Maturità 2015: soluzione del Problema 1 - WeSchool


Problema


 


Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all’estero, un canone fisso di $10$ euro al mese, più $10$ centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con $x$ i minuti di conversazione effettuati in un mese, con $f(x)$ la spesa totale nel mese e con $g(x)$ il costo medio al minuto:





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
1. individua l’espressione analitica delle funzioni $f(x)$ e $g(x)$ e rappresentale analiticamente; verifica che la funzione $g(x)$ non ha né massimi né minimi relativi e dai la tua interpretazione dell’andamento delle tue funzioni alla luce della situazione concreta che esse rappresentano.


2. Detto $x_0$ il numero di minuti di conversazione già effettuati nel mese corrente, determina $x_1$ tale che: $$g(x_1) = \frac{g(x_0)}{2} $$Traccia il grafico della funzione che esprime $x_1$ in funzione di $x_0$ e discuti il suo andamento. Che significato ha il suo asintoto verticale?


Sul sito web l’operatore telefonico ha pubblicato una mappa che rappresenta la copertura del segnale telefonico nella zona di tuo interesse:




La zona è delimitata dalla curva passante per i punti $A$, $B$ e $C$, dagli assi $x$ e $y$, e dalla retta di equazione $x=6$; la porzione etichettata con la “Z”, rappresenta un’area non coperta dal segnale telefonico dell’operatore in questione.


3. Rappresenta il margine superiore della zona con una funzione polinomiale di secondo grado, verificando che il suo grafico passi per i tre punti $A$, $B$ e $C$. Sul sito web dell’operatore compare la seguente affermazione: “
Nella zona rappresentata nella mappa risulta coperto dal segnale il 
$96 \%$ 
del territorio
”; verifica se effettivamente è così.


L’operatore di telefonia modifica il piano tariffario, inserendo un sovrapprezzo di $10$ centesimi per ogni minuto di conversazione successivo ai primi $500$ minuti.


4. Determina come cambiano, di conseguenza, le caratteristiche delle funzioni $f(x)$ e $g(x)$, riguardo agli asintoti, alla monotonia, continuità e derivabilità, individua eventuali massimi e minimi assoluti della funzione $g(x)$ e della sua derivata e spiegane il significato nella situazione concreta.


 


Soluzione


La 
funzione
 $f(x)$ può essere espressa in questo modo: $$f(x) = 10 + \frac{1}{10}x$$Infatti, ogni mese c’è un costo fisso di $10$ euro al quale dobbiamo aggiungere $10$ centesimi (cioè $\frac{1}{10}$ di euro) per ogni minuto di conversazione. Eccone la rappresentazione grafica:
La funzione $g(x)$, invece, si può esprimere come il rapporto tra il costo sostenuto (che è $f(x)$) e i minuti di conversazione effettuati (pari a $x$): $$g(x) = \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{10} + \frac{10}{x}$$In figura vediamo la rappresentazione grafica di $g(x)$:
Il grafico di $g(x)$ è un’
iperbole
 equilatera traslata con 
asintoto
 orizzontale $r: \ y = \frac{1}{10}$ e asintoto verticale $s: \ x = 0$: di conseguenza $g(x)$ non ammette 
massimi o minimi
 per $x > 0$ dato che essa è una funzione monotona decrescente.
Si può vedere come la funzione $f(x)$, che rappresenta la spesa effettivamente sostenuta, cresca in modo lineare con i minuti di conversazione effettuati; la spesa media invece, rappresentata dalla funzione $g(x)$, diminuisce molto rapidamente all’aumentare dei minuti di conversazione ma sarà sempre maggiore di $10$ centesimi di euro, valore su cui si attesta per $x \to +\infty$.


Sostituendo l’espressione analitica di $g(x)$ ottenuta al punto 1 nell’equazione presentata nel testo, si ottiene l’uguaglianza $$\frac{1}{10} + \frac{10}{x_1} = \frac{1}{2} \cdot \left ( \frac{1}{10} + \frac{10}{x_0} \right )$$Per ottenere $x_1$ in funzione di $x_0$, dobbiamo esplicitare $x_1$ a partire da questa relazione. Riportiamo i passaggi qui di seguito: ##KATEX##\begin{aligned} \frac{1}{10} + \frac{10}{x_1} & = \frac{1}{2} \cdot \left ( \frac{1}{10} + \frac{10}{x_0} \right ) \\ \frac{10}{x_1} & = \frac{1}{2} \cdot \left ( \frac{1}{10} + \frac{10}{x_0} \right ) - \frac{1}{10} \\ \frac{10}{x_1} & = -\frac{1}{20} + \frac{5}{x_0} \\ \frac{10}{x_1} & = \frac{-x_0+100}{20x_0} \\ \frac{x_1}{10} & = \frac{20x_0}{100-x_0} \\ x_1 & = 200 \frac{x_0}{100-x_0} \end{aligned}##KATEX##La funzione $h(x) := 200 \frac{x}{100-x}$ è una funzione omografica, e dunque il suo grafico è quello di una iperbole equilatera traslata:
Notiamo che il grafico passa dall’origine degli assi e ha un asintoto verticale $t: \ x = 100$.
Possiamo interpretare la funzione $h(x)$ in questo modo: se supponiamo di aver effettuato $x$ minuti di conversazione, allora effettuandone $h(x)$ in totale dimezzeremo la spesa media che avremmo dovuto sostenere effettuandone solo $x$. Mano a mano che $x$ si avvicina a $100$, $h(x)$ tende all’infinito: questo significa che sarà sempre più complicato dimezzare i costi medi delle chiamate se i minuti di conversazione si avvicinano a $100$; per $x \geq 100$ sarà invece impossibile dimezzarli.


