上极限和下极限

上极限（limit superior）跟下极限（limit inferior）是数学中的概念，数列的上极限和下极限可以大致想像为数列极限的上下界。举例来说，数列  的上极限为1，下极限为-1。
函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。（参见函数的极限）。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点的上确界和下确界。

实数数列

实数集R 的数列对微积分很重要。R 不是完备格，但可以加入正负无穷以得到完备全序集 ，形成完备格。那么在 中数列收敛当且仅当，而这时 等于上面的共同值。（注意当只是考虑R 时，收敛至 或  并不当作收敛，而是视作极限不存在。）
若实数数列 的上极限为实数（即为有限，不是  ），那么上极限是最小的实数a，使得对任意小的正实数，都存在足够大的正整数N，使得对所有，都有。换言之，对任何大于上极限的实数，都存在N 使得这实数是数列 的上界。
若实数数列 的下极限为实数，那么下极限是最大的实数b，使得对任意小的正实数，都存在足够大的正整数N，使得对所有，都有。换言之，对任何小于下极限的实数，都存在N 使得这实数是数列的下界。
设  是整数数列。若其上极限为实数a，由于  也符合上述条件，故此 a 必是整数。（ 是不大于a 的最大整数。）在条件中取，得出a 是最小的实数，使得存在正整数N，对所有，都有。因此 a 是最大的整数，使得有无限个。同样地，若其下极限为实数b，则 b 是最小的整数，使得有无限个。
若  和 
，那么区间 不一定包含任何的，但是轻微扩大了的[I-ε,S+ε]
对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的xₙ。区间 [I, S] 是适合这个性质的最小闭区间。