Sogno del sophomore
Nella matematica, il "'''sogno del sophomore'''" è la coppia di [[Identità (matematica)|identità]] (specialmente la prima)

:<math>\begin{align}
\int_0^1 x^{-x}\,dx &= \sum_{n=1}^\infty n^{-n} \\
\int_0^1 x^x   \,dx &= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n^{-n} = - \sum_{n=1}^\infty (-n)^{-n}
\end{align}</math>
scoperte nel 1697 da [[Johann Bernoulli]].

I valori numerici di queste costanti sono approssimativamente <math>1.291285997...</math> e <math>0.7834305107...</math>, rispettivamente.

Il nome "''sogno del sophomore''", che appare in ''Borwein, Bailey & Girgensohn'' (2004), è in contrasto con il nome "sogno della matricola" che è assegnato alla identità errata<ref>Sbagliata a meno che non si lavori su un [[Campo (matematica)|campo]] o un [[anello commutativo]] unitario con [[caratteristica (algebra)|caratteristica]] <math>n</math>, se <math>n</math> è un numero primo (vedere [[endomorfismo di Frobenius]]), altrimenti un suo fattore. Il risultato corretto è dato dal [[teorema binomiale]].</ref> <math>(x+y)^n=x^n+y^n</math>. Il sogno del [[sophomore]] sembra "troppo bello per essere vero", ma in realtà lo è.

== Dimostrazione ==
[[Image:Sophdream.png|thumb|Grafici delle funzioni <math>y=x^x</math> (rosso, in basso) e <math>y=x^{-x}</math> (grigio, in alto) nell'intervallo <math>(0,1]</math>.]]
Le dimostrazioni delle due identità sono simili, quindi qui si dimostrerà soltanto la seconda.
I passi chiave della dimostrazione sono:
* scrivere <math>x^x=\exp(x\log x)</math> (utilizzando la notazione <math>\exp(t)</math> per la [[funzione esponenziale]] <math>e^t</math> in base [[e (costante matematica)|''e'']]);
* espandere <math>\exp(x\log x)</math> utilizzando la [[serie di potenze]] dell'esponenziale; e
* integrare termine a termine, usando l'[[integrazione per sostituzione]].

In dettaglio, si espande <math>x^x</math> come

: <math>x^x = \exp(x \log  x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n(\log  x)^n}{n!}.</math>

Pertanto, <math>\int_0^1 x^x\,dx =  \int_0^1 \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n(\log  x)^n}{n!} \,dx. </math>

Per la [[convergenza uniforme]] della serie di potenze, si può scambiare la [[sommatoria]] con l'integrale e ricavare

: <math>\int_0^1 x^x\,dx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 \frac{x^n(\log  x)^n}{n!} \,dx. </math>

Per valutare gli integrali sopra, si può cambiare la variabile utilizzando la [[integrazione per sostituzione|sostituzione]] <math>x=\exp\left(-\frac{u}{n+1}\right)</math>.  Con questo cambio di variabile, gli estremi d'integrazioni diventano <math>0 < u < \infty </math>, fornendo l'identità
:<math>\int_0^1 x^n(\log\, x)^n\,dx = (-1)^n (n+1)^{-(n+1)}  \int_0^\infty u^n  e^{-u}\,du.</math>
Secondo l'[[integrale di Eulero|identità integrale di Eulero]] per la [[funzione Gamma]], si ha
:<math>\int_0^\infty u^n e^{-u}\,du=n!,</math>
in modo che
:<math>\int_0^1 \frac{x^n (\log  x)^n}{n!}\,dx
= (-1)^n (n+1)^{-(n+1)}.</math>

Sommando (e cambiando indice in modo che inizi in <math>n=1</math> invece di <math>n=0</math>), si ricava l'identità.

=== Dimostrazione storica ===
La dimostrazione originale, fornita in ''Bernoulli'' (1697), e presentata nella forma moderna in ''Dunham'' (2005), differisce da quella sopra per come è calcolato l'integrale termine a termine <math>\int_0^1 x^n(\log\, x)^n\,dx</math>, ma è tuttavia la stessa, omettendo dettagli tecnici per giustificare i passaggi (come l'integrazione). Invece di operare un cambio di variabile, ottenendo la funzione Gamma (che non era ancora conosciuta), Bernoulli usò l'[[integrazione per parti]] per calcolare iterativamente i termini.

L'integrazione per parti procede come segue, variando indipendentemente i due esponenti per ottenere una formula ricorsiva. Si calcola inizialmente un integrale indefinito, omettendo la costante d'integrazione <math>+ C</math> sia perché storicamente fu così, sia perché sparisce quando si valuta l'integrale definito. Si può integrare <math>\scriptstyle \int x^m (\ln x)^n\,dx</math> prendendo <math>u=(\ln x)^n</math> e <math>dv=x^mdx</math>, da cui si ricava:

: <math>\begin{align}
\int x^m (\ln x)^n\,dx
& = \frac{x^{m+1}(\ln x)^n}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^{m+1} \frac{(\ln x)^{n-1}}{x}\,dx  \qquad\text{(for }m\neq -1\text{)}\\
& = \frac{x^{m+1}}{m+1}(\ln x)^n - \frac{n}{m+1}\int x^m (\ln x)^{n-1}\,dx  \qquad\text{(for }m\neq -1\text{)}
\end{align}
</math>

