Sorozatok




 Csatoltam képet.
`c\_1=b\_1-a\_1=0`  

`c\_n=b\_n-a\_n`  

`c\_(n+1)=b\_(n+1)-a\_(n+1)=(10b\_n+10)-(10a\_n+1)=10c\_n+9`  

(Vagyis 0, 9, 99, 999, 9999, stb.)  

  

Kicsit belegondolva egyértelműnek tűnik, hogy rekurió nélkül, zárt képlettel is felírhatjuk: `c\_n=10^(n-1)-1`, de ezt persze be kell bizonyítani. Teljes indukcióval egyszerű a bizonyítás, rád hagyom.  

  

`S\_n=sum\_(k=1)^n c\_k=sum\_(k=1)^n (10^(k-1)-1)=sum\_(k=1)^n 10^(k-1)-sum\_(k=1)^n 1`  

A második szumma egyszerű: `n·1`  

Az első szumma pedig egy mértani sorozat összege. Maga a mértani sorozat ez: `e\_1=1`  

`q=10`  

`e\_n=e\_1·q^(n-1)`  

A sorozat összege pedig `e\_1·(q^n-1)/(q-1)=(10^n-1)/9`  

  

Szóval az eredeti sorozatösszeg:  

`S\_n=sum\_(k=1)^n 10^(k-1)-sum\_(k=1)^n 1=(10^n-1)/9-n`  

`S\_2019=(10^2019-1)/9-2019`  

Vagyis `11111111...11111-2019`, összesen 2019 darab 1-esből van kivonva a `2019`.  

Mivel az utolsó 5 számjegynél `11111-02019=09092`, ezért 2014 darab `1`-es után a `09092` számjegyek vannak még a számban. A számjegyek összege tehát `2034`.  

  

Érdekes, hogy `S\_2012`-től `S\_2021`-ig a számjegyek összege minden esetben `2034`.
A <https://www.piskelapp.com/> tud ilyet:

![](https://i.ibb.co/JKSc27b/1.png) Kiadagolva. Igen. Igen, OTP kártyával. Szia. 


Sikerült megoldani, ha jól gondolom :) Szia sarolt!  

Az a git add lesz :) Családi szoba, Egyágyas szoba, Háromágyas szoba, Kétágyas szoba Standard egyágyas szoba, Standard kétágyas szoba, Superior egyágyas szoba , Superior kétágyas szoba , Superior plus szoba Csatlakozom! Hiányzik! [@vkleszken](/u/vkleszken) [@gunar](/u/gunar) köszi, már folyamatban van a megoldása. :slight\_smile: