基数 (数学)

历史

康托尔在1874年－1884年引入最原始的集合论（现称朴素集合论）时，首次引入基数概念。
他最先考虑的是集合和，它们并非相同，但有相同的基数。骤眼看来，这是显而易见，但究竟何谓两个集合有相同数目的元素？
康托尔的答案，是透过所谓的一一对应，即把两个集合的元素一对一的排起来——若能做到，两个集合的基数自然相同。这答案，容易理解但却是革命性的，因为用相同的方法即可比较任意集合的大小，包括无穷集合。
最先被考虑的无穷集合是自然数集及其无限子集。他把所有与能一一对应的集为可数集。令康托尔意外的是，原来的所有无限子集都能与一一对应。他把的基数称为，是最小的艾礼富数。
康托尔发现，原来有理数集合与代数数集合也是可数的。于是乎在1874年初，他尝试证明是否所有无限集合均是可数，其后他得出了实数集不可数的结论。原先的证明用到了涉及区间套的复杂论证，而在他1891年的论文中，他以简单而巧妙的对角论证法重新证明了这一结果。实数集的基数，记作c，代表连续统。
接着康托尔构作一个比一个大的集合，得出一个比一个大的基数，而这些巨大集合的元素已不可如实数般书写出来。因此关于基数的一般理论，需要一个新的语言描述，这就是康托尔发明集合论的主因。
康托尔随后提出连续统假设：c就是第二个超穷基数，即継之后最小的基数。现已知这假设是不能证明的，即接受或否定它会得出两套不同但逻辑上可行的公理化集合论。

定义

首先，给出集合和，我们称的势小于等于，记作，当且仅当存在由到的单射；称的势与相等，记作， 当且仅当存在由到的双射（即一一对应）。
康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理指出如果 及  则 。 
假设选择公理，所有集合都可良序，且对于所有集合与，有  或 。因此，我们可以定义序数，而
集合的基数则是与等势的最小序数。 
（若不接受选择公理，我们也可对非良序集定义基数，就是所有与等势的集的阶中最小者。）

有限集的基数

自然数的一种定义是。可以见到，与数等势的集必有个元素。如集合的基数为。
以下是有限集的三个等价定义：它与某自然数等势；它只有一个等势的序数，就是它的基数；它没有等势的真子集。

无限集的基数

最小的无限集合是自然数集。与基数相同，因为可以让前一集合的与后一集合的一一对应。从这个例子可以看出，对于一个无穷集合来说，它可以和它的一个真子集有相同的基数。
以下是无限集的四个等价定义：它不与任何自然数等势；它有超过一个等势的序数；它有至少一个真子集和它等势；存在由自然数集到它的单射。

基数序列及连续统假设

对每一个基数，存在一个最小比它大的基数。这在自然数当然是对的。自然数集的基数是，康托尔称下一个为，相类似的，还定义了如下一个序列：。
注意。连续统假设猜想，就是。
连续统假设是与一般集论公理（即Zermelo-Fraenkel公理系统加上选择公理）是独立的。
更一般的假设，即。
广义连续统假设，就是对所有无穷基数，都不存在介乎与之间的基数。