Seno iperbolico e coseno iperbolico: le funzioni iperboliche - WeSchool


L’equazione $x^2 + y^2 = 1$, nel 
piano cartesiano
, descrive il 
luogo dei punti
 distanti $1$ dall’origine degli assi: è la 
circonferenza
 unitaria centrata nell’origine. In trigonometria, questa circonferenza viene chiamata 
circonferenza goniometrica
 e in questo contesto si mostra che le coordinate di ciascun punto della circonferenza possono essere scritte come $(\cos(t), \sin(t))$, dove $t$ è un opportuno 
angolo
. Questo quindi ci dice che possiamo descrivere la circonferenza come 
curva parametrica
: le coordinate dei punti della curva variano in dipendenza di un certo parametro - $t$, appunto - che può essere interpretato geometricamente come la 
misura dell'ampiezza di un angolo
.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
Invece, l’equazione $x^2 - y^2 = 1$ descrive un luogo di punti di tutt’altro genere: è l’
iperbole equilatera
 con asintoti $y = \pm x$ e fuochi $F_{1, 2} = (\pm \sqrt{2}, 0)$. Ci chiediamo: è possibile parametrizzare questa curva in maniera simile a quanto abbiamo fatto per la circonferenza?


Definizione


Chiamiamo 
coseno
 
iperbolico
 la funzione così definita: ##KATEX##\begin{aligned} \cosh : \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ t & \mapsto \cosh(t) : = \frac{e^t + e^{-t}}{2} \end{aligned}##KATEX##




Invece, chiamiamo 
seno
 
iperbolico
 la seguente funzione: ##KATEX##\begin{aligned} \sinh : \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ t & \mapsto \sinh(t) : = \frac{e^t - e^{-t}}{2} \end{aligned}##KATEX##




Queste funzioni, dette 
funzioni
 
iperboliche
, 
costituiscono
 
una
 
possibile
 
parametrizzazione
 
dell’iperbole
 
equilatera
. Più precisamente, i punti del ramo di destra dell’iperbole $x^2 - y^2 = 1$ possono essere descritti così: $$P_{h^+}(t) = ( \cosh(t), \sinh(t) ), \qquad t \in \mathbb{R}$$I punti del ramo di sinistra invece hanno questa descrizione: $$P_{h^-}(t) = ( -\cosh(t), \sinh(t) ), \qquad t \in \mathbb{R}$$




Come mai queste funzioni vanno bene per parametrizzare l’iperbole? Semplicemente perché, per qualsiasi $t$ scelto, vale la seguente 
identità
 
fondamentale
 
delle
 
funzioni
 
iperboliche
: $$\cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1$$Infatti ##KATEX##\begin{aligned} \cosh^2(t) - \sinh^2(t) & = \left ( \frac{e^t + e^{-t}}{2} \right )^2 - \left ( \frac{e^t - e^{-t}}{2} \right )^2 = \\ & = \frac{e^{2t} + 2 e^t \cdot e^{-t} + e^{-2t}}{4} - \frac{e^{2t} - 2 e^t \cdot e^{-t} + e^{-2t}}{4} = \\ & = \frac{4}{4} = 1 \end{aligned}##KATEX##


 


Definizione


La 
tangente
 
iperbolica
 è la funzione definita come il rapporto tra seno e coseno iperbolico: ##KATEX##\begin{aligned} \tanh: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ t & \mapsto \tanh(t) := \frac{\sinh(t)}{\cosh(t)} = \frac{e^t - e^{-t}}{e^t + e^{-t}} \end{aligned}##KATEX##




La 
cotangente
 
iperbolica
 è invece il rapporto tra coseno e seno iperbolico: ##KATEX##\begin{aligned} \coth: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ t & \mapsto \coth(t) := \frac{\cosh(t)}{\sinh(t)} = \frac{e^t + e^{-t}}{e^t - e^{-t}} \end{aligned}##KATEX##




Segnaliamo inoltre che è possibile definire - in maniera ovvia - un analogo della 
secante e della cosecante
: la 
secante iperbolica 
e la 
cosecante iperbolica
.


