Le disequazioni irrazionali: come si risolvono - WeSchool


Definizione


Una disequazione si dice irrazionale quando in essa compare almeno un radicale il cui radicando contiene l’incognita.






















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Per esempio, le disequazioni $\sqrt{2x-5}>7$ e $\sqrt[5]{3x^2+1}<3x$ sono disequazioni irrazionali poiché i loro radicandi contengono l’incognita: infatti sotto radice si hanno rispettivamente i polinomi $2x-5$ e $3x^2+1$. Invece, le disequazioni $\sqrt{2}x-3<3x$ e $x^3<\sqrt[3]{5}$ non sono irrazionali, poiché i radicandi non contengono l’incognita.


In questo testo ci limiteremo a studiare le disequazioni con radicali quadratici e cubici, dato che questa tipologia di disequazioni irrazionali rappresenta la stragrande maggioranza degli esercizi che si affrontano di solito.


 


Le disequazioni con radicali quadratici.


Le disequazioni con radicali quadratici si riducono a disequazioni del tipo
\[\sqrt{P(x)}<Q(x) \qquad \sqrt{P(x)} \leq Q(x)\]


oppure
\[\sqrt{P(x)}>Q(x) \qquad \sqrt{P(x)} \geq Q(x).\]
La suddivisione per tipologia che abbiamo appena fatto (cioè, raggruppare i casi $<, \leq$ e considerarli separatamente dai casi $>, \geq$) è giustificata dalle analogie - e dalle differenze - nel metodo di risoluzione che si deve applicare a seconda del verso della disequazione.


Primo caso: 
$\sqrt{P(x)}<Q(x) $.


La condizione di esistenza del radicale quadratico impone la prima disequazione del sistema: $P(x) \geq 0$. Inoltre, quando il radicale $\sqrt{P(x)}$ esiste, esso è positivo o nullo, per cui si deve imporre una condizione aggiuntiva: $Q(x) > 0$. Infine, poiché entrambi i membri della disequazione sono positivi, si può elevare al quadrato e si ottiene la terza ed ultima condizione: $P(x)<Q^2(x)$.


In sintesi, risolvere $\sqrt{P(x)}<Q(x)$ equivale a risolvere il 
sistema di disequazioni
:
\[\begin{cases}P(x) \geq 0\\Q(x) > 0\\P(x)<Q^2(x)\end{cases}.\]


Per esempio, consideriamo la disequazione  $\sqrt{5x-4}<x$. Dobbiamo risolvere il sistema:
\[\begin{cases}5x-4 \geq 0\\x>0 \\5x-4<x^2\end{cases}\qquad \Rightarrow \qquad\begin{cases}x \geq \frac{4}{5}\\x>0 \\x^2-5x+4>0\end{cases}\]
La disequazione di secondo grado $ x^2-5x+4>0$ ha soluzioni $\{x \in \mathbb{R}: x<1 \vee x>4\}$ (infatti l’equazione ad essa associata $x^2-5x+4=0$ ha soluzioni $x=1$ e $x=4$). Quindi si ottiene il seguente sistema:
\[\begin{cases}x \geq \frac{4}{5}\\x>0 \\x<1 \vee x>4\end{cases}\]
il cui insieme delle soluzioni è $\{ x \in \mathbb{R}: \frac{4}{5}\geq x<1 \vee x>4\}$, che è quindi l’insieme delle soluzioni della disequazione assegnata.


 


Secondo caso
: $\sqrt{P(x)}\leq Q(x)$


Analogamente al primo caso, risolvere la disequazione irrazionale $\sqrt{P(x)}\leq Q(x)$ equivale a risolvere il seguente sistema:
\[\begin{cases}P(x) \geq 0\\Q(x) \geq 0\\P(x)\leq Q^2(x)\end{cases} .\]
Come esempio, consideriamo la disequazione$\sqrt{x+5}\leq 1-x$. Il sistema associato è:


\[\begin{cases}x+5 \geq 0\\1-x \geq 0 \\x+5 \leq (1-x)^2\end{cases}\qquad \Rightarrow \qquad\begin{cases}x \geq -5\\x \leq 1 \\x^2-3x-4 \geq 0\end{cases}\]


La disequazione $ x^2-3x-4 \geq 0$ ammette come insieme di soluzioni: $\{ x \in \mathbb{R}: x \leq -1 \vee x \geq 4\}$ (infatti la sua equazione associata $x^2-3x-4 =0$ ha come soluzioni $x=-1$ e $x=4$).  Quindi si ottiene il seguente sistema di disequazioni:
\[\begin{cases}x \geq -5\\x \leq 1 \\x \leq -1 \vee x \geq 4\end{cases}\]


Analogamente a quanto fatto prima, si deduce che la disequazione assegnata ammette come insieme di soluzioni: $\{ x \in \mathbb{R}: -5 \leq x \leq -1\}$.


