格 (数学)

在数学中，格是其非空有限子集都有一个上确界（称为并）和一个下确界（称为交）的偏序集合（poset）。格也可以特征化为满足特定公理恒等式的代数结构。因为两个定义是等价的，格理论从序理论和泛代数二者提取内容。半格包括了格，依次包括海廷代数和布尔代数。这些"格样式"的结构都允许序理论和抽象代数的描述。
需要注意的是，本条目介绍的是序理论中的“格”，并非几何与群论中的“格”（点阵），两者的英文均为“lattice”。虽然在继承自平面的次序中，每个点阵都是格，但是许多格不是点阵。

序理论定义

考虑任意一个偏序集合（L,≤），如果对集合L中的任意元素a,b，使得a,b在L中存在一个最大下界，和最小上界，则(L,≤)是一个格。
这里对于取a,b的最大下界的操作用表示；
对于取a,b的最小上界操作用表示。
有界格有一个最大元素和一个最小元素，按惯例分别指示为1和0（也叫做顶和底）。任何格都可以通过增加一个最大元素和最小元素而转换成有界格。
使用容易的归纳论证，你可以演绎出任何格的所有非空有限子集的上确界（并）和下确界（交）的存在。一个很重要的格的种类是完全格。一个格是完全的，如果它的所有子集都有一个交和一个并，这对比于上述格的定义，这里只要求所有非空有限子集的交和并的存在。

子格

格L的子格是L的非空子集，它是带有同L一样的交和并运算的格。就是说，如果L是一个格，而M是L的子集使得对于M中的所有元素对a, b有ab和ab在M中，则M是L的子格。
格L的子格M是L的凸子格，如果x ≤ z ≤ y和x, y在M中蕴涵了z属于M，对于在L中的所有元素x, y, z。

对偶原理

设是含有格中的元素以及符号的逻辑命题，令是将中的替换为，将替换为，将替换为，将替换为后所得到的命题。则称是的对偶命题。
设是含有格中的元素以及符号的逻辑命题，若对于一切格为真，则的对偶命题也对于一切格为真。