I poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza - WeSchool


Prendiamo una 
circonferenza
, e scegliamo tre o più punti su di essa. Se colleghiamo ciascuno di questi punti con il successivo (percorrendo la circonferenza in senso antiorario, per esempio) otteniamo un 
poligono
. Che proprietà ha questo poligono? Che relazioni ha con la circonferenza da cui siamo partiti?
Più in generale, possiamo chiederci: esistono anche altre costruzioni geometriche che legano un poligono a una particolare circonferenza, o viceversa?





















Videolezione "Triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza: formule di geometria"

























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Definizione


Un poligono si dice 
inscritto
 in una circonferenza quando i suoi vertici stanno sulla circonferenza data. In questo caso la circonferenza si dice 
circoscritta
 al poligono.
Un poligono si dice 
circoscritto
 a una circonferenza quando i suoi lati sono tangenti alla circonferenza data. In questo caso la circonferenza si dice 
inscritta
 nel poligono.




 


Dato un poligono (che, come al solito, sottintendiamo sia convesso), quando possiamo trovare la circonferenza inscritta in esso? E quando quella circoscritta?


 


TEOREMA (
Criterio di inscrivibilità di un poligono
):
 Un poligono può essere inscritto in una circonferenza se e solo se gli 
assi
 dei lati si incontrano nello stesso punto, che è proprio il centro della circonferenza circoscritta al poligono.




 


TEOREMA (
Criterio di circoscrivibilità di un poligono
):
 Un poligono può essere circoscritto a una circonferenza se e solo se le 
bisettrici
 degli angoli interni si incontrano nello stesso punto, che è proprio il centro della circonferenza inscritta al poligono.




 


Utilizzando questi criteri, si può facilmente dimostrare che ogni poligono regolare può essere inscritto in una circonferenza e circoscritto a un’altra circonferenza, e che queste circonferenze hanno lo stesso centro.


 


Triangoli e quadrilateri


I teoremi enunciati nella sezione precedente valgono per un poligono generico; vale la pena di riportare alcuni risultati notevoli legati ai 
triangoli
 e ai quadrilateri.


TEOREMA:
 Dati tre punti nel piano, esiste sempre una unica circonferenza che li unisce.


Per il teorema precedente, possiamo 
sempre
 tracciare la circonferenza che collega i vertici di un triangolo qualunque (e il suo centro è il 
circocentro
 del triangolo). Inoltre le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano nello stesso punto (che è l’incentro). Riassumendo, abbiamo il seguente risultato:


TEOREMA:
 Un triangolo si può sempre inscrivere in una circonferenza, e si può sempre circoscrivere a una circonferenza. 


In particolare, ogni 
triangolo rettangolo
 può essere inscritto in una circonferenza; l’ipotenusa del triangolo è il diametro di tale circonferenza, e il suo centro è il punto medio dell’ipotenusa stessa. Per questo motivo, spesso si dice che 
un triangolo rettangolo è inscrivibile in una semicirconferenza
.




 


Quando parliamo di un quadrilatero, invece, le condizioni di inscrivibilità e di circoscrivibilità possono essere ulteriormente riformulate.


 


TEOREMA: (
Criterio di inscrivibilità di un quadrilatero
):
 Un quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza se e solo se due angoli opposti sono 
supplementari
.




In particolare, i 
quadrati
, i 
rettangoli
 e i 
trapezi isosceli
 sono sempre inscrivibili in una circonferenza.


 


TEOREMA (
Criterio di circoscrivibilità di un quadrilatero
):
 Un quadrilatero può essere circoscritto a una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.




In particolare, i 
rombi
 e i 
quadrati
 sono tutti circoscrivibili a una circonferenza.


 


Revisione scientifica a cura di 
Marco Guglielmino
 

