La forza di Lorentz e il campo elettromagnetico: formula e definizione - WeSchool


Sin dalla prima metà del XIX secolo era chiaro che sussistesse una profonda relazione tra 
corrente elettrica
, ossia un moto ordinato di cariche elettriche all’interno di un conduttore, e i 
campi 
elettrico
 e 
magnetico
. Ma dal punto di vista della 
dinamica newtoniana
, la legge che descrive le interazioni del campo elettrico e del campo magnetico su corpi elettricamente carichi fu spiegata dal fisico olandese 
Hendrik Lorentz
 solo verso il 1890.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Questa legge asserisce che, 
in presenza di un campo magnetico
 $\vec{B}$
, un corpo dotato di una 
carica
 $q$ 
e di una 
velocità (istantanea)
 
$\vec{v}$ 
è soggetto a una forza, detta forza di Lorentz, pari a 
 $$ \vec{F} = q \ \vec{v} \times \vec{B} $$Il simbolo “$\times$” è il simbolo di 
prodotto vettoriale
 
tra due vettori. Grazie alle proprietà del prodotto vettore, 
campo magnetico
 $\vec{B}$
, velocità 
$\vec{v}$ del corpo carico 
e forza 
$\vec{F}$ 
sono sempre tra loro perpendicolari
. Nella figura sottostante una particella carica è immersa in un campo magnetico uniforme e stazionario (cioè, rispettivamente, sempre uguale ad un vettore fissato nello spazio, e invariante nel tempo), pensato entrante nella pagina.


 


In 
assenza di campo elettrico
, cioè quando $\vec{E} = 0$, la traiettoria di una 
carica elettrica puntiforme
 immersa in un 
campo magnetico uniforme e stazionario
 è determinabile in base alla 
seconda legge della dinamica
 $\vec{F} = m\ \vec{a}$: sostituendo in questa espressione la forza di Lorentz, otteniamo l’equazione $$m\ \vec{a} = q\vec{v} \times \vec{B}$$Tramite calcoli che eludono dalla presente trattazione, è possibile determinare che il moto descritto da una particella soggetta ad una forza di Lorentz puramente magnetica, prodotta da un campo uniforme e stazionario, è un 
moto circolare uniforme
, dotato di 
accelerazione centripeta
 pari a $q\ v\ B$: dall’espresione dell’accelerazione centripeta otteniamo $$ q\ v\ B = m \frac{v^2}{r} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{m \ v}{q \ B}$$


Un utilizzo pratico della forza di Lorentz si può vedere nello 
spettrometro di massa
. Lo spettrometro di massa è un dispositivo che viene utilizzato per misurare il rapporto carica / massa di particelle portatrici di carica.


Inizialmente, le particelle sono accelerate tramite un metodo qualsiasi (per esempio, l’applicazione di un campo elettrico $\vec{E}$) sino a raggiungere una velocità nota $v$. Eliminando la forza che imprime tale accelerazione, le particelle cariche si muovono di moto rettilineo uniforme. Successivamente, esse vengono convogliate in una regione in cui è presente un campo magnetico $\vec{B}$, quanto più possibile uniforme e stazionario, che è possibile regolare e di cui quindi è nota l’intensità $B$. A causa della forza di Lorentz, una volta entrate in questa regione le particelle inizieranno a descrivere delle circonferenze. Su una barriera perpendicolare al tratto rettilineo è situato un dispositivo in grado di rilevare il passaggio di particelle cariche (come uno schermo fotografico). In base alla posizione in cui la particella ha incontrato il dispositivo, è possibile risalire al raggio della traiettoria descritta e, quindi, al rapporto carica / massa della particella in questione: difatti, dall’equazione precedente si può desumere che il raggio della circonferenza descritta è proporzionale al rapporto $\frac{m}{q}$ $$ \frac{m}{q} = r \frac{ B }{v} $$




Ma che cosa succede se, oltre ad un campo magnetico $\vec{B}$, 
è presente anche un campo elettrico 
$\vec{E}$? In generale infatti si parla di 
campo elettro-magnetico
. Sappiamo, dalla definizione di campo elettrico, che un 
corpo carico in un campo elettrico è soggetto alla forza 
$q \vec{E}$, e quindi è più corretto indicare la forza di Lorentz (alcuni la chiamano “
forza di Lorentz generalizzata
”) come $$ \boxed{ \vec{F} = q\vec{E} + q\vec{v} \times \vec{B}}$$


