索伯列夫空间

数学上，一个索博列夫空间是一个由函数组成的赋范向量空间，对于某个给定的p ≥ 1，它对一个函数f和它的直到某个k阶导数加上有限Lᵖ范数的这个条件。它以前苏联数学家谢尔盖·索博列夫来命名。

简介

对于数学函数的光滑性有很多种。最基本的要求可能就是函数要连续，更进一步的要求是可微（因为可微函数也是连续的），再强一些的概念是导数的连续性（这些函数称为 — 参看光滑函数）。可微函数在很多领域相当重要，特别是在微分方程中。在二十世纪，人们发现函数空间不是研究微分方程的解的恰当的空间。
而索博列夫空间正是空间的替代品，用于研究偏微分方程的解。

非整数k的索博列夫空间

为避免混淆，在讨论不是整数的k的时候，我们通常用s来取代它，也即或者。

复插值

获取“分数索博列夫空间”的另一个办法是采用复插值。复插值是一个通用的技术：对于任何0 ≤ t ≤ 1 和巴拿赫空间X及Y，且这二者都包含于某个更大的巴拿赫空间中，我们可以创建“过渡空间”，记为[X,Y]ₜ。（后面将会讨论到一个不同的方法，所谓的实插值方法，它对于迹的分类的索博列夫理论有重要的意义）。

这样的空间X和Y称为插值对。
下面提一些关于复插值的有用的定理：
定理 (插值): [ [X,Y]ₐ , [X,Y]b ]c = [X,Y]cb₊₍₁₋c₎ₐ.
定理 (算子的插值): 若{X,Y}和{A,B}是插值对，并且若T是一个线性映射，定义与X+Y到A+B中，使得T在X到A和Y到B上连续，则T从[X,Y]ₜ到[A,B]ₜ上连续。并且有如下的插值不等式：
参看: Riesz-Thorin定理。
回到索博列夫空间上来，我们要通过对几个的插值得到非整数s的。第一件事当然是看看这个可以给出一致的结果，而我们确实有
定理: ，如果n是一个整数使得n=tm。
因此，复插值是一个得到一个空间之间的空间的一个连续统的一致的方法。而且，它给出了和分数阶微分同样的空间（但参看延拓算子中的一个变化）。

例子

在多维情况，有些结果不再成立，例如，只包含连续函数。例如，1/|x|属于，其中是三维的单位球。对于足够大的k，将只包含连续函数，但是对于哪个k才够取决于p以及维数这二者。
但是，W1,∞和的表述在做了必要的修改之后还是成立的。