La corrente di spostamento e le onde elettromagnetiche - WeSchool


Quando il flusso di un 
campo magnetico
 attraverso un 
circuito
 subisce una variazione nel tempo, sappiamo dalla 
legge di Faraday
 che il circuito si vedrà attraversato da una corrente elettrica. Questo avviene qualunque sia la causa specifica: per esempio lo spostamento di un magnete permanente, la variazione della corrente che scorre in un elettromagnete, oppure lo spostamento del circuito stesso.





















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Dal punto di vista dei campi elettrico e magnetico, questo fatto si può interpretare nel seguente modo: 
un campo magnetico che varia nel tempo produce un 
campo elettrico
 nello spazio circostante
. Il campo elettrico, infatti, provvederà ad accelerare gli elettroni di conduzione presenti nel circuito, producendo 
corrente elettrica
. Un campo costante nel tempo si dice “stazionario”, quindi campi che variano nel tempo si dicono “non stazionari”.
D’altro canto, ci si può chiedere se valga il contrario: 
un campo elettrico non stazionario produce, nello spazio attorno a sé, un campo magnetico
?


A dare una risposta a questo interrogativo fu 
James Clerk Maxwell
 (1831 - 1879), scienziato scozzese che si interrogò profondamente sulle relazioni che intercorrono tra campo elettrico e campo magnetico. Egli riflettè innanzitutto su che cosa succede attorno ad un 
condensatore
 durante il processo necessario a 
caricarlo
: le armature del condensatore sono separate dal 
dielettrico
, uno strato di 
materiale isolante
 che impedisce il passaggio di corrente elettrica. Nonostante questo, per il processo di 
induzione elettrostatica
, le armature si “caricano”, aumentando la quantità della carica elettrica presente su di esse. Di conseguenza, 
il campo elettrico 
$\vec{E}$ 
all’interno del condensatore si fa più intenso
. Contemporaneamente, pur non avvenendo passaggio di corrente nel condensatore, attorno ad esso si registrano gli effetti di un campo magnetico: Maxwell chiamò 
corrente di spostamento
 tale 
campo elettrico variabile nel tempo
, poichè stabilì che, dal punto di vista delle interazioni magnetiche, esso aveva un effetto 
indistinguibile da una corrente elettrica
.


L’intuizione di Maxwell era che le interazioni reciproche tra campo elettrico e campo magnetico potessero essere spiegate da un’
unica teoria
. Sulla base di queste convinzioni, egli formulò quattro famose equazioni, chiamate in suo onore 
equazioni di Maxwell
, che spiegano completamente tutti questi fenomeni: queste equazioni sono il punto di massimo sviluppo dell’elettrodinamica classica.


Le equazioni di Maxwell riguardano due aspetti del campo elettrico e magnetico, e sono dunque quattro. Il primo aspetto da indagare è il 
flusso
 di uno dei due campi 
attraverso una superficie chiusa
, mentre l’altro aspetto è legato alla 
circuitazione
 del campo in questione 
lungo una linea chiusa
 (cioè un circuito). Le equazioni di Maxwell sono quindi le seguenti.


La prima equazione riguarda il 
flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa
:$$\Phi_{\mathcal{S}} (\vec{E}) = Q_{\text{int}}$$Nella formula precedente, $\mathcal{S}$ è la 
superficie chiusa
, $\Phi_{\mathcal{S}} \left(\vec{E}\right)$ è il 
flusso 
di $\vec{E}$ attraverso di essa e $Q_{\text{int}}$ è la 
carica elettrica interna 
alla superficie $\mathcal{S}$. Questo risultato va sotto il nome di 
teorema di Gauss
 per il campo elettrico
.


La seconda equazione concerne la 
circuitazione del campo elettrico lungo una linea chiusa
:$$ \oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot d \vec{s} = - \frac{\Delta \Phi \left(\vec{B}\right)}{\Delta t}$$In questa espressione, $\Gamma$ è il 
circuito 
che prendiamo in considerazione, mentre il simbolo $\oint \dots \cdot d \vec{s}$ indica l’integrale (curvilineo) lungo una curva chiusa, detto anche 
circuitazione
; il 
campo elettrico 
è indicato da $\vec{E}$. $\Phi (\vec{B})$ è il 
flusso del campo magnetico 
$\vec{B}$ che 
attraversa la superficie racchiusa dal circuito
, ed il rapporto $\frac{\Delta \Phi (\vec{B})}{\Delta t}$ esprime la sua 
variazione in un intervallo di tempo 
di durata $\Delta t$. Questa equazione può essere ricavata a partire dalla 
legge di Faraday-Lentz
.


La terza equazione parla del 
flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa
:$$\Phi_{\mathcal{S}} \left(\vec{B}\right) = 0$$Come per la prima equazione, $\mathcal{S}$ rappresenta la 
superficie chiusa 
e $\Phi_{\mathcal{S}} (\vec{B})$ è il 
flusso 
di $\vec{B}$ attraverso di essa. Il fatto che questo flusso sia pari a $0$ è collegato al fatto che non è possibile creare un 
monopolo magnetico
, ossia un 
magnete dotato di un unico polo
, o positivo o negativo.


