Il prisma e il parallelepipedo: formule e definizioni - WeSchool


Tra i poliedri di cui possiamo calcolare facilmente volume e superficie totale troviamo i 
prismi
. Questi poliedri hanno, in particolare, due 
facce parallele
 e congruenti fra loro, dette 
basi
 del prisma; le rimanenti facce devono essere invece dei 
parallelogrammi
. In particolare, ciascun vertice della base inferiore è collegato a uno e un solo vertice della base inferiore.
La distanza tra le due basi, ovvero il segmento perpendicolare a entrambi i piani delle due basi, è detto 
altezza
 del prisma.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Se il 
poligono
 di base è per esempio un 
triangolo
, un 
quadrato
 o un 
pentagono
, allora il prisma prende rispettivamente il nome di 
prisma triangolare
, 
prisma quadrato
, 
prisma pentagonale
; questo si generalizza al caso di un poligono di $n$ lati, chiamando 
prisma $n$-gonale
 il prisma che ha quel poligono per base.


A partire dalla definizione che abbiamo dato e osservando la figura qui sopra, possiamo dedurre che un prisma $n$-gonale possiede:


$2n$ vertici, dato che oltre agli $n$ vertici di ciascuna delle due basi non ve ne sono altri;


$3n$ spigoli ($n$ lati per ogni base e $n$ spigoli che collegano i loro vertici);


$n+2$ facce, che sono le due basi e gli $n$ parallelogrammi (uno per ogni lato delle basi).


Definizione


Un prisma in cui i parallelogrammi che costituiscono la superficie laterale sono anche 
rettangoli
 si dice 
prisma
 
retto
. Ogni prisma che non rispetti questa condizione viene detto 
prisma
 
obliquo
.
Un prisma retto che abbia come base un poligono 
regolare
 si dice 
prisma
 
regolare
.




Definizione


Un prisma qualsiasi che abbia come base un parallelogramma è detto 
parallelepipedo
.
 Un parallelepipedo che è anche un prisma retto è detto 
parallelepipedo
 
retto
.
Un parallelepipedo retto che abbia come basi dei rettangoli è detto 
parallelepipedo
 
rettangolo
.




Il caso più speciale di parallelepipedo rettangolo è il 
cubo
, in cui tutte le facce sono quadrati congruenti.


 


Formule per il prisma e per il parallelepipedo


In questo paragrafo chiameremo $B$ la misura di una delle due basi del prisma, e $h$ l’altezza del prisma.


Volume
. Per qualsiasi prisma, vale la formula: $$V = B \cdot h.$$La formula cambierà a seconda di come è fatta la base del prisma: se per esempio il prisma è regolare, la base è un poligono regolare, che ha area data dalla formula $B = l^2 \cdot \varphi$, dove $\varphi$ è il numero fisso del poligono regolare.


Superficie
 
laterale
.
 L’area laterale di un prisma è ottenuta sommando tutte le aree delle facce del prisma che non sono le basi, che sono tutti parallelogrammi. Se $2p$ è il perimetro del poligono di base, vale la formula: $$S_{lat} = 2p \cdot h.$$


Superficie
 
totale
.
 Per determinare l’area totale di un prisma è sufficiente sommare l’area delle due basi alla superficie laterale: $$S_{tot} = S_{lat} + 2B.$$


È possibile ricavare delle formule inverse rispetto a quelle che abbiamo appena visto, che permettono di calcolare le misure relative a un prisma generico. Per esempio, possiamo trovare l’altezza di un prisma conoscendo volume e area di base: $$h = \frac{V}{B}.$$


 

