Differintegrale
Nell'analisi frazionaria, un'area della [[matematica applicata]], il '''differintegrale''' è un operatore formato dalla combinazione di [[derivata]] e [[integrale]]. Applicato ad una [[funzione (matematica)|funzione]] <math>f</math>, il ''q''-differintegrale di <math>f</math>, indicato come
:<math>\mathbb{D}^qf</math>
è la derivata frazionaria (se ''q'' > 0) o l'integrale frazionario (se ''q'' < 0).  Se ''q'' = 0, allora il ''q''-differintegrale di una funzione è la funzione stessa.  Nel contesto della derivata e integrale frazionari, ci sono numerose definizioni del differintegrale.

==Definizioni standard==
Le tre forme più comuni sono:

*Il '''differintegrale di Riemann–Liouville'''
:Questo è il più semplice e facile da usare, e di conseguenza è spesso il più usato. È una generalizzazione della [[formula di Cauchy per integrazioni ripetute]] ad un ordine arbitrario.

: <math>
\begin{align}
{}_a\mathbb{D}^q_tf(t) & = \frac{d^qf(t)}{d(t-a)^q} \\
& =\frac{1}{\Gamma(n-q)} \frac{d^n}{dt^n} \int_{a}^t (t-\tau)^{n-q-1}f(\tau)d\tau
\end{align}
</math>

*Il '''differintegrale di Grunwald–Letnikov'''
:Questo differintegrale è la diretta generalizzazione della definizione di derivata. È molto più difficile da usare del differintegrale di Riemann–Liouville, ma qualche volta viene usato per risolvere problemi che quest'ultimo non può.

: <math>
\begin{align}
{}_a\mathbb{D}^q_tf(t) & = \frac{d^qf(t)}{d(t-a)^q} \\
& =\lim_{N \to \infty}\left[\frac{t-a}{N}\right]^{-q}\sum_{j=0}^{N-1}(-1)^j{q \choose j}f\left(t-j\left[\frac{t-a}{N}\right]\right)
\end{align}
</math>
*Il '''differintegrale di Weyl'''
:Formalmente è simile a quello di Riemann–Liouville, ma applicato generalmente a [[funzione periodica|funzioni periodiche]], con integrale zero su un periodo.

==Definizione attraverso le trasformate==
Richiamando la [[trasformata di Fourier]], qui denotata con <math> \mathcal{F}</math> :

:<math> F(\omega) =  \mathcal{F}\{f(t)\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t) e^{- i\omega t}\,dt </math>

Con tale trasformata, nello spazio di Fourier, la derivata si trasforma in una moltiplicazione:

:<math>\mathcal{F}\left[\frac{df(t)}{dt}\right] = i \omega \mathcal{F}[f(t)]</math>

Pertanto,

:<math>\frac{d^nf(t)}{dt^n} = \mathcal{F}^{-1}\left\{(i \omega)^n\mathcal{F}[f(t)]\right\}</math>

che si generalizza a

:<math>\mathbb{D}^qf(t)=\mathcal{F}^{-1}\left\{(i \omega)^q\mathcal{F}[f(t)]\right\}.</math>

Sotto la [[trasformata di Laplace]], indicata con <math> \mathcal{L}</math>, la derivata si trasforma ancora in una moltiplicazione

:<math>\mathcal{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right] = s\mathcal{L}[f(t)].</math>

Generalizzando ad un ordine arbitrario e risolvendo in <math>\mathbb{D}^qf(t)</math>, si ottiene
:<math>\mathbb{D}^qf(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{s^q\mathcal{L}[f(t)]\right\}.</math>

==Principali proprietà==
''Linearità''
:<math>\mathbb{D}^q(f+g)=\mathbb{D}^q(f)+\mathbb{D}^q(g)</math>
:<math>\mathbb{D}^q(af)=a\mathbb{D}^q(f)</math>

''Regola dello zero''
:<math>\mathbb{D}^0 f=f \, </math>

''Regola del prodotto''

:<math>\mathbb{D}^q_t(fg)=\sum_{j=0}^{\infty} {q \choose j}\mathbb{D}^j_t(f)\mathbb{D}^{q-j}_t(g)</math>

In generale, la ''regola della composizione (o del [[semigruppo]])'' non è soddisfatta<ref>{{Cita libro|pp=[https://archive.org/details/theoryapplicatio00kilb/page/n90 75] (Property 2.4) |nome=A. A. |cognome=Kilbas |nome2=H. M. |cognome2=Srivastava |nome3=J. J. |cognome3=Trujillo |titolo=Theory and Applications of Fractional Differential Equations |url=https://archive.org/details/theoryapplicatio00kilb |città= |editore=Elsevier |anno=2006 }}</ref>:
:<math>\mathbb{D}^a\mathbb{D}^{b}f \neq \mathbb{D}^{a+b}f</math>

