Lemma di Kronecker
In [[matematica]], il '''lemma di Kronecker''' è un risultato sulla relazione tra la convergenza di una [[successione (matematica)|successione]] e la convergenza di una particolare [[serie (matematica)|serie]] relativa ad essa. <ref>[[Albert Shiryaev|Shiryaev, Albert N.]] (1996). Probability (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-94549-0.</ref> Il lemma è spesso utilizzato nelle dimostrazioni di teoremi sulle somme di variabili aleatorie indipendenti, come la [[legge dei grandi numeri]]. Il nome del lemma è dovuto al matematico tedesco [[Leopold Kronecker]].

== Il lemma ==
Se <math>(x_n)_{n=1}^\infty</math> è una successione infinita di [[Numero reale|numeri reali]] tale che
:<math>\sum_{m=1}^\infty x_m = s</math> 
esiste ed è finito, allora per ogni successione crescente <math>0<b_1 \leq b_2 \leq b_3 \leq \ldots</math> e <math>b_n \to \infty</math> si ha che
:<math>\lim_{n \to \infty}\frac1{b_n}\sum_{k=1}^n b_kx_k = 0.</math>

===Dimostrazione===
Siano <math>S_k</math> le somma parziali della successione <math>x_n</math>. Usando la [[sommazione per parti]],
: <math>\frac1{b_n}\sum_{k=1}^n b_k x_k = S_n - \frac1{b_n}\sum_{k=1}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)S_k</math>
Preso un <math>\epsilon>0</math>, si sceglie <math>N</math> in modo che <math>|S_k-s|<\epsilon</math> per ogni <math>k>N</math>, sempre possibile poiché la successione converge a <math>s</math>. Allora il membro destro è:
: <math>S_n - \frac1{b_n}\sum_{k=1}^{N-1}(b_{k+1} - b_k)S_k - \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)S_k</math>
: <math>= S_n - \frac1{b_n}\sum_{k=1}^{N-1}(b_{k+1} - b_k)S_k - \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)s - \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)(S_k - s)</math>
: <math>= S_n - \frac1{b_n}\sum_{k=1}^{N-1}(b_{k+1} - b_k)S_k - \frac{b_n-b_N}{b_n}s - \frac1{b_n}\sum_{k=N}^{n-1}(b_{k+1} - b_k)(S_k - s).</math>
Ora, facendo tendere <math>n</math> all'infinito, il primo termine tende a <math>s</math>, che si cancella con il terzo. Il secondo termine va a zero (poiché la [[sommatoria]] è su un numeri finito di termini). Dal momento che la successione <math>b</math> è crescente, l'ultimo addendo è maggiorato da <math>\epsilon (b_n - b_N)/b_n \leq \epsilon</math>. Quindi riassumendo, per ogni <math>\epsilon>0</math> si può trovare un <math>N</math> tale che 
:<math>\left|\frac1{b_n}\sum_{k=1}^n b_k x_k \right| < \epsilon</math>
per ogni <math>n>N</math>, e allora per definizione di [[limite (matematica)|limite di una successione]] si ha che
:<math>\lim_{n \to \infty}\frac1{b_n}\sum_{k=1}^n b_kx_k = 0.</math>

==Note==
<references/>

==Voci correlate==
* [[Legge dei grandi numeri]]
* [[Teorema delle tre serie di Kolmogorov]]
* [[Sommazione per parti]]

{{portale|matematica}}

[[Categoria:Serie matematiche]]
[[Categoria:Lemmi]]
[[Categoria:Teoria della probabilità]]