Lunghezza di un arco di circonferenza e area del settore circolare: esempi e esercizi svolti - WeSchool


Lunghezza di un arco di circonferenza


Definizione 1
. Una qualsiasi coppia di punti distinti appartenenti a una circonferenza la divide in due parti. Ciascuna di esse è detta 
arco di circonferenza
 e i due punti che lo individuano sono chiamati 
estremi
 dell’arco.





















Videolezione "Arco di circonferenza, angoli inscritti e angoli al centro: definizioni"

























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Osservazione 1
. Come risulta chiaro dalla figura, gli archi individuati dai punti $A$ e $B$ sono due: quello in rosso e quello in blu.


Definizione 2
. Per 
lunghezza
 dell'arco di circonferenza si intende il numero reale positivo che esprime l’estensione dell’arco secondo la comune nozione intuitiva.


La lunghezza $l$ di un arco può essere usata per definire l'estensione in 
radianti
 dell'
angolo da esso sotteso
. Diciamo che la misura in radianti dell’angolo al centro sotteso dall’arco $l$ è $$\boxed{\displaystyle{ \alpha = \frac{l}{r} }}$$ dove $r$ è il raggio della circonferenza. Viceversa, grazie alle formule inverse, possiamo ottenere la lunghezza $l$ a partire dall'angolo $\alpha$ espresso in radianti: $$ l = \alpha \cdot r $$


 


Esempio 1
. Individuare la lunghezza di un arco di circonferenza di raggio $r = 2m$ conoscendone il rispettivo angolo al centro pari a $\alpha = \frac{\pi}{6}$.


 


Risoluzione
. 
Grazie alle precedenti formule si ottiene:


$ l = \alpha \cdot r = \frac{\pi}{6} \cdot 2 = \frac{\pi}{3} \simeq 1,047m $


 


Area del settore circolare


Definizione 3
. Chiamiamo 
settore circolare
 la figura piana che si ottiene dall’intersezione tra un cerchio e un suo angolo al centro. Nel caso particolare in cui l’angolo al centro sia piatto, il settore circolare acquista il nome particolare di 
semicerchio
.


 




Prendiamo in considerazione il settore circolare della figura qui sopra, indicando con $r$ il raggio del cerchio e con $\alpha$ l'angolo al centro. Visto che l'area del settore è proporzionale ad $\alpha$, possiamo scrivere la seguente 
proporzione
: $$ A_{cerchio} : 2 \pi = A_{settore} : \alpha $$


Da cui ricaviamo il risultato che ci interessa: $$ A_{settore}= A_{cerchio} \cdot \frac{\alpha}{2 \pi} $$


Dal momento, poi, che $A_{cerchio}= \pi \cdot r^2$, giungiamo alla conclusione: $$A_{settore}=\frac{\alpha}{2 \pi} \cdot \pi \cdot r^2=\frac{\alpha \cdot r^2}{2}$$


Se in quest'ultima sostituiamo infine $\alpha = \frac{l}{r}$, otteniamo: $$A_{settore}=\frac{1}{2} \alpha r^2=\frac{1}{2} \cdot \frac{l}{r} \cdot r^2 =\frac{1}{2} lr$$


Riassumendo, per calcolare l’area del settore circolare abbiamo le seguenti formule.


conoscendo l'ampiezza dell'angolo e il raggio del settore: $$ \boxed{\displaystyle{ A_{settore}=\frac{1}{2} \alpha r^2 }}$$


conoscendo invece la lunghezza dell'arco e il raggio: $$\boxed{\displaystyle{ A_{settore}=\frac{1}{2}lr }} $$.


 


Esempio 2
. 
Calcolare l'area del settore circolare conoscendo l'angolo al centro $\alpha=\frac{\pi}{3}$ e il raggio $r=3m$
.


L'area si ricava da: $A=\frac{1}{2} \alpha r^2=\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 9=\frac{3}{2} \pi = 4,71m^2$


 


Esempio 3
. 
Calcolare l'area del settore circolare dati il raggio $r=4m$ e la lunghezza dell'arco $l=7m$
.


L'area è pari a: $ A=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}\cdot 7 \cdot 4 = 14m^2 $


 

