短時距傅立葉變換

离散短时傅里叶变换

在离散时间的例子，资料会被切割成数个大量的帧，而每组帧通常会互相重叠，避免因切割方式造成边界的误差。而每组帧在各自进行傅里叶变换后所得的复数结果会再进行相加，可得到每个点时间与频率变化的大小与相位。数学上，这样的操作可写为：
相同地，其中是窗函数，是待变换的信号。在这个例子里，m是离散的且ω是连续的，但大部分实际的应用当中，短时距傅里叶变换在电脑中都是以快速傅里叶变换进行计算(见实现方法的快速傅里叶变换)，而此时这两个参数都是离散且被量化的。

Sliding 离散傅里叶变换

当只想要得知特定少数的ω，或是短时距傅里叶变换每次窗函数移动m的值，则短时距傅里叶变换可以利用sliding DFT算法更有效地计算出来。

非对称窗函数

当在特殊应用时，窗函数特性的第一点可以不满足，如下图的非对称窗函数，其中。左图为窗函数原本的图形，而在计算短时距傅里叶变换时，需将窗函数转到轴上得出，换言之，欲得到的短时距傅里叶变换的结果需在的时间点才能算出，因此若愈小，即可愈快得结果，此种非对称窗函数可应用在地震波、碰撞侦测...等，需要即时处理的应用。

瑞利频率

当Nyquist频率是能被有意义分析的频率最大值的限制，而瑞利频率则是能被有限带宽频的窗函数解析的频率最小值的限制。若给定一窗函数的长度是T秒，最低能被解析的频率即为1/T Hz。
瑞利频率在短时距傅里叶变化的应用中扮演重要的脚色，像是在分析神经信号时。

短时距傅里叶变换实现方法

从连续短时距傅里叶变化的定义出发
令  ，则上述式子时域可从连续转为离散
若当
上式可改写为

推导

变换到离散形式()
则  for

推导

令
其中

时间复杂度

利用FFT计算，其中每次FFT的时间复杂度为
总时间复杂度为

时间复杂度

(1)FFT计算一次
(2)利用递回关系，计算时的数值
总时间复杂度

时间复杂度

当n为定值时
(1) 相乘时间复杂度为2Q+1
(2) convolution时间复杂度为
(3)相乘时间复杂度为F
总时间复杂度为

虽然此实现方法和使用FFT计算的时间复杂度相同，但因为convolution相当于做三次FFT，因此实际操作时运算时间约为使用FFT计算的2~3倍

Unbalanced Sampling for STFT and WDF

将直接法和快速傅里叶变换方法做修正

1.直接法

修正后：
其中，  
(假设 for ), 
注：(输入信号的采样间隔)
(在t轴上的输出信号的采样间隔)
然而，是整数会是比较好的。

限制条件

(1) 
(2)  : (只要是整数的倒数即可)
(3) ，的带宽是 
i.e.  ，当

过程

令 
 for 
                             for 
修正后：

Non-Uniform 
  
    
      
        
          Δ
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta _{t}}

(1) 先用比较大的
(2) 如果发现 和  之间有很大的差异，则在， 之间选用比较小的采样区间
(， 和 皆为整数)
再用Unbalanced Sampling for STFT and WDF 中修正后的快速傅里叶变换方法算出，
(3) 以此类推，如果 的差距还是太大，则再选用更小的采样间隔
(， 和 皆为整数)