三次方程

历史

中国唐朝数学家王孝通在武德九年（626年）前后所著的《缉古算经》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。
波斯数学家欧玛尔·海亚姆（1048年－1123年）通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。
中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则。
在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法，也就是形如的方程。事实上，如果我们允许是复数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道复数。
尼科洛·塔尔塔利亚被认为是最早得出三次方程一般解的人。1553年他在一场数学竞赛中解出所有三次方程的问题。随后卡尔丹诺拜访了塔尔塔利亚请教三次方程解法并得到了启发。卡尔丹诺注意到塔尔塔利亚的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》里包括了这些复数的计算，但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是复数的发现者。

求根公式法

红色字体部分为判别式。
当时，方程有一个实根和两个共轭复根；
当时，方程有三个实根：当
时，方程有一个三重实根；

当
时，方程的三个实根中有两个相等；
当时，方程有三个不等的实根。

三角函数解

，其中。
若令，则

盛金公式法

，其中系数皆为实数。

判别式

重根判别式：；
总判别式：。

情况1：
  
    
      
        A
        =
        B
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A=B=0}

。

情况2：
  
    
      
        Δ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta >0}

让，得：
；
；
。

情况3：
  
    
      
        Δ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta =0}

让，得：
；
。

情况4：
  
    
      
        Δ
        <
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta <0}

让，得：
；
；
。

驻点的公式

设
将其微分，可得

极值

设，可得在中的极值（极大值或极小值）满足：
将代入，可得的极值：

拐点

设，可得。

驻点的类型

由函数取极值的充分条件可知：
，是的极大值点；
，是的极小值点；
，是的拐点。
可知：
，的驻点为极大值点；
，的驻点为极小值点；
，的驻点为拐点。