Modulhomomorphismus
In der Mathematik ist ein Modulhomomorphismus eine Abbildung   zwischen zwei Moduln  und  über einem Ring , welche mit der Modulstruktur verträglich ist.
Sie übersetzt beispielsweise die Addition von  in die Addition von .
Eine Addition kann man zweifach übersetzen. 
 Man addiert zunächst in   und übersetzt dann  mit .
 Man übersetzt mit  die Summanden und berechnet die Summe in .

Bei einem Homomorphismus ergibt sich stets dasselbe. Ersetzt man in der Definition der linearen Abbildung zwischen Vektorräumen den Körper durch einen Ring, erhält man einen Modulhomomorphismus. Der Ring braucht nicht kommutativ zu sein.

Homomorphismus

Definition 
Es seien zwei Rechtsmoduln  über einem Ring  gegeben. Eine Abbildung  heißt Homomorphismus von  nach , wenn für  alle  und alle  gilt:

 und 

Entsprechend erklärt man den Begriff des Homomorphismus zwischen Linksmoduln:
Eine Abbildung  zwischen zwei Linksmoduln  und  über dem Ring  heißt Homomorphismus von  nach , wenn für  alle  und alle  gilt:

 und 

Die Menge der Homomorphismen von  nach  wird mit  bezeichnet.

Ein Homomorphismus  von einem Modul  in sich selbst heißt Endomorphismus von .

Sind  und  zwei --Bimoduln über Ringen  und , so heißt eine Abbildung  ein Homomorphismus von S-R-Bimoduln, wenn für alle  gilt: 

 und .

Beispiele 
 Ist  ein beliebiger Modul, so gibt es genau einen Homomorphismus , nämlich . Es ist  ein Anfangsobjekt in der Kategorie der Rechtsmoduln. Genauso gibt es nur einen Homomorphismus  , die Nullabbildung ( für alle ). Es ist auch  ein Endobjekt. Man fasst zusammen, wenn man sagt,  ist ein Nullobjekt.
 Die Identität  ist ein Homomorphismus.
 Das Zentrum eines Ringes  ist die Menge   ist ein Unterring des Ringes . Ist  im Zentrum des Ringes, so ist   ein Homomorphismus.
 Sind   zwei Homomorphismen, so ist ihre Summe   ein Homomorphismus.

Eigenschaften 
 Ist  ein Homomorphismus und ist  ein Untermodul von  so ist  ein Untermodul von . Insbesondere ist   ein Untermodul von . Dieser Untermodul heißt Kern des Homomorphismus . Er wird oft mit  oder auch einfach  bezeichnet.
 Ist  ein Untermodul von  und  ein Modulhomomorphismus, so ist  ein Untermodul von . Er heißt Bild von  unter .  Insbesondere ist , die Bildmenge von , ein Untermodul von . Er wird oft mit  oder einfach  bezeichnet.
 Die Verkettung  oder Komposition zweier Homomorphismen ist ein Homomorphismus. Die Menge der Moduln über einem Ring bilden zusammen mit den Homomorphismen eine Kategorie.
 Ist  ein Modul, so bildet die Menge der Endomorphismen einen unitären Ring. Dabei ist die Addition die Addition der Endomorphismen und die Multiplikation ist die Verkettung.

Monomorphismus

Satz 
 
Für einen Homomorphismus 
zwischen Moduln sind folgende Aussagen äquivalent.
 
 Für alle  mit   ist .
  ist links kürzbar. Das heißt: Für alle Moduln  und alle Homomorphismen  gilt:  .
Erfüllt ein Homomorphismus  eine und damit alle äquivalenten Eigenschaften des Satzes, so heißt  Monomorphismus zwischen den Moduln. Die dritte Aussage des Satzes besagt, dass  im Sinne der Kategorientheorie ein Monomorphismus ist.

Beispiele 
 Ist  ein Untermodul, so ist die Inklusionsabbildung  ein Monomorphismus.
 Jeder -Homomorphismus von der Menge der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen, welcher nicht die Nullabbildung ist, ist ein Monomorphismus.

Bemerkungen
 Sind  und  Monomorphismen, so ist  ein Monomorphismus.
 Ist  ein Monomorphismus, so ist  ein Monomorphismus.
 Ist  ein Monomorphismus, so ist .

