Equazione e formule della parabola - WeSchool


Tra le curve che possiamo ottenere come sezione conica troviamo la 
parabola
. Anche se queste curve possono essere “direzionate” in qualsiasi modo nel piano cartesiano, di solito quando le studiamo in Geometria Analitica consideriamo solamente le parabole 
con asse di simmetria parallelo a uno dei due assi cartesiani
.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Definizione


Prendiamo un punto $F$ e una retta $d$ nel piano, con $F \not \in d$. Il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza da $F$ e da $d$ è detto 
parabola
.
Il punto $F$ viene detto 
fuoco
 della parabola e la retta $d$ viene detta 
direttrice
 della parabola.


 


La definizione che abbiamo appena dato descrive una qualsiasi parabola nel piano, ma le parabole con asse di simmetria parallelo a uno degli assi cartesiani possono anche essere descritte con una equazione molto semplice:


se l’asse di simmetria è parallelo all’asse $y$, la direttrice è parallela all'asse $x$ e l’equazione della parabola è del tipo: $$y = ax^2 + bx + c, \qquad a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0;$$


se l’asse di simmetria è parallelo all’asse $x$, la direttrice è parallela all'asse $x$ e l’equazione della parabola è del tipo: $$x = ay^2 + by + c, \qquad a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0.$$


Le quantità $a, b, c$ descrivono algebricamente la parabola, e ne determinano anche le proprietà geometriche. A partire da esse, infatti, possiamo ricavare molte 
formule
 utili che ci permettono di studiare la parabola nel piano cartesiano. Suddivideremo la nostra analisi a seconda che l’asse di simmetria sia parallelo all’asse $x$ o all’asse $y$.


 


Parabola con asse di simmetria parallelo all’asse $y$


Ricordiamo che le parabole di questo tipo sono descritte da un’equazione del tipo: $$y = ax^2 + bx + c, \qquad a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0.$$A partire da questa equazione possiamo studiare alcune quantità notevoli.


Il parametro $a$, che è sempre diverso da zero, determina la concavità della parabola. In particolare, se $a > 0$ la parabola è rivolta verso l’alto, mentre se $a < 0$ la parabola è rivolta verso il basso.
Viene detto 
vertice
 della parabola il punto della parabola che ha ordinata minore o maggiore, a seconda che $a >0$ o $a<0$, rispettivamente. Conoscendo le coordinate $(x_V, y_V)$ del vertice $V$, l’equazione della parabola si può riscrivere anche come: $$y-y_V = a(x-x_V)^2, \quad a \neq 0$$


La quantità $\Delta = b^2 - 4ac$, che è il 
delta
 del trinomio di secondo grado $ax^2 +bx + c$, viene semplicemente detto 
delta della parabola
. A partire dal segno di $\Delta$ si possono scoprire quante sono le intersezioni della parabola con l’asse $x$:

se $\Delta > 0$, le intersezioni sono due;


se $\Delta = 0$, c’è una intersezione;


se $\Delta < 0$, non ci sono intersezioni.




Elenchiamo le formule più utili per lo studio di una parabola di questo tipo.


 


Coordinate del vertice:
 $$V \equiv \left ( -\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a} \right )$$


Coordinate del fuoco:
 $$F \equiv \left ( -\frac{b}{2a}, \frac{1-\Delta}{4a} \right )$$


Equazione della direttrice:
 $$d : \quad y = -\frac{1+\Delta}{4a}$$


Equazione dell’asse di simmetria:
 $$a: \quad x = -\frac{b}{2a}$$


 


Da quanto appena ottenuto possiamo ricavare facilmente che la 
distanza
 $\overline{FV}$ tra fuoco e vertice e che la distanza $\text{dist}(d, V)$ tra direttrice e vertice sono uguali e pari a$$ \overline{FV} = \text{dist}(d, V) = \frac{1}{4a}.$$


 


Tangenti a una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse $y$


Prendiamo una parabola di equazione $y = ax^2 + bx +c, a \neq 0$. Supponiamo di voler determinare le rette passanti per un punto $P \equiv (x_0, y_0)$ del piano che siano anche tangenti alla parabola data.


La procedura standard per risolvere questo problema prevede per prima cosa di mettere a sistema il 
fascio di rette
 passanti per $P$ con la parabola: $$\begin{cases} y = ax^2 + bx + c \\ y-y_0 = m(x-x_0) \end{cases}$$Successivamente, bisogna richiedere che questo sistema abbia una sola soluzione (che corrisponderà all’unico punto di intersezione tra la parabola e la retta): questa richiesta equivale ad imporre che l’equazione risolvente del 
sistema di secondo grado
 (che risulterà essere un’
equazione di secondo grado
) abbia delta uguale a zero.


