Calcolo frazionario
Il '''calcolo frazionario''' è una branca dell'[[analisi matematica]] che studia le diverse possibilità di definire una potenza [[numero reale|reale]] o [[numero complesso|complessa]] dell'[[operatore differenziale|operatore derivata]] <math>D</math>

:<math>D f(x) = \dfrac{d}{dx} f(x)</math>,

e dell'operatore integrale <math>J</math>

:<math>J f(x) = \int_0^x\!\!\!\! f(s) {ds}</math>,<ref>Comunemente viene usato il simbolo <math>J</math> al posto dell'intuitivo <math>I</math> per evitare confusione con altri concetti indicati con la stessa lettera, come i [[glifo|glifi]] o le [[identità (matematica)|identità]].</ref>

e sviluppare un [[calcolo infinitesimale]] per questi operatori, generalizzando quelli classici.

In questo contesto, il termine ''potenza'' si riferisce all'applicazione iterata di un [[Trasformazione lineare|operatore lineare]] a una funzione, in analogia alla [[composizione di funzioni]] nel caso a una variabile, cioè <math>f^{\circ 2}(x)=f\circ f(x)=f(f(x))</math>.

Per esempio, ci si potrebbe chiedere se interpretare

:<math>\sqrt{D} = D^{\frac{1}{2}}</math>

come l'analogo della [[radice quadrata]] funzionale per un [[operatore differenziale]], cioè un certo operatore lineare che quando applicato due volte a qualsiasi funzione ha lo stesso effetto della [[derivata]]. Più in generale, ci si potrebbe chiedere di definire un [[funzionale lineare]]

:<math>D^a</math>

per ogni numero reale <math>a</math> in modo tale che, quando <math>a</math> assume un valore [[numero intero|intero]] <math>n\in\mathbb{Z}</math>, coincide con la usuale derivata <math>n</math>-esima <math>D^n</math> se <math>n>0</math> o con la <math>n</math>-esima potenza di <math>J</math> se <math>n<0</math>.

Una delle motivazioni dietro l'introduzione e lo studio di questa estensione dell'operatore derivata <math>D</math> è che gli [[insiemi]] delle potenze <math>\{D^a\,|\,a\in\mathbb{R}\}</math> definite in questo modo sono semigruppi ''continui'' con parametro <math>a</math>, di cui l'originale semigruppo ''discreto'' di <math>\{D^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}</math> è un sottogruppo [[insieme numerabile|numerabile]]: poiché i semigruppi continui hanno una teoria matematica ben sviluppata, è interessante applicarli ad altre branche della matematica.

Le '''equazioni differenziali frazionarie''', anche conosciute come '''equazioni differenziali straordinarie''', sono una generalizzazione delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] attraverso l'applicazione del calcolo frazionario.

==Note storiche==
Nella [[matematica applicata]] e nell'[[analisi matematica]], la '''derivata frazionaria''' è una derivata di ordine arbitrario, reale o complesso. La prima apparizione del concetto di derivata frazionaria si trova in una lettera scritta a [[Guillaume de l'Hôpital]] da [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] nel 1695.<ref name="Derivative">[http://www.emis.de/journals/BMAA/repository/docs/BMAA6-4-1.pdf Katugampola, U.N., "A New Approach To Generalized Fractional Derivatives", Bull. Math. Anal. App. Vol 6, Issue 4, 15 October 2014, pages 1–15]</ref> Le fondamenta di questa teoria furono create da [[Liouville]] in un saggio del 1832.<ref>Joseph Liouville, "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4336778/f2.image Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genre de calcul pour résoudre ces questions]", ''Journal de l'École polytechnique'', vol. 13, sezione 21, (1832), pp. 1-69.</ref><ref>Joseph Liouville, "[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4336778/f72.image Mémoire sur le calcul des différentielles à indices quelconques]", ''Journal de l'École polytechnique'', vol. 13, sezione 21, (1832), pp. 71-162.</ref><ref>Per la storia del calcolo frazionario, vedere la tesi (in francese): Stéphane Dugowson, [http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html ''Les différentielles métaphysiques''] (''histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation''), Thèse, Université Paris Nord (1994)</ref>

==Natura della derivata frazionaria==
La derivata di una funzione <math> f(x)</math> in un punto <math>x</math> è una ''proprietà locale'' solo quando <math>a</math> è un intero; non è questo il caso per derivate non intere. In altre parole, non è corretto dire che la derivata frazionaria in <math> x</math> di una funzione <math> f(x)</math> dipende dai valori di <math> f </math> vicino a <math> x </math>, nel modo in cui fanno certamente le derivate intere. Dunque, ci si aspetta che una tale teoria coinvolga qualche sorta di [[Condizione al contorno|condizioni al contorno]], interessandosi anche al comportamento lontano della funzione.<ref>{{Cita web|url=http://www.mathpages.com/home/kmath616/kmath616.htm|titolo=Fractional Calculus|accesso=3 gennaio 2018}}</ref>

La derivata frazionaria di ordine <math>a</math> di una funzione è spesso definita per mezzo della trasformata di [[trasformata di Fourier|Fourier]] o di [[Trasformata di Mellin|Mellin]].

==Euristica==
Una naturale domanda è chiedersi se esiste un operatore lineare <math>H</math>, o derivata mezza, tale che
:<math>H^2 f(x) = D f(x) = \dfrac{d}{dx} f(x) = f'(x) </math>.

Risulta poi che questo operatore esiste e che in realtà per ogni <math>a>0</math> c'è un operatore <math>P</math> tale che

:<math>(P ^ a f)(x) = f'(x)</math>

In altre parole, la definizione di <math>d^ny/dx^n</math> può essere estesa a tutti i valori reali di <math>n</math>.

Sia <math>f(x)</math> una funzione definita solo per <math>x>0</math>. Si indica con l'integrale definito da <math>0</math> a <math>x</math> con

:<math> ( J f ) ( x ) = \int_0^x f(t) \; dt </math>.

Iterando questo procedimento si ha

:<math> ( J^2 f ) ( x ) = \int_0^x ( J f ) ( t ) dt = \int_0^x \left( \int_0^t f(s) \; ds \right) \; dt,</math>

che può essere esteso arbitrariamente.

La [[formula di Cauchy per integrazioni ripetute]], ossia

:<math> (J^n f) ( x ) = { 1 \over (n-1) ! } \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t) \; dt,</math>

porta in maniera chiara alla generalizzazione per <math>n</math> reale.

Usando la [[funzione Gamma]] per rimuovere la natura discreta del fattoriale, si ottiene un naturale candidato per l'applicazione frazionaria dell'operatore integrale.

:<math> (J^\alpha f) ( x ) = { 1 \over \Gamma ( \alpha ) } \int_0^x (x-t)^{\alpha-1} f(t) \; dt</math>

Infatti questo è un operatore ben definito.

