Teorema di inversione di Lagrange
Nell'[[analisi matematica]], il '''teorema di inversione di Lagrange''', anche conosciuto come la '''formula di Lagrange–Bürmann''', fornisce l'espansione in [[serie di Taylor]] dell'[[funzione inversa|inversa]] di una [[funzione analitica]].

==Enunciato==

Sia <math>z</math> definita come una funzione di <math>w</math> tramite un'equazione nella forma

:<math>z = f(w)</math>

dove <math>f</math> è analitica nel punto <math>w=a</math> e inoltre <math>f'(a)\neq0</math>. Allora è possibile ''invertire'' o ''risolvere'' l'equazione per <math>w</math> nella forma di una serie in termini di <math>z</math>, ovvero<ref>{{Cita libro|curatori=M. Abramowitz, I. A. Stegun |titolo=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables |capitolo=3.6.6. Lagrange's Expansion |città=New York |editore=Dover |p=14 |anno=1972 |url=http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_14.htm}}</ref>

:<math> 
  w = a + \sum_{n=1}^{\infty} g_n \frac{(z - f(a))^n}{n!},
 </math>

dove

:<math>
  g_n = \lim_{w \to a}\left[
\frac{d^{n-1}}{dw^{n-1}}
\left( \frac{w-a}{f(w) - f(a)} \right)^n\right].
</math>

Il teorema afferma inoltre che la serie ha un raggio di convergenza non nullo, ossia che rappresenta una funzione analitica di <math>z</math> (che si potrebbe indicare con <math>g(z)</math> in un [[intorno]] di <math>z= f(a)</math>. Questo procedimento è anche chiamato ''reversione delle serie''.

Se l'ipotesi di analiticità della funzione non è verificata, la formula è ancora valida per [[serie formale di potenze|serie formali di potenze]] e può essere generalizzata in numerosi modi. Può essere formulata per funzioni di più variabili, può essere estesa per fornire una formula pronta per <math>F(g(z))</math> per qualunque funzione analitica <math>F</math>, e infine generalizzata al caso <math>f'(a)=0</math>, dove l'inversa <math>g</math> è una [[funzione polidroma]].

Il teorema fu dimostrato da [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]]<ref>{{Cita pubblicazione |autore=Lagrange, Joseph-Louis |anno=1770 |titolo=Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries |rivista=Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin |volume=24 |pp=251–326 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=41070 |urlmorto=sì |accesso=2 aprile 2018 |urlarchivio=https://archive.today/20120630182344/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=41070 }} (Note:  Although Lagrange submitted this article in 1768, it was not published until 1770.)</ref> e generalizzato da Hans Heinrich Bürmann,<ref>Bürmann, Hans Heinrich, "Essai de calcul fonctionnaire aux constantes ad-libitum," submitted in 1796 to the Institut National de France. For a summary of this article, see: {{Cita libro|curatore=Hindenburg, Carl Friedrich |titolo=Archiv der reinen und angewandten Mathematik |titolotradotto=Archive of pure and applied mathematics |città=Leipzig, Germany |editore=Schäferischen Buchhandlung |anno=1798 |volume=2 |capitolo=Versuch einer vereinfachten Analysis; ein Auszug eines Auszuges von Herrn Bürmann |capitolotradotto=Attempt at a simplified analysis; an extract of an abridgement by Mr. Bürmann |pp=495–499 |urlcapitolo=https://books.google.com/books?id=jj4DAAAAQAAJ&pg=495#v=onepage&q&f=false}}</ref><ref>Bürmann, Hans Heinrich, "Formules du développement, de retour et d'integration," submitted to the Institut National de France. Bürmann's manuscript survives in the archives of the École Nationale des Ponts et Chaussées [National School of Bridges and Roads] in Paris. (See ms. 1715.)</ref><ref>A report on Bürmann's theorem by Joseph-Louis Lagrange and Adrien-Marie Legendre appears in:  [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3217h.image.f22.langFR.pagination "Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Burmann,"] ''Mémoires de l'Institut National des Sciences et Arts: Sciences Mathématiques et Physiques'', vol. 2, pages 13–17 (1799).</ref>, entrambi nel tardo XVIII secolo. C'è una chiara derivazione usando l'[[analisi complessa]] e l'integrazione sui contorni;<ref>[[E. T. Whittaker]] and G. N. Watson. ''A Course of Modern Analysis''. Cambridge University Press; 4th edition (January 2, 1927), pp. 129–130</ref> la versione delle serie formali di potenze complesse è una conseguenza della conoscenza della formula per i polinomi, perciò la teoria delle funzioni analitiche può essere applicata.

