西羅定理

定义

设p是一个素数；则可定义G的西罗p-子群（或者称为p-西罗子群），其为G的p-子群中最大的一个(即其为G的p-群，且不为其他G的p-子群的真子群)。
西罗p-子群所组成的集合记为Sylₚ(G)。
Sylₚ(G)之中群的差异在群论的讨论中是可以忽略的。更明确地说，在Sylₚ(G)内的每个群彼此间同构；这性质也同时回过头来决定了G的其他性质。

应用例子

设G为一个其目为15 = 3 · 5的群，则n₃必须整除5，且n₃=1 mod 3。其中唯一满足上述限制的值只有1；因此，只存在一个其目为3的子群，且其必须为正规子群（因为其没有其他的共轭）。相似地，n₅会整除3，且n₅=1 mod 5；因此亦只有一个其目为5的正规子群。当3和5为互素时，此两个子群的交集为当然群，所以G必须要是个循环群。因此，只存在一个其目为15的群（以同构来分），标记为Z/15Z。
举另一个更复杂的例子来说，可证明不存在一个其目为350的简单群。若|G| = 350 = 2 · 5² · 7，则n₅必须整除14=2·7，且n₅ = 1 mod 5。因此，n₅=1（因为6和11都不会整除14），而因此G必然会有一个其目为5²的正规子群，故不可能为简单群。

西罗定理的证明

西罗定理的证明利用了群作用的许多概念。群G会以许多种方式作用在其自身或其p-子群上，而此类的每个作用则可以被利用来证明西罗定理的其中一个定理。下列的证明是基于1959年H.Wielandt所发表之整合的论述。在下面的论述中，用a|b来表示“a会整除b”，而a  b则用来表示“a不可整除b”。
定理1：一个其目|G|可以被一素数次方pᵏ整除的有限群G会有一个其目为pᵏ的子群。
证明：设|G|=pᵏm，pʳ  m且 pʳ⁺¹  m 。记Ω为G的元素个数为pᵏ之子集所组成的集合，可知|Ω| = 及pʳ⁺¹   ，基于之前r的选定。令G以左乘积作用于Ω上，则基于r之选定，会存在一个于Ω内的A，其具有一个会使pʳ⁺¹  |θ|之轨道θ=Aᴳ。这里会有|θ| = |Aᴳ| = [G : GA]的关系，其中GA标示为集合A的隐定子子群，因此pᵏ | |GA|，故pᵏ ≤ |GA|。注意在GA的作用下之于A内的两个元素a和ga可能为不同个的，所以|A| ≥ |GA|。由上述pᵏ ≤ |GA|和|A| ≥ |GA|两个结果，故知|GA| = pᵏ。然后，GA即为此一想要的群。
引论: 设G为一个有限p-群，将G作用于一个有限集合Ω上，及令Ω₀为在G的作用下为固定之Ω内的点所组成之集合。然后可知|Ω| ≡ |Ω₀| mod p。
证明：将Ω写成在G下之轨道此种不相交集合的并集。每一个在Ω内的元素x若在G的作用下不固定的话，其将会在其目为|G|/|Gₓ|之轨道上（其中Gₓ为隐定子），此目依题目的假设会是p的倍数（不可能为1，因为其目为1的轨道即为在G的作用下固定的点）。因此结论立即就出来了。
定理2：若H是G的子群且|H|=pˢ，以及P为G的p-西罗子群，则存在一个在G内的元素a会使得aHa⁻¹为P的子群。特别地是，所有G的西罗p-子群都会共轭（且因此同构）于另一个，即若H和K为G的西罗p-子群，则存在一个G内的元素g会使得g⁻¹Hg = K。
证明：设Ω为G内P的左陪集所组成的集合，及H以左乘积作用在Ω上。应用H于Ω上的引理，可知|Ω₀| ≡ |Ω| = [G : P] mod p。由定义可知p  [G : P]，所以p  |Ω₀|，且因为|Ω₀| ≠ 0，故会存在一些gP ∈ Ω₀。因此对每个于H内的元素h，hgP = gP，故g⁻¹hgP = P且g⁻¹hg ∈ P，且因此h ∈ gPg⁻¹，故H会包含于某些G内元素g之gPg⁻¹内。若H为一个西罗p-子群，则|H| = |P| = |gPg⁻¹|，因此对某些在G内的g，H = gPg⁻¹。
定理3：设q为一有限群G的任一西罗p-子群的目，则nₚ | |G|/q且nₚ ≡ 1 mod p。
证明：依定理2，nₚ = [G : NG(P)]，其中P为任一个子群且NG(P)为于G内P的正规化子，可知此数为|G|/q的约数。令Ω为所有G的西罗p-子群所组成的集合，且P以共轭作用于Ω上。设Q ∈ Ω₀并可知对所有x ∈ P，Q = xQx⁻¹，因此P ⊆ NG(Q)。依定理2，P和Q会于NG(Q)内共轭，尤其是Q会在NG(Q)为正规，故可知P = Q。由上可知Ω₀ = {P}，因此由引理可知|Ω| ≡ |Ω₀| = 1 mod p。

得到一个西罗子群

由一个给定的群中得出一个西罗子群是计算群论中一个很重要的问题。在置换群里，已由William Kantor证明出一个西罗p-子群可以在输入数量的多项式时间内被找到。