Funtore aggiunto
In [[matematica]], in particolare nella [[teoria delle categorie]], l''''aggiunzione''' è una possibile relazione tra due [[funtore (matematica)|funtori]].
 
L'aggiunzione è molto frequente in matematica. Una coppia di funtori aggiunti da ''C'' a ''D'' e da ''D'' a ''C'' è quanto serve affinché le due categorie ''C'' e ''D'' siano compatibili nei loro oggetti e morfismi. Per esempio, un funtore potrebbe immergere ''C'' nella sua estensione ''D'', e l'altro funtore potrebbe restringere nuovamente ''D'' in ''C''. Per questo genere di relazioni, l'aggiunzione formalizza i concetti intuitivi di ottimizzazione ed efficienza.
 
Nella più concisa definizione simmetrica, un'aggiunzione tra due categorie ''C'' e ''D'' è una coppia di funtori,
:<math>F: \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C}</math> &nbsp; and &nbsp; <math>G: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}</math>
e una famiglia di [[biiezione|biiezioni]]
:<math>\mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(FY,X) \cong \mathrm{hom}_{\mathcal{D}}(Y,GX)</math>
che è [[trasformazione naturale|naturale]] per tutte le variabili ''X'' in ''C'' e ''Y'' in ''D''. Il funtore ''F'' è chiamato '''aggiunto sinistro''', mentre ''G'' è chiamato '''aggiunto destro'''. La relazione "''F'' è aggiunto sinistro a ''G''", o equivalentemente "''G'' è aggiunto destro a ''F''", si denota anche con
:<math>F\dashv G.</math>

Questa e altre definizioni saranno approfondite nel seguito.
 
== Introduzione ==
 
{{Citazione|The slogan is "Adjoint functors arise everywhere".|Saunders Mac Lane, ''[[Categories for the Working Mathematician]]''}}
 
La [[Funtore aggiunto#Esempi|lunga lista di esempi]] in questo articolo è solo una parziale indicazione di quanto spesso una costruzione matematica di interesse è un funtore aggiunto. Di conseguenza, i teoremi generali sui funtori aggiunti, come l'equivalenza delle loro varie definizioni o il fatto che essi preservano rispettivamente i [[limite (teoria delle categorie)|limiti]] (aggiunto destro) e i [[limite (teoria delle categorie)|colimite]] (aggiunto sinistro), limiti e colimiti che pure si trovano in ogni area della matematica, può codificare i dettagli di molti risultati utili e altrimenti non banali.
 
== Motivazioni ==
 
===Soluzioni di problemi di ottimizzazione===
Si può dire che un funtore aggiunto è un modo di dare la soluzione "più efficiente" a un qualche problema tramite un metodo "basato su formule". Per esempio, un problema elementare nella [[teoria degli anelli]] è come trasformare un [[anello (algebra)|anello]] in un [[anello unitario]]. Il modo "più efficiente" è aggiungere un elemento '1' all'anello, aggiungere tutti (e soli) gli elementi che sono necessari per soddisfare gli assiomi (per esempio ''r''+1 per ogni ''r'' nell'anello), e non imporre nel nuovo anello unitario alcuna relazione che non sia forzata dagli assiomi. Inoltre, questa costruzione è "basata su formule" nel senso che agisce essenzialmente allo stesso modo per ogni anello.
 
Questo è piuttosto vago, benché suggestivo, e può essere reso preciso nel linguaggio della teoria delle categorie: una costruzione è "la più efficiente" se soddisfa una [[proprietà universale]], ed è basata su formule se definisce un [[funtore (matematica)|funtore]]. Le proprietà universali si presentano in due forme: proprietà iniziali e proprietà terminali. Poiché queste sono nozioni [[duale (teoria delle categorie)|duali]], è sufficiente discuterne una.
 
L'idea alla base dell'uso di una proprietà iniziale è porre il problema in termini di una qualche categoria ausiliaria ''E'', e quindi osservare che quello che si desidera è trovare un [[oggetto iniziale]] di ''E''. Questo ha il vantaggio che l'ottimizzazione—nel senso che stiamo cercando la soluzione ''più efficiente''— è qualcosa di rigoroso e riconoscibile, piuttosto che la ricerca di un [[estremo superiore e estremo inferiore|estremo]]. La categoria ''E'' è pure basata su formule in questa costruzione, dal momento che è sempre la categoria degli elementi del funtore a cui si sta costruendo un aggiunto. Di fatto, quest'ulteriore categoria è precisamente la categoria [[comma category]] sul funtore in questione.
 
Per esempio, sia dato l'anello ''R'', e si costruisca una categoria ''E'' i cui ''oggetti'' sono omomorfismi d'anello ''R'' → ''S'', con ''S'' un anello unitario. I ''morfismi'' in ''E'' tra ''R'' → ''S''<sub>1</sub> e ''R'' → ''S''<sub>2</sub> sono [[diagramma commutativo|triangoli commutativi]] della forma (''R'' → ''S''<sub>1</sub>, ''R'' → ''S''<sub>2</sub>, ''S''<sub>1</sub> → ''S''<sub>2</sub>) dove S<sub>1</sub> → S<sub>2</sub> è una mappa di anelli (che preserva l'identità). Si noti che questa è precisamente la definizione di comma category di ''R'' sull'inclusione di anelli unitari in anelli. L'esistenza di un morfismo tra ''R'' → ''S''<sub>1</sub> e ''R'' → ''S''<sub>2</sub> implica che ''S''<sub>1</sub> è una soluzione almeno altrettanto efficiente di ''S''<sub>2</sub> per il nostro problema: ''S''<sub>2</sub> può avere più elementi aggiunti e/o più relazioni non forzate dagli assiomi che ''S''<sub>1</sub>.
Perciò, l'asserzione che un oggetto ''R'' → ''R*'' è iniziale in ''E'', o in altri termini che esiste un morfismo da esso a ogni altro elemento di ''E'', significa che l'anello ''R''* è la soluzione ''più efficiente'' al nostro problema.
 
I due fatti, che questo modo di trasformare gli anelli in anelli unitari è ''il più efficiente'' e ''basato su formule'', possono essere espressi simultaneamente dicendo che ciò definisce un ''funtore aggiunto''.

Un modo di vedere cosa si ottiene dall'uso di una formulazione piuttosto che un'altra è provare un metodo diretto. Semplicemente si aggiunga a ''R'' un nuovo elemento 1, e si calcoli sulla base del fatto che ogni equazione risultante è valida ''[[se e solo se]] vale per ogni anello'' che possiamo costruire da ''R'' e 1. questo è un metodo [[impredicativo]]: vale a dire che l'anello che si sta cercando di costruire è uno degli anelli quantificati nel 'tutti gli anelli'.

