Rette e piani nello spazio: rette sghembe, piani paralleli, angolo diedro - WeSchool


In Geometria Euclidea si parla della 
retta
 come un 
ente primitivo
: è cioè qualcosa che non si può definire utilizzando altri oggetti matematici, ma che può essere solo immaginato e “intuito” secondo il senso comune. Se lavoriamo nello spazio euclideo possiamo introdurre un altro ente primitivo: il 
piano
. Possiamo pensare a un piano come all’equivalente di un foglio di carta perfettamente “piatto”, che però si estende indefinitamente in tutte le direzioni.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Nello spazio ci sono infinite rette e anche infiniti piani. Possiamo chiederci: che relazioni ci sono tra due piani nello spazio?


Definizione


Due piani nello spazio euclideo si dicono:


incidenti
 se hanno un punto in comune;


coincidenti
 se hanno tutti i punti in comune;


paralleli
 se non hanno alcun punto in comune.


È possibile dimostrare (e anche intuire, a dire il vero) che se due piani sono incidenti hanno ben più di un punto in comune: anzi, hanno addirittura un’intera 
retta
 in comune, che passa proprio da quel punto.




Ciascuno di due piani incidenti viene diviso in due parti dalla retta che ha in comune con l’altro piano. Ciascuna di queste porzioni di piano viene detta 
semipiano
, e la retta che la determina è detta 
origine
 del semipiano.


Come si può notare, le relazioni che ci sono tra due piani nello spazio sono esattamente le stesse relazioni che ci sono tra due rette nel piano; anche la terminologia è praticamente identica. Ma cosa succede invece a due rette 
nello spazio
?


Definizione


Due rette nello spazio euclideo si dicono:


incidenti
 se hanno un punto in comune;


coincidenti
 se hanno tutti i punti in comune.


Se le rette invece 
non hanno punti in comune
, distinguiamo due casi:


se è possibile trovare un piano che contiene interamente entrambe le rette (cioè se le due rette sono 
complanari
) allora le rette si dicono 
parallele
;


se invece tale piano non esiste, allora le due rette si dicono 
sghembe
.


 




Vediamo dunque che nello spazio la situazione si complica rispetto a quanto accade nel piano: due rette che non hanno punti in comune possono essere sghembe, oltre che parallele. Intuitivamente, la ragione per cui questo accade è che quando ci sono tre dimensioni in gioco (anzichè due) le rette hanno una “direzione in più” grazie alla quale possono muoversi più liberamente nell’ambiente in cui sono definite.


È importante sottolineare inoltre che due rette incidenti sono necessariamente complanari. Questa affermazione trova fondamento analizzando alcuni postulati della Geometria euclidea, (come per esempio il fatto che per tre punti passa uno e un solo piano).


A questo punto rimane da capire quali sono le relazioni che ci possono essere tra una retta e un piano nello spazio.


Definizione


Una retta e un piano nello spazio euclideo si dicono:


incidenti
 se hanno un solo punto in comune;


paralleli
 se non hanno alcun punto in comune.


 




La definizione che abbiamo dato non è esaustiva, dato che una retta può anche essere interamente 
contenuta
 nel piano che stiamo considerando. In ogni caso non c’è una terminologia specifica per descrivere questa situazione.


 


Perpendicolarità nello spazio


Abbiamo visto poco fa che le relazioni tra due rette nello spazio sono un po’ più complesse rispetto a quelle che ci sono tra due rette nel piano. È legittimo quindi chiederci se la definizione di 
perpendicolarità
 
tra
 
rette
 
nello
 
spazio
 sia diversa rispetto a quella 
definita nel piano
.
In realtà, la definizione è esattamente la stessa: 
due rette sono perpendicolari se sono incidenti, e se le quattro semirette che hanno origine il punto di incidenza formano quattro angoli retti
. Da questo quindi deduciamo che:


non ha senso parlare di perpendicolarità tra rette sghembe;


due rette perpendicolari sono per forza incidenti, e quindi complanari.


È possibile definire il concetto di perpendicolarità tra retta e piano.


Definizione


Una 
retta
 è 
perpendicolare a un piano
 se essa è incidente con il piano ed è perpendicolare a ciascuna retta contenuta nel piano stesso.


Chiaramente non possiamo pensare di poter verificare la perpendicolarità tra retta e piano controllando 
tutte
 le rette contenute nel piano, dato che esse sono infinite! Fortunatamente è possibile dimostrare - e quindi utilizzare - il seguente 
criterio
 
di
 
perpendicolarità
:


Una retta è perpendicolare a un piano se e solo se è possibile individuare due rette del piano perpendicolari a essa.
Inoltre, una retta che è perpendicolare ad altre due rette distinte è perpendicolare al piano su cui giacciono queste due rette.




Enunciamo adesso un teorema molto importante della Geometria dello spazio, che non dimostriamo, che fa uso di molte delle definizioni che abbiamo appena mostrato.


Teorema (delle tre perpendicolari)
: Consideriamo una retta $r$ perpendicolare a un piano $\alpha$ in un punto $P$ e conduciamo una qualsiasi retta $s$ contenuta in $\alpha$, passante per $P$; prendiamo anche una terza retta, che chiamiamo $t$, perpendicolare a $s$ e contenuta in $\alpha$. Allora $t$ è perpendicolare al piano su cui giacciono $r$ e $s$.




Definizione


Consideriamo due piani incidenti e i quattro semipiani che si vengono a creare. Una delle quattro regioni di spazio delimitate da due semipiani, compresi i semipiani stessi, è detta 
diedro
 o anche 
angolo
 
diedro
. L’origine dei semipiani è detta 
spigolo
 del diedro.


Due piani incidenti si dicono 
perpendicolari
 se si vengono a formare quattro diedri congruenti.




Il diedro è una sorta di estensione in tre dimensioni del concetto di 
angolo
. Inoltre, in perfetta analogia con la definizione di angolo retto, ciascuno dei quattro diedri individuati da due piani perpendicolari è detto 
diedro
 
retto
. In effetti - come si vede in figura - ciascun piano perpendicolare allo spigolo di un diedro retto determina un angolo retto all’interno del diedro (i cui lati sono le semirette che si ottengono intersecando questo piano con i semipiani che delimitano il diedro).


È inoltre possibile mostrare che:


se una retta è perpendicolare a un piano, qualsiasi piano contenente la retta è automaticamente perpendicolare al piano dato;


se una retta è incidente ma 
non
 perpendicolare a un piano, esiste uno e un solo piano contenente la retta che sia anche perpendicolare al piano dato.



