Il metodo di Cramer e i sistemi lineari di equazioni - WeSchool


Un 
sistema
 lineare può essere risolto utilizzando il 
metodo di sostituzione
, o il 
metodo di riduzione
, oppure il 
metodo del confronto
. In questa lezione vedremo invece il 
metodo di Cramer
 
e lo applicheremo ad alcuni esercizi per vedere come funziona. 





















Videolezione "Sistemi di equazioni riconducibili a sistemi lineari e il metodo di Cramer"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
Consideriamo un generico sistema di due equazioni lineari a due incognite. Effettuando alcune operazioni algebriche, possiamo sempre arrivare a scriverlo nella seguente forma:
##KATEX##\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2 y = c_2\end{cases}##KATEX##
dove $a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2$ sono numeri reali qualsiasi (l’unica condizione che poniamo, anche se non è strettamente necessaria, è che $a_1$ e $b_1$ oppure $a_2$ e $b_2$ non siano contemporaneamente uguali a $0$: altrimenti una delle due equazioni non conterrebbe le incognite).


Rappresentiamo questo sistema in una maniera diversa dal solito. Prendiamo tutti i coefficienti dei termini con le incognite $x$ e $y$ che sono presenti nelle due equazioni, e scriviamoli in una tabella, che di solito, viene chiamata 
matrice dei coefficienti
: $$A = \left ( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right ) $$Anche i termini noti $c_1$ e $c_2$ possono essere scritti in una tabella che, di solito, viene chiamata 
vettore dei termini noti
: $$c = \left ( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right ) $$Possiamo dunque dire che avere a che fare con un sistema lineare di due equazioni a due incognite è come trattare con una 
matrice
 $A$ con due righe e due colonne (che contiene quindi quattro numeri), e con un vettore $c$ con due righe (che contiene quindi due numeri).


 


Definizione


Consideriamo un sistema di due equazioni lineari a due incognite con matrice dei coefficienti $A$. Il 
determinante
 del sistema è il numero $$D = a_1b_2 - a_2b_1$$Spesso si dice anche che $D$ è il 
determinante
 della matrice dei coefficienti
 $A$.


 


A volte il determinante della matrice $A$ si scrive nel seguente modo: $$D = det(A) = \left | \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right | $$Inoltre, un modo abbastanza comodo per ricordarsi come si calcola il determinante è il seguente:


moltiplicare gli elementi presenti sulla diagonale della tabella che parte da in basso a destra (fare cioè $a_1 \cdot b_2$);


moltiplicare gli elementi presenti sulla diagonale della tabella che parte da in basso a sinistra (fare cioè $a_2 \cdot b_1$);


sottrarre il secondo numero al primo.




Definizione


Consideriamo un sistema di due equazioni lineari a due incognite con matrice dei coefficienti $A$ e vettore dei termini noti $c$. Si chiama 
determinante dell’incognita
 $x$
, e lo indichiamo con $D_x$, il determinante della matrice $A_x$ ottenuta sostituendo in $A$ la colonna dei coefficienti dei termini della $x$ con il vettore dei termini noti $c$ (rispettando l’ordine delle equazioni). In formule:
##KATEX##\begin{aligned}A_x & = \left ( \begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix}##KATEX## \right )\\
D_x  = det (A_x) & = \left | ##KATEX##\begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix}##KATEX## \right | = c_1b_2 - c_2b_1
\end{aligned}
In maniera analoga possiamo definire il 
determinante dell’incognita
 $y$
: $$D_y = det (A_y) = \left | \begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix} \right | = a_1c_2 - a_2c_1$$


 


Tutte queste definizioni trovano utilità nella 
regola di Cramer
, che enunciamo qui sotto.


Consideriamo un sistema di due equazioni lineari a due incognite, con matrice dei coefficienti $A$ e vettore dei termini noti $c$. Allora il sistema è determinato (cioè, ammette una sola soluzione) se e solo se il determinante $D$ del sistema è diverso da zero. In questo caso, la soluzione del sistema è la coppia $(x, y) = (a, b)$ data da: $$a = \frac{D_x}{D}, \quad b = \frac{D_y}{D}$$dove $D_x$ e $D_y$ sono i determinanti dell’incognita $x$ e $y$ rispettivamente.


Se il determinante $D$ è invece uguale a zero, il sistema può essere alternativamente 
impossibile
 (cioè, non ammette alcuna soluzione) o 
indeterminato 
(cioè, ammette infinite soluzioni). La prima situazione si verifica quando sia $D_x$ che $D_y$ sono diversi da zero, mentre se almeno uno tra $D_x$ e $D_y$ si annulla allora il sistema è indeterminato.


 


Proviamo ad applicare questa regola al sistema:


##KATEX##\begin{cases}2x - y = 3 \\3x + 2y = 1\end{cases}##KATEX##
Scriviamo la matrice dei coefficienti e il vettore dei termini noti: $$ A = \left ( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right ) \quad c = \left ( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right ) $$Il determinante del sistema è $D = a_1b_2 - a_2b_1 = 2 \cdot 2 - 3 \cdot (-1) = 4 + 3 = 7$. Dato che $D \neq 0$, il sistema è determinato.
I determinanti delle incognite sono:
##KATEX##\begin{aligned}D_x & = \left | \begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix}##KATEX## \right | = \left | ##KATEX##\begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{matrix}##KATEX## \right | = 3 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) = 6 + 1 = 7 \\
D_y & = \left | ##KATEX##\begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix}##KATEX## \right | = \left | ##KATEX##\begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix}##KATEX## \right | = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 3 = 2 -9 = -7
\end{aligned}
e quindi per la regola di Cramer l’unica soluzione $(a, b)$ del sistema è data da: $$a = \frac{D_x}{D} = \frac{7}{7} = 1, \qquad b = \frac{D_y}{D} = \frac{-7}{7} = -1$$In effetti si verifica facilmente che, risolvendo questo sistema con il 
metodo di sostituzione o di riduzione
, la soluzione è proprio questa; o più semplicemente si può sostituire $a$ al posto di $x$ e $b$ al posto di $y$ per verificare che entrambe le equazioni del sistema sono soddisfatte.


