Schmidt-Zerlegung
In der linearen Algebra bezeichnet die Schmidt-Zerlegung (die nach Erhard Schmidt benannt ist) eine bestimmte Darstellung eines Vektors im Tensorprodukt von zwei Vektorräumen mit Skalarprodukt als Summe von wenigen paarweise orthonormalen Produktvektoren. Die Schmidt-Zerlegung findet zum Beispiel in der Quanteninformatik Anwendung.

Aussage 

Seien  und  Hilberträume der Dimension  beziehungsweise  und sei . Dann gibt es für jeden Vektor  Mengen von paarweise orthonormalen Vektoren  und , so dass

gilt, wobei die nicht-negativen Zahlen  durch  eindeutig bestimmt sind.

Beweis 
Die Schmidt-Zerlegung ist im Wesentlichen eine Konsequenz der Singulärwert-Zerlegung. Fixiere Orthonormalbasen  und . Der Elementartensor  kann mit der Matrix  (hier bezeichnet  die Transposition von ) identifiziert werden. Ein beliebiger Vektor  lässt sich in der Basis  schreiben als

und kann dann mit der  Matrix

identifiziert werden. Nach der Singulärwertzerlegung gibt es unitäre Matrizen  auf  und  auf  und eine positiv-semidefinite  Diagonalmatrix  so dass

Schreibt man , wobei  eine -Matrix ist, dann erhält man

Bezeichnet man nun die ersten  Spaltenvektoren von  mit   und mit  die Spaltenvektoren von V und die Diagonalelemente der Matrix  mit  dann folgt

,

was die Behauptung beweist.

Verwendung in der Physik 
Die Schmidt-Zerlegung findet z. B. in der Quantenphysik Anwendung.

Spektrum reduzierter Zustände 
Betrachte einen Vektor in der Schmidt-Form

Die Matrix  ( bezeichnet den zu  adjungierten Vektor) ist ein eindimensionaler Projektor auf .  Die partielle Spur von  bezüglich entweder dem Teilsystem  oder  ist dann durch eine Diagonalmatrix gegeben, deren nicht-verschwindende Einträge   sind. Anders ausgedrückt zeigt die Schmidt-Zerlegung, dass das Spektrum der beiden partiellen Spuren  und  gleich ist.

In der Quantenmechanik beschreibt  (wie jeder eindimensionale Projektor auf ) den reinen Zustand eines aus zwei Teilen zusammengesetzten Systems und  bzw.  beschreibt den reduzierten Zustand im Teilsystem 2 bzw. 1. Das Spektrum des reduzierten Zustands bestimmt unter anderem dessen Von-Neumann-Entropie sowie verschiedene Verschränkungsmaße des reinen Zustands .

Schmidt-Rang und Verschränkung 
Für einen Vektor  werden die strikt positiven Werte  in seiner Schmidt-Zerlegung als seine Schmidt-Koeffizienten bezeichnet.  Die Anzahl von Schmidt-Koeffizienten heißt Schmidt-Rang von .

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
 der Schmidt-Rang von  ist größer als eins
  lässt sich nicht als Produktvektor  schreiben
  ist verschränkt
 die reduzierten Zustände von  sind nicht rein

Aus den Schmidt-Koeffizienten eines reinen Zustands  lassen sich alle seine Verschränkungseigenschaften bestimmen. Auch das Verhalten von  unter  lokalen Quantenoperationen ist durch die Schmidt-Koeffizienten festgelegt, insbesondere, ob sich zwei Zustände lokal ineinander transformieren lassen.

Literatur 
 Erhard Schmidt: Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Mathematische Annalen 63, 433–476 (1907).
 Asher Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer (Dordrecht, 1993), Kapitel 5.

Einzelnachweise 

Lineare Algebra
Quanteninformatik