Velocità media e velocità istantanea: formule e definizione - WeSchool


L’oggetto della 
cinematica
 è lo 
studio del movimento
 di punti materiali o corpi estesi. Il 
movimento 
è dato dalla nostra percezione che il medesimo corpo, in 
istanti successivi
, occupi 
posizioni differenti
. Ciascuno di noi misura la posizione del corpo che gli interessa, rispetto a sé, e il variare di questa posizione allo scorrere del tempo descrive il movimento. Ma lo stesso corpo, nello stesso intervallo di tempo, può compiere spostamenti differenti; o viceversa può compiere lo stesso spostamento in tempi differenti: quel che comunemente diciamo, è che un determinato corpo si muove più o meno velocemente.
Ma che cos’è, in fisica, la 
velocità
?





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Definizione Preliminare


La velocità è, concettualmente, 
il rapporto tra uno spostamento effettuato e il tempo impiegato per compierlo
. La velocità è una grandezza fisica di fondamentale importanza, ed è necessario conoscere la velocità di un corpo, oltre che la sua posizione, per descriverne correttamente il moto.


In fisica, la 
posizione 
di un oggetto è 
identificata da un punto all’interno di un opportuno 
sistema di riferimento
. Indicheremo con $P$ la posizione occupata dal punto materiale preso in considerazione: essendo all’interno di un sistema di riferimento, la posizione è univocamente determinata dalle 
coordinate del punto 
$P$. Se ci troviamo in uno spazio tridimensionale, le coordinate che occorrono per descrivere la posizione di un punto saranno tre (indicate generalmente con $x, y$ e $z$); sul piano o su una superficie sono sufficienti due coordinate; su una linea ne basta una.




Per semplicità, limitiamoci al caso in cui il punto materiale si muova su una linea (e consideriamo quindi un sistema 
monodimensionale
, a una sola dimensione), in modo che la sua posizione $P$ sia univocamente determinata da un’unica coordinata $x$, detta 
ascissa del punto 
$P$.


 




 


Ora supponiamo che il punto $P$ occupi due posizioni differenti, identificate delle ascisse $x_1$ ed $x_2$, negli istanti successivi $t_1$ e $t_2$ rispettivamente ($t_1$ viene prima di $t_2$). Chiamiamo 
spostamento 
la differenza tra la posizione finale e quella iniziale: $$ \Delta x = x_2 - x_1 = x_{\text{iniziale}} - x_{\text{finale}} $$ Chiamiamo 
durata dell’intervallo di tempo
 la differenza tra gli istanti finale ed iniziale: $$ \Delta t = t_2 - t_1 = t_{\text{iniziale}} - t_{\text{finale}} $$


 




Definizione


Definiamo allora la 
velocità media
 del punto $P$ il rapporto tra lo spostamento e la durata dell’intervallo di tempo in cui è avvenuto, attraverso la formula $$ v_{m} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} $$


Da questa seguono le formule inverse $v_m \cdot \Delta t = \Delta x$ e $\Delta t = \frac{\Delta x}{v_m}$.


L’unità di misura 
della velocità si ricava dal rapporto tra quella delle lunghezze e quella del tempo: nel 
Sistema Internazionale
, si parla dunque di $\frac{\text{m}}{\text{s}} = \text{m}\text{s}^{-1}$, o metro al secondo. Un’altra unità di misura della velocità, di uso comune, è il chilometro orario o chilometro all’ora $\text{km}/\text{h}$: ricordando che $1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$ e che in un’ora vi sono $3600$ secondi, si arriva all’equivalenza $1 \text{ km}/\text{h} = \frac{1}{3,6} \text{ m}/\text{s}$ ossia $1 \text{ m}/\text{s} = 3,6 \text{ km}/\text{h}$, quindi per passare da $\text{km}/\text{h}$ a $\text{m}/\text{s}$ occorre dividere per $3,6$, mentre per passare da $\text{m}/\text{s}$ a $\text{km}/\text{h}$ si deve moltiplicare per $3,6$.


Si può generalizzare il concetto di velocità media al moto di un punto che avviene in 
più dimensioni
. In questo caso, risulta evidente che 
la velocità media è una 
grandezza vettoriale
, in quanto rapporto tra una grandezza vettoriale (lo spostamento, differenza di due posizioni) e una scalare (la durata di un intervallo di tempo).


 
 


Esempio


La velocità media nasconde però molte insidie: per rendersene conto, consideriamo il seguente esempio.


Marco, la mattina, va a scuola, che dista $780$ metri da casa sua. Con un po’ di fortuna, riesce a percorrere questo tragitto in due minuti e venti secondi (va in bici). Poi rimane a scuola sino all’orario di fine delle lezioni, che durano complessivamente sei ore e a quel punto torna a casa: stanco, prende un’andatura un po’ più lenta e ci impiega cinque minuti.


