Maximales Tensorprodukt
Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist das maximale Tensorprodukt von C*-Algebren eine Konstruktion, mit der man aus zwei C*-Algebren  und  eine neue mit  bezeichnete C*-Algebra erhält. Es handelt sich dabei um die Vervollständigung des mit einer geeigneten Norm versehenen algebraischen Tensorproduktes aus  und . Die unten vorgestellte Konstruktion geht auf A. Guichardet zurück.

Konstruktion 
Es seien  und  zwei C*-Algebren. Eine C*-Halborm auf dem algebraischen Tensorprodukt  ist eine Halbnorm , so dass
  für alle 
  für alle 

Man kann zeigen, dass  für alle  und . Für ein Element  folgt daher  für jede C*-Halbnorm.
Deshalb ist , wobei  alle C*-Halbnormen durchläuft, endlich, und man bestätigt leicht, dass  eine C*-Halbnorm ist, und nach Konstruktion die größte auf . Es handelt sich sogar um eine Norm, denn unter den C*-Halbnormen befindet sich die räumliche C*-Norm.

Die Vervollständigung von  bezüglich dieser maximalen C*-Norm heißt das maximale Tensorprodukt aus  und  und wird mit  bezeichnet,
andere Autoren schreiben dafür  .

Eigenschaften 
Das maximale Tensorprodukt hat folgende nützliche Eigenschaft:

Es seien ,  und  C*-Algebren und  sowie  zwei *-Homomorphismen mit vertauschenden Bildern, das heißt  für alle  und . Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus  mit  für alle  und .

Sind  und  C*-Algebren, so heißt ein Paar  ein vertauschendes Paar von Darstellungen von , falls  und  Hilbertraum-Darstellungen auf demselben Hilbertraum  sind und  für alle  und  gilt. Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Formel für die maximale C*-Norm aufstellen:

Für zwei C*-Algebren  und  und  aus dem algebraischen Tensorprodukt  gilt

Siehe auch 
 Räumliches Tensorprodukt
 Nukleare C*-Algebra

Einzelnachweise

Literatur 
 Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9
 R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1

Funktionalanalysis