有理映射

在代数几何中，有理映射是定义在概形的稠密开集上的态射。有理映射及由此引生的双有理等价是古典代数几何学的主要对象。

优势映射与双有理等价

之前考虑合成问题时，曾利用像的稠密性条件；满足该条件的有理映射称为优势映射。由于优势映射可以作合成，定义从概形 到  的双有理等价为一个优势映射，使得存在另一个从 到  的优势映射，使 、。
以下考虑域  上的不可约代数簇及其间的-有理映射。有理映射的地位在于：透过有理函数的“拉回”运算，代数簇之间的优势映射对应到函数域之间的映射，而双有理等价对应到函数域的同构。由此可知代数簇的双有理等价范畴等价于函数域的反范畴。

双有理等价的例子

双有理等价的定义较同构宽，因为我们容许态射在某维度较低的闭集上未定义。一个例子是 与 ，两者双有理等价，而并不同构。原因如下： 中的任两条闭曲线都有交点，而在 中， 与  不相交，因而  与  并不同构。
另一方面， 的函数域可以在仿射开集 上计算，此开集的座标环是，其函数域是；这也是 的函数域，于是二者双有理等价。若细审上述论证，事实上能写出所求双有理等价的式子。