Kubisch Hermitescher Spline
In dem mathematischen Teilgebiet der Numerik wird unter einem kubisch hermiteschen Spline (auch cSpline genannt) ein Spline verstanden, der zwischen  Kontrollpunkten interpoliert. Die Kontrollpunkte sind durch  Segmente verbunden, die aus kubischen Polynomen bestehen, die stetig differenzierbar ineinander übergehen. Dies bedeutet, dass eine Teilkurve genau da aufhört, wo die nächste beginnt, und darüber hinaus an der Segmentgrenze die beiden Tangenten in ihrer Richtung übereinstimmen, wodurch sich ein weicher Übergang (ohne Knick) von Segment zu Segment ergibt. Die einzelnen Teilkurven sind durch Anfangs- und Endpunkt sowie den eingehenden und den ausgehenden Tangentenvektor eindeutig bestimmt.

Besonders verbreitet ist diese Splinedefinition in Programmen der Computeranimation, um zwischen einzelnen Keyframes, die auch unterschiedliche zeitliche Abstände voneinander haben können, zu interpolieren. Neben den kubischen Splines existieren auch noch Splines mit höherer oder niedrigerer Ordnung. Allerdings werden niedrigere Ordnungen als zu unflexibel eingestuft und höhere Ordnungen als zu aufwändig zu implementieren. Insbesondere tendieren Splines höherer Ordnung zu „Überschwingern“, was den Animator durch ungewollte Abläufe bei seiner Arbeit stören könnte. Hinzu kommt die effektive Möglichkeit, die Tangenten berechnen und beeinflussen zu können, wie es zum Beispiel beim später behandelten Kochanek-Bartels-Spline der Fall ist. Ebenso steht die Definition eines Segments dieses Splines in enger Verwandtschaft zur kubischen Bézierkurve, sodass beide ineinander überführt werden können. Dadurch ist es möglich, die Algorithmen für Bézierkurven (z. B. den De-Casteljau-Algorithmus) auch zur Berechnung und Darstellung von kubisch hermiteschen Splines zu verwenden.

Zusammensetzung des Splines aus Polynomfunktionen 
Seien  Kontrollpunkte mit  sowie Tangenten 
vorgegeben.
Eine differenzierbare Funktion , für die es reelle Zahlen  gibt, so dass
  und  für 
 die Einschränkung  ist ein Polynom vom Grad 3 für 
heißt ein kubischer Hermite-Spline.

Übersetzt auf die Polynome  ergeben sich die Bedingungen 
  und  und 
  und  
jeweils für . 

Damit wird die zusammengesetzte Funktion automatisch wohldefiniert und stetig differenzierbar. 

Es gibt genau eine Funktion  mit oben genannten Bedingungen. 
Äquivalent dazu ist, dass es genau einen entsprechenden Satz von Polynomen  gibt.

In Matrixdarstellung gilt 

 
mit  und  
 
 wird dabei als hermitesche Matrix bezeichnet.

Daraus ergibt sich durch die Rechengänge  bzw. von  
folgende matrixfreie Darstellungen: 

 

Algorithmisch ist der erste zu bevorzugen, wenn abschnittweise ausgewertet werden soll.

Es gibt Anwendungen, in denen man auf eine geschlossene Funktion  verzichtet 
und nur die Polynome  betrachtet. 
Dann brauchen die Definitionsbereiche nicht aneinander anzuschließen, und man kann als Definitionsbereich immer  annehmen. 
Dadurch ist immer  und die Funktion  ist trivial.

Manchmal ist auch die Ableitung noch interessant. Sie ist 
 
oder äquivalent

Polynomiale Funktionen auf den Abschnitten

Herleitung 
Wir betrachten erst den Spezialfall . 

Die gesuchte Funktion  soll ein Polynom dritten Grades sein, 
das sich allgemein als  darstellen lässt, oder in Matrixschreibweise:

Die Randbedingungen an  sind 

oder als einzelne Matrixgleichung geschrieben 

Im Spezialfall  gilt  und somit ist die linke Seite einfach . 
Nun kann die Gleichung durch Multiplikation mit der Inversen  nach  aufgelöst werden.

Eingesetzt in den Ansatz  ergibt sich die behauptete Existenz und Eindeutigkeit  für den betrachteten Spezialfall. 

