Formule di prostaferesi e formule di Werner - WeSchool


Le formule di prostaferesi e le formule di Werner sono alcune tra le più importanti tra le 
formule trigonometriche
. Queste formule, infatti, permettono di passare a piacimento dalla 
somma
 di due funzioni trigonometriche al 
prodotto
 di altre funzioni trigonometriche (e viceversa), a patto di modificare adeguatamente gli argomenti.






















Videolezione "Risoluzione di un triangolo rettangolo con la trigonometria"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
A partire dalle 
formule di addizione e sottrazione
, possiamo scrivere le seguenti uguaglianze:


##KATEX##\begin{aligned}\sin (\alpha + \beta ) + \sin (\alpha - \beta ) & = 2 \sin \alpha \cos \beta \\\sin (\alpha + \beta ) - \sin (\alpha - \beta ) & = 2 \cos \alpha \sin \beta \\\cos (\alpha + \beta ) + \cos (\alpha - \beta ) & = 2 \cos \alpha \cos \beta \\\cos (\alpha + \beta ) - \cos (\alpha - \beta ) & = -2 \sin \alpha \sin \beta\end{aligned}##KATEX##
Queste uguaglianze ci saranno utili nel seguito per determinare le identità che ci servono.


 


Formule di Werner (prodotto 
$\to$ 
somma)


Per ottenere queste formule è sufficiente riordinare le quattro identità che abbiamo ottenuto prima, esplicitando le funzioni trigonometriche che sono moltiplicate fra loro:


##KATEX##\begin{aligned}\sin \alpha \cos \beta & = \frac{1}{2} \left ( \sin (\alpha + \beta ) + \sin (\alpha - \beta ) \right ) \\\cos \alpha \sin \beta & = \frac{1}{2} \left ( \sin (\alpha + \beta ) - \sin (\alpha - \beta ) \right ) \\\cos \alpha \cos \beta & = \frac{1}{2} \left ( \cos (\alpha + \beta ) + \cos (\alpha - \beta ) \right ) \\\sin \alpha \sin \beta & = \frac{1}{2} \left ( \cos (\alpha - \beta ) - \cos (\alpha + \beta ) \right )\end{aligned}##KATEX##
Notiamo che la prima e la seconda uguaglianza sono in realtà equivalenti (basta scambiare $\alpha$ con $\beta$ in una delle due per rendersene conto). In ogni caso queste identità prendono il nome di 
formule
 
di
 
Werner
 e, come si può notare, trasformano il 
prodotto
 di due funzioni trigonometriche in 
somma
 di altre funzioni trigonometriche, a patto di cambiarne gli argomenti.


 


Formule di prostaferesi (somma
 $\to$ 
prodotto)


Per ottenere queste formule dobbiamo per prima cosa introdurre delle nuove variabili $s$ e $d$: $$\begin{cases} s = \alpha + \beta \\ d = \alpha - \beta \end{cases}$$Risistemando il tutto, otteniamo: $$\begin{cases} \alpha = \frac{s + d}{2} \\ \beta = \frac{s - d}{2} \end{cases}$$Con questi nuovi “ingredienti” possiamo semplicemente riscrivere le identità ottenute all’inizio della lezione:
##KATEX##\begin{aligned}\sin s + \sin d & = 2 \sin \left ( \frac{s + d}{2} \right ) \cos \left ( \frac{s - d}{2} \right ) \\\sin s - \sin d & = 2 \cos \left ( \frac{s + d}{2} \right ) \sin \left ( \frac{s - d}{2} \right ) \\\cos s + \cos d & = 2 \cos\left ( \frac{s + d}{2} \right ) \cos \left ( \frac{s - d}{2} \right ) \\\cos s - \cos d & = -2 \sin \left ( \frac{s + d}{2} \right ) \sin \left ( \frac{s - d}{2} \right ) \end{aligned}##KATEX##
Queste formule sono valide per qualsiasi scelta di $s$ e $d$ (possiamo cioè “dimenticarci” il modo in cui abbiamo definito $s$ e $d$, e considerarle semplicemente come variabili qualsiasi) e prendono il nome di 
formule
 
di
 
prostaferesi
: vediamo che queste identità permettono di trasformare una 
somma
 di funzioni trigonometriche in un 
prodotto
 di altre funzioni trigonometriche.
Sottolineiamo inoltre che, come accadeva per le formule di Werner, è possibile mostrare che la prima e la seconda identità sono in realtà equivalenti.


 

