Geometria solida: formule complete - WeSchool


Nei problemi di Geometria Solida, spesso vogliamo sapere quanto misura il volume o la superficie di determinati solidi geometrici. In questa lezione riassumeremo le formule principali per determinare queste grandezze, a seconda del solido che stiamo considerando.


 





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
Prisma


Consideriamo un 
prisma
 (non necessariamente retto) e indichiamo con $B$ la misura dell’area di base, con $2p$ il perimetro di base e con $h$ l’altezza del prisma. Le misure di $B$ e $2p$ dipendono dal 
poligono
 di base del prisma che stiamo considerando e non possiamo fornire delle formule specifiche (a meno che non si tratti di un poligono 
regolare
).




Valgono le seguenti formule:


Volume
: 
$$V = B \cdot h.$$ 


Superficie
 
laterale
:
 $$S_{lat} = 2p \cdot h.$$
Superficie
 
totale
:
 $$S_{tot} = S_{lat} + 2B.$$


A partire da queste formule possiamo ricavare delle 
formule
 
inverse
:


Altezza
:
 $$h = \dfrac{V}{B}, \qquad h = \dfrac{S_{lat}}{2p}.$$


Superficie
 
di
 
base
:
 $$B = \dfrac{V}{h}, \qquad B = \dfrac{S_{tot} - S_{lat}}{2}.$$
Perimetro
 
di
 
base
:
 $$2p = \dfrac{S_{lat}}{h}.$$
Superficie
 
laterale
:
 $$S_{lat} = S_{tot} - 2B.$$


 


Cubo


Consideriamo un 
cubo
 di lato $L$.




Valgono le seguenti formule:


Volume
: 
$$V = L^3.$$ 


Superficie
 
laterale
:
 $$S_{lat} = 4L^2.$$
Superficie
 
di
 
base
: 
$$B = L^2.$$
Superficie
 
totale
:
 $$S_{tot} = S_{lat} + 2B = 6L^2.$$
Diagonale
:
 $$d = L\sqrt{3}.$$


Oltre a queste formule possiamo comunque utilizzare le formule relative a un prisma, dato che un cubo è un tipo molto particolare di prisma. Inoltre possiamo ricavare delle 
formule
 
inverse
 per il 
lato
 
del
 
cubo
:
##KATEX##\begin{aligned}& L = \displaystyle{\sqrt[3]{V}} & \quad L = \sqrt{\dfrac{S_{lat}}{4}} \\& L = \sqrt{B} & \quad L = \sqrt{\dfrac{S_{tot}}{6}} \\&L = \dfrac{\sqrt{3}d}{3}\end{aligned}##KATEX##


 


Piramide retta


Consideriamo una 
piramide retta
 e chiamiamo $B$ la misura dell’area di base, $2p$ il perimetro di base e $r$ il raggio della 
circonferenza inscritta
. Indichiamo inoltre con $h$ l’altezza della piramide e con $a$ la misura del suo apotema. Come per un prisma, le misure di $B$ e $2p$ dipendono dal poligono di base della piramide che stiamo considerando.




Valgono le seguenti formule:


Volume
: 
$$V = \dfrac{B \cdot h}{3}.$$


Superficie
 
laterale
:
 $$S_{lat} = \dfrac{2p \cdot a}{2}.$$
Superficie
 
totale
:
 $$S_{tot} = S_{lat} + B.$$
Apotema
:
 $$a = \sqrt{r^2 + h^2}.$$


Sottolineiamo che la formula per trovare il volume sarebbe valida anche per una piramide non retta.
A partire dalle formule appena viste possiamo ricavare delle 
formule
 
inverse
:


Altezza
:
 $$h = \dfrac{3V}{B}, \qquad h = \sqrt{a^2 - r^2}.$$


Apotema
:
 $$a=\dfrac{2S_{lat}}{2p}.$$
Superficie
 
di
 
base
:
 $$B = \dfrac{3V}{h}, \qquad B = S_{tot} - S_{lat}.$$
Perimetro
 
di
 
base
:
 $$2p = \dfrac{2S_{lat}}{a}.$$
Superficie
 
laterale
:
 $$S_{lat} = S_{tot} - B.$$


 


Tronco di piramide


Prendiamo un 
tronco di piramide
 retta. Chiamiamo $A$ e $B$ le misure dell’area della base maggiore e minore, rispettivamente; in maniera analoga consideriamo i perimetri $2p_A$ e $2p_B$ e la misura dei raggi delle circonferenze inscritte $r_A$ e $r_B$. Indichiamo inoltre con $h$ l’altezza del tronco e con $a$ la misura del suo apotema.




