Come risolvere gli esercizi sulla parabola? - WeSchool


Di esercizi sulle 
parabole
 ce ne sono davvero infiniti. Memorizzare la soluzione di tutti, quindi,  ovviamente è impossibile. Ma esiste una ricetta da seguire, una procedura da ripetere punto per punto che ci permetta di risolverli tutti? Anche se, purtroppo, la risposta a questa domanda è “no” ci sono alcune osservazioni che ci permettono di affrontare questo genere di problemi di geometria analitica senza disperare.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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L’osservazione fondamentale da cui partire è questa: 
per poter identificare univocamente una parabola sono necessari e sufficienti tre soli valori numerici
. La più generica equazione che rappresenta una parabola infatti è della forma $$y=ax^2+bx+c$$ Una volta che abbiamo scoperto quanto vale ciascuno dei tre parametri $a$, $b$ e $c$, la soluzione è trovata e il problema è concluso.


Non solo in geometria analitica, ma in generale in tutta la matematica vale una specie di equivalenza che si può esprimere così: 
un parametro, una condizione
. Significa che per ogni variabile cui assegnare un valore bisogna trovare una condizione che si possa tradurre in un’equazione. Nel caso della parabola in cui i parametri sono tre, tre devono essere le condizioni da individuare e riscrivere sotto forma di equazione. Una volta scritte queste è solo una questione di algebra: è sufficiente risolvere il sistema di tre equazioni ottenuto. Per farlo tutto ciò che dobbiamo conoscere sono le formule risolutive per le equazioni di secondo grado e l’algebra basilare.


Di seguito elenchiamo alcune delle condizioni che più frequentemente fanno la loro comparsa nei problemi e la rispettiva traduzione algebrica. Combinando due o più di queste condizioni si ottiene la soluzione di un qualunque problema sulla parabola.


Passaggio per un punto
. Corrisponde a una sola condizione e si ottiene sostituendo a $x$ e $y$ nell’equazione della parabola le coordinate del punto. Es: passaggio della parabola $y=ax^2+bx+c$ per il punto $P \equiv (1;2)$ $\Rightarrow$ $2=a \cdot 1^2 + b \cdot 1+c \Rightarrow a + b + c = 2. $


Posizione dell’asse di simmetria
. Corrisponde a una condizione. L’asse di una parabola (asse verticale) ha equazione $x = \frac{b}{2a}$. Es: se l’asse della parabola è $x=2$ $\Rightarrow$  $\frac{b}{2a}=2 \Rightarrow b=4a$.


Ampiezza
. Corrisponde a una condizione. L’ampiezza coincide con il parametro $a$. Es: parabola di ampiezza $2$ $\Rightarrow$ $a=2$.


Posizione del vertice
. Questa informazione in un certo senso vale doppio, corrisponde a due condizioni contemporaneamente. Questo perché stabilisce in un colpo solo il passaggio per un punto (il vertice appunto) e la posizione dell’asse di simmetria (che passa proprio per il vertice). Il modo più pratico di utilizzare questa condizione è usare la formula della parabola traslata, $y - y_V = a \cdot (x-x_V)^2$. In questo modo due parametri ($b$ e $c$) spariscono automaticamente e rimane soltanto il parametro $a$. Es: una parabola di vertice $A \equiv (1;2)$ ha come equazione $y - 2 = a ( x - 1 )^2$.


Posizione di fuoco e direttrice
. Entrambi possono fornire informazioni sull’ampiezza della parabola dal momento che la distanza tra il vertice e il fuoco e quella tra il vertice e la direttrice è pari a $\frac{1}{4} a$. Il fuoco fornisce una condizione in più perché giace sull'asse delle parabola. Es: parabola di fuoco $F \equiv (1;2)$ e direttrice $r: y = 0$ $\Rightarrow$ $d(F,r)=2-0=2$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{4a} = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{8}$. Il vertice, allineato verticalmente con $F$ si troverà in $V \equiv (1;1)$ e quindi l'equazione sarà $y-1 = \frac{1}{8} (x-1)^2$


Tangenza a una retta
 (1 condizione) si impone ponendo a zero il discriminante $\Delta$ di un’equazione di secondo grado. Quest’ultima si ottiene risolvendo parzialmente il sistema formato dalle equazioni di parabola e retta. Es: parabola tangente a $y=2x$: $$\begin{cases} y=ax^2+bx+c \\ y=2x\end{cases} \Rightarrow $$ $$ 2x=ax^2 + bx + c \Rightarrow ax^2+(b-2)x+c=0 \Rightarrow $$ $$\Delta = (b - 2)^2 - 4ac = 0.$$



