Le matrici: prodotto, somma e sottrazione - WeSchool


Definizione


Una 
matrice
 
reale
 $A$ del tipo $m \times n$ è un insieme di 
numeri reali
 disposti su $m$ righe ed $n$ colonne.
L’insieme delle matrici con $m$ righe e $n$ colonne viene indicato con $M_{m \times n}(\mathbb{R})$.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
Notazione: 
Generalmente, le matrici si indicano con le lettere dell’alfabeto italiano maiuscole e gli elementi che la costituiscono vengono scritti tra parentesi quadre (a volte, anche parentesi tonde). Inoltre un suo generico elemento si indica con una lettera minuscola e due indici in basso, che indicano la riga e la colonna dove si può trovare l’elemento considerato: per esempio l’elemento $a_{ij}$ si troverà nella $i$-esima riga e nella $j$-esima colonna della matrice considerata.
Con questa notazione, una matrice generica si rappresenta in questo modo:
\[A=\begin{bmatrix}a_{11} &\cdots &a_{1n}\\\vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}\]
Facciamo un esempio numerico, per essere più chiari. La matrice
\[A=\begin{bmatrix}1 & -2 & 0\\-1 & 1 & 3\end{bmatrix}\] è una matrice $2 \times 3$ (avendo $2$ righe e $3$ colonne) e gli elementi $a_{12}$ e $a_{23}$ sono rispettivamente i numeri $-2$ e $3$.


 


Definizione


Si definisce 
vettore
 
riga
 (o 
matrice riga
) una matrice formata da una sola riga. Per esempio: $ \begin{bmatrix} 1 & -2 &0 \end{bmatrix}.$


Si definisce 
vettore
 
colonna
 (o 
matrice colonna
) una matrice formata da una sola colonna. Per esempio: $\begin{bmatrix} 0\\ 3 \end{bmatrix}.$


 


Due o più matrici sono 
dello
 
stesso
 
tipo
 quando ogni matrice considerata ha lo stesso numero di righe e colonne delle altre; cioè, se tutte le matrici appartengono all’insieme $M_{m \times n}(\mathbb{R})$, con $m, n$ fissati. Per esempio, la matrice $A$ dell’esempio precedente e la matrice
\[B=\begin{bmatrix}4 & -1 & -3\\0 & 1 & 2\end{bmatrix}\] sono dello stesso tipo, perché entrambe hanno $2$ righe e $3$ colonne.


Due o più matrici si dicono 
matrici
 
uguali
 quando sono dello stesso tipo e tutti gli elementi corrispondenti (cioè, nella stessa posizione) sono identici.


Definizione


Consideriamo una matrice $A$ con $m$ righe e $n$ colonne. Se $m$ e $n$ sono diversi allora $A$ è una 
matrice
 
rettangolare
.
Quando invece il numero delle righe coincide con il numero delle colonne (cioè, $m = n$) allora $A$ è una 
matrice
 
quadrata
, e il tal caso si dice che $A$ ha 
ordine
 $n$. Eccone la forma generale:
\[A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21} &a_{22} & \cdots & a_{2n}\\\vdots & \cdots & \ddots & \vdots\\a_{n1}& \cdots & \cdots &a_{nn}\end{bmatrix}\]
Gli elementi $a_{11}, a_{22}, \cdots , a_{nn}$ vengono chiamati 
diagonale
 
principale
 della matrice $A$, mentre gli elementi $a_{n1}, \cdots, a_{1n}$ compongono invece la 
diagonale
 
secondaria
 di $A$.


Definizione


Si definisce 
matrice
 
diagonale
 una matrice quadrata che può avere non nulli solo gli elementi della diagonale principale.
La matrice diagonale avente tutti $1$ sulla diagonale è detta 
matrice
 
identità
 ed è generalmente indicata con la lettera $I_n$, dove $n$ è l’ordine della matrice. Per esempio:
\[I_4=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 &0\\0& 1& 0 &0\\0 & 0 & 1 & 0\\0& 0 & 0 &1\end{bmatrix}\]


Definizione


Sia $A$ una matrice reale del tipo $m \times n$. Si definisce 
matrice
 
trasposta
 di $A$ e si indica con ${}^{t}A$ ottenuta trasformando le righe di $A$ in colonne e le colonne in righe: quindi se $A$ è una matrice $m \times n$ la matrice trasposta ${}^{t}A$ è una matrice $n \times m$. Per esempio:
\[A=\begin{bmatrix}1 & -2 & 0\\-1 & 1 & 3\end{bmatrix}\qquad{}^{t}A=\begin{bmatrix}1 & -1 \\-2 & 1 \\0 & 3\end{bmatrix}\]Segnaliamo che, a volte, la matrice trasposta si indica con altre notazioni, come per esempio $A^T, A^t, A^{tr}$.




