导数

几何意义

当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。如右图所示，设为曲线上的一个定点，为曲线上的一个动点。当沿曲线逐渐趋向于点时，并且割线的极限位置存在，则称为曲线在处的切线。
若曲线为一函数的图像，那么割线（粉红色）的斜率为：
当处的切线（橘红色），即的极限位置存在时，此时，，则的斜率为：
上式与一般定义中的导数定义完全相同，也就是说，因此，导数的几何意义即曲线在点处切线的斜率。

导数与微分

微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。函数的微分又可记作。

导数的记法

从微积分发轫至如今，不同的数学家都曾使用过不同的记号来表示函数的导数。部分记号至今仍然使用，成为现代的通用记法。

拉格朗日的记法

另一种现今常见的记法是十八世纪拉格朗日于1797年率先使用的，以在函数的右上角加上一短撇作为导数的记号。函数  的导数就记作 或 。二阶和三阶导数记为、 和 、。如果需要处理更高阶的导数，则用括号内的求导阶数n来代替短撇，记为：、。当十九世纪的数学家柯西处理微分学时，他认为莱布尼兹的记法“模糊不便”，而采用更为“紧凑”的记法，将  记为。这种记法可说是拉格朗日记法的变种。后来这种记法曾继续被精简为。

其它记法

十九世纪以前，尽管大部分数学家会选择采用牛顿、莱布尼兹或拉格朗日的记号来表示导数，但也有很多的数学家希望使用自己的方法来记录。在不同数学家的著作中可以看到各种主流记法的混合或变体。数学家之间关于什么样的记法最为简便和严谨也是各执一词。同时，由于函数的微分、导数、偏导数以及无穷小量等概念尚未成熟，记号的不统一更增加了数学家之间相互理解的难度。十九世纪初期的德国数学家马尔丹·欧姆采用来表示导数，而同时期的雅可比则采用来表示偏导数。同时许多数学家采用、或 表示偏导数。
用大写字母表示导数从十八世纪末就开始。1800年，法国数学家路易斯·弗朗索瓦·安托内·阿伯加斯特（Louis François Antoine Arbogast）使用表示函数 的m阶导数或全微分。而其后本杰明·佩尔斯（Benjamin Peirce）也使用表示  对  的导数。而柯西也采用类似的记号，用表示函数 对  的m阶偏导数。

导数与函数的性质

通过认识可导函数的导数，可以推断出不少函数本身的性质。

凹凸性

可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凸的，反之则是向上凸的。如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上 恒大于零，则这个区间上函数是向下凸的，反之这个区间上函数是向上凸的。

导数的计算

原则上，函数的导数可以通过考虑差商和计算其极限来从定义计算。在实践中，一旦知道了一些简单函数的导数，就可以使用从更简单的函数获得更复杂函数的导数的规则，来更容易地计算其他函数的导数。

二阶导数

如果函数的导数在处可导，则称为的二阶导数。记做：，，或

高阶导数

二阶导数的导数称为三阶导数，记做，，或
三阶导数的导数称为四阶导数，记做，，或
一般的的阶导数的导数称为的阶导数，记为，，或

方向导数

方向导数是比偏导数更加广泛的概念。导数的本质是函数值增量与自变量增量之比的极限。在多元函数 中，可以选定一个确定的方向（以这个方向上的单位向量 表示），并考虑函数在这个方向上的增量：
这个增量为关于 的一元函数。函数  的方向导数定义为这个增量与 的比值在 趋于0时的极限，记为。
方向导数表示了函数从某点开始在某个方向上的变化率。
在中，如果将向量 选为正规基 之中的一个，如，那么方向导数就是关于 的偏导数。

推广

导数的概念建立在变量为实数之上，但也可以推广到更加广泛的意义上。推广的导数本质上仍旧是函数在局部一点上的线性逼近。

次导数

在凸分析，也就是对凸函数的研究中，可以定义凸函数的次导数。次导数的概念是导数的几何意义的推广。由于函数是凸的，过它的图像上每一点总可以作一条直线，使得函数的图像在直线上方。这种直线的斜率称为函数在这点的次导数。如果函数在某点可导，那么次导数只有一个，等于其导数。如果函数像绝对值函数一样在零点有突然的转折，那么次导数可能不止一个。比如过零点而斜率在之间的直线都在绝对值函数下方，因此之间的每个数都是绝对值函数在零点的次导数。

加托导数和弗雷歇导数

方向导数在无穷维向量空间如巴拿赫空间和弗雷歇空间上可以推广为加托导数和弗雷歇导数。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于物理学，特别是量子场论。

导数的应用

物理学、几何学、工程科学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度，也可以表示曲线在一点的斜率。

边际和弹性

经济学中，所谓边际和弹性的概念与导数紧密相关。比如边际成本就是产量增加一个单位所带来的成本的增加，若将其连续化，得到的便是成本函数的导数。又如需求的弹性是指价格变化一个单位时，需求量的变化，连续化后相应的也是需求函数关于价格的导数。