Costante di Carter
La '''costante di Carter''' è una [[costante del moto]] relativa al moto attorno ai [[Buco nero|buchi neri]] nella formulazione della gravità secondo la teoria della [[relatività generale]]. Derivata nel 1968 dal fisico teorico australiano [[Brandon Carter]] per un buco nero rotante e dotato di carica, la costante di Carter fornisce, assieme all'energia, al [[momento angolare]] e alla [[massa a riposo]] di una particella, le quattro quantità necessarie a determinare univocamente tutte le orbite in uno [[Metrica di Kerr-Newman|spaziotempo di Kerr-Newman]], comprese quelle di particelle cariche.

L'importanza della costante di Carter è dovuta al fatto che conseguenza della sua esistenza è il fatto che l'equazione geodetica nello spaziotempo di Kerr risulta completamente integrabile, ossia risolvibile in termini di quadrature, vale a dire attraverso il calcolo di un numero finito di integrali e inversioni di funzioni. In termini pratici, lo studio della costante di Carter risulta quindi essere un utile strumento nell'analisi del moto di piccoli buchi neri attorno a buchi neri più massicci, ossia di quei [[Buco nero binario|sistemi binari di buchi neri]] in cui il rapporto tra le masse dei corpi coinvolti è molto alto e che generano [[Onda gravitazionale|onde gravitazionali]].<ref name="like">{{cita pubblicazione|nome=Clifford M.|cognome=Will|titolo=Carter-like Constants of the Motion in Newtonian Gravity and Electrodynamics|rivista=Physical Review Letters|doi=10.1103/PhysRevLett.102.061101|anno=2009|editore=The American Physical Society|formato=pdf|url=https://pdfs.semanticscholar.org/0563/a02b51cf333ffbbcabb1298000a54eba6586.pdf|accesso=10 aprile 2018|pp=061101-1|volume=102|numero=6|dataarchivio=11 aprile 2018|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20180411111507/https://pdfs.semanticscholar.org/0563/a02b51cf333ffbbcabb1298000a54eba6586.pdf|urlmorto=sì}}</ref>

== Formulazione ==
In uno studio del 1968, Carter osservò che l'[[Meccanica hamiltoniana|hamiltoniana]] del moto nello spaziotempo di Kerr in [[coordinate di Boyer-Lindquist]] è separabile e che quindi si possono facilmente identificare le costanti di tale moto utilizzando la [[teoria di Hamilton-Jacobi]].<ref name="carter_1968">{{cita pubblicazione | cognome = Carter | nome = Brandon | anno = 1968 | titolo = Global structure of the Kerr family of gravitational fields | rivista = Physical Review | volume = 174 | numero = 5 | pp = 1559–1571|bibcode = 1968PhRv..174.1559C |doi = 10.1103/PhysRev.174.1559 | url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1968PhRv..174.1559C}}</ref><ref name="aut">{{cita pubblicazione|accesso=24 maggio 2019|editore=Università degli Studi di Perugia|titolo=Buchi neri|nome=Stefano|cognome=Speziali|formato=pdf|url=http://www.infn.it/thesis/PDF/getfile.php?filename=10135-Speziali-triennale.pdf|anno=2012|urlmorto=sì}}</ref> La costante di Carter può essere scritta come:

::<math>C = p_{\theta}^{2} + \cos^{2}\theta \Bigg( a^{2}(m^{2} - E^{2}) + \left(\frac{L_z}{\sin\theta} \right)^{2} \Bigg)</math>,