La forma generale di una funzione polinomiale di secondo grado è la seguente: $$p(x) = ax^2 + bx + c$$Imponendo il passaggio per i punti $A \equiv (0, 2)$, $B \equiv \left (2, \frac{7}{2} \right )$, $C \equiv (4, 4)$, otteniamo il seguente 
sistema lineare
 di tre equazioni in tre incognite: $$ \begin{cases} 2 = c \\ \frac{7}{2} = 4a + 2b + c \\ 4 = 16a + 4b + c \end{cases} $$Possiamo sostituire direttamente la prima equazione nelle altre due, ottenendo il sistema $$\begin{cases} 4a + 2b = \frac{3}{2} \\ 16a + 4b = 2 \end{cases}$$Con il 
metodo di eliminazione
 (sottraendo due volte la prima equazione dalla seconda) otteniamo $a = -\frac{1}{8}$, $b=1$, $c=2$ e quindi$$p(x) = -\frac{1}{8}x^2 + x + 2$$La zona coperta dall’operatore telefonico è pari all’area sottesa dal grafico di $p(x)$ nell’intervallo $[0, 6]$ meno l’area del triangolino contrassegnato da “Z”. Come si evince dalla figura, “Z” è un 
triangolo rettangolo
 isoscele con lato obliquo lungo $1$; dunque la sua area è $$A_Z = \frac{1 \cdot 1}{2} = \frac{1}{2}$$L’area sottesa dal grafico di $p(x)$ nell’intervallo che stiamo considerando si può calcolare con un 
integrale definito
: $$I = \int_0^6 p(x) dx= \int_0^6 \left ( - \frac{1}{8}x^2 + x +2 \right )dx = \left | -\frac{1}{8} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2 x \right |^6_0 = 21$$Facendo il rapporto tra le aree, otteniamo che $$\frac{A_Z}{I} = \frac{0,5}{21} \approx 0,02381$$e dunque l’area di “Z” è il $2,381 \%$ di $I$. La copertura del territorio, quindi, non è del $96 \%$, ma del $97,619 \%$: l’affermazione fornita dal gestore telefonico è errata.


Prima di $x=500$, le funzioni $f(x)$ e $g(x)$ non cambiano nel loro andamento. Dopo $x=500$, ad $f(x)$ va aggiunto un termine che tiene conto della maggiorazione del prezzo pari a $10$ centesimi per ogni minuto di conversazione successivo al cinquecentesimo. La nuova espressione di $f(x)$ è dunque $$f(x) = \begin{cases} 10 + \frac{1}{10}x & \text{ se }0 < x \leq 500 \\ 10 + \frac{1}{10}x + \frac{1}{10}(x - 500) & \text{ se }x > 500 \end{cases}$$
Di conseguenza l’espressione di $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ sarà $$g(x) = \begin{cases} \frac{10}{x} + \frac{1}{10} & \text{ se }0 < x \leq 500 \\ \frac{10}{x} + \frac{1}{10} + \frac{x - 500}{10x} & \text{ se }x > 500 \end{cases}$$Riarrangiando l’espressione di $g(x)$, otteniamo una forma più comoda per i calcoli: $$g(x) = \begin{cases} \frac{10}{x} + \frac{1}{10} & \text{ se } 0 < x \leq 500 \\ \frac{1}{5} - \frac{40}{x} & \text{ se }x > 500 \end{cases}$$
La nuova funzione $f(x)$ risulta comunque 
continua
: l’unica eventuale 
discontinuità
 potrebbe occorrere per $x=500$ (altrove la funzione si comporta come una 
retta
, che è continua) ma si verifica che $$\lim_{x \to 500^-} f(x) = 60 = \lim_{x \to 500^+} f(x).$$Anche $g(x)$ è continua: infatti $$\lim_{x \to 500^-} g(x) = \frac{6}{50} = \lim_{x \to 500^+} g(x).$$Studiamo ora la derivabilità. La funzione $f(x)$ non può essere derivabile in $x=500$ dato che le rette che la costituiscono hanno 
coefficiente angolare
 diverso e si “incollano male” in tale punto (uno vale $\frac{1}{10}$, l’altro è $\frac{1}{5}$). La funzione $g(x)$ è invece costituita da due tratti di iperboli equilatere traslate: la prima, $ \frac{10}{x} + \frac{1}{10}$, è una curva sempre decrescente nell’intervallo $(0, +\infty)$; la seconda, $\frac{1}{5} - \frac{40}{x}$ è invece sempre crescente nel medesimo intervallo. Ne segue che la 
derivata
 della prima sarà sempre negativa e la derivata della seconda sarà sempre positiva: derivata sinistra  e derivata destra di $g(x)$ in $x=500$, avendo segno opposto, non potranno 
mai
 essere uguali. Quindi la funzione $g(x)$ non sarà derivabile in $x=500$. In ogni caso $g(x)$ ha minimo assoluto in $x=500$: $g(x)$ è continua, prima di tale valore la funzione è strettamente decrescente e dopo è strettamente crescente.
Notiamo inoltre che $g(x)$ presenta un asintoto orizzontale $k: \ y = \frac{1}{5}$ e un asintoto verticale $l: \ x = 0$.
La derivata di $g(x)$ è definita a tratti, non definita in $x = 500$, e ha questa espressione analitica: $$g’(x) = \begin{cases} -\frac{10}{x^2} & \text{ se } 0 < x < 500 \\ \frac{40}{x^2} & \text{ se }x > 500 \end{cases}$$La funzione $g’(x)$ non è continua in $x=500$ e anzi presenta una 
discontinuità di prima specie
, e non ammette massimi o minimi assoluti.
Presentando $g(x)$ un minimo assoluto in $x = 500$ il costo medio mensile sarà minimo se verranno effettuati esattamente $500$ minuti di chiamate.



