L’iperbole: equazione, formulario e definizione - WeSchool


Definizione


L'iperbole è una curva appartenente alla famiglia delle 
sezioni coniche
 (o, semplicemente, coniche), insieme a parabola e ellisse (e circonferenza, caso particolare di ellisse).


Si tratta di 
curve piane di secondo grado
 che si ottengono - da qui l'origine del nome - dalle sezioni di 
un cono
 con un piano. In particolare, l'iperbole si ottiene 
sezionando un cono con un 
piano parallelo
 al suo asse
.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Si chiama 
iperbole
 il 
luogo geometrico
 dei punti del piano per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi si mantiene costante in valore assoluto
.




Se poniamo uguale a $2a$ il valore della costante, la definizione si traduce nella scrittura che segue: $$ | \bar{PF_1} - \bar{PF_2} | = 2a $$


 


La presenza del valore assoluto determina la presenza di 
due rami per questa curva
. Infatti, se $\bar{PF_1} > \bar{PF_2}$, 
il ramo dell'iperbole, nella figura sopra, è quello di destra e l'equazione corrispondente è: $$ \bar{PF_1} - \bar{PF_2} = 2a $$


Se invece  $\bar{PF_1} < \bar{PF_2}$ il ramo dell'iperbole, nella figura sopra, è quello di sinistra e l'equazione corrispondente è: $$ \bar{PF_2} - \bar{PF_1} = 2a $$


L'argomento del valore assoluto è, in questo caso, negativo e va cambiato il segno.


 


Equazione in forma normale e formulari


 


Cerchiamo 
l'equazione dell'iperbole sul piano cartesiano in forma normale
 e ci poniamo in condizioni particolari, ma che rendono i calcoli più semplici. Come nella figura sopra, poniamo i fuochi sull'asse delle $x$, il centro dell'iperbole nell'origine degli assi, gli assi cartesiani come assi di simmetria. Sia $2c$ la distanza focale: $F_1 \equiv (-c;0)$ e $F_2 \equiv (c;0)$


 


Applicando la 
formula della distanza tra due punti
, e prendendo in considerazione il punto generico $P \equiv (x;y)$, la definizione dell'iperbole diventa: $$ |\sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} | = 2a$$


Svolgendo i calcoli e ponendo $b^2 = c^2 - a^2 > 0$ si arriva all'equazione $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$


che prende il nome di 
equazione in forma normale
 (o in 
forma canonica
) dell'iperbole con fuochi sull'asse $x$. Allo stesso modo si procede se i fuochi si trovano sull'asse $y$, scambiando i ruoli di $x$ ed $y$ nella precedente equazione. Riassumiamo le definizioni principali e le formule nei due casi con due tabelle.


Iperbole con i fuochi sull'asse
 $x$




Equazione in forma normale 
(o canonica)




$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $


Fuochi


$F_1 \equiv (-c;0) = (-\sqrt{a^2 + b^2}; 0)$
$F_2 \equiv (c;0) = (\sqrt{a^2 + b^2}; 0) $


Distanza focale (distanza tra i fuochi)


$2c$


Parametri $a$, $b$ e $c$


$c>a, c^2 = a^2 + b^2$


Assi di simmetria




asse $x$: contenente 
i fuochi
asse $y$: 
asse del segmento
 che ha 
i fuochi agli estremi




Centro di simmetria


$(0; 0)$ punto di intersezione degli 
assi di simmetria


Vertici (punti in cui l'iperbole interseca l'asse contenente i fuochi)




Intersezione con l'asse $x$ $(y=0)$


$ A_1 \equiv (-a; 0)$ e $ A_2 \equiv (a; 0)$




Asse trasverso (segmento che ha i vertici agli estremi)


$2a$ (la costante della definizione)


Eccentricità = rapporto tra distanza focale e asse trasverso ($e>1$)


$ e = \frac{2c}{2a} = \frac{c}{a} $


Asintoti


$ y = \pm \frac{b}{a} x $


Iperbole con i fuochi sull'asse y




Equazione in forma normale 
(o canonica)




$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 $


Fuochi


$F_1 \equiv (0;-c) = (0; -\sqrt{a^2 + b^2})$
$F_2 \equiv (0;c) = (0; \sqrt{a^2 + b^2}) $


Distanza focale (distanza tra i fuochi)


$2c$


Parametri $a$, $b$ e $c$


$c>b, c^2 = b^2 + a^2 $


Assi di simmetria




asse $y$: contenente i 
fuochi
asse $x$: asse del segmento che ha i 
fuochi agli estremi




Centro di simmetria


$(0; 0)$ punto di intersezione degli assi di simmetria


Vertici (punti in cui l'iperbole interseca l'asse contenente i fuochi)




Intersezione con l'asse $y$ $(x = 0)$


$ B_1 \equiv (0; -b)$ e $ B_2 \equiv (0; b)$




Asse trasverso (segmento che ha i vertici agli estremi)


$2b$ (la costante della definizione)


Eccentricità = rapporto tra distanza focale e asse trasverso ($e>1$)


$ e = \frac{2c}{2b} = \frac{c}{b} $


Asintoti


$ y = \pm \frac{b}{a} x $


 


Se $a = b$ l'iperbole si chiama 
equilatera
 e gode di particolari proprietà:


Iperbole equilatera con i fuochi sull'asse x




Equazione in forma normale 
(o canonica)




$x^2 - y^2 = a^2$


Fuochi


$F_1 \equiv (-c;0) = (-a\sqrt{2}; 0)$
$F_2 \equiv (c;0) = (a\sqrt{2}; 0) $


Distanza focale


$2c = 2a\sqrt{2}$




Eccentricità 
(costante)




$ e = \frac{c}{a} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$




Asintoti 
(costanti e perpendicolari tra loro)




$y = \pm x$


Iperbole equilatera con i fuochi sull'asse y


Equazione in forma normale 
(o canonica)


$x^2 - y^2 = a^2$


Fuochi


$F_1 \equiv (0;-c) = (0; -a\sqrt{2})$
$F_2 \equiv (0;c) = (0; a\sqrt{2}) $


Distanza focale


$2c = 2a\sqrt{2}$


Eccentricità 
(costante)


$ e = \frac{c}{b} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$


Asintoti 
(costanti e perpendicolari tra loro)


$y= \pm x$


Se si fa ruotare un'iperbole equilatera di $45^\circ$ si dice che l'iperbole è riferita ai propri 
asintoti
. In questo caso:


gli 
assi cartesiani
 diventano gli 
asintoti


le 
bisettrici
 dei quadranti diventano gli 
assi di simmetria




L'equazione diventa $xy = k$


se $k>0$ l'iperbole si trova su primo e terzo quadrante, come in figura


se $k<0$ l'iperbole si trova su secondo e quarto quadrante


NB - Se il prodotto di due grandezze si mantiene costante ($xy = k$) vuol dire che tra loro c'è 
una relazione di proporzionalità inversa
.