Più esplicitamente: ''F'' denoti il suddetto procedimento di aggiungere un'identità a un anello non unitario, cosicché ''F''(''R'')=''R''*. ''G'' denoti il procedimento di 'dimenticare' se un anello unitario ''S'' ha un'identità e come un semplice anello non unitario, cioè essenzialmente ''G''(''S'')=''S''. Se comprendiamo la definizione di funtori aggiunti tramite proprietà universali, allora dire che ''F'' è il ''funtore aggiunto sinistro'' di ''G'' sarà un modo preciso di dire che ''F'' è la più efficiente soluzione al nostro problema (ed è basata su formule).
 
===Simmetria di problemi di ottimizzazione===
 
Continuando questa trattazione, si supponga di essere ''partiti'' con il funtore ''F'', e di essersi posti la seguente (vaga) domanda: esiste un problema di cui ''F'' è la soluzione più efficiente?
 
La nozione che ''F'' è la soluzione ''più efficiente'' al problema posto da ''G'' è, in un certo senso rigoroso, equivalente alla nozione che ''G'' pone ''il più difficile problema'' che viene risolto da ''F''.{{Senza fonte}}
 
Questo ha il significato intuitivo che i funtori aggiunti si dovrebbero presentare a coppie, e infatti ciò avviene, ma questo non è banale a partire dalle definizioni di morfismo universale. Le definizioni simmetriche equivalenti, coinvolgenti le aggiunzioni e il linguaggio simmetrico di funtori aggiunti (possiamo dire sia che ''F'' è aggiunto sinistro di ''G'' sia che ''G'' è aggiunto sinistro di ''F''), hanno il vantaggio di rendere questo fatto esplicito.

==Definizioni formali==
 
Ci sono varie definizioni per i funtori aggiunti. La loro equivalenza è elementare, ma per niente banale e di fatto molto utile. Questo articolo fornisce varie di queste definizioni:
 
* Le definizioni via morfismi universali sono facili da dichiarare e richiedono verifiche minime quando costruiscono un funtore aggiunto o dimostrano che due funtori sono aggiunti. Sono anche le più vicine alla nostra intuizione nel coinvolgere le ottimizzazioni.
* La definizione via aggiunzione counità-unità è vantaggiosa per dimostrazioni su funtori che si sanno essere aggiunti, poiché forniscono formule che possono essere manipolate in modo diretto.
* La definizione via Hom-Set rende le simmetrie il più evidenti possibile, ed è la ragione per cui si usa la parola "aggiunto".
 
I funtori aggiunti si trovano in ogni area della matematica. La loro utilità risiede nel fatto che la strutture in ciascuna di queste definizioni dà origine alle strutture nelle altre tramite una serie di deduzioni lunga ma banale. Perciò, passare dall'una all'altra di queste fa uso implicito di una grande quantità di dettagli che altrimenti avrebbero dovuto essere ripetuti separatamente in ogni diverso ambito. Per esempio, la naturalità e la terminalità della counità possono essere usate per dimostrare che ciascun funtore aggiunto destro preserva i limiti.
 
===Convenzioni===
 
La teoria degli aggiunti ha i termini "sinistro" e "destro" fin dalle origini, e ci sono molte componenti che si trovano in una delle due categorie "C" e "D" che sono considerate. Perciò può essere d'aiuto scegliere lettere in ordine alfabetico secondo che esse si trovino nella categoria "sinistra" "C" o nella categoria "destra" "D", e inoltre scriverle in quest'ordine quando possibile.
 
In questa pagina, per esempio, le lettere "X", "F", "f", "ε" denoteranno enti che si trovano nella categoria "C", mentre le lettere "Y", "G", "g", "η" denoteranno enti che si trovano nella categoria "D", e quando possibile questo genere di enti saranno indicati in ordine da sinistra a destra (un funtore "F": "D" → "C" può essere pensato come se "vivesse" dove si trovano, cioè in "C".
 
===Morfismi universali===
 
Un funtore ''F'' : ''D'' → ''C'' è un '''funtore aggiunto sinistro''' se per ogni oggetto ''X'' in ''C'', esiste un [[morfismo terminale]] da ''F'' a ''X''. Se, per ogni oggetto ''X'' in ''C'', si sceglie un oggetto ''G''<sub>0</sub>''X'' di ''D'' per cui esiste un morfismo terminale ε<sub>''X''</sub> : ''F''(''G''<sub>0</sub>''X'') → ''X'' da ''F'' a ''X'', allora esiste un solo funtore ''G'' : ''C'' → ''D'' tale che ''GX'' = ''G''<sub>0</sub>''X'' e ε<sub>''Xʹ''</sub> ∘ ''FG''(''f'') = ''f'' ∘ ε<sub>''X''</sub> per ''f'' : ''X'' → ''Xʹ'' un morfismo in ''C''; ''F'' è quindi chiamato '''aggiunto sinistro''' a ''G''.
 
Un funtore ''G'' : ''C'' → ''D'' è un '''funtore aggiunto destro''' se per ogni oggetto ''Y'' in ''D'', esiste un [[morfismo iniziale]] da ''Y'' a ''G''. Se, per ogni oggetto ''Y'' in ''D'', si sceglie un oggetto ''F''<sub>0</sub>''Y'' di ''C'' e un morfismo iniziale η<sub>''Y''</sub> : ''Y'' → ''G''(''F''<sub>0</sub>''Y'') da ''Y'' a ''G'', allora esiste un solo funtore ''F'' : ''D'' → ''C'' tale che ''FY'' = ''F''<sub>0</sub>''Y'' e ''GF''(''g'') ∘ η<sub>''Y''</sub> = η<sub>''Yʹ''</sub> ∘ ''g'' per ''g'' : ''Y'' → ''Yʹ'' un morfismo in ''D''; ''G'' è dunque chiamato ''aggiunto destro'' a ''F''.
 
È vero, come suggerisce la terminologia, che ''F'' è aggiunto sinistro a ''G'' se e solo se ''G'' è aggiunto destro a ''F''. Questo risulta evidente dalle definizioni simmetriche date sotto. Le definizioni via morfismi universali sono spesso utili per stabilire che un funtore dato è aggiunto sinistro o destro, poiché sono minimali nelle loro richieste. Sono inoltre ricche di significato intuitivo nel fatto che trovare un morfismo universale è analogo a risolvere un problema di ottimizzazione.
 
===Aggiunzione counità-counità===
 
Un '''aggiunzione con counità-unità''' tra due categorie ''C'' e ''D'' consiste in due [[funtore (matematica)|funtori]] ''F'' : ''D'' → ''C'' e ''G'' : ''C'' → ''D'' e in due [[trasformazione naturale|trasformazioni naturali]]
:<math>\begin{align}
\varepsilon &: FG \to 1_{\mathcal C} \\
\eta &: 1_{\mathcal D} \to GF\end{align}</math>
chiamate rispettivamente '''counità''' e '''unità''' dell'aggiunzione (terminologia dall'[[algebra universale]]), tali che le composizioni
:<math>F\xrightarrow{\;F\eta\;}FGF\xrightarrow{\;\varepsilon F\,}F</math>
:<math>G\xrightarrow{\;\eta G\;}GFG\xrightarrow{\;G \varepsilon\,}G</math>
siano le trasformazioni identiche rispettivamente 1<sub>''F''</sub> su ''F'' e 1<sub>''G''</sub> su ''G''.
 
