BHK释义

在数理逻辑中，直觉主义逻辑的布劳威尔-海廷-柯尔莫哥洛夫释义（Brouwer–Heyting–Kolmogorov interpretation）或BHK释义是由鲁伊兹·布劳威尔、阿兰德·海廷和独立的由安德雷·柯尔莫哥洛夫提出的。它有时也叫做可实现性释义，因为有关于斯蒂芬·科尔·克莱尼的可实现性理论。

什么是荒谬？

逻辑系统不可能有形式否定算子，使得在没有P的证明的时候有正确的 非P的证明（参见哥德尔不完备定理）。BHK释义转而采纳 非P为意味着P导致荒谬，指示为，所以¬P的证明是把P的证明变换成荒谬的证明的函数。
荒谬的标准例子可以在算术中找到。假定0=1，并进行数学归纳法：0=0通过等同公理得到；（归纳假设）如果0等于特定自然数n，则1将等于n+1 (皮亚诺公理：Sm = Sn当且仅当m = n)，但是因为0=1，所以0也等于n+1；通过归纳，0等于任何数，所以任何两个自然数都是相等的。
所以，有从0=1的证明得到任何基本算数等式和进而任何复杂算术命题的一种方式。进一步的说，要得到这种结果，不是必须的涉及皮亚诺公理0不是任何自然数的后继。这使得0=1在Heyting算术（皮亚诺公理被重写0=Sn → 0=S0）适合充当。这种0=1的使用验证了爆炸原理。

什么是函数？

BHK释义依赖于制定把一个证明变换成另一个证明，或者把一个域的元素变换成一个证明的函数的观点。不同版本的数学构造主义在这一点上是有分歧的。
Kleene的可实现性理论把这种函数看成是可计算函数。它处理Heyting算术，这里的量化的域是自然数而原始命题有x=y的形式。x=y的证明简单是平凡的算法，如果x求值得到与y求值同样的数（它对于自然数总是可决定的），否则没有证明。可以通过归纳建造起更复杂的算法。