無窮小量

非标准分析中的处理

设F为有序域，a为F中的一个非零元素。若对F中任意正整数n，a < 1/n和-a > -1/n都成立（换句话说，即a的绝对值小于1/n），则称a为无穷小量。

一阶性质

在把扩充实数系使其能包含无穷大量和无穷小量时，人们希望能够尽量保持原系统的各种基本的性质（当然不包括阿基米德性质－－无穷量本身不允许它成立），这样的好处是，那些使用基本性质证明过的命题能够在新的系统里自动成立。这里的“基本”通常是指不对集合使用量词，但可以对集合的元素使用（有限次），比如以下公理“对任意的x，x+0=x”仍然应该成立；使用两次也行：“对任意的x和y，xy=yx”，而如果出现“对任意集合S”则不能算基本性质，在新系统中可能不成立，比如“任何形如{k∈Z|xk>y}都不是空集”就是一例（其实这就是阿基米德性质）。对命题量词的这种限制，叫做一阶逻辑。类似于阿基米德性质，实数集的完备性也不能在新的系统里成立，因为实数集是唯一的完备有序域。