扎里斯基拓扑

代数簇的扎里斯基拓扑

在古典的（即格罗滕迪克尚未于约1960 年提出概形概念前）代数几何，扎里斯基拓扑是定义在代数簇上的。 扎里斯基拓扑定义该代数簇的代数子集为闭集。由于最简单的代数簇就是仿射簇和射影簇，有必要先明确给出其上扎里斯基拓扑的详细定义。以下取定k 为一个代数闭域（古典代数几何的k 几乎总是复数域）。

性质

此种拓扑都具有一组基，该组基由对应每个多项式（对于射影簇，则为齐次多项式）f 的 D(f) 组成。要证明这些形式的元素组成一组基，可以考虑(S) 的各生成元所生成的主理想，并反复运用两个闭集的交的公式。这些 D(f) 称为特异 (英语：distinguished) 开集或基 (英语：basic) 开集。
由希尔伯特基定理和诺特环的基本性质，每个仿射或射影坐标环都是诺特环。于是，具有扎里斯基拓扑的仿射或射影空间都是诺特拓扑空间，故其中每一个闭集都是紧的。
然而，除了有限代数集，并无代数集是豪斯多夫空间。某些旧文献要求紧空间必须是豪斯多夫的，而代数几何通常沿用这个定义。于是，现今较常见的“紧”的意思，在代数几何学表达为“拟紧”(英语：quasicompact) 。不过因为每个点(a₁, ..., aₙ) 都是多项式x₁ - a₁, ..., xₙ - aₙ 的零点集的唯一元素，单点集是闭集，所以每个簇都满足T₁ 公理。
簇之间的正则映射相对其上的扎里斯基拓扑是连续的。而且，假如要求单点集均为闭集，又要保持正则映射的连续性，则扎里斯基拓扑是最弱（最少开集）而仍满足要求的拓扑。原因是，扎里斯基拓扑的闭集就是若干个多项式函数对{0} 的原像的交，而多项式函数可视为映到 的正则函数。

性质

新的扎里斯里拓扑跟古典的最大分别在于，新拓扑中的点无须为闭点。格罗滕迪克引入了泛点，以扩展此定义。泛点即有最大闭包的点，其对应包含零理想的最小素理想。而闭点则对应A 的极大理想。不过注意，谱和射影谱也是T₀ 空间，因为给定任意两点P, Q, 其对应A 中的两个互异的素理想，故必一个不包含另一个，假设 P 不包含Q, 则 D (Q) 包含 P，但不包含Q.
正如在古典代数几何所见，任何谱或射影谱都是（拟）紧的，且若该环为诺特环，则其谱是诺特空间。但是，这与一般直觉有所抵触。平常若一个开集是紧的，则其为空间的某个连通分支，而对仿射空间（例如欧几里得空间）来说，整个空间并非紧的。可见扎里斯基拓扑在几何上有其不当之处。格罗滕迪克引入了正常性的概念，用来描述概形和概形间的态射，使得紧的概念回复直观。其中 Proj 是正常的，但 Spec 不是。