分体拓扑学

历史与研究动机

分体拓扑学开始于阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德的理论，在1916年至1929年间阐述于他出版的一些著作及文章。怀特黑德的早期研究在尼彭(Kneebone)(1963年: chpt. 13.5)与西门(Simons)(1987年: 2.9.1)的著作中均有讨论到。怀特黑德的理论在1929年出版的书历程与实在(Process and Reality)中扩大讨论到整体与部分的关系，这是夹杂着以诸如切点及连通空间的拓扑观念一起来讨论。尽管怀特黑德有如数学家版的洞察力，他的理论仍是不够充分且不是很正式的立论，甚至颇有瑕疵。经由证明怀特黑德理论能够被充分地正式化、且作一些订正，就此克拉克(Clarke)(1981年, 1985年)确立了现代化的分体拓扑学。 克拉克与怀特黑德的理论在赛门(Simons)(1987年: 2.10.2)及卢卡斯(Lucas)(2000年: chpt. 10)的书上都有讨论到。怀特黑德无点几何学(Whitehead's point-free geometry)入门观点包含两项现代怀特黑德理论的论述，因于基安吉阿卡茅·葛拉(Giangiacomo Gerla)的论说，理论上每项不同的论点将在下一章节中陈述说明。
虽然分体拓扑学是数学理论，不过我们将之后的发展归功于逻辑学家与理论计算机科学家。卢卡斯(2000年: chpt. 10)、卡塞迪与瓦力(1999年: chpts. 4,5)论述中提到分体拓扑学的有关引介，说到只要修过一阶逻辑的课程任何人都可以理解分体拓扑学的理论。更多进一步分体拓扑学的论述包含孔(Cohn)及瓦力(Varzi)(2003年)的著作，而以复杂数学来论述的有罗艾伯(Roeper)(1997年)的著作。关于怀特黑德无点几何学的数学论述，参见葛拉(Gerla)(1995年)的著述。 
巴力·史密斯(Barry Smith)(1996年)、安东尼·孔(Anthony Cohn)及共同作者、再则瓦力(Varzi)单独个人与其他人，他们所有人都证明分体拓扑学能够用在形式本体论与本体论，借此达到正式化关连的作用，诸如在切点、连通空间、边界、内部、孔洞(hole)等等上的应用。

