Il saggio marginale di sostituzione in microeconomia - WeSchool


Il 
saggio marginale di sostituzione
 è una 
frazione
 che esprime uno dei concetti più importanti dell'
analisi microeconomica
. 





















Videolezione "Creare una start up: alcuni consigli"

























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La 
microeconomia
 è la branca dell'economia che 
analizza "da vicino" le dinamiche di un sistema economico
. Cosa significa 
da vicino
? Significa che mentre la 
macroeconomia
 studia i 
grandi aggregati
, ad esempio l'evoluzione del PIL, dell'investimento, del consumo e del debito pubblico, la 
microeconomia
 cerca di spiegare il 
comportamento dei singoli agenti economici 
come le imprese o i consumatori. 


Per comprendere in che modo il benessere di un agente economico cambia al variare delle sue scelte o dell'ambiente in cui opera bisogna poter 
quantificare
, almeno parzialmente, questo benessere. Per questo motivo i microeconomisti fanno riferimento alla 
funzione di utilità
, che è una 
relazione matematica
 che lega l'
utilità di un agente
 ad una serie di 
variabili
 che si ipotizza la influenzino. 


Per esempio, se vogliamo modellare l'
utilità
 che un consumatore ricava dall'acquisto di 
un bene
 $\text{x}$, possiamo ipotizzare una funzione di utilità con la seguente forma:$$ U_i(x) = [V - p] \ x $$dove $U_i(x)$ è l'
utilità
 che l'agente $i$ ricava dal consumo di $x$ unità del bene $\text{x}$, $V$ è il 
valore 
che un'unità del bene $\text{x}$ ha per il consumatore, $p$ è il 
prezzo 
di un'unità del bene $\text{x}$ ed $x$ è appunto la 
quantità acquistata 
del bene in questione. 


Ovviamente, a seconda della complessità della situazione che vogliamo analizzare, la nostra funzione di utilità 
può diventare molto più complessa 
ed articolata, ad esempio può 
dipendere da due variabili
 o più, può dipendere da queste variabili in maniera lineare o non lineare et cetera. 


Consideriamo una 
funzione di utilità a due variabili
: in altre parole, il consumatore deve scegliere se consumare il bene $\text{x}$ o il bene $\text{y}$. 


Abbiamo quindi una funzione di utilità del tipo$$ U_i (x,y) $$Per semplicità per il momento 
non includiamo il prezzo
 nella nostra analisi, lo introdurremo in seguito: quello che ci interessa capire, ora, è come misurare se il consumatore $i$ 
preferisca
 il bene $\text{x}$ al bene $\text{y}$. 


Ipotizziamo che il consumatore $i$ disponga nello stesso momento di una certa quantità del bene $\text{x}$ e di una certa quantità del bene $\text{y}$: la sua utilità è data da $U_i(x, y)$. Se il consumatore disponesse di 
un'unità in meno del bene 
$\text{x}$, 
di quante unità dovrebbe aumentare il bene 
$\text{y}$ 
per garantire a i lo stesso livello di utilità di cui godeva in precedenza
? Il 
saggio marginale di sostituzione 
serve proprio a questo: esprime la 
quantità di bene 
$text{y}$ che il consumatore $i$ deve 
ricevere 
quando 
rinuncia ad un'unità di bene 
$\text{x}$ affinché la sua 
utilità totale rimanga costante
. 


Per scoprire quanto deve aumentare $\text{y}$ per compensare la diminuzione di un'unità di $\text{x}$ e mantenere quindi invariata l'utilità dell'agente, dobbiamo prima andare a vedere come si modifica l'utilità totale al variare di $\text{x}$. Possiamo farlo facilmente, basta calcolare la 
derivata
 di $U(x, y)$ rispetto a $x$, vale a dire$$ \frac{d U(x,y)}{dx} = \frac{\partial U(x,y)}{\partial x} \frac{d x}{d x} + \frac{\partial U(x,y)}{\partial y} \frac{d y}{d x} $$ $ \dfrac{\partial U(x,y)}{\partial x} $ è l'
utilità marginale
 
del bene 
$\text{x}$, cioè l'
utilità addizionale
 che l'agente ricava dal 
consumo di un'unità in più del bene 
$\text{x}$. Possiamo indicare questa frazione con la sigla $MU_x$, dall'inglese "
marginal
 utility
". 


Allo stesso modo, $ \dfrac{\partial U(x,y)}{\partial y} $ è l'
utilità marginale del bene 
$\text{y}$, cioè l'utilità addizionale che l'agente ricava dal consumo di un'unità in più del bene $\text{y}$. Indichiamo questa frazione con la sigla $MU_y$. 


$dx$ è l’
incremento del bene 
$\text{x}$, e $\frac{dx}{dx}$ ovviamente è uguale a $1$. $\frac{d y }{dx}$ è il 
rapporto
 tra l’
incremento del bene 
$\text{y}$ e l’
incremento del bene 
$\text{x}$. 


Tenendo conto di tutto ciò che abbiamo detto finora, possiamo riscrivere l'equazione sopra riportata come segue:$$ \frac{d U(x,y)}{dx} = MU_x + MU_y \frac{dy}{dx} $$In precedenza abbiamo detto che il 
saggio marginale di sostituzione 
esprime quanto bene $\text{y}$ il consumatore deve ottenere per mantenere la sua utilità costante in seguito alla perdita di un'unità di bene $\text{x}$. Se l'utilità rimane 
costante
, anche la 
funzione di utilità 
deve essere 
costante
: matematicamente, questo equivale a dire che la 
derivata totale
 di 
$U(x, y)$ 
rispetto a 
$\text{x}$ 
deve essere uguale a zero
! 


Possiamo quindi scrivere$$ \frac{d U(x,y)}{dx} = MU_x + MU_y \frac{dy}{dx} = 0 $$che possiamo riscrivere come segue:$$MU_x = - MU_y \frac{dy}{dx} $$Portiamo ora $UM_y$ dall'altra parte dell'uguale ed otteniamo$$ MRS = \frac{MU_x}{MU_y} = - \frac{dy}{dx} $$
MRS
 è una sigla e sta per "
marginal
 rate of 
substitution
": in inglese, proprio il 
saggio marginale di sostituzione
 che stavamo cercando, e che può essere espresso alternativamente come 
rapporto tra le utilità marginali
 dei due beni e come il 
valore negativo del rapporto tra l'incremento del bene 
$\text{y}$ 
e l'incremento del bene 
$\text{x}$.

