三複合正八面體

性质

三复合正八面体是一种复合多面体，由3个正八面体组成，共具有24个面、36条边和18个顶点，正好是正八面体的三倍。

作法

三复合正八面体可透过取三个全等的八面体，先使其重合，并以其中一个正八面体为准，并围绕着过基准正八面体之两相对顶点的对称轴旋转π/4（45度角），符合上述条件的对称轴共有三个，三个正八面体每个分别对着三轴的其中一轴旋转，即可构成三复合正八面体。此外，三复合正八面体也可以对三复合立方体取对偶多面体来构造。

对称性

三复合正八面体的对称性与单一一个正八面体相同，皆为八面体群对称性。其可以视为一个等边三角面多面体，这意味着其面为正三角形，具有面可递的性质，这意味着，这立体上的任意两个面A和B，透过旋转或镜射这个立体，使A移动到B原来的位置时，其面仍然占据了相同的空间区域。目前已知的等边三角面多面体有一个已知的无穷序列，但已知有36种等边三角面多面体不属于这个序列，而三复合正八面体正是这36个例外之一。虽三复合正八面体有面可递的性质，但由于其不具有点可递的性质因此不属于均匀多面体复合体。
在三复合正八面体中，由三个正八面体共同相交出来的区域是一个四角化六面体，其具有24个面，并可以视为在立方体的每个面上叠上四角锥的结果。而四角化六面体的面皆可以与三复合正八面体的其中一个面共面，因此三复合正八面体也可以视为是一种星形四角化六面体，即四角化六面体的星形化体。另外有一种形式的四角化六面体也为等边三角面多面体，其同样是在立方体的每个面上叠上四角锥的结果，但加入的四角锥之锥高比卡塔兰立体的四角化六面体更高，使得四角锥的侧面变成正三角形（等边三角形），并形成凹多面体，其正三角形面也与三复合正八面体的面位于相同的平面上；这是另外一个已知也与三复合正八面体的面位于相同的平面上的等边三角面多面体。第三种已知也与三复合正八面体的面位于相同的平面上的几何结构是六复合正四面体，其为三复合正八面体的三个正八面体星形化成星形八面体的结果。第四种已知也与三复合正八面体的面位于相同的平面上的几何结构同样是三复合正八面体的星形化体，其排列方式与四角化六面体相同，但其加入的是倒锥体，即将立方体的面替换成向内凹陷的四角锥侧面。

历史

在皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡的15世纪手稿《Libellus De Quinque Corporibus Regularibus》中，德拉·弗朗西斯卡描绘了围绕着立方体内接的正八面体图形，其立方体的其中八条边分别位于正八面体的八个面上。若将三个正八面体以上述方式内接入立方体中则可以形成三复合正八面体，不过德拉·弗朗西斯卡并未描绘这种几何结构。
第二次在数学文献中出现三复合正八面体是马克斯·布吕克纳于1900年的研究中，其在文献中提及了三复合正八面体并包括它的模型的照片。
荷兰艺术家莫里兹·柯尼利斯·艾雪，在他1948年的木刻作品《群星》中使用三复合正八面体作为木刻的主要元素，其描绘了一个漂浮在太空中的三复合正八面体形状的笼子，且这个形状的笼子里有两只变色龙。然而艾雪从未阅读过马克斯·布吕克纳的研究，因此被哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特注意到，并说道：“值得注意的是，艾雪在没有任何代数或解析几何知识的情况下，能够重新发现这种高度对称的几何结构。”，因此可以视为艾雪在布吕克纳的研究发表后又独立发现了三复合正八面体。在1948年早些时候，艾雪做了一个类似主题的木刻初稿《研究星体》，不过在这个初稿中没有使用三复合正八面体，而是使用了星形四角化菱形十二面体，其虽然不是三复合正八面体，但这一种形状一定程度上与三复合正八面体相关——它可以视为三个较扁的正八面体之复合体，而这个立体有时会被称为艾雪立体。这个立体拓朴结构与四角化菱形十二面体相同，皆可以视为将菱形十二面体的每个菱形面替换成菱形锥（底面为菱形的四角锥）的结果。三复合正八面体的对偶多面体是三复合立方体，其也出现于艾雪的木刻作品中，位于木刻作品《瀑布》中，星形四角化菱形十二面体旁边的立体。