Insieme di definizione - WeSchool


 


Consideriamo l'
espressione letterale
 $E=\frac{x-y}{3x}$.


Se a $x$ sositutiamo il numero $1$ e a $y$ il numero $1$, il numeratore della frazione è $0$, mentre il denominatore vale $3$; il valore finale è dunque $\frac{0}{3}=0$.





















Videolezione "Come tradurre espressioni matematiche usando il calcolo letterale"

























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Se invece $x$ assume il valore $0$ e $y$ il valore $25$ il numeratore della frazione è $-25$ mentre il denominatore vale $0$; il valore finale è dunque $\frac{-25}{0}$, che è un'operazione impossibile, poichè non è possibile dividere per $0$.


Non possiamo allora concludere che per ogni coppia di numeri razionali $(x, y)$ l’espressione $E$ assuma un valore razionale. Per poter calcolare il valore di $E$ dobbiamo scegliere delle coppie di numeri in cui il denominatore, $3x$, sia diverso da zero: scriveremo quindi come premessa alla ricerca dei valori di $E$ la condizione di esistenza $x \neq 0$.


 


L’esempio appena illustrato ci fa capire che di fronte ad un’
espressione letterale
 dobbiamo riflettere sullo schema di calcolo che essa rappresenta, per capire quali valori le variabili possono assumere o non assumere. Nella fattispecie, se l’espressione letterale presenta una frazione in cui il denominatore contiene variabili, dobbiamo stabilire le 
condizioni di esistenza
, 
eliminando quei valori che rendono nullo il denominatore
.


 


Per comprendere la necessità di porre le condizioni d’esistenza ricordiamo la definizione di divisione. Quanto fa $15$ diviso $5$? Perché? In forma matematica: $15:5=3$ perché $3 \cdot 5=15 $, e $3$ è l’unico numero per cui ciò accada. Quindi, sostituendo a $15$, $5$ e $3$ delle lettere qualsiasi, possiamo generalizzare così: $a:b=c$ se $c$ è l’unico numero tale che $c \cdot b=a$.


Vediamo ora cosa succede quando uno dei numeri è $0$. Quanto fa $0:5$? Devo cercare un numero che moltiplicato per $5$ mi dia $0$: trovo solo $0$; infatti $0 \cdot 5=0$.


Quanto fa $15:0$? Devo cercare un numero che moltiplicato per $0$ mi dia $15$: non lo trovo; infatti nessun numero moltiplicato per $0$ fa $15$. Quindi, $15:0$ è 
impossibile
 perché non esiste $x$ per il quale $x \cdot 0=15$.


Quanto fa $0:0$? Devo cercare un numero che moltiplicato per $0$ mi dia $0$: non ne trovo solo uno. Infatti, qualunque numero moltiplicato per $0$ fa $0$. Per esempio, $0 : 0 = 33$ infatti $33 \cdot 0=0$, ma anche $0:0=-189,67$ infatti $-189,67 \cdot 0=0$, $0:0=0$ infatti $0 \cdot 0=0$, ancora $0:0= 1120^{99}$ infatti $1120^{99} \cdot 0=0$. Quindi $0:0$ è 
indeterminato
, perché non è possibile determinare un solo numero $x$ tale che $x \cdot 0=0$: per qualunque valore di $x$ si ha $x \cdot 0=0$.


 


Consideriamo l’espressione letterale $E=\frac{a-b}{a+b}$ dove $a$ e $b$ rappresentano numeri razionali. La descrizione a parole dello schema di calcolo è “la divisione tra la differenza di due numeri e la loro somma”. Tutavia, essendo una divisione, dobbiamo porci la domanda che riguarda il denominatore: “quando, sommando due numeri razionali, otteniamo $0$ al denominatore?” La condizione di esistenza si può esprimere allora come: “$a$ e $b$ non devono essere numeri opposti”, infatti la somma di due numeri opposti è uguale a $0$, e ciò darebbe luogo ad un’espressione impossibile. Dal punto di vista del calcolo letterale la condizione si traduce in $a+b \neq0 $, oppure $a \neq -b$.


 


 