In questa situazione si dice che ''' ''F'' è aggiunto sinistro a ''G'' ''' e ''' ''G'' è aggiunto destro a ''F'' ''', e questa relazione si può indicare con &nbsp;<math>(\varepsilon,\eta):F\dashv G</math>&nbsp;, o semplicemente &nbsp;<math>F\dashv G</math>&nbsp;.
 
In forma equazionale, le precedenti condizioni su (ε,η) sono le '''equazioni counità-unità'''
:<math>\begin{align}
1_F &= \varepsilon F\circ F\eta\\
1_G &= G\varepsilon \circ \eta G
\end{align}</math>
il che significa che per ogni ''X'' in ''C'' e per ogni ''Y'' in ''D'',
:<math>\begin{align}
1_{FY} &= \varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y) \\
1_{GX} &= G(\varepsilon_X)\circ\eta_{GX}
\end{align}</math>.
 
Si osservi che qui <math>1</math> denota funtori identici, mentre in precedenza il medesimo simbolo denotava trasformazioni naturali identiche.
 
Queste equazioni sono utili nel ricondurre dimostrazioni sui funtori aggiunti a manipolazioni algebriche. Sono talvolta chiamate ''equazioni a zig-zag'' a causa della comparsa dei [diagramma a stringa|diagrammi a stringa] corrispondenti. Un modo per ricordarle è scrivere per prima cosa l'equazione priva di significato <math>1=\varepsilon\circ\eta</math> e quindi completarla con ''F'' e ''G'' in uno dei due semplici modi che definiscono la composizione.
 
Nota: L'uso del prefisso "co" in counità qui non è coerente con la terminologia dei limiti e colimiti, poiché i colimiti soddisfano una proprietà ''iniziale'' mentre i morfismi counità soddisfano proprietà ''terminale'', e analogamente in dualità. Il termine ''unità'' qui è mutuato dalla teoria delle [[monade (teoria delle categorie)|monadi]] dove assomiglia all'inserzione dell'identità 1 in un monoide.

===Aggiunzione Hom-Set===
 
Un'aggiunzione '''[[Hom-Set]]''' tra due categorie ''C'' e ''D'' consiste in due [[funtore (matematica)|funtori]] ''F'' : ''D'' → ''C'' e {{Tutto attaccato|''G'' : ''C'' → ''D''}} e un [[isomorfismo naturale]]
:<math>\Phi:\mathrm{hom}_C(F-,-) \to \mathrm{hom}_D(-,G-)</math>.
Questo definisce una famiglia di biiezioni
:<math>\Phi_{Y,X}:\mathrm{hom}_C(FY,X) \to \mathrm{hom}_D(Y,GX)</math>
per tutti gli oggetti ''X'' in ''C'' e ''Y'' in ''D''.
 
In questa situazione si dice che ''' ''F'' è aggiunta sinistro a ''G'' ''' e ''' ''G'' è aggiunto destro a ''F'' ''', e questa relazione si può indicare scrivendo <math display="inline">\Phi:F\dashv G</math>, o semplicemente <math display="inline">F\dashv G</math>.
 
Questa definizione è un logico compromesso nel senso che è in un certo senso più difficile da soddisfare rispetto alle definizioni con morfismi universali, e ha meno implicazioni immediate rispetto alla definizione counità-unità. È utile grazie alla sua ovvia simmetrica, ed è un punto di partenza per le altre definizioni.
 
Per interpretare Φ come ''isomorfismo naturale'', si deve riconoscere {{Tutto attaccato|hom<sub>''C''</sub>(''F''–, –)}} e {{Tutto attaccato|hom<sub>''D''</sub>(–, ''G''–)}} come funtori. Di fatto, essi sono entrambi [[bifuntore|bifuntori]] da {{Tutto attaccato|''D''<sup>op</sup> × ''C''}} a '''Set''' (la [[categoria degli insiemi]]). Per i dettagli, si veda la pagina sui [[funtore Hom|funtori Hom]]. Esplicitamente, la naturalità di Φ significa che per ogni [[morfismo]] {{Tutto attaccato|''f'' : ''X'' → ''X′''}} in ''C'' e per ogni morfismo {{Tutto attaccato|''g'' : ''Y''′''  '' → ''Y''}} in ''D'' il seguente diagramma [[diagramma commutativo|commuta]]:
 
[[File:Natural phi.svg|center|Naturality of Φ|400px]]
 
Le frecce verticali in questo diagramma sono quelle indotte dalla composizione con ''f'' e ''g''. Formalmente, Hom(''Fg'', ''f'') : Hom<sub>C</sub>(''FY'', ''X'') → Hom<sub>C</sub>(''FY′'', ''X′'') è dato da ''h'' → ''f <small>o</small> h <small>o</small> Fg'' per ogni ''h'' in Hom<sub>C</sub>(''FY'', ''X''). Hom(''g'', ''Gf'') è analogo.

==Aggiunzioni in dettaglio==
 
Sono qui riportati numerosi funtori e trasformazioni naturali associate a ciascuna aggiunzione, e una piccola porzione di essi è sufficiente a determinare gli altri.
 
Un' ''aggiunzione'' tra due categorie ''C'' e ''D'' consistse in
*Un funtore ''F'' : ''D'' → ''C'' chiamato '''aggiunto sinistro'''
*Un funtore ''G'' : ''C'' → ''D'' chiamato '''aggiunto destro'''
*Un [[isomorfismo naturale]] Φ : hom<sub>''C''</sub>(''F''–,–) → hom<sub>''D''</sub>(–,''G''–)
*Una [[trasformazione naturale]] ε : ''FG'' → 1<sub>''C''</sub> chiamata '''counità'''
*Una trasformazione naturale η : 1<sub>''D''</sub> → ''GF'' chiamata '''unità'''
 
Una formulazione equivalente, dove ''X'' denota un qualunque oggetto di ''C'' e ''Y'' un qualunque oggetto di ''D'', è la seguente:
 
::Per ogni ''C''-morfismo ''f'' : ''FY'' → ''X'', esiste un solo ''D''-morfismo Φ<sub>''Y'', ''X''</sub>(''f'') = ''g'' : ''Y'' → ''GX'' tale che i diagrammi seguenti commutano, e per ogni ''D''-morfismo ''g'' : ''Y'' → ''GX'', esiste un solo ''C''-morfismo Φ<sup>−1</sup><sub>''Y'', ''X''</sub>(''g'') = ''f'' : ''FY'' → ''X'' in ''C'' tale che i diagrammi seguenti commutano:
 
[[File:Adjoint functors sym.svg|center|350px]]
 