È facile da mostrare che l'operatore <math>J</math> soddisfa

:<math> (J^\alpha) (J^\beta f)(x) = (J^\beta) (J^\alpha f)(x) = (J^{\alpha+\beta} f)(x) = { 1 \over \Gamma ( \alpha + \beta) } \int_0^x (x-t)^{\alpha+\beta-1} f(t) \; dt</math>

{{Approfondimento
|titolo=Dimostrazione
|larghezza=100%
|testo=
:<math>
\begin{align}
(J^\alpha) (J^\beta f)(x) & = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^x (x-t)^{\alpha-1} (J^\beta f)(t) \; dt \\
& = \frac{1}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \int_0^x \int_0^t (x-t)^{\alpha-1} (t-s)^{\beta-1} f(s) \; ds \; dt \\
& = \frac{1}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \int_0^x f(s) \left( \int_s^x (x-t)^{\alpha-1} (t-s)^{\beta-1} \; dt \right) ds
\end{align}
</math>

dove nell'ultimo passaggio si è scambiato l'ordine di integrazione e si è portato fuori il fattore <math>f(s)</math> dall'integrale. Cambiando variabile con <math>r</math>, definita da <math>t = s + (x - s)r</math>,

:<math> (J^\alpha) (J^\beta f)(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \int_0^x (x-s)^{\alpha + \beta - 1} f(s) \left( \int_0^1 (1-r)^{\alpha-1} r^{\beta-1} \; dr \right) ds</math>

L'integrale interno è la [[funzione beta di Eulero]], che soddisfa la seguente proprietà:

:<math>\int_0^1 (1-r)^{\alpha-1} r^{\beta-1} \; dr = B(\alpha, \beta) = \dfrac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}</math>

Sostituendo nell'equazione si ha

:<math> (J^\alpha) (J^\beta f)(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha + \beta)} \int_0^x (x-s)^{\alpha + \beta - 1} f(s) \; ds = (J^{\alpha + \beta} f)(x)</math>

Lo scambio di <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> mostra che l'ordine di applicazione dell'operatore <math>J</math> è irrilevante e questo completa la dimostrazione.
}}

Questa relazione è detta proprietà di semigruppo dell'operatore frazionario [[differintegrale]]. Sfortunatamente il procedimento analogo per l'operatore derivata <math>D</math> è decisamente più complesso, ma si può mostrare che in generale <math>D</math> non è né [[Commutatività|commutativo]] né additivo.

==Derivata frazionaria di una potenza==
[[File:Half-derivative.svg|thumb|upright=1.5|La derivata mezza (curva viola) della funzione <math>f(x)=x</math> (in blu) insieme alla derivata prima (in rosso).]]

[[File:Fractional Derivative of Basic Power Function (2014).gif|thumb|upright=1.5|L'animazione mostra in modo continuo l'operatore derivata di ordine tra <math>\alpha=-1</math> (l'[[primitiva (matematica)|antiderivata]]) e <math>\alpha=+1</math> (la [[derivata]] prima) della funzione <math>y=x</math>.]]

Si assuma che <math>f(x)</math> è un [[monomio]] della forma

:<math> f(x)=x^k\;.</math>

La derivata prima è semplicemente

:<math> f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=k x^{k-1}\;.</math>

Ripetendo la derivazione si ottiene il risultato generale

:<math> \frac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}\;,</math>

che, dopo aver sostituito i [[fattoriale|fattoriali]] con la [[funzione Gamma]], porta a

:<math> \frac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a}, \qquad k \ge 0</math>

Per <math>k=1</math> e <math>\alpha=1/2</math>, si ottiene che la derivata mezza della funzione <math>f(x)=x</math> è

:<math> \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}x=\frac{\Gamma(1+1)}{\Gamma(1-\frac{1}{2} + 1)} x^{1-\frac{1}{2}}=\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(\frac{3}{2})}x^{1/2} = \frac{1}{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x^{1/2}.</math>

Per dimostrare che si tratta della "derivata mezza" (cioè <math>H^2 f(x) = D f(x)</math> ), si ripete il procedimento per avere:

:<math>\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \dfrac{2x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi}}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\dfrac{\Gamma(1+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1)}x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma(1)} x^0 = \frac{2 \frac{\sqrt{\pi}}{2} x^0}{\sqrt{\pi}}=1,</math> (poiché <math>{\Gamma(\frac{3}{2})} = \frac{1}{2}{\sqrt{\pi}} </math>  e <math>{\Gamma(1)} = 1</math> )

che è infatti il risultato aspettato

:<math> \left(\frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}\right)x=\frac d {dx} x = 1.</math>

Per potenze con <math>k</math> intero negativo, la funzione Gamma non è definita e si deve usare la seguente relazione:<ref>{{Cita pubblicazione |cognome1=Bologna |nome1=Mauro |titolo=Short Introduction to Fractional Calculus |editore=Universidad de Tarapaca, Arica, Chile |url=http://www.uta.cl/charlas/volumen19/Indice/MAUROrevision.pdf |accesso=24 maggio 2018 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20161017232309/http://www.uta.cl/charlas/volumen19/Indice/MAUROrevision.pdf |dataarchivio=17 ottobre 2016 |urlmorto=sì }}</ref>

:<math> \frac{d^a}{dx^a}x^{-k}=(-1)^a\dfrac{\Gamma(k+a)}{\Gamma(k)}x^{-(k+a)} \text{ per } k \ge 0</math>

Non c'è bisogno che questa estensione dell'operatore derivata sia vincolata solo ai numeri reali. Per esempio, la derivata <math>(1 + i)</math>-esima della derivata <math>(1 - i)</math>-esima produce l'usuale derivata seconda. Valori negativi di <math>a</math> danno luogo all'operatore integrale.

Per una funzione generale <math>f(x)</math> e <math>0 < \alpha < 1</math>, la derivata frazionaria completa è

:<math>D^\alpha f(x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx} \int_0^x \frac{f(t)}{(x-t)^\alpha} \, dt</math>

Per un <math>\alpha</math> arbitrario, poiché la funzione Gamma non è definita nei numeri interi negativi, è necessario applicare la derivata frazionaria dopo aver svolto la derivata intera. Per esempio,

:<math>D^{3/2}f(x) = D^{1/2 }D^1 f(x)=D^{1/2} \frac d {dx} f(x)</math>

==Trasformata di Laplace==
Si può giungere alla definizione anche attraverso la [[trasformata di Laplace]]. Sapendo che

:<math>\mathcal L \left\{Jf\right\}(s) = \mathcal L \left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\}(s)=\frac1s(\mathcal L\left\{f\right\})(s)</math>

e

:<math>\mathcal L \left\{J^2f\right\}=\frac1s(\mathcal L \left\{Jf\right\} )(s)=\frac1{s^2}(\mathcal L\left\{f\right\})(s)</math>

etc., si afferma che

:<math>J^\alpha f=\mathcal L^{-1}\left\{s^{-\alpha}(\mathcal L\{f\})(s)\right\}</math>.

