Formule di bisezione: dimostrazione - WeSchool


Le 
formule
 
di
 
bisezione
 permettono di ricavare il valore assunto dalle funzioni trigonometriche in angoli della forma $\frac{\alpha}{2}$, sapendo il valore che esse assumono in $\alpha$. Queste formule fanno parte di quell’insieme di identità che, solitamente, vengono chiamate 
formule trigonometriche
.






















Videolezione "Risoluzione di un triangolo rettangolo con la trigonometria"

























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Formula di bisezione per il seno


Per determinare una formula per determinare $\sin \frac{\alpha}{2}$. Con un piccolo “trucco” algebrico, otteniamo: $$\cos \alpha = \cos \left (2 \cdot \frac{\alpha}{2} \right ) = 1- 2 \cdot \sin^2 \left ( \frac{\alpha}{2} \right )$$dove l’ultima uguaglianza deriva dalla formula di duplicazione del coseno. Riordinando l’espressione ottenuta, abbiamo: $$\sin^2 \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \quad \Rightarrow \quad \sin \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$$La scelta tra il segno $+$ o il segno $-$ davanti alla radice è da fare in base al segno di $\sin \left ( \frac{\alpha}{2} \right )$, in modo che l’uguaglianza sia rispettata.


Per esempio, supponiamo di voler calcolare $\sin \left ( \frac{\alpha}{2} \right )$ con $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Notiamo che $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{12}$, che si trova nel primo quadrante, e che $\sin \left ( \frac{\pi}{12} \right ) > 0$. Quindi davanti alla radice quadrata scegliamo il segno $+$: $$\sin \left ( \frac{\pi}{12} \right ) = + \sqrt{\frac{1-\cos \frac{\pi}{6}}{2}} = \ldots = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.$$


 


Formula di bisezione per il coseno


Possiamo determinare facilmente un’espressione anche per $\cos \frac{\alpha}{2}$. Dall’identità trigonometrica fondamentale si ha: $$\sin^2 \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) + \cos^2 \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1 - \cos \alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} = 1$$Riordinando l’espressione otteniamo: $$\cos^2 \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \quad \Rightarrow \quad \cos \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$$Come accadeva per la formula di bisezione del seno, anche in questo caso la scelta tra il segno $+$ o il segno $-$ è da fare in modo che l’uguaglianza abbia senso.


 


Formula di bisezione per la tangente


Innanzitutto notiamo che l’espressione $\tan \left ( \frac{\alpha}{2} \right )$ ha senso quando $\alpha \neq \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$: d’ora in avanti, quindi, supporremo che questa condizione sia rispettata.


Per definizione di funzione tangente, abbiamo: $$\tan \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) = \frac{ \sin \left ( \frac{\alpha}{2} \right )}{\cos \left ( \frac{\alpha}{2} \right )}$$Quando $\alpha \neq 2k \pi, k \in \mathbb{Z}$, possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per $\sin \left ( \frac{\alpha}{2} \right )$, perché questa quantità è diversa da zero. Otteniamo quindi:$$\tan \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) = \frac{ \sin^2 \left ( \frac{\alpha}{2} \right )}{\cos \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) \cdot \sin \left ( \frac{\alpha}{2} \right )}.$$Per quanto abbiamo visto prima: $$\sin^2 \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) = \frac{1 - \cos \alpha}{2}$$e invece, applicando la formula di duplicazione del seno: $$\cos \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) \cdot \sin \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) = \frac{1}{2} \sin \alpha$$In conclusione otteniamo la seguente formula: $$\tan \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) = \frac{ 1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}.$$


Se nell’espressione della tangente avessimo moltiplicato numeratore e denominatore per $\cos \left ( \frac{\alpha}{2} \right )$ allora con passaggi analoghi a quello che abbiamo fatto si ottiene un’altra formula:$$\tan \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}.$$Notiamo che vale sempre $\cos \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) \neq 0$ dato che abbiamo imposto $\alpha \neq \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ (e questo ci autorizza a moltiplicare numeratore e denominatore per questo termine).


 


Formula di bisezione per la cotangente


Sappiamo che: $$\cot \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) = \frac{1}{\tan \left ( \frac{\alpha}{2} \right )};$$quindi, dal paragrafo precedente, otteniamo le seguenti formule:


##KATEX##\begin{aligned}\cot \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) & = \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} \\\cot \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) & = \frac{ 1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}\end{aligned}##KATEX##
Per considerazioni analoghe a quanto detto per la tangente, sottolineiamo che entrambe le formule sono valide per $\alpha \neq 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ (altrimenti $\cot \left ( \frac{\alpha}{2} \right )$ non sarebbe definito) e che la seconda formula ha bisogno della condizione aggiuntiva $\alpha \neq -\pi + 2k \pi, k \in \mathbb{Z}.$


 

