Introduzione al calcolo delle probabilità - WeSchool


Il sole sorge, la mattina. Una moneta cade di testa. Si gioca alla roulette ed esce un numero rosso. Un atomo di idrogeno acquista sufficienti elettroni, protoni e neutroni da diventare oro. Tutte queste, sono “
cose che accadono
”, o che, per lo meno, possono accadere. Ma non ci vuole un genio per capire, dall’esperienza quotidiana, che il primo evento è certo, avviene cioè con sicurezza, sempre; il secondo accadrà più o meno la metà delle volte che una moneta viene lanciata, così come più o meno metà delle giocate alla roulette risulteranno in un numero rosso; il quarto è un evento così raro che prima della scoperta della meccanica quantistica non era stato nemmeno preso in considerazione. 





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Lo scopo del 
calcolo delle probabilità
 è 
fornire delle premesse teoriche per schematizzare
, in modo scientifico e matematico, le nozioni intuitive che riguardano gli 
eventi
, la loro 
possibilità di verificarsi e di quantificare quanto sia probabile che un determinato evento avvenga o non avvenga
. Quello che vogliamo fare, quindi, è definire che cos’è l’
esito
 di un esperimento o di un’osservazione
, come possiamo considerare e definire gli 
eventi 
in generale, e in che modo si può misurare la 
probabilità 
che avvengano determinati eventi. 


Scegliamo innanzitutto un 
fenomeno da studiare
 (il sorgere del sole, il lancio di una moneta, eccetera), e andiamo a considerare 
tutti i possibili esiti
 di tale fenomeno. Nel caso del sole, gli esiti possibili potrebbero essere “il sole sorge” e “il sole non sorge”. Nel caso della moneta, “la moneta cade su testa”, “la moneta cade su croce”, ma anche “la moneta cade di taglio” o “un gabbiano passa e si mangia la moneta”. Per la roulette, gli eventi potrebbero essere rappresentati da tutti i possibili numeri su di essa, da $0$ a $36$. Tutti questi sono detti, in calcolo delle probabilità, 
eventi elementari
, e vengono raggruppati in un insieme detto 
Spazio dei Campioni 
o 
Spazio Campionario
. Generalmente (e così faremo qui) esso viene indicato con la lettera $\Omega$, che si legge omega (è l’ultima lettera dell’alfabeto greco), mentre ci si riferisce ad un generico evento elementare con la lettera $\omega$ (che è sempre la lettera omega, minuscola). 


Spesso però uno spazio dei campioni non è quello che vogliamo indagare: ad esempio, nel caso della roulette, potremmo essere interessati a sapere se (o prevedere quanto sia probabile che) esca un numero 
rosso
 o 
nero
, non al fatto che esca il $2$ o il $33$. Quel che vogliamo fare è quindi 
raggruppare un po’ di eventi elementari assieme
, o, con un linguaggio matematico, considerare dei 
sottoinsiemi di 
$\Omega$; generalmente, sottoinsiemi di $\Omega$ sono indicati con delle lettere latine maiuscole, come $A, B, C, \dots \subseteq \Omega$. Questi sottoinsiemi prendono il nome di 
eventi
 (non più elementari). 


Ma con quali criteri scegliamo questi sottoinsiemi? Come decidiamo che cos’è un evento e cosa no? Il calcolo delle probabilità ci dice che le domande alle quali dobbiamo saper rispondere perché la nostra indagine abbia un senso sono almeno queste: 


Dobbiamo sapere che 
è successo qualcosa
; dato che $\Omega$ è l’insieme di tutti gli esiti possibili, vogliamo saper dire qualcosa su $\Omega$ in totale: d’altra parte, insiemisticamente, anche $\Omega$ è un sottoinsieme di $\Omega$! Sarebbe sciocco non considerarlo come evento. 


Se sappiamo o vogliamo dire qualcosa sulla possibilità di un evento $A$ di verificarsi, vogliamo saper dire qualcosa sul suo 
complementare 
(che insiemisticamente è $\Omega \setminus A$), ossia sulla possibilità che 
non si verifichi
. Come a dire, se “$A$” è un evento, anche “non $A$” deve essere un evento. 


Se abbiamo a disposizione due eventi, $A$ e $B$, dobbiamo poter dire che cosa succede quando si verificano 
entrambi
, ossia il sottoinsieme $A \cap B$. In pratica, se “$A$” e “$B$” sono eventi, anche “si verificano $A$ e $B$” è un evento. 


Se abbiamo a disposizione due, tre, o un po’ di eventi, $A$, $B$, $C$, eccetera, dobbiamo poter descrivere l’occorrenza di 
almeno uno
 di questi eventi, rappresentata dall’insieme $A \cup B \cup C \cup \dots$. Per esempio, se $A$ e $B$ sono eventi, anche “si verifica $A$ o $B$” è ancora un evento. 


Se andiamo a considerare, come eventi, 
tutti
 i sottoinsiemi possibili di $\Omega$, siamo sicuri che i requisiti precedenti sono verificati. Ma a volte non è necessario andare ad elencarli proprio tutti: magari siamo interessati solo ad alcuni di essi; altre volte, elencarli tutti è eccessivamente complicato. Le ipotesi di minima che pone il calcolo delle probabilità in questo caso è un oggetto matematico che va sotto il nome di $\sigma$
-algebra di eventi
. Con un linguaggio un po’ complicato, definiamo $\sigma$
-algebra degli eventi
 una qualsiasi collezione di eventi $\mathcal{F}$ che soddisfi ai seguenti requisiti: 


$\Omega \in \mathcal{F}$ ($\Omega$ è un evento) 


$A \in \mathcal{F} \Rightarrow \Omega \setminus A \in \mathcal{F}$ (il 
complementare 
di $A$ è un evento) 


$A_i \in \mathcal{F}\ \ \forall i \in \mathbb{N} \Rightarrow \bigcup_{i = 1}^{\infty} A_i \in \mathcal{F}$ (l’
unione numerabile 
degli $A_i$ è un evento) 


Si noti che dalle proprietà precedenti si può dedurre anche che l’
intersezione numerabile 
di eventi è ancora un evento, ossia che $A_i \in \mathcal{F} \forall i \in \mathbb{N} \Rightarrow \bigcap_{i = 1}^{\infty} A_i \in \mathcal{F}$. Questo si ottiene usando le 
leggi di deMorgan
 e la definizione di differenza insiemistica. 
Un’osservazione importate è che l’insieme $\mathcal{P} ( \Omega)$ delle parti di $\Omega$, cioè l’insieme di tutti i suoi sottoinsiemi, soddisfa alle proprietà 1., 2. e 3. ed è quindi una papabile $\sigma$-algebra degli eventi: quindi si può sempre prendere $\mathcal{P} ( \Omega )$ come spazio degli eventi. 


In riferimento alla roulette, proviamo a vedere come possiamo focalizzare la nostra attenzione solo sull’evento “
colore di un numero
”, non sul numero stesso. Nella roulette classica ci sono 18 numeri rossi, 18 numeri neri e un numero, lo $0$, che non ha colore. Allora gli eventi che considereremo saranno:##KATEX##\begin{aligned}& \text{R} = \{ 1,3,5, 7,9,12, 14, 16, 18, 19 , 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36\} \\ & \text{N} = \{2, 4, 6, 8, 10,11,13,15,17,20,22,24,26,28,29,31,33,35\} \\ & \text{Z} = \{ 0 \} \end{aligned}##KATEX##Vediamo se questi sono sufficienti a fare un’algebra di eventi. Innanzitutto, dobbiamo considerare $\Omega$; poi abbiamo $\text{R}$, $\text{N}$ e $\text{Z}$, appena definiti. Dobbiamo considerare i loro complementari, $\Omega \setminus \text{R}$, $\Omega \setminus \text{N}$ e $\Omega \setminus \text{Z}$. L’intersezione di due tra $\text{R}$, $\text{N}$ o $\text{Z}$ è nulla, l’insieme vuoto $\emptyset$: dobbiamo considerare anche lui. L’unione tra $\text{N}$ ed $\text{R}$ fa tutto $\Omega$ meno $\text{Z}$, cioè il complementare di $\text{Z}$, che abbiamo già considerato: lo stesso succede se consideriamo le altre due unioni possibili. In definitiva, l’algebra degli eventi che abbiamo generato a partire da $\text{N}$, $\text{R}$ e $\text{Z}$, è$$ \mathcal{F} = \left\{ \emptyset, \text{N}, \text{R}, \text{Z}, \Omega \setminus \text{N}, \Omega \setminus \text{R}, \Omega \setminus \text{Z}, \Omega \right\}$$ 


Ora che abbiamo a disposizione gli eventi, ci manca solo di capire 
come misurare quanto sia possibile che un evento accada
. Il calcolo delle probabilità non dà una risposta universale, ma ci fornisce una 
struttura
 
logica 
alla quale devono obbedire le probabilità dei singoli eventi perchè si possa effettivamente parlare di probabilità. In particolare, vogliamo definire una 
misura di probaiblità 
$P$, una 
legge matematica che a ciascun evento 
$A \in \mathcal{F}$ 
associa la probabilità che tale evento si verifichi
, misurata con un numero tra $0$ e $1$ . Matematicamente, abbiamo da definire una funzione$$ P: \mathcal{F} \longrightarrow \mathbb{R}$$Questa funzione $P$ deve soddisfare alle seguenti caratteristiche: 


Se $A \in \mathcal{F}$, $P(A) \geq 0$ (assioma di 
non negatività
) 


$P(\Omega) = 1$ (assioma di 
normalizzazione
) 


Se $A_i \in \mathcal{F}$, con $i \in \mathbb{N}$, e $A_i \cap A_j = \emptyset $ se $A_i \neq A_j$, deve valere $P\left( \bigcup_{i = 1}^{\infty} A_i \right) = \displaystyle{\sum_{i = 1}^\infty} P\left( A_i \right)$ (assioma di 
additività
) 


Se queste sembrano formule troppo complicate, cerchiamo di affrontarle una per una e di renderci conto che, in realtà, sono richieste molto ragionevoli. 


La prima proprietà, detto 
assioma di non negatività
, semplicemente ci permette di interpretare la misura di probabilità di un evento come quello che intuitivamente chiamiamo 
misura 
di qualcosa: un 
numero positivo
. Non ci aspetteremmo mai che qualcosa pesi $-7 \text{ kg}$, o che misuri $-13 \text{ cm}$ di lunghezza; allo stesso modo, non ci aspettiamo che un certo evento abbia una probabilità dello $-0.46$ di accadere. 


La proprietà di 
normalizzazione 
ci dice che la probabilità che succeda 
qualcosa 
è $1$: ricordiamo infatti che $\Omega$ è l’insieme di tutti i risultati possibili delle operazioni che stiamo indagando, e se qualcosa effettivamente accade, questo è un elemento di $\Omega$. Questo ci permette di “tarare” la nostra valutazione di quanto un evento sia probabile o meno. Si noti che questo numero, $1$, potrebbe essere sostituito da qualunque altro numero reale positivo: $0.4$, $e$, $\pi$, $7$, è solo una questione di “unità di misura”. La scelta specifica di “$1$” deriva dai legami del calcolo delle probabilità con la 
statistica
, e con la nostra 
nozione intuitiva di probabilità
, intesa come rapporto tra il numero di casi favorevoli e numero di casi possibili. 


L’
assioma di additività
 
è una “semplice” questione insiemistica. Come si fa a contare la probabilità che il risultato che voglio indagare faccia parte del verificarsi di un evento oppure di un altro evento? Cioè, come faccio a misurare la probabilità del verificarsi dell’unione di due eventi? Se i due eventi in questione sono 
disgiunti
, basterà sommare la probabilità che accada un evento alla probabilità che accada l’altro evento. Questo rimane vero anche se prendo un po’ di eventi, purchè essi rimangano disgiunti: si avrà sempre la somma delle singole probabilità. Se fosse presente l’intersezione di due eventi, alcuni risultati potrebbero essere “conteggiati” più volte: sono necessari teoremi un po’ più avanzati per calcolare una simile probabilità (in particolare, il 
Teorema di Bayes
). Si noti che questi sono assiomi; la nozione di 
eventi compatibili o indipendenti
 è una conseguenza di questa scelta. 


Se abbiamo a disposizione uno spazio dei campioni $\Omega$, un’algebra degli eventi $\mathcal{F}$ e una misura di probabilità $P$, la terna $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ viene detta 
Spazio di Probabilità
. Si noti che, data una coppia spazio dei campioni - algebra degli eventi, più di una misura di probabilità sono possibili su di loro, dando così luogo a diversi spazi di probabilità. 


La 
nozione classica di probabilità
 prevede la seguente interpretazione: $\Omega$ viene preso come l’insieme contenente tutti gli esiti possibili; come algebra degli eventi viene scelto l’insieme delle parti di $\Omega$, $\mathcal{P} (\Omega)$; come misura di probabilità viene scelta quella che a ciascun evento assegna la frazione che al numeratore porta “
il numero di casi favorevoli al verificarsi dell’evento
”, mentre al denominatore si trova “
il numero di casi possibili
”:$$ P = \frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}}$$Questa definizione è molto intuitiva, e, ci teniamo a sottolineare, è corretta e funzionale, ove applicabile: di fondamentale importanza è quindi il 
calcolo combinatorio
, in questo frangente, che permette di calcolare proprio questo rapporto, anche in situazioni molto complicate. il problema si inizia a presentare quando il “numero” dei “casi” inizia a diventare infinito, o non si capisce bene che cosa sia un “caso”. In ogni caso, si noti che 
la probabilità di evento corrisponde
, in qualche modo, alla “
misura di 
$A$”, diviso per la “
misura dello spazio totale 
$\Omega$”. Quest’idea di calcolo di probabilità era in voga sino a quando, intorno al 1930, il matematico russo 
Andrej Nikolaevic Kolmogorov
, rivoluzionò completamente la disciplina, dandovi l’impostazione che abbiamo qui seguito. I tre assiomi della misura di probabilità infatti sono noti sotto 
assiomi di Kolmogorov
, proprio in suo onore. 


Con gli assiomi che abbiamo incluso, è possibile dimostrare numerose proprietà di una misura di probabilità. In particolare, abbiamo le seguenti. 


Se un evento è contenuto in un altro evento, cioè se $A \subset B$, allora $P(A) \leq P(B)$. 


È possibile calcolare la probabilità del complementare di un evento, e vale $P(\Omega \setminus A) = 1 - P(A)$. 


Dati due eventi $A$ e $B$, vale la formula $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. 



