Legendre-Konstante
Die Legendre-Konstante ist eine mathematische Konstante, die in einer 1798 von Adrien-Marie Legendre aufgestellten Formel auftritt, welche die Anzahl der Primzahlen abschätzt, die nicht größer als eine gegebene Zahl  sind. Ihr Wert wurde später als genau 1 bestimmt.

Legendre vermutete auf Grund seiner Überlegungen zur Häufigkeit von Primzahlen, dass der folgende Grenzwert existiert:

 

dabei ist  der natürliche Logarithmus von ,  die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als  sind, und  die Legendre-Konstante, welche Legendre mit Hilfe von Berechnungen bis zunächst =400.000, später =1.000.000, auf etwa 1,08366 schätzte. Aus der Existenz der Konstanten folgt, unabhängig von deren genauem Wert, der Primzahlsatz.

Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow bewies 1849, dass dieser Grenzwert  den Wert 1 hat, sofern er existiert. Ein einfacher Beweis wurde 1980 von János Pintz veröffentlicht.

Es ist eine direkte Folgerung des Primzahlsatzes, in folgender präziser Form von Charles de La Vallée Poussin,

 

(für eine positive Konstante , wo  das Landau-Symbol ist), dass  tatsächlich existiert und 1 ist. Der Primzahlsatz wurde 1896 unabhängig von Jacques Hadamard und Charles de La Vallée Poussin (ohne Restabschätzung) bewiesen.

Literatur und Quellen

Weblink 

 

Primzahl
Analytische Zahlentheorie