伽羅瓦理論

伽罗瓦理论的置换群描述

如果我们给定一个多项式，它的一些根可能是被不同的代数方程联系起来的。例如，有两个根A和B，它们满足方程A² + 5B³ = 7。伽罗瓦理论的核心思想是考虑具有以下性质的根的置换：这些根所满足的任何代数方程，在置换之后也依然成立。一个重要的限制条件是我们要把代数方程的系数限定为有理数。（其实也可以把系数限定在其他的一个给定的域，但是为了简单起见，我们限制在有理数域。）
这些置换形成了一个置换群，也称为这个多项式（在实数域上）的伽罗瓦群。这可以很清晰的举例说明。

可解群和根式解

群论中可解群的概念让我们得以确定多项式何时有根式解。有根式解的充要条件是其分裂域对基域的伽罗瓦群可解。简言之，取此伽罗瓦群的任一合成列，透过伽罗瓦理论基本定理，合成列对应到一族子域，各段的伽罗瓦群一一对应于合成列的因子。若之伽罗瓦群是n阶循环群，则域扩张由n次根式生成。伽罗瓦群可解当且仅当合成列的因子皆为循环群，于是若群可解，相应方程便有根式解。反向的结果亦不难证明。
伽罗瓦理论的重大成就之一是证明了当时，一般的次多项式无根式解（“一般”意谓将多项式系数视为独立变元），原因是对称群在时不可解。

例子：一个不可解的五次方程

考虑整系数多项式。根据一次因式检验法，无有理根。由整系数之故，模任意素数后可视之为有限域上的多项式，相应的伽罗瓦群记为。取，易见在上无一次因式。
可分解为，故为六阶循环群。
无二次因子，故为五阶循环群。
注意到是的伽罗瓦群的子商。的子群若含有六阶及五阶元素，则该子群生成。于是的伽罗瓦群为，故无根式解。