博雷爾集

博雷尔集，又称Borel集，是数学的专有名词，指在一个指定的拓扑空间中，可由其开集（或者等价地，可由其闭集）的可数次联集运算、可数次交集运算和补集运算得到的一个集合。博雷尔集是由埃米尔·博雷尔的名字命名的。
对于一个拓扑空间X，其所有博雷尔集的全体构成一个σ-代数，称为博雷尔代数或者博雷尔σ-代数。拓扑空间X 上的博雷尔代数是X 上包含其所有开集合（或者等价地，所有闭集合）的最小的σ-代数。
博雷尔集在测度论中有着重要的意义，因为任何空间上的开集（或者闭集）上定义的测度，必然可以将定义延拓到空间所有的博雷尔集上。定义在博雷尔集上的测度被称为博雷尔测度。博雷尔集和相关的博雷尔分层在描述集合论中也起着基础性的作用。
某些情况下，博雷尔集定义是由拓扑空间中的紧致集合所构造出来的而不是前面讲的开集合。两个定义在很多良好的空间中是等价的，包括所有σ-紧的豪斯多夫空间，但是在具有病态性质的空间中两者可能不同。

例子

一个重要的例子，尤其是对于概率论而言，是实数集上的博雷尔代数。它是用来定义博雷尔测度的代数。对于概率空间上一个给定的实随机变量，其概率分布按照定义，也是一个博雷尔代数上的测度。
实直线R上的博雷尔代数是包含所有区间的最小σ-代数。
在利用超限归纳法构造时，可以证明在每一步中，集合的数量至多是连续统的幂。所有博雷尔集的总数不会多于。