Il teorema della corda: dimostrazione - WeSchool


L’
applicazione
 della trigonometria ai 
triangoli rettangoli
 ha numerose conseguenze in Geometria. Tra i teoremi più importanti che possiamo ricordare, c’è il 
teorema della corda
, che permette di legare in maniera molto elegante la misura del diametro di una 
circonferenza
 con la misura di una sua corda qualsiasi.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
Questo teorema viene utilizzato negli esercizi per ricavare la lunghezza di una corda di una circonferenza a partire dalla lunghezza del suo raggio e dall’
ampiezza
 dell’
angolo
 che sottende tale corda. A volte, invece, il teorema viene utilizzato “al contrario”: a partire dalla lunghezza di una corda e dall’ampiezza di un angolo alla circonferenza che la sottende, si determina direttamente il diametro della circonferenza considerata.


 


TEOREMA (
della corda
): 
Consideriamo una circonferenza di raggio $r$ e una sua corda $AB$. Allora la lunghezza $\overline{AB}$ della corda è uguale al prodotto tra la lunghezza del diametro della circonferenza e il seno di un 
qualunque
 angolo alla circonferenza $\alpha$ che sottende la corda $AB$. In formule: $$\overline{AB} = \sin \alpha \cdot 2r$$




Dimostrazione
. Suddividiamo l’analisi in due casi:


Se la corda $AB$ è un diametro, allora sappiamo che un qualsiasi angolo alla circonferenza $\alpha$ che sottende $AB$ è retto. Siccome $\sin \alpha = \sin \frac{\pi}{2} = 1$, allora il teorema è valido: $$\overline{AB} = 2r = 1 \cdot 2r = \sin \alpha \cdot 2r.$$




 


Se la corda $AB$ non è un diametro, tracciamo invece il diametro $AM$. L’angolo $\widehat{ABM}$ è retto: possiamo quindi esprimere $\overline{AB}$ in funzione della lunghezza $\overline{AM} = 2r$ e dell’angolo $\widehat{AMB}$, utilizzando le funzioni trigonometriche: $$\overline{AB} = \overline{AM} \cdot \sin ( \widehat{AMB} ).$$




 


Notiamo i seguenti fatti.


Preso un qualunque punto $H_1$ sull’arco $\overset{\frown}{AB}$ su cui giace $M$, si ha che $\widehat{AH_1B} = \widehat{AMB}$. Questo accade perché gli 
angoli alla circonferenza
 considerati sottendono lo stesso arco.


Preso un qualunque altro punto $H_2$ sull’arco $\overset{\frown}{AB}$ su cui non giace $M$, abbiamo che $\widehat{AH_2B} = \pi - \widehat{AH_1B}$. Questo accade perché il quadrilatero $AH_1BH_2$ - comunque scelti $H_1$ e $H_2$ - è 
inscritto
 in una circonferenza, e quindi gli angoli opposti $\widehat{AH_2B}$ e $\widehat{AH_1B}$ sono supplementari.


La prima osservazione ci garantisce che possiamo scegliere un qualsiasi angolo alla circonferenza $\alpha = \widehat{AH_1B}$ su $\overset{\frown}{AB}$, dalla parte di $M$, e la relazione $\overline{AB} = \sin \alpha \cdot 2r$ sarà valida; infatti: $$\sin \alpha = \sin ( \widehat{AH_1B} ) = \sin ( \widehat{AMB} ).$$
D’altra parte, grazie alla seconda osservazione e all’utilizzo delle formule degli 
archi associati
, possiamo scrivere la seguente catena di uguaglianze: $$\sin ( \widehat{AH_2B} ) = \sin ( \pi - \widehat{AH_1B} ) = \sin ( \widehat{AH_1B} ) = \sin \alpha.$$Questo ci garantisce che la formula del teorema è comunque vera, anche se scegliamo un angolo alla circonferenza $\widehat{AH_2B}$ con vertice sull’arco $\overset{\frown}{AB}$ dove non giace $M$.


Con questa analisi, abbiamo dunque mostrato che la formula $\overline{AB} = 2r \sin \alpha$ è valida per 
qualunque
 scelta di $AB$ e di $\alpha$: il teorema è quindi dimostrato.


 



