三等分角

二等分角问题

与三等分角问题相比，用尺规作图将任意角二等分要容易得多。右图具体说明了二等分一个角的步骤。依照类似的步骤，也能够将任意角四等分、八等分……但直到十九世纪，随着群论和伽罗瓦理论的出现，数学家们才认识到二等分角和三等分角本质上的不同。在现代数学语言中，更常用域扩张的理论来论述三等分角的问题。从证明三等分角的过程中可以知道，尺规作图的方法不但不能三等分任意角，也不能将任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直线和圆的解析性质。

不可能性的证明

1837年，法国数学家汪策尔证明了，三等分角问题是没有办法完成的。
三等分角问题提出后，有许多基于平面几何的论证和尝试，但在十九世纪以前，一直没有完整的解答。没有人能够给出将任意角度三等分的确实做法，但开始怀疑其可能性的人之中，也没有人能够证明这样的做法一定不存在。直到十九世纪后，伽罗瓦和阿贝尔(全名:尼尔斯·阿贝尔)开创了以群论来讨论有理系数多项式方程之解的方法，人们才认识到三等分角问题的本质。

能够尺规三等分的角度

以上的证明通过一个反例：说明了用尺规作图将任意角三等分是不可能的。但用尺规作图三等分某些特定的角（比如说直角）仍然是可行的。事实上，从证明中可以看出，尺规三等分某个角等价于说。要注意的是，这个条件与本身能否用尺规作图作出并不相关。实际上，有的角度即便本身无法用尺规作图法作出，但如果已知角作为条件，是能够用尺规作图将它三等分的。角度就是这样一个例子。它本身无法用尺规作出，但如果给定一个的角，它的五倍角就是，等于将圆周绕过一圈后的，这正是的三分之一。可以证明，角度可以用尺规三等分，当且仅当自然数N本身无法被三整除。
从证明中还可看出，只要自然数k只含有2以外的质因子，根据k倍角公式得到的k阶多项式就说明的最小多项式阶数整除k，所以不是2的幂次，从而无法用尺规作图k等分任意角。例如用尺规作图五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的（可以五等分，当且仅当N不是5的倍数；而不管N是多少，都不能七等分，因为正七边形本身就不能尺规作图了）。

三等分角的方法

用尺规作图的方法三等分角被证明是不可行的。如果放宽尺规作图的限制，或允许使用另外的工具，那么三等分任意角仍旧是可能的。