Lemma di Gronwall
Nell'[[analisi matematica]], il '''lemma di Grönwall''' (o '''disuguaglianza di Grönwall''') permette di limitare una funzione che soddisfa una certa disuguaglianza differenziale o integrale con la soluzione della corrispondente equazione differenziale o [[equazione integrale|integrale]]. Ci sono due forme del lemma, una [[forma differenziale]] e una integrale. Per quest'ultimo esistono diverse varianti.

Il lemma di Grönwall è uno strumento importante per ottenere varie stime nella teoria delle [[equazione differenziale ordinaria|equazioni differenziali ordinarie]] e [[equazione differenziale stocastica|stocastiche]]. In particolare, fornisce un [[teorema del confronto]] che può essere usato per dimostrare l'[[unicità]] di una soluzione al [[problema di Cauchy]]; vedere il [[Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy|teorema di Picard–Lindelöf]].

Il suo nome deriva da [[Thomas Hakon Grönwall]] (1877–1932). Grönwall è la grafia svedese del suo nome, ma dopo essere emigrato negli Stati Uniti firmerà le pubblicazioni scientifiche come Gronwall.

La forma differenziale della disuguaglianza fu provata da Grönwall nel 1919.<ref name="gronwall">{{Cita pubblicazione|cognome= Gronwall |nome= Thomas H. |wkautore= Thomas Hakon Grönwall |titolo= Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations |url= https://archive.org/details/jstor-1967124 |rivista= [[Annals of Mathematics|Ann. of Math.]] |volume= 20 |numero= 2 |pp= [https://archive.org/details/jstor-1967124/page/n1 292]–296 |anno= 1919 | jstor = 1967124 | mr = 1502565 | jfm = 47.0399.02}}</ref>
La forma integrale fu invece dimostrata da [[Richard Bellman]] nel 1943 (per questo motivo la disuguaglianza viene chiamata anche ''di Grönwall–Bellman'').<ref>{{Cita pubblicazione|cognome= Bellman |nome= Richard |wkautore= Richard Bellman |titolo= The stability of solutions of linear differential equations |rivista= Duke Math. J.|volume= 10 |numero=  4 |pp= 643–647 |anno= 1943 |url= https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077472225 | mr = 0009408 | zbl = 0061.18502 | doi=10.1215/s0012-7094-43-01059-2}}</ref>

Una generalizzazione non lineare del lemma è conosciuta come la disuguaglianza di Bihari–LaSalle. Altre varianti e generalizzazioni possono essere trovate in Pachpatte, B.G. (1998).<ref>{{Cita libro|cognome1=Pachpatte|nome1=B.G.|titolo=Inequalities for differential and integral equations|data=1998|editore=Academic Press|città=San Diego|isbn=978-0-08-053464-0}}</ref>

== Forma differenziale ==
Sia <math>I</math> un [[Intervallo (matematica)|intervallo]] della [[numero reale|retta reale]] nella forma <math>[a,+\infty)</math> o <math>[a,b]</math> o <math>[a,b)</math> con <math>a<b</math>. Siano inoltre <math>\beta</math> e <math>u</math> [[funzione continua|funzioni continue]] a valori reali definite su <math>I</math>. Se <math>u</math> è [[derivata|derivabile]] nella [[parte interna]] <math>I^o</math> di <math>I</math> (l'intervallo <math>I</math> senza gli estremi) e soddisfa la disuguaglianza differenziale
:<math>u'(t) \le \beta(t)\,u(t),\qquad t\in I^\circ,</math>

allora <math>u</math> è limitata dalla soluzione della corrispondente ''equazione'' differenziale <math>y'(t)=\beta(t)y(t)</math>:

:<math>u(t) \le u(a) \exp\biggl(\int_a^t \beta(s)\, \mathrm{d} s\biggr)</math>

per ogni <math>t\in I</math>.

'''Osservazione:''' Non ci sono ipotesi sul segno delle funzioni <math>\beta</math> e <math>u</math>.

=== Dimostrazione ===

Si definisce la funzione

:<math>v(t) =  \exp\biggl(\int_a^t \beta(s)\, \mathrm{d} s\biggr),\qquad t\in I.</math>

Si nota che <math>v</math> soddisfa

:<math>v'(t) = \beta(t)\,v(t),\qquad t\in I^\circ,</math>

con <math>v(a)=1</math> e <math>v(t)>0</math> per ogni <math>t\in I</math>. Per la [[regola del quoziente]]

:<math>\frac{d}{dt}\frac{u(t)}{v(t)} = \frac{u'(t)\,v(t)-v'(t)\,u(t)}{v^2(t)} = \frac{u'(t)\,v(t) - \beta(t)\,v(t)\,u(t)}{v^2(t)} \le 0,\qquad t\in I^\circ,</math>

Perciò la derivata della funzione <math>u(t)/v(t)</math> è non positiva e quindi la funzione è decrescente e limitata superiormente dal suo valore nell'estremo sinistro <math>a</math> dell'intervallo <math>I</math>:

:<math>\frac{u(t)}{v(t)}\le \frac{u(a)}{v(a)}=u(a),\qquad t\in I,</math>

che è la disuguaglianza di Grönwall.

== Forma integrale per funzioni continue ==
Sia <math>I</math> un [[Intervallo (matematica)|intervallo]] della [[numero reale|retta reale]] nella forma <math>[a,+\infty)</math> o <math>[a,b]</math> o <math>[a,b)</math> con <math>a<b</math>. Siano inoltre <math>\alpha</math>,<math>\beta</math> e <math>u</math> funzioni a valori reali definite su <math>I</math>. Si assuma che <math>\beta</math> e <math>u</math> siano [[funzione continua|continue]] e che la parte negativa di <math>\alpha</math> sia integrabile in ogni sottointervallo chiuso e limitato di <math>I</math>.

*(a) Se <math>\beta</math> è non negativa e se <math>u</math> soddisfa la seguente disuguaglianza integrale
::<math>u(t) \le \alpha(t) + \int_a^t \beta(s) u(s)\,\mathrm{d}s,\qquad \forall t\in I,</math>
:allora
::<math> u(t) \le \alpha(t) + \int_a^t\alpha(s)\beta(s)\exp\biggl(\int_s^t\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr)\mathrm{d}s,\qquad t\in I.</math>
*(b) Se, inoltre, la funzione <math>\alpha</math> è non decrescente, allora

::<math>u(t) \le \alpha(t)\exp\biggl(\int_a^t\beta(s)\,\mathrm{d}s\biggr),\qquad t\in I.</math>

'''Osservazioni:'''
* Non ci sono ipotesi sul segno di <math>\alpha</math> e <math>u</math>.
* Comparata alla forma differenziale, la derivabilità di <math>u</math> non è richiesta nella forma integrale.
* Per una versione del lemma di Grönwall che non richieda la continuità di <math>\beta</math> e <math>u</math>, vedere la sezione successiva.

=== Dimostrazione ===
(a) Si definisce

:<math>v(s) = \exp\biggl({-}\int_a^s\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr)\int_a^s\beta(r)u(r)\,\mathrm{d}r,\qquad s\in I.</math>

Usando la [[regola del prodotto]], la [[regola della catena]], la derivata della [[funzione esponenziale]] e il [[Teorema fondamentale del calcolo integrale]], si ottiene per la derivata

:<math>v'(s) = \biggl(\underbrace{u(s)-\int_a^s\beta(r)u(r)\,\mathrm{d}r}_{\le\,\alpha(s)}\biggr)\beta(s)\exp\biggl({-}\int_a^s\beta(r)\mathrm{d}r\biggr),
\qquad s\in I,</math>

dove si è usata la disuguaglianza integrale nell'ipotesi. Dato che <math>\beta</math> e l'esponenziale sono non negativi, questo dà una stima superiore per la derivata di <math>v</math>. Siccome <math>v(a)=0</math>, dall'integrazione di questa disuguaglianza da <math>a</math> a <math>t</math> si ricava

:<math>v(t) \le\int_a^t\alpha(s)\beta(s)\exp\biggl({-}\int_a^s\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr)\mathrm{d}s.</math>

Usando la definizione di <math>v(t)</math> dal passo precedente, insieme alla [[equazione funzionale]] dell'esponenziale,  si ottiene

:<math>\begin{align}\int_a^t\beta(s)u(s)\,\mathrm{d}s
&=\exp\biggl(\int_a^t\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr)v(t)\\
&\le\int_a^t\alpha(s)\beta(s)\exp\biggl(\underbrace{\int_a^t\beta(r)\,\mathrm{d}r-\int_a^s\beta(r)\,\mathrm{d}r}_{=\,\int_s^t\beta(r)\,\mathrm{d}r}\biggr)\mathrm{d}s.
\end{align}</math>

Sostituendo nella disuguaglianza integrale assunta nelle ipotesi si ha la disuguaglianza cercata.

