巴拿赫空间

在数学里，尤其是在泛函分析之中，巴拿赫空间（英语：Banach space）是一个完备赋范向量空间。更精确地说，巴拿赫空间是一个具有范数并对此范数完备的向量空间。其完备性体现在，空间内任意向量的柯西序列总是收敛到一个良定义的位于空间内部的极限。
巴拿赫空间有两种常见的类型：“实巴拿赫空间”及“复巴拿赫空间”，分别是指将巴拿赫空间的向量空间定义于由实数或复数组成的域之上。许多在数学分析中学到的无限维函数空间都是巴拿赫空间，包括由连续函数（紧致赫斯多夫空间上的连续函数）组成的空间、由勒贝格可积函数组成的Lᵖ空间及由全纯函数组成的哈代空间。上述空间是拓扑向量空间中最常见的类型，这些空间的拓扑都自来其范数。
巴拿赫空间是以波兰数学家斯特凡·巴拿赫的名字来命名，他和汉斯·哈恩及爱德华·赫利于1920-1922年提出此空间。

例子

以下令域K为R或C其中之一。
常见的欧氏空间 Kⁿ（其范数为欧几里德范数，x = (x₁, …, xₙ)的范数定义为||x|| = (x₁²+…+ xₙ²)1/2）是巴拿赫空间。因此，因为在每一个有限维K向量空间上的所有范数均等价，所以每一个具有任意范数的有限维K向量空间都是巴拿赫空间。
考虑一个由定义于闭区间[a, b] 上的所有连续函数ƒ : [a, b] → K 所组成的空间。这个空间会成为一个巴拿赫空间（标记为C[a, b]），若存在一个定义在此空间中的洽当范数。此类范数可以定义为，称之为最小上界范数。上述范数是良好定义的，因为定义于闭区间的连续函数都是有界的。
若f 为一个定义于闭区间上的连续函数，则此函数为有界的，并其定义如上的最小上界可由极值定理取得，因此可以用最大值来取代最小上界。在此例之中，其范数也称为“最大值范数”。
上述空间也可推广至由所有连续函数X → K（其中X 为一紧致空间）或所有“有界”连续函数X → K（其中X为任意拓扑空间）所组成的空间，标记为C(X)；或由所有有界函数X → K（其中X 为任意集合）所组成的空间，标记为B(X)。在上述所有的例子之中，甚至可以将函数相乘，而乘积还会在原空间内；亦即，上述所有例子实际上都会是有单位的巴拿赫代数。
对每一个开集Ω ⊆ C，由所有有界解析函数u : Ω → C 所组成的集合A(Ω) 会是一个在最小上界范数下的复巴拿赫空间。这可以用解析函数的一致极限也会是解析的这个事实来证明。
设p ≥ 0 为一实数，考虑由K 内元素排成的所有其无穷级数∑ᵢ |xᵢ|ᵖ 为有限的无限序列(x₁, x₂, x₃, …)所组成的空间。这个级数的p次方根即定义为此序列的p-范数。上述空间和范数即会形成一个巴拿赫空间，标记为ℓ ᵖ。
巴拿赫空间ℓ∞ 是由所有在K内元素排成的所有有界序列所组成的空间；此类序列的范数定义为序列中每个数字的绝对值的最小上界。
再者，设p ≥ 1 为一实数，可考虑由所有其|ƒ|ᵖ为勒贝格可积的函数ƒ : [a, b] → K所组成的空间。此函数积分的p 次方根即定义为其范数。但上述空间和范数不能形成一个巴拿赫空间，因为存在一个范数为零的非零函数。但可定义一个等价关系：f 及g 为等价当且仅当ƒ−g 的范数为零。如此，其等价类即可形成一个巴拿赫空间，标记为Lᵖ([a, b])。在这里使用勒贝格积分，而不是黎曼积分是有原因的，因为黎曼积分无法形成一个完备空间。这个空间可以再被推广，详细可见Lᵖ空间。

线性变换空间

假设 V 和 W 是同一个数域K 上的巴拿赫空间，所有线性变换A : V → W 的集合记为L(V, W)。注意：在无限维空间中，线性变换未必是连续的。L(V, W) 本身是一个向量空间。
定义 ||A|| = sup { ||Ax|| : ||x|| ≤ 1 }，可以验证这是L(V, W) 上的一个范数，使得 L(V, W) 成为一个巴拿赫空间。如果还将映射的复合运算定义为线性变换的乘法，则 L(V) = L(V, V) 构成一个有单位元的巴拿赫代数。