Equazioni parametriche di secondo grado: teoria - WeSchool


Definizione


Un’
equazione
 
parametrica 
(o
 letterale
)
 di secondo grado
 è un’
equazione di secondo grado
 in un’incognita $x$ che contiene anche altre lettere oltre all’incognita, che vengono chiamate 
parametri
.
Inoltre, se sostituiamo dei valori numerici al posto dei parametri, si deve ottenere un’equazione di secondo grado in $x$.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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La risoluzione di un’equazione parametrica di secondo grado è, in generale, molto articolata. In questa lezione vogliamo dare una traccia del procedimento da seguire, e di come si deve svolgere la 
discussione
 dei parametri contenuti nell’equazione.


Stabilire se esistono valori dei parametri che rendono l’equazione priva di senso. Una volta trovato l’insieme $E$ di questi valori, escluderlo dall’analisi e proseguire.


Riordinare l’equazione parametrica in modo da portarla nella forma $Ax^2 + Bx + C = 0$, con $A, B, C$ espressioni che possono contenere i parametri. Nel riordinare l’equazione bisogna però stare attenti a non moltiplicare o dividere entrambi i membri per quantità che contengono i parametri.


Trovare i valori dei parametri per i quali $A = 0$. Verificare quali di questi valori non appartengono a $E$; chiamiamo $Z$ l’insieme di tali valori. Sostituire ciascuno dei valori di $Z$ nell’equazione parametrica e risolvere l’equazione ottenuta.


Studiare il discriminante $\Delta = B^2 - 4AC$ dell’equazione parametrica.

Per tutti i valori dei parametri tali che $\Delta < 0$ e che non appartengono né a $Z$ né a $E$, l’equazione parametrica è impossibile.


Per tutti i valori dei parametri tali che $\Delta = 0$ e che non appartengono né a $Z$ né a $E$, l’equazione parametrica ha una sola soluzione data da $$x = - \frac{B}{2A}$$


Per tutti i valori dei parametri tali che $\Delta > 0$ e che non appartengono né a $Z$ né a $E$, l’equazione parametrica ha due soluzioni distinte, date da $$x_1 = \frac{-B + \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}, \quad x_2 = \frac{-B - \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$$




Ricapitolare in maniera ragionata quanto ottenuto ai punti 1, 3 e 4.


Facciamo un esempio per chiarire l’utilizzo di questo schema risolutivo.


Consideriamo l’equazione parametrica di secondo grado $$kx(kx+1) = \frac{1}{k+3} + 9x^2$$


Il valore $k = -3$ crea problemi per l’equazione, perchè per tale valore il termine $\frac{1}{k+3}$ è privo di significato. Quindi dobbiamo escludere $k = -3$, cioè: $E = \{-3\}$.


Svolgiamo i calcoli:
##KATEX##\begin{aligned}kx(kx+1) & = \frac{1}{k+3} + 9x^2 \\k^2x^2 + kx - \frac{1}{k+3} - 9x^2 & = 0 \\(k^2 - 9)x^2 + kx - \frac{1}{k+3} & = 0\end{aligned}##KATEX##
Abbiamo riordinato l’equazione nella forma $Ax^2 + Bx + C = 0$, con $A = k^2 - 9, B = k, C = - \frac{1}{k+3}$.


Dato che $A = (k-3)(k+3)$, i valori di $k$ per cui $A = 0$ sono $-3, 3$. Visto che $-3$ è stato escluso al punto 1, rimane da analizzare il caso in cui $k = 3$. Per questo valore, risulta: $$0 \cdot x^2 + 3x - \frac{1}{6} = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x = \frac{1}{6} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{18}$$


Calcoliamo il discriminante dell’equazione parametrica:
##KATEX##\begin{aligned}\Delta & = B^2 - 4AC = \\& = k^2 - 4(k^2 - 9) \left ( - \frac{1}{k+3} \right ) = k^2 + 4\frac{(k+3)(k-3)}{k+3} = \\& = k^2 + 4(k-3) = k^2 + 4k - 12 = \\& = (k-2)(k+6)\end{aligned}##KATEX##
Sottolineiamo che è possibile semplificare il termine $(k+3)$ perchè, al punto 1, abbiamo escluso il valore $k = -3$ dall’analisi.

