Moto lungo un piano inclinato: descrizione delle forze in gioco - WeSchool


Come nel caso di moti che avvengono su un piano orizzontale, anche per moti sul 
piano inclinato
 possiamo avere due casi: uno più semplice, in cui la
 superficie è liscia,
 e uno in cui la 
superficie è scabra,
 ovvero in cui agisce anche la 
forza d’attrito
. In entrambi i casi ha luogo un 
moto rettilineo uniformemente accelerato
.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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In generale, occorre considerare tutte le forze in gioco ed effettuarne la somma vettoriale: questa somma, detta forza risultante o risultante delle forze, è la forza che effettivamente comporta l’accelerazione del corpo, secondo la 
legge fondamentale della dinamica
, $\vec{F} = m \vec{a} \Rightarrow \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}$.


 


1) Piano Inclinato Liscio


Su un corpo di massa $m$ che si muove lungo un 
piano inclinato liscio
 agiscono due forze: la 
forza peso
 $\vec{P}$, determinata da massa e accelerazione di gravità, in direzione verticale e verso il basso; e la 
reazione vincolare 
$\vec{N}$, che il piano oppone in direzione normale a sé stesso, che impedisce al corpo di passare attraverso il piano.


Per effettuare agevolmente la 
somma vettoriale
 $\vec{P} + \vec{N}$, è utile scomporre la forza peso $\vec{P}$ in due 
componenti
, una parallela al piano (che chiameremo $P_{\parallel}$) e una a esso perpendicolare (che chiameremo $P_\perp$): la componente radente $P_{\parallel}$ si ottiene moltiplicando il modulo della forza peso per il seno dell’angolo di inclinazione del piano $\alpha$; la seconda $P_{\perp}$ coinvolge invece il coseno dell’angolo $\alpha$. In formule: $$P_{\parallel} = P \ \sin(\alpha) \quad P_{\perp}=P\cos(\alpha)$$


 




 


Secondo il terzo principio della dinamica, la reazione $N$ equivale all’opposto dell’azione $P_{\perp}$: vettorialmente, vale $ \vec{N} + \vec{P_{\perp}} = 0 $. La risultante delle forze è dunque $$ F_{\text{ris}} = \overbrace{\vec{N} + \vec{P_{\perp}}}^{=0} + \vec{P_{\parallel}} = \vec{P_{\parallel}} $$


Il moto dunque avverrà in direzione parallela al piano inclinato. Ora determiniamo l’accelerazione cui è soggetto il corpo: $$ a = \frac{P_{\parallel}}{m} = \frac{m g \sin(\alpha)}{m} = g \sin(\alpha) $$


2) Piano Inclinato Scabro


Su un piano con superficie scabra, alla componente della forza peso parallela al piano si contrappone la 
forza d’attrito
. Questa è in modulo pari al prodotto tra la reazione vincolare $N$, esercitata tra il corpo e il piano, e il coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$. Dal momento che non c'è nessuna accelerazione perpendicolare al piano, $N$ è uguale e contraria a $P_\perp,$ come si può evincere dalla figura seguente:




Di conseguenza la forza d’attrito è data da $$ F_{att} = \mu_d N = \mu_d m g \cos(\alpha) $$


Ora, sapendo che la forza d’attrito ha verso opposto rispetto alla componente del peso parallela al piano, la forza risultante $F$ avrà modulo pari alla differenza tra le due: $$ F = P_{\parallel} - F_{att} = mg \sin(\alpha) - \mu_d mg\cos(\alpha) = mg \ (\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha)$$ e quindi l'accelerazione sarà data dalla legge fondamentale della dinamica $$ a = \frac{F}{m} = g\ \left(\sin(\alpha) - \mu_d \cos(\alpha)\right) $$


 


Come si può vedere, in entrambi i casi l’accelerazione risultante 
non dipende dalla massa del corpo
.


 

