达布定理

在实分析中，达布定理（英语：Darboux's theorem）得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有的实导函数（是某个实值函数的导数的函数）都具有介值性质：任一个区间关于实导函数的值域仍是区间。即是说，若 f 为可导函数，则对任意区间I，f′(I) 仍为区间。
当函数f 是一阶连续可导函数（C¹）时，由介值定理，达布定理显然成立。当导函数f′ 不连续时，达布定理说明f′ 仍具有介值性质。

定理叙述

达布定理等价于：设 f : [a,b] → R 为一个[a,b] 上的实值连续函数，并在[a,b] 上可导，那么  满足：对任意介于 和 之间的t ，存在 x 属于 (a,b) 使得 。

证明

不失一般性，我们可假设。又设g(x) := f(x) - tx，则 。只需找到在 [a,b] 上的一个零点即可。
由于 g 是[a,b] 上的连续函数，由极值定理， g 在[a,b] 上达到极大值。由于，极大值不在a 处取到。同理，由于，极大值也不在b 处取到。设 x 为取到极大值的点，这时，。于是定理得证。