Hilbertraum-Tensorprodukt
Die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Bildung von Hilbertraum-Tensorprodukten ist eine Methode, aus Hilberträumen neue Hilberträume zusammenzusetzen. Eine rein algebraische Bildung des Tensorproduktes reicht nicht aus, da man im Allgemeinen so keine vollständigen Räume erhält. Auch die in der Banachraumtheorie untersuchten injektiven und projektiven Tensorprodukte führen nicht zum gewünschten Ergebnis, da man auf diese Weise im Allgemeinen nicht zu Hilberträumen kommt, das heißt, die Normen sind nicht durch ein Skalarprodukt definiert.

Zwar sind Skalarprodukte auf -Hilberträumen nicht bilinear, sondern nur sesquilinear, aber dennoch sollte es möglich sein, diese auf algebraische Tensorprodukte von Hilberträumen fortzusetzen, denn Tensorprodukte sind ja gewissermaßen für bilineare Abbildungen gemacht.
Dann hätte man immerhin einen Prähilbertraum, den man nur noch vervollständigen müsste, um einen Hilbertraum zu erhalten. Genau dieses Vorgehen erweist sich als erfolgreich. Im Folgenden werden nur komplexe Hilberträume betrachtet, die für viele Anwendungen wichtiger sind. Die Konstruktion von Tensorprodukten reeller Räume verläuft ganz ähnlich und ist in manchen Details sogar einfacher.

Definition 
Es seien  und  zwei -Hilberträume. Die Skalarprodukte werden stets mit  bezeichnet, zur Präzisierung wird gegebenenfalls der Name des Hilbertraums als Index angefügt. Dann kann man zeigen:

Auf dem algebraischen Tensorprodukt  gibt es genau eine Sesquilinearform mit der Eigenschaft
  für alle  und .

Die Vervollständigung des Prähilbertraums  heißt das Hilbertraum-Tensorprodukt aus  und  und wird mit  bezeichnet. Manche Autoren verwenden  für das algebraische Tensorprodukt und schreiben dann  für die Vervollständigung, andere verwenden  für beides und weisen auf mögliche Mehrdeutigkeiten hin oder verwenden für das algebraische Tensorprodukt eine andere Notation, wie in diesem Artikel geschehen.

Eigenschaften 
 Das Hilbertraum-Tensorprodukt lässt sich leicht mittels Induktion auf das Hilbertraum-Tensorprodukt endlich vieler Hilberträume  ausdehnen, wobei  als  definiert wird.

 Für das Hilbertraum-Tensorprodukt gelten die üblichen Sätze über Kommutativität, Assoziativität und Distributivität, das heißt, man hat folgende isometrische Isomorphismen, wobei die  Hilberträume mit Elementen  seien:
 mit 

 mit 

 mit 

 Das Hilbertraum-Tensorprodukt hat die sogenannte Kreuznorm-Eigenschaft, das heißt, es gilt
 für alle Vektoren  und  aus den Hilberträumen.

Konstruktion als lineare Operatoren 
Für  und  kann das Tensorprodukt im Sinne des dyadischen Produkts als linearer Operator  aufgefasst werden. Die (algebraische) lineare Hülle dieser Operatoren ist die Algebra der Operatoren endlichen Ranges, dies folgt aus dem Satz von Fréchet-Riesz, auf dem diese Identifikation mit dem Tensorprodukt beruht. Das oben definierte Skalarprodukt induziert gerade die Hilbert-Schmidt-Norm und die Operatoren endlichen Ranges liegen bezüglich dieser Norm dicht in den Hilbert-Schmidt-Operatoren, die vollständig bezüglich dieser Norm sind. Das heißt, die oben durchgeführte Vervollständigung der Operatoren endlichen Ranges ergibt nichts anderes als den Raum der Hilbert-Schmidt-Opertoren von  nach .

Beispiele 
 Seien  und  die L2-Räume zu -endlichen Maßräumen. Dann ist das Hilbertraum-Tensorprodukt isomorph zum -Raum des Produktes der Maßräume, das heißt

 Seien  und  zwei Mengen und  und  die zugehörigen Hilberträume mit Orthonormalbasen  bzw. . Dann ist das Hilbertraum-Tensorprodukt isomorph zu , das heißt in Formeln
.
Dies ist der Fall, da die Hilbert-Schmidt-Operatoren gerade die Operatoren mit quadratsummablen Matrixkoeffizienten sind. Da nach dem Satz von Fischer-Riesz jeder Hilbertraum isomorph zu einem  mit geeignetem  ist, folgt für beliebige Hilberträume  und 

wobei  für die Hilbertraumdimension, d. h. die  Kardinalität jeder Orthonormalbasis von  steht.

Tensorprodukte als orthogonale Summen 
Es seien  und  Hilberträume und  sei eine Orthonormalbasis von . Dann ist

ein zu  isometrisch isomorpher Unterraum, und es ist
,
wobei die rechte Seite als orthogonale Summe zu lesen ist. Die Rollen von  und  kann man selbstverständlich vertauschen. In diesem Sinne ist ein Hilbertraum-Tensorprodukt nichts weiter als eine geeignete direkte Summe von Kopien eines der beiden Faktoren des Tensorproduktes.

Operatoren auf Tensorprodukten 
Stetige lineare Operatoren  und  auf Hilberträumen  und  lassen sich zum Tensorprodukt  auf  zusammensetzen. Genauer:

Das algebraische Tensorprodukt  ist stetig bezüglich der Prähilbertraum-Norm und kann daher zu einem stetigen linearen Operator  fortgesetzt werden. Dabei gilt , wobei links die Operatornorm von  steht.

Dies ist die wichtigste Motivation zur Einführung von Tensorprodukten für Hilberträume. Mittels dieser Operatoren  kann man ein Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren definieren.

Vergleich verschiedener Tensorprodukte 
Wir betrachten Tensorprodukte von  mit sich selbst. Jedes Element  aus dem algebraischen Tensorprodukt gibt Anlass zu einem endlichdimensionalen Operator , das heißt, das algebraische Tensorprodukt ist in natürlicher Weise in  enthalten. Bezeichnen  und  das injektive bzw. projektive Tensorprodukt, so erhält man:
  C*-Algebra der kompakten Operatoren mit der Operatornorm.
  H*-Algebra der Hilbert-Schmidt-Operatoren mit der Hilbert-Schmidt-Norm. Im unten angegebenen Lehrbuch von R.V. Kadison und J. R. Ringrose steht die Verbindung des Hilbertraum-Tensorproduktes zu den Hilbert-Schmidt-Operatoren im Vordergrund.
  Banach-*-Algebra der Spurklasseoperatoren mit der Spur als Norm.
Dies ist unter anderem im unten angegebenen Lehrbuch von R. Schatten zu finden.

Einzelnachweise

Literatur 
 Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Band 1: Elementary Theory. Academic Press, New York NY 1983, ISBN 0-12-393301-3 (Pure and Applied Mathematics 100, 1).
 Robert Schatten: A theory of cross-spaces. Princeton University Press, Princeton NJ 1950 (Annals of Mathematical Studies 26, ).

Skalarproduktraum
Funktionalanalysis