皮尔逊积矩相关系数

解释

皮尔逊相关系数的变化范围为-1到1。 系数的值为1意味着X 和 Y可以很好的由直线方程来描述，所有的数据点都很好的落在一条直线上，且 Y 随着X 的增加而增加。系数的值为−1意味着所有的数据点都落在直线上，且 Y 随着X 的增加而减少。系数的值为0意味着两个变量之间没有线性关系。
更一般的, 我们发现，当且仅当Xᵢ and Yᵢ 均落在他们各自的均值的同一侧， 则(Xᵢ − X)(Yᵢ − Y) 的值为正。    也就是说，如果Xᵢ 和 Yᵢ 同时趋向于大于, 或同时趋向于小于他们各自的均值，则相关系数为正。  如果 Xᵢ 和 Yᵢ 趋向于落在他们均值的相反一侧，则相关系数为负。

自助抽样法

自助抽样法可以被用来构造皮尔逊系数的置信区间。在"非参数"的自助抽样法中，“可重复”地从观测数据集n中重新采样n 对的(xᵢ, yᵢ) 数据，用来计算相关系数r。这个过程重复了大量次数,。重新采样后数据的r值的分布被用来估计统计学上的样本分布。ρ的95%的置信区间可以被定义成重新采样样本r值的%2.5到%97.5之间。

存在性

总体皮尔逊相关系数被定义成矩, 因此任意的双变量概率分布是非零的， 也就是说总体 协方差  和 边缘 总体方差 是由定义的。  一些概率分布， 诸如 柯西分布 有未定义的方差，因此X or Y 如果服从这种分布，ρ便是未定义的。  在实际应用中, 如果有数据被怀疑服从重尾分布, 这个条件就需要引起重视。  然而, 相关系数的存在性通常并需要太介意; 例如, 如果分布是有界的, ρ 便总是有意义的。

大样本的特性

在双变量正态分布的案例中， 只要边缘均值和方差是已知的，总体相关系数描述的是便是联合分布。  在其他的双变量分布中，这个结论并不正确。  总之, 不论两个随机变量的联合分布是不是正态的，相关系数在研究的它们之间的线性依赖性都是有帮助的。
样本相关系数是对两个正态分布变量总体相关系数的最大似然估计 并且是渐进 无偏的 和有效的, 这也就是说如果数据是正态的并且样本容量是中等的或大量的，就不可能构造出一个比样本相关系数更准确的估计。对于非正态的数据, 样本相关系数大致上是无偏的，但有可能是无效的。  只要样本均值、方差和协方差是一致的（当大数定理可以应用的情况下），样本相关系数是总体相关系数的一致估计 。

稳健性

与其他常用的统计指标相似的, 样本指标r 不是 稳健的 。因此如果由异常值，这个指标是有误导性的。 特别的, PMCC 既不是稳健分布的, 也不是异常值稳健的 (see Robust statistics#Definition)。 对X 和 Y的散点图的观察可以很明显的揭示出缺乏稳健性的情况,在这种情况下，采用的联合的方法是比较明智的。   注意到，虽然大多数稳健的估计器从某种程度上说都是有统计依赖的, 它们总的来说，在总体相关系数的尺度上都是可辨的。
基于皮尔逊相关系数的统计推断对数据分布式敏感的。 如果数据大致是正态分布的，可以使用精确检验和基于Fisher变换的渐进检验，但是它们可能由误导性。  在一些情况下,  自助采样 可以用来构造置信区间。 同时， 重复抽样 可以应用在假设检验中。  这些非参数化 的方法在某些情况下，如双变量正态分布不能保证时，可能得出更有意义的结论。   然而，这些方法的标准形式依赖于数据的可交换性。这也就意味着被分析的数据时没有顺序的和组别的。因为这有可能会影响估计相关系数的特性。
分层分析是一种容许缺少双变量正态性的方法，或者说是用来隔离相互关联因素的关联结果。 如果 W 代表聚类成员或者其它需要被控制的因素，我们可以分离基于W的数据, 然后我们可以再每个层里计算相关系数。  当我们控制变量W，我们便能在层的等级上估计与所有相关系数相关的各自的相关系数。

强噪声条件下

强噪声条件下，提取相关系数两个随机变量之间的是平凡的，特别是在典型相关分析报告在退化的相关值的情况下，由于存在大量噪声。一种概括的方法在其他地方给出。