Problema di Thomson
L'obiettivo del '''problema di Thomson''' è di determinare la configurazione di minima [[energia potenziale elettrica]] di <math>N</math> [[elettrone|elettroni]] vincolati sulla superficie di una sfera unitaria e che si respingono a causa della [[forza di Coulomb]]. Il problema fu posto da [[J. J. Thomson]] nel 1904 <ref>{{Cita pubblicazione|cognome=Thomson|nome=Joseph John|wkautore=Joseph John Thomson|titolo=On the Structure of the Atom: an Investigation of the Stability and Periods of Oscillation of a number of Corpuscles arranged at equal intervals around the Circumference of a Circle; with Application of the Results to the Theory of Atomic Structure|rivista=Philosophical Magazine|serie=Serie 6|volume=7|numero=39|pp=237–265|data=Marzo 1904|url=http://www.cond-mat.physik.uni-mainz.de/~oettel/ws10/thomson_PhilMag_7_237_1904.pdf|urlmorto=sì|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20131213172104/http://www.cond-mat.physik.uni-mainz.de/~oettel/ws10/thomson_PhilMag_7_237_1904.pdf|dataarchivio=13 dicembre 2013}}</ref> dopo aver proposto un modello atomico, successivamente chiamato [[Modello atomico di Thomson|''modello a panettone'']], basato sul fatto che gli elettroni sono carichi negativamente mentre gli atomi sono neutri .

Problema relativi includono lo studio della geometria della configurazione di minima energia e lo studio del comportamento per <math>N</math> molto grandi.

== Enunciato matematico ==
Il sistema fisico relativo al problema di Thomson è un caso speciale di uno dei diciotto problemi irrisolti proposti dal matematico [[Stephen Smale]] — "Distribuzione di punti su una 2-sfera".<ref>
{{Cita pubblicazione|nome=S. |cognome= Smale|titolo= Mathematical Problems for the Next Century|rivista= Mathematical Intelligencer|data=1998|volume=20|numero=2|pp=7–15|doi=10.1007/bf03025291}}</ref> La soluzione per ogni <math>N</math> è ottenuta quando la configurazione degli elettroni vincolati sulla  superficie della sfera di raggio <math>r=1</math> possiede un minimo globale della energia potenziale elettrica, <math>U(N)</math>.

L'energia di interazione elettrostatica tra ogni coppia di elettroni di uguale carica (<math>e_i = e_j = e</math>, con <math>e</math> la [[carica elementare]] dell'elettrone) è data dalla legge di Coulomb,

:<math>U_{ij}(N)=k_e{e_i e_j \over r_{ij}}.</math>

Qui, <math>k_e</math> è la [[costante di Coulomb]] e <math>r_{ij}=|\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j|</math> è la distanza fra ogni coppia di elettroni collocati in punti della sfera definiti dai vettori <math>\mathbf{r}_i</math> e <math>\mathbf{r}_j</math>, rispettivamente.

Senza perdita di generalità, si possono usare unità più semplici in cui <math>e=1</math> e <math>k_e=1</math>. Allora,

:<math>U_{ij}(N) = {1 \over r_{ij}}.</math>

L'energia potenziale elettrica di ogni configurazione di <math>N</math> allora può essere espressa come la somma delle interazioni fra tutte le coppie

:<math>U(N) =  \sum_{i < j} \frac{1}{r_{ij}}.</math>

Il minimo globale di <math>U(N)</math> su tutte le possibili collezioni di <math>N</math> punti distinti è tipicamente trovata attraverso algoritmi di minimizzazione numerica.

===Esempio===
La soluzione del problema di Thomson per due elettroni è ottenuto quando entrambi gli elettroni sono il più lontano possibile su punti opposti rispetto all'origine, <math>r_{ij} = 2r = 2</math>, o

:<math>U(2) = {1 \over 2}.</math>

== Principali soluzioni conosciute ==
[[File:N 2 to 5 ThomsonSolutions.png|thumb|Soluzione schematiche del problema matematico di Thomson fino a <math>N</math> elettroni]]

Le configurazioni di minima energia sono state rigorosamente trovate solo in una manciata di casi.

