高斯-勒让德算法

高斯-勒让德算法是一种用于计算π的算法。它以迅速收敛著称，只需25次迭代即可产生π的4500万位正确数字。不过，它的缺点是内存密集，因此有时它不如梅钦类公式使用广泛。
该方法基于卡尔·弗里德里希·高斯（1777–1855）和阿德里安-马里·勒让德（1752–1833）的个人成果与乘法和平方根运算的现代算法的结合。该算法反复替换两个数值的算术平均数和几何平均数，以接近它们的算术-几何平均数。
下文的版本也被称为高斯-欧拉，布伦特-萨拉明（或萨拉明-布伦特）算法；它于1975年被理查德·布伦特和尤金·萨拉明独立发现。日本筑波大学于2009年8月17日宣布利用此算法计算出π小数点后2,576,980,370,000位数字，计算结果用波温算法检验。
知名的电脑性能测试程序Super PI也使用此算法。

高斯-欧拉法

\varphi=\theta={\pi\over 4}\!的值可以代入勒让德恒等式，且K、E的近似值可通过a_0=1\!与b_0=\sin{\pi \over 4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\!的算术-几何平均数的序列项得到。