷之间的相对位置有关。

数值模拟

多极展开在数值模拟领域用途很多。对于相互作用的粒子组成的物理系统，快速多极法（fast multipole method）是高效率运算这系统的能量与作用力常使用的一种方法。快速多极法就是建构于格林函数的多极展开。这方法的基本点子是分解所有粒子为几个小群，每一个小群内的粒子正常地互相作用（即通过全部势能），而小群与小群之间的互相作用则是由其多极矩计算求得。快速多极矩法的效率通常与伊沃德求和法（Ewald summation）等同，但是假若系统的粒子具有高度群聚性，即高密度涨落，则快速多极矩法比较优等。