Metodo di Laplace
Nell'[[analisi matematica]], il '''metodo di Laplace''', il cui nome deriva da [[Pierre-Simon Laplace]], è una tecnica usata per approssimare [[integrale|integrali]] nella forma

:<math>\int_a^b\! e^{M f(x)} \, dx,</math>

dove <math>f(x)</math> è una qualunque funzione derivabile due volte, <math>M</math> è un numero "grande" e gli estremi d'integrazione <math>a</math> e <math>b</math> possono essere anche infiniti. Questa tecnica fu per la prima volta presentata nell'articolo "''Mémoir sur la probabilité des causes par évènemens''" di Laplace del 1774.

==L'idea del metodo di Laplace==
[[File:Laplaces method.svg|upright=0.7|thumb|La funzione <math>e^{Mf(x)}</math> (in blu) con <math>f(x)=sin(x)/x</math> è mostrata nella figura superiore per <math>M=0.5</math> e in quella inferiore con <math>M=3</math>. La funzione <math>f(x)</math> ha un massimo globale per <math>x_0=0</math>.  Si può notare che al crescere del valore di <math>M</math>, l'approssimazione di questa funzione con una [[funzione gaussiana|gaussiana]] (in rosso) migliora sempre di più. Questa osservazione sottolinea il metodo di Laplace.]]

Si assuma che la funzione <math>f(x)</math> abbia un unico [[Massimo e minimo di una funzione|massimo globale]] in <math>x_0</math>. Allora, il valore <math>f(x_0)</math> sarà più grande degli altri valori di <math>f(x)</math>. Se si moltiplica questa funzione per un numero grande <math>M</math>, il rapporto fra <math>Mf(x_0)</math> e <math>Mf(x)</math> rimane lo stesso (poiché <math>Mf(x_0)/Mf(x) = f(x_0)/f(x))</math>, ma crescerà esponenzialmente nella funzione <math>e^{M f(x)}</math> (vedere figura). Perciò solo punti <math>x</math> in un [[intorno]] di <math>x_0</math> daranno significativi contributi all'integrale della funzione, che può essere stimato.

Per descrivere e motivare il metodo, sono necessarie alcune ipotesi. Si assuma che <math>x_0</math> non sia un estremo di integrazione, che il valore di <math>f(x)</math> non possa essere molto vicino a <math>f(x_0)</math> a meno che <math>x</math> sia vicino a <math>x_0</math> e che la derivata seconda <math>f''(x_0)<0</math>.

Si può sviluppare <math>f(x)</math> intorno a <math>x_0</math> usando il [[teorema di Taylor]] e ottenendo

:<math>f(x)= f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0)(x-x_0)^2 + R,</math>

dove <math>R = O\left((x-x_0)^3\right).</math>

Poiché <math>f</math> ha un massimo globale in <math>x_0</math>, e siccome <math>x_0</math> non è un estremo, esso è un [[punto stazionario]], perciò la derivata di <math>f</math> in <math>x_0</math> si annulla. Dunque, la funzione può essere approssimata al secondo ordine come

:<math>f(x)\approx f(x_0) - \frac{1}{2} |f''(x_0)|(x-x_0)^2,</math>

per <math>x</math> vicino a <math>x_0</math> (si ricordi che la derivata seconda nel punto di massimo <math>x_0</math> è negativa). Le ipotesi assicurano la precisione dell'approssimazione

:<math>\int_a^b\! e^{M f(x)}\, dx\approx e^{M f(x_0)}\int_a^b e^{-M|f''(x_0)|(x-x_0)^2/2}\, dx</math>

(vedere la figura sulla destra). Quest'ultimo integrale sarebbe un [[integrale di Gauss]] se i limiti di integrazione andassero da <math>-\infty</math> a <math>+\infty</math> (che può essere assunto dato che l'esponenziale decade molto velocemente lontano da <math>x_0</math>), e pertanto può essere calcolato. Si trova così che

:<math>\int_a^b\! e^{M f(x)}\, dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{M|f''(x_0)|}}e^{M f(x_0)}, \qquad\text{con } M\to+\infty.</math>

==Enunciato==
Si assuma che <math>f(x)</math> sia una funzione di [[Classe C di una funzione|classe]] <math>C^2</math> su <math>[a,b]</math> con <math>x_0 \in (a,b)</math> l'unico punto tale che <math>f(x_0) = \max_{[a,b]} f(x)</math>. Si assuma inoltre che <math>f''(x_0)<0</math>.

