I poligoni regolari: area, apotema e perimetro - WeSchool


All’interno dell’insieme dei 
poligoni
, particolare importanza ha la categoria dei 
poligoni regolari
. Questi poligoni sono particolarmente semplici da studiare; la loro struttura è completamente determinata dal numero di lati che essi hanno, e dalla misura di uno (e cioè, di ciascuno) di essi.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Definizione


Un poligono con $n$ lati è detto 
poligono
 
regolare
 se è 
equiangolo
 ed 
equilatero
, ovvero, se tutti i suoi angoli interni sono congruenti e se tutti i suoi lati sono congruenti.
Dato che tutte le misure dei suoi lati sono uguali, ci riferiremo solo al “lato” del poligono (e lo indicheremo con $l$).




Tra i poligoni regolari più comuni, troviamo il 
triangolo equilatero
 e il 
quadrato
. Nei problemi di geometria (ma anche nella vita quotidiana) troviamo spesso anche le forme del 
pentagono
 regolare, dell’esagono regolare e dell’ottagono regolare.


Ciascun poligono regolare ammette una circonferenza circoscritta e una circonferenza inscritta, che hanno il medesimo centro: questo punto viene spesso chiamato 
centro
 
del
 
poligono
 
regolare
.


 


Definizione


Il raggio della circonferenza inscritta a un poligono regolare è detto anche 
apotema
 del poligono. In genere viene indicato con la lettera $a$. Pertanto, l’apotema è un segmento perpendicolare a un lato del poligono, che ha come estremo il centro del poligono stesso. 
Il rapporto $$f = \frac{a}{l}$$ dove $l$ è il lato del poligono, è chiamato 
numero
 
fisso
 del poligono regolare, e dipende soltanto dal numero di lati del poligono considerato.




A partire dal numero fisso per un poligono di $n$ lati, si può ricavare un’altra costante chiamata 
costante d’area
:
 $$\varphi := \frac{nf}{2}$$ Anch’essa dipende soltanto dal numero di lati del poligono considerato.
Come si può vedere nel formulario riportato più in basso, la costante d’area serve a esprimere l’area del poligono in termini del solo lato.


Riportiamo in una tabella il valore dei numeri fissi e delle costanti d’area per i poligoni regolari con meno di 10 lati:


Numero di lati


Numero fisso $f$


Costante d'area $\varphi$


3


0.28867


0.43301


4


0.5


1


5


0.68819


1.72047


6


0.86602


2.59807


7


1.03826


3.63391


8


1.20710


4.82842


9


1.37373


6.18182


10


1.53884


7.69420


 


Formule per un poligono regolare


Esistono molte formule che si possono applicare a un qualsiasi poligono regolare di $n$ lati per ricavare alcune grandezze a esso relative. Se il lato del poligono misura $l$, abbiamo:


Perimetro
: 
$2p = n \cdot l$.


Area
: 
abbiamo a disposizione alcune formule, a seconda di cosa conosciamo; per esempio:


$$ A = \frac{1}{2}nla = \frac{1}{2} 2p \cdot a = l^2 \cdot \varphi $$ oppure, utilizzando le funzioni trigonometriche: $$A =\frac{1}{4}nl^2 \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right ) = n a^2 \tan \left (\frac{\pi}{n} \right ).$$


Angoli
 
interni
: 
dato che la somma degli angoli interni in un poligono di $n$ lati è pari a $\pi(n-2)$ 
radianti
, o $180(n-2)$ gradi, allora ciascun angolo interno misura $\frac{\pi}{n}(n-2)$ radianti, o $\frac{180}{n}(n-2)$ gradi.


Aggiungiamo che, conoscendo il valore del numero fisso $f$ è possibile ricavare la misura dell’apotema a partire dal lato del poligono, e viceversa (utilizzando “all’inverso” la definizione di numero fisso).


 


Revisione scientifica a cura di 
Marco Guglielmino
 

