C*-dynamisches System
C*-dynamische Systeme werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Konstruktion, mit der man aus einer C*-Algebra und einer lokalkompakten Gruppe, die in gewisser Weise auf der C*-Algebra operiert, eine neue C*-Algebra gewinnt. Diese Konstruktion verallgemeinert die klassischen dynamischen Systeme, bei denen die Gruppe der ganzen Zahlen auf einem kompakten Hausdorffraum operiert. Der Prototyp eines C*-dynamischen Systems ist die irrationale Rotationsalgebra.

Definition 
Unter einem C*-dynamischen System versteht man ein Tripel  bestehend aus einer C*-Algebra , einer lokalkompakten Gruppe  und einem Homomorphismus  von  in die Gruppe der *-Automorphismen von , so dass alle Abbildungen  stetig sind. (Unter Morphismen auf C*-Algebren versteht man stets solche, die auch die Involution erhalten; man schreibt nur , es sind aber *-Automorphismen gemeint.)

Der einfachste und für viele Anwendungen wichtige Fall ist . Da die Gruppe  diskret ist, entfällt die Stetigkeitsbedingung. Ferner ist  bereits durch  festgelegt. Ein C*-dynamisches System mit Gruppe  ist also nichts weiter als eine C*-Algebra mit einem ausgezeichneten Automorphismus.

Kovariante Darstellungen 
Bekanntlich kann man sowohl C*-Algebren als auch lokalkompakte Gruppen auf Hilberträumen darstellen. Ist  ein C*-dynamisches System und sind  eine Hilbertraum-Darstellung von  und  eine unitäre Darstellung von  auf demselben Hilbertraum, so nennt man das Paar  eine kovariante Darstellung, falls

 für alle  und .

Mittels einer kovarianten Darstellung wird also die durch  vermittelte Gruppenoperation von  auf  durch  unitäre Operatoren dargestellt.

Das Kreuzprodukt 
Ist  ein C*-dynamisches System, so definiert man auf dem Raum  der stetigen Funktionen  mit kompaktem Träger für  und :

 
 
 
 
 

Dabei ist ,  ein links-Haarsches Maß auf  und  die modulare Funktion von .
Man rechnet nach, dass  durch diese Definitionen zu einer normierten Algebra mit isometrischer Involution wird. Das von  abhängige Produkt  nennt man Kreuzprodukt. Die Vervollständigung ist dann eine Banach-*-Algebra, die mit  bezeichnet wird.

Ist  eine kovariante Darstellung des C*-dynamischen Systems  auf einem Hilbertraum , so wird durch

eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung von  definiert. Ist umgekehrt eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung von  gegeben, so gibt es genau eine kovariante Darstellung des C*-dynamischen Systems, so dass sich die gegebene *-Darstellung gemäß obiger Formel ergibt. Die Kenntnis aller kovarianten Darstellungen des C*-dynamischen Systems entspricht daher der Kenntnis aller nicht-degenerierten *-Darstellungen der zugehörigen -Algebra.

Die einhüllende C*-Algebra von  wird mit  oder  bezeichnet und heißt das Kreuzprodukt des C*-dynamischen Systems. Die kovarianten Darstellungen eines C*-dynamischen Systems führen somit zu nicht-degenerierten Hilbertraum-Darstellungen von  und umgekehrt.

Ist speziell , so operiert jede lokalkompakte Gruppe  trivial auf , das heißt  für alle , und obige Konstruktion liefert die Gruppen-C*-Algebra . Die Konstruktion des Kreuzproduktes verallgemeinert daher die Konstruktion der Gruppen-C*-Algebra.

Das reduzierte Kreuzprodukt 
Wie im Falle der Gruppen-C*-Algebren betrachtet man auch für C*-dynamische Systeme  linksreguläre Darstellungen, allerdings erhält man hier für jede gegebene Hilbertraum-Darstellung von  eine solche.

Ist  eine Hilbertraum-Darstellung von , so konstruiert man eine kovariante Darstellung  auf dem Hilbertraum  aller messbaren Funktionen  mit  durch folgende Formeln:

 
 ,

wobei ,  und . Man rechnet nach, dass hierdurch tatsächlich eine kovariante Darstellung definiert ist. 
Ist nun speziell  die universelle Darstellung von , so heißt der Normabschluss von  in  das reduzierte Kreuzprodukt des C*-dynamischen Systems; dieses wird mit  oder  bezeichnet.

Betrachtet man wieder den Spezialfall  mit der trivialen Operation der Gruppe , so liefert die Konstruktion des reduzierten Kreuzproduktes genau die reduzierte Gruppen-C*-Algebra.

Da die kovariante Darstellung  zu einer *-Darstellung des Kreuzproduktes  führt, erhält man einen surjektiven Homomorphismus , den man ebenfalls die linksreguläre Darstellung nennt. Wie im Falle von Gruppen-C*-Algebren gilt folgender Satz:

 Ist  ein C*-dynamisches System mit mittelbarer Gruppe , so ist die linksreguläre Darstellung  ein Isomorphismus.

Speziell für kompakte und für abelsche Gruppen (wichtiger Spezialfall ) muss man also nicht zwischen  und  unterscheiden, denn diese Gruppen sind mittelbar.

Klassische dynamische Systeme 
Klassische dynamische Systeme sind Operationen der Gruppe  auf einem kompakten Hausdorffraum . Genauer ist ein Homöomorphismus  gegeben, und dieser definiert die Gruppenoperation . 
 definiert auch einen Automorphismus auf der C*-Algebra  der stetigen Funktionen , der  auf   abbildet. 
Damit liegt ein C*-dynamisches System  vor, wobei . 
Es können dann Beziehungen zwischen dem klassischen dynamischen System  und der C*-Algebra  aufgestellt werden.
Der Prototyp dieser Konstruktion ist die irrationale Rotationsalgebra.

Siehe auch 
Takai-Dualität
W*-dynamisches System

Einzelnachweise 

Funktionalanalysis