Condizione necessaria e condizione sufficiente - WeSchool


Nel linguaggio della Matematica - specialmente nell’enunciare teoremi, proposizioni e anche alcune definizioni - si utilizzano frequentemente le espressioni 
condizione
 
necessaria
, 
condizione
 
sufficiente
 e 
condizione
 
necessaria
 
e sufficiente
. Queste terminologie hanno un significato molto importante che può essere definito rigorosamente nell’ambito della 
Logica Matematica
, che vale la pena di approfondire.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Condizione necessaria


Prendiamo due proposizioni (o, più semplicemente, due affermazioni o anche due proprietà) e chiamiamole $A$ e $B$. Diciamo che $A$ è 
condizione
 
necessaria
 per $B$ e scriviamo $B \Rightarrow A$ (o anche $A \Leftarrow B$) quando il verificarsi di $B$ implica automaticamente il verificarsi di $A$. Analogamente, quando $A$ è condizione necessaria per $B$ siamo certi che se $A$ non è verificata, allora neanche $B$ lo sarà. Quest’ultima formulazione si avvicina di più al significato di “necessario” in italiano: è 
indispensabile
 che si verifichi $A$ affinchè si possa verificare anche $B$, anche se - attenzione - 
non è detto che il verificarsi di $A$ implichi il verificarsi di $B$
.


Facciamo un esempio per chiarirci le idee. Scriviamo##KATEX##\begin{aligned} X: & \text{ Sono in montagna} \\ Y: & \text{ Sto sciando} \end{aligned}##KATEX##In questo caso $X$ è condizione necessaria per $Y$. Infatti se sto sciando devo trovarmi necessariamente in montagna; analogamente, se non mi trovo in montagna sicuramente non posso sciare. Notiamo però che se mi trovo in montagna non è assolutamente detto che io stia sciando: cioè, se $X$ è verificata non possiamo dire se anche $Y$ lo è.


 


Condizione sufficiente


Consideriamo ancora due proposizioni $A$ e $B$. Diciamo che $A$ è 
condizione
 
sufficiente
 per $B$ e scriviamo $A \Rightarrow B$ (o anche $B \Leftarrow A$) quando il verificarsi di $A$ è 
sufficiente
 per affermare che si verificherà anche $B$. Equivalentemente, quando $A$ è condizione sufficiente per $B$ possiamo dire che se $B$ non è verificata allora certamente non è verificata nemmeno $A$.


Ecco un esempio: diciamo##KATEX##\begin{aligned} X: & \text{ Q è un quadrato} \\ Y: & \text{ Q è un quadrilatero} \end{aligned}##KATEX##Dato che ogni 
quadrato
 è un quadrilatero, è evidente che $X$ è sufficiente per $Y$.


 


Come si può notare dalle definizioni, condizione necessaria e condizione sufficiente sembrano una lo specchio dell’altra. Infatti 
se
 $A$ 
è condizione sufficiente per
 
$B$
,
 
allora
 $B$
 è condizione necessaria per 
$A$. Questo si può notare banalmente anche dalla notazione utilizzata: se vale $A \Rightarrow B$ allora chiaramente $B \Leftarrow A$.


È comunque importante sottolineare che $A \Rightarrow B$ non implica in alcun modo $B \Rightarrow A$: cioè, una condizione sufficiente non è, in generale, necessaria (e viceversa). Questo è quello che è emerso dall’esempio fatto in conclusione al paragrafo di spiegazione sulla condizione necessaria, dove abbiamo visto che essere in montagna è condizione necessaria per sciare, ma non sufficiente. 


 


Condizione necessaria e sufficiente


Consideriamo due proposizioni $A$ e $B$ che soddisfano le seguenti condizioni:


$A \Rightarrow B$, cioè $A$ è condizione sufficiente per $B$ (o $B$ è condizione necessaria per $A$);


$A \Leftarrow B$, cioè $A$ è condizione necessaria per $B$ (o $B$ è condizione sufficiente per $A$).


In questo caso diremo che $A$ è 
condizione necessaria e sufficiente
 per $B$, e scriviamo $A \Leftrightarrow B$. Spesso si dice anche: $A$ 
vale
 
se e solo se vale anche 
$B$, o più brevemente $A$ 
se e solo se
 
$B$.


Quando due affermazioni sono una condizione necessaria e sufficiente dell’altra, significa che esse sono 
equivalenti
 dal punto di vista logico. Facciamo alcuni esempi nell’ambito della Matematica:


due 
triangoli
 sono congruenti se e solo se vale un qualsiasi 
criterio di congruenza
 dei triangoli;


due 
rette
 sono parallele se e solo se due 
angoli
 alterni sono congruenti, come spiegato dal 
criterio del parallelismo
;


una 
matrice
 è 
invertibile
 se e solo se il suo 
determinante
 è diverso da zero.



