Serie di Lambert
[[File:Lambert-series.png|thumb|upright=1.6|La funzione <math>S(q)=\sum_{n=1}^\infty  \frac {q^n}{1-q^n}</math>, rappresentata con [[Matplotlib]], usando una versione del metodo della [[colorazione del dominio]]<ref>https://nbviewer.jupyter.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb</ref>]]
Nella [[matematica]], una '''serie di Lambert''', chiamata così per [[Johann Heinrich Lambert]], è una [[Serie (matematica)|serie]] nella forma

:<math>S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \frac {q^n}{1-q^n}.</math>

Può essere risommata [[serie formali di potenze|formalmente]] espandendo il denominatore:

:<math>S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{k=1}^\infty q^{nk} = \sum_{m=1}^\infty b_m q^m </math>

dove i coefficienti della nuova serie sono dati dalla [[convoluzione di Dirichlet]] di <math>a_n</math> con la funzione costante <math>1(n)=1</math>:

:<math>b_m = (a*1)(m) = \sum_{n\mid m} a_n. \,</math>

Questa serie può essere invertita attraverso le serie della [[formula di inversione di Möbius]], e inoltre è un esempio di trasformata di Möbius.

==Esempi==
Poiché l'ultima somma è tipica nella [[teoria dei numeri]], quasi tutte le [[Funzione moltiplicativa|funzioni moltiplicative]] sono sommabili esattamente quando usate in una serie di Lambert. Dunque, per esempio, si ha

:<math>\sum_{n=1}^\infty q^n \sigma_0(n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{q^n}{1-q^n}</math>

dove <math>\sigma_0(n)=d(n)</math> è la [[funzione sigma]] che conta il numero di divisori positivi del numero <math>n</math>.

Per funzioni sigma di ordine maggiore, si ottiene

:<math>\sum_{n=1}^\infty q^n \sigma_\alpha(n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^\alpha q^n}{1-q^n}</math>

dove <math>\alpha</math> è un qualunque [[numero complesso]] e

:<math>\sigma_\alpha(n) = (\textrm{Id}_\alpha*1)(n) = \sum_{d\mid n} d^\alpha \,</math>
è la funzione sigma.

Le serie di Lambert in cui i termini <math>a_n</math> sono [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]], per esempio, <math>a_n=sin(2nx)</math>, si possono valutare attraverso di varie combinazioni delle [[derivata logaritmica|derivate logaritmiche]] delle [[funzioni theta]] di Jacobi.

Altre affascinanti serie di Lambert includono la [[funzione di Möbius]] <math>\mu(n)</math>:

:<math>\sum_{n=1}^\infty \mu(n)\,\frac{q^n}{1-q^n} = q.</math>

La [[funzione φ di Eulero|funzione di Eulero]] <math>\varphi(n)</math>:
:<math>\sum_{n=1}^\infty \varphi(n)\,\frac{q^n}{1-q^n} = \frac{q}{(1-q)^2}.</math>

La [[funzione di Liouville]] <math>\lambda(n)</math>:

:<math>\sum_{n=1}^\infty \lambda(n)\,\frac{q^n}{1-q^n} = 
\sum_{n=1}^\infty q^{n^2}</math>

con la somma sulla destra simile alla [[funzione theta di Ramanujan]].

==Forma alternativa==
Sostituendo <math>q=e^{-z}</math> si ottiene un'altra forma comune della serie, 

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac {a_n}{e^{zn}-1}= \sum_{m=1}^\infty b_m e^{-mz}</math>

dove
:<math>b_m = (a*1)(m) = \sum_{d\mid m} a_d\,</math>

come prima. Esempi di serie di Lambert in questa forma con <math>z=2\pi</math> compaiono nelle espressioni della [[funzione zeta di Riemann]] nei numeri dispari; per dettagli, vedere [[Costanti zeta]].

==Uso attuale==

Nella letteratura la ''serie di Lambert'' viene applicata a una grande varietà di somme. Per esempio, poiché <math>q^/(1 - q^n ) = \mathrm{Li}_0(q^{n})</math> è una funzione [[polilogaritmo]], ci si può riferire a queste somme

:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\xi^n  \,\mathrm{Li}_u (\alpha q^n)}{n^s} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha^n  \,\mathrm{Li}_s(\xi q^n)}{n^u}</math>

come serie di Lambert, assumendo che i parametri sono opportunamente limitati. Dunque

:<math>12\left(\sum_{n=1}^{\infty} n^2 \, \mathrm{Li}_{-1}(q^n)\right)^{\!2} = \sum_{n=1}^{\infty} 
n^2 \,\mathrm{Li}_{-5}(q^n) -
\sum_{n=1}^{\infty} n^4 \, \mathrm{Li}_{-3}(q^n),</math>

che vale per ogni numero complesso <math>q</math> non sul cerchio unitario, potrebbe essere considerata un'identità delle serie di Lambert. Questa uguaglianza segue in maniera chiara da alcune identità pubblicate dal matematico indiano [[Srinivasa Ramanujan]]. Per una profonda esplorazione dei lavori di Ramanujan, si possono leggere i testi di Bruce Berndt.

==Note==
<references/>

==Bibliografia==
* Berry, Michael V. (2010). [https://dlmf.nist.gov/ "''Functions of Number Theory''"]. CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS. pp. 637–641. ISBN 978-0-521-19225-5.
* Lambert, Preston A. (1904). ''Expansions of algebraic functions at singular points''. Proc. Am. Philos. Soc. 43 (176): 164–172. JSTOR [https://www.jstor.org/stable/983503 983503].
* [[Tom Apostol|Apostol, Tom M.]] (1976), "''Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics''", New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR [https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0434929 0434929], Zbl [https://zbmath.org/?format=complete&q=an:0335.10001 0335.10001]
* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Lambert_series "''Lambert series''"], [[Encyclopaedia of Mathematics]], Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
* Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/LambertSeries.html "''Lambert Series''"]. [[MathWorld]].

==Voci correlate==
* [[Costante di Erdős-Borwein]]
* [[Funzione aritmetica]]
* [[Teoria analitica dei numeri]]

{{portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria analitica dei numeri]]
[[Categoria:Serie matematiche]]