代數閉域

在数学上，一个域被称作代数闭域，当且仅当任何系数属于且次数大于零的单变量多项式在里至少有一个根。

等价的刻划

给定一个域，其代数封闭性与下列每一个性质等价：

不可约多项式当且仅当一次多项式

域F是代数闭域，当且仅当环F[x]中的不可约多项式是而且只能是一次多项式。
“一次多项式是不可约的”的断言对于任何域都是正确的。如果F是代数闭域，p(x)是F[x]的一个不可约多项式，那么它有某个根a，因此p(x)是x − a的一个倍数。由于p(x)是不可约的，这意味着对于某个k ∈ F \ {0}，有p(x) = k(x − a)。另一方面，如果F不是代数闭域，那么存在F[x]内的某个非常数多项式p(x)在F内没有根。设q(x)为p(x)的某个不可约因子。由于p(x)在F内没有根，因此q(x)在F内也没有根。所以，q(x)的次数大于一，因为每一个一次多项式在F内都有一个根。

每一个多项式都是一次多项式的乘积

域F是代数闭域，当且仅当每一个系数位于次数F内的n ≥ 1的多项式p(x)都可以分解成线性因子。也就是说，存在域F的元素k， x₁， x₂， ……， xₙ，使得p(x) = k(x − x₁)(x − x₂) ··· (x − xₙ)。
如果F具有这个性质，那么显然F[x]内的每一个非常数多项式在F内都有根；也就是说，F是代数闭域。另一方面，如果F是代数闭域，那么根据前一个性质，以及对于任何域K，任何K[x]内的多项式都可以写成不可约多项式的乘积，推出这个性质对F成立。

代数闭包

设为代数扩张，且是代数闭域，则称是的一个代数闭包。可以视之为包含的最小的代数闭域。
若我们承认佐恩引理（或其任一等价陈述），则任何域都有代数闭包。设为任两个的代数闭包，则存在环同构使得；代数闭包在此意义上是唯一的，通常记作 或。