Gli angoli al centro e alla circonferenza e l’arco di circonferenza sotteso - WeSchool


La 
circonferenza
 è un oggetto geometrico molto particolare: ci sono infatti molte sorprendenti proprietà che la caratterizzano. In questa lezione definiremo cosa sono gli 
angoli al centro
 e degli 
angoli alla circonferenza
, e vedremo che relazione hanno con le corde e gli archi che essi 
sottendono
. 





















Videolezione "Arco di circonferenza, angoli inscritti e angoli al centro: definizioni"

























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Definizione


Un 
angolo
 
al
 
centro
 di una circonferenza è un angolo che ha il vertice nel centro della circonferenza considerata.
I lati dell’angolo intersecano la circonferenza in due punti $A$ e $B$; consideriamo l’arco $\overset{\frown}{AB}$ che ha tutti i punti compresi nell’angolo al centro. Diremo che questo arco 
corrisponde 
all’angolo al centro, e che l’angolo al centro 
sottende
 l’arco considerato.




Valgono le seguenti proprietà:


la bisettrice di un angolo al centro divide a metà l’arco corrispondente;


nella stessa circonferenza, due angoli al centro sono congruenti se e solo se gli archi corrispondenti sono congruenti; inoltre se un arco è maggiore di un altro arco, allora l’angolo che sottende il primo arco è maggiore dell’angolo che sottende il secondo (e viceversa).




Oltre a considerare angoli al centro e archi corrispondenti, possiamo considerare anche le 
corde
 sottese dagli archi in questione. Elenchiamo alcuni risultati utili che mostrano il legame tra questi oggetti geometrici.


Una retta che passa per il centro di una circonferenza è perpendicolare a una corda se e solo se divide a metà la corda stessa, l’angolo al centro e l’arco corrispondente.




 


L’asse di una corda di una circonferenza passa per il centro della circonferenza stessa.


Nella stessa circonferenza, 
corde congruenti sono ugualmente distanti dal centro
; inoltre se una corda è maggiore di un’altra corda, la distanza dal centro della prima corda sarà minore della distanza della seconda.




 


TEOREMA (
delle corde
): 
Se due corde di una circonferenza si intersecano, i segmenti che si formano su una di esse sono i medi e i segmenti sull’altra sono gli estremi di una stessa 
proporzione
.






Angoli al centro e angoli alla circonferenza


 


Definizione


Un 
angolo alla circonferenza
 è un angolo convesso che ha vertice sulla circonferenza considerata, e tale per cui i suoi lati sono entrambi secanti la circonferenza, oppure uno secante e l’altro tangente.
Diremo che un angolo alla circonferenza 
insiste
 sull’arco che ha per estremi i punti di intersezione tra i lati dell’angolo e la circonferenza, ed è contenuto nell’angolo.
Dato un angolo alla circonferenza, si dice 
angolo al centro corrispondente
 l’angolo che ha il vertice nel centro della circonferenza e che sottende l’arco su cui insiste l’angolo alla circonferenza.




 


TEOREMA: 
un angolo alla circonferenza è la metà del suo angolo al centro corrispondente.




 


Da questo teorema discendono immediatamente due proprietà molto interessanti:


ogni angolo che insiste su una semicirconferenza è retto
 (dato che il suo corrispondente angolo al centro è piatto);


gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tutti
 
congruenti
: infatti, ciascuno di questi angoli ha il medesimo angolo al centro corrispondente, e pertanto sono tutti congruenti a metà dello stesso angolo.




 


Revisione scientifica a cura di 
Marco Guglielmino

