Segmenti consecutivi e adiacenti e la proiezione ortogonale - WeSchool


In questa lezione abbiamo definito il concetto di 
retta e semiretta
. Questi concetti, però, sono delle 
idealizzazioni
; non è di certo possibile tracciare una linea infinita nel mondo reale. Più vicino alla nostra esperienza è invece il concetto di 
segmento
, che è l’oggetto matematico più simile a quello che vediamo su un foglio quando tracciamo un segno con una penna.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Definizione


Prendiamo una retta $r$ e due punti $A$ e $B$ su di essa. Si definisce 
segmento 
di estremi
 $A$ 
e
 $B$ l’insieme costituito dai punti $A$, $B$ e da tutti i punti compresi tra $A$ e $B$. Esso viene indicato con $AB$.




Dati due punti $A$ e $B$, inoltre, ci riferiremo alla 
distanza
 
tra due punti come al segmento che li collega. (Non abbiamo parlato di 
lunghezza
 di un segmento: in questo contesto, la distanza sarà soltanto il segmento che abbiamo indicato. Nel contesto della geometria analitica, invece, sarà più naturale parlare della distanza in termini di lunghezza: si veda 
questa lezione
).


 


 


Definizione


Due segmenti aventi in comune solamente un estremo si dicono 
consecutivi
.


Due segmenti consecutivi i cui estremi sono sulla stessa retta si dicono 
adiacenti
.


Dati due segmenti adiacenti $AB$ e $BC$, la 
somma
 
di $AB$ e $BC$ è il segmento $AC$ (di cui $B$ risulta punto interno). 




Nella definizione di segmenti consecutivi viene richiesto che i segmenti abbiano in comune 
solamente un estremo
. Questo non significa soltanto che gli altri estremi non coincidono, ma che 
nessun altro punto
 dei segmenti è in comune tra loro.


Ricordiamo infatti che per due punti passa una e una sola retta: di conseguenza se due segmenti hanno in comune più di un punto, devono giacere necessariamente sulla stessa retta. Se gli estremi dei segmenti coincidono, diremo che i segmenti sono 
coincidenti
; altrimenti, diremo che sono 
sovrapposti
.


ATTENZIONE:
 Molto spesso, quando si considerano due segmenti, si usano le espressioni "segmenti incidenti", "segmenti paralleli", "segmenti perpendicolari", e così via. Con questo, intendiamo dire che le rette sulle quali giacciono i segmenti considerati sono rispettivamente incidenti, parallele, perpendicolari, e così via
.


 


Definizione


Si chiama 
punto 
medio
 di un segmento il punto interno al segmento che lo divide in due parti congruenti.




Il punto medio di un segmento è fondamentale per molte costruzioni geometriche, come per esempio:


l’
asse
 del segmento stesso;


le 
mediane
 di un triangolo;


la 
simmetria rispetto a un polo
.


 


Definizione


Dato un segmento $AB$ e una retta $r$, conduciamo le rette perpendicolari a $r$ passanti da $A$ e da $B$: esse incontrano $r$ rispettivamente in $A’$ e $B’$.


Diremo che il segmento $A’B’$ è la 
proiezione 
ortogonale
 di $AB$ su $r$, e anche che $A’$ e $B’$ sono le proiezioni ortogonali di $A$ e $B$ su $r$, rispettivamente.




Abbiamo precedentemente definito la distanza tra due punti come il segmento che collega i due punti considerati. Vogliamo definire il concetto di distanza di un punto $A$ da una retta $r$ in modo analogo, ossia trovando un segmento che, collegando $A$ con $r$, ne rappresenti la distanza. Il problema che sorge immediatamente è: quale punto della retta possiamo scegliere come estremo?


 


Definizione


Dati un punto $P$ e una retta $r$, consideriamo la proiezione ortogonale $P’$ di $P$ su $r$. il segmento $PP’$ è detta 
distanza
di
 $P$ 
da
 $r$
.
 


Nel contesto della geometria analitica, vedremo che avendo opportune informazioni è possibile determinare il valore numerico della 
distanza punto-retta
.

