Il triangolo di Tartaglia e il binomio di Newton - WeSchool


Il triangolo che andremo a studiare prende il nome dal matematico italiano Niccolò Fontana detto 
Tartaglia
 (1500-1577). Egli nella sua opera 
General trattato dei numeri e misure
 ne presentò la costruzione e alcune proprietà  che, quasi un secolo dopo, vennero riprese e ampliate da 
Blaise Pascal
 (1632-1662). Ecco come si presenta il triang
olo di Tartaglia, se ne arrestiamo la costruzione alla sesta riga.






















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Le origini di questo oggetto matematico sono, in realtà, molto più remote. Le testimonianze più antiche giunte fino a noi provengono da un commentario al Chanda Shastra, un libro indiano del V secolo a.C. Si trovano rappresentazioni del triangolo di Tartaglia anche in opere successive in Persia (Iran) e Cina.




In questa lezione cercheremo di capire come si costruisce questa figura  e quale sia il suo principale utilizzo. Procediamo passo per passo nella 
costruzione
:


la prima riga sarà composta da un solo elemento: $1$:


la seconda riga avrà due elementi: li otteniamo immaginando di avere degli zeri a sinistra e a destra del nostro $1$ della prima riga e facendo due somme:


la terza riga conterrà tre elementi ottenuti a partire dalla seconda. I due numeri più esterni li otterremo come sopra, immaginando sempre di avere degli zeri nello spazio vuoto a fianco di ciascun $1$, mentre l’elemento centrale sarà dato dalla somma dei due $1$:


la quarta riga si otterrà quindi come somma degli elementi della terza, presi a due a due, prestando sempre attenzione agli $1$ esterni:


 
In questo modo abbiamo ottenuto un triangolo di Tartaglia di quattro righe:




La particolarità di questa struttura è che ogni sua riga viene generata a partire dalla precedente. Conoscendo il primo elemento e la regola di costruzione dei successivi possiamo quindi realizzare triangoli di Tartaglia di qualsiasi dimensione. Vediamo ad esempio il triangolo di Tartaglia con sette righe:




Per capire l’utilità di questo oggetto curioso dobbiamo guardare con attenzione lo 
sviluppo
 
delle
 
potenze
 
di
 
un
 
binomio 
$(a+b)$. Partiamo dai casi più semplici: 
##KATEX##\begin{aligned}(a+b)^0 &= \mathbf{1}\\(a+b)^1 &=a+b= \mathbf{1}\cdot a+\mathbf{1} \cdot b\end{aligned}##KATEX## Richiamiamo poi tra i 
prodotti notevoli
 il 
quadrato del binomio
 e vediamo che:
##KATEX##\begin{aligned}(a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\&=\mathbf{1} \cdot a^2+\mathbf{2} \cdot ab+ \mathbf{1} \cdot b^2\end{aligned}##KATEX##Utilizzando invece il 
cubo di un binomio
 otteniamo:
##KATEX##\begin{aligned}(a+b)^3 &= a^3+3a^2 b+3 ab^2+b^3 \\&=\mathbf{1} \cdot a^3+\mathbf{3} \cdot a^2 b+ \mathbf{3} \cdot a b^2+ \mathbf{1} \cdot b^3\end{aligned}##KATEX##Se svolgiamo la potenza di grado $4$ del nostro binomio abbiamo che:
##KATEX##\begin{aligned}(a+b)^4 &=(a+b)^2 (a+b)^2=(a^2+2ab+b^2)(a^2+2ab+b^2)= \\&= a^4+2a^3 b+a^2 b^2+2a^3 b+4a^2 b^2+2ab^3+a^2 b^2 +2a b^3+b^4= \\&=a^4 + 4a^3 b+ 6 a^2 b^2 +4 ab^3+ b^4= \\&= \mathbf{1} \cdot a^4 + \mathbf{4} \cdot a^3 b + \mathbf{6} \cdot a^2 b^2 + \mathbf{4} \cdot+ a b^3 \mathbf{1} \cdot b^4\end{aligned}##KATEX##Riassumendo, i coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio di grado $ 0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4 $ (che abbiamo evidenziato in grassetto) sono rispettivamente:
##KATEX##\begin{aligned}& 1\\& 1 \ 1 \\& 1 \ 2 \ 1 \\& 1 \ 3 \ 3 \ 1 \\& 1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 \\\end{aligned}##KATEX##Come vediamo, queste sono esattamente le prime quattro righe del triangolo di Tartaglia: deduciamo che esso è proprio una tabella dei 
coefficienti
 per lo 
sviluppo delle potenze del binomio
. Nella riga numero $3$ per esempio abbiamo i coefficienti del quadrato del binomio, nella riga $4$ abbiamo i coefficienti del cubo del binomio, e così via.


