Relativierung (Mengenlehre)
Im mathematischen Gebiet der Mengenlehre bedeutet Relativierung, dass man mengentheoretische Aussagen in Bezug auf eine Eigenschaft, die die insgesamt betrachteten Mengen einschränkt, betrachtet. Derartige Relativierungen spielen eine wichtige Rolle in der Modelltheorie der Mengenlehre.

Definitionen 
Wir betrachten in diesem Kapitel die Mengenlehre in der Sprache der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (kurz ZF), diese besteht aus  für die Elementbeziehung, der Gleichheit  von Mengen und den üblichen logischen Symbolen  sowie Variablen  für Mengen. Die daraus korrekt gebildeten Formeln bzw. Aussagen sind Untersuchungsgegenstand der Mengenlehre. Alle anderen Symbole der Mengenlehre sind darauf aufbauend definierbar, so zum Beispiel die Teilmengenbeziehung

Ferner sei ein Prädikat  gegeben, das heißt eine mengentheoretische Aussage mit einer freien Variablen. Ist  eine Menge, so kann man diese an die Stelle der freien Variablen setzen, und wir schreiben einfach , wenn daraus eine auf  zutreffende Aussage entsteht. Ein einfaches und zugleich wichtiges Beispiel ist das Prädikat , wobei  eine gegebene Klasse oder Menge und  die freie Variable ist. In diesem Fall bedeutet  einfach, dass  ein Element von  ist.

Wir wollen nun mengentheoretische Formeln  bzgl.  relativieren, das heißt auf alle  mit  einschränken, indem wir zu einer Formel  übergehen, die genau diese Einschränkung vornimmt und die -Relativierung von  heißt. Wir definieren  wie folgt über den Aufbau der Formel  aus oben genannten Symbolen:

Dabei sind  und  mengentheoretische Formeln, die auch Parameter, das heißt weitere freie Variablen, enthalten dürfen. So sind die letzten beiden Definitionen nur für solche  sinnvoll, die  als freie Variable enthalten (sollte  in  auch als gebundene Variable auftreten, so ist diese entsprechend umzubenennen, diese übliche Vereinbarung wird hier stillschweigend angenommen).
Wie obige Definition zeigt, sind nur die Quantoren  und  von der -Relativierung betroffen, was der intuitiven Vorstellung einer Einschränkung auf  entgegenkommt.

Beispiel 
Als Prädikat  nehmen wir , also die Zugehörigkeit zu einer Klasse .
Wir wollen die -Relativierung auf die Formel

anwenden.
Dies ist übrigens eine im ZF-Mengenuniversum wahre Aussage, wenn man für den Parameter  die leere Menge nimmt, denn es wird dann ausgesagt, dass jede von der leeren Menge verschiedene Menge ein Element enthält, aber das spielt für die folgende Relativierung keine Rolle. Das  ist natürlich als  zu übersetzen. Als erstes müssen wir die Regel für den Allquantor anwenden und erhalten

Auf den noch zu relativierenden Teil der Formel wird nun die Regel für  angewendet:

Nun haben wir noch zwei zu relativierende Formelteile. Der linke Teil bereitet wegen der -Regel keine Schwierigkeiten, der rechte Teil enthält wieder einen Quantor und ist entsprechend zu behandeln:

und in einem letzten Schritt erhalten wir

Abhängig von  muss diese Aussage nicht mehr wahr sein, selbst wenn man  wählt, denn die relativierte Aussage behauptet, dass jedes von  verschiedene Element aus  ein Element aus  enthält, und das hängt natürlich von  ab.

Mengentheoretische Symbole 
Um auch Formeln relativieren zu können, die neben den oben genannten Symbolen auch sogenannte definierte Symbole wie Teilmenge , kartesisches Produkt , Durchschnitt  und so weiter enthalten, muss man zunächst die Rückübersetzung in die Symbole der oben festgelegten Sprache vornehmen und dann relativieren. Dadurch lässt sich der Begriff -Relativierung auch auf solche Formeln ausdehnen, zum Beispiel

wobei die letzte Gleichheit eine rein logische Umformung ist. Auch dieses Beispiel zeigt, dass sich Aussagen, wie hier eine Teilmengenbeziehung, bei Relativierungen durchaus ändern können. Ein weiteres Beispiel ist

Ist zum Beispiel ,  das Prädikat  und setzt man , so sind die Aussagen  und  im ZF-Mengenuniversum falsch, die -Relativierungen hingegen sind wahr, denn  enthält keine Elemente, auf die das Prädikat  zutrifft.

Absolutheit 
Wir haben gesehen, dass sich der Wahrheitswert einer Aussage durchaus ändern kann, wenn man zu einer -Relativierung übergeht. Aussagen, bei denen das nicht der Fall ist, heißen -absolut. Ist  eine Aussage mit Parametern  (und keinen weiteren), so sagt man

 ist -absolut, falls

das heißt, der Wahrheitswert der Aussage  bleibt bei -Relativierung für alle Parameter , die dem Prädikat  genügen, erhalten. Entsprechend heißt ein Satz, das heißt eine Aussage  ohne Parameter, -absolut, wenn .

Für „ ist -absolut“ sagt man auch „ spiegelt “. Ein wichtiger Satz ist das sogenannte Reflexionsprinzip, nach dem jede Aussage bereits durch eine Stufe  der Von-Neumann-Hierarchie gespiegelt wird, wobei hier natürlich das Prädikat „“ gemeint ist.

Eine Formel heißt aufwärts absolut für eine Menge , falls

und abwärts absolut, falls die umgekehrte Implikation

gilt. Offenbar ist eine Formel genau dann absolut für eine Menge, wenn sie zugleich aufwärts und abwärts absolut ist.

Transitive Prädikate 
Eine Klasse  heißt transitiv, falls für alle  auch . Die Stufen der Von-Neumann-Hierarchie sind Beispiele transitiver Mengen.
Für transitive Klassen  lassen sich weitere Absolutheitsaussgen beweisen.
Die -Formeln in der Levy-Hierarchie sind alle mengentheoretischen Formeln (der oben festgelegten Sprache), die durch folgende Regeln gebildet werden können
 Jede Formel ohne Quantoren ist eine -Formel
 Sind  und  -Formeln, so auch  und .
 Ist  eine -Formel, so auch  und .

Mit diesen Begriffsbildungen gilt folgender Satz:
 Ein transitives Prädikat spiegelt jede -Formel.
Beispiele solcher -Formeln sind
 , das heißt 
 , das heißt 
  ist Nachfolger von , das heißt , bzw. 

Derartige Aussagen sind also -absolut für jede transitive Klasse . Man kann zeigen, dass Aussagen der Art „ ist Potenzmenge von “ oder „ ist eine Kardinalzahl“ nicht von diesem Typ sind. Daher spielen transitive Relativierungen, das heißt Relativierungen nach transitiven Prädikaten, eine wichtige Rolle in der Modelltheorie der Mengenlehre.

Einzelnachweise 

Mengenlehre