Per esempio,

:<math>J^\alpha(t^k) = \mathcal L^{-1}\left\{\frac{\Gamma(k+1)}{s^{\alpha+k+1}}\right\} = \frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(\alpha+k+1)} t^{\alpha+k} </math>

come atteso. Infatti, data la regola di [[convoluzione]],

:<math>\mathcal L\{f*g\}=(\mathcal L\{f\})(\mathcal L\{g\})</math>

e abbreviando <math>p(x) = x^{\alpha-1}</math> per chiarezza, si trova che

:<math>\begin{align}
(J^\alpha f)(t) &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\mathcal L^{-1}\left\{\left(\mathcal L\{p\}\right)(\mathcal L\{f\})\right\}\\
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(p*f)\\
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t p(t-\tau)f(\tau)\,d\tau\\
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}f(\tau)\,d\tau\\
\end{align}</math>

che è esattamente uguale a quello ottenuto dalla formula di Cauchy.

La trasformata di Laplace "funziona" relativamente su poche funzioni, ma ''sono'' spesso utili per risolvere equazioni differenziali frazionarie.

==Integrali frazionari==
===Integrale frazionario di Riemann–Liouville===
La classica forma del calcolo frazionario è dato dall'integrale di Riemann–Liouville, che è essenzialmente quello descritto precedentemente. Per le [[funzione periodica|funzioni periodiche]], dunque includendo anche la 'condizione di contorno' di ripetersi dopo un periodo, la teoria utilizza l'[[integrale di Weyl]]. Quest'ultimo è definito sulle [[serie di Fourier]] e richiede che il coefficiente costante di Fourier si annulli; quindi si applica alle funzioni sul [[cerchio unitario]] il cui valore dell'integrale è 0.

:<math>_aD_t^{-\alpha} f(t)={}_aI_t^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^t (t-\tau)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau.</math>

Al contrario la [[derivata di Grünwald–Letnikov]] inizia con la derivata invece dell'integrale.

===Integrale frazionario di Hadamard===
L'''integrale frazionario di Hadamard,'' introdotto da J. Hadamard,<ref>Hadamard, J., ''Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor'', Journal of pure and applied mathematics, vol. 4, no. 8, pp. 101–186, 1892.</ref>  è dato dalla seguente formula,

:<math>_a\mathbf{D}_t^{-\alpha} f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_a^t \left(\log\frac{t}{\tau} \right)^{\alpha -1} f(\tau)\frac{d\tau}{\tau}, \qquad t > a.</math>

===Integrale frazionario di Atangana–Baleanu===
Recentemente, usando la [[funzione di Mittag-Leffler]] generalizzata, Atangana e Baleanu suggerirono una nuova formulazione della derivata frazionaria con Kernel non locali e non singolari, così da costruire il seguente operatore integrale frazionario:

:<math>^{AB}_aD_t^{-\alpha} f(t)=^{AB}_aI_t^\alpha f(t)=\frac{1-\alpha}{AB(\alpha)}f(t)+\frac{\alpha}{AB(\alpha)\Gamma(\alpha)}\int_a^t (t-\tau)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau,</math>

dove <math>AB(\alpha) </math> è una funzione di normalizzazione tale che <math>AB(0)=AB(1)=1 </math>.<ref>Badr Saad T. Alkahtani, " Chua's circuit model with Atangana–Baleanu derivative with fractional order Chaos, Solitons & Fractals", Volume 89, Agosto 2016, Pagine 547–551</ref><ref>Obaid Jefain Julaighim Algahtani. Comparing the Atangana–Baleanu and Caputo–Fabrizio derivative with fractional order: Allen Cahn model. Chaos, Solitons & Fractals, Volume 89, Agosto 2016, Pagine 552–559.</ref>

==Derivate frazionarie==
Diversamente dalle derivate classiche di Newton, la derivata frazionaria è definita attraverso un integrale frazionario.

===Derivata frazionaria di Riemann–Liouville===
La corrispondente derivata è calcolata utilizzando la regola di Lagrange per gli operatori differenziali. Calcolando la derivata <math>n</math>-esima dell'integrale di ordine <math>n-\alpha</math>, si ottiene la derivata <math>\alpha</math>-esima, dove <math>n</math> è l'intero più vicino maggiore di <math>\alpha</math> (cioè, <math>n = \lceil \alpha \rceil</math>).

:<math> _aD_t^\alpha f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_aD_t^{-(n-\alpha)}f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_aI_t^{n-\alpha} f(t)</math>

===Derivata frazionaria di Caputo===
C'è un'altra opzione per calcolare le derivata frazionarie di una funzione: la derivata frazionaria di Caputo. Fu introdotta da M. Caputo nel suo articolo del 1967.<ref>{{cita pubblicazione|cognome=Caputo|nome=Michele|titolo=Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent-II|rivista=Geophysical Journal International|anno=1967|volume=13|numero=5|pp=529–539|doi=10.1111/j.1365-246x.1967.tb02303.x|via=[[Oxford University Press]]}}.</ref> Al contrario della derivata di Riemann-Liouville, quando si risolvono delle equazioni differenziali usando la definizione di Caputo, non è necessario definire le condizioni iniziali dell'ordine frazionario. La derivata di Caputo è definita come segue.

:<math> {}^C D_t^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)} \int_0^t \frac{f^{(n)}(\tau) \, d\tau}{(t -\tau)^{\alpha+1-n}}.</math>

=== Derivata di Caputo-Fabrizio ===
In un lavoro del 2015 di M. Caputo e M. Fabrizio è stata proposta una nuova definizione di derivata frazionaria che ha un nucleo non singolare, definita per una funzione <math>f(t)</math> di classe <math>C^1</math>:

:<math> _a^{CF} D_t^\alpha f(t)=\frac{1}{1-\alpha} \int_a^t f'(\tau)\exp\left(-\alpha\frac{t-\tau}{1-\alpha}\right)d\tau,</math>

dove <math>a < 0</math>.

Questa derivata però, così come la derivata di Atangana-Baleanu e tutte le derivate ottenute sostituendo al nucleo debolmente singolare <math>t^{n-\alpha-1}/\Gamma(n-\alpha)</math> della derivata di Caputo un nucleo non singolare (in questo caso <math>\exp(-\alpha t /(1-\alpha))</math>) presenta un grosso limite che la rende di fatto inutilizzabile. Infatti è facile dimostrare che <math> _a^{CF} D_t^\alpha y(t)|_{t=a} = 0</math> e pertanto quando  <math> _a^{CF} D_t^\alpha</math> è utilizzata in una equazione differenziale del tipo <math>_a^{CF} D_t^\alpha y(t) = f(t,y(t))</math> è necessario che la condizione iniziale <math>y(a)=y_a</math> sia scelta in modo tale che anche <math>f(a,y_a)=0</math>. Questo tipo di condizione appare estremamente restrittiva in quanto è l'operatore utilizzato a determinare il dato iniziale, una condizione che fisicamente non ha alcun senso e che in ogni caso impone condizioni estremamente restrittive.

Va anche detto che pur quando tale restrittiva condizione sia verificata, l'equazione differenziale <math>_a^{CF} D_t^\alpha y(t) = f(t,y(t))</math> potrà essere riscritta come

:<math> \frac{d}{dt} y(t)= (1-\alpha) \frac{d}{dt} f(t,y(t)) + \alpha f(t,y(t)),</math> 
 
dimostrando non solo che la derivata di Caputo-Fabrizio è in realtà una derivata intera, ma che è anche inutile in quanto rappresenta fenomeni descrivibili mediante classiche equazioni differenziali di ordine intero.<ref name=":0">{{Cita pubblicazione|autore=Kai Diethelm|nome=|cognome=|autore2=Roberto Garrappa|autore3=Andrea Giusti|nome2=|cognome2=|nome3=|cognome3=|coautori=Martin Stynes|anno=2020|titolo=Why fractional derivatives with nonsingular kernels should not be used|rivista=Fractional Calculus and Applied Analysis|volume=23|numero=3|pp=610–634|lingua=en|accesso=23 maggio 2021|doi=10.1515/fca-2020-0032|url=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/fca-2020-0032/html}}</ref>

Il ragionamento sopra esposto ha un grosso limite. Infatti, in assenza di una definizione condivisa di derivata frazionaria e quindi delle sue proprietà, non possiamo avere l’arbitrio di introdurre particolari condizioni per stabilire quali, fra gli operatori differenziali, possano essere definiti come derivate frazionarie e quali no. Per cui non si possono fare affermazioni o esempi dove l’operatore frazionario, in esame, non verifica certe condizioni e quindi non possa essere definito come frazionario o derivata frazionaria.
Infine non si può contestare la definizione di C-F derivata frazionaria, osservando che per una molto particolare equazione differenziale è necessario avere opportune condizioni iniziali. 
Il concetto di operatore differenziale frazionario deve essere ampio e quindi non deve essere associato o condizionato a particolari restrizioni che non siano connesse ad un vasto ed universale concetto di operatore frazionario.

===Derivata di Atangana–Baleanu===
C'è un'ulteriore variante della definizione di derivata frazionaria, basata sull'uso della funzione di Mittag-Leffler generalizzata come Kernel. Questa nuova versione fu introdotta da Abdon Atangana e Dumitru Baleanu nel 2016 nel loro lavoro.<ref>{{cita pubblicazione|nome=Dumitru B.  |cognome=Atangana A.|titolo=New fractional derivatives with non-local and non-singular kernel: Theory and application to heat transfer model, Thermal Science, Year 2016, Vol. 20, No. 2, pp. 763–769}}</ref> Gli autori hanno introdotto due versioni: una è Atangana–Baleanu nel senso di Caputo (ABC) che è la convoluzione della derivata locale di una funzione con la funzione di Mittag-Leffler generalizzata; la seconda versione è chiamata derivata frazionaria di Atangana–Baleanu nel senso di Riemann–Liouville (ABR)  ed è la derivata della convoluzione di una data funzione non necessariamente derivabile con la funzione di Mittag-Leffler generalizzata.<ref>{{cita pubblicazione|nome=Koca I.  |cognome=Atangana A.|titolo=Chaos in a simple nonlinear system with Atangana–Baleanu derivatives with fractional order, Chaos, Solitons & Fractals, Volume 89, August 2016, Pages 447–454|doi=10.1016/j.chaos.2016.02.012|volume=89|anno=2016|rivista=Chaos, Solitons & Fractals|pp=447–454}}</ref> La derivata frazionaria di Atangana–Baleanu nel senso di Caputo è la seguente.

:<math> {}_a^{ABC} D_t^\alpha f(t)=\frac{AB(\alpha)}{1-\alpha} \int_a^t f'(\tau) E_\alpha \left(-\alpha\frac{(t-\tau)^\alpha}{1-\alpha}\right).</math>

E la derivata frazionaria di Atangana–Baleanu nel senso di Riemann–Liouville è definita come:
:<math> {}_a^{ABR} D_t^\alpha f(t)=\frac{AB(\alpha)}{1-\alpha}\frac d {dt} \int_a^t f(\tau) E_\alpha \left(-\alpha\frac{(t-\tau)^\alpha}{1-\alpha}\right).</math>

In particolare, questa variante di derivata frazionaria ha portato nuovi strumenti alla matematica applicata per modellizzare sempre più precisamente problemi complessi.<ref>{{cita pubblicazione|nome=Tateishi Angel A., Haroldo Ribeiro V.|cognome= Ervin Lenzi K.|titolo=The Role of Fractional Time-Derivative Operators on Anomalous Diffusion, Front. Phys., 25 October 2017|doi=10.1016/10.3389/fphy.2017.00052 |volume=5|anno=2017|rivista=Frontiers in physics|pp=1–9}}</ref><ref>{{cita pubblicazione|nome=Atangana|cognome=Abdon  |titolo=Non validity of index law in fractional calculus: A fractional differential operator with Markovian and non-Markovian properties|doi=10.1016/j.physa.2018.03.056|volume=505|anno=2018|rivista=Physica A: Statistical Mechanics and its Applications|pp=688-706}}</ref><ref>https://clarivate.com/blog/science-research-connect/fractional-derivative-modeling-real-world-problems/</ref>

Si noti che questa derivata presenta le stesse limitazioni della derivata di Caputo-Fabrizio che la rende di fatto inutilizzabile. Anche in questo caso una equazione differenziale del tipo <math> {}_a^{ABC} D_t^\alpha y(t) = f(t,y(t))</math> ammette soluzione solo quando <math>f(a,y(a))=0</math> ed inoltre quando vale questa condizione (che impone condizioni estremamente restrittive sulla condizione iniziale) allora l'equazione <math> {}_a^{ABC} D_t^\alpha y(t) = f(t,y(t))</math> è equivalente ad una equazione differenziale frazionaria con la derivata frazionaria classica di Caputo del tipo

:<math>   {}_a^C D_t^\alpha y(t) = \frac{1-\alpha}{B(\alpha)} {}_a^C D_t^\alpha f(t,y(t)) + \frac{\alpha}{B(\alpha)} f(t,y(t)) .</math>

Si tratta queste di proprietà condivisa da tutte le derivate con nucleo non singolare: ammettono soluzione solo sotto condizioni iniziali estremamente restrittive e, quando tali condizioni sono soddisfatte, possono essere riformulate come equazioni più semplici. Il loro utilizzo pertanto è fortemente sconsigliato.<ref name=":0" />

===Altri tipi===
Le derivate frazionarie classiche includono:
* Derivata di Grünwald–Letnikov
* Derivata di Sonin–Letnikov
* Derivata di Liouville
* Derivata di Caputo
* Derivata di Hadamard
* Derivata di Marchaud 
* Derivata di Riesz 
* Derivata di Riesz–Miller
* Derivata di Miller–Ross
* Derivata di Weyl 
* Derivata di Erdélyi–Kober

