Omotetia e affinità: spiegazione e esempi - WeSchool


Traslazioni, rotazioni e simmetrie sono trasformazioni che mantengono 
invariate le distanze
,
 e quindi anche la forma
 di una figura geometrica. Per questo motivo tutte le trasformazioni elencate vengono chiamate nel loro complesso 
isometrie
, dalla parola greca 
isos
 che significa “uguale”, e 
metrikos
, “misura”.





















Videolezione "Ellisse: dall'equazione al grafico"

























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Ci sono poi trasformazioni che cambiano le distanze senza modificare la forma di una figura, aumentandone o riducendone le dimensioni e rispettando la scala, ovvero il rapporto tra le misure. È ciò che fanno le 
omotetie
, trasformazioni del piano che dilatano o contraggono gli oggetti “proiettandoli” a partire da un punto chiamato 
centro dell’omotetia
. La figura seguente presenta un esempio dove il triangolo di vertici $A_1$, $B_1$ e $C_1$ è stato ottenuto da quello di vertici $A$, $B$ e $C$ a partire dal centro $\mathcal{O}$.




Le omotetie modificano le distanze ma 
non alterano gli angoli
, trasformando rette in rette e conservando la forma.


Quali sono le equazioni di una omotetia nel piano cartesiano? Ci occupiamo soltanto di omototie con centro l’origine degli assi. Questo perché per “spostare” il centro è sufficiente comporre l’omotetia con centro l’origine con una traslazione adeguata. Detto questo le equazioni sono le seguenti:


$$\begin{cases} X = kx \\ Y = ky \end{cases}$$


Qui $k$ è chiamato il 
rapporto di omotetia
 e esprime quantitativamente di quanto viene ingrandita ($k>1$) o rimpicciolita ($k<1$) la figura.


È importante notare come il fattore moltiplicativo nelle equazioni sia il medesimo per la $X$ e per la $Y$. Se vogliamo conservare gli angoli non possiamo prescindere da questo. Tuttavia è utile sapere qual è l’effetto di una più generica trasformazione in cui i rapporti di dilatazione siano diversi per le due coordinate:  $$\begin{cases} X = ax \\ Y = by \end{cases}$$ In questo caso ascissa e ordinata vengono dilatate o compresse in modo diverso e quella rappresentata costituisce un caso particolare di 
trasformazione affine
. Il risultato complessivo è quello di “stirare” la figura in una certa direzione.


Per capire meglio facciamo un esempio e partiamo dall’equazione della 
circonferenza
 di raggio unitario centrata nell’origine degli assi


$$x^2+y^2=1$$


Per applicare la trasformazione otteniamo $x$ e $y$; in termini di $X$ e $Y$ con le formule inverse: $$\begin{cases} x = \frac{X}{a} \\ y=\frac{Y}{b}\end{cases}$$ e sostituiamo ottenendo: $$\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$$ che è l'
equazione di un ellisse
. Come possiamo vedere dalla figura, quindi, la deformazione introdotta è proprio quella che trasforma una circonferenza in una ellisse.