==Differintegrali principali==
:<math>\mathbb{D}^q(t^n)=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+1-q)}t^{n-q}</math>
:<math>\mathbb{D}^q(\sin(t))=\sin \left( t+\frac{q\pi}{2} \right) </math>
:<math>\mathbb{D}^q(e^{at})=a^q e^{at}</math>

==Note==
<references />

==Bibliografia==
* "An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations", by Kenneth S. Miller, Bertram Ross (Editor), John Wiley & Sons; 1 edition (May 19, 1993). {{ISBN|0-471-58884-9}}.
* "The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order (Mathematics in Science and Engineering, V)", by Keith B. Oldham, Jerome Spanier, Academic Press; (November 1974). {{ISBN|0-12-525550-0}}.
* "Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications",  (Mathematics in Science and Engineering, vol. 198), by Igor Podlubny, Academic Press (October 1998). {{ISBN|0-12-558840-2}}.
* "Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics", by A. Carpinteri (Editor), F. Mainardi (Editor), Springer-Verlag Telos; (January 1998). {{ISBN|3-211-82913-X}}.
* [https://web.archive.org/web/20120519174508/http://www.worldscibooks.com/mathematics/p614.html Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models.] by F. Mainardi, Imperial College Press, 2010. 368 pages.
* [https://www.springer.com/physics/complexity/book/978-3-642-14003-7 Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media.] by V.E. Tarasov, Springer, 2010. 450 pages.
* [https://www.springer.com/physics/theoretical,+mathematical+%26+computational+physics/book/978-3-642-33910-3 Fractional Derivatives for Physicists and Engineers] by V.V. Uchaikin, Springer, Higher Education Press, 2012, 385 pages.
* "Physics of Fractal Operators", by Bruce J. West, Mauro Bologna, Paolo Grigolini, Springer Verlag; (January 14, 2003). {{ISBN|0-387-95554-2}}

==Voci correlate==
*[[Formula di Cauchy per integrazioni ripetute]]
*[[Matematica applicata]]
*[[Trasformata di Fourier]]

==Collegamenti esterni==
* [http://mathworld.wolfram.com/FractionalCalculus.html MathWorld – Fractional calculus]
*[http://mathworld.wolfram.com/FractionalDerivative.html MathWorld – Fractional derivative]
*Specialized journal: [http://www.diogenes.bg/fcaa/ Fractional Calculus and Applied Analysis (1998-2014)] and [http://www.degruyter.com/view/j/fca Fractional Calculus and Applied Analysis (from 2015)]
*Specialized journal: [https://archive.today/20120712033445/http://fde.ele-math.com/ Fractional Differential Equations (FDE)]
*Specialized journal: [http://naturalspublishing.com/show.asp?JorID=48&pgid=0 Progress in Fractional Differentiation and Applications]
*Specialized journal: [https://web.archive.org/web/20180421124535/http://www.nonlinearscience.com/journal_2218-3892.php Communications in Fractional Calculus] ({{issn|2218-3892}})
* Specialized journal: [http://fcag-egypt.com/Journals/JFCA/ Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180503040656/http://fcag-egypt.com/Journals/JFCA/ |date=3 maggio 2018 }}
* http://www.nasatech.com/Briefs/Oct02/LEW17139.html
* https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
* [http://www.tuke.sk/podlubny/fc_resources.html Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc. ]
* Podlubny, I., Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation. [http://www.diogenes.bg/fcaa/ Fractional Calculus and Applied Analysis], vol.&nbsp;5, no.&nbsp;4, 2002, 367–386. (available as [http://www.tuke.sk/podlubny/pspdf/pifcaa_r.pdf original article] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060407100616/http://www.tuke.sk/podlubny/pspdf/pifcaa_r.pdf |date=7 aprile 2006 }}, or [https://arxiv.org/abs/math.CA/0110241 preprint at Arxiv.org])
*[https://dx.doi.org/10.1007/s002200050299 Operator of fractional derivative in the complex plane], by P. Zavada in Commun.Math.Phys. 192 (1998) 261-285, or available as the [https://arxiv.org/abs/funct-an/9608002 arXiv e-Print]

{{portale|matematica}}

[[Categoria:Calcolo infinitesimale]]
[[Categoria:Matematica applicata]]