Deformationsgradient
Der Deformationsgradient (Formelzeichen: ) ist in der Kontinuumsmechanik ein Mittel zur Beschreibung der lokalen Verformung an einem materiellen Punkt eines Körpers. Zur Veranschaulichung kann man sich einen Körper (in Abbildung 1, gelb) vorstellen auf den eine kurze Linie (weil nur lokale Änderungen beschrieben werden, im Bild fett rot) eingeritzt wird. Wird der Körper deformiert (rechts im Bild), wird die eingeritzte Linie nicht nur ihre Lage im Raum ändern, sondern auch gedehnt (oder gestaucht) und verdreht werden. Die Dehnung und Verdrehung beschreibt der Deformationsgradient und ist so ein Maß für die Deformation, daher der Name. Der Anhang Gradient verweist auf die Tatsache, dass lokale Änderungen beschrieben werden. Aus dem Deformationsgradient lassen sich Maße für die lokale Streckung, Verzerrung, Flächen- und Volumenänderung ableiten. Im allgemeinen Fall ist der Deformationsgradient sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhängig. Die zeitliche Änderung des Deformationsgradienten gibt Maße für die Änderungsraten der Streckung, Verdrehung, Verzerrung, Flächen- und Volumenänderung. Der Deformationsgradient ist einheitenfrei.

Bei den angesprochenen kurzen Linien handelt es sich mathematisch um Vektoren, die vom Deformationsgradient transformiert werden, wobei die Vektoren im Allgemeinen gedreht und gestreckt werden. Abbildungen von Vektoren leisten Tensoren, siehe  Abbildung 2, weswegen der Deformationsgradient ein Tensor ist. Wenn es klar ist, auf welches Koordinatensystem sich der Deformationsgradient bezieht, berechnet er sich wie eine Jacobimatrix und kann dann auch als Matrix notiert werden. Oft bildet der Deformationsgradient die (infinitesimal kleinen) materiellen Linienelemente in der Ausgangs- oder Referenzkonfiguration in die aktuelle oder Momentankonfiguration ab. Ganz allgemein kann eine solche Abbildung aber auch zwischen beliebig anderen zu definierenden Konfigurationen stattfinden.

Definition und Darstellungsweisen

Definition 
Die Bewegung eines materiellen Punktes wird mit der Bewegungsfunktion

beschrieben. Der Vektor  ist die aktuelle Position des materiellen Punktes  zur Zeit  in der Momentankonfiguration. Genauer ist  die Position des betrachteten materiellen Punktes in der undeformierten Ausgangs- oder Referenzkonfiguration des Körpers zu einer Zeit . Bei festgehaltenem materiellen Punkt  beschreibt die Bewegungsfunktion dessen Bahnlinie durch den Raum. Im kartesischen Koordinatensystem mit der Standardbasis {} hat der Punkt  die komponentenweise Darstellung

und entsprechend gilt . Um zu untersuchen wie sich die aktuelle Position ändert, wenn die Position in der undeformierten Ausgangslage variiert, wird die Ableitung gebildet:

   für   .

Die Funktionen  sind die Komponenten des Deformationsgradienten bezüglich des Basissystems .

Um zu einer koordinatenfreien Darstellung zu gelangen, wird das dyadische Produkt  benutzt:

.

Darin ist  der Deformationsgradient und  ist der Operator für den materiellen Gradienten, denn es wird nach den materiellen Koordinaten  differenziert.

Der Deformationsgradient kann auch mit der Richtungsableitung

dargestellt werden, was seine Transformationseigenschaften der Linienelemente  verdeutlicht, siehe Abbildung 3.

Definitions- und Wertebereich 

Mathematisch ist das Differential  in

Element des Tangentialraumes  im Punkt  des Raumes , den der undeformierte Körper in der Ausgangskonfiguration einnimmt (in Abbildung 4 oben). Das Differential  ist entsprechend ein Element des Tangentialraumes  im Punkt  des Raumes , den der deformierte Körper in der Momentankonfiguration einnimmt (im Bild unten). Damit wird der Deformationsgradient zur Abbildung

.

