半群

在数学中，半群是闭合于结合性二元运算之下的集合 S 构成的代数结构。
半群的运算经常指示为乘号，也就是 或简写为xy 来指示应用半群运算于有序对(x, y) 的结果。
半群的正式研究开始于二十世纪早期。自从1950年代，有限半群的研究在理论计算机科学中变得特别重要，因为在有限半群和有限自动机之间有自然的联系。

定义

集合S和其上的二元运算·:S×S→S。若·满足结合律，即：∀x,y,z∈S，有(x·y)·z=x·(y·z)，则称有序对(S,·)为半群，运算·称为该半群的乘法。实际使用中，在上下文明确的情况下，可以简略叙述为“半群S”。

历史

半群的正式研究比其他起步于十九世纪中期的代数结构如群或环要晚一些。一些来源把(法语的)这个术语归功于J.-A. de Séguier 在1904年在《Élements de la Théorie des Groupes Abstraits》(《抽象群论基础》)中的首次使用。这个术语的英语使用是在1908年 Harold Hinton 的《有限次序群的理论》中。在1970年，叫做《半群论坛》的新期刊(目前由Springer Verlag编辑)成为少见的完全关于半群理论的数学期刊之一。
Anton Suschkewitsch 经常被归功获得了关于半群的第一个非平凡的结果。他1928年的论文《Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit》(《关于没有唯一可逆性规则的有限群》) 确定了有限简单半群的结构并证明了有限半群的极小理想(或Green关系 J-类)是简单的。在这个基点之上，半群理论的基础进一步由David Rees、James Alexander Green、Evgenii Sergeevich Lyapin、Alfred H. Clifford 和 Gordon Preston 建立。后面二人在1961 年出版了半群理论的专论。
有限半群理论比它的无限对应者要更加发达。这特别根源于语法半群概念，和继而在半群的伪品种和已经被证明在自动机理论中特别多产的所谓的形式语言品种之间的联系。