勒文海姆–斯科伦定理

在数理逻辑中，经典 Löwenheim–Skolem 定理声称对于标识(signature)为  的任何可数一阶逻辑语言 L 和 L-结构 M，存在一个可数无限基本子结构 N  '
这个定理的自然和有用的推论是所有一致的L-理论都有可数的模型。
这里的标识由常量集合、函数集合、关系符号集合、和表示函数和关系符号的元数的函数 组成。在这个上下文中L-结构，由底层集合(经常指示为“M”)和 L 的函数和关系符号的释义组成。L 的常量在M 中的释义就是的元素。类似的，-元函数 被指派为M 中的-元函数 的图，而-元关系 的释义被指派为M 中的-元关系。语言 L 是可数的，如果在L 中的常量、函数和关系符号是可数的。

例子

一个周知的不可数模型是所有实数的集合，带有次序关系"<" 作为唯一的关系，和加法与乘法作为函数。有序域的公理是一阶句子；最小上界公理不是一阶的而是二阶的。这个定理蕴涵了实数域的某个可数无限的子域，因此不同于实数域，但满足了实数域所满足的所有一阶句子。(作为可数的有序域，它不能满足最小上界公理)。例如，特定多项式方程有解(在这个模型中)的断言是一阶句子，因此在断言了其存在的可数子模型中是真的，当且仅当它在实数域中是真的。
数学家考虑的多数数学结构，特别是多数范畴的多数成员，是这里定义意义上的模型。Löwenheim–Skolem 定理告诉我们如果它们是不可数的，它们不能被任何一阶句子的集合唯一性的选取出来。

更一般的"Löwenheim–Skolem 定理"

上述定理假定了有限或可数无限的语言。更一般的Löwenheim-Skolem 定理做其他有关基数的假定。类似于这个经典定理的某些定理，断言更小的子模型的存在(“向下” Löwenheim-Skolem 定理)；其他一些断言更大基数的模型的存在(“向上” Löwenheim-Skolem 定理)。