Qual è la velocità media di Marco nei seguenti casi?


Nel tragitto casa-scuola


Nel tragitto scuola-casa


Mentre rimane a scuola


Complessivamente, da quando esce da casa a quando ritorna


Caso 1: supponiamo che casa di Marco coincida con l’origine del sistema di riferimento ($x_1 = 0$), e la scuola sia nella posizione identificata dall’ascissa $x_2 = 780$. Il tempo impiegato a compiere il tragitto è $t_2 - t_1 = 140 \text{ s}$. Allora la velocità media su questo tragitto è $$ v_m = \frac{\Delta x }{\Delta t} = \frac{780 - 0}{140} = 5.57 \frac{\text{m}}{\text{s}} = 20.05 \frac{\text{km}}{\text{h}} $$
Caso 2: ora le posizioni si sono invertite: $x_1 = 780$ mentre $x_2 = 0$; l’intervallo di tempo in questo caso è $300$ secondi. La velocità media è dunque $$ v_m = \frac{\Delta x }{\Delta t} = \frac{0 - 780}{300} = - 2.6 \frac{\text{m}}{\text{s}} = - 9.36 \frac{\text{km}}{\text{h}} $$
Caso 3: l’intervallo di tempo è $21600$ secondi, e le posizioni sono $x_1 = x_2 = 780$. La velocità media è quindi $$ v_m = \frac{\Delta x }{\Delta t} = \frac{780 - 780}{21600} = 0 $$ In effetti, questo risultato non stupisce: Marco è fermo a scuola.
Caso 4: in questo caso l’intervallo di tempo complessivo è dato da $140 + 21600 + 300 = 22040 \text{ s}$, la somma dei singoli intervalli di tempo. Le posizioni iniziale e finale, anche in questo caso, coincidono: la velocità media sarà ancora nulla. Difatti: $$ v_m = \frac{\Delta x }{\Delta t} = \frac{0 - 0}{22040} = 0 $$


Inoltre, se provassimo a fare la media delle velocità (medie) ottenute sui singoli tragitti casa-scuola e scuola-casa, otterremmo $\frac{5.57 - 2.6}{2} = 1.485 \text{ m} / \text{s}$, che non coincide con la velocità media su tutto il tragitto, che è $0$.


Il moto più semplice da descrivere in fisica è il 
moto rettilineo uniforme
, in cui la velocità media, come vettore, è costante.


 


Considerazioni Ulteriori


Come mostra l’esempio, il concetto di velocità che noi abbiamo mal si accorda con la definizione che abbiamo dato di velocità media. La velocità media, infatti, dipende dalle posizioni occupate al termine e all’inizio dello spostamento, e non rende conto del tragitto complessivo.


Questo deriva dal fatto che la 
velocità media è una stima
, grossolana, di quel che avviene in uno spostamento. Cercando di 
migliorare questa stima
, consideriamo 
intervalli di tempo sempre più brevi
, al termine dei quali il punto materiale occupa 
posizioni tra loro sempre più vicine
.
 


Definizione


Questo processo di raffinamento, al limite, produce una nuova grandezza, anch’essa vettoriale, detta 
velocità istantanea
: $$ v = v_{\text{istantanea}} = \frac{\Delta x }{ \Delta t} \text{ quando } \Delta t \text{ tende a zero}$$


Con un linguaggio matematico più appropriato, quello dei 
limiti
, possiamo dire che $$ v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{ \Delta t} $$


Come si vede dalla sua definizione, 
la velocità istantanea risulta la 
derivata
, rispetto al tempo, della posizione: 
$v = \frac{\partial P}{\partial t}$.


Se l’intervallo $\Delta t$ tende a $0$, i punti $P_2$ e $P_1$ vanno a coincidere, e l’istante $t_2 = t_1 + \Delta t$ diventa anch’esso $t_1$: per questo la velocità si chiama istantanea, poichè 
essa risulta definita in un preciso istante
 per il quale il punto materiale viene ad occupare una 
determinata posizione
.


Si può dimostrare che la direzione della velocità media, al tendere dell’intervallo $\Delta t$ verso $0$, e conseguentemente all’avvicinarsi di $P_2$ a $P_1$, si assesta sulla retta tangente alla traiettoria del punto $P$: proprio per questo motivo 
la velocità istantanea, come vettore, è sempre tangente alla traiettoria
, e viene detta 
velocità tangenziale
. Questo significa che, in ogni istante, la velocità è diretta come la retta tangente alla traiettoria nella posizione che il punto occupa in quell’istante.

