Các kết quả ban đầu về các nhóm permutation đã được Lagrange, Ruffini và Abel đạt được trong việc tìm kiếm các giải pháp chung cho các phương trình đa thức cấp cao. Évariste Galois đã đặt ra thuật ngữ "nhóm" và thiết lập một kết nối, bây giờ được gọi là lý thuyết Galois, giữa lý thuyết nhóm mới ra đời và lý thuyết trường. Trong hình học, các nhóm đầu tiên trở nên quan trọng trong hình học chiếu và sau đó, hình học phi Euclidean. Chương trình Erlangen của Felix Klein tuyên bố lý thuyết nhóm là nguyên tắc tổ chức của lý thuyết hình học.
Lý thuyết Galois