倍立方

相关传说

传说中，这问题的来源，可追溯到公元前429年。一场瘟疫袭击了希腊提洛岛（Delos），造成四分之一的人口死亡。岛民们去神庙请示阿波罗的旨意，神谕说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接着人们又试著把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救于当时著名的学者柏拉图。
开始，柏拉图和他的学生认为这个问题很容易。他们根据平时的经验，觉得利用尺规作图可以轻而易举地作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的2倍，那么作一个正方体，使它的体积等于已知正方体体积的2倍，还会难吗?

倍平方

与倍立方问题相比，倍平方问题要简单得多。给定一个单位长度的线段，只需做一个以它为边长的正方形，以正方形的对角线为边长的正方形，面积就是2. 也即是说，尺规作图可以作出长度为单位长度的倍的线段。然而，和虽然形状相近，却有本质性的区别。数学家们直到十九世纪后，才从群论和域论的工具中了解了这个区别。

不可能性的证明

尺规作图三大难题提出后，有许多基于平面几何的论证和尝试，但在十九世纪以前，一直没有完整的解答。没有人能够给出倍立方问题的解法，但开始怀疑其可能性的人之中，也没有人能够证明这样的解法一定不存在。直到十九世纪后，伽罗瓦和阿贝尔开创了以群论来讨论有理系数多项式方程之解的方法，人们才认识到这三个问题的本质 。

倍立方的方法

如果使用有刻度的直尺，则倍立方是有可能的。作一个边长为1的等边三角形ABC，并在的延长线上取一点D，使得AB=BD。现在，取一把直尺，使它经过A点，与DC的延长线相交于G，与BC的延长线相交于H，且使GH=1。则AG的长度就是。