Produkt von Moduln
In vielen Gebieten der Mathematik spielen direkte Produkte und Koprodukte der betrachteten Objekte eine besondere Rolle. Die Konstruktion solcher Produkte von Objektfamilien fußt oft auf dem kartesischen Produkt von Mengen.

In der Mengenlehre wird das kartesische Produkt einer Familie von Mengen  folgendermaßen definiert:

Sind die  alles Rechtsmoduln über dem unitären Ring , so hat  eine Modulstruktur. Dies ist ein Produkt von Moduln, das Produkt der Modulfamilie .

Definition des Produktes

Produkt von Moduln 
Ist  eine Familie von Rechtsmoduln über dem Ring  so heißt  das Produkt der Moduln. Ist , so heißt  die -te Komponente von . Das Produkt  erhält durch die folgenden beiden Verknüpfungen eine Modulstruktur.

Ist die Funktion , so schreibt man dafür oft , analog wie das bei reellen Zahlenfolgen üblich ist. Dabei ist  die -te Komponente. Man addiert also komponentenweise und mit den Skalaren wird komponentenweise multipliziert.

Universelle Eigenschaft des Produktes 
Ist  das Produkt der Moduln  so bilden die Funktionen 
das Produkt  epimorph auf  ab. Sie heißen Projektionen.
Das Paar  hat die folgende Eigenschaft:

Zu jedem Rechtsmodul  über  und jeder Familie von Homomorphismen  gibt es genau einen Homomorphismus , so dass  für alle  gilt.

In der Kategorientheorie nennt man eine solche Eigenschaft universell, sie kennzeichnet das Produkt von Objekten bis auf Isomorphie, das heißt:

Ist  ein Modul und  eine Familie von Homomorphismen und gibt es zu jedem Modul  und jeder Familie  von Homomorphismen genau ein  mit , so ist . Ein Diagramm zu dieser Situation sieht so aus:

Die oben angegebene Konstruktion zusammen mit dem Nachweis der universellen Eigenschaft fasst man auch kurz so zusammen: In der Kategorie der Moduln gibt es Produkte.

Produkt und Hom Funktor 
Ist  eine Familie von Homomorphismen, so ist
 genau dann ein Produkt der Familie , wenn der
Homomorphismus

für alle Rechtsmoduln  ein Isomorphismus ist. Insbesondere ist:

eine natürliche Transformation, die für jeden Modul  ein Isomorphismus ist.  ist ein funktorieller Isomorphismus.

Beispiele, Bemerkungen, Bezeichnungen 
 Ist für alle , so schreibt man  und nennt dies eine Potenz von .
 Für jede Indexmenge  ist  sogar ein Ring, wenn man komponentenweise multipliziert.  ist auf der linken und rechten Seite ein Modul über dem Ring . Die Diagonalabbildung ist ein Homomorphismus der Ringe und der Moduln. Dabei sind alle Komponenten von  gleich r.
 Ist  eine Familie von Untermoduln, so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus  mit . Dabei ist  die Familie der kanonischen Homomorphismen von  auf die Faktormoduln . Der Kern dieses Homomorphismus ist .
 Sind  und  zwei Familien von Moduln und ist  eine Familie von Homomorphismen, so ist die Abbildung  ein Homomorphismus. Es ist . Weiter ist .
 Ist auch  eine Familie von Moduln und ist für alle  die Folge  exakt, so ist  exakt.
 Sind  Rechtsmoduln, so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus  mit  für alle . Es ist . Ist  der Endomorphismenring von , so ist  auf der linken Seite ein S– Untermodul von . Ist  so koerzeugt  der Modul  den Modul . Ein Modul, der alle Rechtsmoduln koerzeugt heißt Kogenerator. Der Modul  ist daher ein Kogenerator, wenn es zu jedem Rechtsmodul  einen Monomorphismus  gibt, für eine gewisse Indexmenge .
 Ist  eine abelsche Gruppe, so ist  torsionsfrei genau dann, wenn  von  koerzeugt wird.
  ist ein Kogenerator in der Kategorie der abelschen Gruppen. Dies ist nicht mehr ganz einfach. Es setzt die Theorie der injektiven Moduln voraus. Siehe dazu zum Beispiel

Koprodukt von Moduln 
Eine Funktion  heißt endlichwertig, wenn  nur für endlich viele  gilt. Man meint dasselbe, wenn man sagt  für fast alle . Die Menge der endlichwertigen Abbildungen aus  wird Koprodukt (oder äußere direkte Summe) der Familie  genannt und mit  bezeichnet.  ist ein Untermodul des Produktes.

