可测函数

可测函数是可测空间之间的保持（可测集合）结构的函数，也是勒贝格积分或实分析中主要讨论的函数。数学分析中的不可测函数一般视为病态的。 
如果Σ是集合X上的σ代数，Τ是Y上的σ代数，则函数f : X → Y是Σ/Τ可测的，如果Τ内的所有集合的原像都在Σ内。
根据惯例，如果Y是某个拓扑空间，例如实数空间，或复数空间，则我们通常使用Y上的开集所生成的波莱尔σ代数，除非另外说明。在这种情况下，可测空间(X,Σ)又称为波莱尔空间。
如果从上下文很清楚Τ和Σ是什么，则函数f可以称为Σ可测的，或干脆称为可测的。

特殊可测函数

如果(X, Σ)和(Y, Τ)是波莱尔空间，则可测函数f又称为波莱尔函数。所有连续函数都是波莱尔函数，但不是所有波莱尔函数都是连续函数。然而，可测函数几乎是连续函数；参见卢辛定理。
根据定义，随机变量是定义在样本空间上的可测函数。

不可测函数

不是所有的函数都是可测的。例如，如果是实数轴的一个不可测子集，那么它的指示函数是不可测的。