Asintoto obliquo - WeSchool


Una 
funzione
 $f(x)$ che ha un 
dominio
 non limitato
 e che tende a infinito per $x \to \infty$, può avere asintoti obliqui.





















Videolezione "Punti estremanti di una funzione: massimo e minimo, assoluto e relativo"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
Un 
asintoto obliquo
 è una retta obliqua (cioè, non orizzontale né verticale) a cui il grafico della funzione si avvicina sempre di più quando $x \rightarrow \infty$, come ad esempio nella figura sottostante:




Gli asintoti obliqui non esistono sempre:


se la funzione ha un insieme di definizione limitato non ha asintoti obliqui perchè $f(x)$ non è definita per $x \rightarrow \infty$;


se $f(x)$ è periodica (come il seno o il coseno) non ha asintoti obliqui;


se $f(x)$ ha asintoti orizzontali non ha asintoti obliqui;


se risulta $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty $ non è comunque detto che la funzione abbia un asintoto obliquo, perchè non è detto che il suo grafico si avvicini sempre di più a una retta.


Come si fa quindi a riconoscere 
quando esiste un asintoto obliquo
 e a 
calcolarne l'equazione
? Abbiamo bisogno di qualche definizione più precisa.


Una 
retta
 di equazione $y=mx+q$ con $m \neq 0$ è un asintoto obliquo per il grafico della funzione $f(x)$ se


$$ \boxed { \lim_{x \to \infty} \left| f(x) - (mx+q) \right| = 0 } $$


ossia se la differenza tra il valore di $f(x)$ e la corrispondente ordinata sulla retta $y=mx+q$ si annulla al tendere di $x$ verso l’infinito: questo significa che, nel piano cartesiano, il grafico della funzione $f$ e la retta rappresentata dall’equazione $ y = mx + q$ si avvicinano sempre più al tendere di $x$ all’infinito.


Supponiamo adesso che la funzione $f(x)$ che stiamo studiando ammetta un asintoto obliquo e vediamo come calcolarne il coefficiente angolare $m$ e l’intercetta $q$.


Osserviamo che se $ \lim_{x \to \infty} |f(x)-(mx+q)| = 0 $, allora vale anche (per l’
algebra dei limiti
): $$ \lim_{x \to \infty} \frac {|f(x)-mx-q|}{x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to \infty} \left|\frac{f(x)}{x} - m - \frac{q}{x}\right| = 0 $$


E dato che $ \lim_{x \to \infty} m=m$ e $\lim_{x \to \infty} \dfrac {q} {x} = 0$, deve valere anche


$$ \lim_{x \to \infty} \frac {f(x)} {x} - m =0 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to \infty} \frac {f(x)} {x}= m$$


Quindi l’esistenza del limite finito $\lim_{x\to\infty} \dfrac {f(x)} {x} =m$ ci permette di calcolare il 
coefficiente angolare
 $m$ dell'asintoto.


Per trovare l’
intercetta
 $q$ riprendiamo il limite iniziale e vediamo che:


$$ \lim_{x \to \infty} (f(x)-mx-q) = 0 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to \infty} (f(x) -mx) = q$$


Quindi 
se la funzione
 $f(x)$ 
ha un asintoto obliquo
, i coefficienti $m$ e $q$ si trovano calcolando i due limiti:


$$ \boxed{\displaystyle{ m= \lim_{x \to \infty} \frac {f(x)} {x} }} \quad \quad \boxed{\displaystyle{ q= \lim_{x \to \infty} f(x) -mx} }$$


 


Viceversa se vogliamo 
verificare che
 $f(x)$ 
ha un asintoto obliquo
, dobbiamo fare diversi controlli:


Prima di tutto deve valere $$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty $$.


Quindi dobbiamo calcolare $\lim_{x \to \infty} \frac {f(x)} {x} $. 
Se questo limite esiste finito e non nullo
 allora abbiamo il coefficente angolare del possibile asintoto: $$ m = \lim_{x \to \infty} \frac {f(x)} {x} $$


Infine dobbiamo calcolare $\lim_{x \to \infty} f(x) -mx$. 
Se anche questo limite esiste finito
, allora l'asintoto esiste ed è dato dalla retta $y=mx+q$ con $$q= \lim_{x \to \infty} f(x) -mx$$.


Se quanto abbiamo detto vale solo per $x \to - \infty$ si parla di asintoto obliquo sinistro, se invece vale solo per $x \to + \infty$ si parla di asintoto obliquo destro.