* Per <math>N=1</math>, la soluzione è banale poiché l'elettrone può collocarsi in ogni punto sulla superficie della sfera. L'energia totale della configurazione è definita zero dal momento che non è soggetto a nessun campo elettrico prodotto da altre cariche.
* Per <math>N=2</math>, la configurazione ottimale consiste di elettroni in [[punti antipodali (matematica)|punti antipodali]].
* Per <math>N=3</math>, gli elettroni risiedono ai vertici di un triangolo equilatero inscritto in una [[cerchio massimo]].<ref>L. Foppl, "Stabile anordnungen von elektronen im atom", ''J. Reine Angew. Math.'', 141 (1912), 251–301.</ref>
* Per <math>N=4</math>, gli elettroni risiedono ai vertici di un [[tetraedro]] regolare.
* Per <math>N=5</math>, fu riportata nel 2010 una soluzione rigorosa fornita dal computer con gli elettroni collocati ai vertici di un dipiramide triangolare.<ref>https://arxiv.org/abs/1001.3702</ref>
* Per <math>N=6</math>, gli elettroni stanno sui vertici di un [[ottaedro]] regolare.<ref>V.A. Yudin, "The minimum of potential energy of a system of point charges", ''Discretnaya Matematika'' 4(2) (1992), 115–121 (in russo); Discrete Math. Appl., 3(1) (1993), 75–81</ref>
* Per <math>N=12</math>, gli elettroni risiedono ai vertici di un [[icosaedro]] regolare.<ref>N.N. Andreev, "An extremal property of the icosahedron", ''East J. Approximation'', 2(4) (1996), 459–462 Zbl [https://zbmath.org/?format=complete&q=an:0877.51021 0877.51021]</ref>

Si nota che le soluzioni geometriche per il problema di Thomson nei casi di <math>N=4</math>, <math>6</math> e <math>12</math> elettroni sono conosciute come [[solidi platonici]] le cui facce sono triangoli equilateri. Soluzioni numeriche per <math>N=8</math> e <math>20</math> non sono i rimanenti poliedri regolari dei solidi platonici, le cui facce sono quadrati e pentagoni, rispettivamente.

== Generalizzazioni ==
Si potrebbe anche richiedere lo stato fondamentale di particelle interagenti con potenziali arbitrari.
Per essere matematicamente precisi, sia <math>f</math> una funzione decrescente a valori reali, e si definisce l'energia funzionale come <math> \sum_{i < j} f(|x_i-x_j|)</math>

Tradizionalmente, si considera <math> f(x)=x^{-\alpha} </math> anche conosciute come <math>\alpha</math>-nuclei di Riesz. Per nuclei di Riesz integrabile vedere;<ref>Landkof, N. S. Foundations of modern potential theory. Tradotto dal russo by A. P. Doohovskoy. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x+424 pp.</ref> per nuclei non integrabili, vale il ''teorema del bagel ai semi di papavero'', si veda.<ref>Hardin, D. P.; Saff, E. B. Discretizing manifolds via minimum energy points. Notices Amer. Math. Soc. 51 (2004), no. 10, 1186–1194</ref> I casi rilevanti sono: <math>\alpha\to\infty</math>, il ''problema di Tammes'' (impacchettamento); <math>\alpha=1</math>, il ''problema di Thomson''; <math>\alpha=0</math>, il ''problema di Whyte'' (per massimizzare il prodotto di distanze).

Si può anche considerare la configurazione di <math>N</math> punti su una [[ipersfera|sfera di maggiore dimensione]].

== Relazione ad altri problemi scientifici ==
Il problema di Thomson è una naturale conseguenza del [[Modello atomico di Thomson|''modello a panettone'']] in assenza della carica positiva uniformemente distribuita nell'atomo.<ref>Y. Levin and J. J. Arenzon, ''Why charges go to the Surface: A generalized Thomson Problem'' Europhys. Lett. Vol. 63 p. 415 (2003)</ref>