Für ein allgemeines Segment  betrachten wir die Funktion 

und benennen die für den Spezialfall  ermittelte Funktion  in  um. 
Dann hat eine polynomiale Funktion auf dem allgemeinen Intervall  die Form 

Es bleibt, die letzte Gleichheit zu zeigen. 
Offensichtlich gelten  und . 
Für die Ableitung gilt 
 
und damit  
sowie analog . 

Damit ist die Existenz und Eindeutigkeit für  gezeigt. 
Die Argumente gelten aber natürlich unabhängig vom Index.

Darstellungen und Verwandtschaft 

Die hermiteschen Basisfunktionen  lassen sich auf unterschiedliche Weise darstellen, wodurch sich jeweils direkt verschiedene Eigenschaften der Kurvensegmente ablesen lassen.

Die expandierte Form lässt sich direkt aus der Herleitung gewinnen und wird üblicherweise, wie auch hier, zur Definition benutzt.

Es ist direkt an der Faktorisierung ersichtlich, dass  bei  eine Nullstelle besitzt und der Anstieg gleich  ist. Selbiges gilt für  für .  und  besitzen hingegen eine Multiplizität von 2 und besitzen jeweils am Ende und Anfang des Definitionsbereichs von  eine Nullstelle.

Bei der Betrachtung der Bernsteinpolynome der 3. Ordnung  wird die Analogie zur kubischen Bézierkurve ersichtlich, deren Bernsteinpolynome , ,  und  sind. Entsprechend existiert eine direkte Verbindung zwischen beiden Gleichungen, aus der sich die folgenden Zusammenhänge ergeben,
 
wenn die Bézierkurve wie folgt definiert ist:
 .
Durch diesen Zusammenhang kann der De-Casteljau-Algorithmus zu Berechnung von Interpolationen mittels kubisch hermitescher Splines benutzt werden. Ebenso ist ersichtlich, dass bei einer kubischen Bézierkurve die mittleren Kontrollpunkte die Richtung der Tangente an den Endpunkten definieren.

Eindeutigkeit 
Die Definition des Segments garantiert, dass der Pfad zwischen zwei Punkten eindeutig ist. Damit ist gemeint, dass es kein zweites von  verschiedenes Polynom  gefunden werden kann, das den gleichen Verlauf besitzt.

Anschauliches Verhalten 
Während die Richtung jedes Tangentenvektors  angibt, in welche Richtung die Kurve den zugehörigen Punkt  verlässt oder erreicht, beschreibt der Betrag (die „Länge“) jedes Tangentenvektors, wie stark sein Einfluss auf den Kurvenverlauf ist: Von der Richtung eines kurzen Vektors kann die Kurve schnell abschwenken, von der Richtung eines langen Vektors kann sie sich nur langsam lösen.

Ist unerheblich, in welche Richtung der Spline einen Punkt verlässt, so kann der zugehörige Tangentenvektor auf  gesetzt werden.

Interpolation 
Das Schema des segmentweise aufgebauten kubisch hermiteschen Splines kann benutzt werden, um für einen Datensatz mit den Kontrollpunkten  für  eine Kurve zu definieren, die durch die Kontrollpunkte verläuft und deren Tangenten derart gewählt werden, dass sich ein weicher Übergang zwischen den Segmenten ergibt. Dies bedeutet, dass die Tangenten aneinandergrenzender Segmente in ihrem gemeinsamen Punkt gleich sind. Die so interpolierte Kurve besteht dann aus stückweise differenzierbaren Segmenten und ist selbst im Bereich  stetig differenzierbar.

Die Wahl der Tangenten ist hingegen nicht eindeutig, sodass sich verschiedene Bestimmungsverfahren mit unterschiedlichen Ergebnissen etabliert haben.

Finite-Differenz 
Die einfachste Methode zur Wahl der Tangenten (Anstieg im eindimensionalen Fall) ist die Verwendung der finiten Differenz. Mit ihr lassen sich die Tangenten für ein Segment im Einheitsintervall und  wie folgt berechnen:

 

Für Endpunkte ( und ) wird entweder die einseitige Differenz verwendet, was effektiv einer Verdoppelung des Anfangs- und Endpunktes entspricht. Alternativ wird ein Vorgänger  und Nachfolger  geschätzt, wofür es verschiedene Ansätze gibt.

Catmull-Rom-Spline 

Fasst man obige Gleichung zusammen, multipliziert sie mit  und definiert einen Faktor , erhält man das Catmull-Rom-Spline.
 
