Quando il limite non esiste: esempi - WeSchool


Il 
limite
 di una funzione
 $f(x)$ sembra rappresentare un concetto tutto sommato piuttosto semplice: il valore al quale $f(x)$ si avvicina quando $x$ viene scelta sempre più prossima a uno specifico numero $x_0$. Una nozione tanto intuitiva da indurre facilmente a darne per scontata l’esistenza.





















Videolezione "Limiti all'infinito di funzioni e asintoti: spiegazione ed esempi"

























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Tuttavia la complessità del concetto, che si riflette nella macchinosa definizione formale, apre la strada a situazioni in qualche modo più “patologiche”. La domanda che ci poniamo è: può una funzione non avere limite per un certo valore?


La risposta non solo è affermativa ma ci sono almeno due modi in cui questo può accadere.


Innanzitutto il limite da destra e da sinistra possono esistere se considerati per conto proprio, ma assumere valori diversi. Per fare un esempio consideriamo la funzione $$ f(x) = \frac{|x|}{x} $$ e proviamo a individuare il suo limite per $x$ che tende a $0$. Quando $x$ è strettamente positivo ($x>0$) sappiamo che il valore assoluto di un numero coincide con il numero stesso: $|x|=x$ quindi $\displaystyle{ f(x)=\frac{\rlap{/}x}{\rlap{/}x} = 1} $. Al contrario quando $x<0$ il valore assoluto coincide con l’opposto: $|x|=-x$ da cui $\displaystyle{ f(x)=\frac{-\rlap{/}x}{\rlap{/}x} = -1}$. A destra dell’origine perciò la funzione è costantemente uguale a $1$, mentre a sinistra vale sempre $-1$, e di conseguenza $$\lim_{x\to0^+}f(x)=+1 \qquad \qquad \lim_{x\to0^-}f(x)=-1$$ La situazione è rappresentata in figura:


 




Il limite, se esiste, è unico
: essendo i 
limiti destro e sinistro
 differenti, dobbiamo dunque concludere che la funzione $f$ non ammette limite per $x \to 0$. In sostanza ogni intervallo che contiene il punto $x=0$ viene “sparato” dalla funzione un po’ di sopra ($+1$) e un po’ di sotto ($-1$). Non esiste quindi un unico numero $y$ che “attira” le immagini dei valori di $x$ quando ci avviciniamo a $x=0$.


Ci sono però situazioni più strane ancora in cui il limite non esiste nemmeno a sinistra o a destra. E’ il caso della funzione $$ g(x) = \sin \left ( \frac{1}{x} \right ) $$ qui rappresentata:




Man mano che $x$ si avvicina a zero, $\frac{1}{x}$ cresce sempre di più. Il seno di un numero sempre più grande, però, non si assesta su alcun valore definito ma si limita a oscillare in modo forsennato. In questo caso quindi i candidati al ruolo di limite tra cui essere indecisi sono addirittura infiniti (tutti quelli compresi tra $-1$ e $1$), sia che ci si avvicini a zero da destra sia che lo si faccia da sinistra. A maggior ragione di quanto non succedesse con la funzione a scalino, quindi, anche in questo caso possiamo dire che il limite di $g(x)$ per $x \to 0$ non esiste.