Sebbene le evidenze sperimentali portarono all'abbandono del modello di Thomson sulla struttura atomico, sono state trovate irregolarità nelle soluzioni numeriche del problema di Thomson che corrispondono al riempimento del guscio elettronico negli elementi naturali della [[tavola periodica]].<ref>{{Cita pubblicazione|cognome=LaFave Jr|nome=Tim|titolo=Correspondences between the classical electrostatic Thomson problem and atomic electronic structure|rivista=Journal of Electrostatics|volume=71|numero=6|pp=1029–1035|data=Dicembre 2013|url=http://www.pagesofmind.com/FullTextPubs/La13-LaFave-2013-Correspondences-between-the-Thomson-Problem-and-Atomic-Structure.pdf|accesso=10 febbraio 2014|doi=10.1016/j.elstat.2013.10.001|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20140222100807/http://www.pagesofmind.com/FullTextPubs/La13-LaFave-2013-Correspondences-between-the-Thomson-Problem-and-Atomic-Structure.pdf|dataarchivio=22 febbraio 2014|urlmorto=sì}}</ref>

Il problema di Thomson ha un ruolo importante nello studio di altri modelli fisici, inclusi nelle bolle multi-elettroniche e la disposizione superficiale delle gocce di un metallo liquido confinate nella [[trappola ionica quadrupolare|trappola ionica di Paul]].

Il problema di Thomson generalizzato compare, per esempio, nel determinare la disposizione delle subunità proteiche che si trovano nei gusci di [[virus (biologia)|virus]] sferici. Le "particelle" in questa applicazione sono un gruppo di subunità collocato su un guscio. Altre realizzazioni includono la sistemazione regolare di particelle colloidale nei ''colloidosomi'', proposti per l'incapsulamento di principi attivi come farmaci, nutrienti o cellule viventi, la disposizione degli atomi di Carbonio nel [[fullerene]] e la [[teoria VSEPR]]. Un esempio con interazioni logaritmiche a lungo raggio è fornito dai ''vortici di Abrikosov'' che si formano a basse temperature nei gusci metallici [[Superconduttività|superconduttori]] con un grande monopolo al centro.

== Configurazioni di minima energia conosciute ==
Nella seguente tabella <math>N</math> è il numero di punti (cariche) in una configurazione,  <math>E_1</math> è l'energia, il tipo di simmetria è dato nel [[Sistema Schoenflies]] (vedere [[classe di simmetria|gruppo puntuale]]), e <math>r_i</math> sono le posizioni delle cariche. Molti tipi di simmetria richiedono che la somma vettoriale delle posizioni (e quindi il [[momento di dipolo elettrico]]) sia zero.

