角直徑距離

角直径距离一般是天文学中使用的距离。天体的角直径距离被定义为天体的真实大小 和它从地球观察所见的角直径 之比。

角直径距离的确定依赖于宇宙模型的选取。一个红移为  的天体的角直径距离用共动距离  表示为：

此处 为弗里德曼-罗伯逊-沃尔克坐标，其定义如下：

此处 是曲率密度，和 是哈勃参数目前的值。
在目前被普遍推崇的ΛCDM模型中，一个天体的“角直径距离”是对“真实距离”（即光线发出时刻的共动距离）很好的近似。请注意当红移较大时，增加红移会得到更小的角直径距离。换言之，在一个天体“后面”的另一个相同大小的天体，如果红移较大（约大于Z=1.5），会在天球上显示更大的张角，而且会有“较小”的“角直径距离”。

角大小与红移的关系

角大小与红移的关系描述天体在地球上观测到的角大小与其红移（与距离 有关）的关系。根据欧几里得几何，这个关系可表达为：
其中 是天体的角大小， 是其真实大小， 是天体到地球的距离。当  很小时，上式可以近似为：
.
但是，在ΛCDM模型中，这个关系是复杂的。如上所述，此模型中，当天体的红移增加至大于约1.5之后，随着红移的增加天体的角大小增大。
具体的角直径距离 和红移的关系如下：
其中  为减速因子，它描述宇宙减速膨胀的加速度；在最简化的模型中， 代表宇宙将永远膨胀， 代表闭合宇宙（最终将停止膨胀并收缩）， 代表临界的状态－宇宙将正好可以膨胀至无穷远而不会收缩。
马蒂公式是  情况下的角直径距离与红移的关系。