伯恩施坦問題

历史

Bernstein (1915–1917)证明了伯恩施坦定理：一个在R²上的实函数的图象如果是R³中极小曲面，这曲面必定是平面。
Fleming (1962)给出了伯恩施坦定理的新证明，用了R³中没有非平面的面积最小化锥的结果推断出定理。
De Giorgi (1965)证明了如果Rⁿ⁻¹中没有非平面的面积最小化锥，那么伯恩施坦定理的类似结果在Rⁿ成立，特别是这结果可以推出定理在R⁴中成立。
Almgren (1966)证明了R⁴中没有非平面的面积最小化锥，将伯恩施坦定理推广到R⁵。
Simons (1968)证明了R⁷中没有非平面的面积最小化锥, 将伯恩施坦定理推广到R⁸。他也给出了R⁸中的局部稳定锥的一些例子，并问这些例子是否整体面积最小化。
Bombieri， De Giorgi & Giusti (1969)证明了詹姆斯·西蒙斯的锥确实是整体最小化的，并证明了Rⁿ对于n≥9时，有图象是极小曲面但不是超平面。连同西蒙斯的结果，这显示了伯恩施坦定理的类似结果，在维数上到8时是对的，在更高维数是错的。