 


Terzo caso
: $\sqrt{P(x)}>Q(x)$.


La condizione di esistenza del radicale quadratico impone la prima condizione: $P(x) \geq 0$. Inoltre, quando il radicale $\sqrt{P(x)}$ esiste, è positivo o nullo. Possiamo distinguere due casi:


Quando $Q(x)<0$  la disequazione è sempre vera, in quanto il membro a sinistra è sempre positivo ed è sempre maggiore del membro destro che è sempre negativo. Per cui quando il sistema
\[\begin{cases}P(x) \geq 0\\Q(x) < 0\end{cases}\]
è vero, anche la nostra disequazione sarà verificata.


Quando $Q(x)>0$, entrambi i membri della disequazione sono positivi. Si può quindi elevare al quadrato, e si ottiene una terza (ed ultima) condizione: $P(x)>Q^2(x)$. Per cui quando il sistema
\[\begin{cases}Q(x) \geq 0\\P(x)>Q^2(x)\end{cases}\]
è vero, anche la nostra disequazione sarà verificata.
Notiamo che la disequazione $P(x) \geq 0$, nonostante debba comunque essere soddisfatta, è stata omessa, perché si può dedurre dal sistema. Infatti, dato che  $Q^2(x) \geq 0$ per ogni polinomio $Q(x)$, dalla seconda disequazione (cioè $P(x)> Q^2(x)$), si deduce che  necessariamente $P(x) \geq 0$.  


In sintesi, risolvere $\sqrt{P(x)}>Q(x)$ equivale a risolvere i seguenti sistemi:
\[\begin{cases}P(x) \geq 0\\Q(x) < 0\end{cases}\qquad \vee \qquad\begin{cases}Q(x) \geq 0\\P(x)>Q^2(x)\end{cases}\]


 


Per esempio, consideriamo la disequazione $\sqrt{4x+20}> x+2$. Dobbiamo risolvere i sistemi:
\[\begin{cases}4x+20 \geq 0\\x+2<0\end{cases}\qquad \vee \qquad\begin{cases}x+2 \geq 0\\4x+20>(x+2)^2\end{cases}\]


Il primo sistema è equivalente a:
\[\begin{cases}x \geq -5\\x<-2\end{cases}\]
ed ammette l’insieme di soluzioni: $\{x \in \mathbb{R}: -5 \leq x <-2\}$.


Nel secondo sistema invece, la disequazione $4x+20>(x+2)^2 $ equivale a $x^2-16<0$ ed ha soluzione: $\{x \in \mathbb{R}: -4<x<4\}$. Quindi si ottiene il sistema di disequazioni:
\[\begin{cases}x\geq -2\\-4<x<4\end{cases}\]
che ammette l’insieme di soluzioni: $\{x \in \mathbb{R}: -2 \leq x <4\}$.
Si conclude quindi che l’insieme delle soluzioni della disequazione assegnata è: $\{x \in \mathbb{R}: -5 \leq x < 4\}$.


 


Quarto caso
: $\sqrt{P(x)}\geq Q(x)$


Analogamente al terzo caso, per risolvere la disequazione irrazionale $\sqrt{P(x)}\geq Q(x)$ si risolvono i seguenti sistemi:
\[\begin{cases}P(x) \geq 0\\Q(x) \leq 0\\\end{cases}\qquad \vee \qquad\begin{cases}Q(x) \geq 0\\P(x) \geq Q^2(x) \\\end{cases}\]


 


Le disequazioni con radicali cubici.


Le disequazioni con radicali cubici sono del tipo $\sqrt[3]{P(x)}<Q(x)$, $\sqrt[3]{P(x)}\leq Q(x) $ e $\sqrt[3]{P(x)}>Q(x), \sqrt[3]{P(x)}\geq Q(x)$. In questo caso non si devono porre condizioni di esistenza e si può elevare direttamente al cubo risolvendo rispettivamente le seguenti disequazioni:
\[P(x)<Q^3(x) \qquad P(x) \leq Q^3(x) \qquad P(x)>Q^3(x) \qquad P(x) \geq Q^3(x)\]


Come esempio, consideriamo la disequazione  $\sqrt[3]{x^3-6x^2} >x-2$. Elevando al cubo, otteniamo $x^3-6x^2>(x-2)^3$ che equivale a $x^3-6x^2>x^3-8-6x^2+12x$. Dopo alcune semplificazioni, otteniamo direttamente la soluzione $x<\frac{8}{12}$.


Conoscere bene ciascuno di questi casi è fondamentale quando, all'interno della disequazione, iniziano a comparire dei parametri: si tratta allora di 
disequazioni irrazionali parametriche
, che hanno una risoluzione più complicata.

