Il trapezio isoscele, rettangolo e scaleno: formule e definizioni - WeSchool


I 
poligoni
 aventi quattro lati si chiamano 
quadrilateri
. Quali sono le proprietà che caratterizzano questi oggetti geometrici? La classe più generale di quadrilateri che viene analizzata di solito è quella dei 
trapezi.
 In questa lezione ne vedremo le proprietà principali e studieremo tutte le formule più importanti per trovare area, perimetro e altre grandezze geometriche.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Definizione


Si chiama 
trapezio
 un quadrilatero avente due lati paralleli.
I due lati paralleli si dicono 
basi
 del trapezio: se non sono congruenti, in genere si distingue tra la 
base
 
maggiore $B$
 e la 
base
 
minore $b$
. I rimanenti due lati vengono chiamati 
lati obliqui $l_1, l_2$
 del trapezio; la 
distanza
 tra le basi è detta 
altezza $h$
 del trapezio. I 
segmenti
 che collegano vertici opposti del trapezio si chiamano 
diagonali $d_1, d_2$.
Inoltre:


se i lati obliqui $l_1, l_2$ del trapezio sono congruenti, il trapezio è detto 
trapezio isoscele
;


se uno dei due lati del trapezio è 
perpendicolare
 a una base (e quindi anche all’altra) il trapezio si dice 
trapezio rettangolo
;


se il trapezio non ha particolari proprietà, diremo che è un 
trapezio scaleno
.




Valgono i seguenti risultati:


 


TEOREMA
: Un trapezio è isoscele se e solo se gli 
angoli
 adiacenti a ciascuna base sono congruenti (questo risultato è stato già evidenziato nella figura precedente).


TEOREMA
: In un trapezio, gli angoli adiacenti a un lato obliquo sono supplementari (facendo riferimento alla figura per il trapezio scaleno: $\alpha + \gamma = \beta + \delta = \pi$). 


Inoltre, in un trapezio isoscele anche gli angoli opposti sono supplementari (utilizzando la figura del trapezio isoscele: $\alpha + \gamma = \pi$) e le diagonali sono congruenti.


TEOREMA
: Le diagonali di un trapezio si tagliano in parti 
proporzionali
.


 


 


Formule per il trapezio
 


Le formule più comuni, utilizzabili per un trapezio generico, sono le seguenti:
 


Area
: $ \displaystyle A = \frac{(B + b) \cdot h}{2} $
Perimetro
: $ \displaystyle2p = B+b+l_1+l_2$
Altezza
: $ \displaystyle h=\frac{2A}{B+b}$


Base
 
maggiore
: $ \displaystyle B =\frac{2A}{h} - b$


Base
 
minore
: $ \displaystyle b =\frac{2A}{h} - B$


dove $B$ è la base maggiore, $b$ la base minore, $h$ l'altezza e $l_1, l_2$ i lati obliqui.


 


Diamo ora delle formule per trovare la misura di area, perimetro, altezza, lati obliqui e diagonali di un trapezio nel caso in cui si conoscano:


le due basi $B, b$ e gli angoli alla base $\alpha$ e $\beta$;


i quattro lati $B, b, l_1, l_2$.


La motivazione di questa scelta sta nel fatto che conoscere una di queste due combinazioni di grandezze determina completamente tutte le misure dei lati e degli angoli del trapezio (a differenza di quanto accade se si conoscono solo le basi e l’altezza del trapezio, per esempio).


Per una comprensione approfondita delle formule in cui compaiono gli angoli $\alpha$ e $\beta$, si richiede la conoscenza della 
trigonometria
 e delle funzioni goniometriche in generale.


Le formule verranno suddivise a seconda che il trapezio preso in considerazione sia scaleno, isoscele o rettangolo.


 


Trapezio scaleno




 




Nella tabella precedente, vale $R=(-b+B+l_1+l_2)(-B+b+l_1+l_2)(-B+b-l_1+l_2)(-B+b+l_1-l_2)$.


 


Trapezio isoscele




 


 


 


Trapezio rettangolo




 




 


Revisione scientifica a cura di 
Marco Guglielmino

