Definizioni della funzione esponenziale
Nella [[matematica]], la [[funzione esponenziale]] (fra le infinite funzioni esponenziali di base <math>a</math> positiva diversa da 1 s'intenderà nel seguito quella "naturale" ossia con base <math>e = 2,718281\ldots</math>) può essere caratterizzata in vari modi. Le seguenti definizioni sono le più comuni. Questo articolo discute il motivo per cui ogni caratterizzazione ha senso, e del perché ogni definizione implica l'altra. Come caso speciale di queste considerazioni, si vedrà che le tre definizioni più comuni della [[E (costante matematica)|costante matematica ''e'']] sono anche equivalenti tra di loro.

== Definizioni più comuni ==
Le sei più comuni definizione della funzione esponenziale <math>\exp(x) = e^x</math> con <math>x</math> reale sono:

:1. Si definisce <math>e^x</math> come il [[limite (matematica)|limite]]

:::<math>e^x = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac x n \right)^n.</math>

:2. Si definisce <math>e^x</math> come il valore della [[serie]]

:::<math>e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots</math>

::(Con <math>n!</math> si indica il [[fattoriale]] di <math>n</math>. Una [[Dimostrazione della irrazionalità di e|dimostrazione che ''e'' è irrazionale]] utilizza questa rappresentazione.)

:3. Si definisce <math>e^x</math> come l'unico numero <math>y>0</math> tale che

:::<math>\int_1^y \frac{dt}{t} = x.</math>
::Ne deriva che è l'[[funzione inversa|inversa]] della funzione [[logaritmo naturale]], che è definita da questo integrale.

:4. Si definisce <math>e^x</math> come l'unica soluzione del [[problema di Cauchy]]

:::<math>y'=y,\quad y(0)=1.</math>

::(<math>y'</math> denota la [[derivata]] di <math>y</math>.)

:5. La funzione esponenziale <math>f(x)=e^x</math> è l''''unica [[funzione misurabile]] secondo Lebesgue''' con <math>f(1)=e</math> che soddisfa
:::<math>f(x+y) = f(x) f(y) \text{ per ogni } x \text{ e } y </math>
::(Hewitt and Stromberg, 1965, esercizio 18.46).  Alternativamente, è l’'''unica [[funzione continua]] "da qualche parte"''' con queste proprietà (Rudin, 1976, capitolo 8, esercizio 6).  Il termine "continua da qualche parte" significa esiste almeno un punto <math>x</math> in cui <math>f(x)</math> è continua. Come mostrato sotto, se <math>f(x+y) = f(x) f(y)</math> per ogni <math>x</math> e <math>y</math> e inoltre <math>f(x)</math> è continua in un punto <math>x</math> allora <math>f(x)</math> è necessariamente continua ''ovunque''.
::(Come controesempio, se ''non'' la continuità o la misurabilità, è possibile dimostrare l'esistenza di una funzione non misurabile e discontinua ovunque con questa proprietà usando una [[base di Hamel]] per i [[Numero reale|numeri reali]] sul campo dei razionali, come descritto da Hewitt e Stromberg.)
::Poiché <math>f(x)=e</math> per <math>x</math> razionali per la proprietà precedente (vedere sotto), si potrebbe anche usare la [[monotonicità]] o altre proprietà per rinforzare la scelta di <math>e^x</math> per [[Numero irrazionale|numeri irrazionali]], ma tali alternative si rivelano insolite.

