Rappresentazione di punti, curve e regioni di piano - WeSchool


Studiare la geometria può essere una bella sfida e per questo motivo è importante moltiplicare le armi a propria disposizione. L’uso del 
piano cartesiano
 viene introdotto in matematica esattamente in quest’ottica. Le 
coordinate cartesiane
 lavorano come un vero e proprio “vocabolario” che permette di tradurre ogni oggetto geometrico in una formula. Operata questa traduzione, ci ritroviamo tra le mani l’intero arsenale del calcolo letterale e dell’algebra, grazie al quale possiamo approfondire la conoscenza delle proprietà geometriche di circonferenze, rette, piani e così via.





















Videolezione "Il piano cartesiano e le coordinate cartesiane"

























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Prima di iniziare è però importante capire la corrispondenza fra ogni oggetto geometrico e la sua equazione. Come si distingue, per esempio un oggetto unidimensionale come può essere una retta da un oggetto bidimensionale come un semipiano? La risposta in realtà cambia a seconda se ci troviamo sul piano o nello spazio. Cominciamo quindi con lo stabilire che qui ci occuperemo soltanto degli oggetti che fanno parte del 
piano
 caratterizzato dai due assi coordinati delle ascisse ($x$) e delle ordinate ($y$). Lasceremo quindi da parte i solidi come le sfere, i parallelepipedi o i coni.


L’oggetto geometrico più semplice è il 
punto
 dal momento che, per dirla con Euclide, può essere definito come “ciò che non ha parti”. Il punto quindi non si estende in nessuna direzione e 
non è dotato conseguentemente di alcuna dimensione
. Si può dire che è un oggetto $0$-dimensionale e per rappresentarlo in geometria, sul piano, è sufficiente esprimere le sue 
coordinate
 come una 
coppia ordinata di numeri
, dove il primo rappresenta l'ascissa e il secondo l'ordinata. L’origine degli assi, per esempio, è $(0;0)$.


Usare questa rappresentazione per descrivere un oggetto anche piuttosto semplice come un retta però diventa del tutto impraticabile: la retta infatti è formata da infiniti punti. Possiamo però utilizzare un trucco diverso. Facciamo un esempio concreto considerando la figura seguente:


 




In questo caso il punto della retta di ascissa $1$ ha ordinata $4$, così come il punto di ascissa $2$ ha ordinata $8$. E’ facile verificare che ogni punto di questa retta ha l’ordinata che è esattamente il quadruplo dell’ascissa. Questa proprietà si traduce con un’espressione letterale: $y = 4 x$. Questo fatto vale in generale: un oggetto che sia dotato “solo di lunghezza e non di larghezza”, cioè un oggetto unidimensionale come una 
retta 
o una 
curva
, viene rappresentato attraverso un’
equazione
.


Cosa succede infine se l’oggetto geometrico che consideriamo è dotato anche di "spessore", ovvero ha due dimensioni? Per fare un esempio consideriamo il semipiano colorato di verde qui sotto:


 




In questo caso la proprietà che tutti i punti grigi hanno in comune è quella di stare al di sotto di una certa altezza, sono infatti caratterizzati da un’ordinata più piccola di $2$, ovvero $y<2$. In generale quindi 
una regione di piano
 può essere rappresentata attraverso 
una o più disequazioni
.

