倒頻譜

复数倒频谱

其中

可能遭遇的问题

1. 

2. 有无限多的解

当输入是实数时,因为偶对称，奇对称,所以复数倒频谱的值为实数

实数倒频谱

可能遭遇的问题

1.

倒频谱观念

频谱图上的独立变数是频率，而倒频谱图上的独立变数为倒频率(quefrency)，倒频率是一种时间的度量单位。举个例子，声音信号采样速率等于44100赫兹，在倒频谱上有个很大的值在倒频率等于100，代表实际上在44100/100=441赫兹有很大的值，这值出现在倒频谱上因为频谱上周期性出现，而频谱上出现的周期与倒频谱很大的值出现的位置有关。

倒滤波器

滤波器(filter)常使用在频谱上，用来保存或删除我们所要或不要的信息，经过上面的许多讨论，不难猜到，倒滤波器(lifter)就是在倒频谱上所使用的滤波器。低通的倒滤波器跟低通滤波器有点类似，它可以借由在倒频谱上乘以一个window系数，使倒频谱上的高倒频率被压抑，如此依来，当信号转回时域空间时会变成一个较平滑的信号。

直接计算IDTFT(反离散时间傅里叶变换)

问题:  可能会无限大, 且对于arg(x[n])有无限多个解

利用Z变换的零点与极点

先对信号做Z变换, 并整理一下系数, 让他变成下面的形式

其中

分子: 

第一项A是系数

第二项是延迟

第三项是位于单位圆内的零点

第四项是位于单位圆外的零点

分母:

第一项是位于单位圆内的极点

第二项是位于单位圆外的极点

对取log变成

假设r=0, 因为这只是延迟, 并不会破坏波形

根据Z变换所得到的系数, 我们可以利用泰勒展开得到Z的反变换

注意事项

1.总是IIR(无限冲激响应)

2.对于FIR(有限冲激响应)的情况,

利用Z变换与微分

对其做Z的反变换

故

分别对于x[n]的四种不同的状况做延伸

1.对于x[n]是因果(causal)和最小相位(minimum phase) i.e. 

对于

可得出

故

2.对于x[n]是最小相位(minimum phase)

3.对于x[n]是反因果(anti-causal)且最大相位(maximum phase) i.e. 

4.对于x[n]是最大相位(maximum phase)

特性

1. 复数倒频谱至少以的速度衰退

其中  

2. 如果X(Z)没有在单位圆以外的零点和极点, 则

因为

3. 如果X(Z)没有在单位圆以内的零点和极点, 则

因为

4. 如果x[n]是有限长度, 则是无限长度

噪声敏感性

梅尔频率倒频谱系数很容易被外来的噪声所破坏，因此有些研究结果指出，在求梅尔频率倒频谱系数时，在作离散余弦变换前，提升适当的能量(大约2或3倍)，以减少噪声在低能量成分的影响。

卷积

倒频谱领域上的一项重要的特性为二信号卷积之产生，其产生之程序为二倒频谱值(cepstra)之相加：

定义

或 

If 

优点: 
(a)没有模糊的相位(b)可以处理延迟问题