Mentre fra le nuove derivate compaiono:
* Derivata di Machado 
* Derivata di Chen–Machado 
* Derivata di Coimbra
* Derivata di Katugampola 
* Derivata di Caputo–Katugampola
* Derivata di Hilfer 
* Derivata di Hilfer-Katugampola
* Derivata di Davidson
* Derivata di Chen 
*Derivata di Caputo-Fabrizio 
* Derivata di Atangana–Baleanu
* Derivata di Pichaghchi

==Generalizzazioni==
===Operatore di Erdélyi–Kober===
L'operatore di Erdélyi–Kober è un operatore integrale introdotto da [[Arthur Erdélyi]] (1940)<ref>{{cita pubblicazione|cognome= Erdélyi |nome=Arthur |wkautore= Arthur Erdélyi |titolo=On some functional transformations |rivista=Rendiconti del Seminario Matematico dell'Università e del Politecnico di Torino | volume= 10 |pp=217–234 |anno=1950–51 | mr= 0047818 }}</ref> e Hermann Kober (1940)<ref>{{cita pubblicazione|cognome= Kober |nome=Hermann |titolo=On fractional integrals and derivatives |rivista=The Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series) | volume= 11 |numero=1 |pp=193–211 |anno=1940 | doi= 10.1093/qmath/os-11.1.193 }}</ref>, dato da

:<math>\frac{x^{-\nu-\alpha+1}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (t-x)^{\alpha-1}t^{-\alpha-\nu}f(t) dt, </math>

che generalizza l'[[#Integrali frazionari|integrale frazionario di Riemann–Liouville]] e l'integrale di Weyl.

===Operatori di Katugampola===

Una recente generalizzazione introdotta da Udita Katugampola (2011) è la seguente, che generalizza l'integrale frazionario di Riemann–Liouville e quello di Hadamard. L'operatore è conosciuto ora anche come l'integrale frazionario di Katugampola e è dato da,<ref name="Derivative" /><ref name="Integral">{{cita pubblicazione| doi=10.1016/j.amc.2011.03.062 | volume=218 |titolo=New approach to a generalized fractional integral |anno=2011 |rivista=Applied Mathematics and Computation |pp=860–865 |cognome1= Katugampola |nome1=Udita N.}}</ref>

:<math> \left ({}^\rho \mathcal{I}^\alpha_{a+}f \right )(x) = \frac{\rho^{1- \alpha }}{\Gamma({\alpha})} \int^x_a \frac{\tau^{\rho-1} f(\tau) }{(x^\rho - \tau^\rho)^{1-\alpha}}\, d\tau, \qquad x > a. </math>

Anche se l'operatore integrale in questione è molto simile all'operatore di Erdélyi–Kober, non è possibile ottenere l'integrale di Hadamard come conseguenza dell'operatore di Erdélyi–Kober. Inoltre c'è un tipo della derivata frazionaria di Katugampola che generalizza le derivate di Riemann–Liouville e di Hadamard.<ref name="Derivative" /> Come per gli integrali frazionari, non vale per l'operatore di Erdélyi–Kober.<ref name="Derivative" />

==Calcolo funzionale==
Nel contesto dell'[[analisi funzionale]], le funzioni più generali <math>f(D)</math> sono studiate nel calcolo funzionale della [[teorema spettrale|teoria spettrale]]. La teoria degli operatori pseudo-differenziali permette anche di considerare potenze di <math>D</math>. Quest'ultimi sono esempi di operatori integrali singolari e la generalizzazione della teoria in dimensioni maggiori è chiamata teoria dei potenziali di Riesz. Quindi ci sono disponibili molte teorie contemporaneamente, dentro cui si può discutere il ''calcolo frazionale''. Importante nella teoria delle [[funzione speciale|funzioni speciali]] è l'operatore di Erdélyi–Kober.

==Applicazioni==
===Conservazione frazionaria della massa===
Come descritto da Wheatcraft e Meerschaert (2008),<ref>Wheatcraft, S., Meerschaert, M., (2008). "Fractional Conservation of Mass." Advances in Water Resources 31, 1377–1381.</ref> serve un'equazione di conservazione frazionaria della massa per modellizzare le correnti dei fluidi quando il volume di controllo non è abbastanza grande rispetto alla scala di [[Omogeneità ed eterogeneità|eterogeneità]] e quando il flusso dentro tale volume non è lineare. Nel documento citato, l'equazione di conservazione frazionaria della massa per le correnti dei fluidi è:

:<math>-\rho \left (\nabla^\alpha \cdot \vec{u} \right ) = \Gamma(\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha} \rho \left (\beta_s+\phi \beta_w \right ) \frac{\partial p}{\partial t} </math>

===Problema del flusso dell'acqua sotterranea===
Nel 2013–2014 Atangana ''et al.'' descrissero alcuni problemi riguardanti il flusso di acqua sotterranea utilizzando il concetto di derivata frazionaria.<ref>
{{cita pubblicazione|nome1=Abdon|cognome1=Atangana  |nome2=Necdet|cognome2=Bildik  |titolo=The Use of Fractional Order Derivative to Predict the Groundwater Flow  |anno=2013  |rivista=Mathematical Problems in Engineering  |volume=2013  |pp=1–9  |doi=10.1155/2013/543026}}</ref><ref>
{{cita pubblicazione|nome1=Abdon|cognome1=Atangana  |nome2=P. D.|cognome2=Vermeulen  |titolo=Analytical Solutions of a Space-Time Fractional Derivative of Groundwater Flow Equation  |anno=2014  |rivista=Abstract and Applied Analysis  |volume=2014  |pp=1–11  |doi=10.1155/2014/381753}}</ref> In questi lavori viene generalizzata la classica [[legge di Darcy]] considerando la corrente d'acqua come una funzione di derivata non intera della testa piezometrica. Questa legge generalizzata e la conservazione della massa sono usate per derivare la nuova equazione per il flusso dell'acqua nel suolo.

