Operazioni con i Vettori: somma, differenza, prodotto scalare e prodotto vettoriale - WeSchool


Lo studio delle grandezze fisiche introduce un nuovo ente matematico: i 
vettori
. Come tra i numeri (detti in questo contesto scalari), tra i vettori si possono effettuare delle operazioni, come la somma (vettoriale) e il prodotto (vettoriale). Queste operazioni però sono totalmente diverse da quelle prescritte dall’algebra e dall’aritmetica, e andiamo qui di seguito a illustrarle.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Somma di vettori


Ci sono principalmente due modi per calcolare la somma tra due vettori: il metodo punta-coda e il metodo del parallelogramma. La somma di due vettori sarà comunque sempre un vettore.


Metodo punta-coda
: Tenendo fissato un vettore (in questo caso $\vec{a}$), si trasporta l’altro (che qui per noi è $\vec{b}$), mantendolo sempre parallelo a se stesso, in modo tale che il suo punto di applicazione coincida con la punta del primo vettore. Il vettore somma $\vec{a} + \vec{b}$ è allora il vettore che congiunge la “coda del primo vettore”, ossia il suo punto di applicazione, con la “punta del secondo vettore”, come mostrato in figura:




Metodo del Parallelogramma
: per applicare questo metodo, occorre costruire un 
parallelogramma
 di lati i vettori dati. La somma dei due vettori è la diagonale del parallelogramma che parte dal punto di applicazione di uno dei due, e arriva alla punta di uno dei due, come mostrato in figura:




Differenza di due vettori


Come nell’algebra usuale, l’operazione inversa alla somma è la differenza. Per calcolare la differenza $ \vec{a} - \vec{b}$ di due vettori $\vec{a}$, $\vec{b}$, è utile prima calcolare l’
opposto di un vettore
: dato un vettore $\vec{v}$, il suo opposto $-\vec{v}$ è quel vettore che ha medesimo modulo e direzione, ma verso contrario:


 




 


Ciò detto, 
la differenza tra 
$\vec{a}$ 
e 
$\vec{b}$ 
è la somma vettoriale tra 
$\vec{a}$ 
e l’opposto di 
$\vec{b}$, $-\vec{b}$:




Usando la regola del parallelogrammo, è facile identificare la differenza di due vettori: si tratta dell’altra diagonale rispetto a quella usata per costruire la somma. Questa diagonale identifica modulo e direzione; il verso di $\vec{a} - \vec{b}$ è quello che dalla punta di $\vec{b}$ punta verso la punta di $\vec{a}$:




Come accade per i numeri, la differenza non è un’operazione 
commutativa
. Vale però una regola del tutto analoga a quella dell’algebra ordinaria: $\vec{a} - \vec{b} = - (\vec{b} - \vec{a})$


 


Uno scalare $\lambda$ e un vettore $\vec{v}$ possono essere tra loro moltiplicati: posso considerare un multiplo di un vettore per uno scalare $\lambda \cdot \vec{v}$; questo è un vettore avente:


per direzione la medesima del vettore dato;


per verso il medesimo del vettore dato se lo scalare è positivo, o verso opposto se lo scalare è negativo;


modulo pari al modulo del vettore di partenza, moltiplicato per il modulo dello scalare.


Per esempio, $2 \cdot \vec{v}$ è un vettore lungo il doppio di $\vec{v}$, avente stessa direzione e stesso verso; mentre $- 2 \cdot \vec{v}$ ha modulo pari al doppio di $\vec{v}$, stessa direzione ma verso opposto a quello di $\vec{v}$.


 




 


Questo prodotto eredita alcune proprietà dell’algebra ordinaria. Ad esempio: $ 2 \cdot \vec{v} = \vec{v} + \vec{v}$, $(-4)\cdot \vec{v} = -(4 \cdot \vec{v})$, eccetera.


Quando sia chiaro chi è il vettore e chi lo scalare, spesso si omette il punto, scrivendo $\lambda \vec{v}$ invece di $\lambda \cdot \vec{v}$.


 


Un metodo più generale per effettuare somma e differenza di due vettori, e molto utile per le operazioni di prodotto scalare e vettoriale definite in seguito, è quello di scomporre un vettore in 
componenti
.


Si definisce un 
versore 
come un vettore di modulo $1$. Nel piano cartesiano identifichiamo 
due versori particolari
: $\mathbf{i}$ e $\mathbf{j}$. Questi versori indicano un vettore unitario, situato rispettivamente 
sull’asse 
$x$ 
il versore
 $\mathbf{i}$ o 
sull’asse 
$y$ 
il versore 
$\mathbf{j}$, di verso positivo. Nello spazio euclideo tridimensionale, si aggiunge il 
versore 
$\mathbf{k}$, posto 
lungo l’asse 
$z$, di lunghezza $1$ e verso positivo.




