布尔代数

历史

术语“布尔代数”得名于乔治·布尔（1815–1864），他是自学成材的英国数学家。他最初在1847年出版的一个小册子《逻辑的数学分析》中介入了代数逻辑系统，用来响应在奥古斯都·德·摩根和William Hamilton之间的公开论战，后来又出现在1854年出版的更充实的书《思维规律》中。布尔的公式化在一些重要方面不同于上述描述。例如，布尔的合取和析取不是一对对偶的运算。布尔代数出现在1860年代威廉姆·斯坦利·杰文斯和查尔斯·皮尔士的论文中。到了1890年Ernst Schröder写的《Vorlesungen》，我们才有了布尔代数和分配格的首次系统表述。首次用英语写的对布尔代数的广泛处置是阿弗烈·诺夫·怀海德在1898年的《泛代数》。在现代公理化意义上的作为公理化代数结构的布尔代数开始于Edward Vermilye Huntington 1904年的论文。布尔代数随着Marshall Stone在1930年代的工作和Garrett Birkhoff在1940年的《格理论》而进入了严肃数学时期。在1960年代，Paul Cohen、Dana Scott和其他人使用布尔代数的分支也就是力迫和布尔值模型，深入发现了数理逻辑和公理化集合论中的新成果。

对偶原理

你还可以把来自序理论的对偶性的普遍认识应用于布尔代数。特别是，所有的布尔代数的次序对偶，或者等价的说通过对换与所获得的代数，也是布尔代数。一般的说，布尔代数的任何有效的规律都可以变换成另一个有效的对偶规律，通过对换0与1，与，和≤与≥。

布尔环、理想和滤子

每个布尔代数(A, , )都引出一个环（A, +, *），通过定义a + b = (a  ¬b)  (b  ¬a) (这个运算在集合论中叫做“对称差”在逻辑中叫做XOR（异或）)和a * b = a  b。这个环的零元符合布尔代数的0；环的乘法单位元素是布尔代数的1。这个环有对于A中的所有的a保持a * a = a的性质；有这种性质的环叫做布尔环。
反过来，如果给出布尔环A，我们可以把它转换成布尔代数，通过定义x  y = x + y + xy和x  y = xy。因为这两个运算是互逆的，我们可以说每个布尔环引发一个布尔代数，或反之。此外，映射f : A → B是布尔代数的同态，当且仅当它是布尔环的同态。布尔环和代数的范畴是等价的。
布尔代数A的理想是一个子集I，对于在I中的所有x, y我们有x  y在I中，并且对于在A中的所有a我们有a  x在I中。理想的概念符合在布尔环A中环理想的概念。A的理想I叫做“素理想”，如果I ≠ A；并且如果a  b在I中总是蕴涵a在I中或b在I中。A的理想I叫做“极大理想”，如果I ≠ A并且真正包含I的唯一的理想是A自身。这些概念符合布尔环A中的素理想和极大理想的环理论概念。
“理想”的对偶是滤子。布尔代数A的“滤子”是子集p，对于在p中的所有x, y我们有x  y在p中，并且对于在A中的所有a，如果a  x = a则a在p中。

表示布尔代数

可以证实所有的“有限”的布尔代数都同构于一个有限集合的所有子集的布尔代数。此外，所有的有限的布尔代数的元素数目都是二的幂。Stone的著名的布尔代数表示定理陈述了“所有的”布尔代数A都同构于在某个（完全不连通紧致豪斯多夫空间）拓扑空间中所有闭开集合的布尔代数。

广义布尔代数

从布尔代数的公理中去掉存在最大元1的要求产生了“广义布尔代数”。形式的说，分配格B是广义布尔代数，如果它有最小元0并且对于任何B中的元素a和b使得a ≤ b，存在一个元素x使得并且。定义为唯一的x使得并且，我们可以称结构是“广义布尔代数”，而是“广义布尔半格”。
广义布尔格完全就是布尔格的理想。