Teorema di Hille-Yosida
In [[analisi funzionale]], il '''teorema di Hille-Yosida''' caratterizza i generatori di [[Semigruppo|semigruppi]] a un parametro fortemente continui di operatori lineari su [[Spazio di Banach|spazi di Banach]]. A volte viene indicato per il caso speciale dei semigruppi di contrazione, con il caso generale che viene chiamato il teorema di Feller-Miyadera-Phillips (da William Feller, Isao Miyadera e Ralph Phillips). Il caso del semigruppo di contrazione è ampiamente usato nella teoria dei processi di Markov. In altri scenari, il teorema di Lumer-Phillips strettamente correlato è spesso più utile nel determinare se un dato operatore genera un semigruppo di contrazione fortemente continuo. Il teorema prende il nome dai matematici [[Einar Hille]] e Kōsaku Yosida che scoprirono indipendentemente il risultato intorno al 1948.

== Enunciato del teorema ==
Sia <math>A</math> un [[operatore lineare chiuso]] definito su un sottospazio lineare <math>D(A)</math> dello spazio di Banach <math>X</math>, <math>\omega</math> un [[numero reale]] e <math>M>0</math>. Quindi <math>A</math> genera un semigruppo <math>T</math> fortemente continuo che soddisfa <math>\|T(t)\|\leq M{{\rm {e}}}^{{\omega t}}</math> se e solo se

# <math>D(A)</math>  [[Insieme denso|denso]] in ''<math>X</math>'';
# ogni numero reale <math>\lambda > \omega</math> appartiene all'insieme risolvente di <math>A</math> e per tale <math>\lambda</math> e per tutti gli interi positivi <math>n</math>.

== Teorema per i gruppi contrattivi ==
Nel caso generale il teorema di Hille-Yosida è principalmente di importanza teorica poiché le stime sui poteri dell'operatore risolvente che compaiono nell'asserzione del teorema di solito non possono essere verificate in esempi concreti. Nel caso speciale dei semigruppi contrattivi (<math>M=1</math> e <math>\omega=0</math> nel teorema di cui sopra) solo il caso <math>n=1</math> deve essere controllato e il teorema diventa anche di una certa importanza pratica. La dichiarazione esplicita del teorema di Hille-Yosida per i semigruppi di contrazione è:

Sia ''A'' un operatore lineare definito su un sottospazio lineare ''D''(''A'') dello [[spazio di Banach]] ''X''. Allora ''A'' genera un semigruppo contrattivo se e solo se<ref>Engel and Nagel Theorem II.3.5, Arendt et. al. Corollary 3.3.5, Staffans Corollary 3.4.5</ref>

# <math>D(A)</math> è [[Insieme denso|denso]] in ''<math>X</math>'';
# per ogni numero reale <math>\lambda > 0</math> che appartiene all'insieme risolvente di ''<math>A</math>'' : <math>\|(\lambda I-A)^{-1}\|\leq\frac{1}{\lambda}</math>.
In tal caso, il semigruppo <math>\{S(t)\}_{t\geq0}</math> con generatore <math>(A,D(A))</math> è dato da

<math>S(t)f=\lim_{\lambda\to\infty}e^{\lambda t}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\lambda^n t^n}{n!}(\lambda R(\lambda,A))^nf,\;\; f\in X, t\geq 0.</math>

In pratica, per verificare che un operatore <math>A</math> con dominio denso sia il generatore prescritto dal teorema di Hille-Yosida, occorre mostrare che per ogni <math>\lambda>0</math> e <math>g\in X</math> esiste un'unica soluzione <math>f\in D(A)</math> di

<math>\lambda f-Af=g \ \text{  e  }\ \lambda \| f \| \leq \|g\|. </math>
== Note ==
<references />

==Bibliografia==
* {{Cita pubblicazione|cognome=Riesz|nome=F.|wkautore1=Frigyes Riesz|cognome2=Sz.-Nagy|nome2=B.|titolo=Functional analysis. Reprint of the 1955 original|serie=Dover Books on Advanced Mathematics|editore=Dover|anno=1995|isbn=0-486-66289-6}}
* {{Cita pubblicazione|cognome=Reed|nome=Michael|cognome2=Simon|nome2=Barry|titolo=Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self-adjointness.|editore=Academic Press|anno=1975|isbn=0-12-585050-6}}
* {{Cita pubblicazione|cognome1=Engel|nome1=Klaus-Jochen|cognome2=Nagel|nome2=Rainer|titolo=One-parameter semigroups for linear evolution equations|anno=2000|editore=Springer}}
* {{Cita pubblicazione|cognome1=Arendt|nome1=Wolfgang|cognome2=Batty|nome2=Charles|cognome3=Hieber|nome3=Matthias|cognome4=Neubrander|nome4=Frank|titolo=Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems|anno=2001|editore=Birkhauser}}
* {{Cita pubblicazione|cognome1=Staffans|nome1=Olof|titolo=Well-posed linear systems|url=https://archive.org/details/wellposedlinears0000staf|anno=2005|editore=Cambridge University Press}}
* {{Cita pubblicazione|cognome1=Feller|nome1=William|titolo=An introduction to probability theory and its applications. Vol. II. Second edition|anno=1971|editore=John Wiley & Sons, New York}}
* {{Cita pubblicazione|cognome1=Vrabie|nome1=Ioan I.|titolo=C0-semigroups and applications. North-Holland Mathematics Studies, 191.|anno=2003|editore=North-Holland Publishing Co., Amsterdam}}

{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Analisi funzionale]]