 


Quali sono i pro e i contro del metodo di Cramer?


PRO:


si può utilizzare per capire in fretta se il sistema è determinato.


come vedremo nel prossimo paragrafo, è generalizzabile in maniera naturale a sistemi con $n$ equazioni e $n$ incognite.


una volta che si ha familiarità con le formule, è abbastanza rapido.


CONTRO:


non molto semplice da memorizzare quando si affronta per la prima volta.


all'aumentare delle equazioni e delle incognite, i calcoli diventano molto lunghi (vedi prossimo paragrafo).


quando il determinante del sistema è zero, bisogna fare un'analisi separata (con un altro metodo) per capire se il sistema è indeterminato o impossibile.


 


Regola di Cramer per sistemi con $n$ equazioni lineari a $n$ incognite


La regola di Cramer, che abbiamo visto applicata a un sistema di due equazioni lineari a due incognite, può essere riformulata per risolvere un sistema di $n$ equazioni lineari a $n$ incognite. È infatti possibile definire un determinante $D$ anche per un sistema di questo tipo, a partire dalla sua matrice dei coefficienti (che avrà $n$ righe e $n$ colonne); in maniera analoga a quanto fatto prima, inoltre, si possono definire i determinanti $D_{x_1}, D_{x_2}, \ldots D_{x_n}$ di ciascuna delle $n$ incognite. Se $D \neq 0$, la soluzione del sistema è unica ed è la $n$-upla $(z_1, z_2, \ldots z_n)$ data da: $$z_1 = \frac{D_{x_1}}{D}, \quad z_2 = \frac{D_{x_2}}{D}, \quad \ldots \quad z_n = \frac{D_{x_n}}{D}$$in perfetta analogia con quello che abbiamo fatto per due equazioni lineari a due incognite.


L’espressione per il 
determinante
 di una matrice con $n$ righe e $n$ colonne è, però, molto complicata. Ci limiteremo solo ad analizzare il caso appena più complicato rispetto a quanto fatto nella sezione precedente, e cioè il caso $n = 3$.


Consideriamo allora un sistema di $3$ equazioni lineari in $3$ incognite:
##KATEX##\begin{cases}a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\a_3x + b_3y + c_3z = d_3\end{cases}##KATEX##
In questo caso la matrice dei coefficienti $A$ e il vettore dei termini noti $d$ sono: $$ A = \left ( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right ), \qquad d = \left ( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right ) $$Il determinante della matrice $A$, o meglio, di una qualsiasi matrice con $3$ righe e $3$ colonne, è dato dalla seguente formula (di cui non forniamo né una motivazione né una dimostrazione): $$det(A) = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + a_2b_3c_1 - c_1b_2a_3 - c_2b_3a_1 - a_2b_1c_3$$Possiamo ricordare abbastanza facilmente questa formula con un “trucco”: la 
Regola di Sarrus
. Questa regola consiste in:


riscrivere le prime due colonne della matrice $A$ a fianco di $A$ stessa;


considerare le diagonali evidenziate in figura:


moltiplicare fra loro i numeri collegati dalle linee che abbiamo tracciato e sommare i risultati che abbiamo ottenuto, mettendo un segno meno davanti alle moltiplicazioni che derivano dalle diagonali in blu.


Proseguiamo con la risoluzione del sistema. In maniera del tutto analoga a quanto fatto prima per due equazioni a due incognite, costruiamo le matrici $A_x, A_y, A_z$: 
##KATEX##\begin{aligned}A_x & = \left ( \begin{matrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{matrix}##KATEX## \right ) \\
A_y & = \left ( ##KATEX##\begin{matrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{matrix}##KATEX## \right ) \\
A_z & = \left ( ##KATEX##\begin{matrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{matrix}##KATEX## \right )
\end{aligned}
Possiamo quindi trovare i determinanti dell’incognita $D_x, D_y, D_z$. Se $D \neq 0$, il sistema ha una sola soluzione $(a, b, c) = \left ( \frac{D_x}{D}, \frac{D_y}{D}, \frac{D_z}{D} \right )$.
Facciamo un esempio. Consideriamo il sistema:
##KATEX##\begin{cases}3x+ & & 2z &=1 \\& y & -z & =3 \\x & +y &+z & =2\end{cases}##KATEX##
Il modo in cui abbiamo scritto il sistema rende più facile la compilazione della matrice dei coefficienti $A$ e del vettore dei termini noti $d$: $$ A = \left ( \begin{matrix} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right ), \qquad d = \left ( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} \right ) $$Allora: 


##KATEX##\begin{aligned}D & = 3 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) \cdot 1 - 0 \cdot 0 \cdot 1 = \\& = 3 + 0 + 0 - 2 + 3 - 0 = 4\end{aligned}##KATEX##


Siccome $D \neq 0$, il sistema ha una sola soluzione. Si può verificare che $D_x = 4, D_y = 8, D_z = -4$ e quindi che la soluzione di questo sistema è la terna $(a, b, c) = \left ( \frac{4}{4}, \frac{8}{4}, \frac{-4}{4} \right ) = (1, 2, -1)$.


 


Revisione scientifica a cura di 
Marco Guglielmino
 