::Si possono anche sostituire le condizioni che <math>f(1)=e</math> e che <math>f</math> sia una funzione misurabile secondo Lebesgue o continua da qualche parte con la singola proprietà <math>f'(0)=1</math>. Questa condizione, insieme a <math>f(x+y) = f(x) f(y)</math>, implicano facilmente entrambe le condizioni nella quarta caratterizzazione. Infatti, si ha la condizione iniziale <math>f(0) = 1</math> dividendo entrambi membri dell'equazione
:::<math>f(0) = f(0+0) = f(0) f(0)</math>
::per <math>f(0)</math>, e <math>f'(x)=f(x)</math> deriva da <math>f'(0)=1</math> e la definizione della derivata come segue:

:::<math>\begin{align}
f'(x) & = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)} h
\\ & = \lim_{h\to 0}\frac{f(x)f(h)-f(x)} h
\\ & = \lim_{h\to 0}f(x)\frac{f(h)-1} h
\\ & = f(x)\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-1} h
\\ & = f(x)\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)} h
\\ & = f(x)f'(0) = f(x).
\end{align}</math>

:6. Sia <math>e</math> l'unico numeri reale che soddisfa

:::<math>\lim_{h\to 0} \frac{e^h-1} h = 1.</math>

:: Si può mostrare che questo limite esiste. Questa definizione è particolarmente adatta per calcolare la derivata della funzione esponenziale. Si definisce quindi <math>e^x</math> la funzione esponenziale con questa base.

== Estensione a domini più grandi ==
Un modo di descrivere la funzione esponenziale su domini più grandi dei numeri reali è di definirla prima in <math>\mathbb(R)</math> usando una delle precedenti caratterizzazioni e dopo estenderla in un modo che vada bene per ogni [[funzione analitica]].

È possibile anche usare la caratterizzazione direttamente sul dominio più grande, sebbene potrebbero comparire alcuni problemi. (1), (2), e (4) hanno tutte senso per una arbitraria [[algebra di Banach]]. (3) presenta dei problema per i numeri complessi, perché ci sono percorsi d'integrazione che non sono equivalenti, e (5) non è sufficiente. Per esempio, la funzione <math>f</math> definita (per <math>x</math> e <math>y</math> reali) come

:<math>f(x + iy) = e^x(\cos(2y) + i\sin(2y)) = e^{x + 2iy}</math>

soddisfa la condizione nella (5) senza essere la funzione esponenziale di <math>x+iy</math>. Per rendere (5) sufficiente per il dominio dei numeri complessi, si dovrebbe assumere che esista un punto in cui <math>f</math> sia una [[mappa conforme]] o altrimenti aggiungere la condizione

:<math>f(i) = \cos(1) + i\sin(1).</math>

In particolare, la condizione alternativa nella (5) che <math>f'(0)=1</math> è sufficiente dal momento che implicitamente assume che <math>f</math> sia conforme.

== Dimostrazione che ogni caratterizzazione è ben definita ==
Qualcuna di queste definizioni richiedono delle giustificazioni per dimostrare che sono ben definite. Per esempio, quando il valore della funzione è definito come il risultato di un limite (di una [[Successione (matematica)|successione]] o di una [[serie]]), si deve provare che tale limite esiste.

=== Caratterizzazione 2 ===
Poiché

:<math>\lim_{n\to\infty} \left|\frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^n/n!}\right|= \lim_{n\to\infty} \left|\frac{x}{n+1}\right|= 0 < 1.</math>

segue dal [[criterio del rapporto]] che <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> converge per ogni <math>x</math>.

=== Caratterizzazione 3 ===
Dal momento che l'integrando è una [[funzione integrabile]] di <math>t</math>, l'espressione è ben definita. Ora si deve mostrare che la funzione da <math>\mathbb{R}^+</math> a <math>\mathbb{R}</math> definita come

:<math>\int_1^{(\cdot)} \frac{dt}{t}</math>

è [[corrispondenza biunivoca|biettiva]]. Siccome <math>t^{-1}</math> è positivo per <math>t>0</math>, questa funzione è [[funzione monotona|monotona crescente]], quindi iniettiva. Se inoltre valgono i due integrali

:<math>\int_1^\infty \frac{dt} t = +\infty, \quad  \int_1^0 \frac{dt} t = -\infty,</math> 

allora è chiaramente anche suriettiva. Infatti, nel caso in esame questi integrali valgono nel nostro caso, come si deduce dal criterio dell'integrale e dalla divergenza della [[serie armonica]].

