消失動量

定义

首先定义第 个动量(  moment):
若 ，
则我们说 有  个消失动量。

如何计算消失动量

我们可以看到 不太好计算，尤其是 很大的时候。
此时，可以善用傅立叶转换来进行计算。

计算第0个动量

首先，观察傅立叶转换的公式:
当令时，可以看到以上公式变成:
正是第0个动量。
因此，若要计算 的第0个动量，可以先计算 的傅立叶转换，再取直流项(也就是 )。

计算第k个动量

我们可以同样利用傅立叶转换来计算第 个动量。
首先，傅立叶转换有一个性质: 在频域微分 次，就相当于时域乘上 :
当令时，可以看到以上公式变成:
正是第 个动量。
因此，若要计算 的第k个动量，可以先计算 的傅立叶转换的k次微分，再取直流项(也就是 )。

连续函数

哈尔小波转换是最简单的一种小波转换，使用哈尔基底(Haar Basis)来做母小波。
而墨西哥帽函数(Mexican hat function)也常被用来当母小波。

哈尔基底

哈尔基底的数学表示式如下:
 是一个奇函数，所以
但  是偶函数，所以
因此，哈尔基底的消失动量为1。

墨西哥帽函数

墨西哥帽函数的数学表示式:
仔细观察， 其实是高斯函数的二次微分:
 常數。 
而高斯函数做傅立叶转换仍是高斯函数:
。
利用
可以算出
。
所以墨西哥帽函数的消失动量为2。

高斯函数的p次微分

墨西哥帽函数是高斯函数的二次微分，所以消失动量为2。
当
其傅立叶转换为
。
利用
可以算出
。
所以高斯函数p次微分的消失动量为p。

连续函数的离散系数

多贝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 都是一些常用的离散小波，而且都是由连续小波的离散系数推导而来。

多贝西小波

點的多貝西小波，消失動量

Symlet

點的Symlet，消失動量
Symlet和多贝西小波非常类似，但是比多贝西小波还要对称。

消失动量对于函数的意义

消失动量是用以判断一个函数如何递减的指标。举例来说，对于函数
当输入值逐渐往无限大增加时，此函数会以的速率递减。 我们可用利用定义中的动量积分式来评估此函数的递减速率。
回到此范例中的函数，当时，由于分子会在之间震荡，使得整个函数在震荡。
此性质使得时，
 
函数积分式必定会收敛于0，代表第0个动量
当时，
因此第1个动量
对于的情况，动量积分式均会随着而发散。
由以上的范例，我们可借由能够让动量积分式收敛为0的最大值来判断函数的递减速率，而此最大值便是函数的消失动量。
在连续小波转换中，设计母小波的其中一个条件是有值区间比须是有限的，而母小波在有值区间内如何递减的特性，则可由消失动量来描述。

消失动量与小波函数的设计

当滤波器的傅立叶转换满足以下的条件时，
此滤波器满足共轭镜像滤波器的条件。其中代表离散低通滤波器离散低通滤波器的傅立叶转换。
结合共轭镜像滤波器的条件与消失动量的第3个等价叙述，我们可以将低通滤波器表示为
其中为一多项式函数。
利用上述条件与消失动量的等价叙述，可以简化设计小波函数的步骤。

消失动量与滤波器长度

在小波转换中，尺度函数和小波母函数可利用离散滤波器来定义：
其中为离散低通滤波器，则为离散高通滤波器，通常会利用支撑大小(Size of support)来表示滤波器的长度。
从上述的表示式可得知，
当我们选择较高的消失动量时，将会是具有较高次方的多项式函数，因此对应到的便有较长的滤波器长度。
一般而言，拥有较高的消失动量与较短的滤波器长度是一个交换条件的关系，无法两者同时满足。
因此在设计连续小波转换中的小波母函数时，除了消失动量外，也应当把所对应到的滤波器长度考虑进去。