Scrittura dei numeri razionali - WeSchool


I 
numeri razionali
, rappresentati nelle lezioni precedenti come 
frazioni
, possono essere scritti come 
numeri decimali
: basta fare la divisione tra numeratore e denominatore, e il 
quoziente che si ottiene è la rappresentazione della frazione sotto forma decimale
.





















Videolezione "Dalle frazioni ai numeri decimali: esempi ed esercizi"

























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I numeri decimali che si ottengono sono di due tipi: numeri decimali con un numero finito di cifre dopo la virgola, come $1,375$, e numeri decimali con un numero di cirfe che si ripete all’infinio dopo la vorgola, detti 
periodici
, come $1,333333333 \dots $. Si dice 
periodo
 di un numero periodico quelle cifre che si ripetono all’infinito. Per comodità, un numero decimale periodico si scrive mettendo un barra sopra il periodo $1,\bar{3}$, oppure racchiudendo il periodo tra parentesi: $1,(3)$. Si possono avere anche delle cifre che non si ripetono prima del periodo, come ad esempio $4,7466666 = 4,74\bar{6} = 4,74(6)$; le cifre prima del periodo costituiscono l’
antiperiodo
. Se un numero decimale ha solo il periodo si chiama 
periodico semplice
, se possiede sia periodo che antiperiodo si chiama 
periodico misto
. Le cifre prima della virgola si chiamano 
parte intera
 del numero decimale. Per esempio, nel numero $253,48\overline{579}$ la parte intera è $253$, il periodo è $579$, l'antiperiodo è $48$.


 


I numeri decimali senza periodo, ovvero con un numero finito di cifre dopo la virgola, si ottengono dalle frazioni il cui denominatore ha come fattori solo il $2$, solo il $5$, o entrambi, eventualmente elevati a una potenza. I numeri decimali periodici semplici si ottengono dalle frazioni il cui denominatore non ha per fattori né $2$ né $5$. I numeri decimali periodici misti si ottengono dalle frazioni il cui denominatore contiene altri fattori oltre al $2$ e al $5$.


 


Procedura per trasformare 
una frazione in numero decimale
:


eseguire la divisione tra numeratore e denominatore;


se la divisione ha un resto mettere la virgola al quoziente e moltiplicare per 10 il resto;


continuare la divisione finché il resto è zero oppure fino a che non si trova un resto già trovato prima;


se la divisione si conclude con resto 0 si ottiene un numero decimale non periodico;


se la divisione si conclude perché si è ritrovato un resto ottenuto in precedenza si ottiene un numero decimale periodico.




Viceversa un numero decimale finito o periodico può essere sempre scritto sotto forma di frazione. La frazione così ottenuta si chiama 
frazione generatrice
. Una volta ottenuta la frazione, è sempre consigliabile ridurla ai minimi termini.


 


Procedura per trasformare un 
numero decimale non periodico in una frazione
:


contare le cifre dopo la virgola;


moltiplicare numeratore e denominatore per la potenza del 10 che ha esponente uguale al numero delle cifre dopo la virgola.


Per facilitare questa operazione possiamo considerare i numeri decimali non periodici come frazioni particolari che hanno il numeratore uguale al numero decimale e il denominatore uguale a 1. Per esempio:


1,360 ha due cifre significative dopo la virgola, dunque devo moltiplicare numeratore e denominatore per $10^2$: $$1,36 = \frac{1,36}{1} = \frac{1,36\cdot10^2}{1\cdot10^2} = \frac{136}{100} = \frac{34}{25}.$$


Un altro esempio: $0,00043000$ ha cinque cifre significative dopo la virgola, dunque $$0,00043000 = 0,00043 = \frac{0,00043}{1} = \frac{0,00043 \cdot 10^5}{1 \cdot 10^5} = \frac{43}{100000}.$$


 


Procedura per trasformare un 
un numero periodico in una frazione
:


scrivere il numero senza la virgola


il numeratore della frazione si ottiene sottraendo dal numero senza la virgola il numero costituito dalle cifre che precedono il periodo, ossia parte intera seguita dall’antiperiodo;


Il denominatore della frazione si ottiene scrivendo tanti $9$ quante sono le cifre del periodo e tanti $0$ quante sono le eventuali cifre dell'antiperiodo.


Ad esempio: $ 2,5\overline{12}\quad \to \quad 2512$; le cifre che precedono il periodo sono $25$, la parte intera $2$ seguita dall’antiperiodo $5$: $\to 2512 - 25 = 2487 $; la frazione così ottenuta è quindi $2,5 \overline{12} = \frac{2487}{990} $.


 


Qui
 vengono svolti altri esercizi sulle frazioni generatrici.


 

