实数完备性

直观上，实数完备性意味着实数轴上（以戴德金的说法）没有“间隙”。这是实数区别于有理数的特点，有理数在数轴上是有间隙的，即无理数。在十进制计数法下，实数的完备性等价于：实数与一个十进制小数表示一一对应。
实数的完备性公理有一组等价命题，完备性的定义方式与实数的构造方式相关。在确立其中之一为公理后，其余皆为完备性公理的等价定理。

等价命题

实数完备性可以用以下任意一个等价定理作为公理：

最小上界性

最小上界定理，又称为上确界定理（LUB公理）。其内容是，如果实数的非空子集有上界，则它有最小上界。这个公理可以用来证明实数集是完备度量空间。有理数集不满足最小上界公理，因而就不是完备的。一个理想的例子是。2 当然是这个集合的上界。但是这个集合没有最小上界— 对于任何上界，我们可以找到上界 有着 。

柯西收敛准则

设  是柯西序列。设 S 为这样一个集合，其中每个实数只大于序列 中的有限个成员。，设  使得 ， 。于是这个序列在区间  里出现无限多次，而且只在它的补集里最多出现有限次。这意味着 S， 因此 S。另外  是 S 的上界。于是通过LUB 公理，可以设b 是 S 的最小上界，而且  。由三角不等式，当 n>N 时成立时。所以  并因此 是完备的。Q.E.D.