(b) Se la funzione <math>\alpha</math> è non decrescente, allora dalla parte (a), il fatto <math>\alpha(s)\leq\alpha(t)</math>, e il teorema fondamentale del calcolo implica che

:<math>\begin{align}u(t)&\le\alpha(t)+\biggl({-}\alpha(t)\exp\biggl(\int_s^t\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr)\biggr)\biggr|^{s=t}_{s=a}\\
&=\alpha(t)\exp\biggl(\int_a^t\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr),\qquad t\in I.\end{align}</math>

== Forma integrale per misure localmente finite ==
Sia <math>I</math> un [[Intervallo (matematica)|intervallo]] della [[numero reale|retta reale]] nella forma <math>[a,+\infty)</math> o <math>[a,b]</math> o <math>[a,b)</math> con <math>a<b</math>. Siano <math>\alpha</math> e <math>u</math> [[funzione misurabile|funzioni misurabili]] definite su <math>I</math> e sia <math>\mu</math> una misura non negativa definita sulla [[Algebra di Borel|σ-algebra di Borel]] di <math>I</math> che soddisfa <math>\mu([a,t])<\infty</math> per ogni <math>t\in I</math> (questo è certamente soddisfatto quando <math>\mu</math> è una misura localmente finita). Si assuma che <math>u</math> sia integrabile rispetto a <math>\mu</math> nel senso che

:<math>\int_{[a,t)}|u(s)|\,\mu(\mathrm{d}s)<\infty,\qquad t\in I,</math>

e che soddisfa la disuguaglianza integrale

:<math>u(t) \le \alpha(t) + \int_{[a,t)} u(s)\,\mu(\mathrm{d}s),\qquad t\in I.</math>

Se, inoltre,
* la funzione <math>\alpha</math> è non negativa o
* la funzione <math>t\mapsto \mu([a,t])</math> è continua per <math>t\in I</math> } e la funzione <math>\alpha</math> è integrabile rispetto a <math>\mu</math> nel senso che
:: <math>\int_{[a,t)}|\alpha(s)|\,\mu(\mathrm{d}s)<\infty,\qquad t\in I,</math>

allora <math>u</math> soddisfa la seguente disuguaglianza

:<math>u(t) \le \alpha(t) + \int_{[a,t)}\alpha(s)\exp\bigl(\mu(I_{s,t})\bigr)\,\mu(\mathrm{d}s)</math>

per ogni <math>t\in I</math>, dove <math>I_{s,t}</math> indica l'intervallo aperto <math>(s,t)</math>.

===Osservazioni===
* Non ci sono ipotesi sulla continuità di <math>\alpha</math> e <math>u</math>.
* Il valore infinito è permesso nell'integrale della disuguaglianza.
* Se <math>\alpha</math> è la funzione zero e <math>u</math> è non negativo, allora la disuguaglianza di Grönwall implica che <math>u</math> è anch'essa la funzione zero.
* L'integrabilità di <math>u</math> rispetto a <math>\mu</math> è essenziale per l'enunciato. Per un [[controesempio]], sia <math>\mu</math> la [[misura di Lebesgue]] sull'intervallo unitario <math>[0,1]</math>, con <math>u(0)=0</math>,<math>u(t)=1/t</math> per <math>t\in (0,1]</math> e <math>\alpha</math> la funzione zero.
* La versione data nel testo di S.&nbsp;Ethier and T.&nbsp;Kurtz.<ref>{{Cita pubblicazione|cognome= Ethier |nome= Steward N. |cognome2= Kurtz |nome2= Thomas G. |titolo= Markov Processes, Characterization and Convergence |url= https://archive.org/details/markovprocessesw00ethi |città= New York |editore= [[John Wiley & Sons]] |anno= 1986 |p= [https://archive.org/details/markovprocessesw00ethi/page/498 498] | isbn = 0-471-08186-8 | mr = 0838085 | zbl = 0592.60049}}</ref> richiede le ipotesi più forti che <math>\alpha</math> sia una costante non negativa e <math>u</math> sia limitata su intervalli limitati, ma non assume che <math>\mu</math> sia localmente finita. Comparato a quella data successivamente, la loro dimostrazione non discute il comportamento di <math>R_n(t)</math>.

