La forza elastica: formula, definizione, esercizi - WeSchool


Un 
corpo rigido
 è un modello fisico atto a rappresentare i corpi reali. Esso è costituito da un insieme di 
punti materiali
, dotati di 
massa
 e occupanti una precisa 
posizione
, i quali, essendo il corpo appunto rigido, 
non possono spostarsi gli uni relativamente agli altri
: questo vuol dire che, in linea teorica, un corpo rigido 
non subisce alcuna deformazione
 se sottoposto a compressioni, allungamenti o torsioni.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Ma basta prendere un qualsiasi oggetto attorno a noi e provare a comprimerlo o allungarlo per accorgersi che, compiendo un certo sforzo, è possibile deformarlo. Il modello del corpo rigido, infatti, è un modello, cioè una semplificazione di quello che ci circonda, che adottiamo in fisica per spiegare i fenomeni in generale. Ad ogni modo, dopo aver deformato in qualche modo un corpo materiale, notiamo che, almeno in parte, 
il corpo tende a tornare alla forma originale
, senza che si debba applicare ulteriore forza. L’oggetto comune in cui si può notare meglio questo fenomeno è una 
molla
: una volta compressa o allungata, essa scatta, cercando di tornare alla lunghezza originale.


Se un corpo rigido ritorna alla conformazione precedente la sua deformazione, esso si dice 
corpo rigido elastico
; se invece le deformazioni sono irreversibili, si parla di 
corpo rigido plastico
.


La 
forza
 responsabile di questo “ritorno all’equilibrio” nei corpi elastici va sotto il nome di 
forza elastica
. La forza elastica è una forza che si manifesta sempre in opposizione ad uno spostamento o a una deformazione, e tende a riportare il punto materiale spostato, o la porzione di corpo solido deformata, alla sua posizione di principio.


Chiamiamo questa posizione originale 
posizione di equilibrio
: è la posizione in cui si trovano i punti materiali costituenti un corpo rigido quando esso è in equilibrio, ossia quando esso non ha subito alcuna deformazione. Ora immaginiamo di riuscire a spostare un punto dalla sua posizione di equilibrio: chiamiamo $ \vec{s} $ lo 
spostamento 
compiuto; spesso, soprattutto in riferimento con le molle, $\vec{s}$ prende il nome di elongazione. Esso costituisce una 
grandezza vettoriale
: è infatti identificato da una “freccia” che parte dalla posizione di equilibrio e raggiunge la posizione che il punto, soggetto allo spostamento, viene ad occupare.




La forza elastica si manifesta in presenza di uno spostamento dalla posizione di equilibrio, e cerca di far tornare il punto proprio là: è naturale quindi che la 
forza 
sia 
diretta come lo spostamento
, ma nel 
verso opposto
. Si verifica sperimentalmente che il modulo della forza elastica è 
direttamente proporzionale 
allo spostamento: la costante di proporzionalità fra queste due grandezze si chiama 
costante elastica
. Essendo un rapporto tra una forza (misurata in newton $\text{N}$ nel 
sistema internazionale
) ed uno spostamento (misurato in metri $\text{m}$), l’unità di misura della costante elastica è il 
newton al metro 
$\text{N} / \text{m}$. La verifica di questa legge, e la sua formulazione matematica, è dovuta a Robert Hooke, scienziato inglese della seconda metà del Seicento, da cui prende il nome: la 
legge di Hooke
 
infatti asserisce che la forza elastica è espressa dalla formula $$ \vec{F} = - k \vec{s}$$


Il moto descritto da un punto materiale soggetto ad una forza puramente elastica è un 
moto armonico
: il punto materiale, cioè, inizia a oscillare attorno alla sua posizione di equilibrio, senza mai fermarsi.




 


Questo fatto è dovuto alla 
conservazione dell’energia meccanica
. La forza elastica, infatti, è una 
forza conservativa
, e l’
energia potenziale elastica
 di un sistema caratterizzato da una costante elastica $k$ ed esposto ad una deformazione $\vec{s}$ può essere calcolata come l’opposto del 
lavoro
 
che è necessario compiere per spostare il sistema proprio in quella posizione. Data l’espressione del lavoro della forza elastica, l’energia potenziale elastica, a fronte di  uno spostamento di lunghezza $s$ dalla posizione di equilibrio, è data da $$\mathcal{U}_{\text{el.}} (s) = \frac{1}{2}k \ s^2$$


Proponiamo di seguito un semplice esercizio sulla forza elastica.


