群的生成集合

在抽象代数中，群  的生成集合是子集 S 使得所有G 的所有元素都可以表达为S 的元素和它们的逆元中的有限多个元素的乘积。
更一般的说，如果 S 是群G 的子集，则  所生成的子群<S> 是包含所有S 的元素的G 的最小子群，这意味着它是包含S 元素的所有子群的交集；等价的说，<S> 是 G 中所有可以用S 的元素和它们的逆元中的有限乘积表达的元素的子群。 
如果 G = <S>，则我们称S 生成 G；S 中的元素叫做生成元或群生成元。如果 S 是空集，则 <S> 是平凡群{e}，因为我们认为空乘积是单位元。
在 S 中只有一个单一元素x 的时候，<S> 通常写为<x>。在这种情况下，<x> 是 x 的幂的循环子群，我们称这个循环群是用x 生成的。与声称一个元素x 生成一个群等价，还可以声称它有阶 |G|，或者说<x> 等于整个群G。

有限生成群

如果 S 是有限的，则群G = <S> 叫做有限生成群。有限生成阿贝尔群的结构特别容易描述。很多对有限生成群成立的定理对一般的群无效。
所有有限群是有限生成群因为<G> = G。整数集在加法下的群是由<1> 和 <-1> 二者有限生成的无限群的例子，但是有理数集在加法下的群不能有限生成。不可数群都不能有限生成。
同一个群的不同子集都可以是生成子集；比如，如果 p 和 q 是 gcd(p, q) = 1 的整数，则 <{p, q}> 还生成整数集在加法下的群(根据裴蜀等式)。
尽管有限生成群的所有商群是有限生成群为真(简单的在商群中选取生成元的像)，有限生成群的子群不必须是有限生成群，例如，设 G 是有两个生成元x 和 y 的自由群，(它明显是有限生成群，因为 G = <{x,y}>)，并设S 是由形如yⁿxy⁻ⁿ 的所有G 的元素构成子集，这里的n 是自然数。因为 <S> 明显同构于有可数个生成元的自由群，它不能被有限生成。但是，所有有限生成阿贝尔群的子群完全是有限生成群。更进一步: 所有有限生成群的类在群扩张下闭合。要看出这个结论，选取(有限生成)正规子群和商群的生成集合: 正规子群的生成元和商群的生成元的前像一起生成了这个群。

自由群

由集合S 生成的最一般的群是S 自由生成的群。所有 S 生成的群同构于这个群的因子群，这个特征实用于一个群的展示的表达中。

Frattini子群

一个有趣的伙伴主题是非生成元。群 G 的元素x 是非生成元，如果生成G 的包含x 的所有集合S 在把x 从 S 中去掉的时候仍生成G。在带有加法的整数集中，唯一的非生成元是0。所有的非生成元的集合形成了G 的子群，叫做 Frattini子群。