嵌入 (数学)

数学上，嵌入是指一个数学结构经映射包含到另一个结构中。某个物件X称为嵌入到另一个物件Y中，是指有一个保持结构的单射f: X→Y，这个映射f就给出了一个嵌入。上述“保持结构”的准确意思，需由所讨论的结构而定。一个保持结构的映射，在范畴论中称为态射。
要表达f: X→Y是一个嵌入，有时会使用带钩箭号。但这个带钩箭号有时只留作表示包含映射时用。

点集拓扑

拓扑上，一个嵌入是一个单射，使得拓扑空间到其像上为同胚。换言之，两个拓扑空间X, Y之间的一个连续单射f: X→Y是一个拓扑嵌入，如果f给出X与f(X)间的同胚（空间f(X)上的拓扑是由Y诱导的子空间拓扑。）凡是连续单射的开映射或闭映射都是拓扑嵌入，不过一个嵌入也可能既非开映射也非闭映射：当其像f(X)不是Y中的开集或闭集时，便发生这种情况。

微分拓扑

在微分拓扑中，令M, N为光滑流形，而f: M→N为光滑映射。则如果f的微分处处皆为单射，则称f为一个浸入。此时的嵌入定义为一个符合拓扑嵌入定义的单射浸入，又称为光滑嵌入。换言之，嵌入是微分同胚于其像，所以嵌入的像必是子流形。浸入是一个局部嵌入，即在每点，都有邻域，使得限制到这邻域上的是嵌入。如果M是紧致流形，则M的浸入必是嵌入。
光滑嵌入的一个重要情形是在N为时。这情形引起兴趣之处，在于对任何m维流形M，n需多大才保证有从M到的光滑嵌入。惠特尼嵌入定理指n = 2m便足够，而且是最好的上界。例如嵌入一个m维的实射影平面便需要n = 2m。
如果将光滑嵌入的定义中，f为光滑映射的条件放宽为Cᵏ映射，其中k是正整数，而其余条件不变，则f称为Cᵏ嵌入。

域论

域论上，从一个域E到另一个域F中的一个嵌入，是一个环同态σ: E → F。因为环同态的核是一个理想，而域的理想只有0及整个域本身，又σ(1)=1，故其核不能为整个域，即知核为0。因此这个环同态必定是单态射，而E和在F中的σ(E)同构。所以可称两个域之间的任何同态为嵌入。

序理论

关于序理论中的嵌入，可参见序嵌入。