Da questa asserzione, si può trovare che:
*Le trasformazioni ε, η, e Φ sono correlate alle equazioni
:<math>\begin{align}
f = \Phi_{Y,X}^{-1}(g) &= \varepsilon_X\circ F(g) & \in & \, \, \mathrm{hom}_C(F(Y),X)\\
g = \Phi_{Y,X}(f) &= G(f)\circ \eta_Y & \in & \, \, \mathrm{hom}_D(Y,G(X))\\
\Phi_{GX,X}^{-1}(1_{GX}) &= \varepsilon_X  & \in & \, \, \mathrm{hom}_C(FG(X),X)\\
\Phi_{Y,FY}(1_{FY}) &= \eta_Y & \in & \, \, \mathrm{hom}_D(Y,GF(Y))\\
\end{align}
</math>
* Le trasformazioni ε, η soddisfano le equazioni counità-unità
:<math>\begin{align}
1_{FY} &= \varepsilon_{FY} \circ F(\eta_Y)\\
1_{GX} &= G(\varepsilon_X) \circ \eta_{GX}
\end{align}</math>
* Ogni coppia (''GX'', ε<sub>''X''</sub>) è un [[morfismo universale|morfismo terminale]] da ''F'' a ''X'' in ''C''
* Ogni coppia (''FY'', η<sub>''Y''</sub>) è un [[morfismo universale|morfismo initiale]] da ''Y'' a ''G'' in ''D''
 
In particolare, le equazioni qui sopra consentono di definire Φ, ε, e η in termini di uno qualsiasi dei tre. Tuttavia, i funtori aggiunti ''F'' e ''G'' presi singolarmente in generale non sono sufficienti a determinare l'aggiunzione. La dimostrazione dell'equivalenza di queste tre situazioni è nel seguito.
 
===I morfismi universali inducono l'aggiunzione HomSet===
 
Sia dato un funtore aggiunto destro ''G'' : ''C'' → ''D''; nel senso dei morfismi iniziali, si può costruire l'aggiunzione Hom-Set indotta con i seguenti passi.
 
* Costruire un funtore ''F'' : ''D'' → ''C'' e una trasformazione naturale η.
** Per ogni oggetto ''Y'' in ''D'', si scelga un morfismo iniziale (''F''(''Y''), η<sub>''Y''</sub>) da ''Y'' a ''G'', in modo da avere η<sub>''Y''</sub> : ''Y'' → ''G''(''F''(''Y'')). Si ha la mappa di ''F'' sugli oggetti e sulla famiglia di morfismi η.
** Per ogni ''f'' : ''Y''<sub>0</sub> → ''Y''<sub>1</sub>, siccome (''F''(''Y''<sub>0</sub>), η<sub>''Y''<sub>0</sub></sub>) è un morfismo iniziale, fattorizzare η<sub>''Y''<sub>1</sub></sub> <small>o</small> ''f'' con η<sub>''Y''<sub>0</sub></sub> e ottenere ''F''(''f'') : ''F''(''Y''<sub>0</sub>) → ''F''(''Y''<sub>1</sub>). Questa è la mappa di ''F'' sui morfismi.
** Il diagramma commutativo di questa fattorizzazione implica i diagrammi commutativi delle trasformazioni naturali, perciò η : 1<sub>''D''</sub> → ''G'' <small>o</small> ''F'' è una [[trasformazione naturale]].
** L'unicità di questa fattorizzazione e l'essere ''G'' un funtore implica che la mappa di ''F'' sui morfismi preserva le composizioni e le identità.
* Costruire un isomorfismo naturale Φ : Hom<sub>''C''</sub>(''F''-,-) → Hom<sub>''D''</sub>(-,''G''-).
** Per ogni oggetto ''X'' in ''C'' e ogni oggetto ''Y'' in ''D'', siccome (''F''(''Y''), η<sub>''Y''</sub>) è un morfismo iniziale, di conseguenza Φ<sub>''Y'', ''X''</sub> è una biiezione, dove Φ<sub>''Y'', ''X''</sub>(''f'' : ''F''(''Y'') → ''X'') = ''G''(''f'') <small>o</small> η<sub>''Y''</sub>.
** η è una trasformazione naturale, ''G'' è un funtore, perciò per ogni oggetto ''X''<sub>0</sub>, ''X''<sub>1</sub> in ''C'', e per ogni oggetto ''Y''<sub>0</sub>, ''Y''<sub>1</sub> in ''D'', ogni ''x'' : ''X''<sub>0</sub> → ''X''<sub>1</sub>, ogni ''y'' : ''Y''<sub>1</sub> → ''Y''<sub>0</sub>, si ha Φ<sub>''Y''<sub>1</sub>, ''X''<sub>1</sub></sub>(''x'' <small>o</small> ''f'' <small>o</small> ''F''(''y'')) = G(x) <small>o</small> ''G''(''f'') <small>o</small> ''G''(''F''(''y'')) <small>o</small> η<sub>''Y''<sub>1</sub></sub> = ''G''(''x'') <small>o</small> ''G''(''f'') <small>o</small> η<sub>''Y''<sub>0</sub></sub> <small>o</small> ''y'' = ''G''(''x'') <small>o</small> Φ<sub>''Y''<sub>0</sub>, ''X''<sub>0</sub></sub>(''f'') <small>o</small> ''y'', e quindi Φ è naturale in ambo gli argomenti.
 
Un ragionamento analogo consente la costruzione di un'aggiunzione Hom-Set a partire dai morfismi terminali ai funtori aggiunti sinistri. (La costruzione che inizia con un aggiunto destro è leggermente più comune, dal momento che l'aggiunto destro è banalmente definito come il funtore inclusione o il funtore dimenticante.)
 
===L'aggiunzione counità-unità induce l'aggiunzione Hom-Set===
 
Dati i funtori ''F'' : ''D'' → ''C'', ''G'' : ''C'' → ''D'', e un'aggiunzione counità-unità (ε, η) : ''F'' <math>\dashv</math> ''G'', si può costruire un'aggiunzione Hom-Set trovando la trasformazione naturale Φ : hom<sub>''C''</sub>(''F''-,-) → hom<sub>''D''</sub>(-,''G''-) nei seguenti passi:
 
*Per ogni ''f'' : ''FY'' → ''X'' e ogni ''g'' : ''Y'' → ''GX'', si definisca
:<math>\begin{align}\Phi_{Y,X}(f) = G(f)\circ \eta_Y\\
\Psi_{Y,X}(g) = \varepsilon_X\circ F(g)\end{align}</math>
:Le trasformazioni Φ e Ψ sono naturali perché sono naturali η ed ε.
 
*Sfruttando, in ordine, il fatto che ''F'' è un funtore, che ε è naturale, e l'equazione counità-unità 1<sub>''FY''</sub> = ε<sub>''FY''</sub> <small>o</small> ''F''(η<sub>''Y''</sub>), si ottiene
:<math>\begin{align}
\Psi\Phi f &= \varepsilon_X\circ FG(f)\circ F(\eta_Y) \\
 &= f\circ \varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y) \\
 &= f\circ 1_{FY} = f\end{align}</math>
:da cui ΨΦ è la trasformazione identica.
 
