La dilatazione termica e la prima legge di Gay-Lussac - WeSchool


La 
dilatazione termica
 è quel fenomeno fisico che si riscontra quando 
un corpo modifica il proprio volume a seguito di una variazione della sua temperatura
.


Supponiamo che un corpo subisca una 
variazione di 
temperatura
 $\Delta T$ e che, a seguito di questa, le sue dimensioni si incrementino, comportando una 
variazione di volume 
$\Delta V$. Entro certi limiti, si verifica sperimentalemente che queste due variazioni sono 
direttamente proporzionali
: se indichiamo con $V_0$ il volume inizialmente occupato, vale la formula $$ \Delta V = \alpha \ V_0 \Delta T $$ Il coefficiente di proporzionalità relativo, $\alpha$, si chiama 
coefficiente di dilatazione termica 
volumetrica
.






















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Se indichiamo con $V_f$ il volume finale raggiunto, di modo che $\Delta V = V_f - V_0$, e con $T_0$ e $T_f$ le temperature iniziale e finale rispettivamente, possiamo riscrivere la formula precedente come $$ V_f - V_0 = \alpha V_0 (T_f - T_0) \ \Rightarrow \ \begin{cases} \displaystyle{\alpha = \frac{V_f - V_0}{V_0} \frac{1}{T_f - T_0}} \\ \displaystyle{ V_f = V_0 \left(1 + \alpha (T_f - T_0) \right)} \end{cases} $$


Per un gas, è facile vedere questa relazione in atto durate una trasformazione isobara (cioè a pressione costante). In effetti, la 
prima legge di Gay-Lussac
 asserisce che, a pressione costante, volume e variazione di temperatura sono legati proprio dalla relazione $ V = V_0 (1 + \alpha \Delta T) $.


I coefficienti di dilatazione termica sono propri di ogni sostanza, e spesso vengono precisati nelle loro caratteristiche tecniche. Di seguito riportiamo il valore del coefficiente di dilatazione per alcuni gas allo stato aeriforme alla pressione di $10^5 \text{ Pa}$, misurati in $\text{K}^{-1}$:


Sostanza




Coefficiente di dilatazione 
termica volumetrica $\alpha$




elio


$ 3658.05 \cdot 10^{-6} $


idrogeno


$ 3660.99 \cdot 10^{-6} $


azoto


$ 3671.07 \cdot 10^{-6} $


ossigeno


$ 3667.71 \cdot 10^{-6} $


anidride carbonica


$ 3750.94 \cdot 10^{-6} $


ammoniaca


$ 3859.51 \cdot 10^{-6} $


anidride solforosa


$ 3903.20 \cdot 10^{-6} $


A volte però un corpo si deforma, anziché in tutte e tre le direzioni, solo in due o una; si parla allora di 
dilatazione termica superficiale
 o 
lineare
, rispettivamente. Abbiamo così a disposizione un coefficiente di dilatazione termica di superficie $\sigma$ e un coefficiente di dilatazione termica lineare $\lambda$, definiti in maniera del tutto analoga.


Per la precisione, se il corpo si sviluppa solo su una 
superficie
 (ad esempio, si tratta di una membrana, un foglio o un corpo la cui superficie è molto più estesa rispetto al suo spessore, come un ponte) indicando con $S_0$ l’area inizialmente coperta e con $\Delta S$ l’incremento di superficie, vale, per un 
coefficiente di dilatazione superficiale
 $\sigma$, $$ \Delta S = \sigma \ S_0 \Delta T $$ Se invece il corpo si può estendere solo in 
lunghezza
 (come a colonnina di mercurio dentro un termometro), indicando con $l_0$ la lunghezza iniziale e con $l_f$ la lunghezza finale raggiunta, di modo che $\Delta l = l_f - l_0$, vale, per un determinato 
coefficiente di dilatazione termica lineare
 $\lambda$, $$ \Delta l = \lambda l_0 \Delta T $$




