La sfera, il cilindro, il cono, il tronco di cono - WeSchool


I solidi di rotazione: definizione e proprietà


Si chiama solido 
ogni porzione di spazio delimitata da una superficie chiusa
.


Si tratta di 
figure geometriche
 che si estendono nello spazio e hanno 
tre dimensioni
: lunghezza, larghezza e altezza. Possiamo suddividerli in 
due classi
:





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
poliedri
: la superficie è formata da poligoni appartenenti a piani diversi (come il cubo, parallelepipedo, piramidi, prismi…)


solidi rotondi
: se una parte della superficie chiusa è curva.


I 
solidi di rotazione sono solidi rotondi
 che si possono ottenere facendo 
ruotare una figura piana
. Per esempio un cilindro si può ottenere facendo ruotare un rettangolo attorno a uno dei suoi lati, oppure un cono si può generare facendo ruotare un triangolo rettangolo attorno a uno dei suoi cateti.


L’elemento attorno a cui avviene la rotazione individua una retta che si chiama 
asse di rotazione
.


Cilindro


Definizione
: Il cilindro si ottiene dalla 
rotazione completa di un rettangolo attorno a uno dei suoi lati
.




Altezza del cilindro ($h$) = è 
il lato
 attorno a cui avviene 
la rotazione
.
Raggio del cilindro ($r$) = è 
il raggio del cerchio di base
, l'altro lato del rettangolo.




Se l'altezza e il diametro di base coincidono ($h = 2r$), il cilindro
 
1
 si chiama 
equilatero
. In questo caso la superficie laterale è 
il quadruplo della superficie di base: 
$$ S_L = 2 \pi \cdot r \cdot 2r = 4 \pi r^2 $$
 


E 
il volume
 vale: $$ V = \pi \cdot r^2 \cdot 2 r = 2 \pi r^3 $$


Cono


Definizione
: Il cono si ottiene dalla 
rotazione completa di un 
triangolo rettangolo
 attorno a un cateto
.
 




 


Altezza del cono ($h$) = è 
il cateto
 attorno a cui avviene 
la rotazione
.


Raggio del cono ($r$) = è 
il raggio del cerchio di base
, l'altro cateto.
Apotema ($a$) = 
l'ipotenusa
 del triangolo rettangolo.


Per il 
teorema di Pitagora
 $a$, $r$ e $h$ soddisfano la seguente relazione:


$$ h^2 + r^2 = a^2 $$




Se l'apotema e il diametro di base coincidono ($a = 2r$), il cono
 
2
 si chiama 
equilatero
. In questo caso la superficie laterale è 
il doppio della superficie di base
:


$$ S_L = \pi r 2r = 2 \pi r^2 = 2S_B $$


Tronco di Cono


Definizione
: Il tronco di cono si ottiene dalla 
rotazione completa di un trapezio rettangolo attorno al lato perpendicolare alle basi
 
3
.


 




Altezza ($h$) = è 
il lato
 attorno a cui avviene 
la rotazione
.


Raggio maggiore ($R$) = è 
il raggio del cerchio maggiore di base
, la base maggiore del trapezio rettangolo.
Raggio minore ($r$) = è 
il raggio del cerchio minore di base
, la base minore del trapezio rettangolo.
Apotema ($a$)= è 
il lato obliquo
 del trapezio rettangolo.


Per il 
teorema di Pitagora
 $h$, $R$, $r$ e $a$ soddisfano la relazione:


$$(R - r)^2 + h^2 = a^2 $$




Sfera


Definizione
: La sfera si ottiene dalla 
rotazione completa di un semicerchio attorno al diametro
.


La sfera è la figura geometrica solida costituita da 
tutti i punti dello spazio
 che distano al più $r$ da 
un punto fisso
, detto centro.


 




Raggio ($r$) = 
raggio del semicerchio
 che compie la rotazione.


Si chiama 
cerchio massimo
 il cerchio che si ottiene sezionando 
una sfera
 con 
un piano passate per il centro
. Il cerchio massimo e la sfera hanno i 
centri che coincidono
.




Il cilindro circoscritto a una sfera è equilatero e ha:


superficie laterale
 coincidente con la superficie della sfera.


volume
 pari a $\frac{3}{2}$ quello della sfera.


La sfera è la figura geometrica solida che, 
a parità di superficie
, racchiude 
il volume più grande
.


Facciamo presente che tutte le formule qui ottenute possono essere dedotte mediante il calcolo di opportuni 
integrali multipli
.
1
 La figura geometrica comunemente chiamata cilindro è, in realtà, un tipo particolare di cilindro: il 
cilindro circolare
. Esistono anche 
cilindri ellittici
 (base a forma di ellisse), 
iperbolici o parabolici
 (sezionando con un piano perpendicolare all'asse si ottengono iperboli o parabole).
2
 La figura geometrica comunemente chiamata cono è, in realtà, un tipo particolare di cono: 
il cono circolare retto
. Esistono anche 
coni ellittici
 (base ellittica) e 
coni obliqui
 (asse non perpendicolare alla base).
3
 La figura geometrica comunemente chiamata tronco di cono è, in realtà, un tipo particolare di tronco di cono: il 
tronco di cono circolare retto
. Ne esistono anche altri, per esempio quelli ellittici che non hanno le basi parallele.