== Equivalenza delle definizioni ==
Le seguenti dimostrazioni dimostrano l'equivalenza delle tre caratterizzazioni date precedentemente per <math>e</math>. La dimostrazione consiste di due parti. Prima, si stabilisce l'equivalenza delle definizioni 1 e 2 e successivamente l'equivalenza fra 1 e 3.

=== Equivalenza delle definizioni 1 e 2 ===
I seguenti ragionamenti sono adattati da una dimostrazione in Rudin, teorema 3.31, p.&nbsp;63–-5.

Sia <math>x\ge 0</math> un fissato numero reale non negativo. Si definisce

:<math>s_n = \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!},\ t_n=\left(1+\frac x n \right)^n.</math>

Per il [[teorema binomiale]],

:<math>\begin{align}
t_n & =\sum_{k=0}^n{n \choose k}\frac{x^k}{n^k}=1+x+\sum_{k=2}^n\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-(k-1))x^k}{k!\,n^k} \\[8pt]
& = 1+x+\frac{x^2}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{x^3}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{x^n}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)\le s_n
\end{align}</math>

(usando <math>x\ge 0</math> per ottenere la disuguaglianza finale) in modo che

:<math>\limsup_{n\to\infty}t_n \le \limsup_{n\to\infty}s_n = e^x,</math>

dove l'esponenziale <math>e^x</math> è definito con la seconda caratterizzazione. Si deve utilizzare il [[limite superiore]] perché non si sa ancora se realmente <math>t_n</math> converge. Ora, per l'altro verso della disuguaglianza, si nota che dall'espressione di prima con <math>t_n</math>, se <math>m\leq n</math>, si ottiene

:<math>1+x+\frac{x^2}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots+\frac{x^m}{m!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{m-1}{n}\right)\le t_n.</math>

Fissato <math>m</math>, si manda <math>n</math> all'infinito e si ricava

:<math>s_m = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^m}{m!} \le \liminf_{n\to\infty}t_n</math>

(ancora, si deve usare il limite inferiore poiché non si conosce se il limite effettivamente esiste). Ora, presa la disuguaglianza appena ottenuta, si prende <math>m</math> tendente all'infinito e tenendo conto dell'altra si ha

:<math>\limsup_{n\to\infty}t_n \le e^x \le \liminf_{n\to\infty}t_n,</math>

cosicché

:<math>\lim_{n\to\infty}t_n = e^x.</math>

Si può quindi estendere questa equivalenza ai numeri negativi notando che <math>\left(1 - \frac r n \right)^n  \left(1+\frac{r}{n}\right)^n = \left(1-\frac{r^2}{n^2}\right)^n </math> e prendendo il limite per <math>n</math> che tende all'infinito.
Il termine d'errore di questa limite è rappresentato da

:<math>\left(1+\frac x n \right)^n=e^x \left(1-\frac{x^2}{2n}+\frac{x^3(8+3x)}{24n^2}+\cdots \right),</math>

dove il grado dei polinomi (in <math>x</math>) nel termine con denominatore <math>x^k</math> è <math>2k</math>.

=== Equivalenza delle definizioni 1 e 3 ===
Si definisca la funzione [[logaritmo naturale]] in termini dell'integrale definito come sopra. Per il [[teorema fondamentale del calcolo integrale]],

:<math>\frac d {dx}\ln x=\frac{d}{dx} \int_1^x \frac1 t \,dt = \frac 1 x.</math>

Inoltre, <math>\ln 1 = \int_1^1 \frac{1}{t}\,dt = 0.</math>

Sia <math>x</math> un numero reale fissato, e sia

:<math>y=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n.</math>

Si mostrerà che <math>\ln(y)=x</math>, il quale implica che <math>y=e^x</math>, dove <math>e^x</math> è secondo la definizione 3. Si ha

:<math>\ln y=\ln\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n} \right)^n = \lim_{n\to\infty} \ln\left(1+\frac{x}{n}\right)^n.</math>