(anche nella [[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni logaritmiche]]). Questo metodo riduce di <math>1</math> la potenza del [[logaritmo]] nell'integrando e così si può calcolare l'integrale [[Principio d'induzione|induttivamente]], ottenendo
: <math>
\int x^m (\ln x)^n\,dx
= \frac{x^{m+1}}{m+1}
 \cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{(n)_i}{(m+1)^i} (\ln x)^{n-i}</math>

dove <math>(n)_i</math> indica il [[fattoriale crescente|fattoriale decrescente]]; compare una somma finita perché l'induzione si ferma in <math>0</math>, dal momento che <math>n</math> è un intero.

In questo caso <math>m=n</math>, e sono interi, perciò

:<math>\int x^n (\ln x)^n\,dx
= \frac{x^{n+1}}{n+1}
 \cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{(n)_i}{(n+1)^i} (\ln x)^{n-i}.</math>

Integrando da <math>0</math> a <math>1</math>, tutti i termini si annullano eccetto l'ultimo in <math>1</math>,<ref>Tutti i termini si annullano in <math>0</math> perché <math>\lim_{x \to 0^+} x^m (\ln x)^n  =  0</math> per la [[regola di de l'Hôpital]] (Bernoulli tecnicamente omise il passaggio), e tutti tranne il primo si annullano in <math>1</math> poiché <math>\ln(1)=0</math>.</ref> si ottiene:

:<math>\int_0^1 \frac{x^n (\ln x)^n}{n!}\,dx
= \frac{1}{n!}\frac{1^{n+1}}{n+1}
 (-1)^n \frac{(n)_n}{(n+1)^n} = (-1)^n (n+1)^{-(n+1)}.</math>

Da un punto di vista moderno, questo è (a meno di una costante moltiplicativa) al calcolare l'identità integrale di Eulero <math>\Gamma(n+1) = n!</math> per la funzione Gamma in un differente dominio (corrispondente al cambiare la variabile), poiché quest'ultima può essere essa stessa calcolato attraverso ripetute integrazioni per parti.

==Note==
<references/>

==Bibliografia==
===Formula===
* Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, ''Opera omnia,'' vol. 3, pp.&nbsp;376–381
* {{Cita pubblicazione|nome1=Jonathan |cognome1=Borwein|nome2=David H. |cognome2=Bailey|wkautore2=David Harold Bailey |nome3=Roland |cognome3=Girgensohn |titolo=Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery |isbn= 978-1-56881-136-9 |anno=2004 |pp= 4, 44}}
* {{Cita pubblicazione|autore= [[William Dunham]] |titolo=The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue |url=https://archive.org/details/calculusgallerym00dunh_225 |editore=Princeton University Press |anno=2005 |isbn= 978-0-691-09565-3 |capitolo= 3: The Bernoullis (Johann and <math>x^x</math>) |pp= [https://archive.org/details/calculusgallerym00dunh_225/page/n60 46]–51}}
* [[OEIS]], (successione [https://oeis.org/A083648 A083648] in OEIS) e (successione [https://oeis.org/A073009 A073009] in OEIS)
* Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/SophomoresDream.html "Sophomore's Dream"]. [[MathWorld]].
* Max R. P. Grossmann (2017): [http://max.pm/publications/soph-1m.txt Sophomore's dream.] 1,000,000 cifre della prima costante

===Funzione ''x''<sup>''x''</sup>===
* [http://math.eretrandre.org/tetrationforum/showthread.php?tid=426 Literature for x^x and Sophomore's Dream], Tetration Forum,  03/02/2010
* ''[http://eretrandre.org/rb/files/JayFantini1998_203.pdf The Coupled Exponential],'' Jay A. Fantini, Gilbert C. Kloepfer, 1998
* [http://math.eretrandre.org/tetrationforum/attachment.php?aid=788 Sophomore's Dream Function], Jean Jacquelin, 2010, 13 pp.
* {{Cita pubblicazione|cognome1= Lehmer |nome1= D. H. | doi = 10.1216/RMJ-1985-15-2-461|titolo= Numbers associated with Stirling numbers and ''x''<sup>''x''</sup> |rivista= Rocky Mountain Journal of Mathematics |volume= 15 |p= 461 |anno= 1985 }}
* {{Cita pubblicazione|cognome1= Gould |nome1= H. W. | doi = 10.1216/rmjm/1181072076 |titolo= A Set of Polynomials Associated with the Higher Derivatives of ''y&nbsp;=&nbsp;x''<sup>''x''</sup>|rivista= Rocky Mountain Journal of Mathematics |volume= 26 |p= 615 |anno= 1996 }}

==Voci correlate==
* [[Serie (matematica)]]
* [[Serie di potenze]]
* [[Funzione Gamma]]
* [[Integrazione per parti]]

[[Categoria:Serie matematiche]]
[[Categoria:Costanti matematiche]]
[[Categoria:Calcolo integrale]]

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