代數曲線

在代数几何中，一条代数曲线是一维的代数簇。最典型的例子是射影平面上由一个齐次多项式定义的零点。

仿射曲线

定义在域上的仿射代数曲线可以看作是中由若干个-元多项式定义的公共零点，使得其维数为一。
利用结式，我们可以将变数消至两个，并化约到与之双有理等价的平面代数曲线，其中，因此在探讨曲线的双有理几何时仅须考虑平面曲线。

复代数曲线与黎曼曲面

复射影曲线可以嵌入维复射影空间。复射影曲线在拓扑上为二维的对象，当曲线光滑时，它是个紧黎曼曲面，即一维的紧复流形，因而是可定向的二维紧流形。这时该曲面的拓扑亏格（直观说就是曲面有几个洞或把手）等同于曲线上由代数几何学定义的亏格。视这类曲线为黎曼曲面，则可以采复分析手法加以研究。另一方面，黎曼则证明了任何紧黎曼曲面都同构于一条复射影曲线。
于是我们有三个相互等价的范畴：复数域上的不可约平滑射影曲线、紧黎曼曲面与上的函数域。因此一维复分析（包括位势论）、代数几何与域论的方法此时能相互为用，这是高等数学里很常见的现象。
[(P=c) end if=0] 

[(P=c) end if=0]

奇点

N-1n+1=0

亏格大于一的曲线

对亏格大于一的曲线，其性质与有理曲线与椭圆曲线有显著不同。根据Faltings定理，定义在数域上的这类曲线只有有限个有理点；若视为黎曼曲面，它们则带有双曲几何的结构。例子包括超椭圆曲线、克莱因四次曲线与一开始提到的费马曲线在的情形。