黎曼ζ函數

阿达马与普森

1896年，雅克·阿达马与普森几乎同时地证明了的所有非平凡零点的实部均小于1，即上无非平凡零点，从而完成了素数定理的证明。

希尔伯特

1900年，希尔伯特在巴黎的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了23道最重要的数学问题，黎曼假设在其中作为第8题出现。
之后，希尔伯特提出了希尔伯特－波利亚猜想，具体时间及场合未知。

玻尔与兰道

1914年，哈那德·玻尔和爱德蒙·兰道证明了玻尔-兰道定理：含有临界线的任意带状区域都几乎包含了ζ的所有非平凡零点，表明了临界线为零点汇聚的“中心位置”。

哈代与李特尔伍德

1921年，哈代和李特尔伍德证明了存在常数T，使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为。

塞尔伯格

1942年，阿特勒·塞尔伯格更进一步，证明了存在常数T，使临界线上虚部位于0与T之间的非平凡零点的数量至少为，这意味着ζ函数在临界线上的非平凡零点在所有零点中占有一个正密度，而临界线对于临界带的测度为0。

零点

解析延拓之后的ζ函数具有零点，他们分别是分布有序的平凡零点（所有负偶数），以及临界带内的非平凡零点。
以表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量，则遵循黎曼- 冯·曼戈尔特公式：。