Integraloperator
Ein linearer Integraloperator ist ein mathematisches Objekt aus der Funktionalanalysis. Dieses Objekt ist ein linearer Operator, der mit einer bestimmten Integralschreibweise mit einem Integralkern dargestellt werden kann.

Definition 
Seien  und  offene Teilmengen und sei  eine messbare Funktion. Ein linearer Operator  zwischen den Funktionenräumen  heißt Integraloperator, wenn er durch

dargestellt werden kann. Die Funktion  heißt Integralkern oder kurz Kern von . An  müssen natürlich gewisse Regularitätsanforderungen gestellt werden, damit das Integral überhaupt existiert. Diese Anforderungen sind abhängig vom Definitionsbereich  des Integraloperators. Oftmals sind die Integralkerne aus dem Raum der stetigen Funktionen oder aus dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen. Gilt für einen Integralkern  und  für alle , dann nennt man den Integralkern symmetrisch.

Beispiele

Tensorprodukt-Integralkern 
Seien  zwei quadratintegrierbare Funktionen. Das Tensorprodukt dieser Funktionen ist definiert als

wobei  die komplexe Konjugation ist. Das Tensorprodukt  kann als Integralkern des Operators  mit

verwendet werden. Dieser Integraloperator ist auf  wohldefiniert.

Volterraoperator 
Der Integraloperator

ist zum Beispiel für alle Funktionen  definiert. Er heißt Volterraoperator und kann zur Bestimmung einer Stammfunktion von  verwendet werden. Sein Integralkern  ist gegeben durch

Da  gilt, ist  ein Hilbert-Schmidt-Operator.

Fredholmscher Integraloperator 
Sei  eine stetige Funktion. Dann ist ein Integraloperator durch

für alle und  definiert. Dieser Operator ist stetig und bildet zwischen den Funktionenräumen  ab. Dieser Integraloperator ist ein Beispiel eines fredholmschen Integraloperators und  ist sein Kern, der auch Fredholm-Kern genannt wird. Ein allgemeiner fredholmscher Integraloperator zeichnet sich dadurch aus, dass die Integralgrenzen im Gegensatz zum Volterra-Operator fix sind und der Integraloperator ein linearer kompakter Operator ist.

Cauchysche Integralformel 

Die cauchysche Integralformel ist definiert als

wobei  eine geschlossene Kurve in  um den Punkt  ist. Ist  dann eine holomorphe Funktion, so ist  die Erweiterung der Funktion  auf einen größeren Bereich. Aber dieser Integraloperator wird in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen auch zur Untersuchung nicht holomorpher Funktionen verwendet. Der Integralkern der cauchyschen Integralformel ist .

Integraltransformationen 
Einige Integraloperatoren nennt man traditionell eher Integraltransformationen. Sie spielen zum Beispiel in der Signalverarbeitung eine wesentliche Rolle und dienen der besseren Handhabe und Analyse des Informationsgehaltes eines Signals . Wesentlich für Integraltransformationen ist der Integralkern , welcher eine Funktion von der Zielvariablen  und der Zeitvariablen  ist. Durch Multiplikation des Signals  mit dem Integralkern  und anschließender Integration über den Grundraum  im Zeitbereich wird die sogenannte Bildfunktion  im Bildbereich  gebildet:

Erfüllt der Integralkern die Reziprozitätsbedingung, das heißt, es existiert ein „inverser Kern“ , kann aus der Bildfunktion  das Signal  rekonstruiert werden. In der praktischen Anwendung im Bereich der Signalverarbeitung spielt die Gruppe der selbstreziproken Kerne eine wesentliche Rolle. Ein Kern ist dann selbstreziprok wenn gilt:

mit der komplexen Konjugation  des Integrationskerns . Ein Beispiel für eine Integraltransformation mit selbstreziprokem Kern ist die Fourier-Transformation.

Eine weitere in der Signalverarbeitung bedeutende Form stellen die Faltungskerne dar, welche nur von der Differenz  bzw. von  abhängen. Die Transformation bzw. Rücktransformation lässt sich dann mit der Faltung ausdrücken als:

Ein Beispiel für eine Integraltransformation mit Faltungskern ist die Hilbert-Transformation. 

In der folgenden Tabelle werden einige bekannte, invertierbare Integraltransformationen mit entsprechendem Integralkern , Integrationsbereich  und „inversen Integralkern“  gelistet.

Integraltransformationen lassen sich auf höhere Dimensionen erweitern, beispielsweise spielen in der Bildverarbeitung zweidimensionale Integraltransformationen eine wesentliche Rolle. Bei Erweiterung auf zwei Dimensionen werden die Funktionen einer Variablen auf Funktionen von zwei Variablen festgelegt, die Integralkerne sind dann Funktionen mit vier Variablen. Im Falle von unabhängigen Variablen können die Kerne faktorisiert werden und setzten sich dann als ein Produkt zweier einfacher Kerne zusammen.

Singuläres Integral 
Singuläre Integrale sind Integraloperatoren, die einen Integralkern mit Singularität haben. Das heißt, der Integralkern ist auf der Diagonalen nicht Lebesgue-integrierbar. Daher muss der Integralbegriff für die im Folgenden definierten Integralkerne angepasst werden.

Standard-Integralkern 
Sei  die Diagonale in . Dann bezeichnet man als Standard-Kern eine stetige Funktion 
 
mit den folgenden zwei Eigenschaften:

Die Gradienten sind im distributionellen Sinne zu verstehen.

Singulärer Integraloperator 
Sei  ein Standard-Integralkern. Dann heißt der Operator

singulärer Integraloperator. Der Name kommt daher, dass der Operator für  eine Singularität besitzt. Auf Grund dieser Singularität konvergiert das Integral im Allgemeinen nicht absolut. Daher muss der Ausdruck  als

verstanden werden. Dieser Ausdruck existiert für alle  mit .

Distributionen als Integralkerne 
Auch Distributionen können als Integralkerne verwendet werden. Ein zentraler Satz aus diesem Bereich ist der Kernsatz von Schwartz. Dieser besagt, dass es zu jeder Distribution  einen linearen Operator 

gibt, der für alle  und  durch

gegeben ist. Außerdem gilt auch die Rückrichtung. So gibt es zu jedem Operator  eine eindeutige Distribution  so dass  gilt. Diese Distribution  nennt man Schwartz-Kern, benannt nach dem Mathematiker Laurent Schwartz, der den Kernsatz als erster formulierte. Diese Operatoren  können jedoch nicht als Integraloperatoren mit dem Lebesgue-Integral dargestellt werden. Da die Darstellung als Integraloperator jedoch wünschenswert erschien, führte Lars Hörmander den Begriff des oszillierenden Integrals ein. Mit diesem neuen Integralbegriff kann der Integralkern durch

angegeben werden und dann ist der Operator  als Integraloperator der Gestalt

gegeben, wobei die Integrale wieder oszillierende Integrale sind. Die Gleichheitszeichen sind im Sinne von Distributionen zu verstehen, was 

bedeutet.

Nichtlineare Integraloperatoren 
Ein nichtlinearer (Urysohn-)Integraloperator hat die Gestalt

mit einem geeigneten Definitionsbereich der Kernfunktion K und Integrationsbereich Ω.

Literatur 

Funktionalanalysis
Lineare Abbildung