Le disequazioni di secondo grado: risoluzione - WeSchool


Definizione


Una 
disequazione
 è di 
2° grado
 se, dopo opportune operazioni algebriche, si può scrivere in una delle seguenti forme:
##KATEX##\begin{aligned}ax^2+bx+c & \geq 0 \\ax^2+bx+c & > 0\\ax^2+bx+c & \leq 0 \\ax^2+bx+c & < 0\end{aligned}##KATEX##
con $a, b, c$ reali e $a \neq 0$ (altrimenti si eliminerebbe il termine di secondo grado).
Data una disequazione in questa forma, si dice che $ax^2+bx+c=0$ è l'
equazione
 associata 
alla disequazione.





















Videolezione "Disequazioni di secondo grado: esercizi svolti"

























    const isRelatedVideo = 1;

 
La 
risoluzione di una disequazione di secondo grado
 consiste di quattro passi.


Se $a<0$, moltiplichiamo la disequazione data per $-1$, in modo che il coefficiente di 2° grado sia positivo e facendo attenzione a invertire il verso della disequazione. Se $a>0$, invece, saltiamo questo passaggio.
ATTENZIONE
: i coefficienti che useremo nei passi successivi, così come il verso della disequazione che consideriamo, sono quelli ottenuti nella disequazione successivamente a questa eventuale trasformazione, ovvero quando $a > 0$.
Per esempio, consideriamo l'equazione $-7x^2-3x+2 > 0$. Moltiplicando per $-1$ otteniamo $7x^2+3x-2 < 0$ (notiamo che il verso della disequazione è cambiato). Così ora abbiamo ancora una disequazione di 2° grado, ma $a>0$; i nuovi coefficienti della disequazione sono: $a=7$, $b=3$, $c=-2$, e il verso sarà $<$.


Risolviamo l'equazione associata alla disequazione data. Abbiamo quindi tre possibili casi, a seconda del valore della quantità $\Delta = b^2-4ac$:

$\Delta > 0$, cioè l'equazione ha due soluzioni reali distinte. In questo caso chiameremo le due soluzioni $x_1$ e $x_2$, con $x_1 < x_2$;


$\Delta = 0$, cioè l'equazione ha due soluzioni reali coincidenti $x_1=x_2$;


$\Delta <0$, cioè l'equazione non ha soluzioni reali.




Studiamo il segno del polinomio $ax^2 + bx + c$. Per fare questo, disegniamo la retta dei numeri reali e posizioniamo i valori delle eventuali radici dell’equazione associata su di essa. Indichiamo con un tratto di linea continuo i valori tali che $ax^2+bx+c > 0$ e con un tratto di linea tratteggiato i valori tali che $ax^2+bx+c < 0$, secondo i seguenti schemi.

Se $\Delta >0$, abbiamo due radici $x_1 < x_2$ che rappresentiamo sulla retta reale in questo modo:
Questo significa che per valori di $x$ minori di $x_1$ il polinomio di 2° grado $ax^2+bx+c$ è positivo, tra $x_1$ e $x_2$ è negativo, poi è nuovamente positivo. Per $x = x_1$ o $x = x_2$ il polinomio è uguale a zero (dato che $x_1$ e $x_2$ sono radici dell’equazione associata).


Se $\Delta = 0$, abbiamo una sola radice $x_1$: 
Questo significa che il polinomio $ax^2+bx+c$ è sempre positivo, tranne in $x_1$ dove è uguale a zero.


Se $\Delta <0$, il polinomio $ax^2+bx+c$ non ha radici ed è sempre positivo. Questa situazione viene schematizzata rappresentando la retta reale come una linea continua:




Confrontiamo gli schemi precedenti con la richiesta della disequazione (cioè guardando quale simbolo tra $\geq, >, \leq, <$ compare dopo il polinomio), per determinare l’insieme delle soluzioni della disequazione data. Riepiloghiamo le possibili soluzioni della disequazione nella seguente tabella:
 


$\Delta > 0$


$\Delta = 0$


$\Delta < 0$


$ax^2+bx+c\geq 0$, $a >0$


$x\leq x_1\, \vee\, x\geq x_2$


$\forall x \in \mathbb R$


$\forall x \in \mathbb R$


$ax^2+bx+c > 0$, $a >0$


$x < x_1\, \vee\, x > x_2$


$\forall x \in \mathbb R, \, x\neq x_1$


$\forall x \in \mathbb R$


$ax^2+bx+c\leq 0$, $a >0$


$x_1 \leq x \leq x_2$


unica soluzione $x=x_1$


impossibile


$ax^2+bx+c < 0$, $a >0$


$x_1 < x < x_2$


impossibile


impossibile




Vediamo alcuni esempi in cui applicare il metodo appena esposto.


Consideriamo l'equazione $3x^2+4x+1 \leq 0$.
Poiché $a=3>0$, non c'è bisogno di trasformare la disequazione.


Risolvendo l'equazione di 2° grado, otteniamo $\Delta=4^2-4\cdot 3 \cdot 1 >0$. Le due soluzioni dell'equazione sono $x_1=-1$ e $x_2=-\frac{1}{3}$.