Allora

:<math>\lim_{n \to +\infty} \frac{\int_a^b e^{nf(x)} \, dx}{e^{nf(x_0)} \sqrt{\frac{2 \pi}{n (-f''(x_0))}}} =1.</math>

==Dimostrazione==
'''Minorante''':

Sia <math>\varepsilon > 0</math>. Per la continuità di <math>f''</math> esiste <math> \delta >0 </math> tale che se <math>|x_0-c|< \delta</math> allora <math>f''(c) \ge f''(x_0) - \varepsilon</math>. Dal [[teorema di Taylor]], per ogni <math>x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)</math>, <math>f(x) \ge f(x_0) + \frac{1}{2}(f''(x_0) - \varepsilon)(x-x_0)^2</math>.

Quindi si ha il seguente minorante:

:<math>\int_a^b e^{n f(x) } \, dx \ge \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} e^{n f(x)} \, dx \ge  e^{n f(x_0)} \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} e^{\frac{n}{2} (f''(x_0) - \varepsilon)(x-x_0)^2} \, dx= e^{n f(x_0)} \sqrt{\frac{1}{n (-f''(x_0) + \varepsilon)}} \cdot\int_{-\delta \sqrt{n (-f''(x_0) + \varepsilon)} }^{\delta \sqrt{n (-f''(x_0) + \varepsilon)} } e^{-\frac{1}{2}y^2} \, dy,</math>

dove l'ultima uguaglianza è stata ottenuta dal cambio di variabili <math>y= \sqrt{n (-f''(x_0) + \varepsilon)} (x-x_0)</math>. Si ricordi che <math>f''(x_0)<0</math> e quindi è possibile estrarne la [[radice quadrata]].

Se si dividono entrambi i membri della precedente disuguaglianza per <math> e^{nf(x_0)}\sqrt{\frac{2 \pi}{n (-f''(x_0))}} </math> e se ne prende il limite si ottiene:

:<math>\lim_{n \to +\infty} \frac{\int_a^b e^{nf(x)} \,dx}{ e^{nf(x_0)}\sqrt{\frac{2 \pi}{n (-f''(x_0))}} } \ge\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\delta\sqrt{n (-f''(x_0) + \varepsilon)} }^{\delta \sqrt{n (-f''(x_0) + \varepsilon)} } e^{-\frac{1}{2}y^2} \, dy \, \cdot \sqrt{\frac{-f''(x_0)}{-f''(x_0) + \varepsilon}}= \sqrt{\frac{-f''(x_0)}{-f''(x_0) + \varepsilon}}.</math>

Poiché è vero per un arbitrario <math>\varepsilon</math>, si trova il minorante:

:<math>\lim_{n \to +\infty} \frac{\int_a^b e^{nf(x)} \, dx}{ e^{nf(x_0)}\sqrt{\frac{2 \pi}{n (-f''(x_0))}} } \ge 1.</math>

Da notare che la dimostrazione funziona anche quando <math>a = -\infty</math> oppure <math>b= +\infty</math> (o entrambi).

'''Maggiorante''':
La dimostrazione del maggiorante è simile a quella del minorante ma ci sono alcuni inconvenienti. Di nuovo si inizia prendendo un <math>\varepsilon >0</math> ma allo scopo di far funzionare la dimostrazione serve che <math>\varepsilon</math> sia piccolo abbastanza affinché <math>f''(x_0) + \varepsilon < 0</math>. Quindi, come sopra, dalla continuità di <math>f''</math> e il teorema di Taylor si trova <math> \delta>0 </math> tale che se <math>|x-x_0| < \delta</math>, allora <math>f(x) \le f(x_0) + \frac{1}{2} (f''(x_0) + \varepsilon)(x-x_0)^2</math>. Infine per ipotesi (assumendo <math>a,b</math> finiti) esiste un <math>\eta >0</math> tale che se <math>|x-x_0|\ge \delta </math>, allora <math> f(x) \le f(x_0) - \eta</math>.

