Il teorema di Carnot o del coseno: dimostrazione - WeSchool


Il 
teorema di Pitagora
 mette in relazione le lunghezze dei tre lati di un 
triangolo rettangolo
, in modo che sia possibile ricavare la lunghezza di uno di questi a partire dagli altri due. In un triangolo generico, invece, questo non è possibile: conoscere le lunghezze di due lati non è sufficiente a determinare tutte le altre quantità relative al triangolo che si sta considerando.





















Videolezione "Teorema del coseno o di Carnot: dimostrazione"

























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Bisogna dire però che il 
primo criterio di congruenza
 per i triangoli, in un certo senso, ci assicura che basta conoscere la 
misura dell’angolo
 compreso tra due lati per conoscere completamente il triangolo che si ha di fronte: in particolare quindi si può determinare la lunghezza del terzo lato. In effetti questo è, in soldoni, il contenuto del seguente teorema.


Teorema (di Carnot, o del coseno)
: Consideriamo un triangolo qualsiasi con lati di misura $a, b$ e $c$; chiamiamo $\gamma$ l’angolo compreso tra $a$ e $b$. Allora vale la seguente relazione: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma$$
Dimostrazione
. Prendiamo un triangolo di lati $a, b, c$ e consideriamo l’
altezza
 relativa a $c$; questa altezza divide il triangolo in due triangoli rettangoli. I cateti che giacciono su $c$ possono essere determinati in funzione degli altri angoli $\alpha$ e $\beta$, grazie alla 
definizione di coseno
 applicata in ciascun triangolo rettangolo ottenuto: $$c = b \cos \alpha + a \cos \beta$$




Possiamo applicare lo stesso procedimento tracciando le altre altezze del triangolo; otteniamo quindi le tre relazioni ##KATEX##\begin{aligned} a & = b \cos \gamma + c \cos \beta \\ b & = c \cos \alpha + a \cos \gamma \\ c & = b \cos \alpha + a \cos \beta \end{aligned}##KATEX##Moltiplichiamo entrambi i membri della prima relazione per $-a$, della seconda per $-b$ e della terza per $c$: ##KATEX##\begin{aligned} -a^2 & = -ab \cos \gamma - ac \cos \beta \\ -b^2 & = - bc \cos \alpha - ab \cos \gamma \\ c^2 & = bc \cos \alpha + ac \cos \beta \end{aligned}##KATEX##Sommando membro a membro le tre uguaglianze e avendo cura di eliminare i termini opportuni, otteniamo$$-a^2 - b^2 + c^2 = -2ab \cos \gamma$$che - a patto di riordinare gli addendi - è la nostra tesi.


 


Facciamo un paio di osservazioni sul teorema appena dimostrato.


Il teorema fornisce una formula che può essere utilizzata per trovare il quadrato di $c$. In realtà (com’era abbastanza ovvio) valgono anche le relazioni ##KATEX##\begin{aligned} a^2 & = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha \\ b^2 & = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta \end{aligned}##KATEX##


Se il triangolo che stiamo considerando è rettangolo e - per esempio - $\alpha = \frac{\pi}{2}$, allora il teorema di Carnot (utilizzato per ricavare la misura del quadrato di $a$) diventa equivalente al teorema di Pitagora: ##KATEX##\begin{aligned} a^2 & = b^2 + c^2 - 2bc\underbrace{\cos \left ( \frac{\pi}{2} \right )}_{=\ 0 } \\ a^2 & = b^2 + c^2 \end{aligned}##KATEX##Da questa osservazione possiamo dedurre che il teorema del coseno è a tutti gli effetti una 
generalizzazione del teorema di Pitagora
.


Il teorema di Carnot è spesso uno strumento quasi indispensabile quando vogliamo risolvere un triangolo qualsiasi. Conoscere due lati e l’angolo tra essi compreso è esattamente la situazione tipica in cui questo teorema ha la sua principale applicazione; tuttavia può anche essere utilizzato quando si conoscono tutti e tre i lati di un triangolo e si vuole determinare il coseno di uno degli angoli, utilizzando una delle seguenti 
formule
 
inverse
: ##KATEX##\begin{aligned} \cos \alpha & = \frac{b^2 + c^2- a^2}{2bc} \\ \cos \beta & = \frac{a^2 + c^2- b^2}{2ac} \\ \cos \gamma & = \frac{a^2 + b^2- c^2}{2ab} \end{aligned}##KATEX##


 