===Casi speciali=== 
* Se la misura <math>\mu</math> ha una densità <math>\beta</math> rispetto alla misura di Lebesgue, allora il lemma di Grönwall può essere riscritto come
:: <math>u(t) \le \alpha(t) + \int_a^t \alpha(s)\beta(s)\exp\biggl(\int_s^t\beta(r)\,\mathrm{d}r\biggr)\,\mathrm{d}s,\qquad t\in I.</math>

* Se la funzione <math>\alpha</math> è non negativa e la densità <math>\beta</math> di <math>\mu</math> è limitata da una costante <math>c</math>, allora

:: <math>u(t) \le \alpha(t) + c\int_a^t \alpha(s)\exp\bigl(c(t-s)\bigr)\,\mathrm{d}s,\qquad t\in I.</math>

* Se, in aggiunta, la funzione non negativa <math>\alpha</math> è non decrescente, allora

:: <math>u(t) \le \alpha(t) + c\alpha(t)\int_a^t \exp\bigl(c(t-s)\bigr)\,\mathrm{d}s
=\alpha(t)\exp(c(t-a)),\qquad t\in I.</math>

=== Schema della dimostrazione ===
La dimostrazione è divisa in tre passi. Un'idea è di sostituire <math>n</math> volte la disuguaglianza integrale in se stessa. Questo è fatto nella ''Affermazione 1'' per induzione matematica. In ''Affermazione 2'' si riscrive la misura del simplesso in una forma conveniente, usando l'invarianza sotto permutazioni delle [[misura prodotto|misure prodotto]]. Nell'ultima parte, si prende <math>n\to \infty</math> per derivare la variante desiderata della disuguaglianza di Grönwall.

=== Dimostrazione dettagliata ===

====Parte 1: iterare la disuguaglianza====
Per ogni numero naturale <math>n</math> incluso lo zero,

:<math>u(t) \le \alpha(t) + \int_{[a,t)} \alpha(s) \sum_{k=0}^{n-1} \mu^{\otimes k}(A_k(s,t))\,\mu(\mathrm{d}s) + R_n(t)\qquad (1)</math>

con resto

:<math>R_n(t) :=\int_{[a,t)}u(s)\mu^{\otimes n}(A_n(s,t))\,\mu(\mathrm{d}s),\qquad t\in I,</math>

dove

:<math>A_n(s,t)=\{(s_1,\ldots,s_n)\in I_{s,t}^n\mid s_1<s_2<\cdots<s_n\},\qquad n\ge1,</math>

è un [[simplesso]] <math>n</math>-dimensionale e

:<math>\mu^{\otimes 0}(A_0(s,t)):=1.</math>

'''Dimostrazione della prima parte:'''
Si usa l'[[induzione matematica]]. Per <math>n=0</math> è la disuguaglianza integrale nelle ipotesi, perché la [[somma vuota]] è definita come zero.

Passo induttivo da <math>n</math> a <math>n+1</math>:
Inserendo la disuguaglianza per <math>u</math> assunta per ipotesi nel resto si ha

:<math>R_n(t)\le\int_{[a,t)} \alpha(s) \mu^{\otimes n}(A_n(s,t))\,\mu(\mathrm{d}s) +\tilde R_n(t)</math>

con

:<math>\tilde R_n(t):=\int_{[a,t)} \biggl(\int_{[a,q)} u(s)\,\mu(\mathrm{d}s)\biggr)\mu^{\otimes n}(A_n(q,t))\,\mu(\mathrm{d}q),\qquad t\in I.</math>

Usando il [[teorema di Fubini]] per scambiare i due integrali, si ottiene

:<math>\tilde R_n(t)
=\int_{[a,t)} u(s)\underbrace{\int_{(s,t)} \mu^{\otimes n}(A_n(q,t))\,\mu(\mathrm{d}q)}_{=\,\mu^{\otimes n+1}(A_{n+1}(s,t))}\,\mu(\mathrm{d}s)
=R_{n+1}(t),\qquad t\in I.</math>

Quindi la disuguaglianza è dimostrata per <math>n+1</math>.

====Parte 2: Misura del simplesso====
Per ogni numero naturale <math>n</math> incluso lo zero e tutti i <math>s<t</math> in <math>I</math>
:<math>\mu^{\otimes n}(A_n(s,t))\le\frac{\bigl(\mu(I_{s,t})\bigr)^n}{n!}\qquad (2)</math>

con l'uguaglianza nel caso in cui <math>t\mapsto \mu([a,t])</math> è continua per <math>t\in I</math>.