Qui si è usata la continuità di <math>\ln(y)</math>, che segue dalla continuità di <math>1/t</math>:

:<math>\ln y=\lim_{n\to\infty}n\ln \left(1+\frac{x}{n} \right) = \lim_{n\to\infty} \frac{x\ln\left(1+(x/n)\right)}{(x/n)}.</math>

Qui invece si è usato il fatto che <math>\ln(a^n)=n\ln(a)</math>, che può essere dimostrato tramite [[induzione matematica]] per i numeri naturali oppure usando l'[[integrazione per sostituzione]]. (L'estensione a potenze reali deve aspettare finché <math>\ln</math> e <math>\exp</math> sono definiti come uno l'inverso dell'altro, in modo che <math>a^b</math> possa essere espresso per <math>b</math> reale come <math>e^{b\ln(a)}</math>.)

:<math>\begin{align}
\ln y&=x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\ln\left(1+h\right)}{h},\qquad\text{dove } h = \frac{x}{n} \\
&=x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\ln\left(1+h\right)-\ln 1}{h}=x\cdot\frac{d}{dt} \ln t \Bigg|_{t=1}= x.
\end{align}</math>

=== Equivalenza della definizione 2 e 4 ===
Sia <math>n</math> un numero intero non negativo. Per la definizione 4 e utilizzando l'induzione, <math>\frac{d^ny}{dx^n}=y</math>. 

Dunque <math>\frac{d^ny}{dx^n}\Bigg|_{x=0}=y(0)=1.</math>

Usando la [[serie di Taylor]],

:<math>y=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.</math> 

Questo mostra che la definizione 4 implica la 2.

Secondo la definizione 2,

:<math>\begin{align}
\frac{d}{dx}e^x & = \frac{d}{dx} \left(1+\sum_{n=1}^\infty \frac {x^n}{n!} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac {nx^{n-1}}{n!} =\sum_{n=1}^\infty \frac {x^{n-1}}{(n-1)!} \\[6pt]
& =\sum_{k=0}^\infty \frac {x^k}{k!}, \qquad\text{dove } k=n-1 \\[6pt]
& =e^x
\end{align}</math>

Inoltre, <math>e^0=1+0+\frac{0^2}{2!}+\frac{0^3}{3!}+\cdots=1.</math> Questo dimostra che la definizione 2 implica la 4, concludendo la dimostrazione.

=== Equivalenza delle definizioni 1 e 5 ===
La seguente dimostrazione è la versione semplificata di una in Hewitt e Stromberg, esercizio 18.46. Prima, si prova che la misurabilità (o l'integrabilità secondo Lebesgue) implica la continuità per una funzione <math>f(x)</math> non nulla che soddisfa <math>f(x+y)=f(x)f(y)</math>, e che la continuità implica <math>f(x) = e^{kx}</math> per qualche <math>k</math>, e alla fine da <math>f(1)=e</math> si ricava <math>k=1</math>.

Prima di tutto si dimostra un po' di proprietà elementari di <math>f(x)</math> con l'ipotesi che <math>f(x+y)=f(x)f(y)</math> e <math>f(x)</math> non è identicamente zero:
* Se <math>f(x)</math> è non nulla in un punto <math>y</math>, allora è non nulla ovunque.  Dimostrazione: <math>f(y) = f(x) f(y - x) \neq 0</math> implica <math>f(x) \neq 0</math>.
* <math>f(0)=1</math>.  Dimostrazione: <math>f(x)= f(x+0) = f(x) f(0)</math> e <math>f(x)</math> non è zero.
* <math>f(-x)=1/f(x)</math>. Dimostrazione: <math>1 = f(0)= f(x-x) = f(x) f(-x)</math>.
* Se <math>f(x)</math> è continua in un punto <math>y</math>, allora è continua ovunque.  Dimostrazione: <math>f(x+\delta)-f(x) = f(x-y) [ f(y+\delta) - f(y)] \rightarrow 0</math> con <math>\delta\rightarrow 0</math> per la continuità in <math>y</math>.

