Disequazioni con valore assoluto - WeSchool


In questa lezione abbiamo definito cos’è il 
valore assoluto
, e abbiamo anche visto come si risolve un'equazione che ne contiene almeno uno. Adesso vogliamo invece analizzare le 
disequazioni con valore assoluto
, in cui compariranno uno o più moduli contenenti l’incognita della disequazione.






















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Disequazioni con un solo valore assoluto


Prima di spiegare la regola generale, partiamo direttamente da un esercizio. Consideriamo la disequazione: $$|x-2| < 3x+1$$Come per quanto accadeva nelle equazioni con il valore assoluto, possiamo distinguere due casi: a seconda che $x-2 \geq 0$ o che $x-2 < 0$, possiamo riscrivere $|x-2|$ in maniera differente. Otteniamo quindi i 
sistemi di disequazioni
 di primo grado: $$ \begin{cases} x-2 \geq 0 \\ x-2 < 3x+1 \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} x-2 < 0 \\ 2-x < 3x+1 \end{cases} $$L'unione delle soluzioni dei due sistemi è l’insieme delle soluzioni della disequazione di partenza.
Risolviamo il primo sistema: $$ \begin{cases} x-2 \geq 0 \\ x-2 < 3x+1 \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \begin{cases} x \geq 2 \\ x-3x < 2+1 \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \begin{cases} x \geq 2 \\ x > -\frac{3}{2} \end{cases}$$L’insieme delle soluzioni è quindi $x \geq 2$.


Il secondo sistema invece si risolve così: $$ \begin{cases} x-2 < 0 \\ 2-x < 3x+1 \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \begin{cases} x < 2 \\ -x-3x < -2+1 \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \begin{cases} x < 2 \\ x > \frac{1}{4} \end{cases}$$L’insieme delle soluzioni è dato da $\frac{1}{4} < x < 2$.


Unendo le soluzioni dei due sistemi otteniamo la soluzione generale della disequazione: $$S: x \geq 2 \vee \frac{1}{4} < x < 2 \quad \Rightarrow \quad S : x > \frac{1}{4}$$


 


Possiamo stabilire facilmente una 
regola generale
 per risolvere esercizi di questo genere.


Consideriamo una disequazione con valore assoluto che possa essere ricondotta in una di queste forme:
 $$|A(x)| < B(x), \quad |A(x)| \leq B(x), \quad |A(x)| > B(x), \quad |A(x)| \geq B(x)$$
con $A(x), B(x)$ espressioni generiche contenente l’incognita $x$. Allora l’insieme delle soluzioni di questa disequazione sono date dall’unione degli insiemi delle soluzioni di questi due sistemi di disequazioni: $$\begin{cases} A(x) \geq 0 \\ A(x) \lesseqgtr B(x) \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} A(x) < 0 \\ -A(x) \lesseqgtr B(x) \end{cases}$$


Vediamo quindi una forte analogia con quanto accadeva per le equazioni contenenti valore assoluto.


 


Caso particolare: le disequazioni del tipo $|A(x)| \lesseqgtr k$


Quando $B(x) = k$, cioè nel caso in cui $B(x)$ è costantemente uguale a un numero reale $k$, allora la risoluzione della disequazione si semplifica molto. Riassumiamo le soluzioni delle possibili disequazioni che possono capitarci con una tabella:


 


 $\mathbf{k>0}$


 $\mathbf{k<0}$


 $\mathbf{k=0}$


$|A(x)| < k$


$-k<A(x)<k$


Impossibile


Impossibile


$|A(x)| \leq k$


$-k\leq A(x)\leq k$


Impossibile


$A(x) = 0$


$|A(x)| > k$


$A(x) < -k \vee$ $A(x) > k$


Sempre vera


Vera per $A(x) \neq 0$


$|A(x)| \geq k$


$A(x) \leq -k \vee$ $A(x) \geq k$


Sempre vera


Sempre vera


 


Disequazioni con due o più valori assoluti


Come nel caso delle equazioni con due o più valori assoluti, per risolvere una disequazione di questo tipo bisogna prima 
impostare uno schema
 che illustra come riscrivere ciascun modulo in base al valore che può assumere $x$.


Prendiamo ad esempio la disequazione: $$|2x-1| + |3-x| \leq 4x+4 $$Abbiamo che: $$|2x-1| = \begin{cases} 2x-1 & \ \text{se $2x-1 \geq 0$} \\ -(2x-1) & \ \text{se $2x-1 < 0$} \end{cases} \ \Rightarrow \ |2x-1| = \begin{cases} 2x-1 & \ \text{se $x \geq \frac{1}{2}$} \\ -2x+1 & \ \text{se $x < \frac{1}{2}$} \end{cases} $$e anche: $$|3-x| = \begin{cases} 3-x & \quad \text{se $3-x \geq 0$} \\ -(3-x) & \quad \text{se $3-x < 0$} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad |3-x| = \begin{cases} 3-x & \quad \text{se $x \leq 3$} \\ -3+x & \quad \text{se $x > 3 $} \end{cases}$$Possiamo costruire uno schema per riassumere la situazione:




A questo punto possiamo dire che risolvere la disequazione di partenza è come risolvere l’unione di questi tre sistemi: $$\begin{cases} -2x+1+3-x \leq 4x+4 \\ x < \frac{1}{2} \end{cases} \cup \ \begin{cases} 2x-1+3-x \leq 4x+4 \\ \frac{1}{2} \leq x \leq 3 \end{cases} \cup \ \begin{cases} 2x-1-3+x \leq 4x+4 \\ x > 3 \end{cases}$$che, svolgendo i conti, diventano: $$ \begin{cases} x \geq 0 \\ x < \frac{1}{2} \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} x \geq -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{2} \leq x \leq 3 \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} x \geq -8 \\ x > 3 \end{cases}$$Il primo sistema ha soluzione $S_1: 0 \leq x < \frac{1}{2}$, il secondo $S_2: \frac{1}{2} \leq x \leq 3$ mentre il terzo $S_3 : x > 3$: Quindi l’unione di questi insiemi, che è la soluzione della disequazione di partenza, è $S: x \geq 0$.


 


Ricapitolando quanto abbiamo fatto, possiamo stabilire un 
metodo generale
 per affrontare le disequazioni con più di un valore assoluto, che è del tutto analogo a quello utilizzato per risolvere le equazioni di questa tipologia.


Analizzare
 ciascun valore assoluto separatemente, per capire come si può riscrivere senza utilizzare il modulo.


Riassumere
 l’analisi ottenuta in uno schema, che indica come poter riscrivere ciascun valore assoluto in funzione del valore che assume $x$.


Costruire
 i sistemi che tengano conto di quanto ottenuto al punto precedente; cioè, costruire un sistema per ogni intervallo determinato nello schema dei moduli, contenente la disequazione di partenza riscritta in maniera opportuna.


Risolvere
 ciascun sistema e unire le soluzioni ottenute.



