可解群

例子

所有的阿贝尔群都是可解的——其次正规群列为自身和平凡子群。但非阿贝尔群则不一定都是可解的。
更一般地，所有幂零群都是可解的。特别地是，所有的有限p-群都是可解的，因为所有的有限p-群都会是幂零的。
可解但不为幂零的群的一个小例子为对称群S₃。实际上，因最小的非阿贝尔的单群为A₅(5个元的交错群)时，所有小于60阶的群皆为可解的。
群S₅不是可解的－它有一合成列{E,A₅,S₅}(若尔当-赫尔德定理指出每个其他的合成列都会等价于此一合成列)，给出了同构于A₅及C₂的商群；而A₅为非可换的。广义化此一论述，结合Aₙ在n > 4时为Sₙ的正规、最大且非阿贝尔简单子群的事实，可知n > 4的所有Sₙ皆不可解，此亦为证明每一个n > 4的n次多项式都不可以以方根得解的关键步骤。
著名的范特-汤普逊定理指出，每一个奇数阶的有限群皆是可解的。特别地，此定理指出，若一有限群为单群，其必为素数阶循环群或是偶数阶的。