四元数与空间旋转

单位四元数（Unit quaternion）可以用于表示三维空间里的旋转。它与常用的另外两种表示方式（三维正交矩阵和欧拉角）是等价的，但是避免了欧拉角表示法中的万向锁问题。比起三维正交矩阵表示，四元数表示能够更方便地给出旋转的转轴与旋转角。

基本方法

用四元数来表示旋转要解决两个问题，一是如何用四元数表示三维空间里的点，二是如何用四元数表示三维空间的旋转。

四元数表示空间中的点

若三维空间里的一个点的笛卡尔坐标为 (x,y,z)，则它用纯四元数（类似于纯虚数，即实部为0的四元数）xi+yj+zk 表示。

与超球面、典型群、自旋群的关系

首先很容易看到，单位四元数与3-球面S³（或三维实射影空间，RP³）同构。
其次，根据单位四元数的矩阵表示，我们又知道，存在一个单位四元数到特殊正交群 SO(3) 的同态，但这不是同构。给定一个角θ， 2π+θ 与 θ 对应的正交矩阵相同，但是由欧拉公式给出的单位四元数不同（恰好相反）。实际上，这反映了在三维空间中旋转2π 弧度和旋转4π 弧度是不等价的，参见旋量。
事实上，单位四元数群与自旋群 Spin(3) 同构。这也表明，S³与自旋群Spin(3) 同构。进一步地，它们微分同胚。
另一方面，单位四元数群与复数域上的2-球面同构，于是与特殊正交群SO(2,C) 同构，而后者实际上就是特殊酉群 SU(2)。S³ 与 SU(2) 也是微分同胚的。