龐特里亞金對偶性

例子

在整数对加法形成的无穷循环群 （配上离散拓扑）上，设χ为一特征，则，因此χ决定于χ(1)的值；反之，给定一个，必存在特征χ使得χ(1)=α，由此得到群同构。此外也容易验证上的紧-开拓扑对应到诱导自的拓扑。
因此，的对偶群自然地同构于。
反之，上的特征皆形如，其中n是整数。由于是紧的，其对偶群上的拓扑由一致收敛性给出，对应的不外是上的离散拓扑。因此的对偶群自然地同构于。
实数对加法构成的群同构于自身的对偶群；上的特征皆形如，其中r是实数。借着这些对偶性，下节描述的傅里叶变换将符应于上的古典版本。

范畴论观点

函子的观点对于研究对偶群是很有用的。以下将以LCA表示所有局部紧阿贝尔群及其间的连续群同态构成之范畴。
对偶群的构造给出一个对偶函子。其二次迭代遂给出函子。
定理：对偶函子是一个范畴等价。
定理：对偶函子的二次迭代自然同构于LCA上的恒等函子。
此同构可以类比于有限维向量空间的二次对偶（特别是实与复向量空间）。
庞特里亚金对偶性将离散群与紧群的子范畴交换。若是一个环，而是个左-模，则从对偶性可推知离散左-模与紧右-模对偶。LCA里的自同态环依对偶性对应至其反环（即：环的乘法次序交换）。举例明之：取，则；前者满足，对后者亦然。

非交换理论

对非交换群没有类似的理论，因为此时对偶的对象={的不可约表示之同构类}不只有一维表示，因此不构成一个群。在范畴论中类似的推广称作Tannaka-Krein对偶定理；但它缺乏与调和分析的联系，因而无法处理关于上的普朗歇尔测度的问题。
某些非交换群的对偶理论以C*-代数的语言表述。

源流

庞特里亚金在1934年为局部紧阿贝尔群及其对偶性的理论奠下基础。他的进路须假定群是第二可数的，并且是紧群或离散群。此条件先后由E.R. van Kampen（1935年）与安德鲁·韦伊（1953年）改进为局部紧阿贝尔群。