Nukleare C*-Algebra
Die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachteten nuklearen C*-Algebren bilden eine große Klasse von C*-Algebren, die wichtige Teilklassen umfasst. Die nuklearen C*-Algebren sind im Zusammenhang mit Eindeutigkeitsfragen bezüglich Tensorprodukten eingeführt worden; daher rührt auch der Name nuklear, der in Anspielung auf die nuklearen Räume aus der Theorie der lokalkonvexen Räume gewählt wurde.

Definition 
Sind  und  zwei C*-Algebren, so kann man auf dem algebraischen Tensorprodukt  auf mehrere Arten eine C*-Norm  definieren, das heißt eine Norm , so dass
  ist eine normierte Algebra
  für alle 

gilt. Eine C*-Algebra  heißt nuklear, wenn es für jede C*-Algebra  genau eine solche C*-Norm auf  gibt.

Da es auf   stets eine minimale C*-Norm, nämlich die Norm des räumlichen Tensorproduktes, und eine maximale C*-Norm gibt, bedeutet die Nuklearität für eine C*-Algebra , dass für jede C*-Algebra  die minimale und maximale C*-Norm auf  zusammenfallen. M. Takesaki sprach in diesem Zusammenhang von C*-Algebren mit der Eigenschaft T, die Bezeichnung nukleare C*-Algebra geht auf C. Lance zurück.

Beispiele 
 Kommutative C*-Algebren sind nuklear. Das eindeutig bestimmte Tensorprodukt fällt in diesem Fall mit dem injektiven Tensorprodukt zusammen.

 Allgemeiner sind alle postliminalen C*-Algebren nuklear, wie bereits in der unten erwähnten Arbeit von Takesaki gezeigt wurde.

 Endlich-dimensionale C*-Algebren sind nuklear, denn diese sind endliche direkte Summen von Matrix-Algebren  und es ist  für jede C*-Algebra  mit der im Artikel über das räumliche Tensorprodukt beschriebenen Norm auf .

 Die reduzierte Gruppen-C*-Algebra  einer zusammenhängenden oder mittelbaren Gruppe  ist nuklear. Für diskrete Gruppen gilt nach einem Satz von C. Lance auch die Umkehrung: Für eine diskrete Gruppe ist  genau dann nuklear, wenn  mittelbar ist.

  und  sind Beispiele für C*-Algebren, die nicht nuklear sind, wobei  die von 2 Elementen erzeugte freie Gruppe  und  der Folgenraum der quadratsummierbaren Folgen ist.

Eigenschaften 
 Abgeschlossene zweiseitige Ideal und Quotienten nuklearer C*-Algebren sind wieder nuklear.

 Ist umgekehrt  eine kurze exakte Sequenz von C*-Algebren mit nuklearen  und , so ist auch  nuklear.

 Unter-C*-Algebren nuklearer C*-Algebren sind im Allgemeinen nicht wieder nuklear. Genau dann sind alle Unter-C*-Algebren einer nuklearen C*-Algebra wieder nuklear, wenn die C*-Algebra postliminal ist.

 Induktive Limiten von nuklearen C*-Algebren sind wieder nuklear, daher sind alle AF-C*-Algebren nuklear.

 Ist  ein C*-dynamisches System mit einer nuklearen C*-Algebra  und einer mittelbaren Gruppe , so ist auch das verschränkte Produkt  nuklear. Insbesondere sind die irrationalen Rotationsalgebren nuklear.

 Eine C*-Algebra  ist genau dann nuklear, wenn die Identität  punktweiser Normlimes vollständig positiver, 1-beschränkter Operatoren endlichen Ranges ist, das heißt, es gibt ein Netz  vollständig positiver Operatoren mit  und  für alle  und  für alle .

 Eine Von-Neumann-Algebra heißt hyperfinit, wenn sie eine aufsteigende Folge endlich-dimensionaler *-Algebren enthält, deren Vereinigung bezüglich der schwachen Operatortopologie dicht liegt. Eine C*-Algebra ist genau dann nuklear, wenn ihre einhüllende Von-Neumann-Algebra hyperfinit ist. Siehe für weitere äquivalente Charakterisierungen.

Einzelnachweise 

Algebra (Struktur)
Funktionalanalysis

it:C*-algebra#C*-algebra nucleare