Fréchet-Verteilung
Die Fréchet-Verteilung ist eine absolutstetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen, die einen echt positiven reellen Skalierparameter  nutzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

Verteilungs und Dichtefunktion 
Die Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter  >0 die Verteilungsfunktion

Die dazugehörige Dichtefunktion ist

Momente und Median 
Im Folgenden sei  eine -Fréchet-verteilten Zufallsvariable und  die Gamma-Funktion.

Median 
Der Median ist

Existenz von Momenten 
Die k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn .

Erwartungswert 
Der Erwartungswert ist
 .

Varianz 
Die Varianz ist

Schiefe 
Die Schiefe ist

Kurtosis 
Die Kurtosis ist

Zusammenhang mit anderen Verteilungen 

Ist  Fréchet-verteilt mit Parameter , so ist  Gumbel-verteilt mit Parametern  und .

Nach dem Theorem von Fisher-Tippett kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist.

Anwendung 
Sie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.

Literatur 
 J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 2. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0.
 J. Franke, C. M. Hafner, W. Härdle: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. 2. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 2004, ISBN 3-540-40558-5.

Einzelnachweise 
 mathematik.uni-kl.de – Jean-Pierre-Stockis, Fachbereich Mathematik der TU Kaiserslautern, Financial Statistics, Part II, abgerufen am 4. Januar 2011

Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung
Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung