Esercizio svolto sulla teoria degli errori - WeSchool


Vogliamo 
misurare
 quanto è lungo il nostro tavolo. Effettuiamo varie misurazioni e otteniamo i seguenti risultati:








1,5 m


1,6 m


1,7 m


1,5 m


1,4 m








 





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
Calcoliamo ora 
valor medio
, ed errore assoluto, relativo e percentuale.


Per calcolare il 
valore medio
 eseguiamo la media matematica $$ X_m = \frac{1,5 + 1,6 + 1,7 + 1,5 + 1,4}{5} = 1,54 \text{m} $$


Per calcolare l’
errore assoluto
 usiamo la 
semidispersione massima
, ossia la metà della massima differenza tra i valori ottenuti: $$ \Delta x = \frac{x_{\text{max}} - x_{\text{min}}}{2} = \frac{1,7 - 1,4}{2} = 0,15 \text{m} $$


La nostra misurazione quindi può essere indicata come 
$$ X = \text{lunghezza del tavolo} = 1,54 \text{m } \pm 0,15 \text{m} $$


L’
errore relativo
 $E_r$ è invece il rapporto tra l’errore assoluto $E_a$ e il valor medio $X_m$: approssimando l’errore assoluto con la semidispersione massima ottenaimo $$ E_r = \frac{E_a}{X_m} = \frac{0,15}{1,54} = 0,097 $$


Notiamo che non c’è un’unità di misura, dato che $E_r$ è il rapporto tra due misure omogenee, metro / metro.


Per calcolare l'
errore percentuale
 moltiplichiamo l'errore relativo $E_r$ per $100$ 
$$ E_{\%} = 0,097 \cdot 100 = 9,7\ \% $$


Per calcolare la 
deviazione standard
:


Calcoliamo la differenza tra i valori delle misurazioni e il valore medio, ovvero gli scarti: $1,5-1,54= -0,04$; $1,6-1,54 = 0,06$; $1,7-1,54 = 0,16$; $1,5-1,54=-0,04$; $1,4-1,54=-0,14$.


Sommiamo il quadrato di ogni scarto: $(-0,04)^2 + (0,06)^2 + (0,16)^2 + (-0,04)^2 + (-0,14)^2 =$ $ 0,0016 + 0,0036 + 0,0256 + 0,0016 + 0,0196 = 0,052 $


Dividiamo il risultato per $N = 5$ o per $N-1 = 4$ per ottenere la 
varianza campionaria
: nel primo caso otteniamo un valore meno preciso, quindi preferiamo usare il secondo valore: $ \frac{0,052}{N-1} = \frac{0,052}{4} = 0,013 $, mentre dividendo per $N$ otterremmo $\frac{0,052}{5} = 0,0104$


La 
deviazione standard
 è la radice quadrata della varianza: $\sigma = \sqrt{0,013} = 0,11$.

