吉洪诺夫空间

在拓扑学和相关的数学领域中，吉洪诺夫空间或完全正则空间是特定优良种类的拓扑空间。这些条件是分离公理的个例。
吉洪诺夫空间得名于安德列·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫。

定义

假定 X 是拓扑空间。
X 是完全正则空间，当且仅当给定任何闭集 F 和任何不属于F 的点 x，存在从X 到实直线 R 的连续函数 f 使得 f(x) 为 0 和 f(y) 为 1 对于所有F 中的y。用“空想家”术语来说，这个条件声称x 和 F 可以由函数分离。
X 是吉洪诺夫空间或 T3½ 空间或 Tπ空间或完全 T₃ 空间，当且仅当它是完全正则空间和豪斯多夫空间二者。
注意某些数学文献对术语“完全正则”和涉及“T”的术语使用了不同的定义。我们这里给出的定义是今天最常用；但是某些作者切换了两类术语的意义，或者把它们用做同一个条件的同义词。在这里，我们直率的使用术语“完全正则”和“吉洪诺夫”，但避免不太明晰的术语“T”。在其他文献中，你应该仔细找出作者使用的是什么术语。(短语“完全正则豪斯多夫”总是无歧义的意味着吉洪诺夫空间。)更多详情可参见分离公理的历史。
完全正则空间和吉洪诺夫空间通过柯尔莫果洛夫商关联起来的。拓扑空间是吉洪诺夫空间，当且仅当它是完全正则空间和T₀ 空间二者。在另一方面，一个空间是完全正则空间，当且仅当它的柯尔莫果洛夫商是吉洪诺夫空间。

紧致化

特别有趣的嵌入是X 的像是K 中的稠密集；这叫做X 的豪斯多夫紧致化。给定任何吉洪诺夫空间X 到紧致豪斯多夫空间K 的嵌入， X 在 K 中的像的闭包是 X 的紧致化。
在豪斯多夫紧致化中，有一个唯一“最一般”的，斯通–切赫紧致化 βX。它由如下泛性质刻画，给定从X 到任何其他紧致豪斯多夫空间Y 的连续映射f，有一个唯一的从βX 到 Y 连续映射g 扩张 f，在 f 是 g 和 j 的复合意义上。

一致结构

完全正则性正好是在拓扑空间上存在一致结构的必需条件。换句话说，所有一致空间都有完全正则拓扑，而所有完全正则空间X 是可一致化空间。拓扑空间允许分离的一致结构当且仅当它是吉洪诺夫空间。
给定完全正则空间X 通常存在多于一个X 上的一致结构相容于X 的拓扑。但是，总是有最细一致结构，叫做 X 的精细一致结构。如果 X 是吉洪诺夫空间，则可以选择一致结构使得βX 成为一致空间X 的完全。