Silhouettenkoeffizient
Die Silhouette gibt für eine Beobachtung an, wie gut die Zuordnung zu den beiden nächstgelegenen Clustern ist. Der Silhouettenkoeffizient gibt eine von der Cluster-Anzahl unabhängige Maßzahl für die Qualität eines Clusterings an. Der Silhouettenplot visualisiert sowohl alle Silhouetten eines Datensatzes als auch den Silhouettenkoeffizient für die einzelnen Cluster und den Gesamtdatensatz.

Silhouette 

Gehört das Objekt  zum Cluster  so ist die Silhouette von  definiert als:

mit  die Distanz eines Objekts  zum Cluster  und  die Distanz eines Objekts  zum nächstgelegenen Cluster . Dabei wird die Differenz des Abstands  normiert mit der maximalen Distanz. Damit folgt, dass  für ein Objekt  zwischen −1 und 1 liegt:

 Ist die Silhouette , dann liegen die Objekte des nächstgelegenen Clusters  näher an dem Objekt  als die Objekte des Clusters  zu dem das Objekt  gehört. Dies weist darauf hin, dass das Clustering verbessert werden kann.
 Ist die Silhouette , dann liegt das Objekt zwischen zwei Clustern und
 ist die Silhouette nahe bei Eins, so liegt das Objekt in einem Cluster.

Die Distanz  wird berechnet als

als der Mittelwert der Distanz zwischen allen anderen Objekten im Cluster  und dem Objekt  ( ist die Anzahl der Objekte im Cluster ). Analog wird die Distanz zum nächstgelegenen Cluster  berechnet als die minimale durchschnittliche Distanz

.

Dabei wird für alle Cluster , die das Objekt  nicht enthalten, die Distanz  berechnet. Der nächstgelegene Cluster  ist derjenige, der die kleinste Entfernung  aufweist.

Silhouettenkoeffizient 

Der Silhouettenkoeffizient  ist definiert als

also als das arithmetische Mittel aller  Silhouetten des Clusters  definiert. Der Silhouettenkoeffizient kann für jeden Cluster oder für den Gesamtdatensatz berechnet werden.

Beim k-means- oder k-medoid-Algorithmus kann man mit ihm die Ergebnisse mehrerer Durchläufe des Algorithmus vergleichen, um bessere Parameter zu erhalten. Dies bietet sich insbesondere für die genannten Algorithmen an, da sie randomisiert starten und so unterschiedliche lokale Maxima finden können. Der Einfluss des Parameters  kann so reduziert werden, da der Silhouettenkoeffizient von der Cluster-Anzahl unabhängig ist und somit Ergebnisse vergleichen kann, die mit unterschiedlichen Werten für  erhalten wurden.

Silhouettenplot 

Die grafische Darstellung der Silhouetten erfolgt für alle Beobachtungen gemeinsam in einem Silhouettenplot. Für alle Beobachtungen, die zu einem Cluster gehören, wird der Wert der Silhouette als waagerechte (oder senkrechte) Linie dargestellt. Die Beobachtungen in einem Cluster werden dabei nach der Größe der Silhouetten geordnet.

In der rechten Grafiken werden für vier verschiedene Datensätze die Daten, das Dendrogramm für eine hierarchische Clusteranalyse (euklidische Distanz, Single-Linkage) und der Silhouettenplot für die Lösung mit zwei Clustern dargestellt (von oben nach unten). Die Zuordnung der Datenpunkte durch die hierarchische Clusteranalyse in der Zwei-Cluster-Lösung wird durch die Farben rot (Zuordnung zu Cluster 1) und blau (Zuordnung zu Cluster 2) symbolisiert.

Je besser die beiden Cluster in den Daten getrennt sind (von links nach rechts), desto besser kann die hierarchische Clusteranalyse die Datenpunkte korrekt zuordnen. Auch der Silhouettenplot verändert sich. Während für den linken Datensatz negative Silhouetten vorkommen, finden sich im ganz rechten Datensatz nur positive Silhouetten. Auch die Silhouettenkoeffizienten werden von links nach ganz rechts größer, sowohl für die einzelnen Cluster als auch für den gesamten Datensatz.

Beispiel 

Der Iris flower-Datensatz besteht aus jeweils 50 Beobachtungen dreier Arten von Schwertlilien (Iris Setosa, Iris Virginica und Iris Versicolor), an denen jeweils vier Attribute der Blüten erhoben wurden: Die Länge und die Breite des Sepalum (Kelchblatt) und des Petalum (Kronblatt). Rechts zeigt eine Streudiagramm-Matrix die Daten für die vier Variablen.

Für die vier Größen wurde eine hierarchische Clusteranalyse mit der euklidischen Distanz und der Single-Linkage Methode durchgeführt. Oben sind folgenden Grafiken dargestellt:

 Links oben: Ein Dendrogramm der Clusterlösung. Hier sieht man, dass sich eine Zwei- oder Vier-Cluster-Lösung anböte.
 Rechts oben: Grafische Darstellung der Silhouetten der Zwei-Cluster-Lösung. Im ersten Cluster sind negative Silhouetten  zu finden, sodass diese Beobachtungen eher falsch zugeordnet sind. Eventuell ist eine Lösung mit mehr Clustern besser geeignet.
 Links unten:  Grafische Darstellung der Silhouetten der Drei-Cluster-Lösung. Der erste Cluster wird in zwei Teilcluster zerlegt (); zwar sind im ersten Cluster die negativen Silhouetten verschwunden, jedoch haben Beobachtungen im zweiten Cluster nun negative Silhouetten.
 Rechts unten:  Grafische Darstellung der Silhouetten der Vier-Cluster-Lösung. Der zweite Cluster der Zwei-Cluster-Lösung wird nun in zwei Teilcluster zerlegt (). Es gibt fast keine negativen Silhouetten mehr.

Es ergeben sich folgende Silhouettenkoeffizienten

Literatur 
  Online: 
 Peter J. Rousseeuw: Silhouettes: a Graphical Aid to the Interpretation and Validation of Cluster Analysis. In: Computational and Applied Mathematics. 20,  1987, S. 53–65. .

Weblinks 
 silhouette: Berechnen von Silhouettenkoeffizienten und -plots mit R.

Einzelnachweise 

Clusteranalyse