Vermutung von Schanuel
Die Vermutung von Schanuel ist eine bis heute unbewiesene mathematische Aussage über die Transzendenzgrade bestimmter Körpererweiterungen des Körpers  der rationalen Zahlen. Diese Vermutung gehört also in den Bereich der Transzendenzuntersuchungen der Algebra und der algebraischen Zahlentheorie. Sie wurde in den 1960er Jahren von Stephen Schanuel formuliert, nach dem sie auch benannt ist.

Die Vermutung 
Sei  eine Menge von  komplexen Zahlen, die über  linear unabhängig sind.

Dann hat der Erweiterungskörper  über  mindestens den Transzendenzgrad .

Die Vermutung ist bis heute (Februar 2021) unbewiesen.

Folgerungen 
Die Vermutung von Schanuel umfasst die meisten bekannten und bewiesenen Sätze und einige bekannte Vermutungen über die Transzendenz von Zahlen als Spezialfall.
 Der Satz von Lindemann-Weierstrass entsteht in dem Spezialfall, dass die Menge  nur aus algebraischen Zahlen besteht. Dann ist der Transzendenzgrad von  genau .
 Wählt man andererseits diese  Zahlen so, dass  eine Menge von  algebraischen und -linear-unabhängigen Zahlen ist, dann ergibt sich eine (bisher unbewiesene) Verallgemeinerung eines Satzes von Alan Baker.
 Aus dieser stärkeren Fassung des Satzes von Baker würde der (in den 1930er Jahren bewiesene) Satz von Gelfond-Schneider folgen.
 Die Vermutung von Schanuel würde auch zeigen, dass Kombinationen wie  transzendent sind und dass  algebraisch unabhängig ist.
 Aus der eulerschen Formel folgt, dass  gilt. Sollte die Vermutung von Schanuel zutreffen, dann wäre dies in einem präzisierbaren Sinn im Wesentlichen die einzige Relation dieser Art zwischen den Zahlen  über den ganzen Zahlen.
 Angus Macintyre zeigte bereits 1991, dass aus der Vermutung von Schanuel folgt, dass es keine solchen „unerwarteten“ exponentiell-algebraischen Relationen über den ganzen Zahlen gibt.

Umkehrung der Vermutung 
Als Umkehrung der Vermutung von Schanuel wird die folgende Aussage bezeichnet:

Sei  ein abzählbarer Körper mit der Charakteristik 0,  ein Gruppenhomomorphismus, dessen Kern eine zyklische Gruppe ist.
Es gelte außerdem, dass für  über  linear unabhängige Elemente  der Erweiterungskörper  stets höchstens den Transzendenzgrad  über  hat. Dann gibt es einen Körperautomorphismus  so, dass  für alle  gilt.

Siehe auch 
 Hilberts siebtes Problem in Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen.

Literatur 
 Alan Baker: The theory of linear forms in logarithms. In: Alan Baker, David W. Masser (Hrsg.): Transcendence Theory. Advances and Applications. Proceedings of a Conference held in Cambridge in 1976. Academic Press, London 1977, ISBN 0-12-074350-7, S. 1–27.
 
 Gregory Chudnovsky: On the Way to Schanuel’s Conjecture. In: Gregory Chudnovsky: Contributions to the Theory of transcendental Numbers (= Mathematical Surveys and Monographs. Band 19). American Mathematical Society, Providence RI 1984, ISBN 0-8218-1500-8, S. 145–176.

Weblinks 
 Beweis der Transzendenz von e und π im Beweisarchiv.

Einzelnachweise 

Algebraische Zahlentheorie
Schanuel