微分流形

光滑流形（英语：smooth manifold），或称 C∞-微分流形（differential manifold）、C∞-可微流形（differentiable manifold），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是 C∞ 类的微分流形。可微流形在物理学中非常重要。特殊种类的可微流形构成了经典力学、广义相对论和杨-米尔斯理论等物理理论的基础。可以为可微流形开发微积分。可微流形上的微积分研究被称为微分几何。

结构层

有时使用替代方法来赋予具有Cᵏ结构的流形是有用的。这里k = 1, 2, ..., ∞, 或ω为实分析流形（real analytic manifolds）。不考虑坐标图，可以从流形本身定义的功能开始。M 的结构层（structure sheaf），表示为Cᵏ，是一种函数，它为每个开放集U ⊂ M定义连续函数U →  R的代数Cᵏ(U)。

切线丛

点的切空间由该点处的可能的方向导数构成，并且具有与流形相同的维数n。对于一组（非奇异）坐标xₖ在本地点，坐标导数（coordinate derivatives）确定切线空间的完整基础。

余切丛

向量空间的对偶空间（dual space）是矢量空间上的实值线性函数集合。余切空间处的一点是该点的切线空间的对偶位置，而余切丛（cotangent bundle）是所有余切空间的集合。

黎曼流形

黎曼流形是一个可微分的流形，切空间以微分的方式产生内积。内积结构可以称为黎曼度量（metric）。该度量可以用于互变向量和辅助向量，并定义rank 4黎曼曲率张量。黎曼流形有长度、体积和角度的概念。任何可微流形都可以被称为黎曼结构。

扭对称流形

一个共同的流形是具有封闭性的，非退化的symmetric 2-tensor形式的流形。这种情况迫使相似的流形是均匀的。在汉密尔顿力学中作为相位空间出现的反切丛（Cotangent bundles）是激励的例子，但是许多紧凑型流形也具有扭对称（symplectic）结构。