La tangente e la secante di una circonferenza: proprietà e teoremi - WeSchool


Consideriamo una 
retta
 e una 
circonferenza
 nel piano. Che rapporti possono avere tra di loro? In questa lezione daremo le definizioni di 
retta tangente
 e 
retta secante
 a una circonferenza, e enunceremo tre teoremi fondamentali (e molto utili per svolgere gli esercizi relativi a questo argomento).





















Videolezione "Triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza: formule di geometria"

























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Definizione


Consideriamo una retta $r$ e una circonferenza $C$ nel piano. Diremo che:


$r$ è 
esterna
 a $C$ se $C \cap r = \emptyset$, cioè se la retta e la circonferenza non hanno punti in comune;


$r$ è 
tangente
 a $C$ se $C \cap r = P$, cioè se la retta e la circonferenza hanno 
solo
 un punto in comune, che viene chiamato 
punto di tangenza
;


$r$ è 
secante
 di $C$ se $C \cap r = \{ P, Q \}$, cioè se la retta e la circonferenza hanno due punti in comune.




 


Lo studio delle rette tangenti a una circonferenza (e a una curva generica, in realtà) ha particolare rilevanza. Elenchiamo alcune proprietà delle rette tangenti a una circonferenza.


Presa una tangente a una circonferenza, il raggio che ha come estremo il punto di tangenza è perpendicolare alla tangente considerata.


Preso un punto esterno a una circonferenza $C$, esistono sempre 
due
 rette tangenti a $C$ che passano per il punto considerato. Se il punto è interno, da esso non passa alcuna tangente a $C$; se il punto appartiene alla circonferenza, invece, esiste un’unica tangente.




TEOREMA
 
(
delle tangenti
)
: Consideriamo un punto $P$ esterno a una circonferenza $C$ di centro $O$, e da $P$ conduciamo le tangenti a $C$. Chiamiamo $A$ e $B$ i punti di tangenza. Allora:


$PA \cong PB$;


Il segmento $PO$ divide a metà l’angolo $\widehat{APB}$ e anche l’angolo $\widehat{AOB}$.




Dato che l’angolo $\widehat{APB}$ è diviso a metà da $PO$, abbiamo in automatico che la corda $AB$ è perpendicolare a $OP$ e anche che $AH \cong HB$.


 


TEOREMA (
delle secanti
)
: Consideriamo una circonferenza $C$ e due rette secanti $r$, $s$ che hanno in comune un punto $P$ esterno alla circonferenza. Detti $A$ e $B$ i punti di intersezione di $r$ e $C$ (con $PA < PB$), e detti $D$ e $E$ i punti di intersezione di $s$ con $C$ (con $PD < PE$) abbiamo la seguente 
proporzione
: $PA : PD = PE : PB$.




 


TEOREMA (
della secante e della tangente
)
: Consideriamo una circonferenza $C$, una retta secante $r$ e una retta tangente $s$ che hanno in comune un punto $P$ esterno alla circonferenza. Detti $A$ e $B$ i punti di intersezione di $r$ e $C$ (con $PA < PB$), e detto $D$ il punto di tangenza di $s$ rispetto a $C$, abbiamo la seguente proporzione: $PB : PD = PD : PA$.




 


Revisione scientifica a cura di 
Marco Guglielmino
 

