拓撲熵

在数学里，拓扑熵是指在一个拓扑动力系统中的一个非负实数，可以用来测量此系统的复杂度。拓扑熵这个概念最先是于1965年由阿德勒、孔翰和麦克安德鲁所提出来的。其定义是由测度熵中导出来的。之后，汀那伯格和洛福斯·鲍恩另给出了一个不同但等价的定义，将其延伸至豪斯多夫维。第二个定义厘清了拓扑熵的意义：对一个由迭代函数给出的系统，拓扑熵表示迭代不同轨道数的指数成长率。变分原理此一重要原理将拓扑及测度熵两种概念相关连了起来。

定义

拓扑动力系统包括一个豪斯多夫空间 X （通常假定为紧致的）和一个连续自映射f 。其拓扑熵是一个非负实数，可以等价地以许多方式被定义。

解释

C 的各部分可能可以被视为是（部分地）描述了X 上的点x 的位置的符号：所有点x ∈ Cᵢ 都被配上符号Cᵢ 。想像 x 的位置被一特定仪器（不完美地）量测，且 C 的每个部分都会对应于量测的每个可能输出。然后，整数  则表示译成X 的点所需长度n 的“词”的最小数量，依据其头n-1 次迭代的行为，或另个角度来说，是由划分C 中“看到”迭代行为“方案”的总数。因此，拓扑熵即为描述映射f 长迭代所需讯息的平均值。

解释

因为 X 是紧致的， N(n, ε) 会是有限的，且表示长度n 相异轨道区段的数量，假定我们无法区分ε-接近的两点。一简单的论证显示定义h(f) 的极限总是存在于扩展的实数轴中（但可能是无限大）。此一极限可以被解释成对相异轨道区段数量的平均指数成长率的量测。在这意义之下，拓扑熵可以用来量测拓扑动力系统(X,f) 的复杂性。洛福斯·鲍恩更将拓扑熵的此定义扩展成允许X 是非紧致的样式。