Derivate delle funzioni elementari: dimostrazioni - WeSchool


Per trovare la 
derivata
 di una funzione bisogna calcolare il 
limite del rapporto incrementale
: $$f'(x)=Df(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$ Spesso capita di dover usare la derivata di alcune funzioni (quelle che di solito chiamiamo “
elementari
”) e per questo è utile non doverle calcolare di volta in volta applicando la definizione di limite, il che può essere alquanto laborioso. Cominciamo a presentare i risultati:





















Videolezione "Derivata di somma di funzioni: spiegazione ed esempi"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
Funzione


Derivata


$x^n$


$nx^{n-1}$


$\sin x$


$\cos x$


$\cos x$


$-\sin x$


$e^x$


$e^x$


$\ln x$


$\frac{1}{x}$




Derivata di potenza
 $$\boxed{ D x^n=n x^{(n-1)} }$$ Dato che la dimostrazione per $n$ qualsiasi è un po' macchinosa verifichiamo la formula per $n=1,2,3$. Per $n$ più grande di $3$ si può procedere in modo del tutto analogo. Prendiamo $n=1$ e applichiamo la definizione di derivata:
$$D x = \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\ h\ }{\ h\ } = 1.$$ In questo caso vale: $D x^1 = 1x^0 = 1$. Prendiamo ora $n=2$, sviluppiamo il 
quadrato del binomio
 e svolgiamo i passaggi algebrici: $$D x^2 =\lim_{h\to 0} \frac{ (x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}=$$ $$= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x+h)}{h}$$ A questo punto possiamo semplificare il fattore $h$ ottenendo: $$ \lim_{h\to 0}(2x+h) = 2x.$$ Anche in questo caso la formula generale vale sostituendo a $n$ il valore $2$: $D x^2= 2x^{2-1}=2x$. Vediamo per ultimo il caso $n=3$: $$D x^3 =\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h}=$$ $$=\lim_{h\to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}$$ semplificando denominatore e numeratore si ottiene $$\lim_{h\to 0} (3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2.$$ Di nuovo vale $D x^3=3x^{3-1}=3x^2$. Potremmo continuare così anche con le successive potenze $n=4,5,\dots$ e ogni volta avremmo la conferma della validità della formula $$D x^n=n x^{(n-1)}.$$


 






Derivata del seno
 $$\boxed{ D\sin{x}=\cos{x} }$$ Usiamo la definizione di $D\sin{x}$: $$D\sin{x} = \lim_{h\to 0} \frac{\sin{(x+h)} - \sin{x}}{h}=$$ Per trovare questo limite usiamo la formula che ci permette di calcolare il seno della somma di due angoli: $\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$, e quindi quello che abbiamo scritto è uguale a $$ = \lim_{h \to 0} \frac{\sin{x} \cos{h} + \cos{x} \sin{h} - \sin{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin{x} \cdot (\cos{h} - 1) + \cos{x} \cdot \sin{h}}{h} = $$ Separiamo in due parti $$ = \lim_{h \to 0}\left( \sin{x}\frac{\cos{h}-1}{h} \right) + \lim_{h \to 0} \left( \cos{x} \frac{\sin{h}}{h} \right)$$ Per risolvere i due limiti dobbiamo ricorrere alla trigonometria e al 
limite notevole
 $\lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} = 1.$ Vediamo i passaggi: $$ \lim_{h \to 0} \frac{\cos{h}-1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{( \cos(h) - 1) (\cos(h) + 1)}{h(\cos(h) + 1)} = $$ $$ = \lim_{h \to 0} \frac{- \sin^2(h)} {h(\cos(h)+1)} = \lim_{h \to 0} \frac{ \sin(h)}{h} \frac{-\sin(h)}{(\cos(h) + 1)} = 1\cdot \frac{0}{1} = 0$$ Sostituendo il risultato appena ottenuto e il limite notevole otteniamo la derivata del seno: $$D\sin{x}=\cos{x}.$$


 






Derivata del coseno
 $$\boxed{ D\cos{x} = -\sin{x} }$$ Per trovare la derivata di $\cos{x}$ il percorso è simile a quello fatto per calcolare la derivata di $\sin{x}$, infatti $$ D\cos{x}=\lim_{h \to 0}\frac{\cos{(x + h)} - \cos{x}}{h}=$$ ricordiamo come trovare il 
coseno della somma di due angoli
 $\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta}$ e sostituendo nell'uguaglianza troviamo: $$\lim_{h \to 0} \frac{ \cos{x} \cos{h} - \sin{x} \sin{h} - \cos{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos{x} (\cos{h} - 1) - \sin{x} \sin{h}}{h}=$$ $$=\lim_{h \to 0} \cos{ x} \cdot \frac{\cos{h} - 1}{h} - \lim_{h \to 0} \sin x\cdot \frac{\sin{h}}{h}=$$ ma ora ritroviamo i limiti notevoli calcolati nel caso della derivata del seno e sostituendo rimaniamo con $$-\sin{x}.$$


 






Derivata dell'esponenziale
 $$\boxed{ D e^x=e^x }$$ Partiamo dalla definizione di derivata $$D e^x= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h} = $$ abbiamo utilizzato le 
proprietà delle potenze
. Ora basta sfruttare il 
limite notevole
 $\lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h}=1$ così che quello che resta dell'uguaglianza è $$De^x=e^x.$$


 






Derivata di logaritmo
 $$\boxed{ D \ln{x}=\frac{1}{x} }$$ Ripartiamo dalla definizione $$D \ln{x}=\lim_{h \to 0} \frac{\ln{(x+h)}-\ln{x}}{h}=$$ usando la proprietà sulla 
differenza tra logaritmi
 $\ln{a}-\ln{b}=\ln{\frac{a}{b}}$ otteniamo $$=\lim_{h\to 0} \frac{\ln{(\frac{x+h}{x})}}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\ln{(1+\frac{h}{x})}}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\ln{(1+\frac{h}{x})}}{\frac{h}{x}} \frac{1}{x}=$$ arrivati a questo punto ricordiamo che $\lim_{h \to 0} \frac{\ln{(1+\frac{h}{x})}}{\frac{h}{x}}=1$ e possiamo concludere che risulta $$D\ln{x}=\frac{1}{x}.$$





