Kartesische Gruppe
Eine Kartesische Gruppe (auch: Cartesische Gruppe, engl. Cartesian Group) ist eine algebraische Struktur, die in der synthetischen Geometrie als Koordinatenbereich für bestimmte affine und projektive Ebenen dient.  Der Begriff geht auf Reinhold Baer zurück. Jede Kartesische Gruppe kann zu einem Ternärkörper gemacht werden, jeder Quasikörper ist eine Kartesische Gruppe. Die projektive Ebene über einer Kartesischen Gruppe gehört der Lenz-Klasse II oder einer höheren Klasse (III, IVa, IVb, V oder VII) an.

Definition 
Eine Menge  mit den zweistelligen Verknüpfungen  und zwei verschiedenen Strukturkonstanten  heißt Kartesische Gruppe, wenn die folgenden Axiome gelten:
  ist eine Gruppe mit dem neutralen Element 0.
 Es gilt  und 
 Sind  und gilt , dann gibt es genau ein  und mindestens ein  , so dass  und  gilt.

Gleichwertig:  ist genau dann eine Kartesische Gruppe, wenn
   mit der Ternärverknüpfung  ein Ternärkörper ist und
  in  das Assoziativgesetz gilt, also für  stets  erfüllt ist.

Eigenschaften und Bemerkungen 
 Im 3. Axiom des ersten Systems kann gleichwertig die Existenz von mindestens einer „Linkslösung“ x und genau einer „Rechtslösung“ y gefordert werden. Die Eindeutigkeit der Lösung, die in den Axiomen nicht extra gefordert wird, lässt sich dann aus den übrigen Axiomen herleiten.
 Der im zweiten Axiomensystem genannte, durch  eindeutig bestimmte Ternärkörper ist stets linear.
 Die affine Ebene über  wird über die Ternärverknüpfung so aufgebaut, wie es im Artikel Ternärkörper (für den linearen Fall) beschrieben ist.
 Der projektive Abschluss der genannten affinen Ebene gehört mindestens der Lenz-Klasse II an.
 Die „Addition“  in einer Kartesischen Gruppe muss nicht kommutativ sein.
 Eine Kartesische Gruppe ist ein spezieller linearer Ternärkörper, also eine algebraische Struktur mit zwei unterschiedlichen Verknüpfungen, im Gegensatz zum sonst üblichen Begriff einer Gruppe. Mit der Addition allein bildet jede Kartesische Gruppe eine Gruppe im sonst üblichen Sinn der Algebra.

Beispiele 
 Jeder Quasikörper und jede stärkere algebraische Struktur, also jeder Fastkörper, Halbkörper, Alternativkörper, Schiefkörper oder Körper liefert ein Beispiel für eine Kartesische Gruppe.

Koordinatenbereiche angeordneter und ebener projektiver Ebenen 
Lässt eine affine Ebene eine („starke“) Anordnung zu, dann ist dadurch auch ihr projektiver Abschluss eine angeordnete projektive Ebene. Dann ist auch ihr Koordinatenternärkörper angeordnet und damit unendlich. In den 1960er Jahren wurden einige Beispiele für angeordnete, echte Kartesische Gruppen gefunden, die solche angeordneten Ebenen koordinatisieren.

Eine angeordnete projektive Ebene wird als ebene projektive Ebene bezeichnet, wenn sie in ihrer „natürlichen“ Topologie, die hier durch die Anordnung eines (und damit jedes) ihrer Koordinatenternärkörper induziert wird, homöomorph zur gewöhnlichen reellen projektiven Ebene ist. Der Koordinatenternärkörper einer ebenen projektiven Ebene lässt dann immer eine archimedische Anordnung zu.

 Der Koordinatenbereich der Moulton-Ebene ist eine Kartesische Gruppe, die kein Quasikörper ist. Man verwendet im Körper der reellen Zahlen  die gewöhnliche Addition und definiert eine neue Multiplikation durch

mit einer positiven Konstante . Dann ist  eine Kartesische Gruppe mit kommutativer Addition und kommutativer, nicht assoziativer Multiplikation. Keines der Distributivgesetze ist erfüllt, daher handelt es sich nicht um einen Quasikörper.
 Offensichtlich kann im letzten Beispiel an Stelle von  jeder beliebige geordnete Körper zugrunde gelegt werden. Dies führt zu unendlich vielen, nicht isomorphen Kartesischen Gruppen, die alle unendlich viele Elemente enthalten. Die projektiven Ebenen sind angeordnete projektive Ebenen der Lenz-Barlotti-Klasse III.2 und, sofern der Grundkörper ein Teilkörper der reellen Zahlen ist, archimedisch angeordnet und daher homöomorph zu einer Unterebene der reellen projektiven Ebene.
 Man kann bei der obigen modifizierten Multiplikation für eine Moulton-Ebenen auch von einem nichtkommutativen, angeordneten Schiefkörper K  anstelle eines kommutativen Körpers ausgehen. Auch dann bildet  stets eine Kartesische Gruppe. Eine projektive Ebene, die durch  koordinatisiert werden kann, ist eine angeordnete, nichtdesarguessche projektive Ebene und hat den Lenz-Barlotti Typ III.2, falls c im Zentrum von K liegt und sonst den Lenz-Barlotti Typ III.1. Da nichtkommutative angeordnete Schiefkörper nicht archimedisch geordnet sein können, sind auch diese Ebenen nicht archimedisch geordnet.
 Eine überabzählbare Menge von Beispielen für eine Kartesische Gruppe  erhält man aus dem Körper  durch die Wahl von drei reellen Parametern . Man wählt als Addition die gewöhnliche reelle Addition und ersetzt die Multiplikation durch die Verknüpfung für :

 Jede solche Kartesische Gruppe  koordinatisiert eine von den Parametern  abhängige, nichtdesarguessche, angeordnete, ebene projektive Ebene, die für  zur Lenz-Barlotti Klasse II.1 gehört.
 Geht man vom Körper  aus, behält wieder die Anordnung und die Addition bei und erklärt eine neue Multiplikation für  durch

dann erhält man eine Kartesische Gruppe , die eine ebene projektive Ebene vom Lenz-Barlotti-Typ II.2 koordinatisiert.

Literatur

Einzelnachweise 

Synthetische Geometrie
Verallgemeinerter Körper