可分多项式

数学中，可分多项式在不同的作者的书下有两个略微不同的定义。
最常见的一个定义是：当在一个给定域K上的多项式P(X)在K的代数闭包中有不同的根时，称多项式为可分的。换言之它的互异根的数量需要等于多项式的次数。在多项式因式分解的观点下，这样的多项式是无平方多项式。
第二个定义，当P(X)在K[X]中的每个不可约因子在K的代数闭包中的根互不相同，此时称P(X)是可分的。这意味着每个不可约因子是无平方项的。在这个定义中，可分性依赖于K，比如任何一个不可分的不可约多项式P在它的分裂域上都变成可分的了。并且在这个定义下，每个完美域上的多项式是可分的，这包含了0特征域和所有有限域。
两个定义对于K上不可约多项式是等价的，这个被用来定义域K的可分扩张。
在条目的余下部分我们只用第一个定义。
一个多项式可分当且仅当它与它的形式导数P'(X)互素。

伽罗华理论中的应用

可分多项式常在伽罗华理论中出现。
比如，令P是一个整系数不可约多项式而p是一个不整除P首项系数的素数。Q是有限域Fₚ上的上由P模p约化而来的多项式。则若Q可分则Q不可约因子的次数是P的伽罗华群的某个置换的长度。
另一个例子：P同上，一个群G的预解式R是一个系数为p为系数的多项式的多项式，R提供了关于P的伽罗华群的信息。更准确的说，若R是可分的并且有有理根则P的伽罗华群包含于G。例如若D是P的判别式，则X²-D是交错群的预解式。当P是可约的这个预解式总是可分的，但是大多的预解式是不可分的。