La circuitazione del campo elettrico - WeSchool


La 
circuitazione
 è un concetto matematico che rende conto del 
contributo di un campo vettoriale lungo un percorso chiuso
, un circuito appunto. Posto che tutti sappiano che cos’è una 
linea chiusa
, per capire di che cosa si tratta la circuitazione abbiamo quindi bisogno innanzitutto di capire che cos’è un 
campo vettoriale
.
Un 
vettore
 è un’entità matematica caratterizzata da quattro attributi: 
modulo
 (la sua lunghezza), 
direzione
 (la retta su cui giace il vettore), 
verso
 (il verso in cui punta il vettore sulla propria direzione) e 
punto di applicazione
 (il punto dal quale ha origine il vettore). In parole povere si tratta di una “freccia” che scaturisce da un punto nello spazio.
Un 
campo vettoriale è una legge che assegna a ciascun punto (nello spazio) un vettore
. Questo vettore può essere sempre uguale in modulo, direzione e verso (nel qual caso si parla di campo vettoriale uniforme), ma, la maggior parte delle volte, varia di punto in punto. Il 
campo elettrico
 $\vec{E}$ è un esempio di campo vettoriale.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Supponiamo ora di compiere un 
percorso chiuso
, $\Gamma$: al termine di questo percorso, saremo tornati al punto di partenza; indichiamo con $\Delta \vec{s}_1$, $\Delta \vec{s}_2$, eccetera sino a $\Delta \vec{s}_{N}$, gli spostamenti successivi che complessivamente formano il cammino chiuso $ \Gamma $, come illustrato nella figura seguente:


Supponiamo inoltre che, in corrispondenza dei vari spostamenti $\Delta \vec{s}_i$, il campo elettrico $\vec{E}$ abbia rispettivamente i valori $\vec{E}_i$. Definiamo allora la 
circuitazione del campo elettrico
 lungo il percorso da noi scelto come la 
somma dei prodotti scalari tra il valore del campo elettrico 
$\vec{E}_i$ 
e il corrispondente spostamento 
$\Delta \vec{s}_i$: $$ \text{Circuitazione del campo elettrico lungo } \Gamma = \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot \Delta \vec{s}_i $$
Si osservi che, 
moltiplicando per una 
carica
 $q$ la formula precedente, si ottiene $$q \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot \Delta \vec{s}_i = \sum_{i=1}^N q \vec{E}_i \cdot \Delta \vec{s}_i = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i \cdot \Delta \vec{s}_i $$, dove $\vec{F}$ rappresenta la 
forza di Coulomb
; il lettore attento riconoscerà l’espressione del 
lavoro compiuto da una forza
: $ \mathcal{L}_{\Gamma} = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i \cdot \Delta \vec{s}_i $. In effetti, se il campo che consideriamo è un campo di forze, la circuitazione del campo è proprio il lavoro svolto dalla forza lungo il percorso chiuso considerato: il campo elettrico però non è una forza! Dimensionalmente, infatti, il campo elettrico si misura in Newton su Coulomb, $\text{N}/\text{ C} $, mentre una forza si misura solo in Newton $\text{N}$. Moltiplicando il campo elettrico per una carica elettrica otteniamo, dimensionalmente, una forza, e dunque la circuitazione del campo elettrico 
per una carica
 rappresenterà il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica.


Ma 
la forza elettrostatica è una forza conservativa
: ciascuna carica $q$, immersa in un campo elettrico, è dotata, infatti, di un’
energia potenziale elettrostatica
 $ U_q $, che viene appunto definita come il 
lavoro svolto dalla forza elettrostatica per spostare la carica
 $q$ 
da un punto prestabilito
 (solitamente posto infinitamente lontano) 
sino al punto in cui la carica si trova
. Per la stessa definizione di energia potenziale, quindi, il lavoro svolto dalla forza elettrostatica per spostare una carica $q$ da un punto $A$ ad un punto $B$ può essere computato conoscendo il valore dell’energia potenziale in ciascuno dei due punti: $\mathcal{L}_{A \to B} = U_q (A) - U_q (B)$.




Da questa definizione segue che il lavoro svolto dalla forza elettrostatica lungo un percorso chiuso, come il nostro $\Gamma$, è nullo: $$ \mathcal{L}_{\Gamma} = \mathcal{L}_{O \to O} = U_q (O) - U_q (O) = 0 $$


Essendo la carica $q$ diversa da zero, possiamo pensare di dividere per $q$ il lavoro svolto dalla forza elettrostatica lungo $\Gamma$ per riottenere la circuitazione del campo elettrico lungo $\Gamma$: ma essendo il lavoro nullo, otteniamo che 
la circuitazione del campo elettrico è nulla
. Infatti:$$ q \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot \Delta \vec{s}_i = \mathcal{L}_{\Gamma} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\not{q} \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot \Delta \vec{s}_i }{\not{q}} = \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot \Delta \vec{s}_i = 0$$Tutto questo ragionamento è stato svolto sotto l’unica ipotesi che il percorso $\Gamma$ fosse una curva chiusa: ha pertanto validità generale, qualunque sia la curva chiusa lungo la quale viene calcolata la circuitazione.


La definizione di circuitazione che abbiamo posto prevede di spezzare il percorso $\Gamma$ in spostamenti successivi $\Delta \vec{s}_i$; ma in realtà, come si può evincere dal disegno, mentre il percorso è una linea in generale curva, i vari spostamenti sono quantità vettoriali che lo approssimano con una spezzata poligonale chiusa. Possiamo migliorare la qualità di questa approssimazione 
incrementando il numero di spostamenti
: man mano che gli spostamenti $\Delta \vec{s}_i$ si infittiscono, essi si fanno sempre più corti, diventanto, al limite, un infinito numero di spostamenti infinitesimi $d \ \vec{s}$.


 






Ora, i vari contributi alla circuitazione $ \vec{E}_i \cdot \Delta \vec{s}_i $ diventano anch’essi in numero infinito: 
la somma infinita di valori infinitesimi prende il nome, in matematca, di 
integrale
, indicato con il simbolo $\int$; per cui, la formula più generale che riassume il concetto appena esposto è $$ \oint \vec{E} \cdot d \ \vec{s} = 0 $$ dove il circolo posto sopra il simbolo di integrale, $\oint$, serve a ricordarci che l’
integrale viene svolto lungo una 
curva chiusa
. Questo risutlato può anche essere ottenuto grazie ad un'applicazione del 
teorema di Stokes
.


La presenza di un 
potenziale elettrico
 $V$ e il fatto che la circuitazione del campo elettrico, lungo una qualsiasi linea chiusa, sia nulla sono due fenomeni inscindibilmente legati tra loro: in effetti si può dimostrare che la presenza di un potenziale elettrico implica circuitazione nulla e che, viceversa, il fatto che la circuitazione sia nulla ci permette di trovare un potenziale elettrico. 

