Secante e cosecante: grafico e definizione - WeSchool


Nell’ambito della trigonometria, storicamente, è stato scelto di dare un nome anche alle funzioni reciproche di 
seno e coseno
: esse si chiamano rispettivamente 
cosecante
 
e 
secante
. Nella pratica, molto spesso, queste funzioni non vengono nemmeno menzionate, dato che possono essere definite a partire dalle 
funzioni trigonometriche
 di base; è comunque bene conoscere le loro proprietà e fare un po’ di pratica per sapere come utilizzarle.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Definizione


Chiamiamo 
secante
 la seguente funzione: ##KATEX##\begin{aligned} \sec: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \sec(x):=\frac{1}{\cos(x)}\end{aligned}##KATEX##Questa funzione associa quindi a un 
numero reale
 $x$ il reciproco del coseno di $x$. Ecco il suo grafico:




Si chiama invece 
cosecante
 la seguente funzione: ##KATEX##\begin{aligned} \csc: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \csc(x):=\frac{1}{\sin(x)}\end{aligned}##KATEX##La cosecante associa quindi a un numero reale $x$ il reciproco del seno di $x$. Disegniamone il grafico:




Guardando il grafico delle funzioni a la loro definizione possiamo fare alcune osservazioni.


La secante ha 
dominio
 $$D_{\sec}: \left \{ x \in \mathbb{R} \ \vert \ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \right \}$$mentre la cosecante ha dominio $$D_{\csc}: \{ x \in \mathbb{R} \ \vert \ x \neq k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \}$$


Secante e cosecante sono 
periodiche
 di periodo $2 \pi$, dato che coseno e seno lo sono. Inoltre, la secante è anche una funzione pari.


Grazie a queste funzioni possiamo definire le funzioni tangente e cotangente in un altro modo: $$\tan(x) = \sin(x) \cdot \sec(x) \qquad \cot(x) = \cos(x) \cdot \csc(x)$$


Utilizzando sistematicamente la 
formula di derivazione del reciproco
 di una funzione, possiamo calcolare le derivate di secante e cosecante: ##KATEX##\begin{aligned} (\sec (x) )’ & = \left ( \frac{1}{\cos(x)} \right )’ = \frac{-\sin(x)}{\cos^2(x)} = - \tan(x)\sec(x) \\ (\csc (x) )’ & = \left ( \frac{1}{\sin(x)} \right )’ = \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} = - \cot(x)\csc(x) \end{aligned}##KATEX##È possibile anche ricavare una formula per l’
integrale indefinito
 di queste funzioni: ##KATEX##\begin{aligned} \int \sec(x)dx & = \ln \left | \tan \left ( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right ) \right | + C \\ \int \csc(x)dx & = \ln \left | \cot \left ( \frac{x}{2} \right ) \right | + C \end{aligned}##KATEX##


A partire da secante e cosecante possiamo formulare una “nuova versione” dell’
identità trigonometrica fondamentale
 (che è valida solamente all’interno dei domini di secante e cosecante): $$\csc^2(x) + \sec^2(x) = \csc^2(x) \sec^2(x)$$


 


È possibile anche dare un’
interpretazione geometrica
 della secante e cosecante di un numero reale, interpretando questo numero come l’
ampiezza di un angolo
.


Se l’angolo di cui stiamo parlando è interno a un 
triangolo rettangolo
, allora la secante è il rapporto tra l’ipotenusa e il cateto adiacente all’angolo; la cosecante è invece il rapporto tra l’ipotenusa e il cateto opposto.


Se l’angolo è invece considerato sulla 
circonferenza goniometrica
, secante e cosecante possono essere interpretate come la lunghezza di particolari segmenti:




 

