Le disequazioni trigonometriche: metodo di risoluzione ed esercizi svolti - WeSchool


Arcoseno
 Se ci limitiamo a considerare tra le soluzioni dell'equazione $\sin(x)=m$ quelle comprese tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$, si ha che in quell'intervallo di valori cade un un'unica soluzione, che è chiamata arcoseno di $m$: $$x_m=\arcsin(m).$$


 


Arcocoseno
 Analogamente, se tra le soluzioni di $\cos(x)=m$ consideriamo angoli compresi tra $0$ e $\pi$, in quell'intervallo cade un'unica soluzione, che prende il nome di arcocoseno di $m$: $$x_m=\arccos(m).$$





















Videolezione "Equazioni e disequazioni trigonometriche: esercizi svolti"

























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Arcotangente


Infine le soluzioni dell'equazione $\tan(x)=m$ che cadono nell'intervallo tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$, estremi esclusi (di nuovo in quell'intervallo la soluzione è unica), prende il nome di arcotangente di $m$: $$x_m=\arctan(m).$$


 


Queste sono le funzioni inverse delle 
funzioni trigonometriche
. Attenzione! Non devono essere confuse con le funzioni 
secante, cosecante
 e cotangente: tali funzioni sono invece inverse rispetto all'operazione di moltiplicazione, dato che in ciascun punto restituiscono il reciproco del valore restituito dalle funzioni trigonometriche (in questo senso secante, cosecante e cotangente sono anche dette 
funzioni reciproche 
di coseno, seno e tangente rispettivamente). Invece, a partire da valori numerici, le funzioni arcoseno, arcocoseno e arcotangente ci restituiscono gli angoli che hanno rispettivamente tali valori di seno, coseno e tangente. 


 


Disequazioni trigonometriche
 La disequazioni trigonometriche del tipo $$a\sin(x) + b\cos(x)+c>0$$ si risolvono come le disequazioni algebriche: cercando le soluzioni, se esistono, della corrispondente equazione, che corrisponderanno agli estremi degli intervalli di soluzioni.


Esempio 1. Risolvere la disequazione: $$\sin(x)>\frac{\sqrt{2}}{2}.$$ L'equazione associata ad essa è $$\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2},$$ che ha come soluzioni: $$x=\frac{\pi}{4}+2k\pi, \quad x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi,$$ con $k\in\mathbb{Z}.$ Si riportano i due angoli $\frac{\pi}{4}$ e $\frac{3}{4}\pi$ sulla 
circonferenza goniometrica
; questo la divide in due archi, uno dei quali corrisponderà all'intervallo di valori che risolvono la disequazione.




In rosso abbiamo evidenziato l'arco in cui $\sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}$, infatti si nota, dal grafico precedente, che il valore del seno (sull'asse delle $y$) degli angoli in tale arco è maggiore di $\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Analizzando quindi la figura, le soluzioni della disequazione sono: $$\frac{\pi}{4}+2k\pi$$

