Rette parallele e rette perpendicolari: spiegazioni e esempi - WeSchool


Da cosa dipende la pendenza di una retta? Se la vostra risposta è “dal 
coefficiente angolare
 $m$”, secondo l’equazione $y=mx+q$, siete sulla buona strada. Però qualcosa da dire rimane ancora.


L’inclinazione di una retta rispetto all’asse orizzontale è determinata dai
 coefficienti 
$a$
 e 
$b$ dell’equazione in 
forma implicita






















Videolezione "Fascio proprio di rette: spiegazione ed esempi"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
$$ ax+by+c=0 $$


Se può sembrare più complicato dover tenere conto dei due parametri $a$ e $b$ anziché del solo $m$, con un po’ di esercizio ci si può abituare a riconoscere a colpo d’occhio come sono inclinate tra di loro le rette.


Per esempio: come si può stabilire se due rette sono 
parallele
? Innanzitutto ricordiamo che due rette sono parallele quando non si incontrano mai, quindi quando hanno la medesima inclinazione.


 


Se le loro equazioni sono in 
forma esplicita
 è sufficiente confrontare i valori di $m$: 
uguale inclinazione vuol dire uguale valore di coefficiente angolare
. Per esempio le rette $y=2x+5$ e $y=2x-1$ hanno entrambe $m=2$ e sono pertanto parallele. Al contrario $y=3x$ e $y=1-x$ non lo sono, la prima ha $m=3$ mentre la seconda ha $m=-1$ (conta il coefficiente della $x$ e come ricorderete quando il numero non c’è si sottintende $1$).


 


Se però le rette sono espresse in 
forma implicita
 può succedere che sia necessario qualche passaggio in più. Innanzitutto due rette le cui equazioni implicite hanno gli stessi valori di $a$ e di $b$ sono sicuramente parallele: $2x-3y+4=0$ e $2x-3y -9=0$ lo sono, infatti una volta espresse in forma esplicita diventano $y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$ e $y=\frac{2}{3}x-3$. Uguale $m$, uguale inclinazione, sono parallele.


Ma ci sono casi in cui i coefficienti $a$ e $b$ sono diversi ma le rette sono comunque parallele. Per esempio $4x-2y+8=0$ e $-8x+4y-2=0$ ridotte in forma esplicita diventano $y=2x+4$ e $y=2x+\frac{1}{2}$. Come prima: uguale $m$, uguale inclinazione, sono parallele.


Ciò che conta davvero è la 
proporzione tra i coefficienti
 $a$
 e 
$b$: date due rette


$$ \begin{align} r_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \\ r_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \end{align}$$


esse sono parallele se e solo se vale la 
proporzione


$$ a_1 : a_2= b_1 : b_2 $$


oppure l’uguaglianza tra  il prodotto degli estremi e quello dei medi:


$$ a_1 \cdot b_2 = a_2 \cdot b_1 $$


Anche le rette tra loro 
perpendicolari
 si possono riconoscere facendo riferimento alle relazioni tra coefficienti $a$ e $b$.




Come mostra la figura sono perpendicolari quelle rette dove gli 
incrementi 
sulle ascisse e quelli sulle ordinate si scambiano tra di loro. Questo scambio ha come effetto che la pendenza dell’una diventa il reciproco dell’altra. Ma ancora non basta: se una retta è crescente la sua perpendicolare è decrescente quindi anche il segno va cambiato. Quindi due rette $r_1$ e $r_2$ sono perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è uguale a $-1$:


$$ m_1 \cdot m_2 = -1 $$


ovvero ricorrendo alla forma implicita deve valere la relazione


$$ a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2 = 0 $$


 


 


Crediti immagine: http://commons.wikimedia.org/wiki/User:Peo?uselang=it 


http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Slope_of_a_line.png?uselang=it



