离散空间

用途

离散结构通常用做不承载任何其他自然拓扑、一致或度量的集合上“缺省结构”。例如，任何群都可以通过给予它离散拓扑被认为是拓扑群，蕴涵了关于拓扑群适用于所有群的定理。实际上，分析学家更偏好被代数学家作为离散群来研究的平常的非拓扑群。在某些情况下，这可有用的应用，例如组合上Pontryagin对偶性。
0维流形（或微分流形或解析流形）就只是离散拓扑空间。在前面段落的精神下，我们可以把任何离散群看作0维李群。
尽管离散空间从拓扑学的角度看没有什么令人兴奋的，可以却可以从它们构造有趣的空间。例如，可数无限多个自然数离散空间的乘积同胚于无理数空间，带有同胚给出自连分数展开。可数多个离散空间{0,1}的乘积同胚于康托尔集合；并且事实上一致同胚于康托尔集合，如果我们在乘积上使用乘积一致。这种同胚给出自数字的三进制表示。（参见康托尔空间）。
在数学基础中，{0,1}乘积的紧致性质的研究是超滤子原理的拓扑途径的中心，它是弱形式的选择公理。

不可分空间

在某种意义上，离散拓扑的对立者是密着拓扑（也叫做“不可分拓扑”），它有最少可能数目的开集（就是空集和空间自身）。这里的离散拓扑是始对象和自由对象，而不可分拓扑是终对象或cofree对象：所有从拓扑空间到不可分空间的函数都是连续的。