四维空间

在物理学和数学中，可将 个数的序列理解为一个 维空间中的位置。当时，所有这样的位置的集合就叫做四维空间。四维空间和人居住的三维空间不同，因为多了一个维度。

日常误用

一般人说到“四维空间”时，经常是误指爱因斯坦在他的广义相对论和狭义相对论中提及的四维时空（叫做闵可夫斯基时空）概念。
这种普遍性的误用，是由于相对论的相关科普和文艺作品的流行。
关于这一点，考克斯特曾写道：
把时间作为第四维数带来的好处，即使有也微不足道。实际上，H. G. 威尔斯在《时间机器》中发展的这种十分吸引人的观点导致了J. W. 杜恩（《时间实验》）等作者对相对论有非常错误的理解。闵可夫斯基的时空几何是不符合欧几里得体系的，所以也就与当前的研究没有关系。- H. S. M. 考克斯特, Regular Polytopes

向量操作

通过改变一个四维向量的长度而不改变它的方向，我们可以对一个向量进行伸缩。这可以被想象成沿着原向量的方向伸长或缩短一段长度。一个长度为负数的向量与和它方向相反、长度相等的正数的向量互为相反向量。这可以想象成面沿着原向量的方向倒着走。
如果沿着两个首尾相接的向量运动，那么描述这种运动的直接结果的向量就叫做这两个向量的向量和。例如，如果一个人从点A开始沿某一向量运动到点B，又从点B开始沿另一个向量运动到点C，那么这两个向量的和向量就是从点A径直到点C的向量。

向量组合

给定一组四维向量，我们可以对它们进行任意的伸缩和求和操作来得到新的四维向量。以这种方式得到的所有的四维向量的集合就叫做这一组向量的组合。这种组合可以认为是一个点通过沿着一组向量中的某些向量移动所能达到的所有位置的集合。
给定几何图形X和向量集合S，如果从几何图形X内的一个点出发，沿着向量集合S的线性组合中的向量运动，能够到达X内所有其它的点，那么我们就说这个向量集合S可以张出几何图形X。

向量基底

能够张出一个几何图形X的最小向量集合叫做X的一组基底。不是所有的向量集合都是基底，因为它们可能含有赘余的向量。如果一个向量能通过集合中其他向量经过伸缩、求和而得到，那么这个向量就是赘余的。例如，如果一个集合中有两个平行的向量，那么它们中的一个可以被移除而X 中的所有点仍然可以达到，因为能通过那个被移除的向量达到的点一定可以通过那个与它平行的向量达到。或者，如果一个向量是其他两个的和，那么它也完全可以被移除。零向量总是赘余的，因为它并不能让一个人达到任意一个除他已经能够达到的点之外的点。

维数

通过把任意一个可以张出几何图形X的向量集合中的所有赘余向量移除，我们可以过的一组X的基底。选定的初始向量集合不同，获得的能张出X 的基底也可能不同；但是，可以证明所有这些基底中都含有相同数量的向量。这个数量就叫做X的维数。换句话说，如果 X 最少需要n个向量来张出它，那么X就是n维的。
直观地，一个图形的维数可以认为是一个人要想达到这个图形中所有的点，需要运动的所有不同方向的数目。
例如，一个点是一个零维图形。我们不需要任何向量来张出它，因为如果我们从这个点出发，我们已经到达了它所有的位置。
一条直线是一个一维图形。从直线的某一个点上出发，我们需要一个指向这个直线的方向的向量来到达到直线上的其他点。只要一个向量就足够了，因为通过不同程度的伸缩它我们可以到达直线上的任意其他点。
一个平面是一个二维图形。给定平面上的一个起始点，我们至少需要两个互不平行的向量来张出这个平面。如果只有一个向量，我们只能到达某一条直线上的所有点；所以我们需要有另一个与它不平行的向量来往这条直线的“两边”走，从而到达平面上的其他点。只要两个方向就足够了，因为我们可以顺着（或逆着）前一个向量走不同的距离，再往两边走不同的距离来到达平面上的任意点。也可以把平面理解成许多平行线的“堆积”；要想在二维平面上从一点运动到另一点，我们需要首先沿着线平行线运动，再穿过这些平行线向另一个方向运动。
在我们的眼中，空间是三维的。要达到空间中的某一点，我们不仅要向前向后、向两边走，还需要上下移动。换句话说，需要第三个向量才能到达空间中的所有点。同样，也可以把空间理解成许多平行平面的堆积：要想在空间中从一点运动到另一点，我们可以先沿着一个方向前后走，再向两边走，最后上下走。
四维空间则是一个需要四个不同方向才能到达其中所有点的空间。这种空间可以认为是许多平行的三维空间的堆积。要理解这个概念，想象一下把一张张纸并列叠起来的过程。如果人不把它们一个个堆叠起来，这些纸张不会延伸进三维空间。以同样的方式，要想进入四维空间，就必须向一个新的方向运动，这个方向必须是在三维空间以外的。要达到四维空间中的每一个点，一个人不仅需要向前后、左右、上下移动，还要沿着一对新的方向运动，即上文提到的安娜/卡塔，或者叫维因/维奥等等。

