Il metodo del confronto nei sistemi lineari di equazioni - WeSchool


Tra i metodi per risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite c’è il 
metodo del confronto
. Questo metodo è sostanzialmente una variante del 
metodo di sostituzione
, che è un altro metodo molto utilizzato per risolvere un sistema di questo tipo.





















Videolezione "Sistemi di equazioni riconducibili a sistemi lineari e il metodo di Cramer"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
Ricordiamo che esistono anche altri metodi per risolvere un sistema lineare, come il 
metodo di riduzione
 (ecco un 
esercizio svolto
 con questo metodo) e il 
metodo di Cramer
 (spiegato con un esempio anche in 
questo video
). 


 


Partiamo direttamente da un esercizio per capire come si applica questo metodo. Consideriamo il sistema:
##KATEX##\begin{cases}-3x + y = 2 \\2x - 4y = -1\end{cases}##KATEX##
Prendiamo ciascuna delle equazioni del sistema e esplicitiamo una delle due variabili, a nostra scelta. Per questo esercizio sceglieremo la variabile $y$: $$\begin{cases}y = 2 + 3x \\-4y = -1 - 2x\end{cases}\quad \Rightarrow \quad\begin{cases}y = 2 + 3x \\y = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x\end{cases}$$Ciascuna delle equazioni ci dice quanto vale $y$ in funzione di $x$, ed entrambe devono essere vere contemporaneamente. Possiamo quindi confrontarle, ponendo una uguale all’altra, ottenendo di fatto una equazione risolvente (esattamente come accade per il metodo di sostituzione):


##KATEX##\begin{aligned}2 + 3x & = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x \\3x - \frac{1}{2}x & = \frac{1}{4} - 2 \\\frac{5}{2}x & = -\frac{7}{4} \\x & = -\frac{7}{4} \cdot \frac{2}{5} = -\frac{7}{10}\end{aligned}##KATEX##
A questo punto sostituiamo il valore ottenuto in una delle equazioni del sistema per ottenere il valore di $y$. Prendiamo per esempio la seconda:


##KATEX##\begin{aligned}2 \cdot \left ( -\frac{7}{10} \right ) - 4y & = -1 \\-\frac{7}{5} - 4y & = -1 \\-4y & = \frac{2}{5} \\y & = \frac{2}{5} \cdot \left ( -\frac{1}{4} \right ) = - \frac{1}{10}\end{aligned}##KATEX##
Quindi la soluzione del nostro sistema è la coppia $(x, y ) = \left ( -\frac{7}{10}, -\frac{1}{10} \right )$.


Sulla base dell’esercizio che abbiamo appena svolto, possiamo dire che il metodo del confronto applicato a un sistema lineare di due equazioni e due incognite consiste dei seguenti passi:


Prendere ciascuna equazione del sistema ed esplicitare una variabile a scelta (la stessa per entrambe le equazioni);


Uguagliare le espressioni ottenute al secondo membro di ciascuna equazione per ottenere una equazione di primo grado nell’altra incognita;


Risolvere l’equazione ottenuta; se c’è una soluzione, sostituirla in una delle equazioni del sistema, in modo da ottenere il valore dell’altra variabile in corrispondenza del valore ottenuto.


Al passo 3, viene fatto intendere che 
l’equazione risolvente non ha necessariamente una soluzione
. In effetti questo può accadere: quando l’equazione in questione è 
impossibile o indeterminata
, allora anche il sistema sarà rispettivamente impossibile o indeterminato.


Anche se non lo mostreremo in questa lezione, questo metodo può essere esteso alla risoluzione di un sistema lineare di $n$ equazioni in $n$ incognite. L’idea è quella di procedere effettuando confronti tra tutte le equazioni a disposizione nel sistema, per 
ridurre sempre di più le “dimensioni” del sistema
, fino ad avere un modo per determinare tutte le incognite.

