「やっと」「ついに」「とうとう」の違いが上手く説明できません。
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これらは相互の入れ替えができるものもありますが、話者がフォーカスしたいことや話者の希望どおりにならなかったことには使えないものなど違いがあります。
「やっと」はここに至るまでが長かった、辛かったということにフォーカスしています。話者が望んでいた結果にのみ使えます。

〇何度も挑戦して、やっと合格できた
✕長い間通院していた祖父がやっと入院することになりました
→「努力して待ち望んでいた結果が手に入った」

「ついに」は期待されていた「大きな出来事でがおこる」ことにフォーカスしています。話者が望んでいたことにも臨んでいなかったことにも使えます。
〇何度も挑戦して、ついに合格できた
〇長い間通院していたがついに入院することになりました
→「起こるとおもわれていたあの出来事がついに」
「とうとう」はここに至るまでが長かったということにフォーカスしています。
話者が望んでいたことにも臨んでいなかったことにも使えます。

〇何度も挑戦して、とうとう合格した
〇長い間通院していた祖父がとうとう入院することになりました
→「長い長い時間をへて」
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