Rapporto tra arte e matematica
Il '''rapporto tra arte e matematica''' non appare a prima vista evidente, ma gli intrecci e le convergenze fra queste due sfere della cultura umana sono stati nel corso della storia numerosi, profondi e fecondi.<ref name=":3">{{Cita libro|autore=[[Walter Maraschini]]|autore2=[[Mauro Palma]]|titolo=Enciclopedia della Matematica|edizione=Edizione speciale per il Corriere della Sera|collana=Le Garzantine|anno=2014|editore=Garzanti|p=|volume=A-L}}</ref> La [[matematica]] è stata descritta come un'[[arte]] motivata dalla [[bellezza]], e può essere riconosciuta in arti come la [[musica]], la [[danza]], la [[pittura]], l'[[architettura]], la [[scultura]], e la [[Design della moda|moda]]. Questo articolo si concentra, tuttavia, sulla presenza della matematica nelle [[arti visive]].

== Dall'Antichità al Rinascimento ==
=== Il ''Canone'' di Policleto ===
[[File:Doryphoros_MAN_Napoli_Inv6011-2.jpg|miniatura|Policleto, Doriforo, ca 450 a.C.
Copia romana in marmo da originale bronzeo, altezza 212&nbsp;cm. Napoli, Museo Archeologico Nazionale.
]]
Nell'[[antica Grecia]] il modello della figura umana era il dio [[Apollo]], che rappresentava la bellezza ideale. Era bello perché il suo corpo si conformava a certe leggi della proporzione sottostanti alla divina "bellezza" della matematica.<ref name=":0">{{Cita libro|nome=Giampaolo|cognome=Beltrame|titolo=Il disegno del figurino di moda. Per gli Ist. Professionali|url=https://books.google.it/books?id=EK-FAAAACAAJ&dq=beltrame+figurino+di+moda&hl=it&sa=X&ved=0ahUKEwjO8cf81NXZAhVI46QKHVWRCJ8Q6AEIJzAA|accesso=5 marzo 2018|data=1987|editore=Paradigma|ISBN=9788881040438}}</ref> Ma i più antichi nudi dell'arte greca arcaica sono rigidi e i passaggi tra le varie parti dei loro corpi sono goffi ed improvvisi e hanno una strana piattezza.<ref name=":0" />

A poco a poco, nel VI secolo a.C., si svilupparono i modelli che dovevano soddisfare il nostro concetto occidentale di bellezza. Il primo canone dettato da ferree leggi geometriche è quello, famosissimo, del ''[[Doriforo|Doríforo]]'' di [[Policleto]] (V secolo a.C.) che, ancor oggi, è preso come modello ideale dalla maggior parte degli artisti. Policleto diceva che «un lavoro ben fatto è il risultato di numerosi calcoli che arrivano fino allo spessore di un capello».<ref name=":0" />

Le idee sulle perfette proporzioni del corpo umano furono compendiate dallo scultore in un trattato, il ''[[Canone di Policleto|Canone]]'' (dal greco ''kanòn'', norma, regola), di cui, purtroppo, sono arrivati sino a noi solo tre frammenti.<ref name=":1">{{Cita libro|nome=Giorgio|cognome=Cricco|nome2=Francesco P. Di|cognome2=Teodoro|titolo=Il cricco di Teodoro. Itinerario nell'arte. Ediz. arancione. Per le Scuole superiori. Con espansione online: 1|url=https://www.amazon.it/Itinerario-nellarte-arancione-superiori-espansione/dp/880821320X/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1520269833&sr=8-1&keywords=il+cricco+di+teodoro+arancione+1|accesso=5 marzo 2018|data=6 luglio 2010|editore=Zanichelli|ISBN=9788808213204}}</ref> Secondo il canone policleteo ogni elemento del corpo umano doveva essere rappresentato proporzionalmente a tutti gli altri. In particolare, la testa doveva essere circa <math>\tfrac{1}{8}</math> dell'intero corpo, il busto doveva corrispondere a tre teste e le gambe a quattro (infatti: <math>1+3+4=8</math>).<ref name=":1" /> Il canone proporzionale greco era quindi diverso da quello egizio. Gli egizi possedevano dei reticoli a maglie quadrettate uguali che prescrivevano misure quantitative fisse.<ref name=":2">{{Cita libro|nome=Umberto|cognome=Eco|titolo=Storia della bellezza. Ediz. illustrata|url=https://www.amazon.it/Storia-della-bellezza-Ediz-illustrata/dp/8845272133/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1520273492&sr=1-1&keywords=storia+della+bellezza+umberto+eco|accesso=5 marzo 2018|data=3 ottobre 2012|editore=Bompiani|p=|ISBN=9788845272134}}</ref> Nel ''Canone'' di Policleto, invece, non ci sono più unità fisse: la testa starà al corpo come il corpo starà alle gambe, e così via.<ref name=":2" />

