Satz über rationale Nullstellen
Der Satz über rationale Nullstellen (auch rationaler Nullstellentest oder Lemma von Gauß) ist eine Aussage über die rationalen Nullstellen ganzzahliger Polynome. Sie beinhaltet ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer rationalen Nullstelle und liefert dabei eine endliche Menge rationaler Zahlen, in der alle rationalen Nullstellen enthalten sein müssen.

Aussage 
Für jede rationale Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms gilt, dass der Zähler ihrer gekürzten Darstellung das Absolutglied und der Nenner den Leitkoeffizienten des Polynoms teilt.

Seien also  mit  ein Polynom vom Grad  und   (wobei  teilerfremd sind) eine rationale Nullstelle von , dann ist  durch  teilbar und  durch  teilbar.

Anmerkungen 
Wenn der Leitkoeffizient  des Polynoms den Betrag 1 besitzt, dann ist jede rationale Nullstelle eine ganze Zahl, die das Absolutglied  teilt.

Der Satz lässt sich auch verwenden, um die rationalen Nullstellen rationaler Polynome zu berechnen. Denn wenn man ein rationales Polynom mit einem gemeinsamen Vielfachen der Nenner seiner Koeffizienten multipliziert, so erhält man ein ganzzahliges Polynom mit den gleichen Nullstellen, zu deren Bestimmung man nun den rationalen Nullstellentest anwenden kann.

Der Satz über rationale Nullstellen ergibt sich auch als Korollar zu einer auf Gauß zurückgehenden allgemeineren Aussage über Polynome über dem Quotientenkörper eines faktoriellen Ringes (siehe Lemma von Gauß).

Dieses Korollar besagt, dass sich jede Nullstelle im faktoriellen Ring  eines Polynoms mit Koeffizienten in  als Bruch in  darstellen lässt, sodass der Zähler ein Teiler des Absolutgliedes und der Nenner ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

Beispiele 
<li> Aus dem rationalen Polynom  erhält man durch Multiplikation mit 30 das ganzzahlige Polynom . Dessen rationale Nullstellen müssen dann in der Menge  enthalten sein. Überprüft man nun alle diese Kandidaten durch Einsetzen in   oder , so erhält man als Nullstellen  , 1 und . Da  als Polynom vom Grad 3 maximal drei paarweise verschiedene Nullstellen besitzen kann, existieren in diesem Fall auch keine weiteren irrationalen Nullstellen.
<li> Das Polynom  besitzt keine rationale Nullstelle, da 1 und −1 die einzigen Teiler des Absolutglieds und des Leitkoeffizienten sind und  und  ist.
<li> Das Polynom  besitzt ganzzahlige Koeffizienten.
Die Überprüfung für die Teiler  des konstanten Gliedes ergibt sich die Nullstelle .Weil jede ganze Zahl  auch eine gaußsche Zahl  ist, lassen sich die Koeffizienten als gaußsche Zahlen interpretieren.Wegen  erhalten wir für die Teiler  des konstanten Gliedes die komplexen Nullstellen  und

Literatur 
 Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer, 6. Auflage 2006, ISBN 3-540-41850-4, S. 64 ()
 Rolf Walter: Einführung in die Analysis 1. Walter de Gruyter 2007, ISBN 978-3-11-019539-2, S. 110–111, 362 ()
 Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3. überarbeitete Auflage 1990, ISBN 0-673-38638-4, S. 216–221
 Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications, 1998, ISBN 0-486-25563-8, S. 116–117  ()

Weblinks 
 Winfried Kaballo: Analysis I. Vorlesungsskript, Wintersemester 2006/2007, S. 44, Kapitel Polynome und Nullstellen, Satz 9.11;  (PDF)
 The Rational Roots Test auf purplemath.com

Fußnote(n) 

Theorie der Polynome
Rationale Nullstellen