La disequazione di secondo grado $\Delta < 0$ ha come soluzione $-6 < k < 2$. Dobbiamo però escludere $k = -3$ da questo intervallo, per quanto detto al punto 1. Quindi per $-6 < k < 2$ con $k \neq -3$ l’equazione parametrica è impossibile.


L’equazione di secondo grado $\Delta = 0$ ha come radici $k_1=-6$ e $k_2 = 2$. Per ciascuno di questi valori l’equazione parametrica ha una sola soluzione, entrambe della forma $x = -\frac{B}{2A} = -\frac{k}{2(k^2-9)}$.
Per $k = k_1$, cioè $k = -6$, si ha $x = -\frac{-6}{2 \cdot (36 - 9)} = \frac{1}{9}$.
Per $k = k_2$, cioè $k = 2$, si ha $x = -\frac{2}{2 \cdot (4 - 9)} = - \frac{1}{5}$.


La disequazione di secondo grado $\Delta > 0$ ha come soluzione $k <-6 \vee k > 2$. Dobbiamo però escludere $k = 3$ perché per questo valore $A = 0$. Quindi per  $k <-6 \vee k > 2$ con $k \neq 3$ l’equazione parametrica ha due soluzioni distinte:
##KATEX##\begin{aligned}x_1 & = \frac{-B + \sqrt{\Delta}}{2A} = \frac{-k + \sqrt{(k+6)(k-2)}}{2(k^2-9)} \\ x_2 & = \frac{-B - \sqrt{\Delta}}{2A} = \frac{-k - \sqrt{(k+6)(k-2)}}{2(k^2-9)}\end{aligned}##KATEX##




Ricapitoliamo quanto ottenuto.
Per $k = -3$, l’equazione parametrica è priva di senso.
Per $k = 3$, l’equazione parametrica ha una sola soluzione: $x = \frac{1}{18}$.
Per $-6 < k < 2, k \neq -3$, l’equazione parametrica è impossibile.
Per $k = -6$, l’equazione parametrica ha una sola soluzione: $x = \frac{1}{9}$.
Per $k = 2$, l’equazione parametrica ha una sola soluzione: $x = - \frac{1}{5}$.
Per $k <-6 \vee k > 2, k \neq 3$, l’equazione parametrica ha due soluzioni distinte: $x_1 = \frac{-k + \sqrt{(k+6)(k-2)}}{2(k^2-9)}$ e $x_2 = \frac{-k - \sqrt{(k+6)(k-2)}}{2(k^2-9)}$.


Altri tipi di esercizi con le equazioni di secondo grado


Molto spesso ci si trova ad affrontare esercizi con equazioni parametriche di secondo grado, in cui -anziché analizzare in generale l’equazione e le soluzioni che si possono ottenere- si impongono condizioni sul suo comportamento. Per esempio, si potrebbe richiedere di determinare i valori dei parametri affinché:


la differenza delle radici sia uguale a $1$;


la somma delle radici sia uguale a $5$;


una radice sia il doppio dell’altra.


Vediamo però che in questi esempi si sta facendo una supposizione di fondo: le soluzioni 
devono esistere
. Non solo: per svolgere il primo esempio le soluzioni devono anche essere distinte! Come abbiamo visto nell’esercizio svolto prima, questo non è affatto garantito a priori, e bisogna stare molto attenti nel maneggiare i parametri coinvolti nell’analisi dell’equazione parametrica.


 


Consideriamo un’equazione parametrica di secondo grado, che scriviamo nella forma canonica $$ax^2 + bx + c = 0$$dove $a, b, c$ sono espressioni che contengono parametri. Si ha che:


l’equazione diventa di primo grado quando $a = 0$;


l’equazione non ha soluzioni quando $\Delta < 0$, cioè quando $b^2 - 4ac < 0$.


