平均数不等式

平均数不等式，或称平均值不等式、均值不等式，是数学上的一组不等式，也是基本不等式的推广。它是说：
如果是正数，则
其中：
当且仅当  ，等号成立。
即对这些正数：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数（方均根）
简记为：“调几算方”

证明方法

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法证明n维形式的均值不等式的方法：
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0，B≥0，则，且仅当B=0时取等号。
引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，可以用数学归纳法证明。
原题等价于：, 当且仅当时取等号。
当n=2时易证；
假设当n=k时命题成立，即, 当且仅当时取等号。
那么当n=k+1时，不妨设是、中最大者，则
设，
，根据引理
,当且仅当且时，即时取等号。
此外，人教版高中数学教科书《选修4-5 不等式选讲》也介绍了一个运用数学归纳法的证明方法。
先运用数学归纳法证明一个引理：若（是正整数）个正数的乘积，则它们的和，当且仅当时等号成立。
此引理证明如下：
当时命题为：若，则，当且仅当时等号成立。命题显然成立。
假设当时命题成立，则现在证明当时命题也成立。
若这个数全部是1，即，则命题显然成立。
若这个数不全是1，则易证明必存在使。不妨设。由归纳假设，因为，所以，记此式为①式。由，知，则，整理得，记此式为②式。①+②得，整理得（此时等号不成立），命题成立。
综上，由数学归纳法，引理成立。
现在为了证明平均值不等式，考虑个正数，它们的积为1，由引理，它们的和，当且仅当即时等号成立。
整理即得：，当且仅当时等号成立。于是得证。
利用，易证。考虑个正数，有，当且仅当即时等号成立。两边取倒数整理得，当且仅当时等号成立，即。
等价于。事实上，等于的方差，通过这个转化可以证出，证明如下。
，
当且仅当时等号成立。
利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等方法。