双曲几何

三角形

在双曲几何中，线段长度的定义为两点的最短距离除以，K=高斯曲率，正如同在球面几何中的长度为其圆心角弧度（最短距离除以曲率），有了长度的定义后，便可给出双曲几何中的勾股定理：若一直角三角形的两股长分别为a和b，斜边为c，则
在此，cosh指的是双曲余弦函数。
在双曲几何中，许多双曲三角学公式与欧几里得几何十分相像，大抵上双曲几何中的长度需带入双曲函数。例如双曲几何中的正弦定律为：
不同于欧几里得几何，双曲几何中三角形的内角和必小于π(180°)，故称其内角和与π的差为该三角形的角亏，则该三角形的面积等于该三角形的角亏乘以R²，而。故所有三角形的面积均小于等于πR²，且等号成立当且仅当该三角形为理想三角形。

圆与球

以下的圆或球半径皆为r ，并且 K 代表高斯曲率， R 代表 
双曲几何中圆的周长为
因为sinh x的泰勒展开式为
于是，对所有正实数x＞0，，推得
故圆的周长必大于。
圆的面积则是。
球的表面积为 ，必大于欧几里得几何的 
球的体积为
在n度空间中，定义 Ω_n 是n维立体角，满足 
在此，Γ(n)是Γ函数。
则n-1维球面(在n度空间中)的测度是 
n维球(在n度空间中)的测度则是