Darstellung in konvektiven Koordinaten 
Werden jedem materiellen Punkt  über eine Referenzkonfiguration konvektive Koordinaten  zugeordnet, bilden die Tangentenvektoren

    bzw.   

kovariante Basen der Tangentialräume  im Punkt  bzw.  im Punkt  (in Abbildung 4 schwarz dargestellt). Die Gradienten der konvektiven Koordinaten

    bzw.   

bilden kontravariante Basen, die zu den kovarianten dual sind (in Abbildung 4 blau dargestellt).

In diesen Basissystemen ausgedrückt bekommt der Deformationsgradient die besonders einfache Form

.

In dieser Darstellung lässt sich auch sofort mit

.

die Inverse des Deformationsgradienten angeben. Der transponiert inverse Deformationensgradient bildet die kontravarianten Basisvektoren aufeinander ab:

.

Der räumliche Deformationsgradient 
Zumeist wird der Deformationsgradient wie oben in seiner materiellen Darstellung formuliert. Gelegentlich wird aber auch der räumliche Deformationsgradient benutzt. Wegen  kann der Deformationsgradient invertiert und das Ergebnis über  als Funktion der räumlichen Koordinaten  ausgedrückt werden:

.

Der räumliche Deformationsgradient  bildet dann das Linienelement  auf das Linienelement  ab:

.

Entsprechend hat der räumliche Deformationsgradient in konvektiven Koordinaten die Form

.

Geometrische Linearisierung 

In der Festkörpermechanik treten in vielen Anwendungsbereichen nur kleine Deformationen auf. In diesem Fall erfahren die Gleichungen der Kontinuumsmechanik eine erhebliche Vereinfachung durch geometrische Linearisierung. Dazu werden die Verschiebungen  betrachtet, die ein materieller Punkt  im Laufe seiner Bewegung erfährt. Weil  die aktuelle Position des Punktes ist, der in der Ausgangskonfiguration die Position  hatte, ist die Verschiebung die Differenz

.

Der materielle Gradient der Verschiebungen ist der Tensor

.

und wird Verschiebungsgradient genannt. Wenn  eine charakteristische Abmessung des Körpers ist, dann wird bei kleinen Verschiebungen sowohl  als auch  gefordert, so dass alle Terme, die höhere Potenzen von  oder  beinhalten vernachlässigt werden können. In diesem Fall ergeben sich die folgenden Zusammenhänge:

.

Die Tensoren  und  kommen in der polaren Zerlegung vor, siehe unten.

Transformationseigenschaften

Polare Zerlegung 

Der Deformationsgradient  lässt sich eindeutig "polar" in eine Rotation und eine reine Streckung zerlegen. Durch Anwendung der Polarzerlegung resultiert die Darstellung

.

Dabei ist  ein "eigentlich orthogonaler Tensor". Der materielle rechte Strecktensor  und der räumliche linke Strecktensor   sind symmetrisch und positiv definit. (Eselsbrücke:   steht rechts von  und  links davon in der polaren Darstellung.)

Anschaulich bedeutet die polare Zerlegung eine Hintereinanderschaltung zweier Transformationen: Im einen Fall eine rotationsfreie Streckung  mit anschließender Drehung  und im anderen Fall eine Drehung  mit anschließender rotationsfreier Streckung  so wie sie in Abbildung 5 dargestellt sind.

Der rechte Strecktensor berechnet sich gemäß

aus der Hauptachsentransformation von , ziehen der Wurzel der Diagonalglieder und Rücktransformation, siehe auch das Beispiel unten. Entsprechend gilt für den linken Strecktensor

.

Der Rotationstensor   ergibt sich dann aus

.

