反函数定理

在数学中，反函数定理给出了向量值函数在含有定义域中一点的开区域内具有反函数的充分条件。该定理还说明了反函数的全导数存在，并给出了一个公式。反函数定理可以推广到定义在流形上、以及定义在无穷维巴拿赫空间（和巴拿赫流形）上的映射。大致地说，C¹函数F在点p可逆，如果它的雅可比矩阵JF(p)是可逆的。

方法和证明

作为一个重要的结果，反函数定理已经有许多证明。在教科书中最常见的证明依靠了压缩映射原理，又称为巴拿赫不动点定理。（这个定理还可以用于证明常微分方程的存在性和唯一性）。由于这个定理在无穷维（巴拿赫空间）的情形也适用，因此它可以用来证明反函数定理的无穷维形式（参见下面的“推广”）。 
另外一个证明（只在有限维有效）用到了紧集上的函数的极值定理。
还有一个证明用到了牛顿法，它的好处是提供了定理的一个有效的形式。也就是说，给定函数的导数的特定界限，就可以估计函数可逆的邻域的大小。

巴拿赫空间

反函数定理还可以推广到巴拿赫空间之间的可微映射。设X和Y为巴拿赫空间，U是X内的原点的一个开邻域。设F : U → Y连续可微，并假设F在点0的导数(dF)₀ : X → Y是从X到Y的有界线性同构。那么在Y内存在F(0)的一个开邻域V，以及一个连续可微的映射G : V → X，使得对于V内的所有y，都有F(G(y)) = y。而且，G(y)是方程F(x) = y的唯一足够小的解x。
在函数是X和Y之间的双射的简单情况中，函数具有连续的反函数。这可以从开映射定理立即推出。

巴拿赫流形

在巴拿赫流形的反函数定理中，可以把上面的两个推广结合起来。

常秩定理

反函数定理（以及隐函数定理）可以视为常秩定理的特殊情况，它说明在某个点局部常秩的光滑映射可以化为该点附近的特定的正规形式。当F的导数在点p可逆时，它在p的邻域也可逆，因此导数的秩是常数，故可以使用常秩定理。