泰拔·高圖爾斯

早年

库尔图瓦在出生地布雷球队Bilzen V.V.开展职业生涯，当时他担任左后卫。直到1999年，他转投亨克并改任守门员。

亨克

在2009年4月，16岁341日的库尔图瓦首次为亨克一队上场，对手是KAA根特。2010/11赛季，他替亨克赢得联赛锦标。而他自己亦获得年度最佳比利时联赛守门员及亨克年度最佳球员两项殊荣。
值得一提的是，他在当季40场联赛赛事只失32球，且有14场不失1球。

切尔西

2011年7月，库尔图瓦转投切尔西并签约5年。因为阵中已有世界级门将切赫，库尔图瓦与其相比年轻经验不足所以全无上场机会，旋即被租借至马德里竞技磨练。

外借到马德里竞技

加盟切尔西后，库尔图瓦随即被外借到马德里竞技。他初次为马竞上场是在欧洲联赛对阵塞图巴尔足球俱乐部，其后更取代阿辛祖成首发门将。在2011年11月底的马德里德比中，库尔图瓦首获职业生涯中的第一面红牌，导致球队输4比1，但此次错失并没动摇他的首发位置。
2012年5月9日，库尔图瓦在欧洲联赛对阵毕尔巴鄂不失一球，赢得第一项欧洲杯赛锦标。同年8月，他在欧洲超级杯对阵母会切尔西，再染指另一项欧洲杯赛锦标。
2013/14赛季，库尔图瓦在西甲最后一轮协助球队重夺失落18年的联赛冠军，并打进欧联决赛与皇家马德里上演马德里德比。
在马竞的日子里，库尔图瓦成长成一名世界级的顶级门将而为人所知。

回归切尔西

2014年夏天，库尔图瓦结束三年外借生涯，获发在前度俱乐部马德里竞技穿过的13号球衣。之后他在2014/15赛季的英超首战取代捷克门将彼德·切赫首发上场，协助球队以三比一反胜升级马伯恩利。而且取代了彼德·切赫的首发位置，并为球队重夺英超冠军。

转投皇家马德里

2018年夏天，切尔西同意将门将库尔图瓦以3500万欧元售予西甲俱乐部皇家马德里。
库尔图瓦转会后的表现大不如前。2018年10月28日，库尔图瓦为皇家马德里上场出战国家德比，结果失了5球之多。

国家队

库尔图瓦于2011年首次获比利时征召并成为该国最年轻国家队门将的纪录保持者。及后于2014年5月，入选比国巴西世界杯23人名单，但球队于淘汰赛最终不敌阿根廷，未能打进四强。赛后传出与主教练争吵并要求主教练离职的传闻。
2018年6月，比利时国家队将库尔图瓦选入征战俄罗斯世界杯的23人大名单，库尔图瓦多次化解对方进攻，总计完成了27次扑救，扑救成功率高达81.8％，帮助比利时最终获得季军，并赢得世界杯金手套奖。