阿贝尔群

乘法表

验证有限群是阿贝尔群，可以构造类似乘法表的一种表格（矩阵），它称为凯莱表。如果群G = {g₁ = e, g₂, ..., gₙ}在运算⋅下，则这个表的第(i, j)个表项包含乘积gᵢ ⋅ gⱼ。群是阿贝尔群当且仅当这个表是关于主对角线是对称的（就是说这个矩阵是对称矩阵）。
这是成立的因为如果它是于阿贝尔群，则gᵢ ⋅ gⱼ = gⱼ ⋅ gᵢ。这蕴含了第(i, j)个表项等于第(j, i)个表项，就是说这个表示关于主对角线对称的。

历史注记

阿贝尔群是Camille Jordan以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名的，他首先察觉到了阿贝尔首先发表的这种群与根式可解性的联系的重要性。

性质

如果n是自然数而x是使用加号的阿贝尔群G的一个元素，则nx可以定义为x + x + ... + x（n个数相加）并且（−n）x = −（nx）。以这种方式，G变成在整数的环Z上的模。事实上，在Z上的模都可以被识别为阿贝尔群。
关于阿贝尔群（比如在主理想整环Z上的模）的定理经常可以推广到在任意主理想整环上的模。典型的例子是有限生成阿贝尔群的分类是在主理想整环上的有限生成模的结构定理的特殊情况。在有限生成阿贝尔群的情况下，这个定理保证阿贝尔群可以分解为挠群和自由阿贝尔群的直和。前者可以被写为形如Z/pᵏZ对于素数p的有限多个群的直和，而后者是有限多个Z的复本的直和。
如果f, g : G  →  H是在阿贝尔群之间的两个群同态，则它们的和f + g，定义为(f + g)(x) = f(x) + g(x)，也是阿贝尔同态。（如果H是非阿贝尔群则这就不成立。）所有从G到H的群同态的集合Hom(G, H)因此是自身方式下的阿贝尔群。
某种程度上类似于向量空间的维度，所有阿贝尔群都有秩。它定义为群的线性无关元素的最大集合的势。整数集和有理数集和所有的有理数集的子群都有秩1。

有限阿贝尔群

整数模以n的循环群Z/nZ是最常见的群的例子。已证实了任意有限阿贝尔群都同构于素数阶的有限循环群的直和，并且这些阶数是唯一确定的，形成了一个不变量（invariant）的完备系统。有限阿贝尔群的自同构群可以依据这些不变量来直接描述。有关理论最初发展自费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯和Ludwig Stickelberger在1879年的论文，后来被简化和推广到在主理想整环上的有限生成模，形成了线性代数的一个重要组成部分。