===Equazione frazionaria di avvezione-diffusione===
Si è mostrato che l'equazione frazionaria di [[avvezione]]-[[diffusione di materia|diffusione]] è molto utile nel modellizzare correnti contaminate in mezzi porosi eterogenei. .<ref>{{cita pubblicazione|cognome1= Benson |nome1=D. |cognome2= Wheatcraft |nome2=S. |cognome3= Meerschaert |nome3=M. |anno=2000 |titolo=Application of a fractional advection-dispersion equation |rivista=Water Resources Res | volume = 36 |pp=1403–1412 | doi=10.1029/2000wr900031 | bibcode=2000WRR....36.1403B}}</ref><ref>{{cita pubblicazione|cognome1= Benson |nome1=D. |cognome2= Wheatcraft |nome2=S. |cognome3= Meerschaert |nome3=M. |anno=2000 |titolo=The fractional-order governing equation of Lévy motion |rivista=Water Resources Res | volume = 36 |pp=1413–1423 | doi=10.1029/2000wr900032 | bibcode=2000WRR....36.1413B}}</ref><ref>Benson, D., Schumer, R., Wheatcraft, S., Meerschaert, M., (2001). "Fractional dispersion, Lévy motion, and the MADE tracer tests." ''Transport Porous Medi''a 42, 211–240.</ref>

Atangana e Kilicman estesero l'equazione a un ordine variabile. Nei loro scritti fu generalizzata l'equazione di dispersione [[idrodinamica]] usando il concetto di derivata di ordine variabile. L'equazione modificata fu risolta numericamente attraverso il metodo di Crank–Nicolson. Le simulazioni numeriche mostrarono che l'equazione modificata è molto più affidabile nel predire il movimento dell'inquinamento in falde deformabili rispetto alle derivate intere e frazionarie costanti<ref name=Atangana2014a>
{{cita pubblicazione|nome1=Abdon|cognome1=Atangana  |nome2=Adem|cognome2=Kilicman  |titolo=On the Generalized Mass Transport Equation to the Concept of Variable Fractional Derivative  |rivista=Mathematical Problems in Engineering  |volume=2014  |anno=2014  |p=9  |doi=10.1155/2014/542809}}</ref>

===Modelli dell'equazione frazionaria di diffusione nello spazio-tempo===
Processi anomali di diffusione in mezzi complessi possono essere ben caratterizzati usando i modelli di equazione di ordine frazionario di diffusione.<ref>{{cita pubblicazione|cognome1= Metzler |nome1=R. |cognome2= Klafter |nome2=J. |anno=2000 |titolo=The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach |rivista=Phys. Rep. | volume = 339 |pp=1–77 | doi=10.1016/s0370-1573(00)00070-3}}</ref><ref>{{cita pubblicazione|cognome1= Mainardi |nome1=F. |wkautore2= Yuri Luchko |cognome2= Luchko |nome2=Y. |cognome3= Pagnini |nome3=G. |anno=2001 |titolo=The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation | url = https://arxiv.org/abs/cond-mat/0702419 |rivista=Fractional Calculus and Applied Analysis | volume = 4 |numero=2|pp=153–192 }}</ref> Il termine della derivata temporale corrisponde al decadimento lento e la derivata spaziale alla non-località della diffusione. L'equazione che governa la diffusione frazionaria nello [[Spaziotempo|spazio-tempo]] può essere scritta come

:<math> \frac{\partial^\alpha u}{\partial t^\alpha}=-K (-\triangle)^\beta u.</math>

Una semplice estensione della derivata frazionaria è quella di ordine variabile, in cui <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono sostituiti da <math>\alpha(x,t)</math> e <math>\beta(x,t)</math>. Si può trovare la sua applicazione nei modelli di diffusione anomala nelle note.<ref name=Atangana2014a/><ref>R. Gorenflo, F. Mainardi, "Fractional Diffusion Processes: Probability Distributions and Continuous Time Random Walk", Springer Lecture Notes in Physics, No 621, Berlin 2003, pp. 148–166 [https://arxiv.org/abs/0709.3990 arXiv:0709.3990]</ref>

===Modelli di smorzamento strutturale===
Le derivate frazionarie sono usate per modellizzare lo [[smorzamento]] [[viscoelasticità|viscoelastico]] in certi tipi di materiale, come i polimeri.<ref>[http://www.worldscibooks.com/mathematics/p614.html Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120519174508/http://www.worldscibooks.com/mathematics/p614.html |data=19 maggio 2012 }} by F. Mainardi, Imperial College Press, 2010.</ref>

===Controllo PID===
Generalizzando i [[controllo PID|controlli PID]] in modo da usare ordini frazionari si può aumentare i loro gradi di libertà. Si può scrivere la nuova equazione sulla ''variabile di controllo'' <math>u(t)</math> in termini del ''valore dell'errore'' misurato <math>e(t)</math> come

:<math>u(t) = K_\text{p} e(t) + K_\text{i} D_t^{-\alpha} e(t) + K_\text{d} D_t^{\beta} e(t)</math>

dove <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono ordini frazionari positivi e <math>K_\text{p}</math>, <math>K_\text{i}</math>, e <math>K_\text{d}</math>, tutti non negativi, indicano rispettivamente i coefficienti del controllo proporzionale, integrale e differenziale, qualche volta indicati con ''P'', ''I'', and ''D''.<ref>{{cita pubblicazione|coautori= Tenreiro Machado JA, et al |titolo=Some Applications of Fractional Calculus in Engineering |rivista=Mathematical Problems in Engineering | volume = 2010 |data=2009 | doi = 10.1155/2010/639801 | url = https://www.hindawi.com/journals/mpe/2010/639801/ |pp=1–34}}</ref>

===Equazione delle onde acustiche in mezzi complessi===
La propagazione delle onde acustiche nei mezzi complessi, ad esempio nei tessuti biologici, di solito implica un'attenuazione che obbedisce a una [[legge di potenza]] della frequenza. Questo tipo di fenomeno può essere descritto usando un'equazione delle onde causale che include derivate temporali frazionarie:

:<math>\nabla^2 u -\dfrac 1{c_0^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \tau_\sigma^\alpha \dfrac{\partial^\alpha}{\partial t^\alpha}\nabla^2 u - \dfrac {\tau_\epsilon^\beta}{c_0^2} \dfrac{\partial^{\beta+2} u}{\partial t^{\beta+2}} = 0.</math>

Vedere anche<ref>{{cita pubblicazione|cognome1= Holm |nome1=S. |cognome2= Näsholm |nome2=S. P. |anno=2011 |titolo=A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media |rivista=Journal of the Acoustical Society of America | volume = 130 |numero=4|pp=2195–2201 | doi=10.1121/1.3631626}}</ref> e i collegamenti in essa. Questi modelli sono collegati all'ipotesi riconosciuta che fenomeni multipli di rilassamento danno origine a un'attenuazione misurata nei mezzi complessi. Questa correlazione è descritta in<ref>{{cita pubblicazione|cognome1= Näsholm |nome1=S. P. |cognome2= Holm |nome2=S. |anno=2011 |titolo=Linking multiple relaxation, power-law attenuation, and fractional wave equations |rivista=Journal of the Acoustical Society of America | volume = 130 |numero=5|pp=3038–3045 | doi=10.1121/1.3641457}}</ref> e in questo studio,<ref name="Nasholm2">S. P. Näsholm and S. Holm, "On a Fractional Zener Elastic Wave Equation," Fract. Calc. Appl. Anal. Vol. 16, No 1 (2013), pp. 26–50, DOI: 10.2478/s13540-013--0003-1 [https://arxiv.org/abs/1212.4024 Link to e-print]</ref>. Vedere<ref name="HolmNasholm2014">Holm S., Näsholm, S. P., "Comparison of Fractional Wave Equations for Power Law Attenuation in Ultrasound and Elastography," ''Ultrasound Med. Biol.'', 40(4), pp. 695–703, DOI: 10.1016/j.ultrasmedbio.2013.09.033 [https://arxiv.org/abs/1306.6507]</ref> per un articolo recente in cui compare l'equazione frazionaria delle onde che modellizza l'attenuazione a legge di potenza.

