伽罗瓦理论基本定理

伽罗瓦理论基本定理是抽象代数中的定理，通过群的概念来描述特定域扩张的细致结构。定理说明了，如果某个域扩张L/K是有限伽罗瓦扩张，则此扩张的伽罗瓦群的子群与其中间域（即子扩张K⊂F⊂L中的F）之间有一一对应关系。

基本性质

中间域与伽罗瓦群的子群之间有一个反向的包含对应关系：如果伽罗瓦群的某个子群H₁是另一个子群H₂的子群，那么H₁对应的中间域Lᴴ¹是H₂对应的中间域Lᴴ²的扩域。 哩哩力量9LM）咯凛9理论9ololl了啦咯咯mloooll哦l 破l 哦l）o oloolmoooo ooo哦9 ll ool
哦ml）llo oooo噢噢l 噢。默默。噢噢噢噢噢噢噢噢噢）啦啦lLO9伽罗瓦群的子群的元素个数，以及它在伽力量）LOLlllolllloll罗瓦群中的指数，和对应的中间域相关的扩域的次数相同。如果H是Gal(L/K)的子群，那么|H| = [L : Lᴴ]，[Gal(L/K) : H] = [Lᴴ : K]。
给定伽罗瓦扩张L/K的中间域F和L中的K-自同构σ，则σ作用在F上得到的像集也是一个中间域。设F对应的伽罗瓦群子群是H，则中间域σ(F)对应的子群是σHσ⁻¹。如果F/K是正规扩张，则对于任意的K-自同构σ，σ(F) = F。这也说明对于任意的K-自同构σ，σHσ⁻¹ = H。这样的子群H称为正规子群。域扩张F/K是正规扩张当且仅当其对应的子群H = Gal(L/F)是正规子群。对于正规子群H，可以定义Gal(L/K)对H的商群G = Gal(L/K)/H。这个商群和Gal(F/K)是同构的。

应用

从上述例子可见，伽罗瓦理论基本定理的作用是将域扩张的中间域结构，转化为特定群的子群来描述。将难以用直接的方法刻画的中间域，和可以用群论中的成熟方法刻画的有限群子群对应起来。
伽罗瓦基本定理的最初应用是在使用伽罗瓦理论证明五次或以上的多项式方程没有代数解求根公式的问题上。其证明的主要思路是将“开n次方”的过程转化为“在基域中添加n次方根”生成的域扩张。将多项式有代数解的问题转化为某个分裂域是否可以通过有限次特定的域扩张得到的问题。而这些域扩张是否满足条件，则可以由伽罗瓦基本定理将其转化为判定“特定的伽罗瓦群是否有某种特殊的子群和商群（称为可解群）”的问题。阿贝尔-鲁菲尼定理说明了：一般的五次或以上的多项式方程，其对应的伽罗瓦群是n元置换群（n大于等于5），而这个群唯一的非平凡正规子群：n元交替群是不交换的单群，无法满足要求。因此，不存在使用根式求解一般的五次或以上的多项式方程的方法。