2の平方根が不合理であることの証明をくれ
以下は、2の平方根が無理数であることの矛盾による証明である。これは、ある整数pとqに対してsqrt(2) = p / qであることを意味する。さらに、一般性を失うことなく、この分数は縮小形であり、pとqには共通因数がないと仮定する。このように仮定できるのは、どのような整数分数もこのような縮約形で書けるからであり、sqrt(2)の有理表現が存在することは、縮約形が存在することを意味する。さて、上の式の両辺を2乗すると、次のようになる。

2 = p^2 / q^2

となる。ここでq^2を掛けると

2 * q^2 = p^2

左辺は2の因数で偶数なので、右辺p^2も偶数であることに注意。つまり、pも偶数でなければならず、そうでなければp^2は偶数にならない。ということは、pは整数xに対して2 * xと書くことができる。

2 * q^2 = (2 * x)^2 = 2^2 * x^2

方程式の両辺には、キャンセルできる2の因数があることに注意。これを実行すると

q^2 = 2 * x^2

上と同様の議論によって、qは偶数であると結論づけることができる。しかし、これはpとqに共通因子がないという仮定と矛盾する。従って、sqrt(2)が有理数であるという最初の仮定は誤りであった。