La legge di Stevino e il principio dei vasi comunicanti - WeSchool


La 
legge di Stevino
 è un’equazione che, in idrostatica, permette di calcolare le 
differenze di 
pressione
 tra le superfici di un 
fluido ideale
. Deve il suo nome al fisico fiammingo Simon Stevin, il quale la formulò su base sperimentale nel 1568. Un fluido è un corpo in uno 
stato
 in cui 
non occupa un volume definito
, come nello stato liquido o aeriforme; in particolare, un fluido ideale è un fluido in cui le uniche forze che possono esercitarsi hanno carattere di pressione (cioè 
sono assenti attriti 
tra le varie porzioni di liquido).





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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La legge afferma che 
in un fluido ideale in stato di quiete, di densità costante
 
$\rho$ 
e soggetto all’accelerazione di gravità 
$\vec{g}$
, la differenza di pressione 
$\Delta \vec{p}$ 
registrata tra due superfici orizzontali distanti tra loro un’altezza 
$\Delta h$ 
è pari alla pressione esercitata dal peso della colonna di liquido sulla superficie inferiore
: in un’unica formula$$ \Delta \vec{p} = \rho \ \vec{g} \ \Delta h$$




La formula precedente può essere dedotta in questo modo. Si consideri, per semplicità, una colonna cilindrica di liquido ideale, di base $\mathcal{S}$ e di altezza $\Delta h$. Il volume della colonna sarà dunque $V = \mathcal{S} \cdot \Delta h$. La massa $m$ di questa colonna può essere calcolata mediante la 
densità
 $\rho$: infatti, $\rho = \frac{m}{V}$ $\Rightarrow$ $m = \rho \cdot V$. Il 
peso
 della colonna di liquido quindi è dato da $\rho \cdot (\mathcal{S} \ \Delta h) \cdot \vec{g} $; la pressione esercitata da questo peso sulla base inferiore è quindi $$\frac{ \rho \cdot (\mathcal{S} \ \Delta h) \cdot \vec{g} }{ \mathcal{S} } = \rho\ \vec{g}\ \Delta h $$Questa pressione è stata calcolata a partire da una colonna cilindrica di altezza $\Delta h$ e base $\mathcal{S}$, ma come si vede 
nella sua espressione non compare l’area di base
: 
la pressione dipende solo dalla profondità relativa
 $\Delta h$ alla quale è stata calcolata. Si noti altresì che fondamentale è la presenza della forza peso: senza il peso della colonna di liquido, non vi è pressione.


La pressione presente in un fluido ideale in stato di quiete si chiama 
pressione idrostatica
. Se si prende un livello di riferimento in cui la pressione assume un valore noto $\vec{p}_0$, la pressione idrostatica a un qualunque altro livello si può calcolare mediante la legge di Stevino. Difatti, ponendoci ad una profondità $h$ rispetto al livello di riferimento prescelto, essa prescrive che $\Delta \vec{p} = \rho \vec{g} h$, ed essendo $\Delta \vec{p} = \vec{p}_{\text{idrostatica}} - \vec{p}_0$, si ottiene che la pressione idrostatica a profondità $h$ è data dalla formula$$ \vec{p}_{\text{idrostatica}} = \vec{p}_0 + \rho \vec{g} h $$




Solitamente, il livello di riferimento prescelto è il livello della superficie libera del liquido, su cui, solitamente, grava la 
pressione atmosferica
 $\vec{p}_{\text{atm}}$: a livello del mare, ad esempio, $\vec{p}_{\text{atm}}$ vale mediamente $1 \text{ atm} = 101325 \text{ Pa}$.


Grazie alla legge di Stevino si può spiegare il fenomeno dei 
vasi comunicanti
. Questa legge sperimentale afferma che 
due recipienti tra loro comunicanti, riempiti con uno stesso fluido (ideale) e in presenza di gravità, vengono riempiti ad un medesimo livello, indipendentemente dalla loro forma
.