Alcuni studiosi sostengono che il [[Pitagorismo|pensiero pitagorico]] abbia influenzato il ''Canone'' di Policleto.<ref>{{Cita pubblicazione|nome=J. E.|cognome=Raven|data=1951/07|titolo=Polyclitus and Pythagoreanism|rivista=The Classical Quarterly|volume=1|numero=3-4|pp=147–152|lingua=en|accesso=5 marzo 2018|doi=10.1017/S0009838800004122|url=https://www.cambridge.org/core/journals/classical-quarterly/article/polyclitus-and-pythagoreanism/7747478D37843174A053EA74BDB222C3}}</ref> Il ''Canone'' applica i concetti basilari della geometria greca, come la misura, la proporzione e la simmetria, e la volge in un sistema capace di descrivere la figura umana attraverso una serie di progressioni geometriche continue.<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Richard|cognome=Tobin|data=1975|titolo=The Canon of Polykleitos|rivista=American Journal of Archaeology|volume=79|numero=4|pp=307–321|accesso=5 marzo 2018|doi=10.2307/503064|url=https://www.jstor.org/stable/503064}}</ref>

==== Il canone di Lisippo ====
Gli artisti del [[Rinascimento]] seguirono, com'è logico, i canoni dei Greci, ed in particolare diedero la preferenza a quello di [[Lisippo]], tramandatoci nell'opera di [[Marco Vitruvio Pollione|Vitruvio]].<ref name=":5">{{Cita libro|autore=Angelo Morelli|autore2=Giovanni Morelli|titolo=Anatomia per gli artisti|edizione=9|anno=1977|editore=Fratelli Lega Editori|p=}}</ref> In questo canone il modulo è l'altezza della testa, e le regole sono le seguenti:<ref name=":5" />
* L'altezza della faccia si divide in tre parti uguali: una compresa fra il mento e la base del naso; una seconda fra la base e la radice del naso; ed una terza fra la radice del naso e l'impianto dei capelli.
* L'altezza della faccia, dalla base del mento alla linea d'impianto dei capelli, è uguale alla decima parte dell'altezza del corpo.
* L'altezza totale della testa è uguale all'ottava parte dell'altezza del corpo.
* L'insieme dell'altezza della testa e del collo corrisponde alla lunghezza del piede, e ad un sesto dell'altezza del corpo.
* L'ombelico si trova al centro del corpo.
* L'altezza del corpo è uguale alla dimensione delle braccia aperte in croce.
[[Leonardo da Vinci]] seguì la regola di Lisippo secondo cui l'altezza della testa è uguale all'ottava parte dell'altezza totale del corpo.<ref name=":5" /> [[Albrecht Dürer]] compose un trattato delle proporzioni del corpo umano, assai complicato ed oscuro; e numerosi altri artisti si occuparono di questo problema (per esempio [[Ludovico Dolce|Lodovico Dolce]], nel ''[[Dialogo della pittura]]'' del 1577).<ref name=":5" />

