Equazioni e disequazioni parametriche di primo grado: discussione - WeSchool


Definizione


Un’
equazione parametrica
 (o anche 
equazione letterale
) 
di primo grado
 è un’equazione di primo grado in una incognita, in cui compaiono anche una o più lettere diverse da essa. Inoltre, ogni volta che si assegna un valore numerico a ciascuna di queste lettere, si deve ottenere un’equazione numerica di primo grado nell’incognita scelta.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
Le lettere che non sono l’incognita vengono chiamate 
parametri
 dell’equazione.


 


Facciamo alcuni esempi. Se $x$ è l’incognita che stiamo considerando, sono equazioni parametriche di primo grado:


$ax+(1-2a)x = a + 3$, con parametro $a$;


$\frac{b}{1+r}x + x = b-r$, con parametri $b, r$;


$\sqrt{a} - 7c = l^2x-5$, con parametri $a, c, l$. 


Invece, NON sono equazioni parametriche di primo grado:


$x^2 + 3 = 2x-1$, poiché nel primo termine $x$ ha grado $2$;


$\frac{1}{x} = \frac{1}{a}$, poiché $x$ è al denominatore;


$\sqrt[a]{x} = 2x+4$, poiché per $a \neq 1$ l’equazione non è di primo grado in $x$.


 


Schema risolutivo di un’equazione parametrica di primo grado


Per risolvere un’equazione parametrica di primo grado, bisogna seguire un procedimento ben preciso. Spesso questo procedimento viene chiamato 
discussione
 dei parametri contenuti nell’equazione.


Stabilire se esistono valori per i parametri che rendono l’equazione priva di significato. Una volta stabilito questo insieme $E$ di valori, escluderli e proseguire.


Prendere l’equazione parametrica e ridurla nella forma canonica $Ax = B$, senza moltiplicare o dividere l’equazione per una quantità che contiene i parametri. Con $A$ e $B$ indichiamo delle espressioni che possono contenere i parametri dell’equazione.


Trovare l’insieme $Z$ dei valori da assegnare ai parametri in modo che sia $A = 0$. Sostituire ciascuno di questi valori nell’equazione (facendo attenzione che non siano elementi di $E$, che abbiamo escluso) e risolvere l’equazione ottenuta, tenendo presente che i soli risultati possibili sono “equazione impossibile” o “equazione indeterminata”.


Presentare la “soluzione generale” dell’equazione parametrica, nella forma: $x = \frac{B}{A}$ per tutti i valori dei parametri che non sono in né in $Z$ né in $E$.


Ricapitolare in maniera ragionata quanto ottenuto ai punti 1, 3 e 4. 


Chiariamo con un esempio come utilizzare questo schema.
Consideriamo l’equazione: $$a^2x - \frac{a+1}{a-1} = \frac{1}{a-1}+4x$$nell’incognita $x$, con un parametro $a$.


Se poniamo $a = 1$ il denominatore dei termini $\frac{a+1}{a-1}, \frac{1}{a-1}$ diventa uguale a zero. Questa situazione non è accettabile, dato che la divisione per zero è priva di significato. Quindi dobbiamo escludere il valore $a=1$; cioè, $E = \{1\}$.


Svogliamo i calcoli:
##KATEX##\begin{aligned}a^2x - \frac{a+1}{a-1} & = \frac{1}{a-1}+4x \\a^2x - 4x & = \frac{1}{a-1}+\frac{a+1}{a-1} \\(a^2-4)x & = \frac{a+2}{a-1}\end{aligned}##KATEX##
Siamo arrivati ad avere un’equazione nella forma canonica $Ax = B$, con $A = a^2-4$ e $B = \frac{a+2}{a-1}$.


Dato che $A = a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$, i valori $a = -2$ e $a = 2$ sono gli unici tali per cui $A = 0$, cioè $Z = \{-2, 2\}$. Notiamo che $E$ e $Z$ non hanno elementi in comune, quindi possiamo procedere sostituendo all’equazione ogni elemento di $Z$ per vedere cosa succede.
Per $a = 2$, l’equazione diventa $0 \cdot x = \frac{2+2}{2-1}$, cioè $0 \cdot x = 4$. Questa è un’equazione impossibile.
Per $a = -2$, l’equazione diventa $0 \cdot x = \frac{-2+2}{-2-1}$, cioè $0 \cdot x = 0$. Questa è un’equazione indeterminata.


La “soluzione generale” dell’equazione parametrica, se $a \not \in E \cup Z$, è $$x = \frac{B}{A} = \frac{a+2}{a-1} \cdot \frac{1}{(a+2)(a-2)} = \frac{1}{(a-1)(a-2)}$$


A questo punto ricapitoliamo quanto ottenuto, descrivendo il comportamento dell’equazione parametrica in base al comportamento del parametro $a$.

Per $a = 1$ l’equazione perde significato.


Per $a = 2$ l’equazione è impossibile.


Per $a = -2$ l’equazione è indeterminata.


Per $a \neq 1, -2, 2$ l’equazione ha un’unica soluzione data in forma generale da $$x = \frac{1}{(a-1)(a-2)}$$




Occorre tenere ben presente quanto spiegato sino a qui se si vuole trattare le 
equazioni letterali di 
secondo grado
.


Le disequazioni parametriche di primo grado


In modo analogo possiamo definire le 
disequazioni parametriche 
(o 
letterali
) 
di primo grado
: si tratta di disequazioni tali per cui, sostituendo uno tra i simboli $<, \leq, >, \geq$ con il simbolo $=$, otteniamo un’equazione parametrica di primo grado. 


Lo 
schema risolutivo
 
è, per certi versi, analogo a quello per le equazioni parametriche (e infatti questo procedimento viene chiamato 
discussione
, anche in questo caso).


Stabilire se esistono valori per i parametri che rendono l’equazione priva di significato. Una volta stabilito questo insieme $E$ di valori, escluderli e proseguire.


Prendere la disequazione parametrica e ridurla nella forma canonica $Ax \Box B$, senza moltiplicare o dividere la disequazione per una quantità che contiene i parametri. Con $A$ e $B$ indichiamo delle espressioni che possono contenere i parametri dell’equazione e $\Box$ può essere uno dei simboli $<, \leq, >, \geq$.


Trovare l’insieme $Z$ dei valori da assegnare ai parametri in modo che sia $A = 0$. Sostituire ciascuno di questi valori nella disequazione (facendo attenzione che non siano elementi di $E$, che abbiamo escluso) e risolvere la disequazione ottenuta, tenendo presente che i soli possibili risultati sono “disequazione impossibile” o “disequazione sempre verificata”.


Risolvere la disequazione $A > 0$. Per tutti i valori dei parametri che soddisfano questa relazione e che non appartengono a $E$, la soluzione della disequazione parametrica è $x \Box \frac{B}{A}$.


Risolvere la disequazione $A < 0$. Per tutti i valori dei parametri che soddisfano questa relazione e che non appartengono a $E$, la soluzione della disequazione parametrica è $x \vartriangle \frac{B}{A}$, dove $\vartriangle$ è il simbolo che ha verso opposto a quello di $\Box$ (per esempio, se $\Box = $”$<$”, allora $\vartriangle =$”$>$”).


Ricapitolare in maniera ragionata quanto ottenuto ai punti 1, 3, 4 e 5.


Vediamo un esempio di disequazione parametrica di primo grado.
Consideriamo la disequazione parametrica: $$c \left ( \frac{1}{c+1} + cx + 3x \right ) \leq 1-2x $$nell’incognita $x$ con parametro $c$.


Ponendo $c = -1$, il denominatore del termine $\frac{1}{c+1}$ diventa uguale a zero. Questo non deve mai accadere perché in questo caso l’equazione perde di significato. Quindi escludiamo il valore $c = -1$, cioè: $E = \{-1\}$.


Svolgiamo i calcoli:
##KATEX##\begin{aligned}c \left ( \frac{1}{c+1} + cx + 3x \right ) & \leq 1-2x \\\frac{c}{c+1} + c^2x + 3cx & \leq 1 - 2x \\(c^2+3c+2)x & \leq 1 - \frac{c}{c+1} \\(c+2)(c+1)x & \leq \frac{c+1-c}{c+1} \\(c+2)(c+1)x & \leq \frac{1}{c+1}\end{aligned}##KATEX##
Siamo arrivati ad avere una disequazione nella forma canonica $Ax \Box B$, con $A = (c+2)(c+1)$, $B = \frac{1}{c+1}$ e $\Box = $”$\leq$”.


I valori tali per cui $A = 0$ sono $c = -1$ e $c = -2$. Dato che il valore $c = -1$ è già stato escluso (perché è in $E$), allora non lo consideriamo; invece sostituendo $c = -2$ nella disequazione parametrica otteniamo $0 \cdot x \leq \frac{1}{-2+1}$, cioè $0 \leq -1$. Questa disequazione è impossibile.


A questo punto risolviamo la disequazione $A > 0$, cioè $(c+2)(c+1) > 0$. È una disequazione di secondo grado in $c$; la soluzione è $c < -2 \vee c > -1$. Per questi valori, la disequazione parametrica ha soluzione: $$x \leq \frac{B}{A} \Rightarrow x \leq \frac{1}{(c+1)^2(c+2)}$$


La disequazione $A < 0$ è verificata per $-2 < c < -1$. Per questi valori, la disequazione parametrica ha soluzione: $$x \geq \frac{1}{(c+1)^2(c+2)}$$


A questo punto ricapitoliamo quanto ottenuto, descrivendo il comportamento della disequazione parametrica in base al comportamento del parametro $c$.

Per $c = -1$ l’equazione perde significato.


Per $c = -2$ la disequazione è impossibile.


Per $c < -2 \vee c > -1$ la diequazione ha soluzione $x \leq \frac{1}{(c+1)^2(c+2)}$.


Per $-2 < c < -1$ la disequazione ha soluzione $x \geq \frac{1}{(c+1)^2(c+2)}$.




Questa discussione si complica se la disequazione sale di grado: la trattazione delle 
disequazioni parametriche di 
secondo grado
 è leggermente più difficile.


 
Revisione scientifica a cura di 
Marco Guglielmino

