Monomi e polinomi nelle espressioni matematiche - WeSchool


Una 
espressione letterale
 in cui numeri e lettere sono legati dalla sola moltiplicazione si chiama 
monomio
.


Gli elementi di un monomio sono 
fattori
, perché sono termini di una moltiplicazione, ma possono comparire anche potenze, infatti la potenza è una moltiplicazione di fattori uguali. Non possono invece comparire esponenti negativi o frazionari: 
in un monomio gli esponenti delle variabili devono essere numeri naturali
.





















Videolezione "Polinomi: spiegazione, esempi ed errori comuni"

























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L’espressione nelle due variabili $a$ e $b$ $$E= 5 \cdot 2 a^2 \frac{3}{8} a b 7 b^2$$ è un monomio perché numeri e lettere sono legate solo dalla moltiplicazione. L’espressione $$E=2a^2 - ab2$$ 
non
 
è un monomio
 poiché tra le lettere compare anche il segno di sottrazione.


 


Un monomio si dice 
ridotto in forma normale
 quando è scritto come prodotto di 
un solo
 fattore numerico, detto 
coefficiente
, e di potenze letterali con basi diverse. Il complesso delle lettere che compaiono nel monomio ridotto a forma normale ne costituisce la 
parte letterale
.


 


Il 
grado complessivo
 di un monomio è la somma degli esponenti della parte letterale. Quando il monomio è ridotto a forma normale, l’esponente di una sua variabile ci indica il 
grado del monomio rispetto a quella variabile
. Il monomio $\frac{3}{5}a^3bc^2$ ha grado complessivo $6$, ottenuto sommando gli esponenti della sua parte letterale ($3+1+2=6$). Rispetto alla variabile $a$ è di terzo grado, rispetto alla variabile $b$ è di primo grado, rispetto alla variabile $c$ è di secondo grado.


 


La 
moltiplicazione
 tra monomi si effettua moltiplicando prima i coefficienti numerici e dopo le parti letterali: nella moltiplicazione tra i coefficienti usiamo le regole note della moltiplicazione tra numeri razionali; nella moltiplicazione tra le parti letterali applichiamo la regola del prodotto di potenze con la stessa base.


Ad esempio, $$ \frac{3}{14}a^4 c^2 \,\cdot\, \frac{7}{6} a b^3 = \frac{1}{4} a^5 b^3 c^2. $$


 


La 
potenza
 di un monomio è un monomio avente per coefficiente la potenza del coefficiente del monomio di partenza e per parte letterale la potenza della parte letterale:


$$ \left( \frac{3}{2} b x^2 y^5\right)^3 = \left( \frac{3}{2} \right)^3 \left( b x^2 y^5\right)^3 = \frac{27}{8} b^3 x^6 y^{15}$$


 


Il 
quoziente
 di due monomi, detti 
dividendo 
e 
divisore
, è così composto: il coefficiente è il quoziente dei coefficienti dei monomi dati, la parte letterale è costituita dalle lettere del dividendo, con esponenti ottenuti sottraendo a quelli del dividendo quelli del divisore, così come indicano le regole note per la divisone di potenze con la stessa base. Per esempio:


$$ 2a^4bc^3x^2 : \frac{4}{3}ac^3x = \frac{3}{2}a^3bx$$


Attenzione però: se la potenza di alcune lettere risulta negativa, per esempio perchè il grado rispetto ad una lettera del divisore è maggiore del grado rispetto alla stessa lettera del dividendo, 
il quoziente non si può fare
: infatti il risultato, avendo un esponente negativo, non sarebbe un monomio. Ad esempio, il quoziente fra $2a^4bc^3x^2$ e $\frac{4}{3}ac^3x$ si può calcolare, mentre quello tra $\frac{4}{3}ac^3x$ e $2a^4bc^3x^2$ no, poichè ad esempio, il grado rispetto ad $a$ del dividendo è $1$, mentre il divisore rispetto ad $a$ ha grado $4$.


Occorre quindi controllare, prima di poter fare un quoziente, che 
il grado del divisore rispetto a ciascuna lettera sia minore o uguale del grado del dividendo rispetto a quella stessa lettera
.


 


Due o più monomi che hanno parte letterale identica si dicono 
simili
. Per identica si intende che non devono comparire solo le stesse lettere, ma anche gli esponenti delle singole lettere devono essere tra loro uguali. Per esempio il monomio $\frac{3}{5}a^3bc^2$ è simile a $68a^3bc^2$ e anche a $-0,5a^3bc^2$, ma non è simile a $\frac{3}{5}a^2bc^3$. Due monomi simili che hanno coefficiente opposto si dicono monomi 
opposti
: ad esempio, $-3 a^7 x^2$ e $3 a^7 x^2$ sono opposti.


 


L’operazione di 
addizione
 tra monomi ha come risultato un monomio solo se gli addendi sono monomi simili. In tal caso, il coefficiente della somma di due monomi è la somma dei coefficienti dei singoli addendi, mentre la parte letterale rimane invariata.


Se invece la somma viene effettuata tra monomi non simili, essa si lascia indicata così com’è: si ottiene infatti un 
polinomio
.


 


Un 
polinomio
 è un’espressione algebrica letterale che consiste in una somma algebrica di monomi, detti termini del polinomio. Se tra i termini di un polinomio non sono presenti monomi simili, il polinomio si dice 
in forma normale
 o 
ridotto
; se al contrario si presentano dei termini simili, possiamo eseguire la riduzione del polinomio sommando i termini simili. Tutti i polinomi sono quindi riducibili in forma normale. Un polinomio in forma normale può presentare tra i suoi termini un monomio di grado complessivo $0$ che viene comunemente chiamato 
termine noto
. Un polinomio che, ridotto in forma normale, è somma algebrica di due, tre, quattro monomi non nulli si dice rispettivamente binomio, trinomio, quadrinomio.


 


Vale il 
principio di identità dei polinomi
: due polinomi sono uguali se, e solo se, sono rispettivamente uguali i coefficienti dei termini simili.


 


Il 
grado complessivo
 (o semplicemente grado) di un polinomio è il massimo dei gradi complessivi dei suoi termini.


 


Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio avente come termini i prodotti del monomio per ciascun termine del polinomio. Il prodotto di due polinomi è il polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio.

