Transzendenzbasis
Transzendenzbasis ist ein algebraischer Begriff aus der Theorie der Körpererweiterungen, der in Analogie zum Begriff der Vektorraumbasis der linearen Algebra gesehen werden kann. Die Mächtigkeit einer solchen Transzendenzbasis, der sogenannte Transzendenzgrad, stellt ein Maß für die Größe einer transzendenten Körpererweiterung dar.

Begriffsbildung 
Es sei  eine Körpererweiterung, das heißt  ist ein Teilkörper des Körpers . Eine -elementige Menge  heißt algebraisch unabhängig über , wenn es außer dem Nullpolynom kein Polynom  mit  gibt. Eine beliebige Teilmenge  heißt algebraisch unabhängig über , wenn jede endliche Teilmenge von  es ist.

Eine maximale algebraisch unabhängige Menge in , die man also durch kein weiteres Element zu einer über  algebraisch unabhängigen Menge erweitern kann, heißt eine Transzendenzbasis der Körpererweiterung .

Man beachte die Analogie zur linearen Algebra, in der eine Vektorraumbasis als eine maximale linear unabhängige Menge charakterisiert werden kann.

Existenz und Eigenschaften von Transzendenzbasen 
Wie in der linearen Algebra die Existenz einer Hamelbasis bewiesen wird, so erhält man die Existenz einer Transzendenzbasis, indem man zeigt, dass jede Vereinigung aufsteigender Mengen algebraisch unabhängiger Mengen wieder algebraisch unabhängig ist und dann das Lemma von Zorn anwendet.

Es gibt noch weitere Möglichkeiten, Transzendenzbasen zu charakterisieren. So sind etwa für eine Körpererweiterung   und eine algebraisch unabhängige Menge  folgende Aussagen äquivalent:
  ist eine Transzendenzbasis von  .
  ist algebraisch, wobei   der kleinste Körper in  ist, der  und  enthält (siehe Körperadjunktion).

Transzendenzgrad 
In Analogie zum Austauschlemma von Steinitz der linearen Algebra zeigt man, dass je zwei Transzendenzbasen einer Körpererweiterung gleichmächtig sind. Daher ist die Mächtigkeit einer Transzendenzbasis eine Invariante der Körpererweiterung , die man ihren Transzendenzgrad nennt  und mit  bezeichnet. In Anlehnung an die englischsprachige Bezeichnung transcendence degree findet man auch die Schreibweise . Aus  folgt, dass  unendlich ist, denn die ganzzahligen Potenzen eines transzendenten Elements  sind linear unabhängig über , womit bereits eine Körpererweiterung um ein transzendentes Element, , unendlichen Grad besitzt; der Transzendenzgrad stimmt also nicht mit dem Grad einer Körpererweiterung überein.

Ferner hat man

 Für Körper  gilt .

Rein transzendente Körpererweiterungen 
Eine Körpererweiterung  heißt rein transzendent, wenn es eine Transzendenzbasis  gibt mit . Daraus folgt, dass jedes Element aus  transzendent über  ist. Jede Körpererweiterung lässt sich in eine algebraische und eine rein transzendente Körpererweiterung aufspalten, wie der folgende Satz zeigt:

Ist  eine Körpererweiterung, so gibt es einen Zwischenkörper , so dass folgendes gilt
  ist rein transzendent.
  ist algebraisch.

Zum Beweis nehme man  für eine Transzendenzbasis  über .

Beispiele 
 Eine Körpererweiterung  ist genau dann algebraisch, wenn die leere Menge eine Transzendenzbasis ist. Dies ist wiederum äquivalent dazu, dass  gilt.
 Ist  der Körper der rationalen Funktionen über , so hat die Körpererweiterung  die Transzendenzbasis  und es gilt somit  
 Ist  der Körper der rationalen Funktionen in  Unbestimmten über , so gilt . Dies ergibt sich mit der obigen Formel zur Berechnung des Transzendenzgrades mit Hilfe von Zwischenkörpern aus dem letzten Beispiel.
 Aus Mächtigkeitsgründen gilt  (lies "beth eins", siehe Beth-Funktion).
 Die Körpererweiterungen  und  sind rein transzendent, wobei für letzteres die nicht-triviale Tatsache der Transzendenz der Eulerschen Zahl  über  verwendet wird.
 Die Körpererweiterung  ist nicht-algebraisch, aber auch nicht rein transzendent, da  algebraisch über  ist.

Einzelnachweise 

Körpertheorie
Algebraische Zahlentheorie