球 (数学)

欧氏空间里的球

在  维欧氏空间里，一个中心为 ，半径为 的  维（开）球是个由所有距 的距离小于 的点所组成之集合。一个中心为，半径为 的  维闭球是个由所有距 的距离小于等于 的点所组成之集合。
在  维欧氏空间里，每个球都是某个超球面内部的空间。在一维时，球是个有界的区间；在二维时，是某个圆的内部（圆盘）；而在三维时，则是某个球面的内部。

赋范向量空间里的球

每个具范数|·| 的赋范向量空间亦为一度量空间，其中度量d(x, y) = |x − y|。在此类空间里，每个球Bᵣ(p) 均可视为是单位球 B₁(0) 平移 p，再缩放r 后所得之集合。
前面讨论的欧氏空间里的球亦为赋范向量空间里球的一例。

一般凸范数

更一般性地，给定任一Rⁿ 内中心对称、有界、开放且凸的集合X，均可定义一个在Rⁿ 的范数，该球均为X 平移再一致缩放后所得之集合。须注意，若将此定理内的“开”子集以“闭”子集替代，则定理不能成立，因为原点也符合定理内所定之集合，但无法定义Rⁿ 内的范数。

拓扑空间里的球

在拓扑学的文献里，“球”可能有两种含义，由上下文决定。

开集

“（开）球”一词有时被非正式地用于指代任何开集：可以用“p 点周围的一个球”代表包含p 的一个开集。该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集。同样，“闭球”有时用于表示这样一个开集的闭包。（这可能产生误导，例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包，它们都是既开且闭的。）
有时，邻域用于指代这个意义上的球，但是邻域其实有更一般的意义：p 的一个邻域是任何包含一个p 的开集的集合，因此通常不是开集。

拓扑球

X 内的n 维（开或闭）拓扑球是指X 内同胚于 n 维（开或闭）欧几里得球的任一子集，该子集不一定需要由某个度量导出。n 维拓扑球在组合拓扑学里很重要，为建构胞腔复形的基础。
任一n 维开拓扑球均同胚于笛卡尔空间Rⁿ 及 n 维开单位超方形 。任一n 维闭拓扑球均同胚于n 维闭超方形[0, 1]ⁿ。
n 维球同胚于m 维球，当且仅当n = m。n 维开球B 与 Rⁿ 间的同胚可分成两种类型，以 B 的两种可能之拓扑定向来区分。
一个 n 维拓扑球不一定是光滑的；若该球是光滑的，亦不一定需微分同胚于一n 维欧几里得球。