连续函数

ε
        −
        δ
      
    
    {\displaystyle \varepsilon -\delta }
  
定义

不用极限的概念，也可以用下面所谓的方法来定义实值函数的连续性。
仍然考虑函数。假设是的定义域中的元素。函数被称为是在点连续当且仅当以下条件成立：
对于任意的正实数，存在一个正实数使得对于任意定义域中的，只要满足，就有成立。
连续性的“定义”由柯西首先给出。
更直观地，函数是连续的当且仅当任意取一个中的点的邻域，都可以在其定义域中选取点的足够小的邻域，使得的邻域在函数上的映射下都会落在的邻域之内。 
以上是针对单变量函数（定义域在上的函数）的定义，这个定义在推广到多变量函数时也是成立的。度量空间以及拓扑空间之间的连续函数定义见下一节。

连续函数的性质

如果两个函数和是连续的，为一个实数，那么、和都是连续的。所有连续函数的集合构成一个环，也构成一个向量空间（实际上构成一个代数）。如果对于定义域内的所有，都有，那么也是连续的。 
两个连续函数的复合函数也是连续函数。
如果实函数在闭区间内连续，且是某个和之间的数，那么存在某个内的，使得。这个定理称为介值定理。例如，如果一个小孩在五岁到十岁之间身高从1米增长到了1.5米，那么期间一定有某一个时刻的身高正好是1.3米。 
如果在内连续，且和一正一负，则中间一定有某一个点，使得。这是介值定理的一个推论。 
如果在闭区间内连续，则它一定取得最大值，也就是说，总存在，使得对于所有的，有。同样地，函数也一定有最小值。这个定理称为极值定理。（注意如果函数是定义在开区间内，则它不一定有最大值和最小值，例如定义在开区间(0,1)内的函数。）
如果一个函数在定义域中的某个点可微，则它一定在点连续。反过来不成立；连续的函数不一定可微。例如，绝对值函数在点连续，但不可微。

拓扑空间之间的连续函数

如上连续函数的定义可以自然地推广到一个拓扑空间到另一拓扑空间的函数：对拓扑空间与，函数是连续的当且仅当任何开集的逆像是中开集。