Una volta identificati i versori, 
ogni vettore che vive nel piano cartesiano può essere scritto come somma di due vettori paralleli ai versori 
$\mathbf{i}$ 
e 
$\mathbf{j}$, dette componenti del vettore: 




Ci sono diversi modi di scrivere un vettore in componenti: si può scrivere come somma di vettori, ad esempio $\vec{a} = 2 \mathbf{i} + 3\mathbf{j}$, oppure indicandone le componenti solo come scalari, in colonna o separati da una virgola: $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = (2,3)$.


La somma o la differenza di vettori si può dunque eseguire 
componente per componente
: si sommano cioè le componenti orizzontale e verticale dei singoli vettori tra di loro, come se si trattasse di una somma algebrica di 
monomi simili
.


Per esempio, siano dati i vettori $\vec{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j}$ e $vec{b} = 2 \mathbf{i} + \mathbf{j}$. Allora $\vec{a} + \vec{b} =$ $\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{i} + \mathbf{j} =$ $3\mathbf{i} + 3\mathbf{j}$, cioè il vettore somma avrà componenti $\left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array} \right)$; mentre la differenza $\vec{a} - \vec{b}$ si calcola come $\mathbf{i} + 2\mathbf{j} -( 2\mathbf{i} + \mathbf{j}) =$ $\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{i} - \mathbf{j} =$ $-\mathbf{i} +\mathbf{j}$, ossia $\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)$.




Ora definiamo due tipi di prodotti tra vettori. Si distinguono in base al tipo di grandezza cui appartiene il risultato: si parla di 
prodotto scalare 
e 
prodotto vettoriale
 quindi, a seconda che il risultato del prodotto sia appunto uno scalare o un vettore.


 


Il 
prodotto scalare
 tra due vettori restituisce sempre uno scalare. Siano $\vec{a}$ e $\vec{b}$ due vettori, e $\alpha$ l’
angolo convesso
 tra essi compreso; il prodotto scalare tra $\vec{a}$ e $\vec{b}$ è allora $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \ | \vec{b} | \cos(\alpha) $$


 


Si può notare che il prodotto scalare rappresenta l’area (con segno) del rettangolo ottenuto proiettando uno dei due vettori ortogonalmente sull’altro:




Siccome la proiezione di un vettore ortogonale ad un’altro vettore (cioè $\alpha = 90 ^\circ$) è solo un punto, 
il prodotto scalare di due vettori le cui direzioni siano perpendicolari è nullo
:


$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$$


Con queste presrcizioni è facile calcolare il prodotto scalare dei vari versori fondamentali:


$$ \mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = 1 $$
$$ \mathbf{i} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{k} = \mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0 $$


Il 
prodotto scalare è 
commutativo
 e gode della 
proprietà distributiva
 rispetto alla somma vettoriale
:


$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $$


$$ \vec{a} \cdot \left( \vec{v} + \vec{w} \right) = \vec{a} \cdot \vec{v} + \vec{a} \cdot \vec{w} $$


Come si può dedurre dalla sua definizione, 
il prodotto scalare di un vettore per se stesso restituisce la sua norma al quadrato
: $ \vec{a} \cdot \vec{a} = | \vec{a} | ^2$.


 


Il 
prodotto vettoriale
 fra due vettori restituisce sempre un vettore. Dati due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ (in quest’ordine), sia $\alpha$ l’angolo convesso tra di essi compreso.


Definiamo allora il 
prodotto vettore tra 
$\vec{a}$ 
e 
$\vec{b}$ come quel vettore $\vec{a} \times \vec{b}$ (o, a volte, $\vec{a} \wedge \vec{b}$) che possiede:


modulo pari all’area del palallelogrammo 
avente per lati i due vettori: 
$ | \vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}| \ |\vec{b}| \ | \sin(\alpha) | $


direzione perpendicolare 
al piano individuato dai due vettori


verso indicato dalla cosiddetta “regola della mano destra”
: disponiamo pollice, indice e medio in modo tale che essi risultino tra loro perpendicolari. In questo caso abbiamo l’indice che mostra verso e direzione del vettore $\vec{a}$, il medio che è disposto secondo il verso e la direzione di $\vec{b}$ e il pollice che rappresenta direzione e verso di $\vec{a} \times \vec{b}$




 


Nel caso in cui due vettori siano ortogonali (cioè se $\vec{a} \perp \vec{b}$, $\alpha = 90 ^\circ$ o $270^\circ$), il prodotto vettore non si annulla, come nel caso del prodotto scalare: in questo caso anzi il suo modulo è esattamente il prodotto dei moduli.


Il 
prodotto vettore 
invece 
si annulla se i due vettori di partenza hanno direzioni tra loro parallele
:


$$ \vec{a} \times \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \parallel \vec{b} $$


Con queste regole, è facile calcolare il prodotto vettore dei versori fondamentali:


$$ \mathbf{i} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} \times \mathbf{j} = \mathbf{k} \times \mathbf{k} = 0 $$


$$ \mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}; \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}; \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i} $$


Il prodotto vettore non è commutativo
: gode della proprietà 
antisimmetrica
, ossia $\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$.


Credits immagini: Wikicommons, Svjo, Candlemon, Oleg Alexandrov

