解析几何

历史

古希腊数学家梅内克缪斯(Menaechmus)的解题、证明方式与现在使用坐标系十分相似，以至于有时会认为他是解析几何的鼻祖。 阿波罗尼奥斯在《论切触》中解题方式在现在被称之为单维解析几何；他使用直线来求得一点与其它点之间的比例。阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中进一步发展了这种方式，这种方式与解析几何十分相似，比起笛卡儿早了1800多年。他使用了参照线、直径、切线与现进所使用坐标系没有本质区别，即从切点沿直径所量的距离为横坐标，而与切线平行、并与数轴和曲线向交的线段为纵坐标。他进一步发展了横坐标与纵坐标之间的关系，即两者等同于夸张的曲线。然而，阿波罗尼奥斯的工作接近于解析几何，但它没能完成它，因为他没有将负数纳入系统当中。在此，方程是由曲线来确定的，而曲线不是由方程得出的。坐标、变量、方程不过是一些给定几何题的脚注罢了。
十一世纪波斯帝国数学家欧玛尔·海亚姆发现了几何与代数之间的密切联系，在求三次方程使用了代数和几何，取得了巨大进步。但最关键的一步由笛卡儿完成。
从传统意义上讲，解析几何是由勒内·笛卡儿创立的。笛卡儿的创举被记录在《几何学》(La Geometrie)当中，在1637年与他的《方法论》一道发表。这些努力是以法语写成的，其中的哲学思想为创立无穷小演算提供了基础。最初，这些著作并没有得到认可，部分原因是由于其中论述的间断，方程的复杂所致。直到1649年，著作被翻译为拉丁语，并被冯·斯霍滕(van Schooten)恭维后，才被大众所认可接受。
费马也为解析几何的发展做出了贡献。他的《平面与立体轨迹引论》(Ad locos planos et solidos isagoge)虽然没有在生前发表，但手稿于1637年在巴黎出现，正好早于笛卡儿《方法论》一点。《引论》文字清晰，获得好评，为解析几何提供了铺垫。费马与笛卡儿方法的不同在于出发点。费马从代数公式开始，然后描述它的几何曲线，而笛卡儿从几何曲线开始，以方程的完结告终。结果，笛卡儿的方法可以处理更复杂的方程，并发展到使用高次多项式来解决问题。

坐标

在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对实数坐标。最常见的是笛卡儿坐标系，其中，每个点都有x-坐标对应水平位置，和y-坐标对应垂直位置。这些常写为有序对 (x, y)。这种系统也可以被用在三维几何当中，空间中的每个点都以多元组呈现(x, y, z)。
坐标系也以其它形式出现。在平面中最常见的另类坐标系是极坐标系，其中每个点都以从原点出发的半径 r和角度θ表示。在三维空间中，最常见的另类坐标系统是圆柱坐标系和 球坐标系。

曲线方程

在解析几何当中，任何方程都包含确定面的子集，即方程的解集。例如，方程 y = x 在平面上对应的是所有x-坐标等于y-坐标的解集。这些点汇集成为一条直线，y = x 被称为这道方程的直线。总而言之，线性方程中x 和 y 定义线，一元二次方程定义圆锥曲线，更复杂的方程则阐述更复杂的形象。
通常，一个简单的方程对应平面上的一条曲线。但这不一定如此：方程 x = x 对应整个平面，方程 x² + y² = 0 只对应(0, 0)一点。在三维空间中，一个方程通常对应一个曲面，而曲线常常代表两个曲面的交集，或一条参数方程。方程 x² + y² = r² 代表了是半径为r且圆心在(0, 0)上的所有圆。

截距

被广泛研究的一种交集是几何对象与 和  坐标轴的交集。
几何对象与-轴的交集被称之为对象的-截距。与-轴的交集被称之为对象的-截距。
就线而言，参数  定义线在何处与 轴相交。据此， 或  点被称之为-截距。

现代解析几何

解析簇(analytic variety)定义为几个解析函数的共同解集。类似与实数与复数的代数簇。任何复流形都是一种解析簇。由于解析簇可能有奇点，但不是所有解析簇都是复数。.
解析几何总体上来说等同与实数与复数代数几何，让-皮埃尔·塞尔在他的著作《代数几何与解析几何》(Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique)阐述了这个观点。然而，两个领域依然有其独特性，而证明方式也十分不同，代数几何也包括几何的有限特征。