È consueto anche considerare il poliedri formati dall'[[inviluppo convesso]] dei punti. Perciò, <math>v_i</math> è il numero di vertici in cui si incontrano un determinato numero di spigoli, '<math>e</math> è il numero totale di spigoli, <math>f_3</math> è il numero di facce triangolari, <math>f_4</math> è il numero di facce quadrilatere e <math>\theta_1</math> il più piccolo angolo sotteso dai vettori associati alla coppia di cariche più vicina. Si noti che di solito gli spigoli non sono tutti della stessa lunghezza; pertanto (eccetto nei casi <math>N=4</math>, <math>6</math>, <math>12</math> e <math>24</math>) l'inviluppo convesso è solo [[topologia|topologicamente]] equivalente ad un [[poliedro uniforme]] o un [[solido di Johnson]] elencati nell'ultima colonna.<ref>
Kevin Brown.
[http://mathpages.com/home/kmath005/kmath005.htm "Min-Energy Configurations of Electrons On A Sphere"].
</ref>
{| class="wikitable"
|-
! ''N''
! <math>E_{1}</math>
! [[Classe di simmetria|Simmetria]]
! <math>\left| \sum \mathbf{r}_i \right| </math>
! <math>v_3</math>
! <math>v_4</math>
! <math>v_5</math>
! <math>v_6</math>
! <math>v_7</math>
! <math>v_8</math>
! <math>e</math>
! <math>f_3</math>
! <math>f_4</math>
! <math>\theta_1</math>
! Poliedro equivalente
|-
| align=right | 2
| align=right | 0.500000000
| align=center | <math>D_{\infty h}</math>
| align=center | 0
| align=center | –
| align=center | –
| align=center | –
| align=center | –
| align=center | –
| align=center | –
| align=right | 1
| align=center | –
| align=center | –
| align=right | 180.000°
| digono
|-
| align=right | 3
| align=right | 1.732050808
| align=center | <math>D_{3h}</math>
| align=center | 0
| align=center | –
| align=center | –
| align=center | –
| align=center | –
| align=center | –
| align=center | –
| align=right | 3
| align=right | 1
| align=center | –
| align=right | 120.000°
| [[triangolo]]
|-
| align=right | 4
| align=right | 3.674234614
| align=center | <math>T_d</math>
| align=center | 0
| align=right | 4
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 6
| align=right | 4
| align=right | 0
| align=right | 109.471°
| [[tetraedro]]
|-
| align=right | 5
| align=right | 6.474691495
| align=center | <math>D_{3h}</math>
| align=center | 0
| align=right | 2
| align=right | 3
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 9
| align=right | 6
| align=right | 0
| align=right | 90.000°
| dipiramide triangolare
|-
| align=right | 6
| align=right | 9.985281374
| align=center | <math>O_h</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 6
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 8
| align=right | 0
| align=right | 90.000°
| [[ottaedro]]
|-
| align=right | 7
| align=right | 14.452977414
| align=center | <math>D_{5h}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 5
| align=right | 2
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 15
| align=right | 10
| align=right | 0
| align=right | 72.000°
| dipiramide pentagonale
|-
| align=right | 8
| align=right | 19.675287861
| align=center | <math>D_{4d}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 8
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 16
| align=right | 8
| align=right | 2
| align=right | 71.694°
| antiprisma quadrato
|-
| align=right | 9
| align=right | 25.759986531
| align=center | <math>D_{3h}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 3
| align=right | 6
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 21
| align=right | 14
| align=right | 0
| align=right | 69.190°
| prisma traingolare triaumentato
|-
| align=right | 10
| align=right | 32.716949460
| align=center | <math>D_{4d}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 2
| align=right | 8
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 24
| align=right | 16
| align=right | 0
| align=right | 64.996°
| dipiramide giroelongata quadrata
|-
| align=right | 11
| align=right | 40.596450510
| align=center | <math>C_{2v}</math>
| align=center | 0.013219635
| align=right | 0
| align=right | 2
| align=right | 8
| align=right | 1
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 27
| align=right | 18
| align=right | 0
| align=right | 58.540°
| icosaedro con spigoli contratti
|-
| align=right | 12
| align=right | 49.165253058
| align=center | <math>I_h</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 30
| align=right | 20
| align=right | 0
| align=right | 63.435°
| [[icosaedro]]
|-
| align=right | 13
| align=right | 58.853230612
| align=center | <math>C_{2v}</math>
| align=center | 0.008820367
| align=right | 0
| align=right | 1
| align=right | 10
| align=right | 2
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 33
| align=right | 22
| align=right | 0
| align=right | 52.317°
|-
| align=right | 14
| align=right | 69.306363297
| align=center | <math>D_{6d}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 2
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 36
| align=right | 24
| align=right | 0
| align=right | 52.866°
| dipiramide giroelongata esagonale
|-
| align=right | 15
| align=right | 80.670244114
| align=center | <math>D_3</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 3
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 39
| align=right | 26
| align=right | 0
| align=right | 49.225°
|-
| align=right | 16
| align=right | 92.911655302
| align=center | <math>T</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 4
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 42
| align=right | 28
| align=right | 0
| align=right | 48.936°
|-
| align=right | 17
| align=right | 106.050404829
| align=center | <math>D_{5h}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 5
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 45
| align=right | 30
| align=right | 0
| align=right | 50.108°
|-
| align=right | 18
| align=right | 120.084467447
| align=center | <math>D_{4d}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 2
| align=right | 8
| align=right | 8
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 48
| align=right | 32
| align=right | 0
| align=right | 47.534°
|-
| align=right | 19
| align=right | 135.089467557
| align=center | <math>C_{2v}</math>
| align=center | 0.000135163
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 14
| align=right | 5
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 50
| align=right | 32
| align=right | 1
| align=right | 44.910°
|-
| align=right | 20
| align=right | 150.881568334
| align=center | <math>D_{3h}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 8
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 54
| align=right | 36
| align=right | 0
| align=right | 46.093°
|-
| align=right | 21
| align=right | 167.641622399
| align=center | <math>C_{2v}</math>
| align=center | 0.001406124
| align=right | 0
| align=right | 1
| align=right | 10
| align=right | 10
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 57
| align=right | 38
| align=right | 0
| align=right | 44.321°
|-
| align=right | 22
| align=right | 185.287536149
| align=center | <math>T_d</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 10
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 60
| align=right | 40
| align=right | 0
| align=right | 43.302°
|-
| align=right | 23
| align=right | 203.930190663
| align=center | <math>D_3</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 11
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 63
| align=right | 42
| align=right | 0
| align=right | 41.481°
|-
| align=right | 24
| align=right | 223.347074052
| align=center | <math>O</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 24
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 60
| align=right | 32
| align=right | 6
| align=right | 42.065°
| [[cubo simo]]
|-
| align=right | 25
| align=right | 243.812760299
| align=center | <math>C_s</math>
| align=center | 0.001021305
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 14
| align=right | 11
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 68
| align=right | 44
| align=right | 1
| align=right | 39.610°
|-
| align=right | 26
| align=right | 265.133326317
| align=center | <math>C_2</math>
| align=center | 0.001919065
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 14
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 72
| align=right | 48
| align=right | 0
| align=right | 38.842°
|-
| align=right | 27
| align=right | 287.302615033
| align=center | <math>D_{5h}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 15
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 75
| align=right | 50
| align=right | 0
| align=right | 39.940°
|-
| align=right | 28
| align=right | 310.491542358
| align=center | <math>T</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 16
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 78
| align=right | 52
| align=right | 0
| align=right | 37.824°
|-
| align=right | 29
| align=right | 334.634439920
| align=center | <math>D_3</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 17
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 81
| align=right | 54
| align=right | 0
| align=right | 36.391°
|-
| align=right | 30
| align=right | 359.603945904
| align=center | <math>D_2</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 18
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 84
| align=right | 56
| align=right | 0
| align=right | 36.942°
|-
| align=right | 31
| align=right | 385.530838063
| align=center | <math>C_{3v}</math>
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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|-
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| align=center | 0
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| align=right | 0
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|-
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| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
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|-
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| align=right | 0
