七元域上二阶方阵的特殊射影线性群

数学上，射影特殊线性群 PSL (2,7)（同构于GL(3,2)）是一个有限单群，在代数、几何和数论中有重要应用。 它是Klein 四次曲线的自同构群，也是 Fano 平面的对称群。 具有168个元素的PSL (2,7) 是继交错群 A₅（5文字的对称群的子群，有60个元素，同构于正二十面体的旋转对称群，也同构于PSL (2,5)）之后第二小的非阿贝尔单群。

在射影空间上的作用

G = PSL(2, 7) 通过分式线性变换作用在七元域上的射影直线P¹(7) 上：
P¹(7) 的任一保定向的自同构均由此产生，而也因此G = PSL(2, 7) 在几何上可以考虑作射影直线P¹(7) 的对称群；整个可能的保定向的射影直线自同构群却是它的2 阶扩张PGL(2, 7)，而这个射影直线的直射变换群则是整个点的对称群。
但是， PSL(2, 7) 亦同构于 PSL(3, 2) (= SL(3, 2) = GL(3, 2))，二元域上三阶方阵的特殊（一般）线性群。以相似的方式， G = PSL(3, 2) 作用在二元域上的射影平面 P²(2) —— 或叫Fano 平面上：
同样，任一P²(2) 的自同构由此产生，G = PSL(3, 2) 可视为该射影平面的对称群。Fano 平面可用于描述八元数的乘法，因此 G 在八元数的乘法表上也有一个作用。

Mathieu 群

PSL(2, 7) 是 Mathieu 群 M₂₁ 的极大子群。Mathieu 群 M₂₁ 和 M₂₄ 可由 PSL(2, 7) 作扩张得到。这些扩张可以用Klein 四次曲面的镶嵌的语言解释，但不能通过镶嵌的几何对称实现。