Possiamo spiegare questo fenomeno separando idealmente i due recipienti, che chiameremo $A$ e $B$, con una superficie posta nel vano di comunicazione; riempiamo ora i due recipienti sino a raggiungere l’equilibrio dinamico, di modo che in ciascuno dei due recipienti sia esercitata la pressione idrostatica: chiamiamo $\vec{p}_A$ la pressione idrostatica del recipiente $A$ e $\vec{p}_B$ quella del recipiente $B$. Indichiamo inoltre con $h_A$ l’altezza del livello al quale il recipiente $A$ si è riempito e con $h_B$ quella del livello raggiunto nel recipiente $B$. 


Per il 
principio di Pascal
, la pressione esercitata sulla superficie di separazione, essendo il fluido in equilibrio, deve essere uguale da entrambi i lati:$$p_A = p_B$$La magnitudine di questa pressione è indicata dalla legge di Stevino: essendo $p_0$ la pressione atmosferica, si arriva all’equazione $$p_0 + \rho g h_A = p_0 + \rho g h_B \quad \Rightarrow \quad h_A = h_B $$


Possiamo applicare lo stesso ragionamento al caso in cui siano coinvolti 
fluidi di densità differente
. A titolo di esempio, si consideri il seguente esercizio.


Esercizio


Si consideri un tubo a forma di “U”, e si versino al suo interno, dalle due bocche, due fluidi differenti: una certa quantità di acqua (di densità $\rho_{\text{H}_2\text{O}} = 1000 \text{ kg} / \text{m}^3$) e mercurio (densità $ \rho_{\text{Hg}} = 13579 \text{ kg} / \text{m}^3$). Se l’altezza della colonna di mercurio è di $30 \text{ cm}$, qual è la differenza $\Delta h$ di altezza tra le superfici raggiunte dai due liquidi?


Si faccia riferimento a questa figura:


 


 Denominiamo con $h_{\text{Hg}}$ l’altezza della colonna di mercurio (nota, di $ 0,3 \text{ m}$) e con $h_{\text{H}_2\text{O}}$ l’altezza raggiunta dalla colonna d’acqua, di modo che la differenza di altezza $\Delta h$ si possa scrivere come $\Delta h = h_{\text{H}_2\text{O}} - h_{\text{Hg}}$. Con riferimento alla figura, scegliamo il livello al quale calcolare la pressione idrostatica dei due fluidi proprio il livello al quale si separano: grazie al principio di Pascal, essendo i fluidi in equilibrio, abbiamo la condizione di uguaglianza delle pressioni idrostatiche $p_{\text{H}_2\text{O}} = p_{\text{Hg}}$. Usando la legge di Stevino, questa equazione si traduce nella seguente catena di uguaglianze:$$ p_{\text{H}_2\text{O}} = p_{\text{Hg}} \ \Rightarrow \ p_0 + g \rho_{\text{H}_2\text{O}} h_{\text{H}_2\text{O}} = p_0 + g \rho_{\text{Hg}} h_{\text{Hg}} \ \Rightarrow \ \rho_{\text{H}_2\text{O}} h_{\text{H}_2\text{O}} = \rho_{\text{Hg}} h_{\text{Hg}} $$In base all’ultima equazione, possiamo calcolare l’altezza raggiunta dalla colonna d’acqua come $ h_{\text{H}_2\text{O}} = \frac{\rho_{\text{Hg}}}{\rho_{\text{H}_2\text{O}}} h_{\text{Hg}}$, da cui la differenza $\Delta h$ diventa $\Delta h = \frac{\rho_{\text{Hg}}}{\rho_{\text{H}_2\text{O}}} h_{\text{Hg}} - h_{\text{Hg}} = \left( \frac{\rho_{\text{Hg}}}{\rho_{\text{H}_2\text{O}}} - 1\right)h_{\text{Hg}}$. Sostituendo i dati in nostro possesso, otteniamo $\Delta h = \left( \frac{13579}{1000} - 1\right)\cdot 0,3 \text{ m} = 3,7737 \text{ m}$, ossia la colonna d’acqua è più alta di quasi quattro metri della colonna di mercurio!


 


Crediti immagine: Waglione 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/20/ANIMvasicomunicanti.gif

