Disuguaglianza di Hardy sulle successioni
La '''disuguaglianza di Hardy sulle successioni''' è una [[disuguaglianza]], il cui nome deriva da [[G. H. Hardy]]. Essa afferma che se <math>a_1, a_2, a_3, \dots </math> è una [[successione (matematica)|successione]] di [[numero reale|numeri reali]] non identicamente nulli, allora per ogni numero reale <math>p>1</math> si ha

:<math>\sum_{n=1}^\infty \left (\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right )^p<\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\sum_{n=1}^\infty a_n^p.</math>

Una versione integrale della disuguaglianza afferma che se <math>f</math> è una [[funzione integrabile]] a valori non negativi, allora

:<math>\int_0^\infty \left (\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\, dt\right)^p\, dx\le\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx.</math>

L'uguaglianza vale [[se e solo se]] <math>f(x)=0</math> [[quasi ovunque]].

La disuguaglianza di Hardy fu per la prima volta pubblicata e dimostrata (anche se il caso discreto con una costante peggiore) nel 1920 in un commento di Hardy.<ref name=Hardy1920>{{Cita pubblicazione|cognome1= Hardy |nome1= G. H. |titolo= Note on a theorem of Hilbert | doi = 10.1007/BF01199965 |rivista= Mathematische Zeitschrift |volume= 6 |numero= 3–4 |pp= 314–317 |anno= 1920 }}</ref> La formulazione originale fu in una versione integrale leggermente diversa da quella sopra.

==Note==
<references />

==Bibliografia==
*{{Cita libro|cognome= Hardy
 |nome= G. H. |autore2=Littlewood J.E. |autore3=Pólya, G. 
 |titolo= Inequalities, 2nd ed
 |editore= Cambridge University Press
 |anno= 1952
 | isbn       = 0-521-35880-9 
}}

*{{Cita libro|cognome= Kufner
 |nome= Alois
 |autore2=Persson, Lars-Erik 
 |titolo= Weighted inequalities of Hardy type
 |editore= World Scientific Publishing
 |anno= 2003
 | isbn       = 981-238-195-3 
}}

* {{Cita pubblicazione|cognome=Masmoudi|nome=Nader|capitolo=About the Hardy Inequality|titolo=An Invitation to Mathematics|curatori=Dierk Schleicher, Malte Lackmann|anno=2011|editore=Springer Berlin Heidelberg|isbn=    978-3-642-19533-4}}

==Voci correlate==
* [[Disuguaglianza di Carleman]]
* [[Successione (matematica)|Successione]]

{{portale|matematica}}

[[Categoria:Disuguaglianze]]
[[Categoria:Successioni]]
[[Categoria:Calcolo integrale]]