La seconda e terza proprietà significano che è sufficiente di dimostrare che <math>f(x)=e^x</math> per <math>x</math> positivi.

Se <math>f(x)</math> è una funzione integrabile secondo Lebesgue, allora si può definire

:<math>g(x) = \int_0^x f(x')\,dx'.</math>

Da ciò segue che

:<math>g(x+y)-g(x) = \int_x^{x+y} f(x')\,dx' = \int_0^y f(x+x')\,dx' = f(x)g(y).</math>

Poiché <math>f(x)</math> è non nulla, si può scegliere qualche <math>y</math> tale che <math>g(y) \neq 0</math> per risolvere l'espressione precedente in <math>f(x)</math>. Pertanto:

:<math>\begin{align}
f(x+\delta)-f(x) & = \frac{[g(x+\delta+y)-g(x+\delta)]-[g(x+y)-g(x)]}{g(y)} \\
& =\frac{[g(x+y+\delta)-g(x+y)]-[g(x+\delta)-g(x)]}{g(y)} \\
& =\frac{f(x+y)g(\delta)-f(x)g(\delta)}{g(y)}=g(\delta)\frac{f(x+y)-f(x)}{g(y)}.
\end{align}</math>

L'espressione finale deve tendere a zero se <math>\delta\rightarrow 0</math>, dato che <math>g(0)=0</math> e <math>g(x)</math> è continua. Segue che <math>f(x)</math> è continua.

Si dimostra ora che <math>f(q) = e^{kq}</math>, per qualche <math>k</math>, per ogni [[numero razionale]] positivo <math>q</math>. Sia <math>q=n/m</math> per gli interi positivi <math>n</math> e <math>m</math>. Allora

:<math>f\left(\frac{n}{m}\right)=f\left(\frac{1}{m}+\cdots+\frac{1}{m} \right)=f\left(\frac{1}{m}\right)^n</math>

per induzione matematica su <math>n</math>. Dunque, <math>f(1/m)^m = f(1)</math> e quindi

:<math>f\left(\frac{n}{m}\right)=f(1)^{n/m}=e^{k(n/m)}.</math>

per <math>k = \ln [f(1)]</math>. Si noti che se ci si restringe alla funzione a valori reali <math>f(x)</math>, allora <math>f(x) = f(x/2)^2</math> è positiva ovunque e allora <math>k</math> è reale.

Infine, per continuità, dal momento che <math>f(x) = e^{kx}</math> per ogni <math>x</math> razionale, deve essere vero per ogni numero reale poiché la [[Chiusura (topologia)|chiusura]] dei razionali sono i reali (cioè, si può scrivere ogni <math>x</math> reale come il limite di una successione di razionali). Se <math>f(1) = e</math> allora ne deriva che <math>k=1</math>. Questo è equivalente alla definizione 1 (o 2, o 3), a seconda di quale caratterizzazione si usa per ''e''.

=== Definizione 2 implica definizione 6 ===
Secondo la definizione 2,

:<math>\lim_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \left (\left (1+h+ \frac{h^2}{2!}+\frac{h^3}{3!}+\frac{h^4}{4!}+\cdots \right) -1 \right)=\lim_{h\to 0} \left(1+ \frac{h}{2!}+\frac{h^2}{3!}+\frac{h^3}{4!}+\cdots \right)=1.</math>

=== Definizione 6 implica definizione 4 ===
Secondo la definizione 6,

:<math>\frac{d}{dx}e^x=\lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x \cdot \lim_{h \to 0}\frac{e^h-1}{h}=e^x.</math>

Ma si ha inoltre <math>e^0=1</math>, dunque la definizione 6 implica la definizione 4.

== Bibliografia ==
* [[Walter Rudin]], ''Principles of Mathematical Analysis'', 3rd edition (McGraw–Hill, 1976), chapter 8.
* Edwin Hewitt e Karl Stromberg, ''Real and Abstract Analysis'' (Springer, 1965).

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