Addizione di due matrici 


Date due matrici reali $A$ e $B$ dello stesso tipo $m \times n$ la 
somma
 $A+B$ è la matrice $C$ del tipo $m \times n$ che ha per elementi le somme degli elementi che occupano lo stesso posto nelle due matrici. Se chiamiamo $a_{ij}, b_{ij}, c_{ij}$ gli elementi di $A, B, C$ rispettivamente, abbiamo quindi: $$c_{ij} = a_{ij}+b_{ij} \ \forall i \in\{1,\dots, m\}, j \in \{1, \dots n\}.$$Per esempio:
\[A=\begin{bmatrix}1 & -2\\0 & 2\end{bmatrix}\qquadB=\begin{bmatrix}0 & 1\\3 & 4\end{bmatrix}\qquad\RightarrowA+B=\begin{bmatrix}1 & -1\\3 & 6\end{bmatrix}\]
Sottolineiamo che la somma tra matrici può essere definita 
solamente
 quando le matrici coinvolte nell’operazione sono dello stesso tipo. Inoltre, per ogni scelta opportuna di matrici $A, B, C$, la somma tra matrici ha le seguenti proprietà:


è 
commutativa
, cioè $A+B=B+A$;


è 
associativa
 cioè $(A+B)+C=A+(B+C)$.


Definizione


Prendiamo una matrice $A$ con elementi $a_{ij}$, $i \in\{1,\cdots, m\}, j \in \{1, \dots n\}$. Si definisce 
matrice
 
opposta
 
a $A$ la matrice che ha elementi $-a_{ij}$ per ogni $i, j$ opportuni; indicheremo questa matrice con $-A$.


Per esempio assegnata la matrice
\[A=\begin{bmatrix}1 & -2\\0 & 2\end{bmatrix},\]la matrice opposta è la seguente:
\[-A=\begin{bmatrix}-1 & 2\\0 & -2\end{bmatrix}\]


 


Sottrazione di due matrici


Date due matrici reali $A$ e $B$ dello stesso tipo $m \times n$ la 
differenza
 $A-B$ è la matrice $D$ del tipo $m \times n$ che ha per elementi le differenze degli elementi che occupano lo stesso posto nelle due matrici. Se chiamiamo $a_{ij}, b_{ij}, d_{ij}$ gli elementi di $A, B, D$ rispettivamente, abbiamo quindi: $$d_{ij} = a_{ij}-b_{ij} \ \forall i \in\{1,\dots, m\}, j \in \{1, \dots n\}.$$Per esempio:
\[A=\begin{bmatrix}1 & -2\\0 & 2\end{bmatrix}\qquadB=\begin{bmatrix}0 & 1\\3 & 4\end{bmatrix}\quad\Rightarrow\quadA-B=\begin{bmatrix}1 & -3\\-3 & -2\end{bmatrix}\]In maniera simile a quanto accade per la somma di matrici, anche la differenza tra matrici è definita 
solamente
 per matrici dello stesso tipo.


 


Moltiplicazione di una matrice per un numero


Data una matrice reale $A$ del tipo $m \times n$ e $k \in \mathbb{R}$, la matrice $k \cdot A$ è una matrice del tipo $m \times n$ che ha per elementi quelli della matrice $A$ moltiplicati per $k$. Per esempio, se scegliamo $k=2$, abbiamo:
\[A=\begin{bmatrix}1&-2\\0&2\end{bmatrix}\qquad\Rightarrowk \cdot A= 2A =\begin{bmatrix}2 & -4\\0 & 4\end{bmatrix}\]


Inoltre per ogni matrice $A$ di tipo $m \times n$ e $k, h \in \mathbb{R}$, questa operazione ha le seguenti proprietà:


è 
distributiva
 sia rispetto alla somma tra matrici che alla somma tra numeri reali: $$k \cdot (A+B)=k \cdot A+k \cdot B, \quad (k+h) \cdot A=k \cdot A+h \cdot A$$


è "
associativa
": $k \cdot (hA)=(kh) \cdot A$.