Se <math>f</math> è una serie formale di potenze, allora la formula sopra non dà i coefficienti dell'inversa moltiplicativa <math>g</math> direttamente in termini dei coefficienti di <math>f</math>. Se è possibile esprimere le funzioni <math>f</math> e <math>g</math> in serie formali di potenze come

:<math>f(w) = \sum_{k=0}^\infty f_k \frac{w^k}{k!} \qquad \mathrm{e}  \qquad  g(z) = \sum_{k=0}^\infty g_k \frac{z^k}{k!}</math>

con <math>f_0 = 0</math> e <math>f_1\neq0</math>, allora una forma esplicita dei coefficienti inversi può essere data in termini dei [[polinomi di Bell]]:<ref>Eqn (11.43), p. 437, C.A. Charalambides, ''Enumerative Combinatorics,'' Chapman & Hall / CRC, 2002</ref>

:<math> g_n = \frac{1}{f_1^n} \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k n^{(k)} B_{n-1,k}(\hat{f}_1,\hat{f}_2,\ldots,\hat{f}_{n-k}), \quad n \geq 2, </math>
dove <math> \hat{f}_k = \frac{f_{k+1}}{(k+1)f_{1}},</math> &nbsp;&nbsp; <math> g_1 = \frac{1}{f_{1}},</math> &nbsp; e &nbsp; <math>n^{(k)} = n(n+1)\cdots (n+k-1), </math>&nbsp; essendo il [[fattoriale crescente]].

Quando <math>f_1 = 1</math>, l'ultima formula può essere interpretata in termini delle facce dell'[[associaedro]]<ref>Aguiar, Marcelo; Ardila, Federico (2017). "Hopf monoids and generalized permutahedra". arXiv: [https://arxiv.org/abs/1709.07504 1709.07504]</ref>

:<math> g_n = \sum_{F \text{ facce di } K_n} (-1)^{n-\dim F} f_F , \quad n \geq 2, </math>

con <math> f_{F} = f_{i_{1}} \cdots f_{i_{m}} </math> per ogni faccia <math> F = K_{i_1} \times \cdots \times K_{i_m} </math> dell'associaedro <math> K_n </math>.

==Esempio==
Per esempio, l'equazione algebrica di grado <math>p</math> nella forma 
:<math> x^p - x + z= 0</math>
può essere risolta in <math>x</math> mediante la formula di inversione di Lagrange applicata alla funzione <math>f(x)=x - x^p</math>, portando alla soluzione in serie formale

:<math>  x=\sum_{k=0}^\infty {pk\choose k} \frac{z^{(p-1)k+1} }{(p-1)k+1} . </math>

Dai test di convergenza, questa serie è infatti convergente per <math>|z|\leq (p-1)p^{-p/(p-1)}</math>,  che è anche il più grande disco in cui un'inversa locale di <math>f</math> può essere definita.

==Applicazioni==

===Formula di Lagrange–Bürmann===

Esiste un caso speciale del teorema di inversione di Lagrange che è usato in [[combinatoria]] e applicato quando <math>f(w)=w/\phi(w)</math> per qualche funzione analitica <math>\phi(w)</math> con <math>\phi(0)\ne 0</math>. Prendendo <math>a=0</math> si ottiene <math>f(a)=f(0)=0</math> e inoltre

:<math>
  g(z) =
  \sum_{n=1}^{\infty}
   \left( \lim_{w \to 0}
    \left(  \frac {\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}w^{n-1}}
    \left( \frac{w}{w/\phi(w)} \right)^n
   \right)
  \frac{z^n}{n!}
 \right)
</math>

:<math>=
  \sum_{n=1}^{\infty}
  \frac{1}{n}
   \left(
   \frac{1}{(n-1)!}
   \lim_{w \to 0} \left(
   \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}w^{n-1}}
   \phi(w)^n
  \right)
 \right)
 z^n,
</math>

che alternativamente può essere scritta come

:<math>[z^n] g(z) = \frac{1}{n} [w^{n-1}] \phi(w)^n,</math>

dove <math>[w^r]</math> è un operatore che estrae i coefficienti di <math>w^r</math> nella serie di Taylor di una funzione di <math>w</math>.

Una generalizzazione utile della formula è conosciuta come '''formula di Lagrange–Bürmann''':
:<math>[z^n] H (g(z)) = \frac{1}{n} [w^{n-1}] (H' (w) \phi(w)^n)</math>

dove <math>H</math> è un'arbitraria funzione analitica.

