有界集合

定义

如果存在一个实数k，使得对于所有S 中的s 有 k ≥ s，实数集合 S 被称为“上有界”的，这个数k 被称为S 的上界。可用类似的定义术语“下有界”和下界。
如果集合S 有上界和下界二者，则它是有界的。所以，如果一个实数集合包含在有限区间内，则它是有界的。

拓扑向量空间内的有界性

在拓扑向量空间中，存在一个有界集合的不同定义，通常叫做冯·诺伊曼有界性。如果拓扑向量空间的拓扑是由均匀度量所诱导，如度量是由赋范向量空间的范数所诱导的情况，则这两个定义是一致的。

序理论中的有界性

一个实数集合是有界的，当且仅当它有上界和下界。这个定义可扩展到任何偏序集合的子集。注意这个更一般的有界性概念不对应于“大小”的概念。
偏序集合P 的子集S 叫做上有界的，如果对于所有S 中的s，有 P 中一个元素k 使得 k ≥ s。元素 k 叫做 S 的上界。可类似的定义下有界和下界。（参见上界和下界。）
偏序集合P 的子集S 叫做有界的，如果它有上界和下界二者，或等价的说，它被包含在一个区间内。注意这不是集合S 自己的一个性质，而是集合S 作为 P 的子集的性质。
有界偏序集合 P（就是说自身就是有界而不是作为子集）是有最小元素和最大元素的偏序集合。注意这个有界性的概念与有限大小无关，有界偏序集合P 的子集S 在 P 的次序（的限制）下也不必然是有界偏序集合。
Rⁿ 的子集S 是关于欧几里得距离有界的，当且仅当它在乘积序下作为Rⁿ 的子集是有界的。但是，S 可以是在字典序下有界，而不关于欧几里得距离有界。
序数的类被称为是无界的，或共尾的，在给定任何序数的时候，总是有这个类的某个成员大于它。所以在这种情况下，“无界”不意味着自身是无界的而是作为序数类的子类是无界的。