1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ...
In [[matematica]], la [[serie]] indeterminata

:<math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k!</math>

fu considerata per la prima volta da [[Eulero]], che applicò i metodi di sommabilità per assegnare un valore finito a questa serie.<ref>{{Cita pubblicazione|cognome=Euler |nome=Leonhard |wkautore= Eulero |anno=1760 |titolo=De seriebus divergentibus |titolotradotto=On divergent series |rivista=Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae |numero=5 |pp=205–237 |arxiv=1202.1506 |url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E247.html}}</ref> La serie è la somma alternata dei [[fattoriale|fattoriali]], cioè che alternativamente sono sommati o sottratti. Un modo di assegnare un valore a questa serie è usando la [[somma di Borel]], con cui si scrive che 

:<math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k! = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \int_0^\infty x^k e^{-x} \, dx</math>

Se si scambiano la [[sommatoria]] e l'integrale (ignorando che nessuno dei due membri converge), si ottiene:

:<math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k! = \int_0^\infty \left[\sum_{k=0}^\infty (-x)^k \right]e^{-x} \, dx</math>

La sommatoria nelle parentesi quadrate converge ed è uguale a <math>1/(1+x)</math> se <math>|x|<1</math>. Se si prolunga analiticamente <math>1/(1+x)</math> ad ogni <math>x</math> reale, si ricava un integrale convergente per la serie:

: <math>
\begin{align}
\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k} k! & = \int_0^\infty \frac{e^{-x}}{1+x} \, dx \\[4pt]
& = e E_1 (1) \approx 0.596\,347\,362\,323\,194\,074\,341\,078\,499\,369\ldots
\end{align}
</math>

dove <math>E_1(z)</math> è la [[funzione integrale esponenziale]]. Questa è per definizione la somma di Borel della serie.

==Derivazione==
Si consideri il sistema formato da queste due equazioni differenziali

:<math>\dot{x}(t) = x(t) - y(t),\qquad \dot{y}(t)=-y(t)^{2}</math>

dove i punti indicano le derivate rispetto a <math>t</math>.

La soluzione con equilibrio stabile in <math>(x,y)=(0,0)</math> con <math>t\to\infty</math> è <math>y(t)=1/t</math>, e sostituendola nella prima equazione si ottiene una soluzione nella forma di [[serie formale di potenze]]

:<math>x(t) = \sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n+1}\frac{(n-1)!}{t^{n}}</math>

Si osservi che <math>x(1)</math> è precisamente la serie dei fattoriali alternati.

D'altra parte, il sistema di equazioni differenziali ha soluzione

:<math>x(t) = e^{t}\int^{\infty}_{t}\frac{e^{-u}}{u}\,du.</math>

Attraverso [[integrazione per parti|integrazioni per parti]] successive, la [[serie di potenze]] formali diventa uno [[sviluppo asintotico]] dell'espressione di <math>x(t)</math>. Eulero argomentò (più o meno) che uguagliando si ha

:<math> \sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n+1}(n-1)! = e\int^{\infty}_{1}\frac{e^{-u}}{u}\,du.</math>

==Note==
<references />

==Bibliografia==
* {{Cita pubblicazione|cognome=Kline |nome=Morris |titolo=Euler and Infinite Series |volume=56 |numero=5 |data=Novembre 1983 |pp=307–313 |rivista=Mathematics Magazine |jstor=2690371 |doi=10.2307/2690371}}
* {{Cita pubblicazione|cognome=Kozlov |nome=V. V. |anno=2007 |titolo=Euler and mathematical methods in mechanics |rivista=Russian Mathematical Surveys |numero=4 |volume=62 |pp=639–661 |url=http://www.mi.ras.ru/~vvkozlov/fulltext/199_e.pdf |formato=PDF |doi=10.1070/rm2007v062n04abeh004427}}
* {{Cita pubblicazione|cognome1=Leah |nome1=P. J. |cognome2=Barbeau |nome2=E. J. |titolo=Euler's 1760 paper on divergent series |rivista=Historia Mathematica |volume=3 |numero=2 |data=Maggio 1976 |pp=141–160 |doi=10.1016/0315-0860(76)90030-6}}

==Voci correlate==
* [[Serie sommativa unitaria]]
* [[Serie di Grandi]]
* [[1 + 2 + 3 + 4 + · · ·|1 + 2 + 3 + 4 + ⋯]]
* [[1 + 2 + 4 + 8 + ...|1 + 2 + 4 + 8 + ⋯]]
* [[1 − 2 + 3 − 4 + · · ·|1 − 2 + 3 − 4 + ⋯]]
* [[1 − 2 + 4 − 8 + · · ·|1 − 2 + 4 − 8 + ⋯]]
* [[Successione di Fibonacci|1 + 1 + 2 + 3 + ⋯]]

{{Serie (matematica)|state=collapsed}}
{{portale|matematica}}

[[Categoria:Serie matematiche]]