Studio di funzione - WeSchool


Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla sua espressione analitica $y=f(x)$.


Si consiglia di procedere nell’ordine indicato, ma comunque di annotare sul grafico le informazioni salienti di pari passo, come mostrato nelle illustrazioni.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
 


1) Dominio


Per studiare una funzione dobbiamo innanzitutto vedere quale è il suo 
campo di esistenza 
o 
dominio
. Per esempio:


Se $y=f(x)$ contiene un'espressione frazionaria allora dobbiamo escludere i punti in cui il denominatore si annulla


Se $y=f(x)$ contiene una 
radice
 ad indice pari, dobbiamo porre la condizione che il radicando sia non negativo


Se $y=f(x)$ contiene un logaritmo, il suo argomento deve essere maggiore di zero


Se $y=f(x)$ contiene una funzione esponenziale del tipo $g(x)^{h(x)}$ allora dobbiamo porre $g(x) > 0$ (e controllare il campo di esistenza di $h(x)$)


Se $y=f(x)$ contiene espressioni del tipo $\tan ( g(x) )$, che coinvolgono la funzione tangente, dobbiamo escludere i punti in cui $g(x)=\frac{\pi}{2} + k \pi$


Se $y=f(x)$ contiene espressioni del tipo $\arcsin (g(x)), \quad \arccos (g(x))$ che coinvolgono le funzione 
arcoseno
 o arcocoseno deve essere $-1 \leq g(x) \leq 1$


​Una volta determinato il dominio possiamo escludere le regioni di piano che ne sono escluse come è stato fatto nell'esempio seguente:


 




 


2) Studio del segno


Dopo aver trovato l'insieme di definizione di $f(x)$, possiamo 
studiarne il segno
, cioè vedere in quali zone del dominio la funzione è positiva o negativa e quindi determinare in quali intervalli il suo grafico è sopra o sotto l'asse delle $x$. Se la funzione è 
continua
 e passa da una regione in cui è positiva a una in cui è negativa, necessariamente sarà zero nel punto in cui le due regioni si incontrano.


Per farlo risolviamo la disequazione $f(x) > 0$, la cui soluzione indicherà gli intervalli in cui la funzione è positiva; il suo complementare (sempre all’interno dominio) indicherà viceversa gli intervalli in cui la funzione è negativa.


Lo studio del segno è utile per delimitare la parte di piano in cui disegnare il grafico e i punti in cui la curva interseca l'asse delle ascisse.


Sapendo dove la nostra funzione $f(x)$ è positiva e dove è negativa possiamo aggiungere l’informazione cancellando le regioni nelle quali la funzione non esiste.




 


3) Calcolo dei limiti agli estremi del dominio e ricerca degli asintoti


Studiamo ora il comportamento della funzione agli 
estremi del dominio
 e indaghiamo l’esistenza di eventuali 
asintoti
.


Se il 
dominio è illimitato
 inferiormente o superiormente si dovranno calcolare i limiti per $x \to \pm \infty$ e 
controllare se ci sono asintoti orizzonali o 
obliqui
.


Se il dominio è formato da uno o più 
intervalli aperti limitati
 dobbiamo calcolare i limiti in tutti gli estremi degli intervalli di definizione, sia da destra sia da sinistra e 
controllare se ci sono asinoti verticali
.


In un grafico di funzione possono esserci al massimo due asintoti orizzontali o obliqui e un numero qualunque (anche infinito) di asintoti verticali.


Gli asintoti verticali però possono esistere solo in corrispondenza dei punti in cui la funzione non è definita. Se il dominio è l'intero insieme dei numeri reali, non ci sono asintoti verticali.


Continuando con il nostro esempio, aggiungiamo le indicazioni sulla presenza di asintoti:




4) Segno della derivata prima – monotonia


Dopo aver trovato dominio, segno e asintoti della funzione, possiamo calcolarne la 
derivata prima
 (nei punti del dominio in cui $f$ è derivabile). Grazie allo studio del 
segno della derivata prima
 possiamo stabilire la monotonia di $f$. Infatti:


Negli intervalli in cui $f'(x) > 0$, $f$ è 
crescente


Negli intervalli in cui $f'(x) < 0$, $f$ è 
decrescente


Se $f'(x)=0$ abbiamo un 
punto stazionario


Se ci sono punti in cui $f$ non è derivabile, possiamo calcolare i limiti di $f'$ al tendere da destra o da sinistra ai 
punti di non derivabilità
 e verificare se ci sono 
flessi a tangente verticale
, 
cuspidi
 o 
punti angolosi
.


 


5) Ricerca di massimi e minimi


Dopo il calcolo della derivata cerchiamo 
massimi
 
e minimi
 relativi
. 


Nei punti interni agli intervalli in cui $f$ è derivabile i punti estremanti vanno cercati tra i punti stazionari (grazie al 
teorema di Fermat sui punti stazionari
), controllando se il segno della derivata cambia prima e dopo il punto


Se il dominio è formato da intervalli chiusi e limitati bisogna controllare il valore assunto dalla funzione agli estremi degli intervalli


Se ci sono punti in cui la funzione non è derivabile, anche questi devono essere controllati nella ricerca di massimi e minimi relativi


Una volta trovati tutti i massimi e minimi relativi possiamo stabilire se esistono 
estremi assoluti
 guardando il valore della funzione in tutti i punti estremanti e controllando che la funzione non abbia asintoti verticali né tenda a infinito per $x \to \pm \infty$.




Segno della derivata seconda - convessità


Come ultimo passaggio possiamo studiare la 
convessità
 e la 
concavità
 di $f(x)$ calcolando il 
segno della derivata seconda
, nei punti in cui questa è definita. Abbiamo che:


Negli intervalli in cui $f''(x) > 0$, $f$ è convessa, ossia sta sopra la retta tangente


Negli intervalli in cui $f''(x) < 0$, $f$ è concava, ossia sta sotto la retta tangente


Se $f''(x)=0$ il punto può essere un flesso. Per stabilirlo si deve verificare se la derivata seconda cambia segno nell'intorno del punto, ovvero se cambia la convessità della funzione.


A questo punto, mettendo insieme tutte le informazioni raccolte si può disegnare il grafico della funzione.


 



