I teoremi di Euclide: il primo e il secondo teorema - WeSchool


 


Tra i teoremi più importanti della 
Geometria Euclidea
, un ruolo speciale assumono i due teoremi di Euclide. Tali teoremi permettono di stabilire alcune importanti relazioni tra alcuni segmenti notevoli di un 
triangolo rettangolo
. Il primo teorema, inoltre, fornisce un metodo rapido per dimostrare il 
teorema di Pitagora
.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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TEOREMA (Primo teorema di Euclide)
: In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su uno dei due cateti è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la 
proiezione
 del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.




Facendo riferimento alla figura precedente, abbiamo quindi che $$a^2 = d \cdot c \quad \text{o anche} \quad \overline{CB}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{HB}.$$ Una formulazione analoga del teorema può essere data utilizzando il linguaggio delle 
proporzioni
: ovvero, ogni cateto di un triangolo rettangolo è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa. Con una formula, questa affermazione si scrive $$c:a = a:d \quad \text{o anche} \quad \overline{AB} : \overline{CB} = \overline{CB} : \overline{HB}$$


 


TEOREMA
 
(Secondo teorema di Euclide)
: In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.




Facendo riferimento alla figura precedente, si ha quindi $$h^2 = d \cdot e \quad \text{o anche} \quad \overline{CH}^2 = \overline{AH} \cdot \overline{HB}.$$ Con le proporzioni, il teorema può essere riformulato in questo modo: l’
altezza relativa
 all’ipotenusa di un triangolo rettangolo è medio proporzionale tra le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Esprimiamo questo concetto con una formula: $$e:h = h:d \quad \text{o anche} \quad \overline{AH} : \overline{CH} = \overline{CH} : \overline{HB}$$


 


Vediamo un esercizio che si può svolgere utilizzando i teoremi di Euclide.


PROBLEMA: 
In un triangolo rettangolo $ABC$ con angolo retto in $C$, un cateto $BC$ misura $2$ cm e la proiezione $AH$ dell’altro cateto sull’ipotenusa misura $3$ cm. Calcolare l’area del triangolo.




Svolgimento
. Per costruzione, $\overline{AB} = \overline{AH} +\overline{HB}$; inoltre, per il primo teorema di Euclide sappiamo che $ \overline{CB}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{HB}$. Allora


$$ \begin{aligned} \overline{CB}^2 & = \overline{AB} \cdot \overline{HB} = (\overline{AH} + \overline{HB}) \cdot \overline{HB} \\ & = \overline{AH} \cdot \overline{HB} + \overline{HB}^2. \end{aligned}$$


Sostituendo i dati forniti ($\overline{AH} = 3, \overline{CB} = 2$) al primo e all’ultimo termine della catena di uguaglianze, abbiamo l’equazione di secondo grado $$\overline{HB}^2 + 3\overline{HB} - 4 = 0$$ che può essere scomposta in $(\overline{HB} + 4 )(\overline{HB} - 1) = 0$. L’unica soluzione accettabile per questa equazione è quindi $\overline{HB} = 1$ cm (la lunghezza di un segmento non può essere negativa!).


A questo punto utilizziamo il secondo teorema di Euclide per trovare l’altezza relativa all’ipotenusa: $$\overline{CH}^2 = \overline{AH} \cdot \overline{HB} = 3 \cdot 1 = 3 \text{ cm}^2 \quad \Rightarrow \quad \overline{CH} = \sqrt{3} \text{ cm}.$$


Ricordando che la lunghezza dell’ipotenusa è data dalla relazione $\overline{AB} = \overline{AH} +\overline{HB}$, otteniamo $\overline{AB} = 4$ e in conclusione $$Area(ABC) = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{CH}}{2} = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}.$$