卡塞迪与瓦力较优法

卡塞迪与瓦力(1999年: chpt.4)阐述种种的分体论理论于一致的标记法上。这一章节阐述了一些巢状理论，而这些巢状理论在GEMTC的较优理论里也已发展到顶点了，接着咱们紧跟着他们的解说来走。在GEMTC的分体拓扑阐述中，有部分为GEM的传统理论。卡塞迪与瓦力也没有说到是否GEMTC的模型论包含到任何传统的拓扑空间。
我们以一些论域观点作为起始论述，它们的元素称为个体(即一个分体论同义词表示"个体的计算")。卡塞迪与瓦力较偏好限制本体论至实体物件，不过其他人就任意地应用分体拓扑理论来合理化几何图形与事件，并借由提出人工智能的研究工作来解决问题。
使用一个大写的拉丁字母来定义一个二元关系及谓词变量(predicate)，而谓词变量的字母关系到一阶逻辑的关系。从拉丁字母群(A-Z)的后段取用小写字母来定义变量范围，且及于整个定义域；而从字母群的初始段取用的小写字母就用来作为任意个体的名称。假如以一公式以原子公式表示再接着逻辑双如言(biconditional），因此逻辑双如言右边的次公式表为原子公式的定义，他们的变量就为非约束形式。否则，变数不是外显性的量化而是内隐性的全称量化。底下所提的公理Cn系列对应到卡塞迪与瓦力(1999年: chpt. 4)著述里的公理C.n系列。
咱们从拓扑的基本理论谈起，如二元关系的连接特性；基本原子公式Cxy表示"x是连接到y"。连结是被控制着，至少，是经由这些公理来达成：
C1.  (自反关系)
C2.  (对称)
现在假定二元关系为E，定义为：
Exy读为"y包围x"且也全然为拓扑关系。而C1-2的表达结果即E是自反关系及传递关系，因此亦是预序关系。假如E也假定为外延公理，以致于：
接着E被证明为反对称关系且因此变成为一偏序关系。在区域内，标记为xKy，为怀特黑德理论(1919年,1925年)上的单一最初关系，且为分体拓扑学的起始点。
令子集(parthood)为主要分体论定义上最初的二元关系，且令原子公式Pxy定义作"x是y的一部分"。咱们假设P为一偏序关系。称其为结果的最简化分体论M。
假如x为y的一部分，我们假定y包围x：
C3. 
C3精巧的连接分体论这个部分到拓扑学的范围内。
令O表示为这个分体论重复的二元关系，定义为：
令Oxy表示为"x与y重复"，再着手进行O的处理，C3的结果为：
要注意到逆命题(converse)是不需要一直坚持着。尽管情况显示重复是需要连结的，然而连结的情况是反而是不需要重复的。假如不是这种情况，拓扑学不会仅是一个分体论模式(这儿"重复"总是表示为原来的或是定义好的两种情况之一)。
基础分体拓扑学(MT)即表示这个理论含有最初的C与P，定义的E与O，及公理C1-3，而这些公理可以用来确定P即是偏序关系。在MT中以标准的外延公理分体论GEM来替代M产生GEMT理论.
令IPxy表示为"x是y内之一部分"，IP定义为：
令σx φ(x)定义为所有在定义域满足φ(x)之分体逻辑和(合并)。σ为一约束变量前缀(prefix)算子。GEM的公理假设φ(x)是一个一阶逻辑则这个和就存在着。根据现成的σ及IP关系的条件，咱们能定义x内部结构， 而这是x所有的内部部分z分体之和，或则：
这个定义出两个简单结果为：
这儿W表全体的个体部分，且
C5.  (子集)
算子i 含有超过两个公理属性：
C6.  (等幂)
C7.  
而a×b为a与b的分体乘积，在Oab不成立时并不定义。i分散在乘积里。
现在看得出来，对于拓扑学的内部算子而言i为同构。也因此i的对偶性(duality)、拓扑闭包算子c，以i的观点可以被定义出来，且卡齐米日·库拉托夫斯基公理对c而言是一些定理。同样地，已知c的公理是类比于C5-7，i依c可以被定义，且C5-7可以成为定理。将C5-7加进GEMT而产生卡塞迪与瓦力较优分体拓扑理论，GEMTC。
x为自我连接，假如它满足下列谓语变量逻辑：
要注意到在定义上MT不但是单独、且为充分之最原始的及有定义的谓语变数。谓语变数SC可以正式成立需要的条件、是基于所给予的怀特黑德'的历程与实在书中所述：两个个体之分体逻辑和是能够存在：他们也必须是连结的。正式定义为：
C8. 
给予一些分体拓扑X，加C8到X结果产生出卡塞迪与瓦力所称的X的怀特黑德衍伸式，表记为WX。因此这个定理为WGEMTC，它的公理为C1-8。
C8的逆向为GEMTC定理。因此，已知一GEMTC的公理，假如O及SC视为起初的谓语变量，则C为一已定义的谓语变量。
假如主要的分体论是没有原子公式且比GEM来的弱，这公理确定是缺少原子公式(P9出于"卡塞迪与瓦力1999"的论述)那就可以被C9替代，如此则可以设想没有一个个体有拓扑边界：
C9. 
当定义域包含有几何图形时，则边界值可以是点、曲线，或面。考虑到其它的本体论时、边界值能够代表什么意思，讨论起来不是一件简单的事情，在卡塞迪与瓦力(1999年: chpt. 5)的著作里有讨论到这些问题。