Primitive e integrali indefiniti: definizione e spiegazione - WeSchool


L'integrazione è il problema inverso della 
derivazione
: ci si chiede se data una funzione $f(x)$ esiste qualche altra funzione la cui derivata è proprio $f$. Se questa funzione esiste, essa viene detta 
primitiva
 di $f$.





















Videolezione "Calcolo integrale: area sottesa al grafico di una funzione"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
 


Più precisamente, consideriamo una funzione $f (x)$ definita su un intervallo $I$. 
Una primitiva di 
$f$ su $I$ 
è una funzione 
$F$, 
derivabile in 
$I$ 
e tale che 
$$F'(x) = f(x) \quad \forall x \in I$$ 
L’uguaglianza deve valere per ogni punto dell’intervallo $I$. Al contrario di quanto si fa con le derivate, infatti, non ha senso parlare di primitiva di una funzione in un punto: si parla solo di primitiva in un insieme.


Facciamo un primo esempio. Se prendiamo $f(x) = \cos (x)$ possiamo dire che $F(x)=\sin (x)$ è una sua primitiva su tutto $\mathbb R$, infatti $F'(x) = \cos (x) = f(x)$ per ogni $x$ reale.


Osserviamo subito che anche $G(x)= \sin (x) + 1$ è una primitiva di $f(x)$. Infatti $G'(x) = f(x)$ perchè 
la derivata 
di una costante è nulla. 
Più in generale possiamo dire che 
se 
$F(x)$ 
è una primitiva di 
$f(x)$ 
allora lo sono anche tutte le funzioni del tipo 
$F(x) + C$, con $C \in \mathbb R$ generica costante, quindi 
esistono infinite primitive di una data funzione
.


L’insieme delle funzioni $F(x) + C$, con $C \in \mathbb R$, quindi rappresenta tutte e sole le funzioni la cui derivata è $f(x)$ e prende il nome di 
integrale indefinito
 di $f$ e si rappresenta con il seguente simbolo:


$$ \int f(x) \, dx $$


L’espressione precedente si legge “integrale di $f(x)$ in $dx$”, mentre $f$ è detta 
funzione integranda
.


Abbiamo che, per definizione:


$$ \int f(x) \, dx=F(x)+C \quad \Leftrightarrow \quad F'(x)=f(x).$$


Gli integrali indefiniti hanno diverse proprietà che derivano dal fatto che la derivata è un operatore lineare, ovvero che $D [ c_1 \cdot f_1(x) + c_2 \cdot f_2(x) ] = c_1 \cdot f_{1}'(x) + c_2 \cdot f_{2}'(x)$
Ciò si riflette sugli integrali indefiniti nelle seguenti proprietà:


L’integrale del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto fra la costante e l’integrale della funzione. Una costante moltiplicativa $ k \in \mathbb R$ si può quindi portare dentro o fuori il segno di integrale: $$ \int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx $$


L'integrale della somma di due o più funzioni è uguale alla somma degli integrali di ogni funzione: $$ \int \left[ f_1(x) + f_2(x) \right] \, dx = \int f_1(x) \, dx \, + \int f_2(x) \, dx$$


Mettendo insieme le due proprietà precedenti vediamo che 
l'integrale indefinito è un operatore lineare
, cioè l'integrale di una combinazione lineare di funzioni è la combinazione lineare dei loro integrali: per ogni $k_1$ e $k_2$ costanti reali e per ogni funzione $f_1$ ed $f_2$ vale $$\int \left[ k_1 \cdot f_1 (x) + k_2 \cdot f_2 (x) \right] \ dx = k_1 \int f_1 (x) \ dx + k_2 \int f_2 \ dx $$


La linearità dell'integrale indefinito permette di 
integrare i polimoni 
in maniera molto veloce. Vediamo un esempio. Prendiamo


$$ f(x) = 10 x^4 + 4 x^3 + 5 x^2 +3 $$


Grazie alla linearità possiamo scomporre l'integrale indefinito di $f$ in quattro diversi integrali: $$ \int f(x) \,dx = \int \left[ 10 x^4 + 4 x^3 + 5 x^2 +3 \right] \,dx = 10 \int x^4 \,dx \, + \, 4 \int x^3 \,dx \,+\, 5 \int x^2 \,dx + 3 \int \,dx$$ 
Calcoliamo adesso i quattro integrali singolarmente, ricordandoci l'espressione generale della 
derivata di una potenza
 di $x$: $$ D(x^ {\alpha+1}) = (\alpha+1) x^\alpha$$ Da questa espressione possiamo ricavare la regola per calcolare 
l'integrale indefinito di una potenza
 di $x$:


$$ \boxed{\displaystyle{ \int x^\alpha dx = \frac{x^ {\alpha+1}}{\alpha+1} + C}} $$


Bisogna fare attenzione che, siccome compere al denominatore, l’esponente $\alpha$ sia diverso da $-1$; la formula appena descritta è quindi valida solo per $\alpha \neq -1$. Vedremo in seguito come trattare questo caso particolare.


Tornando al nostro esempio, e ricordando che $C$ rappresenta una generica costante, avremo:


$$ 10 \int x^4 \,dx = 10 \cdot \left[\frac {x^5}{5} + C\right] = 2 x^5 + C_1 $$
$$ 4 \int x^3 \,dx = 4 \cdot \left[\frac {x^4}{4} +C\right] = x^4 + C_2 $$


$$ 5 \int x^2 \,dx = 5 \cdot \left[\frac {x^3}{3} +C \right] = \frac {5}{3} x^3+C_3 $$


$$ 3 \int \,dx = 3 \int x^0 \,dx = 3 \cdot \left[\frac {x^1}{1} +C \right] = 3x + C_4 $$


Sommando i 4 termini (e indicando con $C$ la somma di tutte le generiche costanti) otteniamo l'integrale del polinomio $ f $ :


$$ \int f(x) \,dx = \int \left[ 10 x^4 + 4 x^3 + 5 x^2 +3 \right] \,dx = 2 x^5 + x^4 +\frac{5}{3} x^3+ 3x + C$$


 

