闭包 (数学)

闭包集合

如果对一个集合的成员进行某种运算时，返回值总是这个集合的成员，那么称这个集合在这种运算下闭合。有时会明确要求运算的返回值位于某个集合中，在这种情况下它叫做闭包公理。例如，例如，群被定义为满足一些公理的带有一个二元运算的一个集合，包括了群的任何两个元素的结合再次是一个元素的公理。但是现代的运算定义使这个公理多余了，在 S 上 n 元算子只是Sⁿ⁺¹ 的子集。通过这种定义，在一个集合上的算子不能有在这个集合之外的值。
虽然如此，算子的闭包性质仍有某些用处。在一个集合上闭合不必然蕴涵在所有子集上闭合。所以群的子群被定义为在其上二元乘法和一元逆运算满足闭包公理的子集。
一类不同的运算是找到拓扑空间的子集的极限点（如果这个空间是第一可数空间，只考虑收敛序列就足够了，但一般而言至少要考虑网的极限）。拓扑学中通常称在这个运算下闭合的集合为闭集。如果没有其他说明的话，一般而言闭集就是指闭合的性质。闭区间如 [1,2] = {x: 1 ≤ x ≤ 2} 就是在这种意义上闭合。
偏序集合是向下闭合的（也叫做下闭集合），如果对于这个集合的所有元素，所有更小的元素也都在其中；这适用于实数区间(-∞, p) 和 (-∞, p] 的例子。
向上闭合和上闭集合也类似的定义。