=== La sezione aurea ===
Il [[Modulo (architettura)|modulo]], il [[Canone (arte)|canone]] e la [[sezione aurea]] costituiscono i modelli o paradigmi su cui si regge l'[[Arte greca classica|arte classica]].<ref name=":3" /> La sezione aurea, in particolare, è la divisione di un segmento in due parti tali che la parte maggiore sia medio proporzionale fra l'intero segmento e la parte minore.<ref name=":6">{{Cita libro|autore=Walter Maraschini|autore2=Mauro Palma|titolo=Enciclopedia della Matematica|edizione=Edizione speciale per il Corriere della Sera|collana=Le Garzantine|anno=2014|editore=Garzanti|p=|volume=M-Z}}</ref> In forma [[Algebra|algebrica]], il numero aureo <math>\Phi</math> equivale a <math>\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}</math>, in quella decimale a <math>\approx 1,618</math>.<ref>{{Cita web|url=https://oeis.org/A001622|titolo=A001622 - OEIS|sito=oeis.org|accesso=5 marzo 2018}}</ref> [[Platone]], nel ''[[Timeo (dialogo)|Timeo]]'', descrive cinque possibili solidi regolari (i [[Solido platonico|solidi platonici]]), alcuni dei quali sono correlati alla sezione aurea.<ref>{{Cita web|url=http://classics.mit.edu/Plato/timaeus.html|titolo=The Internet Classics Archive {{!}} Timaeus by Plato|sito=classics.mit.edu|accesso=5 marzo 2018}}</ref> Ma sarà [[Euclide]] a darne una prima definizione negli ''[[Elementi (Euclide)|Elementi]]''.<ref>{{Cita web|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookII/propII11.html|titolo=Euclid's Elements, Book II, Proposition 11|sito=aleph0.clarku.edu|accesso=5 marzo 2018}}</ref>
[[File:Laon_Cathedral's_regulator_lines.jpg|miniatura|Frederik Macody Lund afferma che sia possibile riconoscere la sezione aurea nella Cattedrale di Laon.]]
La presenza del numero aureo è stata considerata fin dall'[[Storia antica|Antichità]] come caratteristica di armonia.<ref name=":4">{{Cita libro|nome=Massimo|cognome=Bergamini|nome2=Anna|cognome2=Trifone|nome3=Graziella|cognome3=Barozzi|titolo=Matematica.blu. Algebra. Geometria. Probabilità. Per le Scuole superiori. Con espansione online: 2|url=https://www.amazon.it/Matematica-blu-Geometria-Probabilit%C3%A0-superiori-espansione/dp/8808211525/ref=sr_1_3?ie=UTF8&qid=1520279842&sr=8-3&keywords=matematica+blu+2|accesso=5 marzo 2018|data=11 maggio 2010|editore=Zanichelli|ISBN=9788808211521}}</ref> Per questo il numero aureo è stato utilizzato nell'[[arte]], nell'[[architettura]], nella [[musica]], ed è stato ricercato nei fenomeni naturali:
* Secondo vari [[Piramidologia|piramidologi]], tra cui [[Charles Funck-Hellet]], la [[Grande piramide di Giza|Grande Piramide di Giza]] (costruita nel 2570 a.C. circa) mostra la sezione aurea.<ref>{{Cita libro|nome=William|cognome=Lidwell|nome2=Kritina|cognome2=Holden|nome3=Jill|cognome3=Butler|titolo=Universal Principles of Design, Revised and Updated: 125 Ways to Enhance Usability, Influence Perception, Increase Appeal, Make Better Design Decisions, and Teach through Design|url=https://www.amazon.com/Universal-Principles-Design-Revised-Updated/dp/1592535879/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1520280568&sr=8-1&keywords=Universal+Principles+of+Design|accesso=5 marzo 2018|edizione=2|data=1º gennaio 2010|editore=Rockport Publishers|lingua=En|p=|ISBN=9781592535873}}</ref> [[John F. Pile]], professore di [[Design degli interni|interior design]] e [[storico]], afferma che «gli egiziani la conoscevano e certamente la usavano».<ref>{{Cita libro|nome=John F.|cognome=Pile|titolo=A History of Interior Design|url=https://www.amazon.com/History-Interior-Design-John-Pile/dp/0470228881|accesso=5 marzo 2018|edizione=3|data=24 febbraio 2009|editore=Wiley|lingua=En|p=|ISBN=9780470228883}}</ref>
* Nella facciata del [[Partenone]] (V secolo a.C.), il principale tempio dell'[[acropoli]] di [[Atene]], si possono trovare diversi [[Rettangolo aureo|rettangoli aurei]].<ref name=":4" /><ref>{{Cita libro|nome=H. E.|cognome=Huntley|titolo=The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty|url=https://www.amazon.it/Divine-Proportion-Mathematical-Mathematics-1970-09-01/dp/B01K0V1YTE/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1520279915&sr=1-1&keywords=Huntley,+H.E.+(1970).+The+Divine+Proportion.+Dover|accesso=5 marzo 2018|anno=1970|editore=Dover Publications Inc.|p=}}</ref><ref>{{Cita libro|nome=Priya|cognome=Hemenway|titolo=Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science|url=https://www.amazon.it/Divine-Proportion-Science-Hemenway-2005-10-20/dp/B01FIXUOE0/ref=sr_1_fkmr0_1?s=books&ie=UTF8&qid=1520279972&sr=1-1-fkmr0&keywords=Hemenway,+Priya+(2005).+Divine+Proportion:+Phi+In+Art,+Nature,+and+Science.+Sterling.+p.+96.|accesso=5 marzo 2018|data=2005|editore=Sterling|p=}}</ref><ref>{{Cita web|url=http://www.mathematicsmagazine.com/Articles/Mathematics_ofTheParthenon.php#.VYqGl0Z0dIQ|titolo=Mathematics of the Parthenon|autore=Liliana Usvat|accesso=5 marzo 2018}}</ref>
* La [[Grande moschea di Qayrawan]] (costruita nel 670 d.C. circa), in [[Tunisia]], presenta la sezione aurea.<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Kenza|cognome=Boussora|data=1º aprile 2004|titolo=The Use of the Golden Section in the Great Mosque at Kairouan|rivista=Nexus Network Journal|volume=6|numero=1|pp=7–16|lingua=en|accesso=6 marzo 2018|doi=10.1007/s00004-004-0002-y|url=https://link.springer.com/article/10.1007/s00004-004-0002-y|nome2=Said|cognome2=Mazouz}}</ref>
* La [[Basilica di San Vitale (Ravenna)|Basilica di San Vitale]] a [[Ravenna]], [[Castel del Monte]], la [[Cattedrale di Chartres]] e il [[Palazzo Vecchio|Palazzo della Signoria]], presentano tutti riferimenti alla sezione aurea.<ref name=":3" />
* La si può riconoscere in opere d'arte come la ''[[Gioconda]]'' di [[Leonardo da Vinci|Leonardo]].<ref>{{Cita web|url=https://www.theguardian.com/artanddesign/2009/dec/28/golden-ratio-us-academic|titolo=Why golden ratio pleases the eye: US academic says he knows art secret|autore=Karen McVeigh|sito=The Guardian|data=28 dicembre 2009|lingua=en|accesso=6 marzo 2018}}</ref><ref>{{Cita web|url=http://plus.maths.org/issue22/features/golden/|titolo=The Golden Ratio and Aesthetics|sito=plus.maths.org|lingua=en|accesso=6 marzo 2018}}</ref> 
Un altro rapporto venne chiamato nel 1928 dall'architetto olandese [[Hans van der Laan]] «[[numero plastico]]».<ref>{{Cita web|url=http://www.nexusjournal.com/the-nexus-conferences/nexus-2002/148-n2002-padovan.html|titolo=Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number|autore=Richard Padovan|lingua=en|accesso=6 marzo 2018}}</ref> Il suo valore è la soluzione dell'[[equazione cubica]] <math>x^3=x+1</math>, ed è uguale a <math>\approx1,325</math>. Van der Laan usò questo valore mentre progettava, nel 1967, l'[[Abbazia di San Benedictusberg]].