*Dualmente, sfruttando il fatto che ''G'' è un funtore, che η è naturale, e l'equazione counità-unità 1<sub>''GX''</sub> = ''G''(ε<sub>''X''</sub>) <small>o</small> η<sub>''GX''</sub>, si ottiene
:<math>\begin{align}
\Phi\Psi g &= G(\varepsilon_X)\circ GF(g)\circ\eta_Y \\
 &= G(\varepsilon_X)\circ\eta_{GX}\circ g \\
 &= 1_{GX}\circ g = g\end{align}</math>
:da cui ΦΨ è la trasformazione identica. Perciò Φ è un isomorfismo naturale con inversa Φ<sup>−1</sup> = Ψ.
 
===L'aggiunzione Hom-Set induce tutte le precedenti===
 
Dati i funtori ''F'' : ''D'' → ''C'', ''G'' : ''C'' → ''D'', e un'aggiunzione Hom-Set Φ : hom<sub>''C''</sub>(''F''-,-) → hom<sub>''D''</sub>(-,''G''-), si può costruire un'aggiunzione counità-unità
 
:<math>(\varepsilon,\eta):F\dashv G</math>&nbsp;,
 
la quale definisce famiglie di morfismi iniziali e terminali, con i seguenti passi:
 
*Let &nbsp;<math>\varepsilon_X=\Phi_{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in\mathrm{hom}_C(FGX,X)</math>&nbsp; for each ''X'' in ''C'', where &nbsp;<math>1_{GX}\in\mathrm{hom}_D(GX,GX)</math>&nbsp; is the identity morphism.
*Sia &nbsp;<math>\eta_Y=\Phi_{Y,FY}(1_{FY})\in\mathrm{hom}_D(Y,GFY)</math>&nbsp; per ogni ''Y'' in ''D'', dove &nbsp;<math>1_{FY}\in\mathrm{hom}_C(FY,FY)</math>&nbsp; è il morfismo identità.
*La biiettività e la naturalità di Φ implcano che ogni (''GX'', ε<sub>''X''</sub>) sia un morfismo terminale da ''F'' a ''X'' in ''C'', e ogni (''FY'', η<sub>''Y''</sub>) sia un morfismo iniziale da ''Y'' a ''G'' in ''D''.
*La naturalità di Φ implica la naturalità di ε e η, e le due formule
:<math>\begin{align}\Phi_{Y,X}(f) = G(f)\circ \eta_Y\\
\Phi_{Y,X}^{-1}(g) = \varepsilon_X\circ F(g)\end{align}</math>
:per ogni ''f'': ''FY'' → ''X'' e ''g'': ''Y'' → ''GX'' (il che determina completamente Φ).
 
*La sostituzione di ''FY'' a ''X'' e η<sub>''Y''</sub> = Φ<sub>''Y'', e di ''FY''</sub>(1<sub>''FY''</sub>) a ''g'' nella seconda formula fornisce l'equazione counità-unità
:<math>1_{FY} = \varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y)</math>,
:e la sostituzione di ''GX'' a ''Y'' e di ε<sub>X</sub> = Φ<sup>−1</sup><sub>''GX, X''</sub>(1<sub>''GX''</sub>) a ''f'' nella prima formula fornisce la seconda equazione counità-unità
:<math>1_{GX} = G(\varepsilon_X)\circ\eta_{GX}</math>.

==Storia==
 
L'idea di un funtore aggiunto è stata formulata da [[Daniel Kan]] nel 1958. Come molti dei concetti nella teoria delle categorie, è stato suggerito dalle esigenze dell'algebra di omologica, che era allora dedicata ai calcoli. Quanti erano impegnati nel fornire presentazioni ordinate e sistematiche dell'argomento oggetto avrebbero notato relazioni quali
 
:Hom(''F''(''X''), ''Y'') = Hom(''X'', ''G''(''Y''))
 
nella categoria dei [[gruppo abeliano|gruppi abeliani]], dove ''F'' era il funtore <math>- \otimes A</math> (cioè il [[prodotto tensoriale]] con ''A''), e ''G'' era il funtore Hom(''A'',–) (questa è oggi nota come l'[[aggiunzione Tensor-Hom]]).
<!--Qui Hom(''X'',''Y'') significa 'tutti gli [[omomorfismo di gruppi|omomorfismi]] di [[gruppo abeliano|gruppi abeliani]]'.-->
L'uso del segno di ''uguale'' è un [[abuso di notazione]]; questi due gruppi non sono davvero identici ma c'è un modo di identificarli che è ''naturale''. Si può vedere che è naturale, innanzi tutto, sulla base del fatto che queste sono due descrizioni alternative delle [[mappa bilineare|mappe bilineari]] da ''X'' × ''A'' a ''Y''. Questo, tuttavia, è un caso particolare del [[prodotto tensoriale]]. Nella teoria delle categorie la 'naturalità' della biiezione è compresa nel concetto di [[isomorfismo naturale]].
 
La terminologia proviene dall'idea di [[operatore aggiunto|operatori aggiunti]] negli [[spazio di Hilbert|spazi di Hilbert]], operatori ''F'', ''G'' con <math>\langle Fx,y\rangle = \langle x,Gy\rangle</math>, la quale idea è formalmente simile alla precedente relazione tra Hom-Set. Si dice che ''F'' è ''aggiunto sinistro'' a ''G'', e ''G'' è ''aggiunto destro'' a ''F''. Si noti che ''G'' potrebbe a sua volta avere un aggiunto destro che potrebbe essere diverso da ''F'' (si veda sotto per un esempio). L'analogia con le mappe aggiunte degli spazi di Hilbert può essere resa più precisa in determinati contesti.
 
===Ubiquità===
Se si comincia a cercare queste coppie di funtori aggiunti, si osserva che essi vengono a essere molto comuni nell'[[algebra astratta]], e anche in ogni altro ambito. La sezione degli esempi, nel seguito, fornisce prove di questo; inoltre, le [[costruzione universale|costruzioni universali]], che potrebbero risultare più familiari per alcune persone, danno origine a numerose coppie di funtori aggiunti.
 
In accordo con il pensiero di [[Saunders Mac Lane]], qualsiasi idea, come per esempio i funtori aggiunti, che si presenta con sufficiente frequenza nella matematica dovrebbe essere studiata di per se stessa.{{Senza fonte|date=November 2007}}
 
I concetti possono essere giudicati sulla base del loro utilizzo nella soluzione di problemi, così come del loro utilizzo nella costruzione di teorie. La tensione tra queste due motivazioni fu particolarmente forte durante gli anni Cinquanta, quando la teoria delle categorie cominciò a essere sviluppata. Si pensi ad [[Alexander Grothendieck]], il quale fece uso della teoria delle categorie come bussola in altri lavori - nell'[[analisi funzionale]], nell'[[algebra omologica]] e infine nella [[geometria algebrica]].
 