'''Dimostrazione della seconda parte:'''
Per <math>n=0</math>, l'enunciato è vero per definizione. Dunque, si considererà <math>n\geq1</math>.

Sia <math>S_n</math> l'insieme di tutte le [[permutazione|permutazioni]] degli indici in <math>\{1,2,\ldots,n\}</math>. Per ogni permutazione <math>\sigma\in S_n</math> si definisce

:<math>A_{n,\sigma}(s,t)=\{(s_1,\ldots,s_n)\in I_{s,t}^n\mid s_{\sigma(1)}<s_{\sigma(2)}<\cdots<s_{\sigma(n)}\}.</math>

Questi insiemi sono disgiunti per differenti permutazioni e

:<math>\bigcup_{\sigma\in S_n}A_{n,\sigma}(s,t)\subset I_{s,t}^n.</math>

Pertanto,

:<math>\sum_{\sigma\in S_n} \mu^{\otimes n}(A_{n,\sigma}(s,t))
\le\mu^{\otimes n}\bigl(I_{s,t}^n\bigr)=\bigl(\mu(I_{s,t})\bigr)^n.</math>

Dal momento che essi hanno la stessa misura rispetto a <math>n</math>-prodotti di <math>\mu</math>, e poiché ci sono <math>n!</math> permutazioni in <math>s_n</math>, la disuguaglianza desiderata segue di conseguenza.

Si assuma ora che <math>t\mapsto \mu([a,t])</math> sia continua per <math>t\in I</math>. Allora, per differenti indici <math>i,j\in \{1,2,\ldots,n\}</math>, l'insieme

:<math>\{(s_1,\ldots,s_n)\in I_{s,t}^n\mid s_i=s_j\}</math>

è contenuto in un [[iperpiano]], quindi dall'applicazione del teorema di Fubini la sua misura rispetto ad <math>n</math> prodotti della misura è zero. Poiché

:<math>I_{s,t}^n\subset\bigcup_{\sigma\in S_n}A_{n,\sigma}(s,t) \cup \bigcup_{1\le i<j\le n}\{(s_1,\ldots,s_n)\in I_{s,t}^n\mid s_i=s_j\},</math>

l'uguaglianza è dimostrata e la (2) segue di conseguenza.

====Dimostrazione del Lemma di Grönwall====
Per ogni numero naturale <math>n</math>, (2) implica per il resto della (1) che

:<math>|R_n(t)| \le \frac{\bigl(\mu(I_{a,t})\bigr)^n}{n!} \int_{[a,t)} |u(s)|\,\mu(\mathrm{d}s),\qquad t\in I.</math>

Per ipotesi si ha <math>\mu(I_{a,t})<\infty</math>. Ne segue che l'assunzione dell'integrabilità di <math>u</math> implica che 

:<math>\lim_{n\to\infty}R_n(t)=0,\qquad t\in I.</math>

La seconda parte e la rappresentazione in serie della funzione esponenziale implica la stima

:<math>\sum_{k=0}^{n-1} \mu^{\otimes k}(A_k(s,t))
\le\sum_{k=0}^{n-1} \frac{\bigl(\mu(I_{s,t})\bigr)^k}{k!}
\le\exp\bigl(\mu(I_{s,t})\bigr)</math>

<math>s<t</math> in <math>I</math>. Se la funzione <math>\alpha</math> è non negativa, allora è sufficiente inserire questi risultati nella (1) per derivare la variante della disuguaglianza di Grönwall ottenuta sopra per la funzione <math>u</math>.

Se <math>t\mapsto \mu([a,t])</math> sia continua per <math>t\in I</math> è continua per <math>t\in I</math>, dalla (1) si ricava

:<math>\sum_{k=0}^{n-1} \mu^{\otimes k}(A_k(s,t))
=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{\bigl(\mu(I_{s,t})\bigr)^k}{k!}
\to\exp\bigl(\mu(I_{s,t})\bigr)\qquad\text{con }n\to\infty</math>

e l'integrabilità della funzione <math>\alpha</math> permette di usare il [[teorema della convergenza dominata]] per concludere la dimostrazione dell'enunciato.

==Note==
<references />

==Voci correlate==
*[[Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy]]
*[[Misura di Lebesgue]]

[[Categoria:Disuguaglianze]]
[[Categoria:Equazioni differenziali]]
[[Categoria:Lemmi]]