==== Il ''De divina proportione'' ====
È con [[Luca Pacioli]] e il suo trattato ''[[De Divina Proportione|De divina proportione]]'' del 1509, che la [[sezione aurea]] entra a pieno titolo nell'orbita artistica e viene consacrata come [[Canone (arte)|canone estetico]] di armonia e [[bellezza]].<ref name=":3" /> L'opera comprende anche una sezione di architettura tratta da [[Marco Vitruvio Pollione|Vitruvio]] e una sui poliedri regolari, ripresa da [[Piero della Francesca]] e illustrata da [[Leonardo da Vinci]]. Leonardo è anche l'autore del celeberrimo "uomo ideale"; le proporzioni ideali del corpo umano derivanti da questa figura corrispondono al rapporto aureo fra il lato del quadrato e il raggio del cerchio.<ref name=":3" />

=== L'invenzione della prospettiva ===
[[File:Masaccio,_trinità.jpg|miniatura|Masaccio, Trinità, ca 1426-1428.
Affresco, 667x317 cm. Firenze, Basilica di Santa Maria Novella.
]]
Secondo la [[definizione]] della [[geometria descrittiva]], la [[prospettiva]] è «la scienza che insegna a rappresentare gli oggetti tridimensionali su una superficie bidimensionale, in modo che l'immagine prospettica e quella data dalla visione diretta coincidano».<ref name=":7">{{Cita libro|autore=AA.VV.|titolo=Enciclopedia dell'Arte|edizione=Edizione speciale per Il Giornale|collana=L'Universale|anno=2003|editore=Garzanti|p=|volume=Mis-Z}}</ref>

Durante la classicità, piuttosto che rimpicciolire le figure distanti con la [[prospettiva lineare]], i pittori dimensionavano oggetti e personaggi secondo la loro importanza tematica. Il che non esclude che si verificassero tentativi di resa prospettica nell'arte: sappiamo per esempio (da un controverso passo di [[Marco Vitruvio Pollione|Vitruvio]]) che i [[Greci antichi|Greci]] conoscevano metodi di realizzazione prospettica delle scene teatrali, un'eco dei quali si può rintracciare nei dipinti pompeiani (non sembra comunque, che gli antichi abbiano conosciuto i sistemi prospettici scoperti in [[Rinascimento|età rinascimentale]]).<ref name=":7" />

