圓群

基本介绍

思考圆群的一种方法是描述其“角度”如何相加，其中只有0至360度的角度是被允许的。例如，右边的图表描述著如何将150度加上270度。其答案应该是150度+270度=420度，但以圆群的观点来考虑，而必须要“忘记”扫过一整个圆的事实。因此，必须以360度来调整其答案，如此将会得出420度−360度=60度之答案。
另一种描述方法是使用原本的加法，但数字只限定在0和1之间。要完成此一描述，必须丢掉小数点前的数位。例如，当在算0.784+0.925+0.446时，其答案应该是2.155，但这里必须丢掉前面的2，因此其答案（在圆群中）会是0.155。

拓扑与解析结构

圆群不只是一个抽象代数群而已。当将其视为复平面的子空间时，其会有一个自然的拓扑。因为乘法和反演是在C×上的连续函数，圆群会有一拓扑群的结构。更甚地，当单位圆是复平面上的一个闭子集时，圆群也会是C×（其自身被视为是一拓扑群）的闭子群。
更多地，因为圆是一个一维实流形且其乘法和反演为圆上的圆变映射，这给了圆群一个一维李群的结构。实际上，以同构来分，其为唯一的一个同构于Tⁿ的一维紧致连通李群

性质

任何大于0之维度的紧致李群G都会有一个会同构于圆群的子群。这是指以对称的观点来思考，一“连续”作用的紧致对称群可以被表示成有一作用着的单参数圆子群；其在物理系统上的结果可以有如旋转不变性和自发性对称破坏等例子。
圆群有许多个子群，但其纯紧致子群只由单位根所构成。