Viết một tiếp tục cho đoạn này - Làm ra mắt ISU Challenger Series (CS), Kvitelashvili đứng thứ năm tại Lombardia Trophy vào tháng 9 năm 2014. Vào tháng 11, anh thi đấu tại Cúp Rostelecom 2014, thay thế Kolyada bị thương; anh kết thúc thứ mười hai tại sự kiện, nhiệm vụ Grand Prix cao cấp đầu tiên (GP) trong sự nghiệp của mình. Sau khi đứng thứ tám tại Giải vô địch Nga 2015
Năm 2015, anh được gửi đến Đại học mùa đông lần thứ hai của mình và kết thúc thứ bảy tại cuộc thi, được tổ chức vào tháng 2 năm 2015 tại Granada, Tây Ban Nha.