二次互反律

几个简单情况

有了上节的关于乘积的性质，可以发现：研究一个合数是否是模某个质数p的剩余，只需将这个合数进行质因数分解，研究其每个质因数是不是模p的剩余即可。因此，为了寻找模质数的二次剩余的规律，可以先研究对于前几个质数2、3、5等的情况，看对于什么样的质数p，2、3、5等是模它们的剩余。此外为了研究正负号对乘积的影响，也要研究-1的情况。为了发现规律，可以借助50以内的质数的二次剩余表。

2的情况

接下来看对什么样的质数，2是模它的二次剩余。同样查对上表后可以发现：对于模8余±1的质数，如，2是模它的二次剩余。对于模8余±3的质数如 等则不然。

3的情况

3是模11、13、23、37和47的剩余，但不是模5、7、17、19、29、31、41或43的剩余。
前者模12都余±1，后者都模12余±5。
–3是模7、13、19、31、37和43的剩余，但不是模5、11、17、23、29、41或47的剩余，前者模3都余1，后者模3都余2。
由于模3的剩余只有1，可以发现一个规律：对于所有为模3的剩余的质数，-3是模它的剩余。

5的情况

5是模11、19、29、31和41的剩余，但不是模3、7、13、17、23、37、43或47的剩余，前者模5都余±1，后者模5都余±2。
由于模5的剩余只有±1，可以发现规律：对于所有为模5的剩余的质数，5是模它的剩余。

6的情况

6是模5、19、23、29、43和47的剩余，但不是模7、11、13、17、31、37或41的剩余，前者模24都余±1或±5，后者模24都余±7或±11。

7的情况

7是模3、19、29、31、37和47的剩余，但不是模5、11、13、17、23、41或43的剩余，前者模28都余±1、±3或±9，后者模28都余±5、±11或±13。
–7是模2、11、23、29、37和43的剩余，但不是模3、5、13、17、19、31、41或47的剩余，前者模7都余1、2、4，后者模7都余3、5、6。
由于模7的剩余只有1、2或4，可以发现一个规律：对于所有为模7的剩余的质数，-7是模它的剩余。

高斯和勒让德的叙述

对于一般的情况，也有类似的规律。在此基础上，高斯和勒让德提出了两个一般性的叙述（没有使用勒让德符号），两者是等价的。

研究历史

二次互反律曾被不少的数学家研究，因此二次互反律的叙述有很多种。要注意的是当时的数学记号并不统一。欧拉和勒让德并没有高斯的同余记号，高斯也不知道勒让德符号。
 下文中的p和q总是不相等的正奇质数。

定理的首次叙述：欧拉

欧拉在1783年曾经写过（以现今的符号表示）：
1) 如果 q ≡ 1 (mod 4) 那么q是模p的二次剩余当且仅当p ≡ r (mod q)，其中r是一个模q的二次剩余。
2) 如果 q ≡ 3 (mod 4) 那么q是模p的二次剩余当且仅当p ≡ ±b² (mod 4q), 其中b为奇数但不被q整除。
这是二次互反律首次被完整地陈述。欧拉也证明了 2的情况。

使用希尔伯特符号的互反律

二次互反律也可以用希尔伯特符号： 来叙述。其中a、b是两个非零的有理数，v则可代表任意非平凡的有理数绝对值（p的常用的或p进的绝对值）。希尔伯特符号： 的值取1或−1。按照定义，它的值取1当且仅当方程在有理数关于v的完备空间中有除了之外的解。希尔伯特二次互反律声称：对于固定的a、b，当v变动时，除了对有限个v以外，的值都是1，并且取遍所有v时，所有  的乘积为1（这与复分析中的留数定理相似）。
希尔伯特二次互反律的证明可以归结到几个特殊情况，可以证明其中非平凡的情况与勒让德符号下的二次互反律的两个辅助定理（-1和2的情况）是等价的。在希尔伯特二次互反律中其实并没有“互反”的情形，它的名字只是表明它的历史来源是作为二次互反律的研究成果。不同于二次互反律要考虑正负问题，并要区分2的情况，希尔伯特二次互反律对所有的有理数都是平等的。因此使用希尔伯特符号的二次互反律推广起来更为自然：其推广到整体域时只需做出很少改变，并对所有的整体域都适用。

推广

二次互反律的推广主要是在代数数论中。
例如：高斯考察过四次互反律。在他的首篇论文里他证明了一系列定理，其中最重要的是：如果，那么有解当且仅当，其中、是整数，如果，那么有解当且仅当，其中、是整数，如果，那么有解当且仅当，其中、是整数，如果，那么模的二次剩余必然是四次剩余。 
在第二篇论文中，高斯引进了著名的高斯整数。高斯证明了模4余1的质数总能分解为两个高斯整数中质数的乘积、唯一分解定理等其它代数数论的基础定理，并引进了一些基本概念，如范数和单位元。在高斯整数中，四次互反律的叙述十分简单。高斯并且注意到在艾森斯坦整环中，三次互反律最为简单。一部分的原因是高斯整数中1有4个四次方根，而艾森斯坦整数中1有3个三次方根。
其它的推广是在以上整环中的二次互反律。高斯率先研究了高斯整数中的二次互反律。