Esercizio


Un corpo è fissato all’estremità di una molla, disposta su un piano orizzontale, e oscilla con un’ampiezza massima di $s_{\small{\text{MAX}}} = 20 \text{ cm}$ alla frequenza $f = 2 \text{ Hz}$. L’energia meccanica totale $E_{\text{tot}}$ posseduta dal sistema è di $4 \text{ J}$, e viene conservata: eventuali attriti sono di entità irrilevante. Si richiede di calcolare: la costante elastica $k$ della molla; la massa $m$ del corpo; la velocità massima assunta dal corpo $v_{\small{\text{MAX}}}$




Svolgimento


Impostiamo il problema considerando un sistema di riferimento monodimensionale con origine posta nella posizione di equilibrio della molla, di modo che la coordinata $s$ misuri proprio l’elongazione. Sia $v$ la 
velocità
 del corpo ed $a$ la sua accelerazione, istante per istante.


Iniziamo con il determinare la costante elastica $k$ della molla. Per farlo, sfruttiamo la conservazione dell’energia meccanica: sappiamo che in ogni istante l’energia meccanica $E_{\text{tot.}}$ viene conservata; sappiamo altresì che essa è costituita dalla somma di 
energia cinetica
 $K = \frac{1}{2} m v^2$  ed energia potenziale, in questo caso solo elastica, $\mathcal{U}_{\text{el.}}(s) = \frac{1}{2} s^2$: avremo dunque che la quantità $E_{\text{tot.}} = K + \mathcal{U}_{\text{el.}}$ rimane sempre costante. Come sappiamo dalla trattazione del moto armonico, in corrispondenza di elongazione massima, ossia agli estremi dell’oscillazione, la velocità è nulla ($v= 0$); di conseguenza l’energia cinetica si annulla ($K = 0$), e l’energia meccanica è interamente costituita da energia potenziale elastica: avremo quindi che, nella posizione $s = s_0$ corrispondente alla massima elongazione, $$E_{\text{tot.}} = K(s_0) + \mathcal{U}_{\text{el.}}(s_0) = 0 + \frac{1}{2} k s_0^2$$Ricaviamo da questa formula l’espressione di $k$: $E_{\text{tot.}} = \frac{1}{2} k s_0^2$ $\Rightarrow k = \frac{2 \cdot E_{\text{tot.}}}{s_0^2}$. Sostituendo i dati in nostro possesso (e ricordandoci di convertire l’elongazione massima da $20\text{ cm.}$ in metri, ossia $2 \cdot 10^{-1} \text{ m}$), otteniamo $k =\frac{2 \cdot 4}{ \left(2 \cdot 10^{-1}\right)^2} = \frac{8}{4 \cdot 10^{-2}}$ $= 200 \text{ N} / \text{m}$.


Per quanto riguarda la massa, usiamo la 
legge fondamentale della dinamica
 $\vec{F} = m \vec{a}$ assieme alla legge di Hooke $\vec{F} = -k \vec{s}$. Uguagliando le espressioni della forza (poinchè l’unica forza cui è soggetto il corpo, nelle nostre ipotesi, è la forza elastica), otteniamo l’equazione$$ m a = - k s$$L’espressione dell’accelerazione è data dalla legge del moto armonico, secondo cui $a = -\omega^2 s$; noi però non disponiamo della pulsazione $\omega$, ma della frequenza $f$: queste due grandezze sono legate dalla relazione $\omega = 2 \pi \cdot f $. Sostituendo nell’equazione precedentemente trovata, ricaviamo che $m (- (2 \pi f)^2 s) = -k s$ $\Rightarrow \ m (2 \pi f)^2 = k $ $\Rightarrow \ m = \frac{k}{4 \pi^2 f^2}$. Sostituendo i dati in nostro possesso, otteniamo il valore numerico della massa: $m = \frac{200}{4 \cdot \pi^2 2^2} = \frac{200}{16 \pi^2} = \dots = 1.27 \text{ kg}$.
Infine, calcoliamo la velocità massima raggiunta dal corpo in movimento. Sappiamo, sempre dalle equazioni del moto armonico, che la velocità massima viene raggiunta quando la massa $m$ passa dalla posizione di equilibrio, posta in $s =0$. Essa vale, in modulo, $$ v_{\small{\text{MAX}}} = \omega s_0$$Sostituendo in questa equazione i valori a noi noti, ricordando che $\omega = 2 \pi f$, otteniamo il valore numerico della velocità massima raggiunta dal corpo: $v_{\small{\text{MAX}}} = \omega s_0 = 2\pi f \cdot s_0$ $ = 8 \pi 10^{-1} = 2.51 \text{ m} / \text{s}$.


Crediti immagine: Oleg Alexandrov, 
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simple_harmonic_oscillator.gif

