Lemma von Céa
Das Lemma von Céa oder das Céa-Lemma ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Es ist grundlegend für die Fehlerschätzung von Finite-Elemente-Näherungen von elliptischen partiellen Differentialgleichungen. Das Lemma trägt den Namen zu Ehren des französischen Mathematikers Jean Céa, der es in seiner Dissertation 1964 bewies.

Formulierung

Voraussetzungen 
Sei  ein reeller Hilbertraum mit der Norm . Sei  eine Bilinearform, die

 beschränkt (äquivalent dazu stetig), d. h.  für eine Konstante  und alle 

 und koerzitiv (häufig auch stark positiv, V-elliptisch), d. h.  für eine Konstante  und alle 

ist. Sei weiter  ein beschränkter linearer Operator.

Problemstellung 
Betrachte das Problem, ein  mit

  für alle 

zu finden. Betrachte nun das gleiche Problem in einem Unterraum , d. h. es ist ein  zu finden mit

  für alle .

Nach dem Lemma von Lax-Milgram gibt es für beide Probleme eine eindeutige Lösung.

Aussage des Lemmas 
Sind die obigen Voraussetzungen erfüllt, dann besagt das Lemma von Céa:

 .

Dies bedeutet, dass die Approximation der Lösung  aus dem Unterraum  höchstens um die Konstante  schlechter ist als die beste Approximation für  im Raum , sie ist quasi-optimal.

Bemerkungen 
Mit einer symmetrischen Bilinearform verkleinert sich die Konstante auf , der Beweis ist weiter unten angegeben.

Das Lemma von Céa gilt auch für komplexe Hilberträume, indem eine Sesquilinearform  statt der Bilinearform verwendet wird. Die Koerzivität wird dann zu  für alle , man beachte die Betragszeichen um .

Die Approximationsgüte des Ansatzraums  bestimmt den Approximationsfehler  stark.

Sonderfall: Symmetrische Bilinearform

Die Energienorm 
In vielen Anwendungen ist die Bilinearform  symmetrisch, also  für alle  in . Mit den Voraussetzungen des Céa-Lemmas ergibt sich, dass  ein Skalarprodukt von  ist. Die implizierte Norm  wird Energienorm genannt, weil sie in vielen physikalischen Problemen eine Energie darstellt. Diese Norm ist äquivalent zur Norm  des Vektorraums .

Das Lemma von Céa in der Energienorm 

Aus der Galerkin-Orthogonalität von  mit  und der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ergibt sich
  für alle  in .

Somit lautet das Lemma von Céa in der Energienorm:
   für alle  in .
Man beachte, dass die Konstante  auf der rechten Seite verschwunden ist.

Das bedeutet, dass die Unterraum-Lösung  die beste Approximation der Lösung  bezüglich der Energienorm ist. Geometrisch lässt sich  als Projektion bezüglich  von  auf den Unterraum  interpretieren.

Folgerungen 
Damit lässt sich die schärfere Schranke für symmetrische Bilinearformen für die gewöhnliche Norm  des Vektorraums  zeigen. Aus
  für alle  in 
folgt
   für alle  in .

Beweis 
Der Beweis ist nicht lang und führt die Notwendigkeit der Voraussetzungen vor Augen.

Galerkin-Orthogonalität 
Die in der Problemstellung gegebenen Gleichung  für alle  und  für alle  werden voneinander abgezogen, was wegen  möglich ist. Die resultierende Gleichung lautet  für alle  und wird Galerkin-Orthogonalität genannt.

Abschätzung 
Die Bilinearform  ist koerziv

Addition von 0, sei 

Mit Bilinearität von 

Der zweite Term ist 0 wegen der Galerkin-Orthogonalität, da 

Die Bilinearform  ist stetig

Die Gleichung kann durch  geteilt werden. Da  beliebig aus  gewählt ist kann auch das Infimum gewählt werden, wodurch wir die Aussage erhalten.

Literatur 
 

 Jean Céa, Approximation variationnelle des problèmes aux limites, Annales de l'institut Fourier, Band 14, Nr. 2, 1964, S. 345–444, PDF, 5 MB (Original-Arbeit von J. Céa)

Einzelnachweise 

Numerische Mathematik
Funktionalanalysis
Satz (Mathematik)