Calcolo della radice quadrata di un numero senza calcolatrice - WeSchool


Quando vogliamo calcolare la 
radice quadrata
 di un numero intero arbitrario, in genere, ricorriamo all’utilizzo della calcolatrice; quando l’intero è un 
quadrato perfetto
 facilmente riconoscibile, possiamo determinare “al volo” il risultato senza aver bisogno di nessuno strumento.






















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
Esiste tuttavia un procedimento, o più precisamente un 
algoritmo
, che permette di determinare con approssimazione arbitraria la 
radice
 
quadrata
 di un 
qualsiasi
 intero $n$, utilizzando solamente le quattro operazioni. Questo algoritmo fu introdotto per la prima volta da 
Rafael
 
Bombelli
 (1526 - 1572) e viene ancora oggi insegnato nelle scuole italiane.


Nello specifico, il procedimento che mostreremo permette di determinare un certo numero intero $s$ ed un eventuale resto $r$ tale che $n = s^2 + r$. Il numero $s$ rappresenta quindi l’approsimazione intera di $\sqrt{n}$. In ogni caso, è possibile proseguire l’algoritmo indefinitamente, in modo da determinare anche approsimazioni decimali di $\sqrt{n}$ con precisione sempre maggiore.


Mostriamo in cosa consiste questo algoritmo direttamente con qualche esempio.


 


Primo esempio
: $n = 13456$.


1. Per prima cosa, suddividiamo le cifre di $n$ in gruppi composti da due cifre, a partire da destra: otteniamo $1.34.56$ e, dato che le cifre di $n$ sono $5$, il gruppo delle due cifre più a sinistra sarà in realtà composto solo da una cifra.


2. Costruiamo uno schema contenente il nostro numero:




Alla fine, la parte in alto a destra dello schema conterrà il risultato dell’algoritmo, cioè l’approsimazione della radice quadrata di $n$.


3. Prendiamo il gruppo di due cifre più a sinistra, che in questo caso è solo $1$. Cerchiamo il numero intero il cui quadrato si avvicina più possibile a $1$: questo numero è chiaramente $1$. Riportiamolo nello schema come risultato parziale:




4. Eleviamo $1$ al quadrato, ottenendo $1$. Riportiamolo sotto al gruppo di due cifre appena considerato, cioè $1$, e sottraiamo: otteniamo il resto parziale $0$ (che non scriviamo, ma rappresentiamo con una sbarra). A fianco al risultato abbassiamo il gruppo di due cifre successivo, e otteniamo quindi il numero $34$:




5. Raddoppiamo il risultato parziale, ottenendo $2$, e scriviamolo appena sotto alla riga orizzontale. Supponiamo ora di accostare una cifra $a$ (cioè, un numero compreso tra $1$ e $9$) a destra di $2$, in modo da ottenere un numero di due cifre la cui prima cifra è $2$, e quindi rappresentabile come $20 + a$. Vogliamo trovare la cifra $a$ più grande possibile in modo che $(20 + a) \cdot a$ sia minore o uguale a $34$.
Scegliamo $a=1$: abbiamo $21 \cdot 1 = 21 \leq 34$, quindi $a=1$ potrebbe andarci bene. Con $a=2$ abbiamo $22 \cdot 2 = 44 > 34$, e quindi non va bene: di conseguenza $a=1$ è la nostra scelta.
Scriviamo i calcoli che abbiamo fatto sotto alla linea orizzontale, e riportiamo la cifra $a=1$ nello spazio del risultato, ottenendo il risultato parziale $11$:




6. Riportiamo $21$ sotto al $34$ e facciamo la sottrazione, che dà come resto parziale $13$. Come prima, scriviamo il risultato e a fianco riportiamo il gruppo di due cifre appena più a destra di quello considerato prima. Otteniamo quindi il numero $1356$:




7. Raddoppiamo il risultato parziale $11$, e scriviamo $22$ sotto ai conti che abbiamo fatto prima. In maniera del tutto analoga a quanto fatto prima, cerchiamo la cifra $b$ più grande possibile tale che $(220+b) \cdot b \leq 1356$. Dopo alcuni tentativi, notiamo che $b=6$ è la scelta migliore possibile: infatti $226 \cdot 6 = 1356$.
Scriviamo allora i calcoli sotto agli altri fatti prima, e la cifra $b=6$ nello spazio del risultato, ottenendo il risultato parziale $116$:




8. La sottrazione $1356 - 1356$ dà come resto parziale $0$. Questo significa che l’algoritmo termina qui, dato che non vi sono altri gruppi di due cifre da abbassare. Quindi abbiamo appena scoperto che $13456 = 116^2 + 0$, ovvero che $\sqrt{13456} = 116$.