A partire dal triangolo di Tartaglia, quindi, possiamo ricavare i coefficienti dello sviluppo del binomio $(a+b)^n$, scegliendo un qualsiasi 
numero naturale
 $n$. Tali coefficienti vengono moltiplicati per prodotti di potenze di $a$ e $b$: leggendo la riga che stiamo considerando da sinistra a destra, i coefficienti vengono progressivamente moltiplicati a monomi del tipo $a^ib^k$ con $i + k = n$, in maniera che $i$ decresca e che $k$ cresca.
Facciamo un po' di chiarezza con i prossimi esempi.


 


Esempio 1
 


Vogliamo sviluppare $(a+b)^n$ con $$ a= 2x \quad b=4 \quad n=3 $$Dato che $n=3$, dobbiamo considerare la quarta riga del triangolo di Tartaglia, che contiene i coefficienti $1,\ 3,\ 3, \ 1$. Quindi abbiamo
##KATEX##\begin{aligned}(2x+4)^3 &= \mathbf{1} (2x)^{3} 4^{0}+\mathbf{3} (2x)^{2} 4^{1}+\mathbf{3} (2x)^{1} 4^{2} +\mathbf{1} (2x)^{0}4^{3}= \\&= \mathbf{1} \cdot 8x^3 \cdot 1+\mathbf{3} \cdot 4x^2 \cdot 4+ \mathbf{3} \cdot 2x\cdot 16 + \mathbf{1} \cdot 1 \cdot 72= \\&= 8x^3+48x^2+ 96x+72\end{aligned}##KATEX##


 


Esempio 2
 


La seguente illustrazione mostra lo sviluppo della potenza del binomio $(a+b)^n$ con $a = 2, b = -3x^2$ e $n$ variabile tra $0$ e $5$:




Approfondimento per la classe quinta


In realtà, il triangolo di Tartaglia può essere analizzato anche in un modo un po' più preciso, ricorrendo al concetto di 
coefficiente binomiale
.


Ricordiamo che dati due numeri naturali $n$ e $k$, $k\leq n$, per coefficiente binomiale $\binom{n}{k}$ intendiamo un numero intero non negativo che si ottiene come segue:
##KATEX##\begin{aligned}\binom{n}{0}&=\binom{n}{n}:=1 \\\binom{n}{k}&:= \frac{n!}{k!(n-k)!} \text{ con }k \neq 0, n\end{aligned}##KATEX##Per esempio, abbiamo:


$$\binom{5}{3}= \frac{5!}{3! (5-3)!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{3\cdot 2\cdot 2}=10$$
Se andiamo a osservare i numeri presenti nel nostro triangolo scopriamo che essi sono tutti coefficienti binomiali, per opportuni $n$ e $k$. In particolare per ciascuna riga (che indichiamo con $n$, a partire da $n=0$) abbiamo tutti i coefficienti binomiali del tipo $\binom{n}{k}$ con $k$ che varia da $0$ a $n$.




Per esempio la quarta riga (che corrisponde a $n=3$, perché partiamo a contare da $0$!) è data da $1,\ 3,\ 3,\ 1$. Utilizzando la definizione di coefficiente binomiale vediamo proprio che:
$$\mathbf{1}=\binom{3}{0} \quad \mathbf{3}=\binom{3}{1} \quad \mathbf{3}=\binom{3}{2} \quad \mathbf{1}=\binom{3}{3}$$
Il triangolo di Tartaglia nasce proprio come tavola dei coefficienti binomiali e si utilizza insieme alla 
formula di Newton
 per lo 
sviluppo delle potenze di un binomio
:
$$(a+b)^n= \sum_{\substack{k\in\mathbb{N} \\ 0\le k\le n}} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}= \sum_{\substack{k\in\mathbb{N} \\ 0\le k\le n}} \binom{n}{k}a^{n-k}b^{n}$$
Quindi fissato $n\in \mathbb{N}$, i coefficienti binomiali del tipo $\binom{n}{k}$ con $k$ che varia da $0$ a $n$ ci aiutano a determinare la potenza di grado $n$ del binomio $(a+b)$. Tali coefficienti possono essere determinati semplicemente osservando la riga $n$-esima (indicando con $n=0$ la prima riga) del Triangolo di Tartaglia.


 


Crediti immagini: Triangolo di Zhu Shijie da 
http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo_di_Tartaglia
, Sviluppo di un binomio (animazione): 
https://tube.geogebra.org/material/show/id/810025


 

