Satz von Erdős-Rado
Der Satz von Erdős-Rado, benannt nach Paul Erdős und Richard Rado, ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Mengenlehre. Er trifft eine Aussage darüber, wie groß eine Menge sein muss, um eine gewisse Zerlegungseigenschaft zu haben.

Die Pfeilnotation 
Für eine Menge  sei  die Menge aller -elementigen Teilmengen von , wobei  eine natürliche Zahl sei. Für Kardinalzahlen ,,  schreibt man
,
falls folgende Aussage richtig ist:
 Ist  eine Zerlegung von  in  viele (paarweise disjunkte) Teilmengen, so enthält wenigstens eine dieser Zerlegungsmengen  eine Teilmenge der Form , wobei  die Mächtigkeit  hat.

Diese auf P.  Erdős und R. Rado zurückgehende Pfeilnotation soll hier durch einige Beispiele verdeutlicht werden. Der Fall  bedeutet einfach, dass bei einer Zerlegung von  in  Teile wenigstens ein Teil die Mächtigkeit  haben muss. Allein aus Mächtigkeitsgründen gilt also für unendliche Kardinalzahlen , dass  oder , wobei  die Aleph-Notation für kleinste unendliche Kardinalzahl sei. Interessantere, das heißt weniger triviale, Aussagen erhält man erst für den Fall . 
So lässt sich der Satz von Ramsey in der Pfeilnotation wie folgt formulieren:
  für alle natürlichen Zahlen .

Man beachte, dass die Aussage  richtig bleibt, wenn man zu größeren Kardinalzahlen  übergeht oder wenn man eine der Größen  verkleinert. In der Pfeilnotation werden die Größen durch den Pfeil also nach ihrem Monotonieverhalten getrennt, was zumindest eine Merkhilfe ist.

Gilt die Aussage  nicht, so schreibt man auch . Ist , so lassen manche Autoren den Index  gerne weg.

W. Sierpiński hat für unendliche Kardinalzahlen  gezeigt, dass 
 , oder genauer 
wobei  die Nachfolger-Kardinalzahl von  bezeichnet.

Formulierung des Satzes 
Unter Verwendung obiger Pfeilnotation und der Beth-Funktion  lautet der Satz von Erdős-Rado:
  für alle natürlichen Zahlen .

Für  ist  und der Satz von Erdős-Rado besagt lediglich , das heißt bei einer Zerlegung von  in abzählbar viele Teile muss wenigstens ein Teil die Mächtigkeit  haben, und das bedeutet, dass  nicht abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist. Erst für  erhält man nicht-triviale Aussagen.

Die oben genannte auf  Sierpiński zurückgehende Aussage besagt für , dass , oder wegen des Monotonieverhaltens  für alle . Der Satz von Erdős-Rado trifft nun die positive Aussage  für alle , denn für  erhält man  und das Monotonieverhalten der Pfeilnotation führt zur gewünschten Aussage.

Obiger Satz lässt folgende Verallgemeinerung auf höhere Mächtigkeiten zu, die ebenfalls als Satz von Erdős-Rado bezeichnet wird. Für eine unendliche Kardinalzahl  definiere rekursiv
 
 .
Dann gilt
  für alle natürlichen Zahlen  und alle unendlichen Kardinalzahlen .

Dieses Ergebnis ist scharf, das heißt die Kardinalzahl auf der linken Seite des Pfeils kann nicht durch eine kleinere ersetzt werden. Daher ist der Satz von Erdős-Rado eine Aussage darüber, wie groß eine Kardinalzahl  sein muss, damit die Partitionseigenschaft  erfüllt ist: Es muss  sein.

Für  ist , und man erhält den zuvor genannten Satz von Erdős-Rado als Spezialfall. Aus dem Monotonieeigenschaften der Pfeilnotation folgt aus dem Fall  des Satzes von Erdős-Rado:
  für alle unendlichen Kardinalzahlen .

Literatur 
 Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003), ISBN 3-540-44085-2, insbesondere Kapitel 9

Ramseytheorie
ErdosRado, Satz von
Paul Erdős