除子

除子是代数几何中的一个重要概念。在黎曼面上，它可以简单的定义为上的点的(整系数)形式和，。一般地，对于代数闭域上的非奇异代数簇，它可以定义为余维为一的子簇的(整系数)形式和，也可以定义为层的一个整体截面。在满足一定条件的（可以是奇异的）代数簇上，这两种定义分别推广成Weil除子和Cartier除子。

黎曼面上的除子

在黎曼面上，它可以简单的定义为上的点的(整系数)形式和，，其中是上的点。型如的除子被称为素除子。一般的除子都是素除子的线性组合。上的全部除子构成一个交换群，记作。
对于上的非零亚纯函数，我们可以定义的除子
，
其中是在点零点的阶（非零点的阶为零，极点的阶按负值计）。型如的除子叫做主除子。主除子构成的子群记作。除子类群定义作。对于紧黎曼面，这是一个有限生成的交换群，它是紧黎曼面的一个重要不变量。
从层论的观点看，除子是一个局部的概念，对于上任意的除子，和的开集，可以定义在上的限制。函子是上的层。
给定上任何一个除子，局部上都可以被写作一个函数对应的主除子。精确地说，一定存在的一组开覆盖{}以及每个上的函数，使得。一般说来，在和的交集上，和的限制未必相等，但易见在上，存在一个处处非零的全纯函数，使得。另外，的选取不是唯一的，因为我们总可以用一个处处非零的全纯函数来修正它。反过来，任意一组这样的数据，都给出了上的一个除子。
以上论证表明，黎曼面上的任意一个除子，都唯一地对应于层的一个整体截面。这是Cartier对于除子的观点。
从Cartier的观点出发，不难构造除子所对应的可逆层：取的一组开覆盖{}，以及每个上的函数，使得。取上的平凡层，在交集上，如前所述是上的一个可逆函数，从而它定义了上平凡层的一个自同构。把这一同构视作粘合映射，不难验证这一族粘合映射满足cocycle条件，从而他们给出了上的一个可逆层。
反过来，对于黎曼面，每个可逆层都来自于一个除子。事实上，若是可逆层，令为任意一个亚纯截面的除子，则。
易见主除子对应的可逆层同构于平凡层。两个除子之和对应的可逆层是原来两个除子对应之可逆层的张量积。若两个除子之差为一主除子，则他们定义的线丛是同构的。
从线丛的观点看，若两个除子之差为一主除子，我们可以把它们视作等价。上面定义的映射给出了它与的一个同构。这里是可逆层的同构类在张量积下构成的交换群。
任意一个除子，我们可以定义的次数。根据定义，这一定是一个有限和。对于紧黎曼面，主除子的次数总为零。由此可见，除子的次数只依赖于它在Picard群中的像。

Weil除子

若 X 是一不可约（irreducible），既约（reduced）的局部诺特概形（locally noetherian scheme）。其上一素韦伊除子（prime Weil divisor）是指一个余维数为一的不可约且既约的子概形。X 上的一个韦伊除子是素韦伊除子的有限形式和。

Cartier除子

假设 X 为一不可约且既约的诺特概形。则 X 上的非零有理函数的芽关于乘法构成了一个阿贝尔群层，记为。 它是一个常数层，且包含所有非零正则函数的芽层 为子层。按定义，X 上的一个卡蒂亚除子（Cartier divisor）为商层 的一个整体截面。