Nel [[Medioevo]], il matematico arabo [[Alhazen]] (Ibn al-Haytham) descrisse una teoria dell'[[ottica]] nel suo ''[[Libro d'Ottica]]'' del 1021, ma non la applicò mai all'arte.<ref name=":8">{{Cita web|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Art.html|titolo=Mathematics and Art|sito=www-history.mcs.st-and.ac.uk|accesso=7 marzo 2018}}</ref> [[Giotto]], tramite l'utilizzo di una "prospettiva" e l'uso sapiente dei colori e del chiaroscuro, conferì alle proprie pitture una [[Verosimile|verosimiglianza]], un volume e un taglio nuovi e sconvolgenti.<ref>{{Cita libro|nome=Giorgio|cognome=Cricco|nome2=Francesco P. Di|cognome2=Teodoro|titolo=Il cricco di Teodoro. Itinerario nell'arte. Ediz. arancione. Per le Scuole superiori. Con espansione online: 2|url=https://www.amazon.it/Itinerario-nellarte-arancione-superiori-espansione/dp/8808113493/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1520414915&sr=1-1&keywords=9788808113498|accesso=7 marzo 2018|data=6 luglio 2010|editore=Zanichelli|ISBN=9788808113498}}</ref>

Il [[Rinascimento]] vide una rinascita della cultura e delle idee greco-romane, tra cui lo studio della matematica per comprendere la natura e le arti. Furono due i motivi che spinsero gli artisti nel tardo Medioevo e nel Rinascimento verso la matematica. Primo, i pittori volevano capire come ritrarre scene tridimensionali su tele bidimensionali. Secondo, i [[Filosofia|filosofi]] e gli [[Artista|artisti]] erano convinti che la matematica fosse la vera [[Essenza (filosofia)|essenza]] del mondo fisico e che l'intero [[universo]], tra cui le arti, potesse essere spiegato in termini [[Geometria|geometrici]].<ref>{{Cita libro|autore=Michelle Emmer|titolo=The Visual Mind II|url=https://www.amazon.com/Visual-Mind-II-Leonardo-Books/dp/0262050765/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1520413496&sr=8-1&keywords=The+Visual+Mind+II|accesso=7 marzo 2018|data=1º aprile 2005|editore=The MIT Press|lingua=En|p=|ISBN=9780262050760}}</ref>

Nel 1415, l'architetto italiano [[Filippo Brunelleschi]] e il suo collega [[Leon Battista Alberti]] dimostrarono il metodo geometrico di applicazione della prospettiva, usando la [[Similitudine (geometria)|similitudine dei triangoli]] come formulata da [[Euclide]], per trovare l'apparente differenza di altezza degli oggetti distanti.<ref>{{Cita libro|nome=Giorgio|cognome=Vasari|nome2=E.|cognome2=Mattioda|titolo=Le vite de' più eccellenti pittori, scultori e architettori. Ediz. critica: 1|url=https://www.amazon.it/eccellenti-pittori-scultori-architettori-critica/dp/8862747594/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1520415484&sr=1-1&keywords=Le+vite+de'+pi%C3%B9+eccellenti+pittori,+scultori+e+architettori|accesso=7 marzo 2018|data=1º gennaio 2017|editore=Edizioni dell'Orso|ISBN=9788862747592}}</ref><ref>{{Cita web|url=http://www.noteaccess.com/Texts/Alberti/|titolo=Notebook|accesso=7 marzo 2018}}</ref> I dipinti di Brunelleschi che mostrano la prospettiva sono andati perduti, ma la [[Trinità (Masaccio)|''Trinità'']] di [[Masaccio]] ne esemplifica i principi.<ref name=":8" /><ref>{{Cita libro|nome=J. V.|cognome=Field|titolo=The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance|url=https://www.amazon.com/Invention-Infinity-Mathematics-Art-Renaissance/dp/0198523947/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1520415731&sr=8-1&keywords=The+Invention+of+Infinity:+Mathematics+and+Art+in+the+Renaissance|accesso=7 marzo 2018|edizione=1|data=22 maggio 1997|editore=Oxford University Press|lingua=En|p=|ISBN=9780198523949}}</ref><ref>{{Cita web|url=http://arthistoryresources.net/renaissance-art-theory-2012/perspective.html|titolo=Art and Theory in Renaissance Italy: Perspective|sito=arthistoryresources.net|accesso=7 marzo 2018}}</ref> Si citano anche [[Paolo Uccello]], [[Piero della Francesca]], [[Leonardo da Vinci]], [[Albrecht Dürer]], tra molti altri.

