Trasformazioni del piano: equazioni - WeSchool


Riassumiamo di seguito le equazioni di alcune 
trasformazioni del piano
 frequentemente usate nella risoluzione di esercizi di 
geometria analitica
. Per ognuna vengono date una breve descrizione intuiva della trasformazione e le relazioni tra le vecchie coordinate, indicate con le lettere minuscole $x$ e $y$, e le nuove coordinate, indicate con le lettere maiuscole $X$ e $Y$.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Traslazione


Sposta rigidamente tutti i punti del piano, l’origine degli assi viene si trasforma nel punto $(X_0,Y_0)$ $$\begin{cases} x = X-X_0 \\ y = Y-Y_0 \end{cases}$$


 


Simmetria assiale


Riflette l’intero piano come attraverso uno specchio posizionato trasversalmente al piano stesso lungo una retta chiamata 
asse di simmetria
. Nella figura seguente il triangolo $ABC$ viene trasformato in $A'B'C'$ dalla simmetria assiale di asse $L$.


 




Per scrivere le equazioni prendiamo in considerazione alcuni casi particolari.


 


Asse di simmetria verticale
 di equazione $x=X_0$: $$\begin{cases} x = 2X_0-X \\y = Y \end{cases}$$


Asse di simmetria orizzontale
 di equazione $y=Y_0$ $$\begin{cases} x = X \\y = 2Y_0-Y \end{cases}$$


Asse di simmetria coincidente con la 
bisettrice
 del I e III quadrante
 $$\begin{cases} x = Y \\ y = X \end{cases}$$  


Asse di simmetria coincidente con la 
bisettrice del II e IV quadrante
 $$\begin{cases} x = -Y \\ y = -X \end{cases}$$  


 


Simmetria rispetto a un polo 


Ogni punto del piano viene proiettato attraverso il 
polo di coordinate 
$(X_0,Y_0)$ in modo che quest’ultimo sia il 
punto medio
 tra il punto trasformato e l’originale. La simmetria rispetto al polo coincide con una rotazione di $180^\circ$ intorno al polo stesso, come si può capire osservando l'immagine seguente in cui il triangolo $ABC$ viene trasformato in $A'B'C'$ da una riflessione rispetto al polo $O$.




Per quel che riguarda le equazioni, se il polo coincide con l’
origine
 abbiamo $$\begin{cases} x = -X \\ y = -Y \end{cases}$$


Per un generico 
polo di coordinate 
$(X_0,Y_0)$ $$\begin{cases} x = 2X_0-X \\ y = 2Y_0-Y \end{cases}$$


 


Credits immagine: Wikicommons Rovnet, HB


 

