Esercizi sulla circonferenza - WeSchool


In questa lezione verranno svolti due esercizi relativi alla 
circonferenza
, in cui utilizzeremo gran parte dei teoremi classici ottenuti nell’ambito della Geometria Euclidea.  





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Primo esercizio


Consideriamo un 
triangolo equilatero
 $ABC$ inscritto in una circonferenza di centro $O$. A partire dai vertici $A$ e $B$ condurre le tangenti alla circonferenza: queste due 
rette
 si incontrano nel punto $E$.




Quanto misura l’angolo
 $\widehat{AEB}$
?
L’
angolo
 $\widehat{ACB}$, essendo l’angolo interno di un triangolo equilatero, 
misura
 $60^\circ$; inoltre questo angolo insiste sull’arco di circonferenza $\overset{\frown}{AB}$. Per le proprietà degli 
angoli alla circonferenza
, sappiamo che qualunque altro angolo che insista sullo stesso arco ha la stessa ampiezza. Si nota che gli angoli $\widehat{ABE}$ e $\widehat{BAE}$ insistono proprio su $\overset{\frown}{AB}$ e quindi hanno la stessa ampiezza, cioè $60^\circ$. Il 
triangolo
 $ABE$ ha quindi due angoli interni di ampiezza $60^\circ$: siccome la somma di tutti gli angoli interni è pari a $180^\circ$ allora necessariamente anche $\widehat{AEB} = 60^\circ$. 


Dimostrare che il quadrilatero
 $AOBE$ 
è inscrittibile in una circonferenza
.
Dato che $EB$ e $AE$ sono tangenti alla circonferenza, sappiamo che essi sono perpendicolari rispettivamente ai raggi $OB$ e $AO$: quindi gli angoli $\widehat{OBE}$ e $\widehat{OAE}$ sono retti. Questo è sufficiente per affermare che la loro somma è pari a un angolo piatto: per il 
criterio di inscrittibilità di un quadrilatero
 possiamo immediatamente affermare che $AOBE$ è inscrivibile in una circonferenza. 


Dimostrare che
 $E$, $O$ 
e
 $C$ 
sono allineati
.
Per il 
teorema delle tangenti
 sappiamo che $EO$ giace sulla bisettrice di $\widehat{AEB}$, quindi $\widehat{OEB} = 30^\circ$. Visto che la somma degli angoli interni a $OBE$ deve fare $180^\circ$ e che $\widehat{OBE}$ è retto, risulta immediato che $\widehat{EOB} = 60^\circ$. Inoltre, $\widehat{BOC}$ è l’angolo al centro corrispondente all’angolo $\widehat{BAC}$ che misura $60^\circ$: pertanto $\widehat{BOC}$ misura il doppio, cioè $120^\circ$. In sostanza $$\widehat{EOC} = \widehat{EOB}+\widehat{BOC} = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$$Questo è sufficiente per affermare che $E$, $O$ e $C$ sono allineati. 


Prendiamo un punto 
$M$ 
su
 $EB$
 tale per cui 
$EM \cong OM$
, e chiamiamo 
$N$ 
l’intersezione tra 
$OM$
 e la circonferenza data. Dimostrare che il segmento 
$BN$
 è il lato del 
dodecagono regolare
 inscritto nella circonferenza.
Il triangolo $MOE$, per costruzione, è 
isoscele
 con base $OE$; per quanto abbiamo visto prima $\widehat{MEO} = 30^\circ$ e quindi anche $\widehat{MOE} = 30^\circ$. Dato che $\widehat{EOB} = 60^\circ$ allora necessariamente anche $\widehat{MOB} = 30$, ovvero, l’angolo che sottende la corda $BN$ misura $30^circ$. Questo è sufficiente per affermare che $BN$ è proprio il lato del dodecagono regolare inscritto nella nostra circonferenza. Infatti, dato che angoli al centro congruenti sottendono corde congruenti e che $12 \cdot 30 = 360$, possiamo suddividere la circonferenza in esattamente $12$ 
settori circolari
 tutti congruenti al settore $BON$, in modo che ciascuna corda individuata all’interno del settore vada a costituire un lato del dodecagono. 


Secondo esercizio
 


Consideriamo una circonferenza di centro $O$ di raggio $r$ e un qualsiasi punto $A$ al suo interno. Prendiamo una qualsiasi corda che passa per $A$, con estremi $B$ e $C$ sulla circonferenza. Dimostrare che la somma tra il 
quadrato
 di lato uguale alla distanza di $A$ dal centro $O$ e il 
rettangolo
 di dimensioni $BA$ e $BC$ è equivalente al quadrato di lato $r$.




Dimostrazione
. Chiamiamo $E$ ed $F$ gli estremi della corda su cui giace il segmento $OA$ (con $\overline{AE}>\overline{AF}$). Possiamo applicare il 
teorema delle corde
 ai 
segmenti
 $EF$ e $BC$, ottenendo la seguente relazione:$$BA : AF = AE : AC$$o equivalentemente, sfruttando le proprietà delle proporzioni, $$BA \cdot BC = AE \cdot AF$$Per costruzione, inoltre, abbiamo: ##KATEX##\begin{aligned} AE & \cong r + OA; \\ AF & \cong r - OA \end{aligned}##KATEX##Possiamo perciò riscrivere l’uguaglianza ottenuta poco fa: ##KATEX##\begin{aligned} BA \cdot BC & = (r+OA) \cdot (r - OA) \\ BA \cdot BC & = r^2 - OA^2 \\ r^2 & = BA \cdot BC + OA^2 \end{aligned}##KATEX##Questa uguaglianza rappresenta esattamente quello che stavamo cercando di dimostrare; l’esercizio è quindi concluso.

