泰勒公式

在数学中，泰勒公式（英语：Taylor's Formula）是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。这个公式来自于微积分的泰勒定理（Taylor's theorem），泰勒定理描述了一个可微函数，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式（Taylor polynomial）。泰勒公式还给出了余项即这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

余项估计

拉格朗日型余项或积分型余项可以帮助估计泰勒展开式和函数在一定区间之内的误差。设函数在区间[a − r, a + r] 上n 次连续可微并且在区间(a − r, a + r) 上n + 1 次可导。如果存在正实数Mₙ 使得区间(a − r, a + r) 里的任意x 都有，那么：
其中。这个上界估计对区间(a − r, a + r) 里的任意x 都成立，是一个一致估计。
如果当n 趋向于无穷大时，还有，那么可以推出，f 是区间(a − r, a + r) 上解析函数。f 在区间(a − r, a + r) 上任一点的值都等于在这一点的泰勒展开式的极限。