Valgono le seguenti formule:


Volume
: 
$$V = \frac{h}{3} (A + \sqrt{AB} + B).$$ 


Superficie
 
laterale
:
 $$S_{lat} = \dfrac{(2p_A + 2p_B) \cdot a}{2}.$$
Superficie
 
totale
:
 $$S_{tot} = S_{lat} +A+ B.$$
Apotema
:
 $$a = \sqrt{(r_A - r_B)^2 + h^2}.$$


Otteniamo le seguenti 
formule
 
inverse
:


Altezza
:
 $$h = \dfrac{3V}{A + \sqrt{AB} + B}, \qquad h = \sqrt{a^2 - (r_A - r_B)^2}.$$


Apotema
:
 $$a=\dfrac{2S_{lat}}{2p_A + 2p_B}.$$
Superficie
 
di
 
base
 
maggiore
:
 $$A = S_{tot} - S_{lat}-B.$$
Superficie
 
di
 
base
 
minore
:
 $$B = S_{tot} - S_{lat}-A.$$
Perimetro
 
di
 
base
 
maggiore
:
 $$2p_A = \dfrac{2S_{lat}}{a} - 2p_B.$$
Perimetro
 
di
 
base
 
minore
:
 $$2p_B = \dfrac{2S_{lat}}{a} - 2p_A.$$
Superficie
 
laterale
:
 $$S_{lat} = S_{tot} - B - A.$$


 


Sfera


Consideriamo una 
sfera
 di raggio $r$.




Valgono le seguenti formule:


Volume
:
 $$V = \frac{4}{3} \pi r^3.$$


Superficie
 
totale
:
 $$S = 4 \pi r^2.$$


Possiamo quindi ricavare delle 
formule
 
inverse
 per il 
raggio
 della sfera: $$r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4 \pi}}, \qquad r = \sqrt{\frac{S}{4 \pi}}.$$


 


Cilindro


Consideriamo un 
cilindro
 che ha per base un 
cerchio
 di raggio $r$ e con altezza $h$.




Valgono le seguenti formule:


Volume
:
 $$V = \pi r^2 \cdot h.$$


Superficie
 
laterale
:
 $$ S_{lat} = 2 \pi r h.$$
Superficie
 
di
 
base
:
 $$B = \pi r^2.$$
Superficie
 
totale
: 
$$S_{tot} = S_{lat} + 2B = 2 \pi r \cdot (r + h).$$


Come al solito, ricaviamo le 
formule
 
inverse
 a partire da quello che abbiamo appena ottenuto.


Raggio
 
di
 
base
:
 $$r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}, \quad r = \frac{S_{lat}}{2h}, \quad r = \sqrt{\frac{B}{\pi}}.$$


Altezza
:
 $$h = \frac{V}{\pi r^2}, \quad h = \frac{S_{lat}}{2 \pi r}, \quad h = \frac{S_{tot} - 2\pi r^2}{2 \pi r}.$$
Superficie
 
laterale
: 
$$S_{lat} = S_{tot} - 2B.$$


 


Cono


Prendiamo un 
cono
 che ha per base un cerchio di raggio $r$ e di altezza $h$. Indichiamo inoltre con $a$ l’apotema del cono.




Valgono le seguenti formule:


Volume
: 
$$V = \dfrac{\pi r^2 \cdot h}{3}.$$ 


Area
 
di
 
base
:
 $$B = \pi r^2.$$
Superficie
 
laterale
:
 $$S_{lat} =\pi r \cdot a.$$
Superficie
 
totale
:
 $$S_{tot} = S_{lat} + B = \pi r (a + r).$$
Apotema
:
 $$a = \sqrt{r^2 + h^2}.$$


A partire dalle formule appena viste possiamo ricavare delle 
formule
 
inverse
:


Altezza
:
 $$h = \dfrac{3V}{\pi r^2}, \qquad h = \sqrt{a^2 - r^2}.$$


Apotema
:
 $$a=\dfrac{S_{lat}}{\pi r}, \qquad a = \frac{S_{tot} - \pi r^2}{\pi r}.$$
Raggio
 
di
 
base
:
 $$r = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}}, \quad r = \sqrt{\frac{B}{\pi}}, \quad r = \frac{S_{lat}}{\pi a}.$$
Superficie
 
laterale
:
 $$S_{lat} = S_{tot} - \pi r^2.$$


 


Tronco di cono


Prendiamo un tronco di cono e chiamiamo $r$ e $R$ la misura dei raggi della base maggiore e minore, rispettivamente. Indichiamo inoltre con $h$ l’altezza del tronco e con $a$ la misura del suo apotema.




Valgono le seguenti formule:


Volume
: 
$$V = \frac{\pi h}{3} (r^2 + rR + R^2).$$ 


Superficie laterale:
 $$S_{lat} = \pi a(r + R).$$
Superficie
 
totale
:
 $$S_{tot} = \pi r^2 + \pi R^2 + \pi a(r + R).$$
Apotema
:
 $$a = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}.$$


Otteniamo le seguenti 
formule
 
inverse
:


Altezza
:
 $$h = \dfrac{3V}{r^2 + rR + R^2}, \qquad h = \sqrt{a^2 - (R - r)^2}.$$


Apotema
:
 $$a=\dfrac{S_{lat}}{\pi (r + R)}.$$
Superficie
 
di
 
base
 
maggiore
:
 $$B = S_{tot} - S_{lat}-\pi r^2.$$
Superficie
 
di
 
base
 
minore
:
 $$B = S_{tot} - S_{lat}- \pi R^2.$$
Superficie
 
laterale
:
 $$S_{lat} = S_{tot} - \pi(r + R).$$


 


Per le formule relative ai 
poliedri
 regolari
, invece, abbiamo una lezione interamente dedicata ai 
solidi platonici
.


 

