Ramanujansumme
Als Ramanujansumme wird in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine bestimmte endliche Summe , deren Wert von der natürlichen Zahl  und der ganzen Zahl  abhängt, bezeichnet. Sie wird durch

definiert. Die Schreibweise  steht für den größten gemeinsamen Teiler von  und , die Summation erstreckt sich also über die Zahlen  mit , die zu  teilerfremd sind. Die einzelnen Summanden sind Potenzen einer festen komplexen Einheitswurzel.

S. Ramanujan führte diese Summen 1916 ein. Sie spielen eine wichtige Rolle bei der Kreismethode nach Hardy, Littlewood und Winogradow. → Siehe dazu auch Trigonometrisches Polynom.

Durch Ramanujansummen kann man interessante Darstellungen für zahlentheoretische Funktionen gewinnen, die eine analytische Fortsetzung dieser Funktionen erlauben.

Schreibweisen 
Für eine übersichtliche Darstellung wird in der Zahlentheorie abkürzend  geschrieben und die Funktion  wird als zahlentheoretische Exponentialfunktion bezeichnet.

Mit der zahlentheoretischen Exponentialfunktion lässt sich die Ramanujansumme  als
 schreiben.

Für ganze Zahlen  und  schreibt man , gelesen „a teilt b“, falls eine ganze Zahl  existiert, mit der  gilt. Existiert keine solche Zahl, schreibt man , gelesen „a teilt b nicht“. Das Summationssymbol  bedeutet, dass der Summationsindex  alle positiven Teiler von  durchläuft. Für eine Primzahlpotenz  und eine ganze Zahl  schreibt man  (gelesen „ teilt b genau“), falls  aber  – mit anderen Worten, falls .

Elementare Eigenschaften 
Hält man eine der Variablen  oder  in der Ramanujansumme  fest, so erhält man eine zahlentheoretische Funktion in Abhängigkeit von der anderen Variablen,  muss für diesen Begriff als Variable auf  beschränkt werden. Bei festem  ist die Funktion  -periodisch, das heißt, es gilt
, falls .

Lässt man die Bedingung der Teilerfremdheit bei der Summation fort, erhält man

denn dann ist die linke Seite eine geometrische Summe. Sortiert man in der Summe nach dem größten gemeinsamen Teiler von  und , dann ergibt sich eine Dirichlet-Faltung der zahlentheoretischen Funktion  mit der konstanten Funktion :
.
Daraus folgt mit der Möbiusschen Umkehrformel:

Daraus folgt dann:
 Die Ramanujansumme  nimmt stets reelle und sogar ganzzahlige Werte an,
 es gilt , ,
 sie ist bei festem  eine multiplikative zahlentheoretische Funktion von , das heißt,
 aus  folgt 
 und es gilt stets .
 Man kann die Ramanujansumme durch die Eulersche φ-Funktion  und die Möbiusfunktion  darstellen:
 (für  setzt man , allgemeiner  als positiven ggT fest),
 ihre Werte sind bei festem  betragsmäßig durch  beschränkt,
 ist  nicht quadratfrei, so ist .

Ramanujansummen zur Darstellung von zahlentheoretischen Funktionen 
Bereits Ramanujan zeigte für einige wichtige Spezialfälle, dass man mit seinen Summen interessante Darstellungen für zahlentheoretische Funktionen gewinnen kann. Dazu wird eine spezielle Art diskreter Fourier-Transformation für zahlentheoretische Funktionen des größten gemeinsamen Teilers eingeführt:
Seien  und  eine zahlentheoretische Funktion. Dann heißt

diskrete Fouriertransformierte von .
Für diese Fouriertransformierte gilt
  und
  für die inverse Transformierte.
Bei diesen Transformationen müssen die bestimmenden Gleichungen durch die Bildung des größten gemeinsamen Teilers nur endlich viele Koeffizienten mit positivem Index berücksichtigen.

Beispiele 
 Größter gemeinsamer Teiler:

 Diese Darstellung erlaubt eine analytische Fortsetzung des größten gemeinsamen Teilers in der ersten Stelle  auf  als ganze Funktion.
 Eulersche φ-Funktion:

 Daraus folgen durch Aufteilen in Real- und Imaginärteil die trigonometrischen Relationen
 und 
 Die Teilerfunktion  lässt sich für  mittels Ramanujansummen explizit als Reihe darstellen:

 Die Berechnung der ersten Werte von  zeigt das Schwanken um den „Mittelwert“ (die durchschnittliche Größenordnung) :

 Eine Art Orthogonalität für Ramanujansummen: Sei  die zahlentheoretische Einsfunktion, also das neutrale Element der Faltungsoperation mit

 Dann folgt durch inverse Fouriertransformation für 

 Das bedeutet: Genau dann, wenn die rechtsstehende Summe nicht verschwindet, sind die Zahlen  und  teilerfremd. Die rechte Seite der Gleichung hat dann den Wert 1.

Literatur

Einzelnachweise 

Zahlentheoretische Funktion
Srinivasa Ramanujan