拉回 (微分几何)

在微分几何中，拉回是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说，假设 φ:M→ N 是从光滑流形M 到 N 的光滑映射；那么伴随有一个从N 上 1- 形式（余切丛的截面）到 M 上 1-形式的线性映射，这个映射称为由φ 拉回，经常记作φ*。更一般地，任何 N 上共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由φ 拉回到M 上。
当映射φ 是微分同胚，那么拉回与前推一起，可以将任何N 上的张量场变换到M，或者相反。特别地，如果 φ是 Rⁿ 的开集与Rⁿ 之间的微分同胚，视为坐标变换（也许在流形M 上不同的坐标卡上），那么拉回和前推描述了共变与反变张量用更传统方式（用基）表述的变换性质。
拉回概念背后的本质很简单，是一个函数和另外一个函数的前复合。但是将这种想法运用到许多不同的情形，可以构造许多复杂的拉回。本文从简单的操作开始，然后利用它们构造更复杂的。粗略地讲，拉回手法（利用前复合）将微分几何中多种不同的结构变成反变函子。

光滑函数与光滑映射

设 φ:M→ N 是光滑流形M 与 N 之间的光滑映射，假设 f:N→R 是 N 上一个光滑函数。则 f 通过 φ 的拉回是M 上的光滑函数φ*f，定义为(φ*f)(x) = f(φ(x))。类似地，如果 f 是 N 中开集 U 上的光滑函数，则相同的公式定义了M 中开集φ⁻¹(U) 上一个光滑函数。用层的语言说，拉回定义了N 上光滑函数层到 φ 的直接像（在 M 上光滑函数层中）的一个态射。
更一般地，如果 f:N→A 是从N 到任意其他流形A 的的光滑映射，则φ*f(x)=f(φ(x)) 是从M 到 A 的一个光滑映射。

丛与截面

如果 E 是 N 上一个向量丛（或任意纤维丛），φ:M→N 是光滑映射，那么拉回丛 φ*E 是 M 上一个向量丛（或更一般地纤维丛），其 M 中的点x 处的纤维由 (φ*E)ₓ = Eφ₍ₓ₎ 给出。
在此情形，前复合定义了E 上截面的一个变换：如果 s 是 N 上 E 的一个截面，那么拉回截面  是 M 上拉回丛φ*E 的一个截面。

由自同构拉回

上一节的构造有一个代表性特例，若 φ 是流形M 到自己的微分同胚。在这种情况下，导数 dφ 是 GL(TM,φ*TM) 的一个截面。这样便在通过一个一般线性群 GL(m) (m = dim M) 相配于M 的标架丛GL(M) 的任何丛的截面上导出了拉回作用。

拉回与李导数

将上述想法应用到由向量场M 定义的微分同胚单参数群，对参数求导，得到了任意丛上的李导数概念。