dove <math>p_{\theta}</math> è la componente latitudinale del momento della particella, <math>E</math> la sua energia, <math>L_z</math> il suo momento angolare, <math>m</math> la sua massa a riposo e <math>a</math> è il momento angolare per unità di massa del buco nero, detto anche ''momento angolare specifico''.<ref name="batt">{{cita pubblicazione|nome=Francesco|cognome=Battistel|titolo=Entropia e termodinamica dei buchi neri|formato=pdf|url=https://df.units.it/sites/df.units.it/files/Tesi%20Battistel.pdf|accesso=9 aprile 2018|editore=Università degli Studi di Trieste|anno=2015|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20180411030011/https://df.units.it/sites/df.units.it/files/Tesi%20Battistel.pdf|dataarchivio=11 aprile 2018|urlmorto=sì}}</ref><ref name="MTW_1973">{{cita libro | cognome1 = Misner | nome1 = Charles W. | cognome2 = Thorne | nome2 = Kip S. | cognome3 = Wheeler | nome3 = John Archibald | anno = 1973 | titolo = Gravitation | url = https://archive.org/details/gravitation00misn_003 | editore = W. H. Freeman and Co. | isbn = 0-7167-0334-3 | p = [https://archive.org/details/gravitation00misn_003/page/899 899]}}</ref>

Poiché le funzioni delle [[Legge di conservazione|quantità conservate]] sono esse stesse costanti, ogni funzione di <math>C</math> e delle altre tre costanti di moto può essere utilizzata come quarta costante in luogo di <math>C</math>. Ciò porta ad un po' di confusione circa la forma della costante di Carter. Ad esempio, in alcuni casi è più comodo usare la seguente forma:

::<math>K = C + (L_z - a E)^{2}</math>

in luogo di <math>C</math>, in quanto la quantità <math>K</math> è sempre non negativa. In generale, con "costante di Carter" ci si può riferire ad ogni quarta costante di moto nella famiglia degli spaziotempi di Kerr.

== Generazione da un tensore di Killing ==
Il [[teorema di Noether]] stabilisce che tutte le quantità conservate sono collegate alle [[Simmetrie dello spaziotempo|simmetrie spaziotemporali]]. La costante di Carter è correlata a una simmetria di ordine superiore della metrica di Kerr generata da un [[Campo vettoriale di Killing|campo tensoriale di Killing]] del secondo ordine, <math>K</math> (che non è lo stesso <math>K</math> precedentemente utilizzato).<ref name="like"/> La costante risulta quindi:

::<math> C = K^{\mu\nu}u_{\mu}u_{\nu} </math>,

dove <math>u</math> è la [[quadrivelocità]] del moto della particella. Le componenti del tensore di Killing in coordinate di Boyer-Lindquist sono:

::<math>K^{\mu\nu}=2\Sigma\ l^{(\mu}n^{\nu)} + r^2 g^{\mu\nu}</math>,

dove <math>g^{\mu\nu}</math> sono le componenti del tensore metrico e <math>l^\mu</math> e <math>n^\nu</math> sono le componenti dei vettori nulli principali:

:<math>l^\mu = \left(\frac{r^2 + a^2}{\Delta},1,0,\frac{a}{\Delta}\right)</math>
:<math>n^\nu = \left(\frac{r^2 + a^2}{2\Sigma},-\frac{\Delta}{2\Sigma},0,\frac{a}{2\Sigma}\right)</math>

con

: <math>\Sigma = r^2 + a^2 \cos^2 \theta \ , \ \ \Delta = r^2 - r_{s} \ r + a^2</math>.

== Limite di Schwarzschild ==
La simmetria sferica della [[metrica di Schwarzschild]] per buchi neri non rotanti permette di ridurre il problema del calcolo della traiettoria delle particelle a sole tre dimensioni. In questa si ha quindi solo bisogno di <math>E</math>, <math>L_z</math> ed <math>m</math> per determinare il moto di una particella, mentre la costante di Carter si può scrivere come:

::<math>C = p_{\theta}^{2} + \left(\frac{L_z}{\sin\theta}\right)^{2}</math>.

Attraverso una rotazione di coordinate, ogni orbita può essere posta nel piano <math>\theta=\pi/2</math>, così che <math>p_{\theta}=0</math>. In questo caso, <math>C = L_z^2</math>, ossia al quadrato del momento angolare orbitale.<ref name="batt"/>

== Note ==
<references/>

{{Portale|relatività|astronomia}}

[[Categoria:Buchi neri]]