È probabilmente sbagliato dire che egli promosse da solo il concetto di funtore aggiunto: ma il riconoscimento del ruolo dell'aggiunzione fu inerente nell'approccio di Grothendieck. Per esempio, uno dei suoi maggiori risultati fu la formulazione della [[dualità di Serre]] nella forma relativa - liberamente, in una famiglia continua di varietà algebriche. L'intera dimostrazione verte sull'esistenza di un aggiunto destro a un certo funtore. Questo è qualcosa di innegabilmente astratto, e non costruttivo, ma altresì potente a modo suo.
 
==Esempi==
===Gruppi liberi===
La costruzione di [[gruppo libero|gruppi liberi]] è un esempio comune e illuminante.
 
Sia ''F'' : '''[[categoria degli insiemi|Set]]''' → '''[[categoria dei gruppi|Grp]]''' il funtore che assegna a ciascun insieme ''Y'' il [[gruppo libero]] generato dagli elementi di ''Y'', e sia ''G'' : '''Grp''' → '''Set''' il [[funtore dimenticante]], che assegna a ciascun gruppo ''X'' il suo insieme soggiacente.  Allora ''F'' è aggiunto sinistro a ''G'':
 
'''Morfismi terminali.'''  Per ogni gruppo ''X'', il gruppo ''FGX'' è il gruppo libero generato liberamente da ''GX'', cioè gli elementi di ''X''. Sia &nbsp;<math>\varepsilon_X:FGX\to X</math>&nbsp; l'omomorfismo di gruppi che manda i generatori di ''FGX'' negli elementi di ''X'' a cui corrispondono, il quali esistono per la proprietà universale dei gruppi liberi. Allora ogni &nbsp;<math>(GX,\varepsilon_X)</math>&nbsp; è un morfismo terminale da ''F'' a ''X'', poiché ogni [[omomorfismo di gruppi]] da un gruppo libero ''FZ'' a ''X'' sarà fattorizzabile mediante &nbsp;<math>\varepsilon_X:FGX\to X</math>&nbsp; via un'unica mappa di insiemi da ''Z'' a ''GX''. Questo significa che (''F'',''G'') è una coppia aggiunta.
 
'''Morfismi iniziali.'''  Per ogni insieme ''Y'', l'insieme ''GFY'' è semplicemente l'insieme soggiacente del gruppo libero ''FY'' generato da ''Y''.  Sia &nbsp;<math>\eta_Y:Y\to GFY</math>&nbsp; la mappa di insiemi data dall'"inclusione dei generatori". Allora ogni &nbsp;<math>(FY,\eta_Y)</math>&nbsp; è un morfismo iniziale da ''Y'' a ''G'', poiché ogni mappa di insiemi da ''Y'' all'insieme soggiacente ''GW'' di un gruppo sarà fattorizzabile mediante &nbsp;<math>\eta_Y:Y\to GFY</math>&nbsp; via un unico omomorfismo di gruppi da ''FY'' a ''W''.  Questo significa anche che (''F'',''G'') è una coppia aggiunta.
 
'''Aggiunzione Hom-Set.'''  le mappe dal gruppo libero ''FY'' a un gruppo ''X'' corrispondono precisamente alle mappe dall'insieme ''Y'' all'insieme ''GX'': ogni omomorfismo da ''FY'' a ''X'' è completamente determinato dalla sua azione sui generatori. Si può verificare direttamente che questa corrispondenza è una trasformazione naturale, il che significa che è un'aggiunzione Hom-Set per la coppia (''F'',''G'').
 
'''Aggiunzione counità-unità.''' Si può anche verificare direttamente che ε e η sono naturali. Quindi, una verifica diretta che essi formano un'aggiunzione counità-unità &nbsp;<math>(\varepsilon,\eta):F\dashv G</math>&nbsp; è la seguente:
 
'''La prima equazione counità-unità''' &nbsp;<math>1_F = \varepsilon F\circ F\eta</math>&nbsp; dice che per ogni insieme ''Y'' la composizione
:<math>FY\xrightarrow{\;F(\eta_Y)\;}FGFY\xrightarrow{\;\varepsilon_{FY}\,}FY</math>
dovrebbe essere l'identità.  Il gruppo intermedio ''FGFY'' è il gruppo libero generato liberamente dalle parole del gruppo libero ''FY''.  (Si pensi a queste parole come poste tra parentesi a indicare che sono generatori indipendenti.) La freccia &nbsp;<math>F(\eta_Y)</math>&nbsp; è l'omomorfismo di gruppi da ''FY'' in ''FGFY'' che manda ciascun generatore ''y'' di ''FY'' nella corrispondente parola di lunghezza uno (''y'') in qualità di generatore di ''FGFY''.  La freccia &nbsp;<math>\varepsilon_{FY}</math>&nbsp; è l'omomorfismo di gruppi da ''FGFY'' a ''FY'' che manda ciascun generatore nella parola di ''FY'' a cui corrisponde (dunque questa mappa è "buttar via le parentesi").  La composizione di queste due mappe è perciò l'identità su ''FY''.
 
'''La seconda equazione counità-unità''' &nbsp;<math>1_G = G\varepsilon \circ \eta G</math>&nbsp; dice che per ogni gruppo ''X'' la composizione
:&nbsp;<math>GX\xrightarrow{\;\eta_{GX}\;}GFGX\xrightarrow{\;G(\varepsilon_X)\,}GX</math>&nbsp;
dovrebbe essere l'identità. Il gruppo intermedio ''GFGX'' è semplicemente l'insieme soggiacente di ''FGX''. La freccia &nbsp;<math>\eta_{GX}</math>&nbsp; è la mappa "inclusione dei generatori" dall'insieme ''GX'' all'insieme ''GFGX''. La freccia &nbsp;<math>G(\varepsilon_X)</math>&nbsp; è la mappa d'insiemi da ''GFGX'' a ''GX'' che sottende underlies l'omomorfismo di gruppi che manda ciascun generatore di ''FGX'' nell'elemento di ''X'' cui corrisponde ("buttar via le parentesi"). La composizione di queste mappe è perciò l'identità su ''GX''.

===Costruzioni libere e funtori dimenticanti===
Tutti gli [[oggetto libero|oggetti liberi]] sono esempi di aggiunti sinistri a un [[funtore dimenticante]] che assegna a un oggetto algebrico il suo insieme soggiacente. Questi [[funtore libero|funtori liberi]] di tipo algebrico hanno usualmente la medesima descrizione vista nella descrizione dettagliata della situazione dei gruppi liberi qui sopra.

===Funtori e limiti diagonali===
[[prodotto cartesiano|Prodotti]], [[prodotto fibrato|prodotti fibrati]], [[equalizzatore (matematica)|equalizzatori]], e [[nucleo (matematica)|nuclei]] sono tutti esempi della nozione categoriale di [[limite (teoria delle categorie)|limite]]. Ogni funtore di limite è aggiunto destro a un corrispondente funtore (purché che la categoria abbia la tipologia di limiti in questione), e la counità dell'aggiunzione fornisce la definizione delle mappe dall'oggetto limite (vale a dire il funtore diagonale sul limite, nella categoria dei funtori). Seguono alcuni esempi specifici.

