傅里叶变换

简介

傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究。在对傅里叶级数的研究中，复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦、余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展，由它表示的函数的周期趋近于无穷。

中文译名

英语：Fourier transform或法语：Transformation de Fourier中文较常用的翻译名称有傅里叶变换、傅里叶转换等。为方便起见，本文统一写作傅里叶变换。

应用

傅里叶变换在医学、数据科学、物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、讯号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在讯号处理中，傅里叶变换的典型用途是将讯号分解成振幅分量和频率分量。

线性性质

两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数和的傅里叶变换和都存在，和为任意常系数，则；傅里叶变换算符可经归一化成为幺正算符。

平移性质

若函数存在傅里叶变换，则对任意实数，函数也存在傅里叶变换，且有。式中花体是傅里叶变换的作用算子，平体表示变换的结果（复函数），为自然对数的底，为虚数单位。

微分关系

若函数当时的极限为0，而其导函数的傅里叶变换存在，则有，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。更一般地，若，且存在，则，即k阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。

卷积特性

若函数及都在上绝对可积，则卷积函数（或者）的傅里叶变换存在，且。卷积性质的逆形式为，即两个函数卷积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积乘以。

帕塞瓦尔定理

若函数可积且平方可积，则。其中是的傅里叶变换。
更一般化而言，若函数和皆为平方可积函数，则。其中和分别是和的傅里叶变换, 代表复共轭。

离散时间傅里叶变换

离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆转换。

在阿贝尔群上的统一描述

以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群（dual group）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里亚金对偶性（Pontryagin duality）中的介绍。

时频分析变换

小波变换，chirplet转换和分数傅里叶变换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。

常用傅里叶变换表

下面的表记录了一些封闭形式的傅立叶变换。对于函数f(x), g(x)和h(x)，它们的傅立叶变换分别表示为,  和。只包含了三种最常见的形式。注意条目105给出了一个函数的傅里叶变换与其原函数，这可以看作是傅里叶变换及其逆变换的关系。