 


Proprietà delle funzioni iperboliche


Ecco le principali caratteristiche delle funzioni iperboliche.


 


$y = \sinh(x)$


$y = \cosh(x)$


$y = \tanh(x)$


$y = \coth(x)$


Dominio


$\mathbb{R}$


$\mathbb{R}$


$\mathbb{R}$


$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$


Codominio


$\mathbb{R}$


$[1, +\infty)$


$[-1, 1]$


$(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$


Derivata


$\cosh(x)$


$\sinh(x)$


$1 - \tanh^2(x)$


$1 - \coth^2(x)$


Primitiva


$\cosh(x)$


$\sinh(x)$


$\ln ( \cosh(x))$


$\ln(\sinh(x))$


Parità


Dispari


Pari


Dispari


Dispari


Il parallelismo con le 
funzioni trigonometriche
 è evidente in molte delle caratteristiche delle funzioni iperboliche. Le analogie vanno ben oltre, dato che vale questo sorprendente risultato:


Regola di Osborn
. 
Prendiamo una qualsiasi 
identità trigonometrica
. Svolgiamo il seguente procedimento:


riscriviamo l’identità in termini delle funzioni 
$\sin(x)$ 
e
 $\cos(x)$;


al posto di
 $\sin(x)$ 
scriviamo 
$\sinh(x)$
 e al posto di
 $\cos(x)$ 
scriviamo 
$\cosh(x)$;


ogni volta che compare 
$\sinh^2(x)$ 
aggiungiamo un segno meno davanti al termine in cui è presente
.


L’identità ottenuta dopo questo procedimento è ancora valida
.


Per capire meglio quanto detto, facciamo un esempio pratico. Prendiamo la 
formula di duplicazione
 della tangente: $$\tan(2 \alpha) = \frac{\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}$$Seguiamo passo per passo la regola di Osborn.


Scriviamo l’identità esplicitando le funzioni seno e coseno: $$\frac{\sin(2 \alpha)}{\cos(2 \alpha)} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1- \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} }$$


Rimpiazziamo le funzioni trigonometriche con le funzioni iperboliche: $$\frac{\sinh(2 \alpha)}{\cosh(2 \alpha)} = \frac{\frac{\sinh \alpha}{\cosh \alpha}}{1- \frac{\sinh^2 \alpha}{\cosh^2 \alpha} }$$


Mettiamo un segno $-$ davanti a tutte le espressioni che contengono $\sinh^2 \alpha$ (solo una nel nostro caso): $$\frac{\sinh(2 \alpha)}{\cosh(2 \alpha)} = \frac{\frac{\sinh \alpha}{\cosh \alpha}}{1- \left ( - \frac{\sinh^2 \alpha}{\cosh^2 \alpha} \right )}$$


La nuova identità, che potremmo chiamare “formula di duplicazione della tangente iperbolica”, può essere riscritta così: $$\tanh(2 \alpha) = \frac{\tanh \alpha}{1+\tanh^2\alpha}$$


Alcune curiosità sulle funzioni iperboliche


Le funzioni iperboliche $\sinh(x)$ e $\cosh(x)$ sono soluzioni dell’
equazione differenziale
 $y’’ = y$ (insieme ad altre opportune combinazioni lineari di $e^x$ ed $e^{-x}$).


Consideriamo una corda che abbia le estremità appese e fissate, che risenta solamente del suo 
peso
 (cioè dell’azione della 
forza
 di 
gravità
 su di essa). È possibile mostrare che la forma che assume la corda in questa situazione è il grafico di $\cosh(x)$, opportunamente 
traslato
 e riscalato. Tale curva si chiama 
catenaria
.


Grazie alla 
formula di Eulero
 è possibile mostrare la validità delle seguenti identità: ##KATEX##\begin{aligned} \sinh(ix) & = -i \sin (x) \\ \cosh(ix) & = \cos(x) \end{aligned}##KATEX##La lettera $i$ rappresenta l’unità immaginaria dei 
numeri complessi
.



