阿尔泽拉-阿斯科利定理

在数学中，阿尔泽拉-阿斯科利定理是泛函分析中的一个定理，给出了从紧致度量空间射到度量空间的函数集合在一致收敛的拓扑意义上是紧集的一个充分必要条件。其中主要涉及的条件是函数集的等度连续性质。
等度连续的概念大约是在十九世纪的八十年代由两位意大利数学家阿斯科利（于1883年－1884年） 和阿尔泽拉（于1882年－1883年）提出的。阿斯科利在1883年的论文中，证明了定理中，连续函数集为紧集的充分条件，而阿尔泽拉则在1895年的另一篇论文中证明了定理的另一部分：成为紧集的必要条件，并首次给出了定理的完整证明。而不久之后，在1906年，法国数学家弗雷歇又将这个定理进行了推广，使得在任意的能够定义极限的空间中都有同样的结果（比如度量空间或豪斯多夫空间）。
在阿尔泽拉-阿斯卡利定理首次获证的年代，人们并没有充分理解该定理的重要意义。随着研究的不断深入，紧致性成为了分析学、拓扑学领域的关键概念，而此定理就描述了紧致性。
该定理是利用欧拉法证明常微分方程组理论中的皮亚诺存在性定理时不可或缺的一环，也是复分析中的蒙泰尔定理的证明中的重要组成部分。此外，彼得-外尔定理的一个证明中用到了此定理。

定义

以下的定义在定理的叙述和证明中会不断使用到。

等度连续

设 K 和 X 是两个度量空间，是搜集所有从K 到 X 的连续映射的所形成的集合。如果 的一个子集  满足
对所有和 ，存在一个x 的邻域 ，使得对所有 和 ，都有
则称是等度连续的。

例子

设  是一个逐点有界、可微分，并且导数是一致有界的函数序列，即，则可以证明也是等度连续的，因此满足阿尔泽拉-阿斯科利定理的条件。所以它拥有一个一致收敛的子序列。

证明

以下证明在實數域上的叙述。

必要性

该定理的必要性比较显然，实用价值也比较小。事实上，由紧度量空间X 到完备的度量空间Y 的任何一列连续映射序列{fₙ} 如果在X 上一致收敛，那么它收敛到一个连续映射f. 由紧度量空间上，连续映射f 的一致连续性和收敛的一致性，可以证明该映射序列是等度连续的。同时由收敛的一致性和连续映射将紧集映为紧集的性质，可以推出该序列完全有界。
若集合F 中的映射不一致有界，则由定义，对任意n∈N, 存在 F 中的映射fₙ，其范数大于n, 于是 {fₙ} 的任意一个子列都不是完全有界的，故任意子列都非一致收敛，与假设矛盾。若集合F 中的映射不等度连续，则存在ε>0，对任意的n∈N，存在 x1, x₂ 和集合中某个映射fₙ，满足 d(x₁,x₂) < 1/n，但 d(fₙ(x₁), fₙ(x₂)) ≥ ε. 这样，{fₙ} 的任意一个子列都不是等度连续的，从而任意子列都非一致收敛，同样与假设矛盾。

充分性

充分性的证明用到了对角论证法。若紧度量空间X 是个有限集，则充分性显然。因此，设 X 是个无穷集，由 X 的紧致性可知，存在在X 中稠密的序列。
考虑 中任意一个映射序列。由于  是逐点有界的，序列  在 Y 中是有界的。根据波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理和 Y 的完备性，该序列拥有收敛的子列，记作。而序列又存在收敛的子列，记作 … 。如此重复，即得到了一系列的映射序列。考虑其中对角线元素所构成的序列。则对于序列E 中任意一点，序列 是 的子序列，因此序列收敛。
给定，因为 是等度连续的，延用等度连续定义里的，所以 是  区间的一个开覆盖。由于  区间是紧致的，存在有限集使得 。因为 E 在 中是稠密的，所以 E 有一个子集满足 。由  在 E 中各点的收敛性可知，对每个，存在 ，使得对任一对比大的正整数对m 和 n 都有。定义 ，则前一句话中的可以改成N。

对 X 中每个点x，存在一个使得 。而对于任何比N 大的正整数对m 和 n，都有，此外由
、、、
可知 。
因此，是一个上的柯西列，因为 是完备的可推得也是，所以 是 的一致收敛子序列。