筹算

筹算（英语：Rod calculus）是汉字文化圈古代使用算筹进行十进位制计算的程序。

历史

筹算具体出现时间已然不可考，但根据典籍记录和考古发现，至少在战国初年筹算已然出现。它使用中国商代发明的十进位制计数，可以很方便地进行四则运算以及乘方，开方等较复杂运算，并可以对零、负数和分数作出表示与计算。
筹算在公元6世纪由中国传入朝鲜半岛和日本。七世纪的印度数学，分数中的分子在上，分母在下，与中国同，分数的乘除法也和《九章算术》相同。古印度数学绝大部分来自中国。。一直到被珠算完全取代之前，筹算是东亚古代进行日常计算的方法，算筹是东亚古代数学家研究数学时常用的计算器具，是东亚古代各种重要数学发明的基础，开创了中国以至东亚古代以计算为中心的机械化数学体系，与古希腊以逻辑推理为中心的数学体系有所不同；机械化的数学体系是一千多年世界数学的主流

影响

筹算的乘除法传入印度，成为土盘算法。9世纪初至10世纪，又经印度传入阿拉伯,这时期的阿拉伯阐述印度数学的数学著作，诸如《印度算术原理》，其土盘算式虽然用阿拉伯数字表示，但其十进位制概念，分数的表示法，以及加、减、乘、除四则运算的计算方法，和中国的筹算雷同，有的还用空格“”表示“0”，和筹算一模一样。有学者认为，中国古代的筹算，通过丝绸之路传入印度、阿拉伯，促成印度－阿拉伯数字体系。

数字表示

算筹数系是世界上唯一只用一个符号的方向和位置的组合，表示任何十进位数字或分数的系统。
单位数字：将筹棍竖排一根棍表示1，两根棍表示2，5根棍表示5如图上。但从6至9数字的表示，不是并排6至9根筹棍，而是采用同位五进制，即用一根筹棍代表数码5，横放在筹数1至4的上方如图。这已蕴含算盘雏形。上排是筹算中1至9的竖码，下排是相应数字的横码。
大于9的数字，则用十进制表示，在个位数的位置左边，放置一个筹数，代表这个筹数的十倍，在十位数值左的位置，代表百位数，如此类推。如图所示数二百三十一（231）的表示法，在个位放置一根筹码，表示1，在十位放置筹数3，代表30，在百位放置筹数2，代表200，总数即二百三十一（231）。《孙子算经》云：
凡算之法：先识其位，一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。
筹算板一般是桌面或地面，通常没有格子。如果筹码2，3，1并排排列，有可能被误读为51或24；为了避免邻位误读，每隔一位交替使用竖码横码，即个位竖码，十位用横码，百位用竖码，千位用横码，如此类推，就可以完全避免误读了。

零的表示

中国自有筹算起就有“0”，即以空位表示“0”。筹算中的零是位置零和运算结果的零，没有特定符号，这和阿拉伯数字专有一个符号0不同，阿拉伯数字0只是符号零，不是运算结果。

正负数

宋代数学家用红色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，也有一律用黑色筹码，但在数字最后一位加一根斜棍标示为负数。

分数

用筹算进行除法运算时，如留有余数，则必须保留除数和余数，形成一对筹码，一在上一在下。刘徽《九章算术注》中，在上的筹称“实”，为在下的筹称为“法”：《孙子算经》中，在上的筹称为“子”，（分子），而在下的称为“母”（分母）。如右图一对筹码一在上一在下，1是子，7是母，构成分数。
这种筹算分数的表示法，在9世纪由花拉子米介绍到阿拉伯国家。

最大公约数

九章算术给出求两个数最大公约数的方法，即辗转相除，以至最后余数相等，即为最大公约数。
左图为求 的最大公约数，并进行约分。
最大公约数为25，约分得。

分数内插法

何承天发明名为调日法的分数内插法，反复将弱值分数与强值分数的分子分母相加已求得更佳的近似值。祖冲之用此法求的著名的圆周率
约率和密率

开立方根

九章算术卷第四《少广》有数道开立方题，其开立方术为后世开立方术的基础。
〔二二〕又有积一百九十三万七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。问为立方几何？
答曰：一百二十四尺、太半尺。
开立方术曰：置积为实。借一算步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中从定法。复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之，讫，开其母以报除。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。
北宋数学家贾宪发明增乘开立方法和递增三乘开四次方术。
右图为贾宪增乘开立方解九章算术第四卷少广〔一九〕
今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何？
答曰：一百二十三尺。
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行列式

日本数学家关孝和在《三部抄》的《解伏题之法》中，将线性方程组的系数纵横写成方阵的形式，发明了行列式。关孝和还提出了两种计算行列式的值的方法：逐式交乘法和交式斜乘法。