狄拉克δ函数

在科学和数学中，狄拉克δ函数或简称δ函数（译名德尔塔函数、得耳他函数）是在实数线上定义的一个广义函数或分布。它在除零以外的点上都等于零，且其在整个定义域上的积分等于1。δ函数有时可看作是在原点处无限高、无限细，但是总面积为1的一个尖峰，在物理上代表了理想化的质点或点电荷的密度。
从纯数学的观点来看，狄拉克δ函数并非严格意义上的函数，因为任何在扩展实数线上定义的函数，如果在一个点以外的地方都等于零，其总积分必须为零。δ函数只有在出现在积分以内的时候才有实质的意义。根据这一点，δ函数一般可以当做普通函数一样使用。它形式上所遵守的规则属于运算微积分的一部分，是物理学和工程学的标准工具。包括δ函数在内的运算微积分方法，在20世纪初受到数学家的质疑，直到1950年代洛朗·施瓦茨才发展出一套令人满意的严谨理论。严谨地来说，δ函数必须定义为一个分布，对应于支撑集为原点的概率测度。在许多应用中，均将δ视为由在原点处有尖峰的函数所组成的序列的极限（弱极限），而序列中的函数则可作为对δ函数的近似。
在信号处理上，δ函数常称为单位脉冲符号或单位脉冲函数。克罗内克δ函数是对应于狄拉克δ函数的离散函数，其定义域为离散集，值域可以是0或者1。

概述

δ函数的图形通常可以视为整条x轴和正y轴。虽然称为函数，但δ函数并非真正的函数，至少它的值域不在实数以内。例如，f(x) = δ(x)和g(x) = 0这两个数学对象除了在x = 0以外都有相同的值，但其积分却不相同。根据勒贝格积分理论，若f和g为函数，使得f = g几乎处处成立，则f可积当且仅当g可积且f和g的积分相同。要严谨处理δ函数，须用到测度论或分布。
δ函数可以代表一个既高又窄的尖峰函数（脉冲），用以描述点电荷和质点等抽象化的概念。举例来说，要描述球杆击球的动力学问题，可以用δ函数描述击球那一刻的力。不但各种方程会因此简化，而且只需球杆传递的总冲量就能算出球击出后的运动，而不须考虑球杆向球传递能量的复杂具体情况。
在应用数学中，δ函数往往能看作是某函数序列的极限（弱极限），该序列中的每一项都在原点处有一个尖峰，例如以零为中心、方差趋向零的高斯分布序列。

无限小δ函数

1827年柯西在若干论文中写下无限高、无限窄的函数时，用到了一个无限小数α，使得函数δα满足
他（以及拉扎尔·卡诺）把无限小数定义为一个趋向于零的序列。
非标准分析能够严谨地处理无限小数。利用超实数的语言，狄拉克δ函数可以用含有无限小数的延伸实数来表达，详见Yamashita (2007)论文所列出的相关书目。这样定义的δ函数是真正意义上的函数，使得对于每个实函数F，都有
结果与傅里叶和柯西用别的语言所表达的一样。