Abelsche Varietät
In der Mathematik werden Abelsche Varietäten im Rahmen der algebraischen Geometrie, komplexen Analysis und der Zahlentheorie untersucht. Abelsche Varietäten besitzen gleichzeitig zwei mathematische Strukturen: die Struktur einer algebraischen Varietät (d. h., die Elemente einer Abelschen Varietät sind durch Polynome bestimmt) und die Struktur einer Gruppe (d. h., die Elemente einer Abelschen Varietät lassen sich so miteinander verknüpfen, dass die von der Addition ganzer Zahlen gewohnten Rechengesetze gelten). Daneben muss eine Abelsche Varietät noch gewisse topologische Bedingungen erfüllen (Vollständigkeit, Zusammenhang). Abelsche Varietäten sind also spezielle algebraische Gruppen.
Der Begriff der Abelschen Varietät entstand durch geeignete Verallgemeinerung der Eigenschaften elliptischer Kurven.

Definition 
Eine Abelsche Varietät ist eine vollständige, zusammenhängende Gruppenvarietät.

Erläuterung der Definition 
In dieser Definition zeigt der Begriff „Varietät“ die Eigenschaft Abelscher Varietäten an, aus den Lösungen polynomieller Gleichungssysteme zu bestehen. Diese Lösungen werden häufig als Punkte bezeichnet. Im Fall einer Abelschen Varietät, der eine elliptische Kurve zu Grunde liegt, kann dieses Gleichungssystem aus nur einer Gleichung bestehen, etwa . Die zugehörige Abelsche Varietät besteht dann aus allen projektiven Punkten  mit  sowie dem Punkt , der häufig durch  symbolisiert wird.

Der Bestandteil „Gruppe“ in der Definition Abelscher Varietäten verweist darauf, dass man zwei Punkte einer Abelschen Varietät stets so auf einen dritten Punkt abbilden kann, dass Rechengesetze wie bei der Addition ganzer Zahlen gelten: Diese Verknüpfung ist assoziativ, es gibt ein neutrales Element und zu jedem Element ein inverses Element. In der Definition Abelscher Varietäten wird nicht verlangt, dass diese Gruppenoperation abelsch (kommutativ) ist. Allerdings lässt sich zeigen, dass die Gruppenoperation auf einer Abelschen Varietät stets – wie der Name andeutet – abelsch ist.

Die Begriffe „vollständig“ und „zusammenhängend“ verweisen auf topologische Eigenschaften der algebraischen Varietät, die einer Abelschen Varietät zu Grunde liegen. Die folgenden Abschnitte präzisieren die drei Bestandteile „Gruppenvarietät“, „vollständig“ und „zusammenhängend“ der Definition Abelscher Varietäten.

Zum Begriff „Gruppenvarietät“ 

Sei  ein beliebiger, nicht notwendig algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Gruppenvarietät über  ist eine algebraische Varietät  über  zusammen mit zwei regulären Abbildungen  und  sowie einem über  definierten Element , sodass  und  eine Gruppenstruktur mit neutralem Element  auf der über dem algebraischen Abschluss von  betrachteten algebraischen Varietät  definieren. Die reguläre Abbildung  definiert dabei die Gruppenoperation der Gruppenvarietät  und  die Invertierung. Eine Gruppenvarietät ist also ein Quadrupel  mit den genannten Eigenschaften.

Zum Begriff „vollständig“ 

Eine algebraische Varietät  heißt vollständig, wenn für alle algebraischen Varietäten  die Projektionsabbildung  abgeschlossen ist (bzgl. der Zariski-Topologie). Das bedeutet:  bildet jede abgeschlossene Teilmenge von  auf eine abgeschlossene Teilmenge von  ab. Zum Beispiel sind projektive algebraische Varietäten stets vollständig; eine vollständige algebraische Varietät braucht aber nicht projektiv zu sein.

Zum Begriff „zusammenhängend“ 
Ein topologischer Raum wird zusammenhängend genannt, wenn er nicht als Vereinigung zweier disjunkter, nicht leerer, offener Teilmengen dargestellt werden kann.

Eigenschaften 
Aus der Definition Abelscher Varietäten lassen sich wichtige, recht überraschende Eigenschaften ableiten:
 Die Gruppenoperation einer Abelschen Varietät ist stets kommutativ (abelsch).
 Die einer Abelschen Varietät zu Grunde liegende algebraische Varietät ist projektiv, nicht-singulär und irreduzibel.

Beispiele 
Die folgenden mathematischen Strukturen sind Abelsche Varietäten:
 Elliptische Kurven
 Jacobische Varietäten
 Albanese Varietäten

Einzelnachweise

Literatur 
 
 
 Kleine AG. Abelsche Varietäten. Bei: Uni-Bonn.de. (PDF; 82 kB),

Algebraische Varietät
Zahlentheorie
Niels Henrik Abel