===Equazione di Schrödinger frazionaria della teoria quantistica===
L'equazione di Schrödinger frazionaria, fondamentale nella [[meccanica quantistica]] frazionaria, ha la seguente forma:<ref>N. Laskin, (2002), [https://pre.aps.org/abstract/PRE/v66/i5/e056108 Fractional Schrödinger equation, ''Physical Review'' E66, 056108 7 pages]. (also available online: https://arxiv.org/abs/quant-ph/0206098)</ref>

:<math>i\hbar \frac{\partial \psi (\mathbf{r},t)}{\partial t}=D_{\alpha } (-\hbar^2\Delta )^{\frac{\alpha}{2}}\psi (\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi (\mathbf{r},t).</math>

dove la soluzione dell'equazione è la [[funzione d'onda]] <math>\psi(\mathbf{r},t)</math>, l'[[ampiezza di probabilità]] quantomeccanica per una particella di avere una certa posizione <math>\mathbf{r}</math> in un ogni istante <math>t</math>, e <math>\hbar</math> è la [[costante di Planck|costante di Planck ridotta]]. La funzione dell'[[energia potenziale]] <math>V(\mathbf{r},t)</math> dipende dal sistema.

Inoltre <math>\Delta=\partial^2 / \partial y^2</math> è l'[[operatore di Laplace]], e <math>D_{\alpha}</math> è una costante di scala di [[analisi dimensionale|dimensioni fisiche]] <math>[D_{\alpha}] = J^{1-\alpha}m^{\alpha}s^{-\alpha}=Kg^{1-\alpha}m^{2-\alpha}s^{\alpha-2}</math>, (con <math>\alpha=2</math>, <math>D_2=1/2m</math> per una particella di massa <math>m</math>), e l'operatore <math>(-\hbar^2\Delta)^{\alpha/2}</math> è la derivata frazionaria quantistica di Riesz in tre dimensioni, definita da

:<math> (-\hbar^2\Delta)^{\alpha/2}\psi (\mathbf{r},t) = \frac 1 {(2\pi \hbar)^3} \int d^3 p e^{\frac{i}{\hbar} \mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}|\mathbf{p}|^\alpha \varphi (\mathbf{p},t).</math>

L'indice <math>\alpha</math> nell'equazione di Schrödinger frazionaria si chiama l'indice di Lévy, e <math>1<\alpha\leq 2</math>.

===Equazione di Schrödinger frazionaria di ordine variabile===
Come naturale generalizzazione dell'equazione di Schrödinger frazionaria, si sfrutta l'equazione con derivate frazionarie variabili per studiare fenomeni della meccanica quantistica frazionari.<ref>{{cita pubblicazione|doi = 10.1016/j.apnum.2016.09.009 | volume=111 |titolo=An improved collocation method for multi-dimensional space–time variable-order fractional Schrödinger equations |anno=2017 |rivista=Applied Numerical Mathematics |pp=197–218 |cognome1= Bhrawy |nome1=A.H. |cognome2= Zaky |nome2=M.A.}}</ref>

:<math>i\hbar \frac{\partial \psi^{\alpha(\mathbf{r})}  (\mathbf{r},t)}{\partial t^{\alpha(\mathbf{r})} }= (-\hbar^2\Delta )^{\frac{\beta(t)}{2}}\psi (\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi (\mathbf{r},t).</math>

dove <math>\Delta=\partial^2 / \partial y^2</math> è l'[[operatore di Laplace]] e l'operatore <math>(-\hbar^2\Delta)^{\beta(t)/2}</math> è la derivata frazionaria quantistica di Riesz a ordine variabile.

==Note==
<references />

==Bibliografia==
=== Articoli sulla storia del calcolo frazionario ===
<!-- Order list by year/author -->
* {{cita pubblicazione|nome=B.|cognome=Ross  |titolo=A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus  |rivista=Fractional Calculus and Its Applications. Lecture Notes in Mathematics  |volume=457  |anno=1975  |pp=1–36}}
* {{cita pubblicazione|nome=L.|cognome=Debnath  |titolo=A brief historical introduction to fractional calculus  |rivista=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology  |volume=35|numero=4  |anno=2004  |pp=487–501  |doi=10.1080/00207390410001686571}}
* {{cita pubblicazione|nome1=J.|cognome1=Tenreiro Machado  |nome2=V.|cognome2=Kiryakova  |nome3=F.|cognome3=Mainardi  |titolo=Recent history of fractional calculus  |rivista=Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation  |volume=16|episodio=3  |anno=2011  |pp=1140–1153 |doi=10.1016/j.cnsns.2010.05.027}}
* {{cita pubblicazione|nome1=J.A.|cognome1=Tenreiro Machado  |nome2=A.M.|cognome2=Galhano  |nome3=J.J.|cognome3=Trujillo  |titolo=Science metrics on fractional calculus development since 1966  |rivista=Fractional Calculus and Applied Analysis  |volume=16|episodio=2  |anno=2013  |pp=479–500 |doi=10.2478/s13540-013-0030-y}}
* {{cita pubblicazione|nome1=J.A.|cognome1=Tenreiro Machado  |nome2=A.M.S.F.|cognome2=Galhano  |nome3=J.J.|cognome3=Trujillo  |titolo=On development of fractional calculus during the last fifty years  |rivista=Scientometrics  |volume=98|episodio=1  |anno=2014  |pp=577–582 |doi=10.1007/s11192-013-1032-6}}

===Articoli di recensione===

* {{cita pubblicazione|cognome1= Ortigueira |nome1=M.D. |cognome2= Machado |nome2=J.A. Tenreiro |anno=2015 |titolo=What is a fractional derivative? | url = https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999114005129 |rivista=Journal of Computational Physics | volume = 293 |pp=4–13 | doi=10.1016/j.jcp.2014.07.019}}
* [https://web.archive.org/web/20160405081520/http://www.math.udel.edu/~udita/CorrectionFD.pdf U.N. Katugampola, Correction to ''What is a fractional derivative?'' by Ortigueira and Machado &#91;Journal of Computational Physics, Volume 293, 15 July 2015, Pages 4–13. Special issue on Fractional PDEs&#93;, Submitted for publication in J. Computational Physics (2015)]
* [https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1007570413001457 V.E. Tarasov "No violation of the Leibniz rule. No fractional derivative." ''Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation'' Vol.18. No.11. (2013) pp. 2945–2948.] [https://arxiv.org/abs/1402.7161 arXiv:1402.7161]
*K. Diethelm, R.Garrappa, A.Giusti, M.Stynes, [[doi:10.1515/fca-2020-0032|Why fractional derivatives with nonsingular kernels should not be used]], in Fractional Calculus and Applied Analysis, vol. 23, no. 3, 2020, pp. 610-634.[[doi:10.1515/fca-2020-0032|DOI:10.1515/fca-2020-0032]]