Ist , so sei  die folgende Abbildung aus :
 
Schreibt man die Abbildung  als Tupel, so ist . An allen Stellen des Tupels steht 0 nur an der j-ten Stelle steht a.
  ist der einzige Homomorphismus , welcher folgende Bedingung erfüllt:
 
Dies ergibt sich aus der universellen Eigenschaft des Produktes.
Die  sind alles Monomorphismen und es ist  die direkte Summe der  in dem Produkt der .

Universelle Eigenschaft des Koproduktes 
Ist  das Koprodukt der Moduln  so bilden die Funktionen

die  monomorph nach  ab. Sie heißen Injektionen.
Das Paar  hat die folgende Eigenschaft:

Zu jedem Modul  und jeder Familie von Homomorphismen  gibt es genau einen Homomorphismus , so dass  für alle  gilt.

In der Kategorientheorie kennzeichnet diese universelle Eigenschaft das Koprodukt von Objekten bis auf Isomorphie, das heißt:

Ist  ein Modul und  eine Familie von Homomorphismen und gibt es zu jedem Modul  und jeder Familie  von Homomorphismen genau ein  mit , so ist .

Die oben angegebene Konstruktion zusammen mit dem Nachweis der universellen Eigenschaft fasst man auch kurz so zusammen: In der Kategorie der Moduln gibt es Koprodukte.

Koprodukt und Hom Funktor 
Ist  eine Familie von Homomorphismen, so ist
 genau dann ein Koprodukt der Familie , wenn der
Homomorphismus

für alle Rechtsmoduln  ein Isomorphismus ist. Insbesondere ist:

ein  funktorieller Isomorphismus.

Bezeichnungen und Beispiele 
 Meist identifiziert man die  mit den  in . Dann schreibt man  anstelle von . Normalerweise ist keine Verwechslung zu befürchten.
 Ist  für alle  so schreibt man  anstelle von .
 Ist  für alle , so ist  ein freier Modul. Eine Basis ist die Familie  mit .
 Ist die Indexmenge  endlich, so sind direkte Summe und direktes Produkt identisch.
 Ist  eine endliche Teilmenge von  und , so ist  direkter Summand in . Der Homomorphismus  erfüllt die Bedingungen  und . Für unendliche Mengen ist die direkte Summe normalerweise keineswegs direkter Summand im direkten Produkt. So ist  kein direkter Summand in . Eine schwierige Frage ist: Für welche Moduln  ist  direkter Summand im Produkt ? Ist beispielsweise  halbeinfach und endlich erzeugt, so ist dies der Fall.
 Sind  Rechtsmoduln, so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus  mit  für alle . Es ist . Ist  der Endomorphismenring von , so ist  auf der linken Seite ein S– Untermodul von . Ist , so erzeugt  der Modul  den Modul . Ein Modul, der alle Rechtsmoduln erzeugt heißt Generator. Der Modul  ist daher ein Generator, wenn es zu jedem Rechtsmodul  einen Epimorphismus  gibt, für eine gewisse Indexmenge . Da jeder Modul das epimorphe Bild eines freien Moduls ist, ist  ein Generator.

Zwei wichtige Sätze

Ein Zerlegungssatz Satz von Kaplansky 
Sei  eine unendliche Kardinalzahl. Ist der Modul  direkte Summe von  erzeugbaren Untermoduln, so ist jeder direkte Summand von  direkte Summe von  erzeugbaren Untermoduln.

Der wichtigste Fall ist: Ist  direkte Summe von abzählbar erzeugten Untermoduln, so hat jeder direkte Summand diese Eigenschaft. In dieser Form hat Irving Kaplansky den Satz ursprünglich bewiesen. Daraus folgt beispielsweise, dass jeder projektive Modul direkte Summe von abzählbar erzeugten Moduln ist. Will man daher Struktursätze über projektive Moduln beweisen, so kann man sich Dank Kaplansky auf abzählbar erzeugte beschränken. Jeder projektive Modul ist ja direkter Summand in einem freien Modul.

Der Zerlegungssatz von Krull-Remak-Schmidt-Azmaya 
Seien  zwei Zerlegungen von . Sind die Endomorphismenringe aller  lokal und sind alle  unzerlegbar, so gibt es eine Bijektion  mit  für alle .

Dieser Satz verallgemeinert viele wichtige Sätze. So zum Beispiel:
 Je zwei Basen eines Vektorraumes haben gleiche Mächtigkeit.
 Die Zerlegung eines halbeinfachen Moduls in eine direkte Summe von einfachen Moduln ist im Sinne des Satzes eindeutig.
 Der Zerlegungssatz von Satz von Krull-Remak-Schmidt für Moduln endlicher Länge.

Einzelnachweise

Literatur 
 Frank W. Anderson and Kent R. Fuller: Rings and Categories of Modules. Springer, New-York 1992, ISBN 0-387-97845-3
 Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
 Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1

Modul (Mathematik)
Algebra