零空间

性质

如果 A 是矩阵，它的零空间就是所有向量的空间的线性子空间。这个线性子空间的维度叫做 A 的零化度(nullity)。这可以计算为在矩阵A 的行梯阵形式中不包含支点的纵列数。秩-零化度定理声称任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的纵列数。
对应于零奇异值的 A 的右奇异向量形成了A 的零空间的基。
A 的零空间可以用来找到和表达方程Ax = b 的所有解(完全解)。如果 x₁ 是这个方程的一个解，叫做特定解，那么方程的完全解等于它的特定解加上来自零空间的任何向量。特定解依b 而变化，而零空间的向量不是。
要证明这一点，我们考虑每个方向。在一个方向上，如果 Ay = b，且 Av = 0，则明显的A(y+v) = Ay+Av = b+0 = b。所以 y+v 也是 Ax=b 的解。在其他方向上，如果我们有对Ax=b 的另一个解z，则 A(z−y) = Az−Ay = b−b = 0。所以向量u = z−y 在 A 的零空间中而z = y+u。所以任何解都可以表示为一个零空间中的向量加上特定解y 。
如果一个线性映射A 是单同态，则它的零空间是零。因为如果反过来它的零空间是非零，由类似上面的方法可以得出Ay = b的解不止一个，也就是说线性映射A 不是单射了。
如果映射是零映射，则零空间同于映射的定义域。