链复形

链映射

两个链复形、 之间的链映射是一族同态，使之满足： ；全体链复形依此构成一范畴。链映射诱导出同调群间的映射。
上链复形的情形类似：两个上链复形、 之间的上链映射是一族同态，使之满足： 。上链映射也诱导出上同调群间的映射。
举例来说，拓扑空间之间的连续映射诱导出奇异上同调的链映射；而光滑流形间的光滑映射则诱导出德拉姆上同调的上链映射。这是函子性或称自然性的一个例子：空间与映射的拓扑/几何性质借此反映在代数结构上，因而变得容易操作与计算。

链同伦

两个链映射 称作是同伦的，当且仅当存在一族同态 使得 。
上链映射的同伦定义也类似，惟此时考虑的是一族同态。以下给出上链同伦的图解：
（上）链同伦的链映射在（上）同调群上诱导出相同的映射。特别是：同伦于恒等映射id. 的（上）链映射是拟同构。
链映射的同伦可理解作单纯形同伦的代数翻译。