 


Moltiplicazione di due matrici. 


Data una matrice reale $A$ del tipo $m \times n$ e una matrice reale $B$ del tipo $n \times p$, la 
matrice
 
prodotto
 $E=A \cdot B$ è una matrice del tipo $m \times p$ dove ogni elemento $e_{ij}$ con $i \in\{1, \dots, m\}$ e $j \in \{1, \dots, p\}$ si ottiene svolgendo il cosiddetto 
prodotto
 
riga
 
per
 
colonna
: bisogna sommare i prodotti di ogni elemento della riga $i$-esima di $A$ con l'elemento corrispondente della colonna $j$-esima di $B$. Se indichiamo gli elementi di $A$ e $B$ con $a_{rs}$, $b_{tv}$, abbiamo quindi: $$e_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + a_{i3}b_{3j} + \ldots + a_{in}b_{nj}.$$Per esempio:
\[A=\begin{bmatrix}1 &-2&0\\0&1&1\end{bmatrix}\qquadB=\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\\1&2\end{bmatrix}\]


Si calcola la matrice prodotto $C=A \cdot B$ come segue.


Al posto $c_{11}$ si mette il valore della somma dei prodotti degli elementi della prima riga di $A$ e della prima colonna di $B$ quindi
\[c_{11}=\begin{bmatrix}1&-2&0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}=1-0+0=1\]


Così procedendo si calcolano gli altri elementi della matrie $C$.
\[c_{12}=\begin{bmatrix}1&-2&0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\1\\2\end{bmatrix}=-1-2+0=-3\]
\[c_{21}=\begin{bmatrix}0&1&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}=0+0+1=1\]
\[c_{22}=\begin{bmatrix}0&1&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1\\1\\2\end{bmatrix}=0+1+2=3\]
Da cui si deduce che la matrice prodotto è
\[C=\begin{bmatrix}1&-3\\1&3\end{bmatrix}\]


ATTENZIONE
: per poter moltiplicare due matrici $A$ e $B$, il numero delle colonne di $A$ deve coincidere con il numero di $B$.


Prendiamo per esempio le matrici
\[A=\begin{bmatrix}1 & -2\\0 & 2\end{bmatrix}\qquadB=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\4 & 2 & 0\\-3& 1 & -2\end{bmatrix}\qquadC=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 2 & 1\\\end{bmatrix}\]


Il prodotto $A \cdot B$ non si può calcolare perché $A$ è del tipo $2 \times 2$ e $B$ del tipo $3 \times 3$. Il prodotto $B \cdot C$ non si può calcolare in quanto le colonne della matrice $B$ sono $3$ e le righe della matrice $C$ sono $2$. Si può invece calcolare il prodotto $C \cdot B$ perché le colonne della matrice $C$ sono $3$ tanto quante le righe della matrice $B$: la matrice $C \cdot B$ è quindi una matrice del tipo $ 3 \times 2$.


La moltiplicazione tra matrici non è una operazione 
commutativa
: quindi non vale la proprietà $A \cdot B=B \cdot A$. Per esempio date le matrici
\[A=\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix},\qquadB=\begin{bmatrix}-1&0\\0&2\end{bmatrix}\]
otteniamo due diverse matrici prodotto:
\[A\cdot B=\begin{bmatrix}-1&0\\-2&2\end{bmatrix}\quadB \cdot A=\begin{bmatrix}-1&0\\4&2\end{bmatrix}\]
La moltiplicazione tra matrici gode invece delle seguenti proprietà:


proprietà
 
associativa
: $(A \cdot B) \cdot C=A \cdot (B \cdot C)$


proprietà
 
distributiva
 rispetto all'addizione: $A \cdot (B+C)=A \cdot B+A \cdot C$ e $(A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C$.



