Le proporzioni: definizione e calcolo di una proporzione - WeSchool


Spesso, soprattutto nel linguaggio scientifico, si sente parlare di quantità o grandezze che sono 
direttamente
 o 
inversamente proporzionali
 tra loro, o che 
sono in una certa proporzione
, in assoluto o in relazione a qualcos’altro. Questi termini sconfinano anche nel linguaggio di tutti i giorni, e sono espressioni usate sin dai tempi più remoti: ma che cos’è una 
proporzione
? 





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Presa singolarmente, una 
proporzione
 altro non è che una 
frazione
. Ma il termine proporzione, in matematica, si riferisce anche a un’
espressione che coinvolge quattro quantità
, non nulle, 
in un preciso ordine
. Andremo a definire più precisamente questo concetto. 
Diciamo che le quantità $A$
,
 $B$
,
 $C$ 
e
 $D$ 
(in quest’ordine) sono in proporzione tra loro se vale la seguente uguaglianza:
$$ A : B = C : D $$Se le quattro quantità sono in proporzione, si può anche dire che “$A$ 
sta a 
$B$ 
come 
$C$ 
sta a 
$D$”, il che è una dicitura più precisa, e quindi preferibile, poiché tiene conto dell’ordine in cui compaiono le quantità. Le quantità coinvolte in una proporzione si dicono 
termini
, e siccome è importante il loro ordine, si chiamano 
primo, secondo, terzo e quarto termine
; il primo e il quarto termine si dicono termini 
estremi
, perché per l’appunto stanno agli estremi della proporzione, mentre il secondo e il terzo termine si dicono termini 
medi
, perchè stanno “in mezzo” alla proporzione. Ogni coppia di termini coinvolta in una proporzione ($A$ e $B$, $C$ e $D$) hanno un termine 
antecedente
, cioè “che viene prima” (che sono $A$ e $C$), e un relativo termine 
conseguente
, cioè “che viene dopo” (che sono, rispettivamente, $B$ e $D$). 


Ad esempio, possiamo dire che “$75$ sta a $15$ come $10$ sta a $2$”, poiché $75 : 15 = 5$ e anche $10 : 2 = 5$. In questa proporzione, $75$ e $2$ sono gli estremi, mentre $15$ e $10$ sono i medi; possiamo dire che il termine conseguente a $75$ è $15$, o che il termine $10$ è l’antecedente di $2$. Un altro esempio è il seguente: possiamo dire che “$12$ sta a $2$ come $3$ sta a $\frac{1}{2}$”, dal momento che $12 : 2 = 6$, che è lo stesso di $3 : \frac{1}{2} = 3 \times 2 = 6$. 
 
Le proporzioni sono conosciute da molto tempo, e i matematici greci ne fecero gran uso per dimostrare numerosi teoremi di 
geometria euclidea
: anzi possiamo affermare che, inizialmente, le proporzioni servivano soprattutto a risolvere 
problemi geometrici
. Basti pensare al 
teorema di Talete
 o agli stessi 
teoremi di Euclide
, che coinvolgono tutti delle proporzioni. In effetti, potremmo citare Euclide proprio, che nei suoi 
Elementi
 (def. 20, Libro VII) dice:




Quattro numeri sono proporzionali tra loro, se il primo è multiplo o parte del secondo, come il terzo è rispetto al quarto.
 




Ma non dobbiamo dimenticare che una proporzione è l’
uguaglianza tra due divisioni
: se interpretiamo una divisione tra due termini come una 
frazione algebrica
, abbiamo che 
una proporzione si riduce ad un’eguaglianza di due frazioni
:$$ \frac{A}{B} = \frac{C}{D} $$Questa forma permette di svolgere molto più facilmente i calcoli algebrici, e di comprendere appieno le numerose 
proprietà
 di cui le proporzioni godono. 


Una grande quantità di esempi di proporzioni coinvolge il calcolo delle 
percentuali
. Una percentuale, infatti, può essere considerata come una proporzione in cui uno degli estremi, di solito il quarto termine, è il numero $100$ (da cui il nome, per
cent
uale). Una percentuale è costituita da un numero seguito dal simbolo $\%$: ad esempio $20 \%$, $1 \%$ o $148 \%$. Questo numero costituirà il terzo membro della proporzione. 
Ad esempio, se diciamo che “il $40 \%$ di $365$ è $146$”, possiamo impostare la proporzione $ 146 : 365 = 40 : 100$, e dire che $146$ è il $40 \%$ di $365$ perché $146$ sta a $365$ come $40$ sta a $100$. Un altro esempio di percentuale potrebbe essere il seguente: “$\frac{1}{4}$ è il $25 \%$ dell’unità”, il che è vero poichè $\frac{1}{4}$ sta a $1$ come $25$ sta a $100$, o, equivalentemente, $\frac{1}{4} : 1 = 25 : 100$. 


Non sempre di una proporzione conosciamo tutti i membri: a volte ce n’è uno 
incognito
, altre volte ci sono addirittura 
due 
termini ignoti. Se l’incognita è una sola, possiamo sempre trovare il valore che rende vera la proporzione; anche in alcuni casi con due incognite riusciamo a garantire una soluzione. In generale, sono molti i problemi risolubili mediante una proporzione: rimandiamo il discorso a 
questa lezione
.