* '''Prodotti''' Sia Π : '''Grp<sup>2</sup>''' → '''Grp''' il funtore che assegna a ogni coppia (''X''<sub>1</sub>, ''X<sub>2</sub>'') il gruppo prodotto ''X''<sub>1</sub>×''X''<sub>2</sub>, e sia Δ : '''Grp →''' '''Grp<sup>2</sup>'''  il [[funtore diagonale]] che assegna a ciascun gruppo ''X'' la coppia (''X'', ''X'') nella categoria prodotto '''Grp<sup>2</sup>'''. La proprietà universale del gruppo prodotto mostra che Π è aggiunto destro a Δ. La counità di questa aggiunzione è la coppia che definisce le mappe di proiezione da ''X''<sub>1</sub>×''X''<sub>2</sub> a ''X''<sub>1</sub> e ''X''<sub>2</sub> che definisce il limite, e l'unità è l{{'}}''inclusione diagonale'' di un gruppo X in ''X''<sub>1</sub>×''X''<sub>2</sub> (mappando x in (x,x)).

: Il [[prodotto cartesiano]] di [[insieme (matematica)|insiemi]], il prodotto di anelli, il [[topologia prodotto|prodotto di spazi topologici]], eccetera, seguono il medesimo schema; si può inoltre estendere in modo immediato a più di due fattori. Più in generale, qualunque tipo di limite è aggiunto destro a un funtore diagonale.

* '''Nuclei.''' Si consideri la categoria ''D'' degli omomorfismi di gruppi abeliani. Se ''f''<sub>1</sub> : ''A''<sub>1</sub> → ''B''<sub>1</sub> e ''f''<sub>2</sub> : ''A''<sub>2</sub> → ''B''<sub>2</sub> sono due oggetti di ''D'', allora un morfismo da ''f''<sub>1</sub> a ''f''<sub>2</sub> è una coppia (''g''<sub>''A''</sub>, ''g''<sub>''B''</sub>) di morfismi tali che ''g''<sub>''B''</sub>''f''<sub>1</sub> = ''f''<sub>2</sub>''g''<sub>''A''</sub>. Sia ''G'' : ''D'' → '''Ab''' il funtore che assegna a ogni omomorfismo il suo [[nucleo (algebra)|nucleo]] e sia ''F'' : '''Ab →''' ''D'' il funtore che manda il gruppo ''A'' nell'omomorfismo ''A'' → 0. Allora ''G'' è aggiunto destro a ''F'', il che esprime la proprietà universale dei nuclei. La counità dell'aggiunzione è l'inclusione del nucleo di un omomorfismo nel dominio dell'omomorfismo, e l'unità è il morfismo che identifica il gruppo ''A'' con il nucleo dell'omomorfismo ''A'' → 0.

Una opportuna variante di questo esempio mostra anche che i funtori nucleo di spazi vettoriali e di moduli sono aggiunti destri. Analogamente, si può dimostrare che i funtori conucleo di gruppi abeliani, spazi vettoriali e moduli sono aggiunti sinistri.

===Funtori e colimiti diagonali===
[[coprodotto|Coprodotti]], [[somma amalgamata (teoria delle categorie)|somme amalgamate]], [[coequalizzatore|coequalizzatori]], e [[conuclei]] sono tutti esempi della nozione categoriale di [[limite (teoria delle categorie)|colimite]]. Ogni funtore colimite è aggiunto sinistro a un corrispondente funtore diagonale (purché che la categoria abbia la tipologia di limiti in questione), e l'unità dell'aggiunzione ornisce la definizione delle mappe dall'oggetto colimite. Seguono alcuni esempi specifici.

* '''Coprodotti.''' Se ''F'' :  '''Ab'''<sup>'''2'''</sup> '''→''' '''Ab''' assegna a ogni coppia (''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>) di gruppi abeliani la loro [[somma diretta]], e se ''G'' : '''Ab''' → '''Ab'''<sup>'''2'''</sup> è il funtore che assegna a ciascun gruppo abeliano ''Y'' la coppia (''Y'', ''Y''), allora ''F'' è aggiunto sinistro a ''G'', ancora una volta una conseguenza della proprietà universale della somma diretta. L'unità di questa coppia aggiunta è la coppia di mappe di inclusione da ''X''<sub>1</sub> e ''X''<sub>2</sub> nella somma diretta, e la counità è la mappa additiva dalla somma diretta di (''X'',''X'') a ''X'' (inviando un elemento (''a'',''b'') della somma diretta nell'elemento ''a''+''b'' di ''X'').

: Esempi analoghi sono dati dalla somma diretta di [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] e di [[modulo (matematica)|moduli]], dal [[prodotto libero]] di gruppi e dall'unione disgiunta di insiemi.