Naturalmente valgono formule analoghe a quelle ricavate per il volume sia per la dilatazione superficiale che per quella lineare. Se nel corpo in questione la temperatura si diffonde in modo 
isotropo
, cioè uniformemente in ogni direzione, valgono le relazioni $$ \alpha = 3 \lambda; \qquad \sigma = 2 \lambda $$Di seguito riportiamo una tabella che indica alcuni materiali e i loro coefficienti di dilatazione lineare, misurati in $\text{K}^{-1}$:


 


Sostanza


Coefficiente di dilatazione
termica lineare $\lambda$


alcool


$24.7 \cdot 10^{-6}$


glicerina


$16.3 \cdot 10^{-6}$


acqua


$153 \cdot 10^{-6}$


mercurio


$60 \cdot 10^{-6}$


petrolio


$300 \cdot 10^{-6}$


alluminio


$24 \cdot 10^{-6}$


ottone


$18 \cdot 10^{-6}$


ferro


$12.3 \cdot 10^{-6}$


vetro comune


$9 \cdot 10^{-6}$


vetro pyrex


$3.3 \cdot 10^{-6}$ 


vetro di quarzo


$0.6 \cdot 10^{-6}$ 


acciaio


$17 \cdot 10^{-6}$ 


Dalla formula che definisce la dilatazione termica lineare, possiamo ben capire perchè infrastrutture rigide che coprono ampi tratti, come binari e ponti, sono segmentati: supponiamo di unire Milano e Torino con una ferrovia costituita da un’unico binario, lungo $150 \text{ km}$, fatto di acciaio, che possiede un coefficiente di dilatazione termica $ \lambda $ di $1.7 \cdot 10^{-5}$. Se così fosse, la variazione di temperatura fra la notte e il giorno, che supponiamo essere, in media, di $8 \text{ K}$, comporterebbe che al termine dei binari, in stazione, ci sia un allungamento di $\Delta l = \lambda l_0 \Delta T$ $= 1.5 \ 10^{5} \cdot 1.7 \ 10^{-5} \cdot 8 = 20.4 \text{ m}$! Questo allungamento potrebbe comportare uno sforzo eccessivo per i binari, che sono fissati al terreno, e provocarne la rottura.


Per questo (e altri) motivi, tali infrastrutture sono costruite con segmenti di estensione fissata (ad esempio, i binari di una ferrovia sono divisi in sezioni da $12$, $15$ o $18$ metri), giustapposti l’uno all’altro, al termine di ciascuno dei quali è previsto uno spazio per permettere alla dilatazione termica di non influire sulla struttura complessiva. Usando i dati precedenti, ma pensando a una sezione di binario lunga solo $ 15 \text{ m} $, la dilatazione termica lineare comporterebbe un allungamento di $ 1.5 \ 10^{2} \cdot 1.7 \ 10^{-5} \cdot 8 = 2.04 \text{ cm}$: è sufficiente lasciare uno spazio di $3 \text{ cm}$ tra una sezione e l’altra per non risentire della dilatazione termica del binario.


 


La 
dilatazione termica
 si può anche usare per 
misurare le variazioni di temperatura
. In effetti, conoscendo il coefficiente di dilatazione termica della sostanza e potendo misurarne le dimensioni, ricaviamo, ad esempio per una dilatazione lineare di coefficiente $\lambda$, che $$ \Delta T = \frac{ 1 }{ \lambda } \frac{ \Delta l }{ l_0 } \Rightarrow T_f = T_0 + \frac{ 1 }{ \lambda } \frac{ l_f - l_0 }{ l_0 } $$


Le dimensioni dell’estensione di un corpo non sono le uniche caratteristiche a cambiare al variare della temperatura: ad esempio, nei materiali 
semiconduttori
, la 
conducibilità elettrica
 è legata alla 
temperatura
 del corpo. Su questo principio si basano i termometri elettronici.


Crediti Immagini: 


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Bimetal_coil_reacts_to_lighter.gif
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Thurbruecke_Ossingen_Schienenauszug_Suedseite_01_09.jpg