 


Secondo esempio:
 $n = 354522$


1. Suddividiamo le cifre di $n$ in gruppi composti da due cifre, a partire da destra: otteniamo $35.45.22$.


2. Costruiamo uno schema contenente il nostro numero:




3. Prendiamo il gruppo di due cifre più a sinistra, che in questo caso è $35$. Cerchiamo il numero intero il cui quadrato si avvicina più possibile a $35$: questo numero è $5$, dato che $5^2 = 25$ e $6^2 = 36$. Riportiamolo nello schema:




4. Eleviamo $5$ al quadrato, ottenendo $25$, e riportiamolo sotto a $35$. Sottraiamo i due numeri, ottenendo il resto parziale $10$; a fianco al risultato abbassiamo il gruppo di due cifre successivo. Otteniamo quindi il numero $1045$:




5. Raddoppiamo il risultato parziale $5$, ottenendo $10$, e scriviamolo appena sotto alla riga orizzontale. Cerchiamo la cifra $a$ più grande possibile tale che $(100+b) \cdot b \leq 1045$. Questa cifra è $a=9$, perchè $109 \cdot 9 = 981 \leq 1045$ (e $a$ deve essere per forza più piccolo di $9$). Quindi $a=9$ è la nostra scelta.
Scriviamo i calcoli che abbiamo fatto sotto alla linea orizzontale, e riportiamo la cifra $a=9$ nello spazio del risultato, ottenendo il risultato parziale $59$:




6. Riportiamo $981$ sotto a $1045$ e facciamo la sottrazione, che dà il resto parziale $64$. Scriviamo il risultato e a fianco riportiamo il gruppo di due cifre appena più a destra di quello considerato prima. Otteniamo quindi il numero $6422$:




7. Raddoppiamo il risultato parziale $59$, ottenendo $118$, che scriviamo sotto ai conti che abbiamo fatto prima. Cerchiamo la cifra $b$ più grande possibile tale che $(1180+b) \cdot b \leq 6422$. Dopo alcuni tentativi, notiamo che $b=5$ è la scelta migliore possibile: infatti $1185 \cdot 5 = 5925$ mentre $1186 \cdot 6 = 7116$.
Scriviamo allora i calcoli sotto agli altri fatti prima, e la cifra $b=5$ nello spazio del risultato, ottenendo il risultato parziale $595$:




8. La sottrazione $6422 - 5925$ dà come resto parziale $497$; dato che non vi sono più gruppi di due cifre da abbassare, $497$ è in realtà il resto finale. Questo significa che l’algoritmo è terminato, e $354522 = 595^2 + 497$: cioè, $595$ è l’approsimazione intera della radice quadrata di $354522$.




 


L’algoritmo termina davvero?


Consideriamo il secondo esempio che abbiamo fatto. Potremmo non essere soddisfatti di aver trovato un’approsimazione così grossolana per la radice quadrata di $354522$: magari vogliamo sapere qual è la parte decimale della radice quadrata, in modo da determinare con maggiore precisione il risultato dell’operazione $\sqrt{354522}$. In questo caso, l’algoritmo può andare avanti ancora! Vediamo come:


Prendiamo il resto $497$, e aggiungiamo due zeri: otteniamo $49700$.


Moltiplichiamo per due il risultato: $595 \cdot 2 = 1190$. Cerchiamo la cifra $c$ più grande possibile tale che $(11900+c) \cdot c \leq 49700$. Questa cifra è $c=4$.


Il nuovo risultato è allora $595,4$. Dato che $11904 \cdot 4 = 47616$ e $49700 - 47616 = 2084$, il nuovo resto sarà $2084 :100 = 20,84$. Quindi $354522 = (595,4)^2 + 20,84$. Abbiamo quindi migliorato il risultato dell’algoritmo, aggiungendo una cifra allo sviluppo decimale del risultato.


L’algoritmo può andare avanti ancora, ovviamente: basta considerare risultato e resto come se fossero senza la virgola, e ripetere quanto appena spiegato. Ovviamente il risultato ottenuto dalla sottrazione, però, andrà diviso per $100^2 = 10000$ (per chi volesse proseguire a fare i calcoli, si ottiene $354522 = (595,41)^2 + 8,9319$).


 