Lo schema risolutivo è:
Questo schema ci dà il segno del polinomio $3x^2+4x+1$.


Noi vogliamo sapere quando tale polinomio è minore o uguale a 0. Osservando lo schema risolutivo o consultando la tabella sopra otteniamo la soluzione della disequazione: $-1 \leq x \leq -\frac{1}{3}$.




Consideriamo l'equazione $- 4x^2+20x-25 <0$.
Per avere $a>0$, moltiplichiamo per $-1$ e cambiamo verso alla disequazione: $4x^2-20x+25 > 0$. Perciò da ora "dimentichiamo" la disequazione di partenza e lavoriamo solo su questa sua scrittura equivalente.


Risolviamo l'equazione associata: $\Delta = 0$ e $x_1=x_2=\frac{5}{2}$.


Il segno del polinomio $4x^2-20x+25$ è dato dallo schema: 


La disequazione da risolvere è $4x^2-20x+25 > 0$, quindi dobbiamo individuare dove il polinomio di 2° grado è positivo. Osservando lo schema o consultando la tabella troviamo la soluzione della disequazione: $\forall x \in \mathbb R$, $x\neq \frac{5}{2}$.




Consideriamo l'equazione $5x^2+9 \geq 0$.
Il coefficiente $a$ è positivo, quindi non dobbiamo trasformare la disequazione.


Risolvendo l'equazione associata, otteniamo $\Delta<0$: l'equazione non ha soluzioni.


Il polinomio è sempre positivo: lo schema corrispondente è una linea continua.


La soluzione della disequazione $5x^2+9 \geq 0$ è: $\forall x \in \mathbb R$.




Nel caso questi esempi non fossero abbastanza, abbiamo preparato un video con alcuni 
esercizi svolti sulle disequazioni di secondo grado
. 


 


Il perché dello schema risolutivo: il metodo della parabola


Può sembrare complicato imparare gli schemi mostrati al punto 3 del procedimento risolutivo, o ricordarsi a memoria la tabella al punto 4. In questa sezione spieghiamo perché gli schemi al punto 3 sono fatti proprio in quel modo, in modo da facilitare la risoluzione di una disequazione di secondo grado, introducendo il 
metodo della parabola
.


Consideriamo una disequazione di secondo grado, con polinomio $ax^2 + bx + c$. Nel piano cartesiano le soluzioni dell'equazione $y=ax^2+bx+c$ (cioè, le coppie $(x, y)$ che soddisfano l’equazione) si possono rappresentare con una 
parabola
. In particolare, se $a>0$ la parabola è "rivolta verso l'alto" e se $a<0$ è "rivolta verso il basso".




I punti dell'asse $x$ che appartengono anche alla parabola (se ci sono) rappresentano le soluzioni dell'equazione $ax^2+bx+c=0$, dato che questi punti hanno ordinata $0$ e, contemporaneamente, soddisfano l’equazione $y = ax^2 + bx + c$. Seguendo un ragionamento analogo, le ascisse dei punti della parabola che si trovano 
sopra
 l’asse $x$ soddisfano la disequazione $ax^2 + bx + c > 0$, mentre le ascisse dei punti che si trovano 
sotto
 l’asse $x$ soddisfano la disequazione $ax^2 + bx + c < 0$. A partire da queste considerazioni si ottiene un metodo, alternativo ma strettamente collegato a quello visto precedentemente, per studiare il segno del polinomio $ax^2+bx+c$.


Analizziamo il caso in cui $a>0$, dato che possiamo ricondurci sempre a un polinomio di questo genere. Abbiamo tre situazioni possibili a seconda del segno del $\Delta$.


Se $\Delta > 0$ l’equazione $ax^2 + bx + c = 0$ ha due radici distinte $x_1$ e $x_2$, e quindi la parabola ha due intersezioni con l’asse $x$, le cui ascisse sono $x_1$ e $x_2$. Quando $x < x_1$ e $x > x_2$, il grafico della parabola è 
sopra
 l’asse $x$; quindi per questi valori $ax^2 + bx + c > 0$. Quando $x_1 < x < x_2$ il grafico della parabola è 
sotto 
l’asse $x$, quindi per questi valori $ax^2 + bx + c < 0$.


Se $\Delta = 0$ l’equazione $ax^2 + bx + c = 0$ ha una radice $x_1$, e quindi la parabola ha una intersezione con l’asse $x$, la cui ascissa è $x_1$. Quando $x \neq x_1$, il grafico della parabola è 
sopra
 l’asse $x$, e quindi per questi valori $ax^2 + bx + c > 0$.


Se $\Delta < 0$, l’equazione $ax^2 + bx + c = 0$ non ha radici, e quindi la parabola non ha intersezioni con l’asse $x$. La parabola allora starà interamente 
sopra
 l’asse $x$, e quindi $ax^2 + bx + c > 0$ per ogni scelta di $x$.


Questo metodo giustifica quindi gli schemi risolutivi introdotti al terzo passo del procedimento algebrico.


Sottolineiamo, in ogni caso, che si possono fare rappresentazioni analoghe anche nel caso in cui $a<0$, a patto di “girare” la parabola nel piano cartesiano.


 

