納維-斯托克斯存在性與光滑性

二种条件：无边界及周期性的空间

克雷数学研究所提出的纳维-斯托克斯问题，有二种不同的条件。原始问题是在整个空间中，需要有关初始条件及解随位置变化的额外信息。为了不要考虑初始条件及解在无穷远处的特性，纳维-斯托克斯方程也可以设定在一个周期性的空间中，因此不需考虑方程在整个空间，只需考虑方程在一个3维环面下的特性。以下会分别处理这二种条件下的问题。

在整个空间中的千禧年大奖难题描述

(A) 在空间下纳维-斯托克斯方程解的存在性及光滑性
令。对于所有符合上述假设的初始条件，纳维-斯托克斯方程存在一光滑及全局定义的解，就是存在一速度矢量及压强满足上述的条件1及2。
(B) 下纳维-斯托克斯方程解存在性的反证
存在一初始条件及外力使得纳维-斯托克斯方程不存在一解满足上述条件1及2。

周期性的千禧年大奖难题描述

(C)空间下纳维-斯托克斯方程解的存在性及光滑性
令，对于任何满足上述假设的初始条件，纳维-斯托克斯方程存在一光滑及全局定义的解，就是存在一速度矢量及压强满足上述的条件3及条件4。
(D)下纳维-斯托克斯方程解存在性的反证
存在一初始条件及外力使得纳维-斯托克斯方程不存在一解满足上述条件3及条件4。