歐拉旋轉定理

在运动学里，欧拉旋转定理（英语：Euler's rotation theorem）表明，在三维空间里，假设一个刚体在做一个位移的时候，刚体内部至少有一点固定不动，则此位移等价于一个绕着包含那固定点的固定轴的旋转。这定理是以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉命名。于1775年，欧拉使用简单的几何论述证明了这定理。
用数学术语，在三维空间内，任何共原点的两个坐标系之间的关系，是一个绕着包含原点的固定轴的旋转。这也意味着，两个旋转矩阵的乘积还是旋转矩阵。一个不是单位矩阵的旋转矩阵必有一个实值的本征值，而这本征值是1 。 对应于这本征值的本征矢量就是旋转所环绕的固定轴。

四元数

根据欧拉旋转定理，任何两个坐标系的相对定向，可以由一组四个数字来设定；其中三个数字是方向余弦，用来设定特征矢量（固定轴）；第四个数字是绕着固定轴旋转的角值。这样四个数字的一组称为四元数。
如上所描述的四元数，并不介入复数。如果四元数被用来描述二个连续的旋转，则必须使用由威廉·哈密顿提出的非交换四元数代数以复数来计算。
在航空学应用方面，通过四元数方法来计算旋转，已经替代了方向余弦方法，这是因为它能减少所需的工作，和它能减小舍入误差。在计算机图形学里，四元数与四元数之间，简易执行插值的能力是很有价值的。