Proprietà distributiva della moltiplicazione e della divisione - WeSchool


La 
proprietà
 
distributiva
 è una delle proprietà principali che vengono studiate in aritmetica, insieme alle proprietà 
commutativa
, 
invariantiva
, 
associativa e dissociativa
. Questa è però l’unica proprietà delle quattro operazioni che nella sua definizione coinvolge due operazioni distinte: per questo motivo non ha senso affermare che un’operazione “gode della proprietà distributiva”, ma bisogna sempre specificare 
rispetto a quale altra operazione
 stiamo “distribuendo” la prima operazione considerata.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e alla sottrazione
: 
Consideriamo un’addizione (o una sottrazione) e moltiplichiamone il risultato per un determinato numero. Il prodotto ottenuto è uguale alla somma (o alla differenza) dei prodotti tra ciascun termine dell’operazione di partenza e il numero scelto.


Per spiegare questa proprietà, dall’enunciato un po’ complicato, affrontiamo subito un esempio pratico. Consideriamo l’addizione $34 + 21 + 4$ che ha risultato $59$; se lo moltiplichiamo per $2$ otteniamo $118$. La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione afferma che, in questo caso, anche l’operazione$$2 \cdot 34 \ +\ 21 \cdot 2\ +\ 4 \cdot 2$$ha come risultato $118$. In effetti, ricordando che la moltiplicazione ha priorità rispetto alla somma, otteniamo: $$2 \cdot 34 + 21 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 68 + 42 + 8 = 110 + 8 = 118$$Si vede come quindi sia possibile 
distribuire
 la moltiplicazione per $2$ su tutti gli addendi coinvolti nell’operazione di partenza.


Proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione
: 
Consideriamo un’addizione (o una sottrazione) e dividiamo il risultato per un determinato numero. Il quoziente ottenuto è uguale alla somma (o alla differenza) dei quozienti tra ciascun termine dell’operazione di partenza e il numero scelto.


Facciamo un esempio. Prendiamo la sottrazione $57 - 24 - 3 - 12$, che ha risultato $18$; dividendo per $3$ il risultato otteniamo $6$. La proprietà distributiva della divisione rispetto alla sottrazione ci dice che anche l’operazione$$57:3 \ - \ 24:3 \ - \ 3:3 \ - \ 12:3$$ha risultato $6$: svolgendo i conti, infatti, otteniamo $$19 - 8 - 1 - 4 = 6$$in accordo con quanto affermato.


Volendo essere davvero precisi, bisognerebbe specificare che la 
divisione
 è 
distributiva 
a destra
 rispetto all’addizione e alla sottrazione, ma 
non a sinistra
: ovvero, vale l’uguaglianza $$(a \pm b) : c = a : c \ \pm \ b : c$$ma invece $$c : (a \pm b) \ \neq \ c: a \ \pm c : b$$Spieghiamo questo concetto con un esempio. Consideriamo l’operazione $24 : (4 - 3)$: se svolgiamo prima l’operazione tra parentesi (come si dovrebbe fare) otteniamo $$24 : (4-3) = 24 : 1 = 24$$mentre se applichiamo la proprietà distributiva “sbagliata” otteniamo $$24 : (4-3) = 24:4 - 24:3 = 6 - 8 = -2$$


 


La proprietà distributiva può sembrare un po’ macchinosa, ma è di grandissima utilità in tantissimi contesti.


Quando vogliamo svolgere un 
raccoglimento totale o parziale
 (per esempio per scomporre un polinomio) stiamo implicitamente utilizzando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione o alla sottrazione.


La proprietà distributiva della divisione rispetto ad addizione e sottrazione è ciò che ci permette di “spezzare” una 
frazione
 che ha al numeratore un’addizione o una sottrazione. Vediamo per esempio questa espressione in cui sono coinvolte frazioni letterali: $$\frac{5a(a^2+1) + a^2 + 1}{a^2+1} = \frac{5a(a^2+1)}{a^2+1} + \frac{a^2+1}{a^2+1} = 5a + 1$$


Molti 
metodi di calcolo veloce
 si basano sulla proprietà distributiva. Per esempio, se vogliamo svolgere il prodotto $66 \cdot 5$, possiamo procedere così: $$66 \cdot 5 = (60 + 6) \cdot 5 = 60 \cdot 5 + 6 \cdot 5 = 300 + 30 = 330$$Aver distribuito la moltiplicazione sui singoli addendi rende il calcolo molto più agevole rispetto ad affrontare la moltiplicazione direttamente.


 


Possiamo anche generalizzare il concetto di distributività di un’operazione rispetto a un’altra.


Definizione


Consideriamo due operazioni binarie $\star$ e $\diamond$ definite su un insieme $S$. Diciamo che $\star$ è 
distributiva
 rispetto a $\diamond$ se valgono le seguenti uguaglianze: ##KATEX##\begin{aligned} a \star ( b \diamond c ) = (a \star b) \diamond (a \star c) \\ (b \diamond c) \star a = (b \star a ) \diamond (c \star a) \end{aligned}##KATEX##per ogni $a, b, c \in S$.
Se vale soltanto la prima o la seconda uguaglianza diremo che l’operazione $\star$ è
 
distributiva a sinistra
 o rispettivamente 
distributiva a destra
 rispetto a $\diamond$.


Come abbiamo visto prima, la divisione è distributiva a destra rispetto all’addizione o alla sottrazione; la moltiplicazione invece è distributiva sia a destra che a sinistra rispetto alle stesse operazioni, e quindi si dice semplicemente che è distributiva rispetto a esse. Potremmo dire che la ragione per cui questo accade è che 
la moltiplicazione è commutativa
, mentre la divisione non lo è.


Ecco altre coppie di operazioni che soddisfano la definizione di proprietà distributiva:


il 
prodotto tra matrici
 è distributivo rispetto alla somma tra matrici;


il 
prodotto vettoriale
 è distributivo rispetto alla somma vettoriale;


l’
unione di insiemi
 è distributiva rispetto all’intersezione, e l’
intersezione
 è distributiva rispetto all’unione.


Possiamo anche trovare coppie di operazioni che invece non rispettano la condizione imposta dalla definizione di distributività:


la sottrazione non è distributiva rispetto alla moltiplicazione (per esempio $(3 \cdot 2) - 1 = 5$ ma $(3 - 1) \cdot (2-1) = 2 \cdot 1 = 2$);


l’
elevamento a potenza
 non è distributivo rispetto all’addizione (per esempio $(2 + 3)^2 = 5^2 = 25$ ma $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$).