=== I poliedri ===
I [[Solido platonico|solidi platonici]] e altri poliedri sono un tema ricorrente nell'[[arte occidentale]]. Sono stati trovati:
* In un [[mosaico]] [[marmo]]reo che mostra il [[piccolo dodecaedro stellato]], attribuito a [[Paolo Uccello]], nel pavimento della [[Basilica di San Marco]] a [[Venezia]].<ref name=":9">{{Cita web|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/art.html|titolo=Polyhedra and Art|autore=George W. Hart|accesso=7 marzo 2018}}</ref>
* Come [[Illustrazione|illustrazioni]] del ''[[De Divina Proportione|De divina proportione]]'' di [[Luca Pacioli]], realizzate da [[Leonardo da Vinci]].<ref name=":9" />
* Come un [[rombicubottaedro]] nel ritratto di Pacioli del 1495, eseguito da [[Jacopo de' Barbari|Jacopo de Barbari]].<ref name=":9" />
* Come [[poliedro]] troncato (e vari altri oggetti matematici) presente nell'[[incisione]] ''[[Melencolia I]]'' di [[Albrecht Dürer|Dürer]].<ref name=":9" /> Dürer fu probabilmente influenzato dalle opere di Pacioli e [[Piero della Francesca]] durante i suoi viaggi in Italia.<ref>{{Cita libro|nome=Erwin|cognome=Panofsky|nome2=Jeffrey Chipps|cognome2=Smith|titolo=The Life and Art of Albrecht Dürer|url=https://www.amazon.com/Albrecht-D%C3%BCrer-PRINCETON-CLASSIC-EDITIONS/dp/0691122768/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1520416805&sr=8-1&keywords=The+Life+and+Art+of+Albrecht+Durer|accesso=7 marzo 2018|anno=2005|editore=Princeton University Press|lingua=En|p=|ISBN=9780691122762}}</ref>

== Dall'Età moderna a oggi ==
=== Dalla prospettiva alla geometria proiettiva ===

La teoria della [[prospettiva]] venne insegnata nelle scuole di pittura, a partire dal Cinquecento in poi.<ref name=":10">{{Cita libro|nome=Morris|cognome=Kline|titolo=Storia del pensiero matematico|url=https://www.amazon.it/Storia-del-pensiero-matematico-1/dp/8806154176/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1531644398&sr=8-1&keywords=kline+storia+del+pensiero+matematico|accesso=15 luglio 2018|edizione=1|data=30 novembre 1999|editore=Einaudi|volume=1|ISBN=9788806154172}}</ref> I trattati sulla prospettiva di allora, tuttavia, erano nel complesso un insieme di regole e di procedimenti ''ad hoc'' e mancavano di una solida base matematica.<ref name=":10" /> Nel periodo compreso fra il Cinquecento e il Seicento, gli artisti e poi i matematici diedero a questa teoria una base deduttiva soddisfacente e la trasformarono da arte semiempirica in scienza vera e propria.<ref name=":10" /> Agli inizi del Seicento, si avviò un processo di scissione tra creazione artistica e prospettiva, divenuta ormai oggetto di indagine matematica.<ref name=":3" /> Al termine di questo processo, dai procedimenti matematici scaturiti dalla tecnica della prospettiva si svilupperanno la [[geometria descrittiva]] a opera di [[Gaspard Monge]] e la [[geometria proiettiva]] a opera di [[Girard Desargues]].<ref name=":3" /> L'intento sarà quello di aiutare gli ingegneri, i pittori e gli architetti nel loro lavoro. Opere definitive sulla prospettiva saranno scritte dai matematici settecenteschi [[Brook Taylor]] e [[Johann Heinrich Lambert]].<ref name=":10" />

=== L'anamorfosi ===
[[File:Hans_Holbein_the_Younger_-_The_Ambassadors_-_Google_Art_Project.jpg|alt=|miniatura|Hans Holbein il Giovane, ''Gli ambasciatori'', con teschio anamorfico in basso al centro, 1533. Londra, National Gallery.]]
A partire dal Quattrocento, gli artisti interessati alle distorsioni visive cominciarono ad applicare l'[[Anamorfismo|anamorfosi]] (fenomeno ottico consistente in una deformazione dell'immagine<ref name=":11">{{Cita libro|autore=AA.VV.|titolo=Enciclopedia dell'Arte|edizione=Edizione speciale per Il Giornale|collana=L'Universale|anno=2003|editore=Garzanti|volume=A-Mir}}</ref>).

