对数

对数

15世纪时，法国数学家许凯和德国数学家施蒂费尔在开展研究工作时产生了发展对数的思想，他们，尤其是后者，对等差数列和等比数列的关系作了一些研究。但他们并没有使其得到更进一步的发展。
一般认为对数于16世纪末至17世纪初期间由苏格兰数学家约翰·纳皮尔男爵和瑞士工程师约斯特·比尔吉发明。比尔吉曾担任过著名天文学家开普勒的助手，因此会经常接触到复杂的天文计算，他也因此产生了化简数值计算的想法。比尔吉受到了施蒂费尔相关工作的影响，他对等差数列和等比数列的关系作出了进一步的研究并于1610年前后发明了对数，但直到10年后（1620年），他才在《等差数列和等比数列表》中对外发布了他的思想。纳皮尔是一位苏格兰贵族，对数值的计算有很深的研究。为了找到简化球面三角计算的方法，他也产生了发展对数的想法。1614年，他在自己的书籍《奇妙的对数表的描述》上发布了自己的对数表，比比尔吉早了6年。纳皮尔发明的纳皮尔算筹用加减法代替了乘除法，成功简化了乘除法的运算，他的对数被后人称为纳皮尔对数，记法为Nap·logx。
1624年，英国数学家布里格斯的书籍《对数算术》成功出版，书中写有14位常用对数表。布里格斯率先采用了以10为底的常用对数，而现在它已通用。他还制作了正弦和正切的对数表。荷兰数学家兼出版商弗拉克在布里格斯的基础上加以改进，他出版的数个对数表在欧洲迅速普及起来。
17世纪中叶（清朝初年），中国数学家薛凤祚和波兰传教士穆尼阁合作完成了中国最早的对数著作《比例对数表》（又名《历学会通》），对数自此传入中国。此书称真数为“原数”，对数为“比例数”。而《数理精蕴》中则称作对数比例：“对数比例乃西士若往·纳白尔所作，以借数与真数对列成表，故名对数表。”中国后来普遍称之为“对数”。
对数对科学的进步有所贡献，特别是对天文学，使某些繁难的计算成为可能。在计算器和计算机发明之前，它持久的用于测量、航海、和其他实用数学分支中。

符号

对数符号出自拉丁文logarithm，最早由1632年意大利数学家卡瓦列里所使用。纳皮尔在表示对数时套用logarithm整个词，并未作简化。1624年，开普勒才把对数符号简化为Log,奥特雷得在1647年也用简化了的Log。1893年，皮亚诺用x及Logx分别表示以为底的对数和以10为底的对数。1902年，施托尔茨等人以表示以为底的的对数。20世纪初，形成了对数的现代表示。为了使用方便，人们逐渐把以10为底的常用对数及以无理数为底的自然对数分别记作和。

对数的用途

对数对解幂是未知的方程是有用的。它们有简单的导数，所以它们经常用在解积分中。对数是三个相关的函数中的一个。在等式中，可以从的次方根，从的底数的对数，从的次的幂来确定。参见对数恒等式得到掌控对数函数的一些规则。

群论

从纯数学的观点来看，恒等式：
，
在两种意义上是基本的。首先，其他3个算术性质可以从它得出。进一步的，它表达了在正实数的乘法群和所有实数的加法群之间的同构。
对数函数是从正实数的乘法群到实数的加法群的唯一连续同构。

一般化

普通的正实数的对数一般化为负数和复数参数，尽管它是多值函数，需要终止在分支点0上的分支切割，来制作一个普通函数或主分支。复数的（底数）的对数是复数，这里的是的模，是辐角，而是虚单位；详情参见复对数。
离散对数是在有限群理论中的相关概念。它涉及到解方程，这里的和是这个群的元素，而是指定在群运算上的幂。对于某些有限群，据信离散对数是非常难计算的，而离散指数非常容易。这种不对称性可用于公开密钥加密。
矩阵对数是矩阵指数的反函数。
对于不等于1的每个正数，函数是从在乘法下的正实数的群到在加法下（所有）实数的群的同构。它们是唯一的连续的这种同构。对数函数可以扩展为在乘法下正实数的拓扑空间的哈尔测度。

对数表

在发明计算器之前，使用对数意味着查对数表，它必须手工建立。