Überlebensfunktion
Eine Überlebensfunktion ist eine spezielle reelle Funktion in der Stochastik, die eine Ergänzung zum Konzept der Verteilungsfunktion darstellt. Wie auch bei Verteilungsfunktionen kann jeder Überlebensfunktion eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zugeordnet werden. Umgekehrt kann jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den reellen Zahlen eine Überlebensfunktion zugeordnet werden.

Ihren Namen tragen die Überlebensfunktionen, weil sie bei der Modellierung von Lebensdauern auftreten, beispielsweise von Individuen oder von Bauteilen. Gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung die Sterbewahrscheinlichkeit einer Spezies an, so entspricht die Überlebensfunktion an der Stelle  der Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum älter als  wird. Es „überlebt“ also den Zeitpunkt . Eine übliche graphische Darstellung ist die Überlebenskurve.

Definition 
Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung  auf , versehen mit der Borelschen σ-Algebra , oder eine reellwertige Zufallsvariable . Dann heißt

beziehungsweise

die Überlebensfunktion von  beziehungsweise .

Eigenschaften 
Ähnlich wie bei den Verteilungsfunktionen gilt:
 Es ist  und 
 Die Funktion  ist monoton fallend
 Die Funktion   ist rechtsseitig stetig

Beziehung zur Verteilungsfunktion 
Ist  die Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung  und  die Überlebensfunktion von , so gilt
 für alle .

Ebenso gilt für eine Zufallsvariable 
 für alle .

Dies folgt direkt aus den Definitionen der jeweiligen Funktionen und der Normiertheit der Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Denn die Verteilungsfunktion ist genau die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleinergleich  anzunehmen, die Überlebensfunktion die Wahrscheinlichkeit, einen Wert echt größer als  anzunehmen. Somit ist ihre Summe die Wahrscheinlichkeit, irgendeinen Wert anzunehmen und damit eins.

Damit kann aus jeder Überlebensfunktion eine Verteilungsfunktion gewonnen werden. Ebenso kann aus jeder Verteilungsfunktion eine Überlebensfunktion gewonnen werden. Insbesondere lässt sich damit analog zum Vorgehen bei Verteilungsfunktionen jeder Funktion, welche die drei unter „Eigenschaften“ aufgezählten Punkte erfüllt, zur Überlebensfunktion einer eindeutig bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung erklären (siehe auch Korrespondenzsatz).

Bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit und Restlebensdauer 
Sieht man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung als Wahrscheinlichkeit an, dass ein Individuum stirbt oder ein Bauteil versagt, so ist man häufig an einer Neueinschätzung der Überlebensdauer interessiert. Hat zum Beispiel eine Qualitätskontrolle ergeben, dass ein Bauteil zum Zeitpunkt  noch arbeitet, so wird sich auf der Basis dieser Information die Einschätzung die Wahrscheinlichkeit verändern. Mittels der bedingten Wahrscheinlichkeit erhält man dann für die bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit

und für die Restlebensdauer

Weblinks

Literatur 

Stochastik
Ereigniszeitanalyse