Capitalizzazione semplice e sconto razionale - WeSchool


 


Nelle applicazioni finanziarie, ad esempio quando viene concesso un 
mutuo
 o viene emesso un titolo di debito, l'entità dell'
interesse
 non dipende esclusivamente dal capitale ma anche dalla 
durata temporale
 dell'impiego. In termini un po' più formali, possiamo dire che l'interesse I dipende dal capitale C ma anche dal tempo t. Fermarci qui però non è sufficiente, è infatti necessario sapere qualcosa in più sulla struttura della relazione tra I e t.





















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La relazione più immediata a cui possiamo pensare è quella di 
proporzionalità
: possiamo definire l'interesse I come una determinata frazione del prodotto tra il capitale impiegato C e il periodo in cui questo capitale viene detenuto da chi l'ha preso in prestito. In formula, abbiamo che I=Cti, con i che indica il tasso d'interesse.


 


 


Se ad esempio impieghiamo un capitale di 100 al tasso d'interesse del 5% per un anno, l'interesse relativo sarà I=100 x 1 x 0,05=5.


 


È opportuno a questo punto ricordare che il 
montante
 M è pari al 
capitale
 C sommato all'interesse I: di conseguenza M= C+I = C+Cti = 
C(1+it)
. Se dividiamo entrambi i membri per C otteniamo il 
fattore di capitalizzazione
 (detto anche fattore di montante) che esprime la struttura del regime di capitalizzazione analizzato: in questo caso M/C=(1+it).


 


Questo regime è detto di 
capitalizzazione semplice
 e l'interesse I ad esso collegato è conosciuto come 
interesse semplice
.


 


 


Il ragionamento analogo vale per l'operazione di attualizzazione semplice; è interessante ricavare il 
fattore di sconto
 dall'operazione di capitalizzazione per evidenziare il legame esistente tra i due regimi. Partiamo da una semplice considerazione: l'operazione di attualizzazione è speculare a quella di capitalizzazione. Mentre quando capitalizziamo stiamo "spostando" del denaro in avanti, stiamo cioè stimando l'equivalente al tempo 2 di una somma di denaro al tempo 1, l'attualizzazione procede nel senso inverso, ha come obbiettivo il calcolo del valore che una certa somma al tempo 2 assume al tempo 1.


 


 


Il fattore di attualizzazione è pari a M/C, il fattore di sconto è uguale a A/S, ma entrambi i regimi espongono lo stesso concetto da due punti di vista differenti. Se al termine di un'operazione di capitalizzazione in cui abbiamo ottenuto il montante M decidiamo di scontarlo per ottenere il suo valore attuale, 
se il tasso d'interesse è pari al tasso di sconto e il periodo considerato è lo stesso per entrambi i regimi
, ciò che otteniamo è semplicemente il capitale iniziale. Quindi possiamo dire che C è il valore attuale A dell'operazione di attualizzazione del valore nominale S=M.


 


Il punto appena esposto ci permette di concludere che il fattore di sconto A/S può essere scritto, usando la notazione del regime di capitalizzazione, come C/M.


 


C/M è il reciproco di M/C, il fattore di montante f, dunque il fattore di sconto φ=C/M=1/(M/C), vale a dire φ=1/f. Nel caso qui esaminato, φ=1/(1+it) e lo sconto semplice o sconto razionale D è tale che D=dt, con d che in questo caso è uguale a i per ipotesi.


 

