欧拉-麦克劳林求和公式

欧拉-麦克劳林求和公式在1735年由莱昂哈德·欧拉与科林·麦克劳林分别独立发现，该公式提供了一个联系积分与求和的方法，由此可以导出一些渐进展开式。

证明

证明使用数学归纳法以及黎曼－斯蒂尔杰斯积分，下文中假设的可微次数足够大，。

为了方便，将原式的各项用不同颜色表示：

k
                  =
                  0
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{smallmatrix}k=0\end{smallmatrix}}}
  
的情形

容易算出

其中橙色的项通过分部积分可化为

将处理后的积分代入

得到想要的结果。

余项（积分项）估计

欧拉-麦克劳林求和公式的精确度通常不一定随着的增加而增加，相反地，如果相当大，则积分项也会很大。右图是在计算调和级数的前100项时用Mathematica算出不同的对应的积分项的绝对值：

应用

通过欧拉-麦克劳林求和公式可以给出黎曼ζ函数的渐进式：

其中

其他形式

欧拉-麦克劳林求和公式有时也被写成如下形式：

这是欧拉给出的原始形式。