| align=right | 0
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| align=right | 0
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|-
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| align=center | 0
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|-
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| align=center | <math>C_1</math>
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| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 49
| align=right | 0
| align=right | 0
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| align=right | 0
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|-
| align=right | 62
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| align=center | <math>D_{5}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
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| align=right | 0
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|-
| align=right | 63
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| align=center | <math>D_{3}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
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| align=right | 0
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| align=right | 0
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|-
| align=right | 64
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| align=center | <math>D_{2}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
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| align=right | 0
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| align=right | 0
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|-
| align=right | 65
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| align=right | 0
| align=right | 0
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| align=right | 0
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| align=right | 0
| align=right | 24.527°
|-
| align=right | 66
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| align=right | 0
| align=right | 0
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| align=right | 0
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|-
| align=right | 67
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| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
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| align=right | 0
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|-
| align=right | 68
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| align=center | <math>D_{2}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
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| align=right | 0
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| align=right | 24.433°
|-
| align=right | 69
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| align=center | <math>D_{3}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
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| align=right | 0
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| align=right | 134
| align=right | 0
| align=right | 24.137°
|-
| align=right | 70
| align=right | 2127.100901551
| align=center | <math>D_{2d}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
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| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 200
| align=right | 128
| align=right | 4
| align=right | 24.291°
|-
| align=right | 71
| align=right | 2190.649906425
| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.001256769
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 14
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| align=right | 0
| align=right | 207
| align=right | 138
| align=right | 0
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|-
| align=right | 72
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| align=center | <math>I</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 60
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 210
| align=right | 140
| align=right | 0
| align=right | 24.492°
|-
| align=right | 73
| align=right | 2320.633883745
| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.001572959
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 61
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 213
| align=right | 142
| align=right | 0
| align=right | 22.810°
|-
| align=right | 74
| align=right | 2387.072981838
| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.000641539
| align=right | 0
| align=right | 0
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| align=right | 0
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| align=right | 144
| align=right | 0
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|-
| align=right | 75
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| align=center | <math>D_{3}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
| align=right | 12
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|-
| align=right | 76
| align=right | 2522.674871841
| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.000943474
| align=right | 0
| align=right | 0
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| align=right | 0
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| align=right | 148
| align=right | 0
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|-
| align=right | 77
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| align=center | <math>D_{5}</math>
| align=center | 0
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| align=right | 0
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|-
| align=right | 78
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| align=center | <math>T_{h}</math>
| align=center | 0
| align=right | 0
| align=right | 0
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|-
| align=right | 79
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|-
| align=right | 80
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| align=center | <math>D_{4d}</math>
| align=center | 0
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|-
| align=right | 81
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| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.000194289
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|-
| align=right | 82
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| align=center | <math>D_{2}</math>
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|-
| align=right | 83
| align=right | 3027.528488921
| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.000339815
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|-
| align=right | 84
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| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.000401973
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|-
| align=right | 85
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| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.000416581
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|-
| align=right | 86
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| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.001378932
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|-
| align=right | 87
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| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.000754863
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|-
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| align=center | <math>D_{2}</math>
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|-
| align=right | 89
| align=right | 3497.439018625
| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.000070891
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|-
| align=right | 90
| align=right | 3579.091222723
| align=center | <math>D_{3}</math>
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|-
| align=right | 91
| align=right | 3661.713699320
| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.000033221
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|-
| align=right | 92
| align=right | 3745.291636241
| align=center | <math>D_{2}</math>
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| align=right | 0
| align=right | 12
| align=right | 80
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|-
| align=right | 93
| align=right | 3829.844338421
| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.000213246
| align=right | 0
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| align=right | 12
| align=right | 81
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| align=right | 20.751°
|-
| align=right | 94
| align=right | 3915.309269620
| align=center | <math>D_{2}</math>
| align=center | 0
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| align=right | 12
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|-
| align=right | 95
| align=right | 4001.771675565
| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.000116638
| align=right | 0
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| align=right | 83
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|-
| align=right | 96
| align=right | 4089.154010060
| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.000036310
| align=right | 0
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|-
| align=right | 97
| align=right | 4177.533599622
| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.000096437
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|-
| align=right | 98
| align=right | 4266.822464156
| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.000112916
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|-
| align=right | 99
| align=right | 4357.139163132
| align=center | <math>C_{2}</math>
| align=center | 0.000156508
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| align=right | 20.284°
|-
| align=right | 100
| align=right | 4448.350634331
| align=center | <math>T</math>
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| align=right | 294
| align=right | 196
| align=right | 0
| align=right | 20.297°
|}

