對稱多項式

数学中的对称多项式是一种特殊的多元多项式。假设一个n元多项式P(X₁, X₂, ..., Xₙ)，当其中的n个不定元任意交换后，多项式仍维持不变，就称其为对称多项式。严格的说法是，如果对任意的n元置换σ，都有P(Xσ₍₁₎, Xσ₍₂₎, ..., Xσ₍ₙ₎) = P(X₁, X₂, ..., Xₙ)，就说P是对称多项式。
对称多项式最早是在出现在对一元多项式方程求根的研究中。一元多项式方程的系数可以用它的根的多项式来表达。而多项式的任何一个根的地位理当与余者都相同，所以这类多项式中，不定元进行置换不应当改变多项式。从这个角度来说，将多项式方程的根构成的系数多项式称为基本对称多项式是合理的。有定理说明，任意的对称多项式都可以表达为基本对称多项式的多项式。

伽罗瓦理论

对称多项式出现在单变数手依多项式的研究中。考虑一个体上的n 次多项式，并且有n 个根，从另一个方便来说，这 n 个根决定了这个多项式，若将n 个根视为n 个独立的变数，则原多项式的各项系数是由n 个根所形成的对称多项式。这些由n 个根生成系数的对称多项式被称为初等对称多项式。
上述观念可以衍伸出一个解多项式的方法，定义一个映射，将多项式的各项系数送到多项式的所有根，换言之，要解出基本对称多项式方程组。因此，本映射可以被视为是在“破坏对称性”。这使我们可以借由研究根的置换群来求解多项式，这个观念是拉格朗吉预解式的原型，之后在伽罗瓦理论中会有进一步的发展。

一些常见的对称多项式

以下是一些用初等的方法就可以构造出来的对称多项式，而它们都是以X₁, X₂, …, Xₙ 为变数。

与等幂和的性质

以下用a表示对称多项式，s表示等幂和：

牛顿公式

证明如下：