Il numero di Nepero: valore e proprietà - WeSchool


Supponiamo di possedere una somma di 1000 euro, depositata in una banca, che annualmente frutta il 100% di interessi.
Se il calcolo dell’interesse viene applicato una volta sola, cioè alla fine dell’anno, la somma in nostro possesso diventa pari a $1000 + 1000 = 2000$ euro.


Proviamo adesso a scaglionare il nostro interesse in due parti: supponiamo cioè che la nostra somma frutti il 50% di interessi ogni sei mesi. La sensazione è che, così facendo, la somma in nostro possesso alla fine dell’anno sia maggiore di $2000$ euro. In effetti, dopo i primi sei mesi otteniamo: $$1000 + 1000 \cdot \frac{50}{100} = 1000 + 500 = 1500 \text{ euro}$$ e alla fine dell’anno abbiamo: $$1500 + 1500 \cdot \frac{50}{100} = 1500 + 750 = 2250 \text{ euro}$$che è una somma più alta rispetto ai $2000$ euro ottenuti nell’altro caso.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
Osservando con attenzione i calcoli che abbiamo fatto, ci accorgiamo che la somma finale ottenuta scaglionando in questo modo gli interessi è data dalla formula:
##KATEX##\begin{aligned}S_2 & = \left [ 100 \cdot \left ( 1 + \frac{50}{100} \right ) \right ] \cdot \left (1 + \frac{50}{100} \right ) \\& = 100 \cdot \left ( 1 + \frac{50}{100} \right ) \cdot \left (1 + \frac{50}{100} \right ) = \\& = 100 \cdot \left ( 1 + \frac{50}{100} \right )^2 = \\& = 100 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{2} \right )^2.\end{aligned}##KATEX##
Non è quindi difficile convincersi che se avessimo scaglionato l’interesse, per esempio, in quattro 
tranche 
durante l’anno, la somma che avremmo ottenuto alla fine dell’anno sarebbe data dalla formula: $$S_4 = 1000 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{4} \right )^4.$$Facendo i conti, otteniamo che $S_4 = 2441,40$ euro, che è ancora maggiore di $S_2$.
Cosa succede quando aumentiamo ancora il numero di volte in cui scaglioniamo l’interesse? Ovvero, cosa succede alla quantità: $$S_n = 1000 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n$$all’aumentare di $n$, che rappresenta proprio il numero di volte in cui scaglioniamo l’interesse? Riportiamo qualche risultato, saltando i conti:
##KATEX##\begin{aligned}S_{10} & = 1000 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{10} \right )^{10} = 2593,74 \\S_{100} & = 1000 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{100} \right )^{100} = 2704,81 \\S_{1000} & = 1000 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{1000} \right )^{1000} = 2716,92\end{aligned}##KATEX##
Vediamo che la somma in nostro possesso alla fine dell’anno cresce all’aumentare degli scaglionamenti, ma in ogni caso sembra stabilizzarsi verso un valore definito.
Ma qual è questo valore?


Questa è proprio la domanda che si fece 
Jacob Bernoulli
 (1655 - 1705) quando affrontò per la prima volta questo problema, riflettendo sul calcolo di ciò che oggi chiamiamo 
interesse composto
 continuo
. In particolare, Bernoulli si rese conto che era di fondamentale importanza determinare il valore dell’espressione $\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n$ all’aumentare di $n$.


 


Definizione


Si definisce 
numero di Nepero
, o 
numero
 
di
 
Eulero
, o anche 
costante 
$e$, il valore che assume l’espressione: $$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n$$all’aumentare di $n$. Più rigorosamente (utilizzando il linguaggio dei 
limiti
), definiamo così questo numero: $$e:= \lim_{n \to \infty} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n.$$


 


Questa costante è un numero 
irrazionale
, e quindi non è possibile determinarne la sua 
parte decimale
 senza ricorrere a una approsimazione. Se ci fermiamo alla decima cifra decimale, per esempio, si ha: $$ e = 2.7182818284 \ldots$$Attualmente, si conoscono le prime mille miliardi di cifre dello sviluppo decimale di $e$.


Questa costante ha un ruolo importantissimo nella Matematica: è infatti alla base della definizione di logaritmo naturale, e si trova anche nella definizione della forma trigonometrica di un numero complesso.


 


Proprietà della costante
 $e$


Il numero di Nepero ha molte interessanti proprietà: elenchiamo qui di seguito alcune tra le più interessanti e curiose.


È possibile definire questa costante anche come il valore della seguente serie:
##KATEX##\begin{aligned}e:= \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{n!} & = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \ldots = \\& = 1+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \ldots\end{aligned}##KATEX##
In effetti, con alcuni metodi (non banali) si può dimostrare l’equivalenza tra questa definizione e quella che abbiamo dato noi.


La funzione esponenziale $f(x) = e^x$ è l’unica funzione che ha sé stessa come 
derivata
 (insieme a tutte le funzioni del tipo $f(x) = C \cdot e^x $ con $C \in \mathbb{R}$).
Questo significa, in particolare, che la pendenza della 
retta
 tangente al grafico di $f(x) = e^x$ in un suo qualsiasi punto è uguale al valore dell’ordinata del punto stesso.


La costante $e$ viene chiamata anche “numero di Nepero” perché, storicamente, fece la prima apparizione in un lavoro del matematico scozzese 
John Napier
 (1500 - 1617), dove questo numero venne utilizzato come base per il calcolo di alcuni 
logaritmi
.


A partire dalla definizione di $e$, possiamo ricavare alcune relazioni interessanti che coinvolgono questa costante, che rientrano all’interno dei cosiddetti 
limiti notevoli
:
##KATEX##\begin{aligned}\lim_{x \to \infty} \left ( 1 + \frac{a}{x} \right )^x & = e^a; \\\lim_{x \to 0} \left ( 1 + ax \right )^{\frac{1}{x}} & = e^a; \\\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)}{x} & = 1; \\\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} & = 1.\end{aligned}##KATEX##


Vale la seguente formula, che in maniera elegante e suggestiva mette in relazione $e$ con l’unità immaginaria $i$, la costante $\pi$ e i numeri $0$ e $1$: $$e^{i \cdot \pi} + 1 = 0$$Questa formula, chiamata 
identità di Eulero
, può apparire misteriosa se non si ha praticità con la rappresentazione dei 
numeri complessi
 in forma trigonometrica. In ogni caso questa relazione è di indubbia bellezza e semplicità, ed è considerata da molti la formula più famosa di tutta la Matematica.



