边收缩

在图论中，边收缩是指将一个图的其中一个边移除，并将被移除边的两个顶点合并，同时保持与被移除边之顶点相连的其他顶点之连接关系的一种变换，为图子式理论中的基本算子之一，然而此种变换不一定是图论中的变换，亦可以作用于拓朴结构甚至是几何体，例如边收缩二十面体，即正二十面体经过一次边收缩变换后的像。另一种与边收缩类似的图论变换为点合并（vertex contraction）是边收缩变换的一个广义形式。

定义

边收缩是一种作用于边上的变换，因此其需作用于特定的边，令其计为e，并令e所连接的两个顶点计为u和v，而边收缩会使顶点u和v合并成一个新的顶点w，并使原本与u和v相连的所有边都连到w。通常一系列的边进行边收缩变换的先后顺序不会影响结果，换句话说即边收缩是一个具有交换律的变换。
边收缩变换有时会计为G / e，类似于G \ e，但 G \ e 指的是完全将e从G中移除。
根据下述的几个定义，边收缩可能会导致多重边的形成，也就是产生了有至少二个边的二个顶点完全相同、至少有二个顶点可以由二个边相连接的图，即使原本的图是一个简单图，也可能导致变换结果为伪图。

用途

边收缩或点合并可以用于图论的数学归纳法，尤其是对于使用图之边或顶点个数的数学归纳法很有帮助，因为我们可以透过先假设某特性在所有较小的图皆成立，并透过将该特性推导到较大的图来证明。

点合并

点合并（Vertex identification）是指将两个不一定落在同一条边上的顶点合并成一个顶点，并将原本与旧顶点相连的顶点改连接到这个合并而成的新顶点。

简化

简化，又称为平滑（smoothing），是边收缩的一个特例，当边收缩选定的边其中一个顶点的度为2，则该变换又可称为简化（或平滑）。其逆变换称为细分。
当一个图套用平滑变换之后，其所产生的新图会与原图同胚。