現代ポートフォリオ理論（Modern Portfolio Theory）https://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory、ポートフォリオのリターンと分散を計算するための数式をmath latex markdown形式で抽出する。
MPTは、投資家がリスク回避的であると仮定している。つまり、同じ期待リターンを提供する2つのポートフォリオがあれば、投資家はリスクの少ない方を好むということである。したがって、投資家は、より高い期待リターンによって補償される場合にのみ、より高いリスクを負うことになる。逆に、より高い期待リターンを求める投資家は、より大きなリスクを受け入れなければならない。正確なトレードオフは、すべての投資家にとって同じではない。個々の投資家のリスク回避特性によって、トレードオフの評価は異なる。その意味するところは、合理的な投資家は、より有利なリスクと期待リターンのプロフィールを持つ第二のポートフォリオが存在する場合、つまり、そのリスクレベルに対して、より優れた期待リターンを持つ代替ポートフォリオが存在する場合、そのポートフォリオには投資しないということである。

このモデルでは

ポートフォリオ・リターンは、構成資産のリターンを比率加重したものである。
ポートフォリオ・リターンのボラティリティ
\p} は、すべての資産ペア (i, j) の構成資産の相関 ρij の関数です。ボラティリティは、投資に関連するリスクを洞察します。ボラティリティが高ければ高いほど、リスクも高くなります。
- 期待されるリターン
$$
\E}left(R_pârright)=sum_i w_i
$$
ここで、$R_p$はポートフォリオのリターン、$R_i$は資産$i$のリターン、$w_i$は構成資産$i$のウェイト（つまり、$sum_i w_i=1$ となるように、ポートフォリオに占める資産「i」の割合）である。
- ポートフォリオのリターン分散：
$$

$$
ここで、$sigma_i$は資産$i$の周期的リターンの(標本)標準偏差、$rho_{i j}$は資産$i$と$j$のリターン間の相関係数である。あるいは、この式は次のように書くこともできる：
$$
\と書くこともできる。
$$
ここで、$i=j$のとき$rho_{i j}=1$、あるいは
$$
\ここで、$i=j$のとき$rho_{i j}=1$とする。
$$
ここで、$sigma_{i j}=i }=i }=i }=i }=i }=i }$ここで、$sigma_{i j}=i }=i }=i }$は、2つの資産の定期的リターンの（サンプル）共分散であり、$sigma(i, j)$、$operatorname{cov}{ }_{i j}$、または$operatorname{cov}(i, j)$と表記される。
- ポートフォリオのリターンのボラティリティ(標準偏差)：
$$
\sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2}
$$
2資産ポートフォリオの場合：
- ポートフォリオ・リターン：
E}left(R_p_right)=w_A ૢE}left(R_Aright)+w_B ૢE}left(R_B })=w_A ૢE}left(R_Aright)+ૢleft(1-w_A }right) ૢE}left(R_B })$$.

- ポートフォリオの分散：
sigma_p^2=w_A^2 Γσ_A^2+w_B^2 Γσ_B^2+2 w_A w_B Γσ_A Γσ_B Γrho_{A B}$$ である。
3資産ポートフォリオの場合
- ポートフォリオ・リターン：
i$mathrm{E}}left(R_pacheright)=w_A i$mathrm{E}}left(R_Aacheright)+w_B i$mathrm{E}}left(R_Bacheright)+w_C i$mathrm{E}}left(R_Cacheright)$$ である。
- ポートフォリオの分散：
sigma_p^2=w_A^2 Γσ_A^2+w_B^2 Γσ_B^2+w_C^2 Γσ_C^2+2 w_A w_B Γσ_A Γσ_B Γrho_{A B}+2 w_A w_C Γσ_A Γrho_{A C}+2 w_B w_C Γrho_{B C}$$.