La quarta equazione, infine, esprime la 
circuitazione del campo magnetico lungo una linea chiusa
. Per descrivere l’equazione è necessario introdurre il concetto di 
corrente concatenata
: data una 
curva chiusa 
$\Gamma$ che racchiude una superficie $\mathcal{S}$, si definisce corrente concatenata a $\Gamma$ una qualsiasi 
corrente 
$i$ 
che attraversi la superficie
. A questo punto, possiamo illustrare la quarta equazione di Maxwell:$$\oint_{\Gamma} \vec{B} \cdot d \vec{s} = \mu_0 \left(\Phi \left( i \vec{v} \right) + \varepsilon_0 \frac{\Delta \Phi (\vec{E})}{\Delta t} \right)$$Ancora una volta, $\oint_{\Gamma} \dots \cdot d \vec{s}$ sta ad indicare la 
circuitazione lungo 
$\Gamma$, che è il nostro circuito, e le varie $\Phi$ significano 
flussi attraverso 
$\mathcal{S}$: $ \Phi (\vec{E})$ è il flusso attraverso la superficie racchiusa da $\Gamma$ del campo elettrico (o meglio della corrente di spostamento, secondo la dicitura di Maxwell), e, come prima, il rapporto $\frac{\Delta \Phi (\vec{E})}{\Delta t}$ esprime la sua variazione in un intervallo di tempo di durata $\Delta t$. Ma in questa equazione compare anche $i$, che è 
l’intensità della corrente concatenata a 
$\Gamma$, e $\vec{v}$, che è la 
velocità di spostamento media
 
dei portatori di carica prodotta dalla corrente $i$: $\Phi ( i \vec{v})$ è quindi il 
flusso della corrente concatenata attraverso 
$\mathcal{S}$. I simboli $\varepsilon_0$ e $\mu_0$ sono, rispettivamente, la 
costante dielettrica
 e 
diamagnetica del vuoto
. Questa equazione è la più sottile e complicata delle equazioni di Maxwell, ed infatti venne dedotta per ultima (nel 1861) da Maxwell stesso, anche se una prima forma di questa espressione, in cui il flusso del campo elettrico era stazionario, venne scoperta da Ampére nel 1826.


Riassumiamo qui di seguito le equazioni di Maxwell in una tabella:##KATEX##\begin{aligned}& & & \text{Flusso} & & \text{Circuitazione} \\&\vec{E} & & \Phi_{\mathcal{S}} (\vec{E}) = Q_{\text{int}} & & \oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot d \vec{s} = - \frac{\Delta \Phi (\vec{B})}{\Delta t} \\&\vec{B} & & \Phi_{\mathcal{S}} (\vec{B}) = 0 & & \oint_{\Gamma} \vec{B} \cdot d \vec{s} = \mu_0 \left(\Phi \left( i \vec{v} \right) + \varepsilon_0 \frac{\Delta \Phi (\vec{E})}{\Delta t} \right) \\\end{aligned}##KATEX##
Si presti attenzione che le precedenti equazioni sono vere 
nel vuoto
. Qualora campi elettrici o magnetici attraversino la materia, si andrebbe incontro a fenomeni di 
polarizzazione elettrica
 e 
magnetica
, il che modifica considerevolmente tali equazioni: tale forma introduce molte nuove grandezze fisiche, che non è il caso di elencare in questa sede.


Quel che ci preme sottolineare è un’altra cosa: sebbene Maxwell dedusse le equazioni che portano il suo nome per descrivere i campi elettrico e magnetico, possiamo invertire la prospettiva e considerarle come delle 
equazioni
 (molto complicate) 
in cui le incognite sono i campi
 $\vec{E}$ 
e
 $\vec{B}$. Una particolare soluzione delle equazioni fornirà l’espressione per i campi considerati.
In quest’ottica, molti scienziati dell’epoca si accinsero a trovare 
soluzioni di forma particolare
, per dare vita a campi elettromagnetici dal comportamento bizzarro, e studiarne le proprietà da un punto di vista teorico. Molto presto però ci si accorse che, fra le varie soluzioni possibili, ve ne era una che 
rappresentava campo elettrico e magnetico come 
onde
: le soluzioni prescrivono che il 
campo elettrico
 $\vec{E}$ oscilli nel tempo come un 
oscillatore armonico
, e che ad esso sia accoppiato un 
campo magnetico
 $\vec{B}$, il quale 
oscilla in fase con
 $\vec{E}$ 
su di un piano ad esso perpendicolare
. Un profilo di una soluzione di questo tipo è illustrato nella figura seguente:




 


La scoperta delle onde elettromagnetiche segnò una vera e propria rivoluzione culturale, aprendo la strada ad applicazioni tecnologiche di comunicazione senza fili (prima tra tutte la radio) che trasformarono profondamente la società e l’economia mondiale.


Crediti immagine: ploufandsplash 
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Onde_electromagn%C3%A9tique.png