Saltando i passaggi algebrici, possiamo affermare che questo problema si può ricondurre a trovare le soluzioni di questa equazione di secondo grado in $m$: $$\mathbf{m}^2 - 2(b+2ax_0)\mathbf{m} + \Delta + 4ay_0 = 0$$In sostanza, le (eventuali) soluzioni $m_1, m_2$ di questa equazione saranno proprio i coefficienti angolari delle rette tangenti alla parabola passanti per $P$.


Questa equazione di secondo grado in $m$ avrà un delta $\delta$ (da non confondere con $\Delta$, che è relativo alla parabola!): svolgendo i conti, otteniamo: $$\delta = 4a(ax_0^2 + bx_0 + c - y_0)$$Il segno di $\delta$ ci permetterà di capire se e quando esistono le soluzioni $m_1, m_2$.


Dato che $a \neq 0$, allora $\delta = 0 \Leftrightarrow y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c$, condizione che è verificata quando $P$ appartiene alla parabola. Quindi quando $P$ è sulla parabola c’è 
un’unica tangente alla parabola
 con coefficiente angolare $m$, in accordo con l’intuizione geometrica. Il valore di questo coefficiente $m$ è dato dalla formula: $$m = b + 2ax_0$$o alternativamente dalla formula: $$m = 2a(x_0 - x_V)$$dove $x_V = -\frac{b}{2a}$ è la ascissa del vertice $V$ della parabola.
Se inseriamo il valore di $m$ all’interno della formula $y-y_0 = m(x-x_0)$, otteniamo l’equazione della retta tangente $r$ a una parabola in un suo punto $P \equiv (x_0, y_0)$, che può anche essere riscritta con la 
formula di sdoppiamento
: $$r: \quad \frac{y+y_0}{2} = axx_0 + b\frac{x+x_0}{2} + c$$


Con ragionamenti algebrici su $\delta$, si può mostrare che $\delta > 0$ quando $P$ è all’esterno della parabola, sempre in accordo con l’intuizione geometrica. In questo caso abbiamo dunque 
due rette tangenti alla parabola
 con coefficienti angolari $m_1, m_2$ dati dalle formule:
##KATEX##\begin{aligned}m_1 & = b + 2ax_0 + 2\sqrt{a(ax_0^2 + bx_0 + c - y_0)} \\m_2 & = b + 2ax_0 - 2\sqrt{a(ax_0^2 + bx_0 + c - y_0)}\end{aligned}##KATEX##
o anche:
##KATEX##\begin{aligned}m_1 & = 2a(x_0 - x_V) + 2\sqrt{a(a(x_0 - x_V)^2 - (y_0 - y_V))} \\m_2 & = 2a(x_0 - x_V) - 2\sqrt{a(a(x_0 - x_V)^2 - (y_0 - y_V))}\end{aligned}##KATEX##
dove il vertice $V$ ha coordinate $(x_V, y_V)$.


Se il punto $P$ è invece interno alla parabola, non ci sono rette tangenti alla parabola data passanti per $P$.


 


Parabola con asse di simmetria parallelo all’asse $x$


Le parabole di questo tipo sono descritte da un’equazione del tipo: $$x = ay^2 + by + c, \qquad a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0.$$


Il parametro $a$, che è sempre diverso da zero, determina se la parabola è “rivolta verso destra” (se $a > 0$) o se è “rivolta verso sinistra” (se $a < 0$).
Viene detto 
vertice
 della parabola il punto della parabola che ha ascissa minore o maggiore, a seconda che $a >0$ o $a<0$, rispettivamente. Conoscendo le coordinate $(x_V, y_V)$ del vertice $V$, l’equazione della parabola si può riscrivere anche come: $$x-x_V = a(y-y_V)^2, \quad a \neq 0$$


La quantità $\Delta = b^2 - 4ac$, che è il delta del trinomio di secondo grado $ay^2 +by + c$, viene nuovamente detta 
delta della parabola
. A partire dal segno di $\Delta$ si possono scoprire quante sono le intersezioni della parabola con l’asse $y$:

se $\Delta > 0$, le intersezioni sono due;


se $\Delta = 0$, c’è una intersezione;


se $\Delta < 0$, non ci sono intersezioni.




Ecco le formule per lo studio di una parabola di questo tipo.


