Tetraedro, cubo, icosaedro, dodecaedro e ottaedro: i solidi platonici - WeSchool


Quando si studiano i 
poligoni
 nell’ambito della Geometria Euclidea piana, si analizzano anche i 
poligoni regolari
, ovvero quei poligoni che hanno tutti i lati congruenti fra loro. In Geometria Solida esiste un concetto analogo: stiamo parlando dei 
poliedri
 
regolari
. Questi particolari solidi sono conosciuti anche come 
solidi
 
platonici
 dato che ne parlò anche 
Platone
, nel suo dialogo “
Timeo
”.





















Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"

























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Definizione


Un 
poliedro
 
regolare 
è un solido convesso le cui facce sono tutte 
poligoni regolari
 composti dallo stesso numero di lati.


Viene spontaneo chiedersi: 
quanti
 sono i poliedri regolari? E poi: 
quali
 sono questi poliedri?


Teorema
: Esistono solo 
cinque
 poliedri regolari. Essi sono: il 
tetraedro
 
regolare
,




il 
cubo
 (o 
esaedro
 
regolare
),




l’
ottaedro regolare
,




il 
dodecaedro
 
regolare
,




l’
icosaedro
 
regolare
.




“Dimostrazione”. 
Consideriamo un qualsiasi vertice del nostro poliedro: per costruzione, sappiamo che questo sarà anche un vertice di un certo numero $q$ di facce del poliedro, e in particolare sarà il vertice di $q$ 
angoli
 (ciascuno appartenente a una delle $q$ facce). Un attimo di riflessione (e una buona dose di immaginazione) ci portano a formulare le seguenti considerazioni:


$q$ è sicuramente maggiore di $3$. In caso contrario, avremmo un solido con un vertice condiviso solo da due facce, che è impossibile.


l’
ampiezza
 di tutti gli angoli è sempre la stessa. Questo significa che, se chiamiamo $a$ tale ampiezza, la somma totale degli angoli in ciascun vertice è uguale a $q \cdot a$.


la somma dei $q$ angoli (che per quanto detto prima vale $q \cdot a$) deve essere inferiore a $360^\circ$; se fosse esattamente $360^\circ$ gli angoli si disporrebbero in modo da essere tutti sullo stesso 
piano
, il che è impossibile (il poliedro sarebbe “piatto”). A maggior ragione, $q \cdot a$ non può essere neanche maggiore di $360^\circ$.


Da queste tre osservazioni ricaviamo questa catena di disuguaglianze: $$3 \cdot a < q \cdot a < 360^\circ$$il che ci porta ad affermare $$a < \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$$Questo vuol dire che i poligoni regolari che possono comporre il nostro poliedro regolare 
devono
 avere angoli interni di ampiezza $a < 120^\circ$. Dopo una breve analisi, ci accorgiamo che le possibilità sono solo queste:


triangolo equilatero, con $a = 60^\circ$;


quadrato, con $a = 90^\circ$;


pentagono regolare, con $a = 108^\circ$.


Analizziamo ciascun caso, a partire dall’ultimo.


Se le facce sono tutte pentagoni regolari, allora il numero di facce $q$ adiacenti a ciascun vertice non può essere più di $4$, dato che $4 \cdot 108^\circ = 432^\circ > 360^\circ$. Quindi deve essere necessariamente $q=3$: questo porta a costruire il 
dodecaedro regolare
.


Se le facce sono tutte quadrati, allora necessariamente $q = 3$, dato che per $q=4$ la somma degli angoli fa esattamente $360^\circ$ (che non ci va bene). Da questo deduciamo che l’unico poliedro regolare che ha quadrati come facce è il 
cubo
.


Se le facce sono tutte triangoli equilateri ci vanno bene $q=3, q=4$ o anche $q=5$. Queste tre situazioni corrispondono rispettivamente al 
tetraedro regolare
, all’
ottaedro regolare
 e all’
icosaedro regolare
.


 


Per comodità, riassumiamo in una tabella le caratteristiche geometriche dei poliedri regolari. In questa tabella riportiamo anche il cosiddetto 
simbolo
 
di
 
Schläfli
 del poliedro: questo è una coppia di numeri $\{ p, q \}$ dove $p$ è il 
numero di spigoli di ciascuna faccia
 e $q$ è il 
numero di spigoli che si incontrano in un vertice dato 
(che è uguale per tutti i vertici).


