Il teorema di Pitagora: enunciato, formule e dimostrazione - WeSchool


Uno dei teoremi più famosi di tutta la 
Geometria Euclidea
 è il 
teorema di Pitagora. 
Esso afferma che il quadrato costruito sull’ipotenusa di un 
triangolo rettangolo
 è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti del triangolo considerato. La sua dimostrazione viene attribuita, come dice il nome, al matematico greco Pitagora, anche se è probabile che altre civiltà abbiano scoperto questo teorema ben prima della sua nascita (o comunque, indipendentemente da Pitagora).





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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TEOREMA (di Pitagora): 
Dato un triangolo rettangolo $ABC$ come in figura, allora vale la relazione $$a^2 + b^2 = c^2$$ dove $c$ è l’ipotenusa del triangolo e $b, a$ sono i cateti.


Da questo teorema si possono ricavare le seguenti formule, che permettono di ricavare la misura di un lato a partire dagli altri due:


##KATEX##\begin{aligned}c & = \sqrt{b^2+a^2}; \\b & = \sqrt{c^2-a^2}; \\a & = \sqrt{c^2-b^2}.\end{aligned}##KATEX##


Per capire come utilizzare queste formule, facciamo un esempio: consideriamo un triangolo rettangolo con $c=10$ cm e $b=6$ cm. Allora $$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}.$$


 


Esistono molte dimostrazioni del Teorema di Pitagora (anzi, moltissime!) ma, per brevità, tra queste ne proponiamo solo due, entrambe esposte in maniera non rigorosa ma di grande impatto e di facile comprensione. 


Il 
primo teorema di Euclide
 afferma che il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente come dimensioni la 
proiezione
 del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa. La figura che segue mostra come si può usare questo risultato per dimostrare il Teorema di Pitagora (aree uguali hanno gli stessi colori);


La prossima immagine mostra come si possa ottenere una dimostrazione del Teorema con un semplice movimento rigido delle figure che la compongono:
Crediti immagine: JohnBlackburne - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythag_anim.gif#mediaviewer/File:Pythag_anim.gif


 


Curiosità:
Il Teorema di Pitagora ammette una generalizzazione (citata da Euclide nei suoi 
Elementi
): se su ciascun lato di un triangolo rettangolo costruiamo figure 
simili
 -ovvero tali che una sia l’ingrandimento o il rimpicciolimento di una delle altre- allora le loro aree soddisferanno la stessa relazione dei quadrati nel Teorema di Pitagora. Per esempio, consideriamo un triangolo rettangolo con dei 
triangoli simili
 costruiti sui cateti e sull’ipotenusa:

