分圆域

在数论中，分圆域是在有理数域  中添加复数单位根进行扩张而得到的数域。将  次单位根 加入而得到的分圆域称为 次分圆域，记作 。
由于与费马最后定理的联系，分圆域在现代代数和数论的研究中扮演着重要的角色。正是因为库默尔对这些数域上（特别是当p为素数时）的算术的深入研究，特别是在相应整环上唯一分解定理的失效，使得库默尔引入了理想数的概念，并证明了著名的库默尔同余。

与正多边形的联系

高斯最早在研究尺规作正多边形问题时涉及到了分圆域的理论。这个几何问题实际上可以被转化为伽罗瓦理论下的叙述：对什么样的n，n次分圆域可以通过若干次的二次扩张得到？高斯发现正十七边形是可以用尺规作出的。更一般地说，对于一个素数p，正p边形可以用尺规作出当且仅当p 为费马素数。

与费马最后定理的联系

研究费马最后定理时，一个很自然的思路是将 分解为 的形式，其中的n 是一个奇素数。这样得到的一次因式都是n 次分圆域中的代数整数。如果在n 次分圆域中算术基本定理成立，代数整数的素数分解是唯一的，那么可以通过它来确定方程是否有非平凡解。
然而，对于一般的n，这个结论是错误的。但是，库默尔找到了一个绕过这个困难的办法。他引进了“理想数”的概念，作为对素数概念的改良。他将代数整数的素数分解不唯一的概念量化为类数：hₚ，并证明了如果hₚ 不能被p 整除（这样的p 被称为正规素数），那么费马的猜想对于n = p 是成立的。此外，他给出了库默尔准则来判断素数是否是正规的。运用这个准则，库默尔检验了100以下的素数，除了三个“不正规”的：37、59和67。
二十世纪后，库默尔关于分圆域的类数的同余理论被日本数学家岩泽健吉推广为岩泽理论。