Dolbeault-Kohomologie
Die Dolbeault-Kohomologie ist eine mathematische Konstruktion aus dem Bereich der Differentialtopologie und der komplexen Geometrie. Benannt wurde sie nach dem Mathematiker Pierre Dolbeault, der sie 1953 definierte und untersuchte. Die Dolbeault-Kohomologie ist eine spezielle Kohomologietheorie. Als Analogon zur De-Rham-Kohomologie auf komplexen Mannigfaltigkeiten ist sie ebenfalls zentral in der Hodge-Theorie.

Dolbeault-Komplex 
Im Folgenden werde mit  die Menge der -Differentialformen bezeichnet. Sei  eine -dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit,  eine offene Teilmenge und 

der Dolbeault-Quer-Operator. Dann heißt die Sequenz

-ter Dolbeault-Komplex. Dieser  Komplex ist ein Kokettenkomplex, denn es gilt  Da die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit endlichdimensional ist, bricht der Komplex nach  Schritten ab. Außerdem ist der Dolbeault-Komplex elliptisch, das heißt der Kokettenkomplex der Hauptsymbole von  ist exakt.

Dolbeault-Kohomologie 
Aus diesem -ten Kokettenkomplex erhält man auf gewohnte Weise eine Kohomologie. Diese Kohomologie heißt -te Dolbeault-Kohomologie und wird durch  notiert. Die -te Kohomologiegruppe der -ten Dolbeault-Kohomologie oder kurz die -te Dolbeault-Gruppe ist also definiert als

Genauso wie bei der De-Rham-Kohomologie sind die Kohomologiegruppen auch Vektorräume.

Satz von Dolbeault 
Der Satz von Dolbeault ist ein komplexes Analogon zum Satz von de Rham. Mit  wird die Garbe der holomorphen -Formen auf der komplexen Mannigfaltigkeit  bezeichnet. Der Satz von Dolbeault besagt nun, dass die -te Garbenkohomologiegruppe mit Werten in den holomorphen -Formen  isomorph zur -ten Kohomologiegruppe der -ten Dolbeault-Kohomologie  ist. In mathematischer Kürze bedeutet dies

Literatur 
 P. Dolbeault: Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. 236, 1953, , S. 175–277.
 Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, New York NY 2002, ISBN 0-387-95395-7 (Graduate Texts in Mathematics 213).

Differentialtopologie
Kohomologietheorie