토론:치환적분 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전
토론:치환적분
좀더 필요한 내용
1. 치환적분공식에서 좌변을 우변으로 변환하여 적분 문제를 푸는 예.
2. 우변을 좌변으로 변환하여 적분 문제를 푸는 예.
주의사항의 예의 논리적 문제[편집]
주의사항에서 예를 들어놓으셨는데 계산을 잘못하셨네요. sin x = t 로 치환을 하게되면
∫ 0 π cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x = ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x + ∫ π / 2 π cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x = ∫ 0 1 t 1 − t 2 d t − ∫ 1 0 t 1 − t 2 d t = 2 ∫ 0 1 t 1 − t 2 d t = 2 ⋅ 1 3 = 2 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }\cos ^{2}x\sin xdx&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}x\sin xdx+\int _{\pi /2}^{\pi }\cos ^{2}x\sin xdx\\&=\int _{0}^{1}t{\sqrt {1-t^{2}}}dt-\int _{1}^{0}t{\sqrt {1-t^{2}}}dt\\&=2\int _{0}^{1}t{\sqrt {1-t^{2}}}dt\\&=2\cdot {\frac {1}{3}}\\&={\frac {2}{3}}\end{aligned}}}
이 되어 원래 적분을 바로 계산한 것과 같은 결과가 나옵니다.
일단 내용은 본문에서 지우고 아래에 옮겨 놓겠습니다. --StarLight (토론) 2010년 3월 19일 (금) 23:48 (KST)
StarLight님의 지적 감사드립니다. 그런데 아래 제가 제시한 예는 올바른 예라고 생각합니다. 제목이 "치환하는 함수가 일대일대응이 아닌 경우, 잘못된 결과가 나오는 사례"이기 때문이지요. 분명 올바른 계산은 주어진 구간에서 일대일대응이 되게 처음부터 "cos x =t"와 같이 치환하거나, "sin x = t"로 치환할 경우 StarLight님 같이 구간을 나누어서 각 구간에서 일대일대응이 되게 적분하여야 하는 것이지요.
제 생각인데 아래 제 글과 StarLight님의 올바른 풀이를 같이 소개를 해도 좋을 것 같은데요. 어떠신가요? --Kimhokyeong (토론) 2010년 3월 22일 (월) 23:54 (KST)
지금 문제가 되는 부분이 [0,π/2] 에선
cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x = t 1 − t 2 d t {\displaystyle \cos ^{2}x\sin xdx=t{\sqrt {1-t^{2}}}dt}
이지만 [π/2,π] 에선
cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x = − t 1 − t 2 d t {\displaystyle \cos ^{2}x\sin xdx=-t{\sqrt {1-t^{2}}}dt}
라 치환적분 공식을 잘못 적용한 거라 문제가 되는 건데요;; 코사인이 무조건
인건 아니죠. 구간을 안쪼개고 적분해보면
∫ a b f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = F ( g ( b ) ) − F ( g ( a ) ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))g'(x)\,dx=F(g(b))-F(g(a))}
f ( x ) = { x 1 − x 2 0 < x < π 2 − x 1 − x 2 π 2 < x < π {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x{\sqrt {1-x^{2}}}&0<x<{\frac {\pi }{2}}\\-x{\sqrt {1-x^{2}}}&{\frac {\pi }{2}}<x<\pi \end{cases}}}
g ( x ) = sin ⁡ x {\displaystyle g(x)=\sin x\;}
∫ 0 π f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ 0 π cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x {\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(g(x))g'(x)\,dx=\int _{0}^{\pi }\cos ^{2}x\sin xdx}
가 나오는데 여기서 f 의 부정적분 F 를 구해보면
F ( x ) = { − 1 3 ( 1 − x 2 ) 3 2 0 < x < π 2 1 3 ( 1 − x 2 ) 3 2 π 2 < x < π {\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{3}}(1-x^{2})^{\frac {3}{2}}&0<x<{\frac {\pi }{2}}\\{\frac {1}{3}}(1-x^{2})^{\frac {3}{2}}&{\frac {\pi }{2}}<x<\pi \end{cases}}}
가 되고 따라서
∫ 0 π cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x = F ( g ( π ) ) − F ( g ( 0 ) ) = ( 1 3 ( 1 − sin 2 ⁡ π ) 3 2 ) − ( − 1 3 ( 1 − sin 2 ⁡ 0 ) 3 2 ) = ( 1 3 ( 1 − 0 ) 3 2 ) − ( − 1 3 ( 1 − 0 ) 3 2 ) = 1 3 + 1 3 = 2 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }\cos ^{2}x\sin xdx&=F(g(\pi ))-F(g(0))\\&=\left({\frac {1}{3}}(1-\sin ^{2}\pi )^{\frac {3}{2}}\right)-\left(-{\frac {1}{3}}(1-\sin ^{2}0)^{\frac {3}{2}}\right)\\&=\left({\frac {1}{3}}(1-0)^{\frac {3}{2}}\right)-\left(-{\frac {1}{3}}(1-0)^{\frac {3}{2}}\right)\\&={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\\&={\frac {2}{3}}\end{aligned}}}
가 됩니다. 하신 실수가 삼각함수 공식을 잘못 쓰신거라 실수를 다루자 해도 여기서 다루긴 좀 그런것 같네요. --StarLight (토론) 2010년 3월 23일 (화) 10:28 (KST)
그렇군요. 오류 사례를 올리려고 했는데, 그것이 오류가 되어버렸네요.
그러면 치환적분을 할 때 "일대일대응"이 필요한 이유를 설명할 수 있는 예는 무엇이 있을까요? 혹은 수학적인 이유는 무엇일까요?--124.138.13.3 (토론) 2010년 3월 23일 (화) 12:22 (KST)
그런데 굳이 일대일대응이여야 할 필요가 있나요? 위 예만 봐도 일대일대응이 아니여도 치환적분이 성립하는것 같습니다만. --StarLight (토론) 2010년 3월 23일 (화) 14:40 (KST)
정적분의 치환적분에서의 주의사항[편집]
∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx} 에서 x = g ( t ) {\displaystyle x=g(t)} 로 치환할 때, 치환하는 함수 g {\displaystyle g} 는 일대일 대응이고 미분가능이어야 한다.
[예시] ∫ 0 π c o s 2 x s i n x d x {\displaystyle \int _{0}^{\pi }cos^{2}xsinxdx}
(치환하는 함수가 일대일대응이 아닌 경우, 잘못된 결과가 나오는 사례)
sin ⁡ x = t {\displaystyle \sin x=t} 로 치환하면
cos ⁡ x d t d x = 1 {\displaystyle \cos x{\frac {dt}{dx}}=1} ,
x=0 이면 t=0, x= π {\displaystyle \pi } 이면 t=0 이므로
∫ 0 π c o s 2 x s i n x d x {\displaystyle \int _{0}^{\pi }cos^{2}xsinxdx} = ∫ 0 0 t 1 − t 2 d t = 0 {\displaystyle \int _{0}^{0}t{\sqrt {1-t^{2}}}dt=0}
이므로 잘못된 결과가 나오게 된다.
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