G-结构

在微分几何中，对一个给定的结构群 G，n 维流形 M 上一个G-结构是 M 的切标架丛 FM（或 GL(M)）的一个G-子丛。
G-结构的概念包括了许多流形上其它结构，其中一些是用张量场定义的。例如，对正交群，一个 O(n)-结构定义了一个黎曼度量；而对特殊线性群，一个 SL(n,R)-结构就是一个体积形式；对平凡群，一个 {e}-结构由流形的一个绝对平行化组成。
一些流形上的结构，比如复结构，辛结构，或 凯勒结构，都是G-结构带上附加的可积性条件。
物理学中的术语是规范群。

主丛和G-结构

尽管主丛理论在G-结构的研究中的角色很重要，但两个概念是不同的。一个 G-结构是一个切标架丛的主子丛，但是 G-结构丛“由切标架组成”的事实被视为数据的一部分。例如，考虑 Rⁿ 上两个黎曼度量。伴随的SO(n)-结构是同构当且仅当度量是同构的。但是，因为 Rⁿ 是可缩的，故下面的SO(n)-丛作为主丛总是同构。
两个理论的这个基本差别能够被在G-结构下面的G-丛上添加一个额外的数据：焊接形式（solder form）记录。焊接形式是用一个从M 的切丛到配向量丛的典范同构将G-结构下面的G 丛系于流形自身的局部几何上。尽管焊接形式不是一个联络形式，经常可以视为一个联络形式的前身。
详细说来，假设 Q 是 G-结构的主丛。如果 Q 是实现为M 的切丛的压缩，那么焊接形式是标架丛的重言形式由包含映射的拉回给出。抽象地，如果将Q 视为与它作为一个标架丛实现独立的一个主丛，那么焊接形式由G 在 Rⁿ 上的一个表示ρ 以及一个丛同构θ : TM → Q ×ρ Rⁿ 组成。

可积性条件

流形上不少结构，比如复结构，辛结构，或 凯勒结构，均是G-结构附加一个可积性条件。没有相应的可积性条件，这些结构称为一个“殆（几乎）”结构，比如殆复结构，殆辛结构，或殆凯勒流形。
特别地，一个辛流形结构是比一个辛群的 G-结构更强的概念。流形上一个辛结构是M 上一个非退化2形式 ω（这是一个-结构，或殆辛结构），以及额外条件dω = 0；后者称为可积性条件。
类似地，叶状结构对应于G-结构为分块矩阵以及可积性条件，这样便可利用弗罗贝尼乌斯定理。

G-结构的同构

M 的保持G-结构的微分同胚集合称为这个结构的“自同构群”。对一个O(n)-结构它们就是黎曼度量的等距群，而一个SL(n,R)-结构为保持体积的映射。
设 P 是流形M 上一个G-结构，Q 是流形N 上一个G-结构。那么 G-结构的同构是一个微分同胚f : M → N，使得线性标架的前推 f* : FM → FN 的限制给出了P 到 Q 的一个映射（注意只要Q 在 f* 的像中）。G-结构 P 与 Q 是局部同构如果 M 有一个开集覆盖U 和一族微分同胚fU : U → f(U) ⊂ N 使得 fU 诱导了一个同构P|U → Q|f₍U₎ 。
一个 G-结构的自同构是 G-结构 P 和自己的同构。自同构经常在研究几何结构的变换群中出现，因为流形上许多重要的几何结构可实现为G-结构。
如果 G-结构 P 有一个由可交换向量场(V₁,...,Vₙ) 组成的整体截面，则称其为平坦 G-结构。若一个G-结构局部同构于平坦G-结构，则称为可积的（或“局部平坦”）。
一类广泛的等价问题可以用G-结构语言阐述。例如，一对黎曼流形是（局部）等价等且仅当
它们的正交标架丛是（局部）同构的G-结构。在这种看法下，解决一个等价问题的一般过程是建立G-结构的一个不变量系统使得足以确定一对G-结构是否为局部等价。

高阶G-结构

一个特定的G-结构（例如，辛形式）上的壮观的可积性条件可通过扩张程序处理。在这种情形，扩张后的G-结构不能构和线性标架从的一个G-子丛等价。许多情况下，扩张后它自身也是一个主丛，而其结构群可以等价于高阶射流群的一个子群。此时，它也称为一个高阶G-结构（Kobayashi）。一般地，嘉当等价方法运用到这种情形。