點群

在数学里，点群是指固定一点不动之几何对称（等距同构）的群。

简介

点群存在于任一维度的欧几里得空间中。一个离散之二维点群有时会被称为蔷薇图案群（rosette group），且被用来描述装饰品的对称性。三维点群则大量地被使用于化学之中，尤其是在描述一个分子和形成共价键之分子轨道的对称性，且在一些文献中亦会被称成分子点群。
在每一个维度里都有着无限多个离散点群。但晶体局限定理说只存在有限多个和平移对称相容的离散点群。在一维里有2个，二维里有10个，三维里则有32个，这些点群称做晶体点群。

二维中

二维点群可以分成两个不同的种类，根据其对称性是只有旋转而已，还是亦包括镜射。其循环群Cₙ（Zₙ抽象群类型）由360/n度和其整数倍的旋转所构成。例如，卐有一对称群C₄，是由0度、90度、180度及270度等旋转所构成的。正方形的对称群属于二面体群Dₙ（Dihₙ抽象群类型）的类型，包含和旋转一样多的镜射。圆的无限旋转对称表示其镜射对称也是无限的，但形式上，圆群S₁是不同于Dih（S₁）的，因为其明确地包含了镜射。
一个无限群不一定需要是连续的；例如，存在一由360/√2度的整数倍之旋转组成的群，其中并不包含有180度的旋转。
n=1,2,3,4,6的Cₙ和Dₙ可以和平移对称相结点，有时还可以以不只一种的方式。因此，这十个群可以产生出17个壁纸群。

三维中

更复杂的对称产生于三维之中，详见三维点群。

一般性

在任何维数d里，所有可能的定点等距同构之连续群为正交群，标记为O(d)；且其所有可能的旋转之连续子群为特殊正交群，标记为SO(d)。这并不是向夫立符号，而是从李群理论中生出的习惯标记。