L'anamorfosi piana è ottenuta con una semplice alterazione prospettica, in cui le immagini deformate sono decifrabili solo se osservate da un determinato punto di vista, mai frontale.<ref name=":11" /> Essa compare per la prima volta nel ''[[Codice Atlantico]]'' di [[Leonardo da Vinci|Leonardo]] e fu ampiamente praticata dai [[Manierismo|manieristi]] del secondo Cinquecento, tra gli altri dal pittore e incisore tedesco [[Erhard Schön]] e da [[Hans Holbein il Giovane|Hans Holbein]] nel noto dipinto ''[[Ambasciatori (Holbein il Giovane)|Gli ambasciatori]]''.<ref name=":11" />

L'anamorfosi per riflessione riproduce all'inverso le deformazioni che si hanno guardando l'immagine in uno specchio [[concavo]] o [[Insieme convesso|convesso]]; in questo caso l'immagine ritrova il suo aspetto normale se viene guardata con l'ausilio di uno specchio [[Cilindro (geometria)|cilindrico]] o [[Cono|conico]].<ref name=":11" /> Le origini di questo tipo di anamorfosi sono forse da individuare nelle stampe cinesi giunte in Europa tramite la corte di Costantinopoli.<ref name=":11" /> Nel ''[[Ritratto dei coniugi Arnolfini]]'' di [[Jan van Eyck]], realizzato nel 1434, vi è uno specchio convesso che riflette le persone presenti nella scena<ref>{{Cita pubblicazione|autore=|nome=Antonio|cognome=Criminisi|data=1º agosto 2004|titolo=Reflections of Reality in Jan van Eyck and Robert Campin|rivista=Historical Methods: A Journal of Quantitative and Interdisciplinary History|volume=37|numero=3|pp=109–122|lingua=en|accesso=15 luglio 2018|doi=10.3200/hmts.37.3.109-122|url=https://www.microsoft.com/en-us/research/publication/reflections-of-reality-in-jan-van-eyck-and-robert-campin/?from=http%3A%2F%2Fresearch.microsoft.com%2Fpubs%2F72436%2Fcriminisi_reflectionsofreality_2003.pdf|nome2=Martin|cognome2=Kemp|nome3=Sing Bing|cognome3=Kang}}</ref>, mentre in ''[[Autoritratto entro uno specchio convesso]]'' del [[Parmigianino]], l'artista ritrae la propria faccia regolare al centro, e con uno sfondo e la mano fortemente curvati<ref>{{Cita libro|nome=Felipe|cognome=Cucker|titolo=Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics|url=https://www.amazon.it/Manifold-Mirrors-Crossing-Paths-Mathematics/dp/0521728762|accesso=15 luglio 2018|data=25 aprile 2013|editore=Cambridge University Press|lingua=Inglese|ISBN=9780521728768}}</ref><ref>{{Cita web|url=http://www.treccani.it/enciclopedia/mazzola-francesco-detto-il-parmigianino_(Dizionario-Biografico)/|titolo=MAZZOLA, Francesco, detto il Parmigianino in "Dizionario Biografico"|citazione=Innovativa e spiazzante l’idea di non utilizzare l’usuale specchio piano, bensì convesso come quello dei barbieri, la cui forma fu riprodotta sul supporto pittorico bombato, raffigurandovi, in base alle deformazioni da esso provocate, le proprie fattezze. In tal modo il Mazzola trasforma l’anamorfosi in un gioco raffinato, ampliando le possibilità dell’illusione concesse fino ad allora alla pittura al limite dell’assurdo.|accesso=15 luglio 2018}}</ref>.

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File:The Arnolfini Portrait, détail (2).jpg|Jan van Eyck, ''Ritratto dei coniugi Arnolfini'', particolare, 1434, olio su tavola, 81,8×59,7&nbsp;cm. National Gallery, Londra.
File:Parmigianino Selfportrait.jpg|Parmigianino, ''Autoritratto entro uno specchio convesso'', 1524 circa, olio su tavola, 24,4×24,4&nbsp;cm. Kunsthistorisches Museum, Vienna.
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=== Gödel, Escher, Bach ===
[[Douglas Hofstadter]] è l'autore di ''[[Gödel, Escher, Bach: un'eterna ghirlanda brillante|Gödel, Escher Bach. Un'eterna ghirlanda brillante]]'', opera che vede intrecciarsi – ad un primo livello di lettura – le opere e le intuizioni di queste tre personalità storiche: «[...] Ma infine mi resi conto che per me [[Kurt Gödel|Gödel]], [[Maurits Cornelis Escher|Escher]] e [[Johann Sebastian Bach|Bach]] erano solo ombre proiettate in diverse direzioni da una qualche solida essenza centrale. Ho tentato di ricostruire l'oggetto centrale e ne è uscito questo libro».<ref>{{Cita libro|nome=Douglas R.|cognome=Hofstadter|nome2=G.|cognome2=Trautteur|titolo=Gödel, Escher, Bach. Un'eterna ghirlanda brillante. Una fuga metaforica su menti e macchine nello spirito di Lewis Carroll|url=https://www.amazon.it/Uneterna-ghirlanda-brillante-metaforica-macchine/dp/8845907554/ref=sr_1_1?s=english-books&ie=UTF8&qid=1531672469&sr=8-1&keywords=g%C3%B6del+escher+bach+adelphi|accesso=15 luglio 2018|edizione=11|data=7 maggio 1990|editore=Adelphi|p=30|ISBN=9788845907555}}</ref> Dall'opera di Hofstadter è possibile trarre svariati esempi di come [[logica]] e [[matematica]] possano avere punti di contatto con le [[Incisione|incisioni]] di Escher. Nelle opere dell'artista (nato nel 1898 in Frisia), di evidente ispirazione matematica, sono rintracciabili il concetto di [[Limite di una funzione|limite]] e [[Funzione continua|continuità]], le figure impossibili di [[Roger Penrose|Penrose]], gli echi di studi di [[topologia]] e [[cristallografia]], le [[tassellazioni]], la [[geometria iperbolica]] del [[modello di Poincaré]], il [[nastro di Möbius]], le trasformazioni nella continuità, l'ambiguità del [[concavo]] e del [[Insieme convesso|convesso]], in concetto di [[Infinito (matematica)|infinito]] e di [[percorso infinito]].<ref name=":3" />

