作用量-角度坐标

在经典力学里，作用量-角度坐标（action-angle coordinate）是一组正则坐标，通常在解析可积分系统 (Integrable system) 时，有很大的用处。应用作用量-角度坐标的方法，不需要先解析运动方程，就能够求得振动或旋转的频率。作用量-角度坐标主要用于完全可分的 哈密顿-亚可比方程（哈密顿量显性地不含时间，也就是说，能量保持恒定）。作用量-角度变数可以用来定义一个环面不变量。因为，保持作用量的不变设定了环的曲面，而角度是环面的另外一个坐标，粒子依照着角度，卷绕于环面。
在量子力学早期，波动力学发展成功之前，玻尔-索末菲量子化条件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力学的利器。此条件阐明，作用量必须是普朗克常数常数的整数倍。爱因斯坦对于 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 与 非可积分系统 量子化的困难，都是以 作用量-角度坐标的环面不变量 来表达。
在哈密顿力学里，作用量-角度坐标也可以应用于摄动理论，特别是在决定缓渐不变量。关于一个自由度很小的动力系统的非线形摄动，混沌理论研究的最早的一个结果是KAM theorem 。这定理阐明，对于微小摄动，环面不变量是稳定的。
作用量-角度坐标，对于户田晶格 (Toda field theory) 的解析，对于 Lax pairs 的定义，更广义地，对于一个系统同光谱 (isospectral) 演化的构想，都占有关键地位。

简并度

在有些案例，两个不同的广义坐标会有相同的频率；也就是说， for  。称这些案例的运动状态为简并。
简并的运动给出暗示，很可能有更多的保守量。例如，开普勒问题的频率是简并的，这对应于拉普拉斯-龙格-楞次矢量的恒定性。
简并的运动还给出暗示，在多于一种坐标系统里，哈密顿-亚可比方程会是完全可分的。例如，开普勒问题在球坐标系与抛物线坐标系，都是完全可分的。