Lambert-Reihe
In der Mathematik ist eine Lambert-Reihe eine spezielle Reihe. Benannt ist sie nach Johann Heinrich Lambert.

Definition 
Die Lambert-Reihe ist eine Reihe mit dieser Form:

Die Lambertsche L-Funktion bilden den Spezialfall dieser Reihe mit aₙ = 1 für alle Werte n:

Eigenschaften

Konvergenz 
Für  konvergiert die Lambert-Reihe nicht. Für  konvergiert sie stets dann, wenn die Reihe  konvergiert. Konvergiert  nicht, dann konvergiert die Lambert-Reihe für alle , für die die Potenzreihe  konvergiert (Satz von Konrad Knopp).

Lambert-Reihe als Potenzreihe 
Die Lambert-Reihe kann für  mittels Erweiterung umsummiert werden zu

,

wobei sich die Koeffizienten der neuen Reihe durch Dirichlet-Faltung von  mit der konstanten Folge  ergeben:

.

Alternative Form 
Setzt man , so erhält man eine andere übliche Form der Reihe

wobei

ist.

Beispiele der Lambert-Reihe in dieser Form, mit , treten in Ausdrücken der Riemannschen Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen auf.

Anwendung 
Einige unendliche Summen können durch die Lambertsche L-Funktion dargestellt werden.

Unendliche Summe geradstelliger Fibonacci-Zahlen:

 

Mit dem griechischen Buchstaben Phi wird die Goldene Zahl dargestellt.

Unendliche Summe der Kehrwerte geradstelliger Pell-Zahlen:

 
Darstellung der Erdős-Borwein-Konstante mit der Lambertschen L-Funktion:

Mit dem Quadratsymbol vor dem eingeklammerten n wird die n-te Quadratzahl ausgedrückt.

Unendliche Summe der Kehrwerte von den Nachfolgern der Zweierpotenzen:

Siehe auch 

 Thetafunktion
 Elliptisches Nomen

Literatur 
 
 
Ravi Agarwal: Lambert series and Ramanujan. Department of Mathematics and Astronomy, Universität Lucknow (लखनऊ विश्वविद्यालय), Indien

Folgen und Reihen
Analytische Zahlentheorie