中心化子和正规化子

群论中，一个群G的子集S的中心化子和正规化子是G的子群。它们分别在S的元素和作为一个整体S有受限制的作用。这些子群给出了关于G的结构的有用信息。

中心化子

群G的一个元素a的中心化子（记作CG(a)）是G的和a可交换的元素的集合；换句话说，CG(a) = {x 属于 G : xa = ax}。若H为G的子群，则CH(a) = CG(a) ∩ H。如果没有歧义，则可以将CG(a)记作C(a)。
更一般地，令S为G的任意子集（不必是子群）。则S在G中的中心化子定义为C(S) = {x属于G：对于所有s属于S, xs = sx}。若S = {a}，则C(S) = C(a)。
C(S)是G的子群；因为若x、y 属于 C(S) ，则对每个s属于 S， xy ⁻¹s = xsy ⁻¹ = sxy ⁻¹。于是 xy ⁻¹ 属于 C(S)。

群的中心

群G的中心是CG(G)，通常记作Z(G)。一个群的中心既是正规子群也是交换群，而且有很多其它重要属性。我们可以将a的中心化子视作最大的（用包含关系为序）G的子群H，满足a属于其中心Z(H)的条件。

正规化子

一个相关的概念是，S在G中的正规化子，记作NG(S)或者N(S)。正规化子定义为N(S) = {x属于G : xS = Sx}。同样的是，N(S)可以视作G的子群。正规化子的名字来源于如果我们令<S>为一个由S生成的子群，则N(S)是最大的满足包含<S>为其正规子群的G的子群。<S>在其中为正规子群的最小的G的子群称为共轭闭包。
G的子群H称为G的自正规化子群，如果NG(H) = H.