奇异值分解

几何意义

因为U和V都是酉的，我们知道U的列向量u₁,...,uₘ组成了Kᵐ空间的一组标准正交基。同样，V的列向量v₁,...,vₙ也组成了Kⁿ空间的一组标准正交基（根据向量空间的标准点积法则）。
矩阵代表从到的一个线性映射：。通过这些标准正交基，这个变换可以用很简单的方式进行描述：，其中是中的第i个对角元。当时，。
这样，SVD分解的几何意义就可以做如下的归纳：对于每一个线性映射，的奇异值分解在原空间与像空间中分别找到一组标准正交基，使得把的第个基向量映射为的第个基向量的非负倍数，并将中余下的基向量映射为零向量。换句话说，线性变换在这两组选定的基上的矩阵表示为所有对角元均为非负数的对角矩阵。

列空间、零空间和秩

奇异值分解的另一个应用是给出矩阵的列空间、零空间和秩的表示。对角矩阵的非零对角元素的个数对应于矩阵的秩。与零奇异值对应的右奇异向量生成矩阵的零空间，与非零奇异值对应的左奇异向量则生成矩阵的列空间。在线性代数数值计算中奇异值分解一般用于确定矩阵的有效秩，这是因为，由于舍入误差，秩亏矩阵的零奇异值可能会表现为很接近零的非零值。

矩阵近似值

奇异值分解在统计中的主要应用为主成分分析（PCA）。数据集的特征值（在SVD中用奇异值表征）按照重要性排列，降维的过程就是舍弃不重要的特征向量的过程，而剩下的特征向量张成空间为降维后的空间。