Epimorphismus

Definition 
Für einen Modulhomomorphismus  sind folgende Aussagen äquivalent:

 . Dabei ist  der Faktormodul von N modulo f(M).
 Die Abbildung  ist surjektiv.
  ist rechts kürzbar. Das heißt, für alle Moduln  und alle Homomorphismen  gilt: .

Ein Homomorphismus, der eine und damit alle diese Eigenschaften erfüllt, heißt Epimorphismus. Die dritte Eigenschaft des Satzes besagt, dass der Homomorphismus im Sinne der Kategorientheorie ein Epimorphismus ist.

Beispiele 
 Die Identität  ist ein Epimorphismus.
 Ist  ein Integritätsring und  sein Quotientenkörper, so ist jeder Homomorphismus  ein Monomorphismus und ein Epimorphismus.
 Es sei  p eine Primzahl und  der kleinste Unterring der rationalen Zahlen, der  enthält. Ist , so ist jeder Endomorphismus von , der ungleich der Nullabbildung ist,  ein Epimorphismus. Aber die Multiplikation mit p ist kein Monomorphismus.

Eigenschaften 
 Die Verkettung von Epimorphismen ist ein Epimorphismus.
 Ist  und  ein Epimorphismus, so ist  ein Epimorphismus und es ist .

Isomorphismen 
Ein Homomorphismus  heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomorphismus  gibt, so dass  und  ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn  ein Monomorphismus und ein Epimorphismus ist. Dabei ist   die Identität auf dem Modul  und  analog die Identität auf dem Modul . Zwei Moduln  heißen isomorph, in Zeichen , wenn es einen Isomorphismus  gibt.

Produktzerlegungen von Homomorphismen

Homomorphiesatz

Ist  ein Homomorphismus, so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus , so dass  gilt. Dabei ist  mit  der kanonische Epimorphismus.  ist stets ein Monomorphismus. Ist  ein Epimorphismus, so ist  ein Isomorphismus.

Der Homomorphiesatz besagt also, dass das folgende Diagramm kommutiert.

1. Isomorphiesatz 
Seien  Untermoduln von  Dann gilt:
. Der Isomorphismus ist 

Folgerung: 
Seien  und  Untermoduln von  mit , so ist .

2. Isomorphiesatz 
Es seien  Untermoduln von . Dann gilt:

.

Der Hom-Funktor 
Sind  Moduln, so ist  die Menge der Homomorphismen .

Moduleigenschaften von Hom 
 Die Menge  wird zu einer abelschen Gruppe, wenn für zwei Homomorphismen  die Summe folgendermaßen    definiert ist:  .
 Ist  ein  Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring  und auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring , so wird  auf der rechten Seite zu einem Modul über dem Ring , wenn man für   und  definiert: . Ist insbesondere  der Endomorphismenring von , so ist  auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring .
 Ist  ein  Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring  und auf der rechten Seite über dem Ring , so wird  auf der linken Seite zu einem Modul über dem Ring , wenn  man für  und  definiert: .

Der kovariante Funktor Hom 
Ist  ein Modul, so ordnet man jedem Modul  die abelsche Gruppe  zu. Jedem Homomorphismus  wird der Homomorphismus  zugeordnet. Es gilt dann für alle : . Außerdem werden die Identitäten auf die entsprechenden Identitäten abgebildet.  ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Moduln über dem Ring  in die Kategorie der abelschen Gruppen. Ist  wie oben ein  Bimodul, so ist  ein Funktor von der Kategorie der Moduln über  in die Kategorie der Moduln über .

Linksexaktheit von Hom 
Für einen Komplex , das heißt, es gilt , sind die folgenden Aussagen äquivalent:
   ist exakt.
 Für alle Moduln  ist  exakt.
 Es gibt einen Generator , so dass die Folge  exakt ist.
Auch wenn  surjektiv ist, so ist das für  im Allgemeinen nicht der Fall, das heißt, der Hom-Funktor ist im Allgemeinen nicht exakt. Die Abweichung von der Exaktheit wird durch den Ext-Funktor gemessen.

Einzelnachweise

Literatur 
 Frank W. Anderson and Kent R. Fuller: Rings and Categories of Modules. Springer, New-York 1992, ISBN 0-387-97845-3 
 Friedrich Kasch:  Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
 Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1

Algebra