Si può ora calcolare il seguente maggiorante:

:<math>\begin{align}
& \int_a^b e^{n f(x) } \, dx \le\int_a^{x_0-\delta} e^{n f(x) } \, dx + \int_{x_0-\delta}^{x_0 + \delta} e^{n f(x) } \, dx +\int_{x_0 + \delta}^b e^{n f(x) } \, dx\le (b-a)e^{n (f(x_0) - \eta)} + \int_{x_0-\delta}^{x_0 + \delta} e^{n f(x) } \, dx
\\
& \le (b-a)e^{n (f(x_0) - \eta)} + e^{n f(x_0)} \int_{x_0-\delta}^{x_0 + \delta} e^{\frac{n}{2} (f''(x_0)+\varepsilon)(x-x_0)^2} \, dx\le (b-a)e^{n (f(x_0) - \eta)} + e^{n f(x_0)} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\frac{n}{2} (f''(x_0)+\varepsilon)(x-x_0)^2} \, dx
\\
& \le (b-a)e^{n (f(x_0) - \eta)} + e^{n f(x_0)} \sqrt{\frac{2 \pi}{n (-f''(x_0) - \varepsilon)}}.
\end{align}</math>

Se si dividono entrambi i membri della disuguaglianza per <math>e^{nf(x_0)}\sqrt{\frac{2 \pi}{n (-f''(x_0))}}</math> e se ne prende il limite si ottiene:

:<math>\lim_{n \to +\infty} \frac{\int_a^b e^{nf(x)} \, dx}{ e^{nf(x_0)}\sqrt{\frac{2 \pi}{n (-f''(x_0))}} } \le \lim_{n \to +\infty} (b-a) e^{-\eta n} \sqrt{\frac{n (-f''(x_0))}{2 \pi}} + \sqrt{\frac{-f''(x_0)}{-f''(x_0) - \varepsilon}} = \sqrt{\frac{-f''(x_0)}{-f''(x_0) - \varepsilon}}.</math>

Poiché <math> \varepsilon </math> è arbitrario si ha il maggiorante:

:<math>\lim_{n \to +\infty} \frac{\int_a^b e^{nf(x)} \, dx}{ e^{nf(x_0)}\sqrt{\frac{2 \pi}{n (-f''(x_0))}} } \le 1.</math>

E combinandolo con il risultato ricavato prima si dimostra l'enunciato.

Da notare che la dimostrazione precedente fallisce quando <math>a = -\infty</math> oppure <math>b = +\infty</math> (o entrambi). Per trattare questi casi, c'è bisogno di ulteriori ipotesi. Un'assunzione sufficiente (e non necessaria) è che per <math>n = 1</math>, l'integrale <math> \int_a^b e^{nf(x)} \, dx </math> sia finito, e che il numero <math>\eta</math> come sopra esista (si osservi che questa deve essere un'ipotesi solo nel caso di <math>a</math> o <math>b</math> infinito). La dimostrazione procede altrimenti come prima, ma gli integrali

:<math>\int_a^{x_0-\delta} e^{n f(x) } \, dx + \int_{x_0 + \delta}^b e^{n f(x) } \, dx</math>

devono essere stimati superiormente da

:<math>\int_a^{x_0-\delta} e^{n f(x) } \, dx + \int_{x_0 + \delta}^b e^{n f(x) } \, dx\le \int_a^b e^{f(x)}e^{(n-1)(f(x_0) - \eta)} \, dx =  e^{(n-1)(f(x_0) - \eta)} \int_a^b e^{f(x)} \, dx</math>

invece di <math>(b-a)e^{n (f(x_0) - \eta)}</math> come per il minorante, così che quando si divide per <math>e^{nf(x_0)}\sqrt{\frac{2 \pi}{n (-f''(x_0))}}</math>, si ottiene per questo termine

