Finsler-Mannigfaltigkeit
In der Geometrie sind Finsler-Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung riemannscher Mannigfaltigkeiten.

Sie sind nach Paul Finsler benannt.

Definition 

Eine Finsler-Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit  mit einer außerhalb des Nullschnitts glatten Funktion  so dass für alle  gilt:
  mit Gleichheit nur für 
  für alle 
 .
Hierbei bezeichnet  den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit  im Punkt  und  das Tangentialbündel von  also die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume.

Die Finsler-Mannigfaltigkeit heißt symmetrisch falls  für alle  gilt.

Beispiele 

 Normierte Vektorräume, wenn die Norm außerhalb des Nullvektors glatt ist.
 Riemannsche Mannigfaltigkeiten : setze .
 Konvexe Mengen  mit der Hilbert-Metrik : setze  für .

Länge und Volumen 

Die Länge einer rektifizierbaren Kurve  ist definiert durch
.
Die Volumenform einer -dimensionalen Finsler-Mannigfaltigkeit ist wie folgt definiert. Sei ,  eine Basis von ,  die duale Basis. Sei  das euklidische Volumen von . Die Volumenform ist dann gegeben durch
,
wobei  das euklidische Volumen der Einheitskugel im  bezeichnet. Das Busemann-Volumen einer messbaren Menge  ist definiert durch .

Literatur 

 D. Bao, S.-S. Chern, Z. Shen: An introduction to Riemann-Finsler geometry. (= Graduate Texts in Mathematics. 200). Springer-Verlag, New York 2000, ISBN 0-387-98948-X.
 Zhongmin Shen: Lectures on Finsler geometry. World Scientific Publishing, Singapore 2001, ISBN 981-02-4531-9.

Differentialgeometrie
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