單峰映象

单峰映象和混沌

和其他混沌系统比较，单峰映象较为简单，是一个说明混沌特性的很好的例子。简单来说，混沌就是对初始条件的高度灵敏度。是在3.57及4之间的大部分数值都可以使单峰映象出现此一特性。对初始条件有高度灵敏度的常见原因是映射本身是对定义域的拉伸及折叠。单峰映象的二次差分方程可视为是对于区间(0,1)拉伸及折叠的过程。
利用二维及三维的相图可以看出一些单峰映象的特性。以的单峰映象为例，二维相图为一抛物线，但是若用绘制三维相图，可看出进一步的结构，例如几个一开始很接近的点在迭代后开始发散．特别是位在斜率较大位置的点。
拉伸及折叠的结果使迭代的数列以指数形式发散（参照李亚普诺夫指数），可以用有混沌特性时，单峰映象的复杂及不可预测性说明这一点。事实上，数列的指数发散说明了混沌和不可预测性之间的关系：初值微小的误差在迭代过程中会以指数成长的方式增加。因此当对于初始状态的资讯中有微小的误差时．对未来状态的预测准确度也会随迭代次数增加而快速变差。
由于映象是限制在实数数线的一段范围内，其维度小于或等于1。依数值分析的结果，在r=3.5699456...时（刚开始混沌特性时），其关联维度为0.500 ± 0.005（Peter Grassberger,1983）、豪斯多夫维数大约是0.538，而分形维数为0.5170976...。
有些混沌系统可对于其未来状态的可能性作准确的描述。若一个可能有混沌特性的动态系统存在吸引子，则存在一概率量测描述系统长期下，在吸引子各部分所花时间的比例。以的单峰映象而言，启始状态在区间(0,1)中，而吸引子也在间(0,1)中，其概率量测对应参数的Β分布，其不变测度为。不可预期性和随机不同，不过在一些情形下这二很类似，而且即使对单峰映象（或其他混沌系统）初值只有很少的资讯，仍然可以针对长期的分布作某种程度的预测。