卡拉比–丘流形

卡拉比–丘流形（Calabi–Yau manifold）在数学上是一个的第一陈类为0的紧致n维凯勒流形（Kähler manifolds），也叫做卡拉比–丘 n-流形。数学家卡拉比（Eugenio Calabi）在1957年猜想所有这种流形（对于每个凯勒类）有一个里奇平坦的度量，该猜想于1977年被丘成桐证明，成为丘定理（Yau's theorem）。因此，卡拉比–丘流形也可定义为“紧里奇平坦卡拉比流形”（compact Ricci-flat Kähler manifold）。
也可以定义卡拉比–丘n流形为有一个SU(n)和乐（holonomy）的流形。再一个等价的定义是流形有一个全局非0的全纯(n,0)-形式。

例子

在复一维的情况，唯一的例子就是环面族。注意环上里奇平坦的度量就是一个平坦度量，所以和乐群（holonomy）是平凡群，也叫SU(1)。
在复二维的情形，环T⁴和K3曲面组成了仅有的实例。T⁴有时不被算作卡拉比–丘流形，因为其和乐群（也是平凡群）是SU(2)的子群而不是同构于SU(2)。从另一方面讲，K3曲面的和乐群是整个SU(2)，所以可以真正称为2维的卡拉比–丘流形。

在复三维的情况，可能的卡拉比–丘流形的分类还是未解决的问题。3维卡拉比–丘流形的一个例子是复射影空间CP⁴中的非奇异的五次超曲面。

在弦论中的应用

卡拉比–丘流形对于超弦理论很重要。在最常规的超弦模型中，弦论中有十个猜想中的维度，作为我们所知的4个维度出现，在加上某种纤维化，纤维的维度为6。卡拉比–丘n-流形的紧致化很重要，因为他们保持一些原有的超对称性不被破坏。更精确地说，卡拉比–丘 3-流形（实维度6）的紧致化保持四分之一的原有超对称性不变。