Fastkomplexe Mannigfaltigkeit
In der Mathematik ist der Begriff der fastkomplexen Mannigfaltigkeit eine Abschwächung des Begriffs komplexe Mannigfaltigkeit. Während komplexe Mannigfaltigkeiten lokal wie der komplexe Raum aussehen, tun dies fastkomplexe nur „infinitesimal“, das heißt die Tangentialräume sind (auf untereinander verträgliche Art) komplexe Vektorräume. Um einen reellen Vektorraum zu einem komplexen zu machen, muss man festlegen, was das Produkt eines Vektors mit der imaginären Einheit  sein soll. Dies ist im Fall des Tangentialraums  die Aufgabe der Abbildung .

Das Konzept wurde 1948/49 von Charles Ehresmann und Heinz Hopf eingeführt.

Definition

Fastkomplexe Struktur 
Eine fastkomplexe Struktur auf einer glatten Mannigfaltigkeit  ist eine glatte Abbildung  mit der Eigenschaft, dass die Einschränkung  auf den Tangentialraum zu jedem Punkt  eine bijektive lineare Abbildung ist, die

erfüllt. (Dies entspricht der Gleichheit .)

Fastkomplexe Mannigfaltigkeit 
Eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit  zusammen mit einer fastkomplexen Struktur auf .

Eigenschaften 
 Seien  und  zwei fastkomplexe Mannigfaltigkeiten mit den jeweiligen fastkomplexen Strukturen  und . Eine stetig differenzierbare Abbildung  heißt holomorph (oder pseudo-holomorph), wenn der Pushforward  von  mit den fastkomplexen Strukturen von  und  verträglich ist, das heißt, es muss

gelten.

 Eine komplexe Mannigfaltigkeit ist automatisch auch eine fastkomplexe. Durch die komplexe Struktur werden die Tangentialräume zu komplexen Vektorräumen und durch  für  wird eine fastkomplexe Struktur definiert. Umgekehrt braucht eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit im Allgemeinen keine komplexe Struktur zu besitzen. Falls es aber einen Atlas gibt mit Karten, deren Zielbereich ein komplexer Vektorraum ist und die im Sinne der fastkomplexen Struktur holomorph sind, dann ist dieser Atlas ein komplexer Atlas, der die fastkomplexe Struktur induziert. Man kann deshalb komplexe Mannigfaltigkeiten auch definieren als fastkomplexe Mannigfaltigkeiten, die einen holomorphen Atlas besitzen.

Integrierbarkeit 

Eine fastkomplexe Struktur heißt integrierbar, wenn sie einen holomorphen Atlas besitzt, das heißt eine komplexe Struktur ist. Der Satz von Newlander-Nirenberg besagt, dass eine fastkomplexe Struktur genau dann integrierbar ist, wenn der Nijenhuis-Tensor verschwindet.

Beispiele 

 Für jede natürliche Zahl  gibt es komplexe Strukturen auf dem , zum Beispiel ():  für ungerade  und  für gerade .
 Fastkomplexe Strukturen gibt es nur auf Mannigfaltigkeiten gerader Dimension. (Andernfalls hätte  mindestens einen reellen Eigenwert im Widerspruch zu .)
 Im reell zweidimensionalen (das heißt im komplex-eindimensionalen) ist jede fastkomplexe Mannigfaltigkeit eine komplexe Mannigfaltigkeit, also eine riemannsche Fläche. Dies kann man durch das Lösen der Beltrami-Gleichung zeigen.
 Die einzigen Sphären mit fastkomplexen Strukturen sind  und  (Armand Borel, Jean-Pierre Serre 1953). Die bekannte fastkomplexe Struktur – hergeleitet aus der Geometrie der Oktonionen – auf der  ist nicht integrierbar. Es ist nicht bekannt, ob es auf der  eine komplexe Struktur gibt. Im Allgemeinen wird aber vermutet, dass dies nicht so ist, wenn es auch Versuche gab, eine solche zu konstruieren. Beweisversuche der Nicht-Existenz gab es zum Beispiel von C. C. Hsiung (1986) und S. S. Chern (2003) und 2016 von Michael Atiyah.
 Jede symplektische Mannigfaltigkeit ist fastkomplex.

Hermitesche Metrik 

Eine hermitesche Metrik  auf einer fastkomplexen Mannigfaltigkeit ist eine -invariante riemannsche Metrik, d. h. eine riemannsche Metrik, die

für alle  erfüllt.

Die 2-Form

heißt fundamentale 2-Form der fast-hermitschen Mannigfaltigkeit.  heißt fast-kählersch wenn .

 heißt hermitesche Mannigfaltigkeit wenn  integrierbar ist. Eine hermitesche Mannigfaltigkeit mit  ist eine Kählermannigfaltigkeit.

Literatur 
 Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics. 213). Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95395-7.

Einzelnachweise 

Komplexe Mannigfaltigkeit