闭包 (拓扑学)

闭包，（英语：closure），这里指点集拓朴的术语：在拓扑空间里，子集S 的闭包是指由S 的所有点及S 的极限点所组成的一个集合；直观上来说，即为所有“靠近”S　的点所组成的集合。在子集S　的闭包内的点称为S 的闭包点。闭包的概念在许多方面能与内部的概念相对比。

闭包点

设S 为欧几里德空间内的一个子集，若所有以x 为中心的开球都包含S 内的一点（这个点也可以是x 自身），即称x 为S　的闭包点。
上述定义可以推广到度量空间X 的任意子集S之上。具体地说，设X 为具度量d 的度量空间，S为X 内的子集，若对所有的r > 0，皆存在一个S 内的点y，使得 d(x, y) < r（同样地，x = y 也可），即称x 为S 的闭包点。另外，也可以如下定义：若 d(x, S) := inf{d(x, s) : s in S} = 0，即称x 为S的闭包点。上述两种定义的写法是同样的意思。
最后，闭包点的定义也可以推广到拓扑空间，只需要用邻域替代“开球”即可。设S 为拓扑空间X 的子集，则x 称为S 的闭包点，若所有x 邻域都包含S 内的一点。注意，这个定义并不要求邻域一定要为开集。

极限点

闭包点的定义非常接近极限点的定义。这两个定义之间的差别非常微小但很重要——在极限点的定义中，点 x 的邻域必须包含“ 不是 x 自身的”这个集合的点。
因此，所有极限点都是闭包点，但不是所有的闭包点都是极限点。不是极限点的闭包点就是孤点。也就是说，点 x 是孤点，若它是S 的元素，且存在x 的邻域，该邻域中除了x 没有其他的点属于S。
对给定的集合S 和点x，x 是 S 的闭包点，当且仅当 x 属于 S，或 x 是 S 的极限点。