大卫·希尔伯特

早年

希尔伯特的出生地哥尼斯堡是拓扑学的发祥地，也是哲学家康德的故乡。每年4月22日，康德的墓穴都会对公众开放。此时，年幼的希尔伯特总会被母亲带去，向这位伟大的哲学家致敬。
希尔伯特8岁时入学，比当时一般孩子晚两年。他所就读的弗里德里希学院（Friedrichskolleg）正是当年康德的母校。

几何学公理化

希尔伯特在1899年发行《几何基础》教材，其中用希尔伯特公理来取代传统欧几里得提出的公理，其好处是可以避免一些欧几里得公理中的一些弱点。因为希尔伯特曾针对公理修改了好几次，若不参考几何基础的各个版本，很难找出那些公理是希尔伯特所用的。最早的原稿很快就翻译成法文，其中希尔伯特加了公理二“完备公理”（Completeness Axiom）。希尔伯特授权的英文翻译是由E.J. Townsend在1902年翻译。这个版本加入了法文版的变更，因此可以算是第二版的翻译。希尔伯特继续在德文版修改了好几次，他修改的最后一版是第七版，之后仍有新的版本，但本文大致上没有变更。
希尔伯特的方式也表示数学方式开始转移到现代的公理系统。公理不是一些不证自明的事实。几何学处理“物体”，不过不一定需要针对未定义的概念给予明确的定义。几何学的元素，如点、直线、平面等可以用桌子、椅子等物体所取代。几何学探讨的是他们之间的关系。
希尔伯特一开始列举了一些未定义的概念：点、直线、面、在……上、在……之间、二对点（线段）的全等及角的全等。这些公理将欧几里得的平面几何及立体几何整合成单一的系统。

数论

希尔伯特在1897年提出了代数数论领域的《数论报告》，也解答了1770年提出的华林问题，配合有限性定理，希尔伯特找到一个存在性的证明，证明华林问题的解存在，而不是直接找到计算的方式，他原来要针对此问题作一点深入的研究，但希尔伯特模形式的出现使他开始进入另一个领域中。
希尔伯特有许多有关类域论的猜想，这些概念相当的有影响力。此领域中的希尔伯特类域及希尔伯特符号以他得名。在高木贞治的研究后，大部分的猜想都在1930年代证明，这些研究也使高木贞治成为第一个有国际地位的日本数学家。
希尔伯特的研究没有涉及解析数论，但他的名字也出现在希尔伯特－波利亚猜想中。

著作

希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》等。1928年，他与威廉·阿克曼合写《理论逻辑原理》（德语：Grundzuge der Theoretischen Logik）。

评价

希尔伯特是20世纪初的世界数学领袖和20世纪数学发展的掌舵人之一。在希尔伯特成名之前，最有影响力的数学家是法国的儒勒·庞加莱。希尔伯特的带领下，哥廷根大学的学术建设走向巅峰，是当时的世界科学中心，为德国带来了很大影响力。“打起背包去哥廷根”、“哥廷根以外没有生活”成为当时的流行口号。一战期间，法国又错误地把许多青年科技才俊送上战场最前线当炮灰，导致法国科学人才面临断代的危机。德国纳粹政权上台后，实行极权统治和种族灭绝政策，使本来可以继续独占科学鳌头的德国人才流失严重。希尔伯特晚年费尽心力稳固哥廷根大学，但仍难以挽回哥廷根整体学术实力走下坡路的大局。希尔伯特重振哥廷根的梦想也没在后来的继任者巴特尔·范德瓦尔登身上实现。世界数学中心此后转移到美国的普林斯顿高等研究院，这里汇聚了来自原哥廷根大学、哥本哈根学派、布尔巴基学派的各路顶尖学者。希尔伯特的数学领导地位后来由安德烈·韦伊、亚历山大·格罗滕迪克等新一代巨人先后取代。德国数学此后逐渐落后于国际主流，等到再次迎头赶上国际数学前沿要靠弗里德里希·希策布鲁赫的出现。
尼古拉·布尔巴基：“正像所有其他科学一样, 数学家的人数和有关数学论著的数目从19世纪末期以来已有极大的增长。在正常年景, 全世界每年出版的纯粹数学专著可达成千成万页。 ... 甚至那些受到最广博训练的数学家，也没人能够在数学的广大世界的某些区域中毫无迷失方向之感；像庞加莱和希尔伯特那样在几乎所有领域都刻上他们天才印记的数学家, 即使在取得最伟大成就的人当中也是极为罕见的例外情形。”
对希尔伯特的评价，也有一些不同的声音。俄罗斯数学与物理学家尤里·马宁认为希尔伯特的问题是对数学中心议题的一种干扰。他认为应该依靠宏大的纲领来推动数学进展，而非依靠解决一个个单独的难题。马宁认为由尼古拉·布尔巴基发源出来的许多新思想对20世纪影响更大。”