联络

动机：座标系统的局限

先注意到原始平行移动的概念：当一个转换不会让向量的分量有所改变时，便称此转换为平行移动。
设在球面上的北极点有一个切向量，我们将试着借由适当的定义，把那切向量能从球体上一点平行移动到其他点。注意到切向量其实是点上局部座标系的元素，所以在球面上的平行移动能理解为切向量在两个切空间之间的转换。然而，原始平行移动的概念并不能把存在于某个切空间的切向量，转换到不同的切空间中。
为了让平行移动的概念更加清楚，我们考虑一种等价的移动方法：使切向量黏在北极点且整体座标系固定的情况下，旋转球体使得北极点沿着曲线移动（后续将会知道，这是列维-奇维塔联络的移动方式）。如图所示，虽然切向量移动的起点和终点是一样的，但沿着不同的曲线移动的话，它最终指向的方向也会不一样，这现象反映了球体的曲率。（有趣的是，古中国发明的指南车，它的行为就跟在平行移动下的切向量没两样。）
现在我们把原始平行移动的概念推广，使之能用于在不同切空间的转换，称为联络：若有个'转换'将一个切向量A从切空间S，转换成切空间T中的向量B，并使得A于S座标系的每个分量，都分别跟B于T座标系的对应分量相等，则此转换即是联络。

藉联络定义导数的方案

当我们使用向量微积分中的方向导数时会发现，方向导数在不同空间的转换下，没办法反映转换前后不变的性质。另外，方向导数是欧几里德空间中向量场沿着一方向的变化，但不是每种空间都能像欧几里德空间这样做。因为在任意座标系中，两个存在于不同切空间的切向量，并不能相加或相减，这使的方向导数的定义不能在上述的球面上使用。为此，我们提出一个可行的方案以取代方向导数。
在空间转换下，张量的表述方法可以反映在空间变换下不变的性质，其中共变导数正好可以用来取代方向导数。共变导数借由一个联络（他的分量形式是克里斯托福符号Γ），让不同但无穷接近的两个切空间中的切向量，可以转换到同一个切空间中，如此一来两向量就可以相加相减，使得此种导数概念可以被定义出来。
一个更广义的方法是使用李群藉以反映空间上的对称性。李群使用的联络是嘉当联络。