===Ulteriori esempi===

====Algebra====
* '''Aggiungere un'identità a un [[anello (algebra)|anello]].'''  Questo esempio è stato discusso nella precedente sezione relativa alle motivazioni. Dato un anello ''R'', un elemento identità moltiplicativa può essere aggiunto prendendo ''R''x'''Z''' e definendo uno '''Z'''-prodotto bilineare con (r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), (0,1)(0,1) = (0,1). Questo costruisce un aggiunto sinistro al funtore che manda l'anello unitario nell'anello soggiaciente.
* '''Estensione di anelli unitari.''' Siano ''R'' e ''S'' anelli unitari, e ρ : ''R'' → ''S'' sia un [[omomorfismo di anelli]]. Allora ''S'' può essere visto come un ''R''-modulo (sinistro), e il [[prodotto tensoriale]] con ''S'' produce un funtore ''F'' : ''R''-'''Mod''' → ''S''-'''Mod'''. Allora ''F'' è aggiunto sinistro al funtore dimenticante ''G'' : ''S''-'''Mod''' → ''R''-'''Mod'''.
* '''[[aggiunzione tensor-hom adjunction|Prodotti tensoriali]].''' Se ''R'' è un anello unitario e ''M'' è un ''R''-modulo destro, allora il prodotto tensoriale con ''M'' produce un funtore ''F'' : ''R''-'''Mod''' → '''Ab'''. Il funtore ''G'' : '''Ab''' → ''R''-'''Mod''', definito da ''G''(''A'') = hom<sub>'''Z'''</sub>(''M'',''A'') per ogni gruppo abeliano ''A'', è aggiunto destro a ''F''.
* '''Dai monoidi e gruppi agli anelli.''' La costruzione [[anello monoide integrale]] produce un funtore dai [[monoide|monoidi]] agli anelli. Questo funtore è aggiunto sinistro al funtore che associa a un dato anello unitario il suo monoide moltiplicativo soggiacente. Analogamente, la costruzione [[anello gruppo integrale]] produce un funtore dai [[gruppo (matematica)|gruppi]] agli anelli, aggiunto sinistro al funtore che assegna a un dato anello il suo [[gruppo delle unità]]. Si può anche iniziare con un [[campo (matematica)|campo]] ''K'' e considerare la categoria delle [[algebra associativa|algebre ''K''-associative]] invece della categoria degli anelli, per ottener gli anelli di monoidi e gruppi su ''K''.
* '''Campi di frazioni.''' Si consideri la categoria '''Dom'''<sub>m</sub> dei domini d'integrità con monomorfismi. Il funtore dimenticante '''Field''' → '''Dom'''<sub>m</sub> dai campi ha un aggiunto sinistro, quello che assegna a ogni dominio d'integrità il suo [[campo delle frazioni]].
* '''Anelli di polinomi'''. Sia '''Ring'''<sub>*</sub> la categoria degli anelli commutativi unitari puntati; l'unità è la coppia (A,a) dove A è un anello e <math>a \in A</math>, e inoltre i morfismi preservano gli elementi distinti. Il funtore dimenticante G:'''Ring'''<sub>*</sub> → '''Ring''' ha un aggiunto sinistro - quello che assegna a ogni anello unitario R la coppia (R[x],x) dove R[x] è l'[[anello dei polinomi]] con coefficienti in R.
* '''Abelianizzazione'''. Si consideri il funtore inclusione ''G'' : '''Ab''' → '''Grp''' dalla [[categoria dei gruppi abeliani]] alla [[categoria dei gruppi]]. Ha un aggiunto sinistro chiamato [[abelianizzante]] il quale assegna a ogni gruppo ''G'' il gruppo quoziente ''G''<sup>ab</sup>=''G''/[''G'',''G''].
* '''Il gruppo di Grothendieck'''. Nella [[teoria K]], il punto di partenza è osservare che la categoria dei [[fibrato vettoriale]] su uno [[spazio topologico]] ha una struttura di monoide commutativo sotto la [[somma diretta (moduli)|somma diretta]]. Si può ricavare un [[gruppo abeliano]] a partire da questo monoide, il [[gruppo di Grothendieck]], aggiungendo formalmente un inverso additivo a ciascun fibrato (o [[Relazione di equivalenza|classe di equivalenza]]). In alternativa si può osservare che il funtore che per ciascun gruppo dà il monoide soggiacente (ignorando gli inversi) ha un aggiunto sinistro. Questo è una costruzione ''una volta per tutte'', in linea con la terza sezione discussa in precedenza. Dunque, si può imitare la costruzione dei [[numero negativo|numero negativi]]; ma c'è l'altra opzione di un [[teorema di esistenza]]. Nel caso delle strutture algebriche finitarie, l'esistenza stessa può essere ricondotta all'[[algebra universale]], o alla [[teoria dei modelli]]; in modo naturale vi è anche una dimostrazione adattata alla teoria delle categorie.
* '''Reciprocità di Frobenius''' nella [[rappresentazione di gruppi|teoria della rappresentazione di gruppi]]: si veda [[rappresentazione indotta]]. Questo esempio ha anticipato di circa un secolo la teoria generale.

====Teoria delle categorie====
* '''Una serie di aggiunzioni.''' Il funtore π<sub>0</sub> che assegna a una categoria il suo insieme di componenti connesse è aggiunto sinistro al funtore ''D'' che assegna a un insieme la categoria discreta su tale insieme. Inoltre, ''D'' è aggiunto sinistro al funtore oggetto ''U'' che assegna a ogni categoria il suo insieme di oggetti, e infine ''U'' è aggiunto sinistro al funtore ''A'' che assegna a ogni insieme la categoria indiscreta<ref>{{Cita web|titolo=Indiscrete category |url=https://ncatlab.org/nlab/show/indiscrete+category |sito=nLab}}</ref> on that set.
* '''Oggetto esponenziale'''. In una [[categoria cartesiana|categoria cartesiana chiusa]] l'endofuntore ''C'' → ''C'' dato da –×''A'' ha un aggiunto destro –<sup>''A''</sup>. Questa coppia è spesso chiamata [[currying]] e uncurrying; in molti casi particolari, essi sono anche continui e formano un [[omeomorfismo]].
* '''Limiti and Colimiti.''' I limiti e i colimiti possono essere effettivamente visti usando aggiunti quando si considerano categorie di funtori. Se C e D sono due categorie, allora il funtore '''limite''' dalla categoria dei funtori da C a D alla categoria dei funtori costanti da C a D che manda un dato funtore da C a D nel suo limite è in effetti aggiunto destro al funtore dimenticante dalla categoria dei funtori costanti da C a D alla categoria dei funtori da C a D. In modo analogo il colimite è l'aggiunto destro di questo funtore dimenticante dalla categoria dei funtori costanti da C a D alla categoria dei funtori da C a D.

===Monadi===

Ogni aggiunzione〈''F'', ''G'', ε, η〉 dà origine a una [[monade#Matematica|monade]] associata 〈''T'', η, μ〉 nella categoria ''D''. Il funtore
:<math>T : \mathcal{D} \to \mathcal{D}</math>
è dato da ''T'' = ''GF''. L'unità della monade
:<math>\eta : 1_{\mathcal{D}} \to T</math>
è semplicemente l'unità η dell'aggiunzione e la trasformazione moltiplicativa
:<math>\mu : T^2 \to T\,</math>
è data da μ = ''G''ε''F''. Dualmente, la tripla〈''FG'', ε, ''F''η''G''〉 definisce una comonade in ''C''.

Ogni monade trae origine dalla medesima aggiunzione —di fatto, tipicamente da varie aggiunzioni— allo stesso modo. Due costruzioni, chiamate la categoria delle [[algebra di Eilenberg–Moore|algebre di Eilenberg–Moore]] e la [[categoria di Kleisli]] sono due soluzioni estreme al problema di costruire un'aggiunzione che dia origine a una monade assegnata.

==Note==
<references/>

==Bibliografia==
*{{Cita libro |cognome1= Adámek |nome1= Jiří |nome2= Horst |cognome2= Herrlich |nome3= George E. |cognome3= Strecker |anno= 1990 |url= http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf |titolo= Abstract and Concrete Categories. The joy of cats |editore= John Wiley & Sons |isbn= 0-471-60922-6 |zbl= 0695.18001 |accesso= 3 maggio 2018 |dataarchivio= 21 aprile 2015 |urlarchivio= https://web.archive.org/web/20150421081851/http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf |urlmorto= sì }}
*{{Cita libro|nome= Saunders |cognome= Mac Lane |wkautore= Saunders Mac Lane |anno= 1998 |titolo= Categories for the Working Mathematician |serie= [[Graduate Texts in Mathematics]] |volume=5 |edizione= 2nd |editore= Springer-Verlag | isbn = 0-387-98403-8 | zbl=0906.18001 }}

==Collegamenti esterni==
*[https://www.youtube.com/view_play_list?p=54B49729E5102248 Adjunctions] Sette brevi lezioni sulle aggiunzioni.
* [https://wildcatsformma.wordpress.com/ WildCats] è un pacchetto di categorie per [[Mathematica]]. Manipolazione e visualizzazione di oggetti, morfsmi, categorie, funtori, trasformazioni naturali, proprietà universali.

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria delle categorie]]