Aus dem Teilstück  der Gleichung ist ersichtlich, dass die Tangente sich an der Richtung des Vektors von  nach  orientiert. Der Parameter  skaliert unterdessen diesen Vektor, sodass das Kurvensegment weiter oder schärfer wird. Häufig wird dieser Parameter fest auf  gesetzt, womit sich wieder die Ausgangsgleichung ergibt.

Benannt ist diese Kurve nach Edwin Catmull und Raphael Rom. In der Computergrafik wird diese Form häufig genutzt um zwischen Schlüsselbildern (Keyframes) zu interpolieren oder grafische Objekte darzustellen. Sie sind hauptsächlich wegen ihrer einfachen Berechnung verbreitet und erfüllen die Bedingung, dass jedes Schlüsselbild exakt erreicht wird, während die Bewegung sich weich und ohne Sprünge von Segment zu Segment fortsetzt. Dabei ist zu beachten, dass durch die Änderung eines Kontrollpunktes sich über die Bestimmung der benachbarten Tangenten insgesamt vier Kurvensegmente verändern.

Cardinal Spline 
Ein Cardinal Spline ergibt sich, wenn die Tangenten wie folgt bestimmt werden:

 

Der Parameter  wird dabei als Spannung der Kurve verstanden und muss im Intervall von  liegen. Anschaulich betrachtet, bestimmt der Parameter die „Länge der Tangenten“, wobei  bedeutet, dass sie keine Länge besitzen,  führt zu doppelt so langen Tangenten, was einen sehr weichen Durchlauf durch den Kontrollpunkt nach sich zieht.

Kochanek-Bartels-Spline 

Das Kochanek-Bartels-Spline (auch TCB-Spline genannt) ist eine weitere Generalisierung für die Wahl der Tangenten, die sich durch die Parameter Tension, Continuity und Bias beeinflussen lässt. Sie wurden 1984 von Doris H. U. Kochanek und Richard H. Bartels eingeführt, um Anwendern bei der Keyframe-Animation eine größere Kontrolle über den Verlauf der Interpolation zu geben. Bekannt wurden sie durch Anwendungen wie 3ds Max von Discreet oder LightWave 3D von NewTek.

Als Grundlage für die Kochanek-Bartels-Splines dient der -stetige hermitesche Spline, der links- und rechtsseitige Tangenten ( und ) an einem Kontrollpunkt  erlaubt.

Tension 
Der Tension-Parameter  ist mit dem -Parameter vom Cardinal Spline vergleichbar und beeinflusst gleichermaßen die Länge der Tangenten am Kontrollpunkt. In Analogie zur Tangentenrichtung des Catmull-Rom-Spline ergibt sich:
 
Für negative Werte durchläuft die Kurve in weitem Bogen den Kontrollpunkt, während sie sich für positive stark zusammenzieht. Im Falle von  besitzen die Tangenten eine Länge von , wodurch ein scharfer aber dennoch -stetiger Knick entsteht. Bei  ist die Tangente doppelt so lang wie bei  was einen weit verlaufenden Bogen durch den Kontrollpunkt ergibt.

Continuity 
Der Continuity-Parameter  lässt die Tangenten in ihrer Richtung auseinandergehen. Entsprechend wirkt der Parameter unterschiedlich auf die links- und rechtsseitige Tangente:
 
Für Werte von  ist der Spline nicht mehr -stetig. Die Kurve zeigt Ecken die mit zunehmenden  schärfer werden. Das Vorzeichen definiert unterdessen, ob die Ecke nach „außen“ oder „innen“ zeigt.

Bias 
Der Bias-Parameter  bestimmt welches Segment einen stärkeren Einfluss auf die Tangente besitzt. Entsprechend rotiert die gemeinsame Tangente in Richtung des Gewichts.

Zusammenfassung zu TCB 
Fasst man die gewonnenen Eigenschaften für die Tangenten zusammen, erhält man folgende Gleichungen für die eingehende und ausgehende Tangente von :
 Einheitsintervall
 
 Werteintervall

Literatur

Weblinks 
 Donald H. House: Spline Curves (PDF; 5,4 MB). Clemson University (englisch).
 Chandrajit Bajaj: Multi-dimensional Hermite Interpolation and Approximation (PDF; 207 kB). Purdue University (englisch).

Einzelnachweise 

Geometrische Modellierung
Numerische Mathematik
Mathematische Funktion