格拉斯曼流形

在数学中，格拉斯曼流形是一个向量空间 V 的给定维数的所有线性子空间。例如，格拉斯曼流形Gr₁(V) 是 V 中过原点直线的空间，从而与射影空间 PV 相同。格拉斯曼流形以赫尔曼·格拉斯曼命名。

引言

通过给定子空间一个拓扑结构可以谈论子空间的一个连续选取或子空间集合的一个开集或闭集；通过给它们一个微分流形结构可以考虑子空间的光滑选取。
一个自然的例子来自嵌入在欧几里得空间中光滑流形的切丛。假设我们有一个r 维流形M 嵌入在 中。在 M 中的每一点x，M 的切丛可以视为 的切空间（也是 ）的一个子空间。将 x 分配为它切空间定义了一个M 到 Grᵣ(n) 的映射。（为此我们需要平移M 在 x 处的切空间到原点，从而定义了一个r-维向量子空间。这种想法非常类似于三维空间中曲面的高斯映射）。
这种想法广泛地说可以推广到一个流形M 所有向量丛，这样每个向量丛产生一个从M 到一个合适的一般化格拉斯曼流形的连续映射——但是为此我们须证明不同的嵌入定理。我们然后发现我们的向量丛的性质与对应的映射视为连续映射的性质有关。特别的我们发现，具有同伦的映射的向量丛是同构的。但是同伦的定义依赖于一个连续的概念，从而一个拓扑。

历史

最简单的非射影空间格拉斯曼流形是。这是尤里乌斯·普吕克研究的，做为射影三维空间中的直线，他通过普吕克坐标参数化了这个空间。赫尔曼·格拉斯曼将普吕克的工作一般化为n 维空间中的r 平面。

低维情况

当 k = 2 时，格拉斯曼流形是所有过原点平面的空间。在三维欧几里得空间，一个平面完全由其一条垂线确定（反之亦然）；从而 Gr₂(3) 同构于Gr₁(3)（两者都同构于实射影平面）。

格拉斯曼流形作为集合

设 V 是域 k 上有限维向量空间。格拉斯曼流形Grᵣ(V) 是 V 的所有r-维线性子空间。它也记做Gᵣ(V)， Gr(r, V) 或 G(r, V)。如果 V 的维数为n，则格拉斯曼流形也记做Gr(r, n) 或 G(r, n)。
V 的向量子空间等价于射影空间PV 的线性子空间，故等价地可将格拉斯曼流形视为PV 的线性子空间之集合。当格拉斯曼流形看成这样时，经常记做Grr−1(PV)，Gr−1(PV)，Gr(r−1, n−1) 或 G(r−1, n−1)。