Queste richieste vanno trattate separatamente rispetto alle altre
, perché sotto una di queste condizioni l’equazione considerata cambia radicalmente comportamento.


La tabella che segue, invece, elenca la maggior parte delle richieste che possono capitare negli esercizi; ciascuna di esse ha senso di essere svolta, però, soltanto quando $$a \neq 0, \qquad b^2 - 4ac \geq 0$$Inoltre è importante sottolineare che, se indichiamo con $x_1, x_2$ le soluzioni dell'equazione parametrica (eventualmente coincidenti) in generale si ha $$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} \qquad \qquad x_1x_2 = \frac{c}{a}$$


Richiesta 
(in italiano)


Richiesta
 (in formule)


Formula risolutiva


Soluzioni coincidenti


$$x_1 = x_2$$


$$\Delta = b^2 - 4ac = 0$$


Soluzioni distinte


$$x_1 \neq x_2$$


$$\Delta = b^2 - 4ac > 0$$


Equazione spuria


---


$$c = 0$$


Equazione pura


---


$$b = 0$$


Equazione monomia


---


$$b = 0, c=0$$


Somma delle radici uguale a $t$


$$x_1 + x_2 = t$$


$$-\frac{b}{a} = t$$


Differenza delle radici uguale a $t$


$$x_1 - x_2 = t$$


$$\frac{\sqrt{\Delta}}{a}= t$$


Prodotto delle radici uguale a $t$


$$x_1 \cdot x_2 = t$$


$$\frac{c}{a} = t$$


Radici opposte


$$x_1 = -x_2$$


$$\frac{b}{a} = 0$$


Radici reciproche


$$x_1 = \frac{1}{x_2}$$


$$\frac{c}{a} = 1$$


Radici concordi


$x_1 , x_2 > 0$ o $x_1 , x_2 < 0$


$$\frac{c}{a} > 0$$


Radici discordi


$x_1> 0$ e $x_2 < 0$ o $x_1 < 0$ e $x_2 > 0$


$$\frac{c}{a} < 0$$


Radici positive


$$ x_1 , x_2 > 0 $$


$\frac{c}{a} > 0$ e $-\frac{b}{a}>0$


Radici negative


$$ x_1 , x_2 < 0 $$


$\frac{c}{a} > 0$ e $-\frac{b}{a}<0$


Somma dei quadrati delle radici uguale a $t$


$$x_1^2 + x_2^2 = t$$


$$\frac{b^2-2ac}{a^2} = t$$


Somma dei cubi delle radici uguale a $t$


$$x_1^3 + x_2^3 = t$$


$$-\frac{b^3-3abc}{a^3} = t$$


Somma dei reciproci delle radici sia uguale a $t$


$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = t$$


$$-\frac{b}{c} = t$$


Somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia uguale a $t$


$$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = t$$


$$\frac{b^2-2ac}{c^2} = t$$


Qui di seguito sono riportate alcune richieste la cui soluzione è un po' più laboriosa.


Avere le radici proporzionali, cioè $x_1 = m \cdot x_2$: bisogna risolvere il sistema:
##KATEX##\begin{cases}x_1 = mx_2 \\x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\x_1x_2 = \frac{c}{a}\end{cases}##KATEX##
che, nel caso in cui $b \neq 0$ e $m \neq 0, -1$ ha come formula risolutiva: $$\frac{ca}{b^2} = \frac{m}{(1+m)^2}$$


Chiedere che una delle radici sia pari a $r$, cioè $x_1 = r$: è sufficiente sostituire il valore $r$ al posto di $x$ nell'equazione parametrica, e risolvere rispetto ai parametri.


Chiedere che una radice sia uguale a $s$ e l'altra a $r$: bisogna risolvere il sistema:
##KATEX##\begin{cases}-\frac{b}{a} = r+s \\\frac{c}{a} = rs\end{cases}##KATEX##


Ricordiamo infine che è di fondamentale importanza avere dimestichezza con questo tipo di equazioni per poter risolvere con facilità le 
disequazioni letterali di secondo grado
.


Revisione scientifica a cura di 
Marco Guglielmino

