Disuguaglianza di Carleman
La '''disuguaglianza di Carleman''' è una [[disuguaglianza]], il cui nome deriva da [[Torsten Carleman]], che la dimostrò nel 1923<ref>T. Carleman, ''Sur les fonctions quasi-analytiques'', Conférences faites au cinquième congres des mathématiciens Scandinaves, Helsinki (1923), 181-196.</ref> e la usò per provare il teorema di Denjoy-Carleman su le classi di funzioni quasi analitiche.<ref>{{Cita pubblicazione|mr=2040885|cognome1=Duncan|nome1=John|cognome2=McGregor|nome2=Colin M.|titolo=
Carleman's inequality|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2003-05_110_5/page/424|rivista=Amer. Math. Monthly |volume=110|anno=2003|numero=5|pp= 424–431|doi=10.2307/3647829}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|mr=1820809|cognome1=Pečarić|nome1=Josip|cognome2=Stolarsky|nome2=Kenneth B.|titolo=Carleman's inequality: history and new generalizations|rivista=Aequationes Mathematicae|volume=61|anno=2001|numero=1–2|pp=49–62|doi=10.1007/s000100050160}}</ref>

==Enunciato==

Sia <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, <math>a_3</math>, ... una [[successione (matematica)|successione]] di [[numero reale|numeri reali]] non negativi, allora

:<math> \sum_{n=1}^\infty \left(a_1 a_2 \cdots a_n\right)^{1/n} \le e \sum_{n=1}^\infty a_n.</math>

La costante ''[[e (costante matematica)|e]]'' nella disuguaglianza è ottimale, cioè la disuguaglianza non vale sempre se <math>e</math> è sostituito da un numero più piccolo. La disuguaglianza è stretta (vale con <math><</math> invece di <math>\leq</math>) se qualche elemento della successione è non nullo.

==Versione integrale==

La disuguaglianza di Carleman possiede una versione integrale, la quale afferma che

:<math> \int_0^\infty \exp\left\{ \frac{1}{x} \int_0^x \ln f(t) dt \right\} dx \leq e \int_0^\infty f(x) dx </math>

per ogni <math>f\geq0</math>

==Disuguaglianza di Carleson==

Una generalizzazione, dovuta a [[Lennart Carleson]], afferma il seguente enunciato:<ref>{{Cita pubblicazione|nome=L.|cognome= Carleson|titolo=A proof of an inequality of Carleman|rivista=Proc. Amer. Math. Soc.|volume=5|anno=1954|pp=932–933|url=https://www.ams.org/journals/proc/1954-005-06/S0002-9939-1954-0065601-3/S0002-9939-1954-0065601-3.pdf|doi=10.1090/s0002-9939-1954-0065601-3}}</ref>

per ogni [[funzione convessa]] <math>g</math> con <math>g(0)=0</math>, e per ogni <math>p>-1</math>,

:<math> \int_0^\infty x^p e^{-g(x)/x} dx \leq e^{p+1} \int_0^\infty x^p e^{-g'(x)} dx. </math>

La disuguaglianza di Carleman corrisponde al caso <math>p=0</math>.

==Dimostrazione==

Una dimostrazione elementare è abbozzata di seguito. Dalla disuguagianza della media aritmetica e geometrica applicata a <math>1\cdot a_1,2\cdot a_2,\dots,n \cdot a_n</math>

:<math>\mathrm{MG}(a_1,\dots,a_n)=\mathrm{MG}(1a_1,2a_2,\dots,na_n)(n!)^{-1/n}\le \mathrm{MA}(1a_1,2a_2,\dots,na_n)(n!)^{-1/n}</math>

dove MG indica la media geometrica e MA quella aritmetica. Dall'[[approssimazione di Stirling]] si ottiene che <math>n!\ge  \sqrt{2\pi n}\, n^n e^{-n}</math>, e applicata a <math>n+1</math> implica

:<math>(n!)^{-1/n} \le \frac{e}{n+1}</math> per ogni <math>n\ge1.</math>

Perciò,

:<math>MG(a_1,\dots,a_n) \le \frac{e}{n(n+1)}\,  \sum_{1\le k \le n}   k a_k   \, ,</math>

da cui

:<math>\sum_{n\ge1}MG(a_1,\dots,a_n) \le\,  e\, \sum_{k\ge1} \bigg( \sum_{n\ge k}  \frac{1}{n(n+1)}\bigg) \, k a_k =\, e\, \sum_{k\ge1}\,  a_k  \,  ,</math>

che dimostra la disuguaglianza. Oltretutto, la disuguaglianza della media aritmetica e geometrica di <math>n</math> numeri non negativi si sa essere una uguaglianza [[se e solo se]] tutti i numeri coincidono, cioè in questo caso se e solo se <math>a_k= C/k</math> per <math>k=1,\dots,n</math>. Di conseguenza, la disuguaglianza di Carleman non è mai un'uguaglianza per le [[Serie convergente|serie convergenti]], a meno che tutti gli <math>a_n</math> si annullino, poiché la [[serie armonica]] è divergente.

Si può provare la disuguaglianza di Carleman anche utilizzando la [[disuguaglianza di Hardy sulle successioni|disuguaglianza di Hardy]]

:<math>\sum_{n=1}^\infty \left (\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right )^p\le \left (\frac{p}{p-1}\right )^p\sum_{n=1}^\infty a_n^p</math>

per ogni numero non negativo <math>a_1</math>,<math>a_2</math>,...  e <math>p>1</math>,  sostituendo ogni <math>a_n</math> con <math>a^{1/p}</math> e con <math>p\to\infty</math>.

==Note==
<references />

==Bibliografia==
*{{Cita libro|cognome= Hardy
 |nome= G. H. |autore2=Littlewood J.E. |autore3=Pólya, G. 
 |titolo= Inequalities, 2nd ed
 |editore= Cambridge University Press
 |anno= 1952
 | isbn       = 0-521-35880-9 
}}
*{{Cita libro|cognome= Rassias
 |nome= Thermistocles M., editor
 |titolo= Survey on classical inequalities
 |url= https://archive.org/details/isbn_9780792364832
 |editore= Kluwer Academic
 |anno= 2000
 | isbn       = 0-7923-6483-X 
}}
*{{Cita libro|cognome= Hörmander
 |nome= Lars
 |titolo= The analysis of linear partial differential operators I: distribution theory and Fourier analysis, 2nd ed
 |editore= Springer
 |anno= 1990
 | isbn       = 3-540-52343-X
}}

==Voci correlate==
* [[Disuguaglianza di Hardy sulle successioni]]
* [[Successione (matematica)|Successione]]

{{portale|matematica}}
[[Categoria:Disuguaglianze]]
[[Categoria:Successioni]]
[[Categoria:Calcolo integrale]]