希尔伯特-波利亚猜想

希尔伯特－波利亚猜想（英语：Hilbert–Pólya conjecture）是一个将谱论与黎曼猜想相联系的数学猜想。

1950年代与塞尔伯格迹公式

当波利亚与兰道讨论这一问题时，还没有什么证据能够支持这一猜想。而到1950年代初，阿特勒·塞尔伯格证明了黎曼曲面长度谱与其拉普拉斯算符特征值的对偶，被称为塞尔伯格迹公式。这一公式与明确公式（explicit formula）之间明显的相似性增加了希尔伯特和波利亚猜想的可信度。

1970年代与随机矩阵

1970年代初，蒙哥马利发现了临界线上非平凡零点统计分布的规律，被称为蒙哥马利对关联假设（Montgomery's pair correlation conjecture）。他发现非平凡零点之间并不靠近，而是有互相排斥的趋势。1972年，在他访问普林斯顿高等研究院时，他将其成果告诉了随机矩阵专家弗里曼·戴森。
戴森发现蒙哥马利得到的统计分布规律与随机厄米矩阵的对关联分布一致。这种分布在物理中很重要，哈密顿算符特征态（如原子核的能级）满足此统计规律。之后的工作证实了黎曼ζ函数非平凡零点分布与高斯幺正系综（Gaussian unitary ensemble）的随机厄米矩阵特征值之间的关联性，它们都服从同样的统计规律。自此，希尔伯特与波利亚的猜想就有了更为坚实的基础，尽管尚未由此证明黎曼猜想。

现今

作为此方法的发展，阿兰·科纳提出了一个与广义黎曼猜想等价的迹公式。该公式与塞尔伯格迹公式之间有着相似性。