Linien-, Flächen- und Volumenelemente 
Mit Hilfe des Deformationsgradienten können Integrale in der materiellen Darstellung in die räumliche umgerechnet werden. Die zu integrierende Größe sei ein Feld  das skalar-, vektor- oder tensorwertig sein kann und in der materiellen Darstellung  und der räumlichen  

vorliege. Dann gelten die Identitäten:

.

Der Operator  bildet die Determinante und  die transponiert Inverse.  ist eine materielle Linie in der Ausgangskonfiguration und  die zugehörige räumliche in der Momentankonfiguration. Die Oberfläche  des Körpers in der Ausgangskonfiguration hat das Oberflächenelement , d. h. die mit dem Flächenstück  multiplizierte Normale  des Flächenstücks. Gleiches gilt für das räumliche Flächenelement  auf der Oberfläche  des Körpers in der Momentankonfiguration. Diese Transformationen sind bei der Zeitableitung der Integrale auf den linken Seiten der Gleichungen nützlich, weil die Gebiete auf den linken Seiten von der Zeit abhängen nicht so aber auf den rechten Seiten.

Volumenverhältnis 
Die Determinante von  gibt das lokale Volumenverhältnis  im betrachteten materiellen Punkt bei der Deformation an.

Damit ergibt sich u. a., dass  positiv sein muss, sonst wäre die Deformation physikalisch nicht möglich (Inversion des materiellen Punktes).

Bleibt bei einer Deformation das Volumen erhalten, also , liegt Inkompressibilität vor. Bei Gummi- oder Elastomer-Werkstoffen ist dies eine übliche Annahme in der kontinuumsmechanischen Beschreibung und durch das Verhalten dieser Werkstoffklasse annähernd der Fall. Gleiches gilt für die inkompressiblen Flüssigkeiten.

Transformation von Tensoren 
Der Deformationsgradient transformiert neben den Linien-, Flächen- und Volumenelementen auch Tensoren von der Ausgangskonfiguration in die Momentankonfiguration. Diese Transformationen sind für kovariante Tensoren (oftmals Verzerrungstensoren) und kontravariante Tensoren (oftmals Spannungstensoren) unterschiedlich, z. B.:

.

Der Tensor

ist der Euler-Almansi-Verzerrungstensor in der Momentankonfiguration,

der Green-Lagrange’sche Verzerrungstensor in der Ausgangskonfiguration,

der gewichtete Cauchy’sche Spannungstensor,   der Cauchy’sche Spannungstensor (beide in der Momentankonfiguration) und

der zweite Piola-Kirchhoff’sche Spannungstensor in der Ausgangskonfiguration. Das Skalarprodukt ":" der so einander zugeordneten Tensoren wird von der Transformation nicht verändert, z. B.:

.

Multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten 

Die Multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten wird in Materialtheorie angewendet, um die Deformation eines Körpers auf Grund verschiedener Einflüsse zu modellieren. So kann sich ein Körper deformieren, weil er erwärmt wird oder einer äußeren Kraft ausgesetzt wird. Die Deformation kann zusätzlich davon abhängen, wie schnell die Temperatur oder Kraft aufgebracht wird. Die Reaktionen des Materials lassen sich einfacher modellieren, wenn die Phänomene voneinander getrennt betrachtet werden. So kann ein Modell den Einfluss der Temperatur nachbilden und ein anderes Modell die isotherme Verformung durch Kräfte. Die Deformationen aufgrund des einen oder anderen Phänomens können dann anschließend wieder zusammengeführt werden. In der Materialtheorie hat es sich durchgesetzt bei kleinen Verformungen eine additive Zerlegung der Dehnungen und bei großen Verformungen eine multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten zu benutzen.

Seien also a und b zwei Verformungsanteile eines Materials. Für die Modellbildung wird der Deformationsgradient multiplikativ zerlegt:

.

