策梅洛集合论

策梅洛集合论（德语：Zermelo-Mengenlehre），设立自恩斯特·策梅洛在1908年的重要论文，它是现代集合论的祖先。它与它的后代有特定的差别，经常被误解并经常被误引用。本文架设最初的公理，带有最初的文本（从德文译成了英文）和编号。

与标准集合论的联系

公认的标准集合论是Zermelo-Fraenkel集合论。其中没有“基本集合公理”的完全对应者。（后来证实单元素集合可以从所谓的“对集公理”推导出来。如果a存在，a和a存在，所以{a,a}存在。通过外延性{a,a} = {a}。）空集公理已经被无穷公理所假定，现在不被包括为它的一部分了。
这里的公理不包括正规公理和替代公理。它们是Thoralf Skolem在1922年基于同一年早些时候Adolf Fraenkel的工作而增加的。
在现代ZFC系统中，在分离公理中提及的“命题函数”被解释为“可用带有参数的一阶公式定义的任何性质”。“一阶公式”的概念在1904年Zermelo发表他的公理的时候是未知的，而他后来拒绝这种解释因为太受限制了。
在通常的ZFC集合论的累积层次Vα（对于序数α）中，对于大于第一个无限序数ω的极限序数α的集合Vα之一形成了Zermelo集合论的模型。所以Zermelo集合论的相容性是ZFC集合论的一个定理。Zermelo的公理不允许很多无限基数的存在；例如，在Zermelo集合论的模型Vω+ω中对于有限序数α只有无限基数。
无穷公理现在通常被修改为断言第一个无限冯·诺伊曼序数的存在性；有意思的是观察到最初的Zermelo公理不能证明这个集合的存在，而修改后的Zermelo公理也不能证明Zermelo的无穷公理。Zermelo的公理（最初的或修改后的）不能证明作为一个集合的存在性，也不能证明带有无限标定（index）的累积层次的任何阶的存在性。

Zermelo论文的目标

介绍声称了集合论学科的真正存在性，“它好像受到从它的原理推导出的特定矛盾或“自相矛盾”的威胁–这些原理必然支配我们的思维–而完全满意的解决似乎仍未找到。”Zermelo当然指的是罗素悖论。
他说希望展示康托尔和戴德金的最初理论如何被简约到很少的定义和一些原理或公理。他说他仍未能够证明这些公理是相容的。

分离公理

Zermelo注解他的系统中的公理III负责消除悖论。它不同于康托尔最初的定义。
集合不能用任何任意的逻辑上可定义的概念来独立的定义。它们必须被“分离”为已经“给出”的集合的子集。他说这消除了矛盾性的想法如“所有集合的集合”或“所有序数的集合”。

康托尔定理

Zermelo的论文因第一次提及康托尔定理而著名。它严格的凭借了集合论的概念，因此不完全同于最初的康托尔对角论证法。