命题逻辑

术语

一般地说，演算是一个形式系统，包括一套语法表示式（合式公式）、这些表示式的一个特定子集（公理）和一套定义了特定的二元关系的形式规则，这个二元关系可解释为表示式空间上的逻辑等价关系。
若形式系统会作为一个逻辑系统，其表示式会被解释成数学陈述，且其规则，被称之为“推理规则”，则一般会是保真的。在此设置下，规则（可能也包括公理）可以被用来从给定为真的陈述的公式中推导出表示真的陈述的公式来。
公理的集合可能为空集、非空有限集、可数无限集或由公理模式所给定。形式文法递归地定义了语言的表示式和合式公式。之外，有时也可以给定一个语义，用以定义真值和赋值（或解释）。
命题运算的语言包括：（1）一套原始符号，被称之为“原子公式”、“占位符”、“命题字母”或“命题变量”；（2）一套运算符号，被称之为“逻辑运算符”。一个“合式公式”是任一原子公式，或任一以运算符号依文法规则由原子公式创建起的公式。
在下文中我们描述一种标准命题演算。很多不同的公式系统存在，它们都或多或少等价但在下列方面不同：（1）它们的语言（就是说哪些原始符号和运算符号是语言的一部分）；（2）它们有哪些（如果有的话）公理；（3）采用了哪些推理规则。

公理化演算

下面定义的命题演算通过公理的方式定义了多数逻辑算子的语法并且它只使用一个推理规则。它也叫做标准命题演算。

其他逻辑演算

命题演算大概是在所有当前使用的逻辑演算中最简单的一种。（亚里士多德的“三段论”演算，在现代逻辑中在很大程度上被替代了，它与命题逻辑相比在某些方面更简单--但在其他方面更加复杂）。它可以按很多方式来扩展。
最直接的方式是开发一个更加复杂的逻辑演算，介入对所用于的句子的更精细的细节敏感的规则。在命题逻辑中的原子句子被分解成项、变量、谓词和量词的时候，它们就生成了一阶逻辑，或者叫做一阶谓词逻辑，它保留命题逻辑的所有规则并增加了一些新规则。（例如，从“所有的狗都是动物”我们可以推出“如果Rover是狗，则Rover是动物”）。
通过一阶逻辑的工具，有可能公式化一些理论，要么带有显式的公理要么通过推理规则，而把它们自身当作逻辑演算。算术是其中最周知的理论；其他的还包括集合论和分体论。
模态逻辑也提供了一种推理的变体，它不能在命题演算中捕获。例如，从“必然地p”我们可以推出p。从p我们可以推出“可能地p”。
多值逻辑是允许句子有除了“真”和“假”之外的值的逻辑。（例如，“都不”和“都是”是标准的“额外值”；“连续统逻辑”允许每个句子有任何的在“真”和“假”之间的表示“真实程度”的无限个值）。这些逻辑经常要求与命题逻辑非常不同的运算设备。