Angoli complementari, supplementari, acuti, ottusi, retti - WeSchool


In questa lezione daremo le principali definizioni dei vari tipi di angolo e ne studieremo le proprietà da un punto di vista molto astratto. Lasceremo infatti a 
questa
 lezione il compito di associare a ogni angolo una grandezza numerica che ne misuri l’ampiezza (definendo quindi il concetto di radiante e di grado).





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Definizione


Consideriamo due 
semirette
 nel piano, che condividono la stessa origine. Prese insieme, queste due semirette dividono il piano in due parti. Oguna di queste due parti (semirette comprese) è chiamata 
angolo
.


Inoltre:


Le semirette si dicono 
lati
 dell’angolo;


L’origine delle semirette si dice 
vertice
 dell’angolo.


I punti di un angolo che non appartengono ai lati costituiscono l’
interno
 dell’angolo, mentre tutti gli altri punti (sempre esclusi quelli dei lati) si dicono 
esterni
.




Notazione
: di solito un angolo si indica con una lettera greca ($\alpha, \beta, \gamma \ldots$), una semiretta con una lettera minuscola dell’alfabeto latino ($a, b, c \ldots$) e un vertice con una lettera maiuscola dell’alfabeto latino ($O, A, B \ldots$).


 


Come abbiamo visto ogni volta che prendiamo in considerazione due semirette che hanno la stessa origine, stiamo di fatto osservando 
due 
angoli. Intuitivamente, possiamo dire che in generale questi angoli hanno ampiezze differenti, ma per il momento non abbiamo ancora definito cosa sia l’ampiezza (lo facciamo in 
questa lezione
). Aggiriamo dunque il problema in questo modo:


Definizione


Un angolo è 
concavo
 
se contiene al suo interno il prolungamento dei suoi lati, mentre un angolo sarà 
convesso
 se ciò non avviene.




Quindi, in generale, i due angoli determinati da due semirette aventi la stessa origine sono uno concavo e l’altro convesso. L’unica circostanza in cui questo non accade è quando le due semirette sono una il prolungamento dell’altra: in questo caso ciascuno dei due angoli viene chiamato 
angolo
 
piatto
, che è un angolo convesso.


Altri angoli interessanti sono dati dal “caso limite” in cui i lati sono sovrapposti. L’angolo concavo così determinato viene detto 
angolo
 
giro
, mentre l’altro si chiama 
angolo
 
nullo
 (così chiamato perchè privo di interno).




Definizione


Diciamo che un angolo $\alpha$ è 
minore
 di un angolo $\beta$ ($\alpha < \beta$) se $\alpha$ può essere interamente contenuto all’interno di $\beta$. Invece, diciamo che $\alpha$ è 
maggiore
 
di $\beta$ ($\alpha > \beta$) quando questo non è possibile.


 


Definizione


Si chiama 
bisettrice
 
di un angolo
 la semiretta che ha come origine il vertice dell’angolo, che divide l’angolo in due parti congruenti. 




È possibile dimostrare che la bisettrice di un angolo è unica: motivo per cui diciamo “la bisettrice” e non “una bisettrice”.
Se consideriamo un angolo 
piatto
 e ne costruiamo la bisettrice, ciascuno degli angoli congruenti che si vengono a formare viene chiamato 
angolo retto
. L’importanza di questo angolo è tale da renderlo uno “spartiacque” all’interno della caratterizzazione degli angoli:


 


Definizione


Un angolo minore di un angolo retto viene detto 
acuto
, mentre un angolo maggiore di un angolo retto ma minore o uguale di un angolo piatto viene detto 
ottuso
. 




 


Definizione


Due angoli $\alpha$ e $\beta$ di un piano si dicono 
consecutivi
 se hanno lo stesso vertice e hanno in comune solamente i punti di un lato.
I lati che $\alpha$ e $\beta$ non hanno in comune formano, a loro volta, due angoli. Di questi due angoli, quello che contiene il lato comune a $\alpha$ e $\beta$ si dice
 somma
 di $\alpha$ e $\beta$.
Due angoli consecutivi si dicono 
adiacenti
 se i lati che non hanno in comune sono uno sul prolungamento dell’altro.




Dati due angoli $\alpha$ e $\beta$, diremo che:


$\alpha$ e $\beta$ sono 
complementari
 
se $\alpha + \beta$ è un angolo retto;


$\alpha$ e $\beta$ sono 
supplementari
 
se $\alpha + \beta$ è un angolo piatto;


$\alpha$ e $\beta$ sono 
esplementari
 
se $\alpha + \beta$ è un angolo giro.


Notiamo che due angoli adiacenti sono sempre supplementari.


 


Definizione


Due angoli convessi si dicono 
opposti
 
al vertice
 se ciascun lato dell’uno è il prolungamento di un lato dell’altro.  




Concludiamo con un risultato di fondamentale importanza nella risoluzione di molti problemi di geometria euclidea:


 


TEOREMA: 
Due angoli opposti al vertice sono congruenti.


Dimostrazione
. Consideriamo gli angoli $\alpha$ e $\beta$ nella precedente figura. Entrambi sono supplementari dello stesso angolo $\gamma$, dato che i lati di un angolo sono i prolungamenti dei lati dell’altro. Di conseguenza non può che essere $\alpha \cong \beta$.
La dimostrazione del fatto che $\gamma \cong \delta$ è del tutto analoga.


 


Revisione scientifica a cura di 
Marco Guglielmino

