冯·诺伊曼基数指派

基数的初始序数

每个序数都有一个关联的基数，它的势，通过简单的忘记这个次序而获得的。任何良序集合都有这个序数作为它的有同样势的序类型。有给定基数作为它的势的最小的序数被叫做这个基数的初始序数。所有有限序数(自然数)是初始的，但是多数无限序数不是初始的。选择公理等价于声称所有集合可以是良序的，就是说所有基数都有初始序数。在这种情况下，在传统上把基数等同它的初始序数，并称这个初始序数是一个基数。
第 α 无限初始序数写为。它的势写为。例如，ω₀ = ω 的势是，它也是ω² 或 ε₀(所有可数序数)的势。所以(假定选择公理)我们可以把ω 等同于，除了在写为基数的时候使用符号，写为序数的时候使用符号ω 之外(这是重要的，因为  而 )。还有， 是最小的不可数序数(要见到它的存在，考虑自然数的良序排序的等价类的集合: 每个这种良序排序定义一个可数序数，而  是这个集合的序类型)， 是其势大于 的最小的序数，以此类推，而  是对于自然数n 的  的极限(任何基数的极限是基数，所以这个极限的确是在所有 之后的第一个基数)。