 


Facce
 $F$


Spigoli
 $S$


Vertici
 $V$


$$\{p, q\}$$


Tetraedro


$4$ 
triangoli equilateri


$$6$$


$$4$$


$$\{3, 3\}$$


Cubo


$6$ 
quadrati


$$12$$


$$8$$


$$\{4, 3\}$$


Ottaedro


$8$ triangoli equilateri


$$12$$


$$6$$


$$\{3, 4\}$$


Dodecaedro


$12$ 
pentagoni regolari


$$30$$


$$20$$


$$\{5, 3\}$$


Icosaedro


$20$ triangoli equilateri


$$30$$


$$12$$


$$\{3, 5\}$$


Inoltre, è possibile ricavare delle 
formule
 relative a questi solidi. In particolare riportiamo le formule di 
volume
 e 
superficie
 
totale
, del 
raggio
 
della 
sfera
 circoscritta
 (che tocca cioè tutti i vertici del poliedro) e 
inscritta
 (cioè tangente a tutte le facce del poliedro). Ciascuna di queste quantità dipende solamente dalla lunghezza $L$ dello spigolo del poliedro che stiamo considerando.
In alcune formule per il dodecaedro e l'icosaedro compare il 
rapporto aureo
 $\phi$.


 


Volume


Superficie


Raggio
 
sfera
 
circoscritta


Raggio
 
sfera
 
inscritta


Tetraedro


$$\frac{\sqrt{2}}{12} L^3$$


$$\sqrt{3}L^2 $$


$$\frac{\sqrt{6}}{4} L$$


$$\frac{\sqrt{6}}{12} L$$


Cubo


$$L^3$$


$$6L^2$$


$$\frac{\sqrt{3}}{2} L$$


$$\frac{1}{2} L$$


Ottaedro


$$\frac{\sqrt{2}}{3} L^3$$


$$2\sqrt{3} L^2$$


$$\frac{\sqrt{2}}{2} L$$


$$\frac{\sqrt{6}}{6} L$$


Dodecaedro


$$\frac{\sqrt{5} \phi^4}{2} L^3$$


$$3\sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}L^2$$


$$\sqrt{3} \phi L$$


$$\frac{\phi^2 \sqrt[4]{5^3\phi^2}}{10}L$$


Icosaedro


$$\frac{5}{6} \phi^2L^3 $$


$$5\sqrt{3}L^2 $$


$$\frac{\sqrt[4]{5 \phi^2}}{2} L$$


$$\frac{\sqrt{3}\phi^2}{6} L$$


Sottolineiamo che le formule di volume e superficie del tetraedro possono essere ricavate facilmente pensando al tetraedro come a una 
piramide
 che ha per facce dei triangoli equilateri congruenti. Invece, si possono trovare altre formule relative al cubo nella 
lezione a esso dedicata
.


I poliedri regolari soddisfano alcune proprietà molto interessanti.


Il numero di facce $F$, di spigoli $S$ e di vertici $V$ di ciascun poliedro soddisfa la 
formula
 
di
 
Eulero
 
per
 
i poliedri
: $$F - S + V = 2$$In realtà questa relazione è soddisfatta da 
qualsiasi
 poliedro convesso!


Il numero $p$ del simbolo di Schläfli indica il numero di spigoli di ciascuna faccia. Se moltiplichiamo $p$ per il numero di facce $S$, otteniamo il numero di spigoli del poliedro moltiplicato per due (ogni spigolo appartiene a due facce distinte, e quindi è “contato due volte”). Con una formula: $$pF = 2S$$


Il numero $q$ del simbolo di Schläfli indica il numero di spigoli che si incontrano in un qualsiasi vertice del poliedro. Se moltiplichiamo $q$ per il numero di vertici $V$ otteniamo il numero di spigoli del poliedro moltiplicato per due (ogni spigolo viene infatti “contato due volte”, dato che ciascuno di essi collega due vertici). Con una formula: $$qV = 2S$$


A partire dalle tre formule appena ottenute si ricava la seguente relazione: $$\frac{1}{q} + \frac{1}{p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{S}$$Dato che $S$ è un numero positivo, vale anche: $$\frac{1}{q} + \frac{1}{p} > \frac{1}{2}$$Si verifica facilmente che in effetti i valori di $p$ e $q$ riportati nella prima tabella soddisfano questa relazione. Non solo: i simboli di Schläfli dei poliedri regolari sono le 
uniche
 coppie di interi per cui questa relazione è soddisfatta, il che mostra ancora una volta come gli unici poliedri regolari possibili siano i cinque che abbiamo elencato.



