Integrali delle funzioni elementari: tabella riassuntiva - WeSchool


L'
integrale indefinito
 di una funzione $f(x)$ è costituito da tutte le sue primitive, ovvero da tutte quelle fuzioni che, derivate, restituiscono proprio $f$. 
 Una tabella riassuntiva delle primitive più comuni può essere quella che segue, dove abbiamo calcolato le primitive di alcune 
funzioni elementari
. Tali primitive sono divise in tre gruppi:





















Videolezione "Integrazione per sostituzione: formule ed esempi di integrali risolti"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
Primitive di funzioni: costante, potenza e radice,


Primitive di funzioni goniometriche,


Primitive di funzioni esponenziali e logaritmiche.


Nelle tabelle seguenti, la costante $c$ è un numero reale arbitrario $c \in \mathbb R$.


1) Funzioni costanti, potenze (con esponente naturale o reale) e radici


Funzione
 $f(x)$


Intergrale Indefinito 
$\int f(x)\ dx$


 $1$ (funzione costante)


 $\displaystyle{\int dx = \int 1 \ dx = x +c}$


 $x$


 $\displaystyle{\int x \ dx=\frac{1}{2}x^2+c}$


 $\displaystyle{x^{\alpha}}$, per $\alpha\in \mathbb{R},\ \alpha \neq -1$


 $\displaystyle{\int x^{\alpha} \,dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+c}$


 $\displaystyle{\frac{1}{x} = x^{-1}}$


 $\displaystyle{\ln{|x|}+c}$


Le 
funzioni irrazionali
 del tipo $y=\sqrt[n]{x}$ possono essere trasformate in potenze a esponente frazionario grazie alle 
proprietà delle potenze
 $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$, ricadendo così nel caso precedente delle potenze, dato che la formula fornita vale per $\alpha$ numero reale.


Vediamo alcuni esempi: 
$\int \sqrt{x}\ dx= \int x^{\frac{1}{2}} \ dx = \frac{2}{3}\sqrt{x^3}+c$
$\int \frac{1}{x^2}\ dx = \int x^{-2} \ dx = -\frac{1}{x}+c$
$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\ dx = \int x^{-\frac{1}{2}} \ dx = 2\sqrt{x}+c$


2) Funzioni goniometriche


Funzione
 $f(x)$


Intergrale Indefinito 
$\int f(x)\ dx$


 $\sin x$


 $\int \sin{x} \ dx = -\cos{x} + c $


 $\cos x$


 $\int \cos{x}\ dx = \sin{x} + c$


 $\displaystyle{\frac{1}{\cos^2{x}}}$


 $\displaystyle{\int \frac{1}{\cos^2{x}}\ dx = \tan{x}+c}$


 $\displaystyle{\frac{1}{\sin^2{x}}}$


 $\displaystyle{\int \frac{1}{\sin^2{x}}\ dx = \cot{x}+c}$


 $\displaystyle{\tan{x}}$


 $\displaystyle{\int \tan{x}\ dx = -\ln{|\cos{x}|}+c }$


 $\displaystyle{\cot{x}}$


 $\displaystyle{\int \cot{x}\ dx = -\ln{|\sin{x}|}+c }$


Poi possiamo ricordare che ci sono delle funzioni irrazionali fratte che hanno come primitive delle funzioni goniometriche:
 $\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\arcsin{x}+c}$ e $\displaystyle{\int \frac{1}{1+x^2}\ dx=\arctan{x}+c}$


3) Funzioni esponenziali e logaritmiche


Funzione
 $f(x)$


Intergrale Indefinito 
$\int f(x)\ dx$


 $e^x$, $e$ numero di Nepero


 $\int e^x \ dx = e^x+c $


 $a^x$, con $a \in \mathbb R$, $ a > 0$ e $a \neq 1$


 $\displaystyle{\int a^x\ dx = \frac{1}{\ln{a}}a^x+c}$


Abbiamo visto nella prima tabella che il logaritmo è la primitiva di una funzione razionale e per comodità lo riportiamo anche qui: $\int \frac{1}{x}\,dx=\ln{|x|}+c$


Quando ci apprestiamo a calcolare le primitive di una funzione ci può aiutare a intuire quali siano le funzioni coinvolte. Inoltre è importante aggiungere $+c$, che rappresenta un numero reale qualunque, in quanto tutte le primitive di una funzione differiscono tra loro per una costante.


Ricorda anche che non sempre il processo di integrazione è immediato, a volte necessita di metodi di integrazione specifici (es: per 
parti
 o per 
sostituzione
).

