この文章に基づく組み合わせ論におけるバーンサイドのレンマの実際的な応用例にはどのようなものがあるか？
バーンサイドのレンマ（Burnside's lemma）は、バーンサイドの計数定理、コーシー・フロベニウスのレンマ、軌道計数定理、またはバーンサイドのレンマではないレンマとも呼ばれることがあり、群論における結果である。この定理は、ウィリアム・バーンサイド、ジョージ・ポーリヤ、オーギュスタン・ルイ・コーシー、フェルディナンド・ゲオルク・フロベニウスに由来する。この結果はバーンサイド自身によるものではなく、彼の著書'On the Theory of Groups of Finite Order'の中で引用されているだけで、代わりにフロベニウス(1887)によるものである。バーンサイドのレンマは「軌道」を数えるが、これは対称性を考慮した別個の対象を数えるのと同じことである。他の言い方としては、同値関係Rまで異なる対象を数える、あるいは正準形式にある対象を数える、などがある。

以下では、Gを集合Xに作用する有限群とする。Gの各gについて、Xgをgによって固定される（gによって左不変ともいう）Xの要素の集合、すなわちXg = { x∈X｜g.x = x }とする。バーンサイドのレンマは、｜X/G｜と表記される軌道の数について以下の公式を主張する：

|
�
/
�
|
=
1
|
�
|
∑
�
∈
�
|
�
�
|
.
{X/G|={frac {1}{|G|}}sum_{ginG}|X^{g}|。｝
したがって、軌道の数（自然数または+∞）は、Gの要素によって固定された点の平均数（これも自然数または無限大）に等しい。Gが無限大の場合、｜G｜による除算はうまく定義できないことがある：

|
�
|
|
�
/
�
|
=
∑
�
∈
�
|
�
�
|
.
{G||X/G|=sum _{gin G}|X^{g}|.}.
列挙への応用例
ネックレス
長さ3のビットベクトルは8通りあるが、長さ3の2色のネックレスは000、001、011、111の4通りしかない。この式は、回転の数（この場合は3回転（ヌル回転を含む））と、各回転によって変化しないビット・ベクトルの数に基づいている。8ビットベクトルすべてがヌル回転によって変化せず、2つ（000と111）が他の2つの回転によって変化しない：
4
=
1
3
(
8
+
2
+
2
)
{displaystyle 4={frac {1}{3}}(8+2+2)}.

長さ4の場合、16の可能なビットベクトル、4つの回転があります。ヌル回転は16のビットベクトルすべてを変更しません。1回転と3回転はそれぞれ2つのビットベクトル（0000と1111）を変更しません。2回転は4つのビットベクトル（0000、0101、1010、1111）を変更しません：
6
=
1
4
(
16
+
2
+
4
+
2
)
{displaystyle 6={frac {1}{4}}(16+2+4+2)}.これらは0000、0001、0011、0101、0111、1111。

立方体のカラーリング
3色を使った立方体の面の回転方向に異なる色の数は、この式から次のように求めることができる。

ある特定の向きで立方体に適用できる36通りの面の色の組み合わせの集合をXとし、立方体の回転群Gが自然な方法でXに作用するとする。このとき、Xの2つの要素は、一方が他方の単なる回転であるとき、正確に同じ軌道に属する。従って、回転的に異なるカラーリングの数は軌道の数と同じであり、Gの24個の要素について固定集合の大きさを数えることによって求めることができる。


色つきの面を持つ立方体
Xの36要素すべてを変更しない1つの恒等要素
6つの90度の面回転。各回転でXの要素のうち33個は変化なし。
180度の面回転を3回行い、それぞれXの要素のうち34個を不変とする
120度の頂点回転を8回行い、それぞれXの要素のうち32個を変更しない。
180度の辺の回転が6回あり、それぞれXの要素のうち33個が変化しない。
これらのオートモルフィズムの詳細な検証はここにある。

平均修正サイズは次の通りである

1
24
(
3
6
+
6
⋅
3
3
+
3
⋅
3
4
+
8
⋅
3
2
+
6
⋅
3
3
)
=
57.
{left(3^{6}+6cdot 3^{3}+3cdot 3^{4}+8cdot 3^{2}+6cdot 3^{3}right)=57.
従って、立方体の面を3色で回転させた場合、57通りの色がある。一般に、n色の立方体の面の回転的に異なる色の数は次式で与えられる。

1
24
(
�
6
+
3
�
4
+
12
�
3
+
8
�
2
)
.
{\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right).
8クイーンパズル
8クイーンパズルには92の解法があり、そのうちの12の基本的な解法はボードの回転と反射まで明確です。回転と反射の組み合わせはヌルアクションを含めて8通りある。ヌルアクションでは92の解はすべて変化しない。92個のうち4個は対称で、180°回転しても変化しない。つまり
12
=
1
8
(
92
+
4
)
{displaystyle 12={frac {1}{8}}(92+4)}.
* ネックレスの数を数える問題：様々な長さのネックレスを回転させながら数える。この記事では，長さ3と4のネックレスを数えており，答えはそれぞれ4と6である．
* 立方体の着色問題：立方体の面の回転方向に異なる着色を数える．この記事では3色が使われる場合を考えており，答えは57である．
* 8クイーンパズル：古典的なバージョンの問題で、8x8の盤上に8個のチェスのクイーンを配置し、どのクイーンも他のクイーンを攻撃しないようにするための様々な方法を数える（答えは92）。バーンサイドのレンマを応用して、回転と反射までの異なるクイーンの配置の数を数え、12が答えとなる。