调和级数

历史

早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆已经证明调和级数发散，但知道的人不多。17世纪时，皮耶特罗·曼戈里、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作。
调和序列历来很受建筑师重视；这一点在巴洛克时期尤其明显。当时建筑师在建造教堂和宫殿时，运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例，并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。

反证法

假设调和级数收敛, 则：
但与
矛盾，故假设不真，即调和级数发散。

贫化调和级数

贫化调和级数（肯普纳级数）是将调和级数中、分母含有数字9的项去除后所剩的级数。这个级数是收敛的，其和的极限为80。实际上，将包含任意数字串的项从调和级数中去除后，所剩级数都收敛。

拉玛努金和

调和级数是柯西发散的，而且很多常用的发散级数求和方法（如博雷尔求和法）对它也不适用。但是，调和级数的拉玛努金和存在，且为欧拉-马歇罗尼常数。