La descrizione di una traiettoria di un corpo soggetto ad una forza di questo tipo è assai complicato: in generale, campo elettrico e campo magnetico variano nel tempo e nello spazio. Un caso considerevolmente più semplice è quello in cui il 
campo elettrico
 $\vec{E}$ e il 
campo magnetico 
$\vec{B}$ sono a loro volta 
mutualmente perpendicolari 
(situazione che si produce naturalmente in presenza di cariche elettriche oscillanti, generantrici di 
onde elettromagnetiche
), ed entrambi 
stazionari ed uniformi
.


In questo caso possiamo illustrare il moto scomponendolo in 
due moti indipendenti
: uno nella 
direzione individuata dal campo elettrico 
$\vec{E}$, e uno 
nel piano perpendicoare a tale direzione
. Lungo la prima direzione, abbiamo un 
moto uniformenente accelerato
 di accelerazione $a = \frac{q \ E}{m}$. Nel piano, invece, per quanto appena detto riguardo alla forza di Lorentz, abbiamo un 
moto circolare uniforme
 di velocità angolare $\omega = \frac{v}{r}$ che, sostituendo l’espressione del raggio trovata precedentemente, diventa pari a $\omega = \frac{q B}{m}$. La composizione di un moto uniformemente accelerato lungo una direzione e un moto circolare uniforme, il quale avviene sul piano normale alla direzione individuata dal moto unformemente accelerato, è un 
moto a spirale
:




La forza di Lorentz (in giallo nell’illustrazione) può essere usata per spiegare numerosi fenomeni elettromagnetici: in realtà, è sufficiente a 
spiegare completamente l’elettrodinamica classica
.


Indagare il moto di singole cariche è una cosa; la situazione più comune però, è quella in cui abbiamo un 
insieme di cariche 
che si muove entro una regione confinata: sappiamo infatti che la 
corrente elettrica
 altro non è che un moto ordinato di cariche, all’interno di un materiale conduttore. Se un campo magnetico agisce, mediante la forza di Lorentz, su una singola carica elettrica, è ben comprensibile che avrà degli effetti su un flusso di carica elettrica nel suo complesso. In effetti, si registra che un filo conduttore, immerso in un campo magnetico, si muove: responsabile di questo spostamento è proprio la forza di Lorentz.


Supponiamo allora di avere un tratto di filo 
conduttore
, di lunghezza $l$, inserito in un campo magnetico $ \vec{B} $ stazionario ed uniforme, e percorso da una corrente di intensità $i$. Se indichiamo con $\vec{l}$ il vettore individuato dalla direzione del filo e avente il verso della corrente $i$, il campo magnetico allora esercita una forza pari a $$ \vec{F} = i \vec{l} \times \vec{B} $$Per semplicità, deduciamo tale espressione solo nel caso in cui filo e campo magnetico siano mutualmente ortogonali.




Supponiamo che il filo abbia una sezione di area $S$, i portatori di carica abbiamo una carica $q$, ve ne siano in numero $n$ per unità di volume, e che si spostino con una velocità media $\vec{v}$. Allora l’intensità di corrente elettrica è pari a $$ i = n \cdot q \ S \ v $$Su ciascun elettrone conduttore agisce una forza di Lorentz $\vec{f} = q \vec{v} \times \vec{B}$ che è diretta perpendicolarmente a campo magnetico e filo, come mostrato nell’illustrazione, e in modulo vale $f= q \ v \ B$. Per ottenere la forza totale, occorre sommare i contributi dei singoli elettroni: sul tratto lungo $l$ questi sono in numero di $ n \ S\ l$, e dunque la forza di Lorentz sarà di intensità pari a $$ F = (n \ S \ l) \cdot q \ v \ B = n \cdot ( q \ S \ v )\cdot l \ B = i \cdot l \cdot B$$


Seguendo un ragionamento affine, si può dare una spiegazione all’
esperimento di Ampére
 sull’
attrazione o repulsione reciproca di fili conduttori
 percorsi da corrente: ognuno dei due fili, percorso da corrente, produce un campo magnetico, secondo la 
legge di Biot-Savart
, che attrae (o respinge, conformemente al verso della corrente) l’altro filo.


 

