Metrischer Zusammenhang
Ein metrischer Zusammenhang beziehungsweise ein mit der Metrik kompatibler Zusammenhang ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt sich um einen Spezialfall eines Zusammenhangs.

Definition 
Sei  eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei  ein Vektorbündel mit (induzierter) Metrik . Ein Zusammenhang  auf  heißt metrischer Zusammenhang, wenn für alle Schnitte 

gilt. 

Die Metrik ist also kovariant konstant bezüglich des metrischen Zusammenhangs. Aus dieser Eigenschaft folgt für alle

Beispiele 
Das bekannteste Beispiel eines metrischen Zusammenhangs ist der Levi-Civita-Zusammenhang. In diesem Fall ist das Vektorbündel das Tangentialbündel  an  mit der riemannschen Metrik von . Da zu jeder riemannschen Mannigfaltigkeit genau ein Levi-Civita-Zusammenhang existiert, gibt es insbesondere mindestens einen metrischen Zusammenhang auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit.

Affiner Raum 
Sei  ein Vektorbündel mit Metrik  dann ist die Menge  der metrischen Zusammenhänge auf  ein nichtleerer affiner Raum modelliert mit den (vektorwertigen) 1-Formen aus  d. h., es gibt eine Abbildung 

so dass mit der Notation 
 für jedes  die Gleichung  gilt,
 für jedes  und für alle  das Assoziativgesetz  gilt und
 für alle  die Abbildung  bijektiv ist.

Literatur 
 John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.
 Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
 Nicole Berlin, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat Kernels and Dirac Operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Corrected 2nd printing. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-53340-0.
 

Differentialgeometrie