Forza centrifuga, oscillatore armonico e pendolo: esercizi svolti - WeSchool


Di seguito sono presentati tre semplici esercizi, concernenti i moti del pendolo, armonico e circolare uniforme.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Calcolare la massa di un corpo sapendo che la forza centripeta che gli fa compiere $120$ giri al secondo su una traiettoria circolare di raggio $1 \text{ m}$ è pari a $30 \text{ N}$.
Innanzitutto è necessario rendersi conto che siamo in presenza di un 
moto circolare uniforme
. Data un’accelerazione centripeta $a_c$, in base alla 
seconda legge della dinamica
 la forza centripeta è $\vec{F} = m \vec{a}_c$. Sostituendo l’espressione dell’accelerazione centripeta, otteniamo $$ F = m \frac{v^2}{r} $$ in cui compaiono la velocità tangenziale $v$ e il raggio $r$ della circonferenza


Dalla formula precedente si ricava la massa $m$: $$ m = \frac{ F \cdot r }{ v^2 } $$


Possediamo la magnitudine della forza $F$, $30 \text{ N}$, e la misura del raggio $r$, $1 \text{ m}$, mentre non abbiamo la velocità tangenziale $v$: per calcolarla possiamo ricorrere alla frequenza: difatti, nel moto circolare uniforme, vale $v = 2 \pi\ r\ f$, dove la frequenza è misurata in Hertz, $\text{Hz}$, e indica i giri compiuti in un secondo.


Nel nostro caso, $f = 120 \text{ Hz}$. Otteniamo quindi la velocità tangenziale $$ v = 2 \cdot 3,14 \cdot 1 \cdot 120 \approx 754 \text{ m}/\text{s} $$


Infine, sostituiamo tutti i dati ottenuti nell’equazione che abbiamo trovato al punto 2. per la massa: $$ m = \frac{ 30 \cdot 1 }{ 754^2 } = \frac{ 30 }{ 568516 } \approx 0,0000528 \mbox{ kg}= 5,28 \cdot 10^{-5} \mbox{ kg} $$




Un corpo di massa pari a $m = 0,6 \text{ kg}$ è fissato a una molla (che possiamo considerare di massa irrilevante) di coefficiente elastico $k = 250 \text{ N}/\text{m}$. Calcola la frequenza con cui il corpo oscilla.

Siamo nel caso di un 
oscillatore armonico
, per il quale la 
frequenza 
$f$ è data dalla formula $$ f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}} $$


Basta allora sostituire i nostri dati per ottenere la soluzione: $$ f = \frac{1}{2 \cdot 3.14} \sqrt{ \frac{ 250 }{0.6} } = 3.25 \text{ Hz} $$




Due astronauti sperduti si trovano sulla superficie di un pianeta sconosciuto dove un pendolo di lunghezza $2$ metri oscilla con un periodo di $2$ secondi. Quanto vale l'accelerazione di gravità da quelle parti?

Il periodo $T$ delle (piccole) oscillazioni di un 
pendolo
 non dipende dalla loro ampiezza o dalla massa del pendolo stesso, ma dipende dalla sua lunghezza (indicata con $l$) e dall’accelerazione di gravità $\vec{g}$: vale infatti la formula $$ T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} } $$


Mediante semplici passaggi algebrici, esprimiamo, a partire dalla formula precedente, l’accelerazione $\vec{g}$: $ g = 4 \pi^2 \frac{l}{T^2}$


Infine sostituiamo i nostri dati nella formula appena ottenuta:$$ g = 4 \cdot (3.14)^2 \frac{2}{4} = 19.7 \text{ m} / \text{s}^2 $$