Ein Modell beschreibt dann die Entwicklung des Anteils  auf Grund des Einflusses a und ein anderes Modell die Entwicklung des Anteils  auf Grund des Einflusses b. Die Deformationsgradienten  und  erfüllen im Allgemeinen nicht die  Kompatibilitätsbedingungen, weswegen es im Allgemeinen kein Bewegungsfeld gibt, aus dem die beiden Anteile per Gradientenbildung abgeleitet werden können.

Weil der Deformationsgradient, wie im vorigen Abschnitt erläutert, Tensoren von einer Konfiguration in die andere transformiert, entspricht die multiplikative Zerlegung der Einführung einer Zwischenkonfiguration. Die Tensoren der Referenzkonfiguration werden mit dem Anteil  und die der Momentankonfiguration mit  in die Zwischenkonfiguration transformiert. Transformation des Green-Lagrange’schen Verzerrungstensors von der Referenzkonfiguration in die Zwischenkonfiguration liefert:

Der in die Zwischenkonfiguration transformierte Green-Lagrange’sche Verzerrungstensor zerfällt also in zwei Anteile:
 Ein Anteil  ist vom Green-Lagrange-Typ und wird mit  gebildet.
 Der andere Anteil ist vom Euler-Almansi-Typ und wird mit  gebildet.

Gleiches gilt, wenn der Euler-Almansi Tensor  mit  auf die Zwischenkonfiguration transformiert wird:

In der Zwischenkonfiguration können nun die beiden Phänomene mit den Verzerrungstensoren  und  getrennt modelliert werden. Der sich im Modell in der Zwischenkonfiguration ergebende Spannungstensor wird anschließend mit  in die Momentankonfiguration oder mit  in die Referenzkonfiguration transformiert.

Deformationsraten 

Die materielle Zeitableitung des Deformationsgradienten

ist ein Maß für die Deformationsgeschwindigkeit. Sie hängt über

mit dem räumlichen Geschwindigkeitsgradient  des räumlichen Geschwindigkeitsfeldes  zusammen. In konvektiven Koordinaten lautet das

Beispiel 

Die Berechnung des Deformationsgradienten und seiner polare Zerlegung wird anhand der Scherung eines Quadrates vorgeführt.

Ein Quadrat der Kantenlänge eins wird zu einem flächengleichen Parallelogramm mit Grundseite und Höhe eins verformt, siehe Abbildung 6. Die Punkte des Quadrates haben in der Ausgangskonfiguration die Koordinaten

.

Die Neigung des Parallelogramms sei

.

Dann sind die räumlichen Koordinaten der Punkte gegeben durch

.

Wie üblich wird  mit  und  mit  identifiziert. Dann bekommt man den Deformationsgradient durch Ableitung:

.

Die Richtungsableitung liefert über

dasselbe Ergebnis. Der Deformationsgradient ist hier vom Ort und der Zeit unabhängig und hat die Determinante eins, was den Erhalt des Flächeninhalts bestätigt. Der rechte Strecktensor  berechnet sich aus dem rechten Cauchy-Green-Tensor

über Hauptachsentransformation, ziehen der Wurzel der Diagonalglieder und Rücktransformation. Für die Hauptachsentransformation braucht man die Eigenwerte  und -vektoren  von . Man findet:

.

Mit diesen Eigenwerten und -vektoren erhält man die Hauptachsentransformation

und damit den rechten Strecktensor

.

Mit seiner Inversen

ergibt sich der Rotationstensor

,

siehe Drehmatrix. Der Rotationstensor dreht das im Bild königsblaue Parallelogramm oder hellblaue Quadrat um den Winkel

.

Den linken Strecktensor kann man nun einfacher aus

ermitteln.

Siehe auch 

Mathematik:
 Differentialgeometrie
 Jacobimatrix

Formelsammlungen:
 Formelsammlung Tensoralgebra
 Formelsammlung Tensoranalysis

Literatur 
 H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
 P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer Verlag, 2000, ISBN 3-540-66114-X.

Kontinuumsmechanik