:<math>\frac{e^{(n-1)(f(x_0) - \eta)} \int_a^b e^{f(x)} \, dx }{e^{nf(x_0)}\sqrt{\frac{2 \pi}{n (-f''(x_0))}}} = e^{-(n-1)\eta} \sqrt{n} e^{-f(x_0)} \int_a^b e^{f(x)} \, dx \sqrt{\frac{ -f''(x_0)}{ 2 \pi}}</math>

il cui limite per <math>n \to +\infty</math> è <math>0</math>. Il resto della dimostrazione (l'analisi dei termini dominanti) procede come sopra.

La condizione data nel caso di intervallo infinito è, come detto precedentemente, sufficiente ma non necessaria. Tuttavia, la condizione è soddisfatta nella maggior parte delle applicazioni: la condizione semplicemente afferma che l'integrale che si sta studiando sia ben definito (non infinito) e che il massimo della funzione in <math>x_0</math> sia un "vero" massimo (il numero <math>\eta > 0</math> deve esistere). Non c'è inoltre bisogno di richiedere che l'integrale sia finito per <math>n=1</math> ma è sufficiente che lo sia per un qualche <math>n = N</math>.

==Applicazione: approssimazione di Stirling==
Il metodo di Laplace può essere utilizzato per derivare l'[[approssimazione di Stirling]]

:<math>N!\approx \sqrt{2\pi N} N^N e^{-N},</math>

per un [[numero intero|intero]] <math>N</math> grande.

Dalla definizione della [[funzione Gamma]], si ha

:<math>N! = \Gamma(N+1)=\int_0^\infty e^{-x} x^N \, dx.</math>

Ora effettuando il cambio di variabile

:<math>x = N z</math>

si ottiene

:<math>N! = \int_0^\infty e^{-N z} \left(N z \right)^N N \, dz = N^{N+1}\int_0^\infty e^{-N z} z^N \, dz = N^{N+1}\int_0^\infty e^{-N z} e^{N\ln z} \, dz = N^{N+1}\int_0^\infty e^{N(\ln z-z)} \, dz.</math>

Questo integrale ha la forma necessaria per il metodo di Laplace con

:<math>f \left( z \right) = \ln{z}-z</math>

che è derivabile con continuità due volte:

:<math>f'(z) = \frac{1}{z}-1,</math>
:<math>f''(z) = -\frac{1}{z^2}.</math>

Il massimo di <math>f(x)</math> si trova  <math>z_0=1</math>, e la derivata seconda in quel punto ha valore <math>-1</math>. Pertanto, si ricava

:<math>N! \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}.</math>

==Generalizzazioni==
L'approssimazione di Laplace può essere generalizzata agli integrali nella forma

:<math>\int_a^b h(x) e^{M g(x)}\, dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{M|g''(x_0)|}} h(x_0) e^{M g(x_0)},\qquad \text{con } M\to+\infty,</math>

dove <math>h</math> è positiva. È importante sottolineare che la precisione dell'approssimazione dipende dalla variabile di integrazione.<ref>{{Cita libro|cognome=Butler |nome=Ronald W |data=2007 |titolo=Saddlepoint approximations and applications |editore=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-87250-8}}</ref>

Nel caso a più variabili, dove <math>\mathbf{x}</math> è un vettore <math>n</math>-dimensionale e <math>f(\mathbf{x})</math> è una funzione scalare di <math>\mathbf{x}</math>, l'approssimazione di Laplace diventa:

:<math>\int e^{M f(\mathbf{x})}\, d\mathbf{x} \approx\left(\frac{2\pi}{M}\right)^{n/2} |-H(f)(\mathbf{x}_0)|^{-1/2} e^{M f(\mathbf{x}_0)},\qquad \text{con } M\to+\infty,</math>

con <math>H(f)(\mathbf{x}_0)</math> la [[matrice hessiana]] di <math>f</math> calcolata in <math>\mathbf{x}_0</math> e dove <math>|\cdot|</math> indica il [[Determinante (algebra)|determinante]]. Analogamente al caso di una variabile, la matrice hessiana deve essere [[Matrice definita positiva|definita negativa]].<ref>{{Cita libro|cognome=MacKay|nome=David J. C.|titolo=Information Theory, Inference and Learning Algorithms|editore=Cambridge University Press|data= settembre 2003|città=Cambridge|url=http://www.inference.phy.cam.ac.uk/mackay/itila/book.html|isbn=978-0-521-64298-9}}</ref>

==Precisione del metodo==
Prima di tutto, si ponga senza perdita di generalità che il massimo globale si trovi in <math>x_0=0</math>. Perciò, quello che si vuole è l'errore relativo <math>\left|R \right|</math> come mostrato sotto

:<math>\int_a^b\! h(x) e^{M g(x)}\, dx = h(0)e^{Mg(0)}s \underbrace{\int_{a/s}^{b/s}\frac{h(x)}{h(0)}e^{M\left[ g(sy)-g(0) \right]} dy}_{1+R},</math>

dove <math> s\equiv\sqrt{\frac{2\pi}{M\left| g'' (0) \right|}}</math>. Quindi, posto <math>A\equiv \frac{h(sy)}{h(0)}e^{M\left[g(sy)-g(0) \right]}</math> e <math>A_0\equiv e^{-\pi y^2}</math>, si ottiene

:<math>\left| R\right| = \left| \int_{a/s}^{b/s}A\,dy -\int_{-\infty}^{\infty}A_0\,dy\right|</math>

poiché <math>\int_{-\infty}^{\infty}A_0\,dy =1</math>. Ora si deve trovare un maggiorante.

Grazie a <math>\left| A+B \right| \le |A|+|B|</math>, si può separare l'integrazione in 5 parti di 3 differenti tipi: <math>(a)</math>, <math>(b)</math> e <math>(c)</math>, rispettivamente. Pertanto,

:<math>|R| < \underbrace{\left| \int_{D_y}^{\infty}A_0 dy \right|}_{(a_1)} + \underbrace{\left| \int_{D_y}^{b/s}A dy \right|}_{(b_1)}+ \underbrace{\left| \int_{-D_y}^{D_y}\left(A-A_0\right) dy \right|}_{(c)} + \underbrace{\left| \int_{a/s}^{-D_y}A dy \right|}_{(b_2)} + \underbrace{\left| \int_{-\infty}^{-D_y}A_0 dy \right|}_{(a_2)},</math>

dove <math>(a_1)</math> e <math>(a_2)</math> sono simili, quindi si calcolerà solo <math>(a_1)</math>, e analogamente per <math>(b_1)</math> e <math>(b_2)</math>.

Per <math>(a_1)</math>, dopo aver rinominato <math>z\equiv\pi y^2</math>, si ha

:<math>(a_1) = \left| \frac{1}{2\sqrt{\pi}}\int_{\pi D_y^2}^{\infty} e^{-z}z^{-1/2} dz\right| <\frac{e^{-\pi D_y^2}}{2\pi D_y}.</math>

Questo significa che fintanto che <math>D_y</math> è abbastanza grande, esso tenderà a zero.

Per <math>(b_1)</math>, si ricava

:<math>(b_1)\le\left| \int_{D_y}^{b/s}\left[\frac{h(sy)}{h(0)}\right]_{\mathrm{max}} e^{Mm(sy)}dy \right|,</math>

dove

:<math>m(x) \ge g(x)-g(0), \qquad\text{con } x\in [sD_y,b]</math>

e <math>h(x)</math> dovrebbe avere lo stesso segno di <math>h(0)</math> nella regione. Si scelga <math>m(x)</math> come la tangente in <math>x=sD_y</math>, cioè <math>m(sy)= g(sD_y)-g(0) +g'(sD_y)\left( sy-sD_y \right)</math> (che è mostrata in figura).

[[File:For laplace method --- upper limit function m(x).gif|thumb|<math> m(x) </math> è la tangente in <math> x=sD_y </math>.]]

