リー代数について説明する
数学において単純リー群とは、非自明な連結正規部分群を持たない連結非アベリアンリー群Gのことである。単純リー群のリストは、単純リー代数とリーマン対称空間のリストを読み出すために使用することができます。

実数の可換リー群と合わせて
\単純リー群は、実数の可換リー群U(1)（単位円）、および単位倍数複素数の可換リー群U(1)（単位円）とともに、群拡張の操作によってすべての（有限次元）連結リー群を構成する原子「ブロック」を与える。例えば、行列式が1に等しいn×n行列のいわゆる「特殊線形群」SL(n)は、すべてのn>1に対して単純である。

単純リー群の最初の分類はヴィルヘルム・キリングによるもので、この研究は後にエリー・カルタンによって完成された。最終的な分類はしばしばキリング-カルタン分類と呼ばれる。
残念ながら、単純リー群の普遍的な定義はない。特に、抽象群として単純なリー群として定義されるとは限らない。単純リー群は連結していなければならないのか、自明でない中心を持つことが許されるのか、あるいは
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\mathbb{R}が単純リー群であるかどうか。

最も一般的な定義は、リー群は、それが接続され、非アベリアンであり、すべての閉じた接続正規部分群は、アイデンティティまたはグループ全体のいずれかである場合、単純であるということです。特に、単純群は自明でない中心を持つことが許されるが
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\mathbb{R}は単純ではない。

この論文では、トリビアル中心を持つ連結単純リー群を列挙する。これらが分かれば、非自明中心を持つものは次のように簡単に列挙できる。トリビアルな中心を持つ任意の単純リー群は、その中心が単純リー群の基本群であるユニバーサルカバーを持つ。対応する非自明中心を持つ単純リー群は、この普遍カバーの中心の部分群による商として得ることができる。

代替案
単純リー群の等価な定義はリー対応から導かれる：連結リー群は、そのリー代数が単純であれば単純である。重要な技術的ポイントは、単純リー群は離散正規部分群を含むことができるということである。この理由から、単純リー群の定義は、抽象群として単純なリー群の定義と等価ではない。

単純リー群には多くの古典的リー群が含まれ、フェリックス・クラインのエルランゲン・プログラムの意味において、球面幾何学、射影幾何学、および関連する幾何学の群論的基礎を提供している。単純リー群の分類の過程で、馴染みのある幾何学には対応しないいくつかの例外的な可能性も存在することが明らかになった。これらの例外的な群は、数学の他の分野や現代の理論物理学における多くの特別な例や構成を説明する。

反例として、一般的な線形群は単純でも半単純でもない。これは、恒等式の倍数が自明でない正規部分群を形成するため、定義を回避するためである。等価的に、対応するリー代数は退化したキリング形を持ち、なぜなら恒等式の倍数は代数のゼロ要素に写像するからである。したがって、対応するリー代数も単純でも半単純でもない。もう一つの反例は、偶数次元の特殊な直交群である。これらは行列
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-Iを中心に持ち、この要素は恒等要素にパス接続されているので、これらの群は定義を回避する。これらはいずれも還元的群である。