集合 (数学)

集合（英语：Set，或简称集）是基本的数学概念，它是集合论的研究对象，指具有某种特定性质的事物的总体，（在最原始的集合论─朴素集合论─中的定义，集合就是“一堆东西”。）集合里的事物（“东西”），叫作元素。若然是集合的元素，记作。
集合是现代数学中一个重要的基本概念，而集合论的基本理论是在十九世纪末被创立的。这里对被数学家们称为“直观的”或“朴素的”集合论进行一个简短而基本的介绍，另外可参见朴素集合论；关于对集合作公理化的理论，可见公理化集合论。

符号

元素通常用等小写字母来表示；而集合通常用等大写字母来表示。
当元素属于集合时，记作。
当元素不属于集合时，记作。
如果两个集合所包含的元素完全一样，则二者相等，写作

定义

集合、，若，有。则称是的子集，亦称包含于，或包含，记作。
若，且，则称是的真子集，亦称真包含于，或真包含，记作。

并

两个集合可以相"加"。和的并集是将和的元素放到一起构成的新集合。

定义

给定集合，，定义运算如下：或。称为和的并集。

交

一个新的集合也可以通过两个集合"共"有的元素来构造。和的交集，写作，是既属于的、又属于的所有元素组成的集合。
若，则和称作不相交。

定义

给定集合、，定义运算如下：且。称为和的交集。

差

两个集合也可以相"减"。在中的相对补集，国际上通常写作，中文教材中有时也会写作。表示属于的、但不属于的所有元素组成的集合。
在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集的子集。这样， 称作的绝对补集，或简称补集（余集），写作或。
补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

定义

给定集合，，定义运算-如下：且。称为对于的差集，相对补集或相对余集。
在上下文确定了全集时，对于的某个子集，一般称为（对于）的补集或余集，通常记为或，也有记为, , ，以及的。

定义

给定集合，，定义对称差运算如下：。

集合的元素个数

上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 A 有三个元素、而集合B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。数学写法有很多种，不同作者及不同书本用不同的写法:  。
集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用  或符号表示。比如：在2004年，集合是所有住在月球上的人，它没有元素，则。在数学上，空集非常重要。更多信息请看空集。
如果集合只含有限个元素，那么这个集合可以称为有限集合。
集合也可以有无穷多个元素，这样的集合称为无限集合。比如：自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的更多信息请见集合的势。

公理化集合论

若把集合看作“符合任意特定性质的一堆东西”，会得出所谓罗素悖论。为解决罗素悖论，数学家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。

类

在更深层的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。
类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，我们把这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算并不是都能进行的。
定义 类A如果满足条件“”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为。否则称为本性类。
这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。