Capitalizzazione composta e sconto composto - WeSchool


 


Nel regime di 
capitalizzazione semplice
 la formula del 
fattore di montante
 mostra che l'interesse semplice è legato al periodo di impiego da una relazione lineare: M=C (1+it), con M che rappresenta il montante, cioè il capitale finale che otteniamo al termine della capitalizzazione, C che è il capitale investito, il tasso di interesse i e il periodo t di impiego del capitale C.





















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Il regime di 
capitalizzazione composta
 e il collegato regime di 
sconto composto
 sono invece leggi finanziarie decisamente diverse, che hanno effetti differenti sulla consistenza finale del montante perché è differente è la struttura economica del finanziamento. Introduciamo la definizione formale di questi regimi per poi analizzarne il funzionamento con l'aiuto di qualche esempio: nella capitalizzazione composta il fattore di montante è una funzione esponenziale del tempo.


 


In formula, abbiamo che M=C*(1+i)^t, dove M è il montante, C il capitale iniziale, i il tasso d'interesse, t il tempo per il quale il capitale viene impiegato, il simbolo ^ rappresenta l'operazione di potenza.


 


 


Cosa significa dire che il fattore di capitalizzazione varia esponenzialmente al variare di t? Significa che in questa legge finanziaria, 
ad ogni periodo t, l'interesse percepito nel periodo (t-1) è considerato nuovo capitale
 e viene quindi incluso in C: dunque al tempo t l'interesse corrispondente non è calcolato sul capitale originario, ma sulla somma del capitale originario e degli interessi percepiti nei periodi precedenti.


 


 


Ad esempio, poniamo C=100, i=10% e t=3. Applicando la formula sopra esposta abbiamo M=100*(1,1)^3, che può essere riscritta come M=100*1,1*1,1*1,1 perché come è noto elevare un numero a x significa moltiplicare x volte quel numero per se stesso. Il risultato è 133,1.


 


Se avessimo usato il regime di capitalizzazione semplice avremmo avuto M=100*(1+0,1*3)=130. Possiamo notare che i dati usati sono gli stessi in entrambi i casi ma il montante nella capitalizzazione composta è maggiore che nella capitalizzazione semplice. Non è un caso isolato: il motivo di questa differenza va ricercato nel carattere 
esponenziale
 della relazione funzionale tra montante e tempo nella capitalizzazione composta, che comporta una sensibilità del montante a variazioni del periodo d'impiego molto maggiore di quella nel caso semplice.


 


 


Se analizziamo il fenomeno più da vicino e ci concentriamo solo sul periodo 3, nell'esempio sopra riportato, possiamo riscrivere la formula come M=(100*1,1*1,1)*1,1, dove il termine incluso nelle parentesi rappresenta il capitale C di cui disponiamo nel tempo 2 e che impieghiamo fino al tempo 3, il che conferma quanto abbiamo detto in precedenza. Tra le applicazioni economiche del regime di capitalizzazione composta possiamo ricordare la misurazione della 
variazione annuale del PIL
, il Prodotto Interno Lordo, l'indicatore più usato per sintetizzare rapidamente il grado di benessere di una nazione. Quando si dice che il PIL del paese Pippo è cresciuto del 5% per 10 anni, si intende che durante i 10 anni presi in considerazione, ogni anno il PIL è aumentato del 5% rispetto all'anno precedente, non rispetto all'anno di partenza! Il montante M in questo caso è il PIL del decimo anno, il capitale C è il PIL del primo anno; abbiamo che M=C*(1,05)^10=C*1,63, cioè il PIL al termine dei 10 anni analizzati è aumentato del 63% rispetto a quello del primo anno.


 


 


Se provate ad utilizzare gli stessi numeri nel caso della capitalizzazione semplice otterrete un montante minore. Provate a farlo autonomamente, basta applicare il regime di capitalizzazione semplice.


 


 


Il 
fattore di sconto composto
 è analogo a quello semplice, ma ovviamente modificato per tenere conto della struttura esponenziale della legge finanziaria composta. Abbiamo quindi che A/S=1/(1+d)^t=(1+d)^(-t), dove A è il valore attuale, S il valore nominale, d il tasso di sconto e t il periodo d'impiego. Se d=i, cioè se il tasso di sconto è pari al tasso d'interesse, ϕ=A/S=1/(1+i)^t, ovvero ϕ=1/f: il fattore di sconto composto è uguale all'inverso del fattore di capitalizzazione composta.


 

