ユークリッド空間の部分集合がコンパクトであることを示すのに十分な2つの性質を抽出しなさい。これらの性質を箇条書きにしなさい。
一般性のレベルに応じて、コンパクト性にはさまざまな定義が適用される。特にユークリッド空間の部分集合は、閉じていて有界であればコンパクトと呼ばれる。これは、ボルツァーノ＝ワイアーシュトラスの定理によって、その集合からの任意の無限数列が、その集合内の点に収束する部分数列を持つことを意味する。逐次的コンパクト性や極限点コンパクト性など、コンパクト性のさまざまな等価な概念は、一般的な計量空間において発展させることができる。

これとは対照的に、一般的な位相空間では、コンパクト性のさまざまな概念は等価ではなく、コンパクト性の最も有用な概念（もともとはバイコンパクトネスと呼ばれた）は、開集合からなるカバーを用いて定義される（以下の「開カバーの定義」を参照）。このコンパクト性がユークリッド空間の閉じた有界部分集合に対して成り立つことは、ハイネ・ボレルの定理として知られている。このようにコンパクト性が定義されると、空間の各点の近傍で局所的に知られている情報を、空間全体で大域的に成り立つ情報に拡張することができる。この現象の例として、コンパクトな区間上の連続関数は一様に連続であるというディリクレの定理があるが、これはもともとハイネによって適用されたものである。
ハイネ・ボレルの定理によれば、ユークリッド空間の部分集合がコンパクトであることを示すには、以下の性質があれば十分である：
- 集合が閉じている
- 集合が閉じている