==== Tassellazioni del piano ====
[[File:Alhambra-p3-closeup.jpg|alt=|miniatura|Decorazione dell'Alhambra.]]
In geometria, con "[[tassellazione del piano]]" o "pavimentazione" si intende il ricoprimento del [[Piano (geometria)|piano]] con [[Figura (geometria)|figure geometriche]], dette "tasselli" o "moduli", che si ripetono periodicamente senza mai sovrapporsi.<ref name=":12">{{Cita libro|nome=Massimo|cognome=Bergamini|nome2=Anna|cognome2=Trifone|nome3=Graziella|cognome3=Barozzi|titolo=Manuale blu 2.0 di matematica. Vol. N-Pi greco-Tau-Alfa-U. Per le Scuole superiori. Con espansione online|url=https://www.amazon.it/Manuale-matematica-greco-Tau-Alfa-U-superiori-espansione/dp/880825724X/ref=sr_1_7?ie=UTF8&qid=1531675861&sr=8-7&keywords=manuale+blu+2.0+di+matematica|accesso=15 luglio 2018|data=24 maggio 2011|editore=Zanichelli|ISBN=9788808257246}}</ref> Nel 1891 il geologo e cristallografo russo [[Evgraf Stepanovič Fëdorov]] dimostrò che sono possibili solo diciassette tipi di tassellazioni del piano.<ref name=":12" /> Essi sono stati tutti realizzati nelle decorazioni dell'[[Alhambra]] (complesso di palazzi situato a Granada, in Spagna) dagli [[Arabi]].<ref name=":12" />

Comunque, altrettanto famose sono le tassellazioni di Escher, come ''[[Studio di divisione regolare del piano con uccelli]]'' (da un quaderno del 1942)<ref>{{Cita libro|nome=Douglas R.|cognome=Hofstadter|nome2=G.|cognome2=Trautteur|titolo=Gödel, Escher, Bach. Un'eterna ghirlanda brillante. Una fuga metaforica su menti e macchine nello spirito di Lewis Carroll|url=https://www.amazon.it/Uneterna-ghirlanda-brillante-metaforica-macchine/dp/8845907554/ref=sr_1_1?s=english-books&ie=UTF8&qid=1531672469&sr=8-1&keywords=g%C3%B6del+escher+bach+adelphi|accesso=15 luglio 2018|edizione=11|data=7 maggio 1990|editore=Adelphi|p=74|ISBN=9788845907555}}</ref>, o ''[[Limite del cerchio IV]]'' (1960)<ref>{{Cita libro|nome=Marco|cognome=Bussagli|titolo=Escher. Ediz. illustrata|url=https://www.amazon.it/Escher-Ediz-illustrata-Marco-Bussagli/dp/8809035429/ref=sr_1_1?s=english-books&ie=UTF8&qid=1531676490&sr=8-1&keywords=ESCHER+bussagli|accesso=15 luglio 2018|data=13 aprile 2005|editore=Giunti Editore|p=25|ISBN=9788809035423}}</ref>. Quest'ultima, in particolare, è una rappresentazione eseguita in geometria iperbolica.

== Note ==
<references />

== Voci correlate ==
* [[Arte]]
* [[Matematica]]

== Altri progetti ==
{{interprogetto}}

{{portale|arte|matematica}}

[[Categoria:Matematica e arte| ]]