Generatori di tensione elettrica ideali e reali: spiegazione - WeSchool


Nel diagramma di un 
circuito elettrico
, accanto al ben noto simbolo che rappresenta un generatore di 
differenza di potenziale
 (d.d.p.), normalmente se ne indica semplicemente il voltaggio $\text{V}$. Questo perché si assume che il 
generatore
 sia 
ideale
, capace cioè di 
erogare una tensione perfettamente uguale a quella nominale
, dichiarata dal costruttore, 
indipendentemente dal circuito cui è collegato
, ovvero quale che sia la corrente $I$ che circola in esso.





















Videolezione "Collegamento in serie di resistenze elettriche: dimostrazione pratica"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
In realtà ciò non è affatto possibile semplicemente per considerazioni energetiche. La 
potenza
 erogata
 $P$, ossia l’energia elettrica erogata dal generatore per unità di tempo, si ottiene dalla seguente formula$$P=V\ I$$Si può arrivare a questa formula seguendo il seguente ragionamento: dalla definizione di potenza, sappiamo che essa ha le dimensioni di un 
lavoro
 diviso un tempo. Il 
lavoro
 $\mathcal{L}$ 
svolto da un 
campo elettrico
 è pari alla differenza di potenziale per la quantità di carica spostata
, $\mathcal{L} = \Delta V q$; ma la 
corrente elettrica
 $I$ non è altro che la 
quantità di 
carica elettrica
 
$\Delta q$ 
spostata per unità di tempo
: $I = \frac{\Delta q}{\Delta t}$. Abbiamo dunque la seguente catena di uguaglianze:$$ V\ I = V \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{\Delta V q}{\Delta t} = \frac{\mathcal{L}}{\Delta t} = P$$Se supponiamo che il circuito abbia una 
resistenza
 complessiva
 $R$, la situazione può essere descritta dalla figura seguente:




La corrente $I$ che circola in un simile circuito è data dalla 
prima legge di Ohm
: da $V = R \ I $, si ricava facilmente $I = \frac{V}{R}$. È facile rendersi conto che collegando 
resistenze molto piccole
, la 
corrente 
$I$ può assumere 
valori arbitrariamente grandi
. Sembrerebbe quindi che un generatore di tensione sia in grado di erogare una potenza grande a piacere: anzi più piccola è la resistenza collegata e maggiore parrebbe essere la potenza che è possibile estrarre. Se davvero fosse questa la situazione, la questione energetica nemmeno si porrebbe: le comuni pile alcaline sarebbero una specie di pozzo di San Patrizio da cui estrarre energia senza limiti!


In realtà il modo più corretto di rappresentare un 
generatore di d.d.p.
 reale è quello della figura sottostante:




Ogni generatore è infatti caratterizzato, oltre che dal voltaggio $V$, anche da una 
resistenza interna
 $r$, sempre presente, data dal fatto che il generatore stesso è composto, nelle parti ove deve circolare corrente, da materiale conduttore. 
La resistenza interna
 $r$ 
limita il valore massimo di corrente erogabile
: se anche 
cortocircuitassimo
 i poli del generatore (imponendo cioè che il circuito esterno abbia resistenza nulla, $R=0$) avremmo come massimo valore della corrente $I_{\text{max}} = \frac{V}{r}$.


Da questo risultato per la corrente massima, i più frettolosi potrebbero concludere che la 
massima potenza erogabile
 sia data da $P_{\text{max}} = V \ I_{\text{max}} = \frac{V^2}{r}$. In realtà un altro “effetto collaterale” della resistenza interna è quello di 
dissipare parte dell’energia sviluppata
, cosicchè 
la potenza che effettivamente viene trasmessa all’utilizzatore
 $P_R$ 
è significativamente minore di
 $\frac{V^2}{r}$ e cambia a seconda dei valori di resistenza esterna $R$ applicata: infatti, la potenza trasmessa al circuito di resistenza $R$ è descritta dalla seguente formula:$$P_R=V^2\frac{R}{(R+r)^2}$$Ci accingiamo ora a dimostrare tale formula. Come si vede dal diagramma precedente, le resistenze $r$ ed $R$ sono collegate 
in serie
: sono dunque equivalenti ad un’unica 
resistenza equivalente 
pari a $R + r$. La corrente $I$ circolante nel circuito sarà allora data sempre dalla prima legge di Ohm: $I = \frac{V}{R+r}$. Ora indaghiamo la potenza $P_R$ che viene passata al circuito: ma attenzione, ora la resistenza è solo $R$, poichè siamo all’esterno del generatore. Sempre per la prima legge di Ohm, la potenza è data dalla formula $P = R \ I^2$. Sostituendo in quest’ultima uguaglianza l’espressione per l’intesità di corrente $I$ trovata in precedenza, giungiamo alla formula che volevamo dimostrare.


L’espressione $P_R = V^2\frac{R}{(R+r)^2}$ rappresenta la 
potenza
 $P_R$ 
come 
funzione matematica
 della resistenza
 $R$ del circuito che utilizza il generatore reale. Il grafico di tale funzione è riprodotto in figura:




Come è possibile notare dal profilo del grafico, la potenza erogata $P_R$ presenta un punto più alto di tutti gli altri, quello che in matematica si chiama un 
punto di massimo
. Eseguendo lo 
studio di tale funzione
, scopriamo che 
la potenza erogata è massima quando la resistenza applicata ai capi del generatore è uguale alla resistenza interna
, ovvero per $R=r$, e il valore massimo di tale potenza è pari a $P_{\text{max}} = \frac{V^2}{4r}$, appena il 25% di quanto avevamo presunto!