==Note==
<references/>

==Bibliografia==
*{{cita pubblicazione|autore1=Henry Cohn|autore2=Abhinav Kumar|titolo=Universally optimal distribution of points on spheres|rivista=J. Amer. Math. Soc. 20|numero=1|anno=2007|pagina=99–148|lingua=en}}
*{{cita pubblicazione|autore1=Peter D. Dragnev|autore2=D. A. Legg|autore3=D. W. Townsend|titolo=Discrete logarithmic energy on the sphere|rivista=Pacific J. Math. 207|anno=2002|numero=2|pagina=345–358|lingua=en}}
*{{cita pubblicazione|autore1=T. Erber|autore2=G. M. Hockney|titolo=Complex Systems: Equilibrium Configurations of <math>N</math> Equal Charges on a Sphere <math>(2\leq N\leq 112)</math>|rivista=Advances in Chemical Physics|numero=Volume 98|anno=1997|pagine=495–594|lingua=en}}
*Cris Cecka, Mark J. Bowick, e Arthur A. Middleton: http://thomson.phy.syr.edu/ {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180409064239/http://thomson.phy.syr.edu/ |date=9 aprile 2018 }}
*David J. Wales e Sidika Ulker: http://www-wales.ch.cam.ac.uk/~wales/CCD/Thomson/table.html e anche http://www-wales.ch.cam.ac.uk/~wales/CCD/Thomson2/table.html

==Voci correlate==
*[[Modello atomico di Thomson]]
*[[Teoria VSEPR]]
*[[Classe di simmetria]]
*[[Impacchettamento di sfere]]

{{portale|fisica|matematica}}

[[Categoria:Problemi matematici]]
[[Categoria:Fisica]]