可分扩张

可分扩张是抽象代数之域扩张理论中的概念。如果一个代数扩张L/K满足：任何一个L中元素在基域K上的极小多项式都是可分多项式，那么这个扩张就称作可分扩张。由于特征为0的域（包括常见的有理数域）以及有限域都是完美域，任何这些域上的代数扩张都是可分扩张，因此可分扩张在域论研究中十分重要。可分扩张还是伽罗瓦扩张的条件之一，因此它在伽罗瓦理论中也扮演了重要的角色。

简介

域扩张理论和多项式有紧密的关系。给定一个基域K并固定其某个代数闭包Kᵃˡᵍ，所有K-多项式f（即以K中元素为系数的多项式）都在Kᵃˡᵍ中有根，即存在rf，使得f(rf) = 0。考虑集合。Zf包含了f所有的相异的根，它的元素个数不会超过多项式f的次数，但也不总等于多项式f的次数。例如有理数系数的三次多项式有三个不同的根：1、0和-1，相异根的个数等于多项式次数。但同样是三次多项式就只有两个根：0和1。
尽管随着代数闭包Kᵃˡᵍ变化，多项式f的根的形式可以不一样，但多项式相异根的个数是它的内禀属性。这个属性对应着域扩张理论中的可分扩张与不可分扩张。

定义

一个代数扩张L/K是可分扩张，当且仅当对L中任一给定元素α，α在K上的极小多项式没有重根。

可分元素与可分次数

给定一个域扩张L/K，如果L中某个元素α在K上的极小多项式没有重根，就称它为K上的可分元素。显然所有K中元素都是K上的可分元素。所有可分元素构成一个域，记作Lₛ是域扩张L/K的中间域。子扩张Lₛ/K的次数[Lₛ : K]称为L/K的可分次数，记作[L : K]ₛ。如果Lₛ = L，则L/K是可分扩张。
当L/K是有限扩张时，可以定义不可分次数[L : K]ᵢ := 。L/K是可分扩张等价于说不可分次数等于1。