微分学

微分的历史

若以切线来看，微分的概念很早以前就出现了，像希腊几何学家欧几里得（约300 BC）、阿基米德（约287–212 BC）及阿波罗尼奥斯（约262–190 BC）。阿基米德也引进了无穷小量的使用，不过最早是用在面积及体积上的研究，而不是在导数及切线上，参考阿基米德使用的无穷小量。
在印度数学家的研究中有看到用无穷小量来探讨量的变化，最早也许可以推到公元500年，当时天文学家及数学家阿耶波多用无穷小量来研究月球轨道。在印度数学家婆什迦罗第二（1114–1185）时，用无穷小量来计算量变化的研究有显著的进展，也有人提到在他的著作中已提到许多微分学的重要概念，例如罗尔定理。
伊斯兰数学家纳色阿尔图斯（1135年–1213年）在其著作《Treatise on Equations》中说明了部分三次方程有解的条件，是透过找适当三次多项式的最大值来求得。他证明了三次多项式 a x² — x³的最大值出现在x = 2a/3，并且得到结论：方程式 a x² — x³ = c在c = 4 a³/27时恰有一正值的解，若0 < c < 4 a³/27会有二个正值的解。科学历史学家Roshdi Rashed认为阿尔图斯一定是用到了三次多项式的导数才得到此一结果。不过也有其他学者质疑Rashed的想法，他们认为Rashed也可能用了其他不用导数概念的作法。
普遍认为近代微积分的发展是因为艾萨克·牛顿（1643年–1727年）及戈特弗里德·莱布尼茨（1646年–1716年）同时但独立个别的研究，并且整合了有关微分及导数的作法。不过其中关键的概念（也是后来认定微积分是由他们两人创始的原因）是结合微分以及积分的微积分基本定理，这也让以往计算面积及体积，自从海什木（Alhazen）以来没有大幅进步的的方式变的过时。有关牛顿和莱布尼茨在微分上的想法，都是以早期数学家的贡献为基础，例如皮埃尔·德·费马（1607年-1665年）、伊萨克·巴罗（1630年–1677年）、勒内·笛卡尔（1596年–1650年）、克里斯蒂安·惠更斯（1629年–1695年）、布莱兹·帕斯卡（1623年–1662年）及约翰·沃利斯 (1616年–1703年）。有关费马的影响，牛顿曾在一封信中提到：“我从费马画切线的方式得到有关（通量）方法的暗示，将其用在抽象的方程……，我扩展了这个概念。。一般会将导数早期的发展归功于伊萨克·巴罗，不过牛顿和莱布尼茨仍在微分学的历史上有重要的贡献，其中也包括了牛顿将微分用在理论物理学中，而莱布尼茨发展的符号到现今仍在普遍使用。
自从17世纪起，许多数学家都对微分学有所贡献。在19世纪时，在奥古斯丁·路易·柯西（1789年–1857年）、波恩哈德·黎曼（1826年–1866年）及卡尔·魏尔斯特拉斯（1815年–1897年）等数学家的贡献下，微分学已更加的严谨。微分学也在此一时期扩展到欧几里得空间及复平面。

变分法

最佳化问题的一个例子是：找到在一曲面上，通过曲面上二点的最短路径。若是在平面上，其最短路径是直线。不过若曲面是较复杂的形状（例如蛋形），最短路问题的解就不是那么直观了，此路径称为测地线，而这也是最佳化问题中最简单的问题之一。另一个例子是：找到可以填充空间中封闭曲线的最小面积曲面，此曲面称为极小曲面，也可以透过变分法求得。

泰勒多项式及泰勒级数

一函数的某一点的微分是对该点附近最佳的线性近似，不过这和实际的函数可能有很大的差异。改善近似的一个方式就是进行二次近似。也就是说，实值函数f(x)在x₀点的线性化是线性多项式a + b(x − x₀)，若考虑一个二次多项式a + b(x − x₀) + c(x − x₀)²，可能会有更好的近似结果。若二次多项式改为三次多项式a + b(x − x₀) + c(x − x₀)² + d(x − x₀)³，近似效果会更好一些，此概念可以扩展到任意多次的高次多项式。针对一个多项式，都应该会有一个最佳的系数a、b、c、d……的组合，让近似的效果最好。
在x₀的邻域，对a来说，最理想的数值一定是f(x₀)，对b来说，最理想的数值一定是f'(x₀)，对For c、d及更高阶的系数来说，其系数最理想的数值是由f更高阶的导数决定。c最理想的数值一定是，and d最理想的数值一定是。利用这些系数，可以得到f的泰勒多项式。d次的泰勒多项式是对f可以有最佳近似的d次多项式，其系数可以用上述公式推广而得。泰勒公式提供近似程度的精确范围。若函数f是次数小于等于d的多项式。则此函数的d次泰勒多项式即为函数f。
泰勒多项式的极限是无穷级数，称为泰勒级数。多半来说泰勒级数是原函数非常理想的近似。一函数若都各点等于其泰勒级数，称为解析函数。若函数有不连续点或是斜率不连续的尖角，此函数不会是解析函数，不过相反的，存在一些函数是光滑函数（无穷阶可导的函数），却不是解析函数（非解析的光滑函数）。

隐函数定理

有些几何图形（例如圆）无法用函数图形来表示。例如若f(x, y) = x² + y² − 1，其圆即为所有使f(x, y) = 0的点(x, y)的集合。这个集合称为f的零集。这和f本身的图形（抛物面）不同。隐函数定理可以将f(x, y) = 0之类的关系转换为函数。其中提到，若f是连续可微函数，f的零集中大部分都可以表示为函数图形“粘贴”的组合。零集上的个点是否满足上述条件，可以用一个和f微分有关的方式来确认。例如圆可以表示成二个函数图形±“粘贴”后的结果。圆上除了(−1, 0)和(1, 0)二点之外，在其余每一个点的邻域上，上述二个函数中都有一个的图形和圆的图形类似。（上述二个函数其实刚好也通过(−1, 0)和(1, 0)，不过这不是隐函数定理中提到的内容）
隐函数定理和反函数定理有密切的关系。反函数定理提到一函数在一点的开区域内具有反函数的充分条件。