Cahen-Konstante
Die Cahen-Konstante ist eine nach dem französischen Mathematiker Eugène Cahen (1865–1941) benannte mathematische Konstante. Sie ist eine transzendente Zahl und wird als Grenzwert einer alternierenden Reihe von Stammbrüchen definiert.

Definition 

Die Nenner der Stammbrüche leiten sich von den Folgengliedern der Sylvester-Folge  ab, die rekursiv durch
      für n = 0, 1, 2, 3, …
definiert ist (). Mit dieser Folge ist die Cahen-Konstante durch
 
definiert, das heißt, die Sylvester-Folge ist die Pierce-Entwicklung von C. Mit dem Leibniz-Kriterium kann die Konvergenz der Reihe direkt gezeigt werden.

Eigenschaften 

Nach Zusammenfassen von jeweils zwei Gliedern der Reihe erhält man eine Reihe, deren Glieder nur positive Stammbrüche sind:
 
Diese Darstellung liefert auch der Greedy-Algorithmus zur Stammbruchzerlegung von C (die Nenner bilden die ). Die Reihe konvergiert wegen des doppelt exponentiellen Wachstums der Sylvester-Folge rasch, jeder hinzugenommene Summand vervierfacht die Anzahl gültiger Stellen.

Ein Näherungswert für die Cahen-Konstante ist
  ().

Eugène Cahen bewies 1891 auf elementare Weise, dass C irrational ist (dies folgt schon daraus, dass die Pierce-Entwicklung nicht abbricht). J. Les Davison und Jeffrey Shallit zeigten 1991, dass C transzendent ist. Ihr Beweis zeigt allgemeiner für alle Zahlen, deren Kettenbruchentwicklungen bestimmten einfachen rekursiven Bildungsgesetzen genügen, dass sie transzendent sind. Speziell für C ist die Kettenbruchentwicklung durch
      ()
gegeben, wobei die Folge  rekursiv durch
      für n = 0, 1, 2, 3, …
definiert ist ().

Zu Variationen der definierenden Reihe von C ist bekannt, dass
 
während  und noch offen ist, was über  gesagt werden kann (die Sylvester-Folge ist in diesem Fall die Engel-Entwicklung, also ist der Grenzwert jedenfalls irrational).

Literatur 
 Steven R. Finch: Cahen’s constant. In: Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, Kapitel 6.7, S. 434–436 (englisch)

Weblinks 
 
  bei Plouffe’s Inverter (englisch)

Einzelnachweise 

Besondere Zahl