HNN擴張

数学上，HNN扩张（英语：HNN extension）是组合群论中的一个基本构造法。HNN扩张是三名数学家Graham Higman、Bernhard Neumann、Hanna Neumann在1949年的论文Embedding Theorems for Groups提出。给定一个群中两个同构子群及其间的群同构，这个构造法将这个群嵌入到另一个群中，令到所给定的群同构在新的群中成为共轭。

基本性质

由于群G∗α包念了G的所有生成元和关系元，所以将G的生成元等同于G∗α的生成元，便诱导出从G到G∗α的一个自然的群同态。Higman、Neumann、Neumann证明了这个群同态是群同构，因而是G到G∗α中的嵌入。从上可得出一个结论是一个群中两个同构的子群，必定在某个母群中是共轭子群。这个构造法的原来目的是要证明这个结论。

应用

HNN扩张是Higman证明Higman嵌入定理的主要工具。这定理说任何有限生成递归展示群可嵌入到一个有限展示群中。Novikov-Boone定理指存在一个有限展示群，有算法不可判定（英语：algorithmically undecidable）的字问题，这定理的现代证明大多数都倚赖于HNN扩张。
HNN扩张和带共合的自由积两者都是讨论在树上作用的群的Bass–Serre理论的基本组件。

推广

HNN扩张是群的图的基本群的初等例子。