Risoluzione dei triangoli qualunque: criteri ed esempi - WeSchool


Gli elementi caratteristici di un 
triangolo
 sono le misure dei suoi lati e dei suoi angoli. Sappiamo anche che per determinare univocamente un triangolo sono, in linea di massima, necessari solo tre di questi elementi purché uno almeno di questi sia un lato. Ciò deriva dai 
tre criteri di congruenza dei triangoli
 che andiamo a ricordare:





















Videolezione "Esercitazione sui triangoli"

























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Il 
primo criterio di congruenza
 afferma che due triangoli che abbiano rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso sono congruenti.


Il 
secondo criterio
 di congruenza afferma che due triangoli che abbiano rispettivamente congruenti un lato e due angoli ugualmente posti rispetto al lato sono congruenti.


Il 
terzo criterio
 di congruenza afferma che due triangoli che abbiano rispettivamente congruenti i tre lati sono congruenti.


 


Disegniamo un triangolo avendo cura di indicare con $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ le ampiezze degli angoli di vertice rispettivamente $A, B, C$ ed opposti ad i cateti di misura rispettivamente $a, b, c$.


 


Di seguito elenchiamo una casistica con conseguente risoluzione:


 


Se sono noti due lati e l'angolo compreso, per individuare il terzo lato si può usare 
il 
teorema
 
di Carnot 
o 
del coseno
:
$$c^2=a^2+b^2-2a b\ \cos(\gamma);$$ $$a^2=c^2+b^2-2c b\ \cos(\alpha);$$ $$b^2=a^2+c^2-2ac\ \cos(\beta).$$


Se sono noti tutti e tre i lati, per ricavare gli angoli si usa almeno due volte il teorema di Carnot. Per esempio se $a=5 \text{ m}, b=12 \text{ m}, c=13 \text{ m}$: $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma) \quad \Rightarrow \quad 13^2=5^2+12^2-2\cdot5\cdot12\cos(\gamma) \quad \Rightarrow$$ $$ \Rightarrow \quad \cos(\gamma)=\frac{25+144-169}{120}=0;$$  $$a^2=c^2+b^2-2\cdot c\cdot b\cdot\cos(\alpha) \quad \Rightarrow \quad 25=169+144-312\cdot\cos(\alpha) \quad \Rightarrow$$ $$ \Rightarrow \quad \cos(\alpha)=\frac{169+144-25}{312}=0,9320. $$ Dal primo calcolo ricaviamo che $\gamma=90^\circ$, mentre dal secondo risulta $\alpha\simeq\cos^{-1}(0,9320)\simeq22^\circ$ per cui $\beta\simeq90^\circ-22^\circ=68^\circ$.


Quando l’angolo da individuare non è compreso tra i due lati noti, e si hanno informazioni sul fatto che sia acuto od ottuso, si può ricorrere al 
teorema dei seni
: $$\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}.$$
Per esempio, si consideri il triangolo $ABC$ ottusangolo in $\gamma$: se $a = 7 \text{ m}$, $ b = 6,5 \text{ m}$ e $ \beta = 15^\circ$, si può ottenere l’angolo $\alpha$ mediante il teorema dei seni: da esso si ricava che $\sin(\alpha) = \frac{a}{b}\sin{\beta}$, dunque $\sin(\alpha) = \frac{7}{6,5} \sin (15^\circ)= 0,2787$, da cui $\alpha = 16^\circ 11^{’} 4^{’’}$. 
Si faccia attenzione però al fatto che, noto il seno di un angolo, in generale esistono 
due 
angoli che hanno tale seno: $\alpha$ e $\pi - \alpha$; è essenziale sapere quindi se l’angolo considerato sia acuto o ottuso. Facendo riferimento all’esempio precedente, senza l’informazione che $\gamma$ è ottuso, possiamo solo conludere che $\alpha = 16^\circ 11^{’} 4^{’’}$ oppure $\alpha = 163^\circ 48^{’} 56^{’’}$.


Infine ricordiamo che, per definizione, l’
altezza 
è perpendicolare al lato (od al suo prolungamento) rispetto al quale è tracciata. Dunque, tramite l'altezza, è possibile ricercare nella figura triangoli rettangoli, per i quali si può ricorrere a risultati generali di 
trigonometria
.
Ad esempio: Risolvere il triangolo acutangolo $ABC$ conoscendo le misure di $\beta=57^\circ$, $\alpha=39^\circ$, e l’altezza relativa al lato $c$, $CH=11 \text{ m}$.
Ricordando che la somma degli angoli di un triangolo è $180^\circ$ ricaviamo:
$$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-39^\circ-57^\circ=84^\circ.$$ Individuiamo ora i triangoli rettangoli nella figura in modo da poter applicare le formule.
Con il triangolo rettangolo $CHB$:
$\sin(\beta)=\frac{CH}{CB}$ dunque $CB=\frac{CH}{\sin(\beta)}=\frac{11}{\sin(57^\circ)}\simeq13,2 \text{ m}$ 
$\tan(\beta)=\frac{CH}{BH}$ dunque $BH=\frac{CH}{\tan(\beta)}=\frac{11}{\tan(57^\circ)}\simeq7,15 \text{ m}$ 
Con il triangolo rettangolo $AHC$​:
$\sin(\alpha)=\frac{CH}{AC}$ dunque $AC=\frac{CH}{\sin(\alpha)}=\frac{11}{\sin(39^\circ)}\simeq17,46 \text{ m}$
$\tan(\alpha)=\frac{CH}{AH}$ dunque $AH=\frac{CH}{\tan(\alpha)}=\frac{11}{\tan(39^\circ)}\simeq13,75 \text{ m}$
Infine calcolo $AB=AH+BH=7,15+13,75=20,9 \text{ m}$.



