菲涅爾轉換

早期针对菲涅尔转换的研究

追溯菲涅尔转换为人知的时期，要回到十七世纪的时候，由一位意大利人Francesco Maria Grimaldi在他的专题论文-"light"所提出的。接着，Richard C. MacLaurin 借由观测光的传递、一条远距离光源所产生的光束遇到一个有孔或狭长的障碍物时如何被影响，去解释菲涅尔衍射现象。他使用了惠更斯－菲涅耳原理去做推导，发现光的波前从障碍物的狭缝中穿出且射到一个距离狭缝有一段距离的屏幕上的效果，跟光的波前直接穿过去是差不多的，看起来就好像没有经过任何的物理障碍一样。这个结果表示如果一个缝隙如果非常的狭长，具有明亮中心的衍射宽带则可以被观测到；如果这个缝隙相对来说比前一个状况宽一些，则会看见明暗交错的衍射宽带。若这个隙缝继续的变大，则明暗交错的衍射宽带会渐渐地变的不明显，直到衍射的现象无法再被观测到为止。
MacLaurin没有提到关于光如果从一个小孔照耀出去的话，衍射的中心会有概率受到影响而看不见。但是他指出相反的情况-如果一个圆形物体的影子区域，可能经由衍射效果而使的此区域变明亮，这也是我们俗称的阿拉戈点。
在MacLaurin的著作-"光学"中，Francis Weston Sears提供了一个菲涅尔所提出的数学近似法，仅仅用一些简单的数学，就能拿来预测衍射现象的主要特色。借由观测有洞的障碍物到侦测屏幕的直线距离，以及知道入射波的波长，我们是有可能去计算出菲涅尔区域。这个区域的特性是，最内部区域是一个圆，接着会有一层一层的同心环所包围。如果最内部的圆之直径在屏幕上已经足够显示出第一个菲涅尔区域且侦测屏幕没有被屏蔽的话，光在屏幕中心点的振幅就会比原本的大两倍。如果最内部的圆之直径在屏幕上已经足够显示出前两个菲涅尔区域，则光在屏幕中心点的振幅会趋近于零。这表示菲涅尔衍射还是有机会出现一个暗带中心。上述所提到的特性都可以借由实验观测到以及量测到，而且可以对应到充足的理论，让我们可以去计算出这些现象发生时，各个条件所对应到的值。

离散一般化菲涅尔转换

2006年，由I. Aizenberg和J.T. Astola所发表，是由线性卷积的离散转换所发想而来。他们使用一个可被广泛运用的代数方法，使得能在任意的向量空间中做讯号分析。I. Aizenberg和J.T. Astola找到了一个可被运用在离散傅立叶转换的一般化菲涅尔转换，并且得出有偶数次的离散傅立叶转换有两个一般化的菲涅尔转换函数、奇数次的离散傅立叶转换则只有一个一般化的菲涅尔转换函数。而这些菲涅尔转换主要是由Walsh转换与联合转换所推导而来。
2015年，由Xing Ouyang等人发表的"Discrete Fresnel Transform and Its Circular Convolution"利用如离散傅立叶转换以及正弦余弦函数等离散三角转换，运用他们的特性，去导出在无线周期的光栅系统下的离散菲涅尔转换。相较于以前的离散菲涅尔转换，Xing等人所得出的不会有衰减的现象。同时，菲涅尔转换的圆形卷积也是第一次在这篇论文中被探讨，他可以证明出两个序列的圆形卷积等同于其中一个讯号与菲涅尔转换的圆形卷积，这个性质除了可以帮助我们得出托尔伯特图像的参数外，亦可在光学上有所运用，也可以对于资料处理和菲涅尔转换的数值分析有帮助。