维数类比

要理解四维空间的本性，我们可以通过与低维度类比进行推广。维数类比是指通过研究n - 1维与n维之间的关系，来推断n维与n + 1维之间会有什么样的关系。
埃德温·阿伯特·阿伯特在他的书平面国中运用维数类比，讲述了在一个扁平得就像一张纸的二维世界中生活的一个正方形的故事。在这个正方形的眼中，生活在三维世界中的人们拥有近乎神的力量，因为他们能在不打破（二维的）保险箱的情况下从其中把东西（通过移入移出三维空间的方法）取出，能看到所有在二维世界看来是被挡在墙后面的东西，甚至能站在离二维世界几英寸的地方来保持“隐形”。
通过应用维数类比，人们可以推断，四维空间中的人在我们三维的视角看来应该有类似的神奇能力。鲁迪·拉克在他的小说《空间世界》（Spaceland）中展示了这一点。小说的主人公就遇到了具有神奇能力的四维人。

阴影

一个与射影有密切关系的方法是把四维几何体的阴影在三维空间中显示出来。
假设有一束光射向一个三维物体，则其阴影会在二维平面上显示出来。如此类推，光射向二维物体会产生一维阴影，射向一维物体会产生零维阴影，也就是无光的一点；另一方面，光射向四维物体会产生三维阴影。
如果一个立方体的线框置于光源下，其阴影为一正方形位于另一正方形以内，并且相对的点相连。同样，如果四维正方体置于光源下，其阴影便会是一三维正方体位于另一正方体之内，并且相对的点相连。（注意，此处显示的图片乃四维正方体的三维阴影在二维平面上的投影。）

边界

维度类比法也可帮我们推论出高维度物体的基本属性。例如，二维物体有一维的边界，正方形的边界为一维的线；三维物体有二维的边界（表面），正方体的表面为二维的平面。我们可以推论，四维物体便有三维的“边界”，就是超正方体的外围是三维的正方体。以上属性对如何表达四维物体的三维投影很有帮助。

视觉观测

作为三维空间中的生物，我们的眼睛只能看到这个世界的二维投影。生活在四维空间的生物便能看到它们的世界的三维投影。例如，它们可以同时看到一个正方体的所有六面，还能同时看到正方体中的物体；其实我们也可以同时看到二维平面上的正方形的全部四条边及其中的物体。四维生物能同一时间看到三维空间中的所有点、物体和物体的内部，这些是我们在三维空间中看不到的。

限制

类比法是理解高维度空间的一项很好的方法，但我们若不经过更进一步的计算仍不可以妄下结论。以下是圆形周长公式：

及球体表面积公式：
。
正确公式为。

几何

四维几何比三维几何丰富得多，因为其额外的维度提供了更多的自由空间。
三维空间中，我们可以从多边形做出多面体；同样地，在四维空间中我们可以从多面体做出多胞体（四维多胞形）。三维空间中存在5种正多面体，以柏拉图立体称之；而四维空间中存在6种正多胞体，均从柏拉图立体类比而成。三维空间中存在13种半正多面体（阿基米德立体），而在四维空间中存在58种半正多胞体。
在三维空间，我们可以把圆形向第三维度拉伸形成圆柱体。而在四维空间，我们可以向第四维度拉伸球体形成球柱体（球体为“盖”的柱体），或拉伸圆柱体形成圆柱棱体。我们还可以取两个球体的笛卡尔积得到一个双圆柱体。以上三种均可在四维中“滚动”，但各有不同的属性。
三维中，曲线可以形成结，但曲面并不可以（除非互相交叉穿越）。但在四维中，以曲面形成的结可以经过延伸到第四维度而解开。由于自由度更大，四维中的曲面结比三维中的线结要复杂的多。克莱因瓶便是其中一个例子。另一例子为实射影平面。