=== Libri ===
<!-- Order list by year/first author) -->
* {{cita libro|titolo=The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order  |url=https://archive.org/details/fractionalcalcul0003oldh  |trasmissione=Mathematics in Science and Engineering  |volume=V  |nome1=Keith B.|cognome1=Oldham  |nome2=Jerome|cognome2=Spanier  |editore=Academic Press  |anno=1974  |isbn=0-12-525550-0}}
* {{cita libro|titolo=An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations  |curatore1=Kenneth Miller  |curatore2=Bertram Ross   |editore=John Wiley & Sons  |anno=1993  |isbn=0-471-58884-9}}
* {{cita libro|titolo=Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications  |cognome1=Samko|nome1=S.  |cognome2=Kilbas|nome2=A.A.  |cognome3=Marichev|nome3=O.  |editore=Taylor & Francis Books  |isbn=2-88124-864-0  |anno=1993}}
* {{cita libro|titolo=Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics  |curatore1=A. Carpinteri  |curatore2=F. Mainardi  |editore=Springer-Verlag Telos  |anno=1998  |isbn=3-211-82913-X}}
* {{cita libro|titolo=Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications  |trasmissione=Mathematics in Science and Engineering  |volume=198  |nome=Igor|cognome=Podlubny  |editore=Academic Press  |anno=1998  |isbn=0-12-558840-2}}
* {{cita libro|titolo=Physics of Fractal Operators  |url=https://archive.org/details/physicsoffractal0000west  |nome1=Bruce J.|cognome1=West  |nome2=Mauro|cognome2=Bologna  |nome3=Paolo|cognome3=Grigolini  |editore=Springer Verlag  |anno=2003  |isbn=0-387-95554-2}}
* {{cita libro|titolo=Theory and Applications of Fractional Differential Equations  |cognome1=Kilbas|nome1=A. A.  |cognome2=Srivastava|nome2=H. M.  |cognome3=Trujillo|nome3=J. J.  |città=Amsterdam, Netherlands  |editore=Elsevier  |anno=2006  |isbn=0-444-51832-0}}
* {{cita libro  |url=http://www.worldscibooks.com/mathematics/p614.html  |titolo=Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models.  |nome=F.  |cognome=Mainardi  |editore=Imperial College Press  |anno=2010  |accesso=24 maggio 2018  |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20120519174508/http://www.worldscibooks.com/mathematics/p614.html  |dataarchivio=19 maggio 2012  |urlmorto=sì  }}
* {{cita libro|url=https://www.springer.com/physics/complexity/book/978-3-642-14003-7  |titolo=Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media.  |nome=V.E.|cognome=Tarasov  |editore=Springer  |anno=2010}}
* {{cita libro|url=http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/9069  |titolo=Basic Theory of Fractional Differential Equations  |nome=Y.|cognome=Zhou  |editore=World Scientific  |città=Singapore  |anno=2010}}
* {{cita libro|url=https://www.springer.com/physics/theoretical,+mathematical+%26+computational+physics/book/978-3-642-33910-3  |titolo=Fractional Derivatives for Physicists and Engineers  |nome=V.V.|cognome=Uchaikin  |editore=Higher Education Press  |anno=2012}}
* {{cita libro|url=https://www.amazon.com/Fractional-Calculus-Applications-Varsha-Daftardar-Gejji/dp/8184873336  |titolo=Fractional Calculus: Theory and Applications  |nome=Varsha|cognome=Daftardar-gejji  |editore=Narosa Publishing House  |anno=2013}}
* {{cita libro|url=http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/8934  |titolo=Fractional Calculus - An Introduction for Physicists  |nome=R.|cognome=Herrmann  |editore=World Scientific|città=Singapore  |anno=2014}}
* {{cita libro|url=http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/8936  |titolo=Special Functions in Fractional Calculus and Related Fractional Differintegral Equations  |nome=Hari M|cognome=Srivastava  |editore=World Scientific  |città=Singapore  |anno=2014}}
* {{cita libro|url=https://www.crcpress.com/Numerical-Methods-for-Fractional-Calculus/Li-Zeng/p/book/9781482253801  |titolo=Numerical Methods for Fractional Calcuus  |nome1=C P|cognome1=Li  |nome2=F H|cognome2=Zeng  |editore=CRC Press  |città=USA  |anno=2015}}

==Voci correlate==
*[[Differintegrale]]
*[[Equazione differenziale]]
*[[Matematica applicata]]

==Collegamenti esterni==
* {{Collegamenti esterni}}
*[http://mathworld.wolfram.com/FractionalDifferentialEquation.html Eric W. Weisstein. "Fractional Differential Equation."] Da [[MathWorld]] — A Wolfram Web Resource.
*[http://mathworld.wolfram.com/FractionalCalculus.html MathWorld – Fractional calculus]
*[http://mathworld.wolfram.com/FractionalDerivative.html MathWorld – Fractional derivative]
*[http://www.mathpages.com/home/kmath616/kmath616.htm Fractional Calculus] in MathPages
*Giornale specializzato: [http://www.diogenes.bg/fcaa/ Fractional Calculus and Applied Analysis (1998–2014)] e [http://www.degruyter.com/view/j/fca Fractional Calculus and Applied Analysis (from 2015)]
*Giornale specializzato: [http://naturalspublishing.com/show.asp?JorID=48&pgid=0 Progress in Fractional Differentiation and Applications]
*Giornale specializzato: [https://web.archive.org/web/20180421124535/http://www.nonlinearscience.com/journal_2218-3892.php Communications in Fractional Calculus] ({{issn|2218-3892}})
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*[https://web.archive.org/web/20120614004922/http://www.ismm.ac.cn/ismmlink/PLFD/index.html Power Law & Fractional Dynamics]
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*[http://fcag-egypt.com/Journals/JFCA/] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180503040656/http://fcag-egypt.com/Journals/JFCA/ |date=3 maggio 2018 }}
*{{cita pubblicazione|doi = 10.1007/s002200050299  | arxiv = funct-an/9608002 | volume=192 |titolo=Operator of Fractional Derivative in the Complex Plane |url = https://archive.org/details/sim_communications-in-mathematical-physics_1998_192_2/page/n18  |anno=1998 |rivista=Communications in Mathematical Physics |pp=261–285 |cognome1= Závada |nome1=Petr}}
*{{cita pubblicazione|doi = 10.1155/S1110757X02110102 | volume=2 |titolo=Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators |anno=2002 |rivista=Journal of Applied Mathematics |pp=163–197 |cognome1= Závada |nome1=Petr}}

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[[Categoria:Matematica applicata]]