投影

在赋范向量空间上的投影

当底层向量空间X 是(不必需有限维)赋范向量空间，需要考虑无关于有限维情况的分析问题，假定现在X 是巴拿赫空间。
上面讨论的多数代数概念转移到这个上下文后幸存下来了。给定的X 的直和分解成补子空间仍指定一个投影，反之亦然。如果 X 是直和X = U ⊕ V，则定义自P(u + v) = u 的算子仍是有值域U 和核V 的投影。明显的也P² = P。反过来说，如果 P 是在X 上的投影，就是说P² = P，则很容易验证(I − P)² = (I − P)。换句话说，(I − P) 也是投影。关系 I = P + (I − P) 蕴涵了X 是直和Ran(P) ⊕ Ran(I − P)。
但是相对于有限维情况，投影一般不必须是连续的。如果 X 的子空间U 在规范拓扑下不闭合，则到U 上的投影是不连续的。换句话说，连续投影P 的值域一定是闭合子空间。进一步的，连续投影(事实上，一般的连续线性算子)的核是闭合的。所以连续投影P 把 X 分解成两个互补的闭合子空间: X = Ran(P) ⊕ Ker(P) = Ran(P) ⊕ Ran(I − P)。
反命题在有额外假定条件下也成立。假设 U 是 X 的闭合子空间。如果存在一个闭合子空间V 使得 X = U ⊕ V，则有值域U 和核V 的投影P 是连续的。这是从闭合图定理推出的。假定 xₙ → x 而 Pxₙ → y。需要证明Px = y。因为 U 是闭合的且{Pxₙ} ⊂ U, y 位于 U 中，就是说Py = y。还有xₙ − Pxₙ = (I − P)xₙ → x − y。因为 V 是闭合的且{(I − P)xₙ} ⊂ V，我们有了x − y ∈ V，就是说P(x − y) = Px − Py = Px − y = 0，这证明了这个断言。
上述论证利用U 和 V 都是闭合的假定。一般的说，给定一个闭合子空间U, 不需要存在一个互补的闭合子空间V，尽管对于希尔伯特空间总是可以采取正交补得到。对于巴拿赫空间，一维子空间总是有闭合的补子空间。这是哈恩-巴拿赫定理的直接推论。设 U 是 u 的线性扩张。通过哈恩-巴拿赫定理，存在一个有界线性泛函φ，使得 φ(u) = 1。算子P(x) = φ(x)u 满足 P² = P，就是说它是个投影。φ 的有界性蕴涵了P 的连续性，因此 Ker(P) = Ran(I − P) 是 U 的闭合补子空间。