Raccoglimento parziale e totale per la scomposizione di polinomi - WeSchool


Quando vogliamo scomporre un 
polinomio
 possiamo applicare diverse tecniche: tra queste ricordiamo l’utilizzo dei 
prodotti notevoli
 o della 
regola di Ruffini
. Una delle altre tecniche che si possono utilizzare è quella del 
raccoglimento
 
a fattor comune
, che può essere 
totale
 oppure 
parziale
. Il raccoglimento totale è molto più semplice da individuare e applicare rispetto al raccoglimento parziale, come vedremo negli esempi che seguiranno; entrambe le tecniche sono però di estrema importanza per svolgere gli esercizi (e in molti casi per semplificare i conti).





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
È importante sottolineare che entrambe queste tecniche si fondano sulla 
proprietà distributiva
 della moltiplicazione rispetto alla somma.


 


Il raccoglimento totale


Guardando i termini di un polinomio che vogliamo scomporre, potrebbe capitare che ci sia un fattore (numerico o letterale) che sia comune a tutti i termini. L’operazione di raccoglimento di questo fattore è detta 
raccoglimento
 
totale
. Il risultato di un raccoglimento totale sarà quindi la scomposizione del polinomio in un 
prodotto di un opportuno 
monomio
 e di un polinomio con lo stesso numero di elementi del polinomio di partenza
.


Vediamo più precisamente di cosa si tratta con un esempio. Consideriamo il polinomio $$20x^4y + 10x^2y^3 + 12x^2y^2 + 8x^2$$Proviamo a vedere che fattori hanno in comune questi quattro termini. Per quanto riguarda i coefficienti, ci accorgiamo che tutti e quattro sono divisibili per $2$; guardando le parti letterali, invece, ci si rende conto che tutti i termini hanno la lettera $x$ al loro interno, e che il massimo esponente a cui è elevata è $2$. Pertanto, tutti i monomi sono divisibili per $2x^2$: in altre parole, possiamo raccogliere $2x^2$ da tutti i termini. Di conseguenza: $$20x^4y + 10x^2y^3 + 12x^2y^2 + 8x^2 = 2x^2(10x^2y + 5y^3 + 6y^2 + 4)$$Abbiamo appena effettuato un raccoglimento totale.


Sottolineiamo che questo non è l’unico raccoglimento totale che si poteva svolgere: avremmo potuto raccogliere solamente $2x$, oppure anche $x^2$, per esempio. Solitamente, però - a meno di trovarci in situazioni particolari - si tende a raccogliere il monomio che ha il maggior numero di termini comuni a tutti i termini del polinomio, tutti elevati alla massima potenza con cui compaiono. Il motivo di questa scelta è che, in questo modo, nel polinomio ottenuto successivamente alla scomposizione non sarà più possibile svolgere un altro raccoglimento totale.


Ecco altri esempi svolti di raccoglimento totale.


$24xyz^2 + 4y^2z - 8x^5y = 4y ( 6xz^2 + yz - 2x^5)$


$100ab^4 - 20a^2b^2 + 25a^3b^2c - 35a^4b^3 = 5ab^2(20b^2 - 4a + 5a^2c - 7a^3b )$


$-32a^3t^2z - 8atz - 48a^2t^2yz = - 8atz (4a^2t + 1 + 6aty)$


 


Il raccoglimento parziale


Consideriamo un polinomio e separiamo i suoi termini in due parti. Supponiamo che sia possibile effettuare un raccoglimento totale per ciascuna di queste due parti, in modo che il polinomio rimasto dopo ciascun raccoglimento sia sempre lo stesso. È possibile allora riscrivere il polinomio di partenza come il prodotto di due polinomi: il primo costituito da quei termini che abbiamo raccolto, e il secondo composto dai termini che rimangono dopo ciascun raccoglimento totale. Questo procedimento si chiama 
raccoglimento
 
parziale
. Il risultato di questa scomposizione è quindi 
un prodotto di due polinomi
.


Facciamo un esempio. Prendiamo il polinomio $$12xy-8x + 9zy - 6z$$Separiamo i primi due termini dagli ultimi due: $$12xy - 8x \qquad +9zy - 6z$$Possiamo raccogliere $4x$ dai primi due termini e $3z$ dagli ultimi due. Ecco cosa otteniamo: $$4x(3y - 2) \qquad +3z(3y-2)$$I polinomi ottenuti dopo i raccoglimenti sono i medesimi. Possiamo quindi procedere con il raccoglimento parziale:$$12xy-8x + 9zy - 6z = (4x+3z)(3y-2)$$È bene sottolineare che avremmo potuto dividere i termini del polinomio di partenza in un altro modo:$$12xy + 9zy \qquad -8x - 6z$$In questa situazione i raccoglimenti da eseguire sarebbero stati diversi: $$3y(4x + 3z) \qquad -2(4x+3z)$$In ogni caso i termini tra parentesi sono uguali e quindi possiamo applicare il metodo del raccoglimento parziale, ottenendo lo stesso risultato di prima (come ci si poteva aspettare).


Ecco alcuni esempi svolti di raccoglimento parziale, in ordine di difficoltà.


$a^4-a^3 -2a + 2 = a^3 ( a - 1) - 2 ( a - 1 = (a^3- 2)(a-1)$


$x^ny^n + 2 + 2x^n + y^n = x^n(y^n + 2) + (y^n + 2) = (x^n + 1)(y^n + 2)$


$4a^{m+2} - 2a^{2m}+2a^mb^m + b^{m+3} + 2a^2b^3 - a^mb^3 = $
$= \ 2a^m(2a^2 + b^m - a^m ) + b^3(2a^2 + b^m - a^m ) = $
$= \ (2a^m + b^3)(2a^2 + b^m - a^m )$


L’ultimo esempio fatto è un po’ particolare rispetto agli altri, perché i termini sono sei anzichè quattro. In effetti in questo caso avremmo potuto lavorare con il polinomio anche in questo modo: $$2a^2(2a^m + b^3) + b^m (2a^m + b^3) - a^m ( 2a^m + b^3)$$Vediamo quindi come, a volte, il raccoglimento parziale possa essere effettuato suddividendo il polinomio in 
tre o più parti
 (e non solo due come spiegato all’inizio del paragrafo).


 

