平展上同调

在数学中，一个代数簇或概形的平展上同调（Étale cohomology）是一个与一般拓扑空间的有限系数上同调群类似的代数结构。这一概念作为证明韦伊猜想的工具由亚历山大·格罗滕迪克引入。平展上同调的理论可以用于构建ℓ进上同调，后者则是代数几何中韦伊上同调理论的一个例子。这一理论有着众多的应用，包括Weil猜想的证明以及李型有限单群的表示的构造。

定义

令为一个概形之间的态射，为一个Y-概形，J为一个Z上的幂零理想层（nilpotent sheaf of ideals），为所确定的闭浸入。若对于所有的Y-态射，都存在唯一的Y-态射使得，我们就称是形式平展的。若对于的每一点, 都有一个的邻域和的邻域使得而且是一个上的有限表示代数（即，前者可被看作后者的一个有限多项式环约去一个有限生成理想所得到的结果），我们就称是局部有限表示的。一个形式平展且局部有限表示的态射被称为一个平展态射（Étale morphism）。一个等效的定义是：一个平坦（flat）且非分歧（unramified）的态射是一个平展态射（参见：概形论术语）。
对于任何一个概形，令表示其全部平展态射组成的范畴。注意到它与概形的关系类似于开子集范畴与拓扑空间的关系，而该范畴的对象则可以被非正式地看成是X的“平展开子集”。拓扑空间中两个开集的交集则可以看成两个平展态射的拉回。稍微需要注意的一点细节是并非是一个小范畴；但是因为平展态射是局部有限表示的，将其视作小范畴亦无妨。
一个拓扑空间上的预层是一个从开子集范畴到集合范畴（）的逆变函子；类似地，我们定义一个概形的平展预层为从到的一个逆变函子。若层条件（当一个开集被覆盖，且均被给定，使得所有的这些在任意的上都有一致的取值，则都是唯一的某个的像）可以得到满足，我们就将一个预层称为层；因此类似地，我们称一个平展预层为平展层，若对应的平展层条件得到满足。（这里“并集”被平展映射的拉回代替，而“覆盖”则被定义为覆盖。）对于任何范畴上的格罗滕迪克拓扑，我们都可以类似地定义层的概念。
因为一个概形上的阿贝尔层（取值为阿贝尔群的层）的范畴包含足够多的单射对象，我们可以在其上定义左正合函子的右导出函子。对于一个阿贝尔层的范畴，其全局截面函子是一个将每个层映射到其全局截面（也就是）的映射。给定一个阿贝尔层，定义其平展上同调群为的右导出函子在上的值。特别地，便是。
更一般地，若是一个从到的概形态射，则有函子从X的平展层映射到Y的平展层，而其右导出函子则被写为。若Y是一个代数闭域的谱（也就是一个点），则与相同。
令X为诺特概形。若一个X的阿贝尔平展层被X的一个平展覆盖所表示，我们则称其为有限局部常值的。若X可被有限个子概形覆盖，且F在每个子概形上都是有限局部常值的，则称F为可构造的。若对于任何X的平展覆盖U，都是挠群，则称F为挠的。有限局部常值的层都是可构造的，而可构造层都是挠的。每一个挠层都是一个可构造层的滤子归纳极限。

性质

ℓ进上同调群与复数簇的奇异上同调群大致上有着类似的性质，区别在于前者是ℓ进数（或ℓ进有理数）的模而后者是整数（或有理数）的模。在非奇异射影簇上，庞加莱对偶性成立，且复数簇的“模p约化”的ℓ进上同调群与奇异上同调群多数情况下有同样的秩。Künneth公式同样也成立。
例如，一个复椭圆曲线的第一上同调群是一个秩为2的整数自由模，而一个有限域椭圆曲线的第一ℓ进上同调群则是一个秩为2的ℓ进数自由模（只要ℓ不是该有限域的特征），而且后者与泰特模对偶。
ℓ进上同调群在一个意义上优于奇异上同调群：前者往往受伽罗瓦群作用。例如，若一个复数簇在有理数上定义，则其ℓ进上同调群受有理数的绝对伽罗瓦群的作用，因此是一个伽罗瓦表示。
有理数的伽罗瓦群的元素（除去平凡元和共轭元之外），大多不在有理数上定义的复数簇上有连续作用，因此大多不在奇异上同调群上作用。这一现象与拓扑空间的基本群在奇异上同调群上作用的事实有关：格罗滕迪克证明了伽罗瓦群可以被视作某种形式的基本群。