薛定谔方程

在量子力学中，薛定谔方程（Schrödinger equation）是描述物理系统的量子态怎样随时间演化的偏微分方程，为量子力学的基础方程之一，其以发表者奥地利物理学家埃尔温·薛定谔而命名。关于量子态与薛定谔方程的概念涵盖于基础量子力学假说里，无法从其它任何原理推导而出。
在经典力学里，人们使用牛顿第二定律描述物体运动。而在量子力学里，类似的运动方程为薛定谔方程。薛定谔方程的解完备地描述物理系统里，微观尺寸粒子的量子行为；这包括分子系统、原子系统、亚原子系统；另外，薛定谔方程的解还可完备地描述宏观系统，可能乃至整个宇宙。
薛定谔方程可以分为“含时薛定谔方程”与“不含时薛定谔方程”两种。含时薛定谔方程与时间有关，描述量子系统的波函数怎样随着时间而演化。不含时薛定谔方程则与时间无关，描述了定态量子系统的物理性质；该方程的解就是定态量子系统的波函数。量子事件发生的概率可以用波函数来计算，其概率幅的绝对值平方就是量子事件发生的概率密度。
薛定谔方程所属的波动力学可以数学变换为维尔纳·海森堡的矩阵力学，或理察·费曼的路径积分表述。薛定谔方程是个非相对论性方程，不适用于相对论性理论；对于相对论性微观系统，必须改使用狄拉克方程或克莱因-戈尔登方程等。

含时薛定谔方程导引

虽然含时薛定谔方程能够启发式地由几个假设推导出来，但为便于论述，在作理论量子力学研究时，经常会直接将这方程当作一个基本假定。

物理意义

薛定谔方程和它的解在物理学造成突破性的思维发展。薛定谔方程是一种崭新的方程，关于它的解析引导出很多不同寻常、料想未及的后果。

量子测量

根据哥本哈根诠释，粒子的运动遵守薛定谔方程，直到因被测量而发生波函数坍缩为止。假设对于某系统的某可观察量做测量，而描述这系统的波函数是由这可观察量的几个本征函数量子叠加而成，每次对于这可观察量做测量只能得到本征函数的本征值，不能得到任何其它数值。当波函数坍缩现象发生时，由于粒子与测量仪器彼此相互作用，系统的波函数会按照概率分布随机的约化为原本几个本征函数中的单独一个本征函数。这是量子测量的关键要素，将波函数与可观察量，如位置或动量，关联在一起。
量子系统随着时间流易而演化的两个过程为薛定谔方程预测的演化、波函数坍缩。有些教科书会将这两种过程分别当作量子力学的假设，然后从假设推导出量子力学的其他理论结果。很多物理学者认为，从薛定谔方程无法推导出波函数坍缩。这两种过程具有迥然不同的性质。薛定谔方程预测的演化具有决定性，能够从最初波函数预测未来的最终波函数；它还具有逆反性，能够将时间逆反地从最终态演化回最初态。波函数坍缩具有非决定性，从最初态按照概率分布随机地约化至最终态，无法预测这最终态到底是什么；它还具有非逆反性，测量动作将量子态的信息发掘出来，这是一种无法时间逆反的程序，获得的额外信息无法再还原。

量子隧穿效应

在经典力学里，当一个圆球慢慢地滚上一座高山，假若它没有足够能量翻过山顶到另一边，它会停止滚动，往反方向滚回。但是，薛定谔方程预测，这圆球跑到另一边的概率大于零，尽管它的能量不足以爬到山顶，这种波动性行为称为量子隧穿效应，无法用微粒说来解释这种效应。特别是对于微观粒子与适当形状的势垒，做实验很容易就可观察到这种效应。阿尔法衰变就是因为阿尔法粒子摆脱了本来不可能摆脱的强作用力束缚而从原子核逃逸出来的现象。

粒子的波动性

非相对论性薛定谔方程是波动方程。遵守这方程进行运动的粒子因此会显示出波动性行为。双缝实验是一个范例，它能够展示出粒子通常不会进行的波动行为。从两条狭缝传播出来的物质波在某些位置会相长干涉，在某些位置又会相消干涉，因此形成复杂的干涉图样。直觉而言，假设，从发射源到探测屏，每次只会出现单独一个粒子，即每次只有一个粒子独自通过两条狭缝，按照微粒说，累积多次发射不应该形成干涉图样。但是，做实验可以实际观察到这干涉图样，如同右图从真正实验获得的图样所展示。这意味着，虽然每次只有一个粒子通过狭缝，这粒子可以同时通过两条狭缝，自己与自己互相干涉。光子、电子、中子、原子、甚至分子，都可以表现出这种奇异的量子行为。