Equazione della retta: forma implicita e forma esplicita - WeSchool


Il modo più comune di presentare una 
retta
 nel piano è attraverso la sua 
equazione 
espressa in 
forma esplicita
 $y=mx+q$.


 





















Videolezione "Retta in forma implicita e in forma esplicita: esercizi svolti"

























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Ad ogni equazione di questo tipo corrisponde una e una sola retta del piano. Non è però vero l’inverso, cioè che ogni retta del piano è individuata da una equazione in forma esplicita. Tutte le rette verticali infatti sono del tipo $x=a$, relazione che non può essere ricondotta attraverso passaggi algebrici a una struttura $y=mx+q$.


 


C’è allora un problema di generalità, la forma esplicita non è abbastanza “potente” da comprendere al proprio interno tutte le possibili di rette del piano. Esiste però una generalizzazione che consente di ovviare a questo fatto: la 
forma implicita


 


$$ ax+by+c=0 $$


 


Le 
rette orizzontali 
costituiscono il caso specifico in cui $a = 0$ e $b\neq 0$, mentre quelle 
verticali 
sono tali per cui $b=0$ e $a \neq 0$. Se sia $a\neq 0$ sia $b\neq 0$ si hanno le rette non parallele agli assi cartesiani.


Attraverso alcuni passaggi possiamo inoltre verificare come anche la forma esplicita non è altro che un caso particolare di quella implicita.


Scriviamo la forma esplicita $$y=mx+q$$


Portiamo a primo membro tutti i termini $$y-mx-q=0$$


Riordianiamo i termini come nella forma implicita $$-mx+y-q=0$$


Dal confronto diretto tra le formule ricaviamo $a=-m$, $b=1$, $c=-q$.


Per il passaggio inverso che consente di ottenere la forma esplicita a partire da quella implicita avremmo invece i seguenti passi.


Scriviamo la forma implicita $$ax+by+c=0$$


Isoliamo il termine in y $$by=-ax-c$$


Questo passaggio è possibile soltanto se $b\neq0$! In tal caso $$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$$


Ricaviamo dunque che $m = -\frac{a}{b}$ e $q = -\frac{c}{b}$.


Risulta allora evidente la ragione per cui una retta verticale non può essere scritta in forma esplicita: la conversione non è possibile perché non è possibile la divisione per zero.


 

