Circonferenza: equazione e formule - WeSchool


La 
circonferenza
 è una delle coniche più famose, a causa delle numerose proprietà che la caratterizzano: basti pensare, per esempio, alle proprietà degli 
angoli
 che hanno vertice nel centro della circonferenza e sulla circonferenza stessa, o alle proprietà dei 
poligoni inscritti e circoscritti
. Ricordiamo, in ogni caso, che possiamo definire questa conica come un 
luogo geometrico
:






















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
 


Definizione


Prendiamo un punto $C$ nel piano e scegliamo un numero non negativo $r$. L’insieme dei punti del piano che distano $r$ dal punto $C$ è detto 
circonferenza
.
Il punto $C$ è detto 
centro
 della circonferenza, mentre $r$ è il 
raggio
 della circonferenza.




Se il punto $C$ ha coordinate $(x_C, y_C)$ nel 
piano cartesiano
 allora 
l’equazione
 in 
forma
 
implicita
 della circonferenza è la seguente: $$(x-x_C)^2 + (y-y_C)^2 = r^2$$È abbastanza immediato vedere che questa equazione discende dalla formula per la 
distanza tra due punti
.


Un altro modo per rappresentare l’equazione di una circonferenza è di utilizzare l’equazione in 
forma
 
esplicita
: $$x^2+y^2+ax+by+c=0, \qquad a^2+ b^2-4c > 0$$La richiesta $a^2+ b^2-4c > 0$, detta anche 
condizione
 
di
 
realtà
 della circonferenza, è necessaria per far sì che l’equazione descriva effettivamente un insieme di punti nel piano cartesiano. Se invece $a^2+ b^2-4c = 0$ la circonferenza si riduce a un solo punto (
circonferenza degenere
) e se $a^2+ b^2-4c < 0$ la circonferenza non esiste del tutto (o meglio, l’equazione non descrive una circonferenza, perché non esistono punti del piano cartesiano che la soddisfino).


A partire dalla circonferenza descritta in forma esplicita, possiamo ricavare le seguenti 
formule
.


Raggio
:
 $$r = \sqrt{ \left ( \frac{a}{2} \right )^2 + \left ( \frac{b}{2} \right )^2 - c}.$$


Coordinate
 
del
 
centro
: $$C \equiv \left ( - \frac{a}{2}, -\frac{b}{2} \right )$$


Vale la pena di sottolineare che la condizione di realtà ci garantisce che la formula per determinare il raggio abbia senso (se non fosse valida, avremmo un numero nullo o negativo sotto 
radice
).


 


Tangenti a una circonferenza


Supponiamo di voler determinare le equazioni delle rette passanti per un punto $T \equiv (x_T, y_T)$ e che siano tangenti a una circonferenza data (che d’ora in poi considereremo espressa in forma esplicita $x^2+y^2+ax+by+c=0$). Abbiamo tre casi distinti che dobbiamo analizzare.


Se il punto $T$ è interno alla circonferenza, non ci sono rette tangenti.


Se $T$ appartiene alla circonferenza possiamo utilizzare la 
formula
 
di
 
sdoppiamento
 per determinare l’equazione dell’unica retta tangente alla circonferenza passante per $T$: $$r: xx_T + yy_T + a\frac{x+x_T}{2} + b\frac{y+y_T}{2} + c=0$$In effetti, ricordando che $x_T$, $y_T$, $a$, $b$, $c$ sono numeri, questa è un’equazione di primo grado in $x$ e $y$ che rappresenta proprio una 
retta
 nel piano cartesiano.
Inoltre, il 
coefficiente angolare
 di questa retta esiste quando $y_T \neq -\frac{b}{2}$ ed è: $$m = -\frac{2x_T+a}{2y_T+b}.$$


Se $T$ è un punto esterno alla circonferenza, le rette tangenti alla circonferenza passanti per $T$ sono sempre due. Per ottenere i coefficienti angolari di queste rette è sufficiente risolvere il sistema tra l’equazione della circonferenza e il fascio di rette passante per $T$, imponendo che l’equazione risolvente abbia $\Delta = 0$ (come viene spiegato in 
questo
 video).
Bisogna comunque stare attenti: nel caso in cui il punto $T$ abbia ascissa: $$x_T = \frac{-a \pm \sqrt{a^2+b^2-4c}}{4}$$il metodo del delta ci fornirà 
un solo
 coefficiente angolare, perché l’altra retta tangente sarà proprio la retta verticale passante per $T$.



