葛立恆數

问题背景

葛立恒数与拉姆齐理论有关：考虑一个维的超立方体，在连结所有顶点后，将形成一个个顶点的完全图。将这个图的每条边填上红色或蓝色。求的最小值，才使得所有填法中都必定存在一个在同一平面上有四个顶点的单色完全子图。
在1971年Graham与Rothschild证明了此题之解的上下界为，其中是一个极大但明确定义的数字，用高德纳箭号表示法，可表示为；康威链式箭号表示法也可以表示此数的大略范围，此数介于与之间，的上界在2014年借由Hales–Jewett数的上界而降为；下界则在2003年由Geoffrey Exoo提高为11，并由Jerome Barkley在2008年进一步的提高为13。因此目前所知最佳的上下界为。
葛立恒数比大得多，可表示为，其中。葛立恒数为此问题的较弱上界，是葛立恒未出版的工作，最后由马丁·加德纳刊登在1977年11月的美国科学人杂志。

葛立恒数最尾端的500位数字

...
02425 95069 50647 38395 65747 91365 19351 79833 45353 62521
43003 54012 60267 71622 67216 04198 10652 26316 93551 88780
38814 48314 06525 26168 78509 55526 46051 07117 20009 97092
91249 54437 88874 96062 88291 17250 63001 30362 29349 16080
25459 46149 45788 71427 83235 08292 42102 09182 58967 53560
43086 99380 16892 49889 26809 95101 69055 91995 11950 27887
17830 83701 83402 36474 54888 22221 61573 22801 01329 74509
27344 59450 43433 00901 09692 80253 52751 83328 98844 61508
94042 48265 01819 38515 62535 79639 96189 93967 90549 66380
03222 34872 39670 18485 18643 90591 04575 62726 24641 95387.
事实上，对于所有正整数，的末500位数也与葛立恒数相同。