一方を他方のべき乗にすると有理数になる2つの無理数が存在することの証明は？
ここでは、a^bが有理数となるような2つの無理数aとbが存在することを場合分けして証明する。まず、a = b = sqrt(2)を考える。もしa^b = sqrt(2) ^ sqrt(2)が有理数なら、a^bが有理数であるような無理数aとbを見つけたので、これで終わりである。そうでなければ、sqrt(2) ^ sqrt(2)は無理数である。a = sqrt(2) ^ sqrt(2) と b = sqrt(2) とする。すると、a ^ b = (sqrt(2) ^ sqrt(2)) となる。^ sqrt(2) = sqrt(2) ^ (sqrt(2) * sqrt(2)) = sqrt(2) ^ 2 = 2 であり、これは有理である。つまり、a^bが有理数である非理数aとbを見つけることができる。