彼得-魏尔定理

彼得-魏尔定理（英语：Peter–Weyl theorem）是调和分析和群表示论中的一组重要定理，于1927年由赫尔曼·魏尔和他的学生弗里茨·彼得证明。该定理刻画了紧群不可约表示的完备性，可以视作有限群表示理论中弗罗贝尼乌斯定理的推广。定理分为三部分：第一部分指出，紧群的所有有限维不可约酉表示的矩阵元，在上所有复值连续群函数构成、配备了一致范数的空间中稠密。第二部分指出，在任何一个可分希尔伯特空间上的酉表示都完全可约。第三部分断言，的所有有限维不可约酉表示的矩阵元构成了上平方可积的复值函数空间的一组标准正交基。

背景

20世纪20年代，魏尔在研究广义相对论的数学基础时，对连续群的表示理论产生了兴趣。在研究中，他试图将有限群表示理论中的弗罗贝尼乌斯定理（即有限群正则表示可以约化为其所有不可约表示的直和）推广到连续群，尤其是特殊线性群。与此同时，伊赛·舒尔等其它数学家的工作也为研究群表示提供了更强有力的工具。1927年，魏尔在其学生彼得的协助下证明了本定理，断言了紧群不可约表示的完备性。值得注意的是，魏尔在证明中不必要地假定了群运算的可微性，因为在当时他并不知道如何在除紧李群之外的一般紧群上定义群作用下不变的积分。这一问题直至1933年才由阿弗雷德·哈尔建立的哈尔测度理论彻底解决。
彼得-魏尔定理在抽象调和分析理论中扮演了重要的角色。正如本尼迪克特·格罗斯所述：“现代调和分析发轫于20世纪20年代......她诞生于1927年，而彼得和魏尔的论文是她的出生证明。”此外，冯诺依曼于1933年利用该定理的一个推论，解决了紧群版本的希尔伯特第五问题。

定理I

设为紧群，是上所有复值连续函数构成、配备了一致范数的线性空间，是的所有有限维不可约酉表示的矩阵元张成的线性空间，则在中稠密。

定理II

设是紧群在可分希尔伯特空间上的任意酉表示，则可分解为的有限维不变子空间的直和，其中每个子空间都承载了的不可约表示。

定理III

设是紧群，则的所有不等价不可约酉表示的矩阵元的集合构成的标准正交基。

证明概要

注意到在中稠密，利用舒尔正交关系和定理I即可得到本定理。

点分离推论

由彼得-魏尔定理可以推出如下结论：
设是紧群任意非恒等元，则存在的不可约表示，使得不是单位矩阵。换言之，如果和属于紧群，对的一切不可约表示，和的表示矩阵都相同，则。证明如下：
对任意，由乌雷松引理，存在上连续函数使得。由彼得-魏尔定理，可以写成一列绝对一致收敛的矩阵元的级数和。若对一切不可约表示，都是单位阵，则前述级数展开的每一项，都满足，因此。这一矛盾意味着必然存在某个不可约表示，使得不是单位矩阵。
该推论最早出现在彼得和魏尔的原始论文中，并在相关理论日后的发展过程中发挥了重要的作用。冯诺依曼解决紧群版本的希尔伯特第五问题时，就用到了这一推论。