Il parallelogramma: formule di area e perimetro e proprietà - WeSchool


Quando consideriamo un quadrilatero con due lati paralleli, stiamo in realtà studiando un 
trapezio
. Che figura otteniamo quando anche gli altri due lati sono paralleli? Di certo il quadrilatero rimane un 
trapezio
, ma la proprietà che abbiamo aggiunto rende la nostra figura molto più interessante.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
 


Definizione


Un quadrilatero avente i lati opposti paralleli si dice 
parallelogramma
 (o anche 
parallelogrammo
).


Come anticipato prima, tutti i parallelogrammi sono trapezi (ma non tutti i trapezi sono parallelogrammi!). Inoltre, tutti i 
rettangoli
, 
rombi
 e 
quadrati
 sono particolari tipi di parallelogramma.


 


Vale il seguente, importante risultato:


 


TEOREMA (
Caratterizzazione
 
del
 
parallelogramma
): 
Un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se ha una tra le seguenti proprietà:


i lati opposti sono congruenti a due a due (e li chiamiamo con lo stesso nome $a$ oppure $b$);


gli angoli opposti sono congruenti a due a due (e li chiamiamo con lo stesso nome $\alpha$ oppure $\beta$);


gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari (cioè $\alpha + \beta = \pi$, un angolo piatto);


i punti medi delle diagonali coincidono;


due lati opposti sono paralleli e congruenti.




Definizione


Dato un lato $l$ e un vertice $A$ che non appartiene a $l$, 
l’
a
ltezza
 
relativa
 
al
 
lato
 $l$
 (indicata con $h_l$) è il segmento passante per $A$ perpendicolare al lato $l$ (o al suo prolungamento).




Formule del parallelogramma


In questa sezione, facciamo riferimento alla figura 1 vista prima. Daremo alcune delle formule del parallelogramma nel caso in cui siano dati i suoi lati e l’altezza relativa a uno dei due.


Area: 
$A = a \cdot h_a = b \cdot h_b$;
Altezza relativa ad $a$ 
(rispettivamente a $b$): $h_a = \frac{A}{a}$ (rispettivamente $h_b = \frac{A}{b}$);
Perimetro
: $2p = 2a+2b$;
Diagonali
: $d_{minore} = \sqrt{b^2 + a^2 - 2b\sqrt{a^2 - h_b^2}}$; $d_{maggiore} = \sqrt{b^2 + a^2 + 2b\sqrt{a^2 - h_b^2}}$.
Angoli
: $\alpha = \sin^{-1} \left ( \frac{h_a}{b} \right ) = \sin^{-1} \left( \frac{h_b}{a} \right)$.


 


Vediamo con un diagramma di Venn dove si posizionano i parallelogrammi all’interno dell’insieme di tutti i quadrilateri:

