Gebrochene Brownsche Bewegung
Die gebrochene Brownsche Bewegung oder auch fraktionale Brownsche Bewegung ist eine Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen , welche durch die folgende Kovarianzfunktion charakterisiert sind:

wobei H eine reelle Zahl in (0, 1) ist. H wird häufig der Hurst-Parameter genannt. Für H=1/2 ist die gebrochene Brownsche Bewegung eine eindimensionale Brownsche Bewegung.

Eigenschaften

Selbstähnlichkeit 

 ist selbstähnlich. Genauer gilt, dass die Prozesse  und  für jedes feste c >0 dieselbe Verteilung besitzen.

Stationäre Inkremente 
Aus der Darstellung der Kovarianzfunktion folgt direkt die Beziehung
 
Insbesondere sind die Inkremente also stationär.
Außerdem gilt:
 falls H = 1/2, so hat der Prozess unabhängige Inkremente;
 falls H > 1/2, so sind die Inkremente positiv korreliert;
 falls H < 1/2, so sind die Inkremente negativ korreliert.

Pfadeigenschaften 
Die Pfade der gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H sind Hölder-stetig mit Index  für jedes .

Stochastische Integration 
Es ist möglich, stochastische Integrale bezüglich der gebrochenen Brownschen Bewegung zu definieren.

Siehe auch 
 Anomale Diffusion

Weblinks 
 Vorlesungsvideo über die gebrochene Brownsche Bewegung (englisch)

Quellen 
 

Stochastischer Prozess