韦达定理

在数学上，韦达定理是一个公式，给出多项式方程的根与系数的关系，又被称为根与系数。该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达发现，并因此得名。韦达定理常用于代数领域。
韦达定理的实用之处在于，它提供一个不用直接把根解出来的方法来计算根之间的关系。

推广至环

韦达定理经常使用在讨论整环 R 上多项式，换言之多项式系数都落在R 上。此时，分数  在 R 中不见得有定义，除非  本身是可逆元。但  在 R 的分式环 K 中有定义，而根 则在K 的代数闭包 中有定义。特别的，如果 R 是整数环 ，则 K 是有理数域 ，是复数域 。
如果多项式P(x) 定义在一般非整环的交换环上，则韦达定理可能在两个地方出错。第一， 可能不是零因子，因此不能出现在分母。第二P(x) 可能不等于。第一点算是显而易见，以下给出一个第二点的例子。在环 中，多项式  有四个根1、3、5、7，根数比多项式的次数还多。此外，如果随便取两根出来，例如 ，，会发现，但是有时候如果根取的刚好，却又可能会有 和 。

历史

在 16 世纪，韦达发现了所有根都是正整数的版本，至于一般的版本(根是实数)，可能首次由法国数学家Albert Girard 提出。Funkhouser 引用了18 世纪英国数学家查尔斯·赫顿的话写道
...[Girard 是] 理解关于各次方项系数的和与积公式的一般性学说的第一人。他是找到关于将任意方程的根的次方加总的规则的第一人。