Dalla figura si può osservare che quando <math>s</math> o <math>D_y</math> diventa piccolo, la regione che soddisfa la precedente disuguaglianza diventa sempre più grande. Dunque, se si vuole trovare una <math>m(x)</math> adatta a coprire l'intera <math>f(x)</math> nell'intervallo di <math>(b_1)</math>, <math>D_y</math> deve avere un estremo superiore. Inoltre, siccome l'integrale <math>e^{-\alpha x}</math> è semplice, si userà per stimare l'errore relativo dovuto a <math>(b_1)</math>.

Usando lo sviluppo di Taylor, si ottiene

:<math>M\left[g(sD_y)-g(0)\right] = M\left[ \frac{g''(0)}{2}s^2D_y^2 +\frac{g'''(\xi)}{6}s^3D_y^3 \right] \,\, \text{con}\,\, \xi\in[0,sD_y] = -\pi D_y^2+\frac{(2\pi)^{3/2}g'''(\xi)D_y^3}{6\sqrt{M}|g''(0)|^{3/2}},</math>

e

:<math>Msg'(sD_y) = Ms\left(g''(0)sD_y +\frac{g'''(\zeta)}{2}s^2D_y^2\right), \qquad \text{con }\zeta\in[0,sD_y] = -2\pi D_y +\sqrt{\frac{2}{M}}\left( \frac{\pi}{|g''(0)|} \right)^{3/2}g'''(\zeta)D_y^2,</math>

e si sostituisce nel calcolo di <math>(b_1)</math>. Tuttavia, si trova che i resti dei due sviluppi sono entrambi inversamente proporzionali alla radice di <math>M</math>, perciò si tralasceranno per rendere più elegante il calcolo.

:<math>(b_1) \le \left|\left[ \frac{h(sy)}{h(0)} \right]_{\text{max}} e^{-\pi D_y^2}\int_0^{b/s-D_y}e^{-2\pi D_y y} dy \right| \le  \left|\left[ \frac{h(sy)}{h(0)} \right]_{\text{max}} e^{-\pi D_y^2}\frac{1}{2\pi D_y} \right|.</math>

In aggiunta, tenderà a zero quando <math>D_y</math> diventa arbitrariamente grande, ma non si dimentichi che il limite superiore di <math>D_y</math> deve essere considerato nel calcolo.

A proposito dell'integrazione vicino a <math>x=0</math>, si può usare anche il teorema di Taylor per calcolarlo. Quando <math>h'(0) \ne 0</math>

:<math>(c) \le \int_{-D_y}^{D_y} e^{-\pi y^2} \left| \frac{sh'(\xi)}{h(0)}y \right|\, dy < \sqrt{\frac{2}{\pi M |g''(0)|}} \left| \frac{h'(\xi)}{h(0)} \right|_\text{max} \left( 1-e^{-\pi D_y^2} \right)</math>

e si trova che è inversamente proporzionale a <math>\sqrt{M}</math>. Infatti, <math>(c)</math> avrà lo stesso comportamento quando <math>h(x)</math> è costante.

Infine, l'integrazione vicino al punto stazionario diventa piccola quando <math>\sqrt{M}</math> diventa grande, e le parti rimanenti tenderanno a zero fintanto che <math>D_y</math> è abbastanza grande, ma quest'ultimo ha un estremo superiore dovuto alla condizione che la funzione <math>m(x)</math> è sempre maggiore di <math>g(x)-g(0)</math> nella regione rimanente. Tuttavia, fino a che si trova un <math>m(x)</math> che soddisfa la condizione, l'estremo superiore di <math>D_y</math> può essere scelto direttamente proporzionale a <math>\sqrt{M}</math> poiché <math>m(x)</math> è la tangente di <math>g(x)-g(0)</math> in <math>x=sD_y</math>. Quindi, più grande è <math>M</math>, più può essere grande <math>D_y</math>.

==Estensione del metodo di Laplace: la discesa del gradiente==
{{Vedi anche|Discesa del gradiente}}

Un'estensione del metodo di Laplace all'[[analisi complessa]], insieme alla [[formula integrale di Cauchy]], è usata per trovare un contorno di "discesa più ripida" per un (asintoticamente per grandi <math>M</math>) integrale equivalente, espresso come un [[integrale di linea]]. In particolare, se non esistono punti sulla retta reale in cui la derivata di <math>f</math> si annulla, può essere necessario deformare in contorno di integrazione in uno ottimale, dove l'analisi discussa prima è possibile. Ancora l'idea principale è di ridurre, almeno in modo asintotico, il calcolo del dato integrale a uno più semplice e che quindi può essere valutato esplicitamente. Si veda il libro di Erdelyi (1956) per una semplice discussione (dove il metodo è chiamato "discesa del gradiente")

L'appropriata formulazione per il piano complesso è

:<math>\int_a^b\! e^{M f(z)}\, dz \approx\sqrt{\frac{2\pi}{-Mf''(z_0)}}e^{M f(z_0)},\qquad  \text{con } M\to+\infty.</math>

per un percorso passante attraverso il [[punto di sella]] in <math>z_0</math>. Da notare l'esplicita presenza di un segno meno ad indicare la direzione della derivata seconda: non se ne può prendere il modulo. Inoltre se la funzione integranda è [[funzione meromorfa|meromorfa]], si può dover aggiungere i residui corrispondenti ai poli attraversati durante la deformazione del contorno (vedere per esempio la sezione 3 dell'artico di Okounkov "''Symmetric functions and random partitions''").

==Note==
<references />

==Bibliografia==
* {{Cita pubblicazione|cognome=Azevedo-Filho|nome=A.|cognome2=Shachter|nome2=R.|anno=1994|capitolo=Laplace's Method Approximations for Probabilistic Inference in Belief Networks with Continuous Variables|curatore=Mantaras R.|titolo= Uncertainty in Artificial Intelligence|editore=Morgan Kaufmann|città=San Francisco, CA}}
* {{Cita pubblicazione|cognome=Deift|nome=P.|cognome2=Zhou|nome2=X.|anno=1993|titolo=A steepest descent method for oscillatory Riemann–Hilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation|periodico=Ann. of Math.|volume=137|numero=2|pp=295–368|doi=10.2307/2946540}}
* {{Cita pubblicazione|cognome=Erdelyi|nome=A.|anno=1956|titolo=Asymptotic Expansions|url=https://archive.org/details/asymptoticexpans0000erde_x0o5|editore=Dover}}
* {{Cita pubblicazione|cognome=Fog|nome=A.|anno=2008|titolo=Calculation Methods for Wallenius' Noncentral Hypergeometric Distribution|periodico=Communications in Statistics, Simulation and Computation|volume=37|numero=2|pp=258–273|doi=10.1080/03610910701790269}}
* {{Cita pubblicazione|cognome=Kamvissis|nome=S.|cognome2=McLaughlin|nome2=K. T.-R.|cognome3=Miller|nome3=P.|anno=2003|titolo=Semiclassical Soliton Ensembles for the Focusing Nonlinear Schrödinger Equation|periodico=Annals of Mathematics Studies|volume=154|editore=Princeton University Press}}
* Laplace, P. S. (1774). Memoir on the probability of causes of events. Mémoires de Mathématique et de Physique, Tome Sixième. (English translation by S. M. Stigler 1986. Statist. Sci., 1(19):364–378).
*{{Cita pubblicazione|nome=Xiang-Sheng |cognome=Wang|nome2=Roderick |cognome2=Wong|titolo= Discrete analogues of Laplace's approximation|rivista= Asymptot. Anal. |anno=2007 |volume=54 |numero=3-4|pp=165–180}}

==Voci correlate==
* [[Approssimazione di Stirling]]
* [[Integrale di Gauss]]
* [[Discesa del gradiente]]
* [[Teorema di Taylor]]

{{portale|matematica}}

[[Categoria:Analisi asintotica]]
[[Categoria:Analisi matematica]]