A volte, la derivata <math>H'(w)</math> può essere piuttosto complicata, così una versione più semplice della formula sostituisce <math>H'(w)</math> con <math>H (w)(1-\phi'(w)/\phi(w))</math> per ottenere

:<math> [z^n] H (g(z)) = [w^n] H(w) \phi(w)^{n-1} (\phi(w) - w \phi'(w)),  </math>

che coinvolge <math>\phi'(w)</math> invece di <math>H'(w)</math>.

===Funzione W di Lambert===

{{Vedi anche|Funzione W di Lambert}}
La funzione W di Lambert è una funzione <math>W(z)</math> che è implicitamente definita dall'equazione

:<math> W(z) e^{W(z)} = z</math>

È possibile usare il teorema per calcolare i coefficienti della serie di taylor di <math>W(z)</math> in <math>z=0</math>.
Prendendo <math>f(w) = w \mathrm{e}^w</math>, <math>a = f(a) = 0</math> e riconoscendo che
:<math>
\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\ \mathrm{e}^{\alpha\,x}\,=\,\alpha^n\,\mathrm{e}^{\alpha\,x}
</math>

si ottiene
:<math>
  W(z) =
  \sum_{n=1}^{\infty}
  \lim_{w \to 0} \left(
   \frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d}w^{\,n-1}}\ \mathrm{e}^{-nw}
  \right)
  { \frac{z^n}{n!}}\,=\, \sum_{n=1}^{\infty}
  (-n)^{n-1}\, \frac{z^n}{n!}=z-z^2+\frac{3}{2}z^3-\frac{8}{3}z^4+O(z^5).
</math>

Il [[raggio di convergenza]] di questa serie è  <math>e^{-1}</math> (questo esempio si riferisce al ramo principale della funzione di Lambert).

Una serie che converge per <math>z</math> maggiori (sebbene non per tutti) può essere derivata dall'inversione della serie di un'altra funzione.  La funzione <math>f(z) = W(e^z) - 1\,</math> soddisfa l'equazione

:<math>1 + f(z) + \ln (1 + f(z)) = z\,</math>

Allora <math>z + \ln (1 + z)\,</math> si può espandere in serie di potenze e invertirla. Questo da una serie per <math>f(z+1) = W(e^{z+1})-1\,</math>:

:<math>W(e^{1+z}) = 1 + \frac{z}{2} + \frac{z^2}{16}
- \frac{z^3}{192}
- \frac{z^4}{3072}
+ \frac{13 z^5}{61440}
- \frac{47 z^6}{1474560}
- \frac{73 z^7}{41287680}
+ \frac{2447 z^8}{1321205760} + O(z^9).</math>

<math>W(x)</math> si calcola sostituendo <math>\ln x - 1</math> al posto di <math>z</math> nella serie di sopra. Per esempio, sostituendo <math>x=1</math> e quindi <math>z=-1</math> si ha il valore di <math>W(1) = 0.567143</math>.

===Alberi binari===
Si consideri l'insieme <math>\mathcal{B}</math> degli [[albero binario|alberi binari]] non etichettati.
Un elemento di <math>\mathcal{B}</math> è o una foglia di grandezza nulla, oppure una radice con due sottoalberi. <math>B_n</math> denota il numero di alberi binari con <math>n</math> nodi.
 
Si noti che rimuovere la radice divide l'albero binario in due alberi di grandezza più piccola. Questo fornisce l'equazione funzionale della funzione generatrice <math>B(z) = \sum_{n=0}^\infty B_n z^n</math>:
:<math>B(z) = 1 + z B(z)^2.</math>

Ponendo <math>C(z) = B(z) - 1</math>, si ha così <math>C(z) = z (C(z)+1)^2</math>. Ora applicando il teorema di inversione alla funzione <math>\phi(w) = (w+1)^2</math>,
:<math> B_n = [z^n] C(z) = \frac{1}{n} [w^{n-1}] (w+1)^{2n}
= \frac{1}{n} {2n \choose n-1} =  \frac{1}{n+1} {2n \choose n}.</math>

Si conclude così che <math>B_n</math> è un [[numero di Catalan]].

=== Approssimazione asintotica di integrali ===
Nel teorema di Laplace-Erdelyi che fornisce l'approssimazione asintotica per [[metodo di Laplace|integrali del tipo di Laplace]], l'inversione della funzione è un passo cruciale del procedimento.

==Note==
<references/>

==Voci correlate==
* [[Serie di Taylor]]
* [[Funzione W di Lambert]]
* [[Serie formale di potenze]]

== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}

{{portale|matematica}}

[[Categoria:Analisi matematica]]
[[Categoria:Serie matematiche]]