Coordinate del vertice:
 $$V \equiv \left ( -\frac{\Delta}{4a}, -\frac{b}{2a}\right )$$


Coordinate del fuoco:
 $$F \equiv \left ( \frac{1-\Delta}{4a}, -\frac{b}{2a} \right )$$


Equazione della direttrice:
 $$d : \quad x = -\frac{1+\Delta}{4a}$$


Equazione dell’asse di simmetria:
 $$a: \quad y = -\frac{b}{2a}$$


Anche in questo caso la 
distanza
 $\overline{FV}$ tra fuoco e vertice e la distanza $\text{dist}(d, V)$ tra direttrice e vertice sono uguali e pari a$$ \overline{FV} = \text{dist}(d, V) = \frac{1}{4a}$$


 


Tangenti a una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse $x$


Data una parabola di equazione $x = ay^2 + by +c, a \neq 0$, supponiamo di voler determinare le rette tangenti ad essa e passanti per un punto $P \equiv (x_0, y_0)$ del piano.
Analogamente a quanto abbiamo fatto per le tangenti ad una parabola con asse parallelo all’asse $x$, bisogna mettere a sistema il fascio di rette passanti per $P$ con la parabola e imporre che l’equazione risolvente abbia delta uguale a zero. Dopo alcuni (laboriosi) conti, si vede che questo problema si può ricondurre a trovare le soluzioni di questa equazione in $m$: $$(\Delta+4ax_0)\mathbf{m}^2 - 2(b+2ay_0)\mathbf{m} + 1 = 0$$Dobbiamo distinguere due casi.


Se $\Delta+4ax_0 = 0$, cioè quando $x_0 = -\frac{\Delta}{4a} = x_V$, questa equazione è di primo grado in $m$. Se supponiamo che $P$ non sia il vertice, svolgendo i conti otteniamo una sola soluzione: $$m = \frac{1}{2 ( b+2ay_0)} = \frac{1}{4a(y_0 - y_V)}$$Questo tuttavia non deve farci credere che ci sia una sola tangente alla parabola passante per $P$: infatti c’è anche la retta $r: x = x_V = -\frac{\Delta}{4a}$, che passa proprio per $P$ ed è tangente alla parabola nel vertice $V$.
Se invece $P \equiv V$, allora la tangente è effettivamente solo una ed è proprio la retta $r: x = x_0$.


Quando $x_0 \neq x_V$, l’equazione è di secondo grado in $m$. Le (eventuali) soluzioni $m_1, m_2$ di questa equazione saranno i coefficienti angolari delle rette tangenti alla parabola passanti per $P$.
Il delta $\delta$ dell’equazione è dato dall’espressione:$$\delta = 4a(ay_0^2 + by_0 + c - x_0).$$Il segno di $\delta$ ci permetterà di capire se e quando esistono le soluzioni $m_1, m_2$.

Si ha che $\delta = 0 \Leftrightarrow y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c$, condizione che è verificata quando $P$ appartiene alla parabola. Quindi quando $P$ è sulla parabola c’è 
un'unica tangente alla parabola
 con coefficiente angolare $m$.
Il valore di questo coefficiente $m$ è dato dalla formula: $$m = \frac{b + 2ay_0}{\Delta + 4ax_0}$$o alternativamente dalla formula: $$m = \frac{(y_0 - y_V)}{2(x_0-x_V)}$$


Si può mostrare che $\delta > 0$ quando $P$ è all’esterno della parabola. In questo caso abbiamo dunque 
due rette tangenti alla parabola
 con coefficienti angolari $m_1, m_2$ dati dalle formule:
##KATEX##\begin{aligned}m_1 & = \frac{1}{\Delta + 4ax_0} \cdot \left ( b + 2ay_0 + 2\sqrt{a(ay_0^2 + by_0 + c - x_0)} \right ) \\m_2 & = \frac{1}{\Delta + 4ax_0} \cdot \left ( b + 2ay_0 - 2\sqrt{a(ay_0^2 + by_0 + c - x_0)} \right )\end{aligned}##KATEX##
o anche:
##KATEX##\begin{aligned}m_1 & = \frac{1}{4a(x_0-x_V)} \cdot \left ( 2a(y_0 - y_V) + 2\sqrt{a(a(y_0 - y_V)^2 - (x_0 - x_V))} \right ) \\m_2 & = \frac{1}{4a(x_0-x_V)}\cdot \left ( 2a(y_0 - y_V) - 2\sqrt{a(a(y_0 - y_V)^2 - (x_0 - x_V))} \right )\end{aligned}##KATEX##


Se il punto $P$ è invece interno alla parabola, non ci sono rette tangenti alla parabola data passanti per $P$.





