L'oscillatore armonico, la legge di Hooke e il pendolo - WeSchool


Il moto oscillatorio è un fenomeno piuttosto comune in natura. In particolare caratterizza due sistemi fisici moti importanti: l’oscillatore armonico e il pendolo.


 


L’
oscillatore armonico
 è un sistema fisico costituito da un corpo fissato ad una molla, libero di muoversi su una retta, privo di attrito. Esiste una configurazione particolare dell’oscillatore armonico per la quale, se il punto materiale parte in una determinata posizione essendo fermo, rimane fermo: è la 
posizione di equilibrio 
dell’oscillatore. Impostiamo allora un sistema di riferimento monodimensionale con origine $\mathcal{O}$ posta proprio nella posizione di equilibrio, e coordinata $s$ indicante l’allungamento o 
elongazione
 della molla, positiva o negativa a seconda che si trovi, rispettivamente, prima o dopo la posizione di equilibrio.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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La legge che descrive il moto è nota come 
legge di Hooke
: essa prescrive che un oscillatore armonico sia soggetto a una forza direttamente proporzionale all’inverso dell’elongazione: $$ \vec{F} = - k \vec{s} $$ dove $k$ è una costante, detta 
costante elastica
, caratteristica della molla. La sua unità di misura è il newton al metro, $\text{ N} / \text{m}$. Data la sua natura, una forza di questo tipo viene detta 
forza elastica
.


L’accelerazione di un oscillatore armonico si può ottenere grazie alla seconda legge della dinamica, grazie alla quale $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}$; nel nostro caso $$ \vec{a} = - \frac{k}{m} \vec{s} $$ e dunque otteniamo che l’accelerazione è massima agli estremi dell’oscillazione e nulla quando il punto materiale passa dalla posizione di equilibrio.


Questa relazione mette in luce un fatto estremamente importante: 
in realtà l’oscillatore armonico è un 
moto armonico
, descritto dall’equazione $a = -\omega^2 x $, 
in cui la pulsazione vale 
$$ \omega = \sqrt{ \frac{k}{m} }$$


Possiamo quindi definire il 
periodo 
e la 
frequenza 
di un oscillatore armonico mediante le formule $$ T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi \sqrt{m}}{\sqrt{k}} \quad f = \frac{1}{T} = \frac{\sqrt{k}}{2 \pi \sqrt{m}} $$


Proponiamo un semplice esercizio: calcolare la costante elastica $k$ di una molla, sapendo che il periodo di oscillazione di un corpo di massa $100 \text{ g}$ è $0,5 \text{ s}$.
Basta ricavare la costante elastica $k$ dall’equazione del periodo $T$: $$ T = \frac{2 \pi \sqrt{m}}{\sqrt{k}} \ \Rightarrow \ k = \frac{4 \pi^2 \ m}{T^2} $$ Con i dati a nostra disposizione, $k = \frac{ 4 \cdot (3,14)^2 \cdot 0,1 }{ (0,5)^2 } = 15,8 \text{ N} / \text{m}$


 


Il 
pendolo
 
semplice 
è un sistema fisico costituito da un punto materiale sottoposto all’accelerazione di gravità, fissato a un estremo di una sbarra inestensibile e incomprimibile, senza massa, la quale è a sua volta fissata per l’altro estremo, e libera di ruotare attorno ad esso.




Il movimento che il pendolo descrive quando viene lasciato libero di muoversi è 
periodico
. Il 
periodo 
di tale oscillazione 
non dipende dall’ampiezza 
$\vec{x}$ 
o dalla massa 
$m$ che costituisce il pendolo (
legge di isocronia del pendolo
), ma 
dipende dall’accelerazione di gravità
 $\vec{g}$ e dalla 
lunghezza del pendolo
 $l$.


La legge che descrive il moto, per piccole oscillazioni (ossia quando il pendolo forma, con la vericale, un angolo inferiore ai quattro gradi) è quella di un oscillatore armonico con periodo dato da $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} $$


Come esercizio di esempio, proponiamo il seguente: calcolare la lunghezza di un pendolo situato sulla superficie terrestre a livello del mare sapendo che il suo periodo di oscillazione è di $2$ secondi.
Basta ricavare la lunghezza del pendolo $l$ da quella del periodo $T$: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \Rightarrow l = \frac{g \ T^2 }{4 \pi^2} $$ 
Con i dati a nostra disposizione, la lunghezza del pendolo risulta essere $ l = (9,8 \cdot 4) : 39,5 = 0,99 \text{ m}$.


 

