Integrale di Borwein
Nella [[matematica]], un '''integrale di Borwein''' è un [[integrale]] che coinvolge prodotti di  <math>\mathrm{sinc}(ax)</math>, dove la [[funzione sinc]] è data da <math>\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}{x}</math> per <math>x\neq0</math>, e <math>\mathrm{sinc}(0)=1 </math>.<ref name=":0">Borwein, David; Borwein, Jonathan M. (2001), "Some remarkable properties of sinc and related integrals", ''The Ramanujan Journal'', '''5''' (1): 73–89, doi:[https://link.springer.com/article/10.1023%2FA%3A1011497229317 10.1023/A:1011497229317], ISSN [https://www.worldcat.org/title/ramanujan-journal-an-international-journal-devoted-to-the-areas-of-mathematics-influenced-by-ramanujan/oclc/906733977 1382-4090], MR [https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1829810 1829810]</ref><ref>Baillie, Robert (2011). "Fun With Very Large Numbers". arXiv:[https://arxiv.org/abs/1105.3943 1105.3943].</ref>

Questi integrali sono importanti per esibire schemi apparenti che, tuttavia, alla fine falliscono. Un esempio è ciò che segue, 
:<math>
\begin{align}
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx= \frac \pi 2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3} \, dx = \frac \pi 2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\frac{\sin(x/5)}{x/5} \, dx = \frac \pi 2
\end{align}
</math>
Questo schema continua fino a 
:<math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/13)}{x/13} \, dx = \frac \pi 2.</math>

Tuttavia, al passo successivo lo schema evidente fallisce,

: <math>
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/15)}{x/15} \, dx
 &= \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]
 &= \frac \pi 2 - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}~\pi \\[5pt]
 &\simeq \frac \pi 2 - 2.31\times 10^{-11}.
\end{align}
</math>

In generale, integrali analoghi valgono <math>\pi/2</math> ogni qualvolta che <math>3,5,7,\ldots</math> siano sostituiti da numeri reali positivi tali che la somma dei loro reciproci sia strettamente minore di 1.

Nell'esempio precedente, <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots + \frac{1}{13}<1</math>, ma <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots + \frac{1}{15}>1</math>.

L'esempio con una serie più estesa

:<math>\int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/111)}{x/111} \, dx = \frac \pi 2,</math>

con tuttavia

:<math>\int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/111)}{x/111}\frac{\sin(x/113)}{x/113} \, dx < \frac \pi 2,</math>

è mostrato in <ref>Schmid, Hanspeter (2014), [http://schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf "Two curious integrals and a graphic proof"] (PDF), ''Elemente der Mathematik'', '''69''' (1): 11–17, doi:[https://www.ems-ph.org/journals/show_abstract.php?issn=0013-6018&vol=69&iss=1&rank=2 10.4171/EM/239], ISSN [https://www.worldcat.org/title/elemente-der-mathematik-revue-de-mathematiques-elementaires/oclc/502998586 0013-6018]</ref>
insieme a una spiegazione matematica intuitiva del motivo per cui nella serie originale e in quella estesa lo schema fallisce. In questo caso, <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots + \frac{1}{111}<2</math>, ma <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots + \frac{1}{113}>2</math>.

== Formula generale ==
Data una sequenza di numeri reali, <math>a_0, a_1, a_2,\ldots</math>, si può fornire una formula generale per l'integrale <ref name=":0" />

: <math>\int_0^\infty \prod_{k=0}^n \frac{\sin(a_kx)}{a_kx} \, dx</math>

Per affermare la formula, serve considerare delle somme che coinvolgono <math>a_k</math>. In particolare, se <math>\gamma = (\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n)\in\{\pm 1\}^n</math> è una <math>n</math>-vettore dove ogni elemento è <math>\pm 1</math>, allora si scrive <math>b_{\gamma}=a_0+\gamma_1a_1+\gamma_2a_2+\cdots+\gamma_na_n</math>, che è una specie di somma alternata dei primi <math>a_k</math>, e si imposta <math>\varepsilon_\gamma=\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n</math>, che è anch'esso <math>\pm 1</math>. Con questa notazione, il valore dell'integrale di sopra è

: <math>\int_0^\infty \prod_{k=0}^n \frac{\sin(a_kx)}{a_kx} \, dx = \frac{\pi}{2a_0} C_n </math>

dove

: <math>C_n = \frac 1 {2^nn!\prod_{k=1}^na_k} \sum_{\gamma\in\{\pm 1\}^n} \varepsilon_\gamma b_\gamma^n \sgn(b_\gamma) </math>

Nel caso in cui <math>a_0 > |a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n| </math>, si ha <math>C_n=1 </math>.

Inoltre, se esiste un <math>n </math> tale che per ogni <math>k=0,\ldots,n-1 </math> si ha <math>0<a_n < 2a_k </math> e <math>a_1+a_2+\cdots+a_{n-1} < a_0 < a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n </math>, cioè che <math>n</math> è il primo valore per cui la somma dei primi <math>n</math> elementi della sequenza supera <math>a_0</math>, allora <math>C_k=1 </math> per ogni <math>k=0,\ldots,n-1 </math> ma

: <math>C_n = 1 - \frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n-a_0)^n}{2^{n-1}n! \prod_{k=1}^na_k} </math>

Il primo esempio è il caso in cui <math>a_k=\frac{1}{2k+1} </math>. Da notare che se <math>n=7 </math> allora <math>a_7=\frac{1}{15} </math> e <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\approx 0.955 </math> ma <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{15}\approx 1.02 </math>, quindi poiché <math>a_0=1 </math>, si ottiene

: <math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)} x \frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/13)}{x/13} \, dx = \frac \pi 2 </math>

che rimane vera se si toglie qualunque fattore, tuttavia

: <math>
\begin{align}
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)} x \frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/15)}{x/15} \, dx \\[5pt]
= {} & \frac{\pi}{2}\left(1-\frac{(3^{-1} + 5^{-1} + 7^{-1} + 9^{-1} + 11^{-1} + 13^{-1} + 15^{-1}-1)^7}{2^6\cdot 7! \cdot (1/3 \cdot 1/5 \cdot 1/7 \cdot 1/9 \cdot 1/11 \cdot 1/13 \cdot 1/15)}\right)
\end{align}
</math>

che è uguale al valore dato precedentemente.

== Bug di Maple ==
Fu schedato come bug per il supporto [[Maple]]. Ci sono voluti tre giorni allo sviluppatore Jacques Carette per capire che non fosse un errore <ref>https://mathoverflow.net/questions/11517/computer-algebra-errors/11607#comment28278_11607</ref>.

==Note==
<references />

==Voci correlate==
* [[Funzione sinc]]
* [[Integrale improprio]]
* [[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche]]

{{portale|matematica}}

[[Categoria:Calcolo integrale]]