Irrationale Rotationsalgebra
Die irrationalen Rotationsalgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Es handelt sich um eine Klasse von C*-Algebren, die sich aus der C*-Algebra der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf dem Einheitskreis zusammen mit einer Rotation dieses Einheitskreises um einen irrationalen Winkel ergeben.

Konstruktion 

Im Folgenden sei  eine fest gewählte irrationale Zahl.
Betrachte den -Hilbertraum  der quadratintegrierbaren Funktionen, wobei wie üblich die Kreisgruppe  mittels  mit dem Einheitskreis  identifiziert wird, und darauf die beiden wie folgt definierten unitären Operatoren  und :

, wobei 

und

 ist ein Multiplikationsoperator und  rotiert eine Funktion um den Winkel .

Die von   und  erzeugte C*-Algebra  heißt daher die irrationale Rotationsalgebra zum Winkel  und wird mit  bezeichnet.

Eigenschaften 

 Leicht bestätigt man , in der Tat ist

.

 Die irrationale Rotationsalgebra hat folgende universelle Eigenschaft, die sie bis auf Isomorphie charakterisiert: Ist  eine C*-Algebra, die von zwei unitären Operatoren  und  erzeugt wird, die die Relation  erfüllen, so gibt es genau einen *-Isomorphismus  mit  und .

  ist einfach, das heißt die Algebra enthält keine zweiseitigen *-Ideale außer  und sich selbst.

 Es gibt eine eindeutige Spur , das heißt, es gibt genau ein lineares Funktional  mit  für alle ,  für alle  und , wobei  das Einselement in  sei.

 Die Gruppe der invertierbaren Elemente liegt dicht in .

 Die irrationalen Rotationsalgebren sind nuklear.

Alternative Konstruktion 
Hier wird eine alternative Konstruktion der irrationalen Rotationsalgebra auf dem Folgenraum  mit der Orthonormalbasis  vorgestellt. Man definiere die unitären Operatoren  durch:

 (zweiseitiger Shift),

 (unendliche Diagonalmatrix).

Dann bestätigt man leicht , woraus  folgt. Wegen der oben erwähnten universellen Eigenschaft der irrationalen Rotationsalgebra erhält man daraus .

K-Theorie 
Nach einem Satz von Marc Rieffel
gibt es zu jedem  eine Projektion  mit , wobei  die eindeutige Spur auf   sei.

Da  eine unperforierte, skalierte, kommutative Gruppe mit der Rieszschen Zerlegungseigenschaft ist (für diese Begriffe siehe Geordnete abelsche Gruppe), gibt es nach dem Satz von Effros-Handelman-Shen bis auf Isomorphie genau eine AF-C*-Algebra , die diese Gruppe als K0-Gruppe hat, und es liegt nahe die C*-Algebra , die selbst keine AF-C*-Algebra ist, mit  in Verbindung zu bringen.
Tatsächlich konnten M. Pimsner und D. Voiculescu eine Einbettung  konstruieren. Daraus folgt zunächst  und dann:

 Zwei irrationale Rotationsalgebren  und  sind genau dann isomorph, wenn  ist.

Kreuzprodukt 
Die irrationale Rotationsalgebra ist der Prototyp des Kreuzproduktes eines C*-dynamischen Systems. Ist  durch  definiert und ist , so ist  ein C*-dynamisches System und es ist .

Einzelnachweise 

K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1:

Algebra (Struktur)
Funktionalanalysis