Testfunktion
Als Testfunktionen bezeichnet man in der Mathematik gewisse Typen von Funktionen, die in der Distributionentheorie eine wesentliche Rolle spielen. Üblicherweise fasst man Testfunktionen eines bestimmten Typs zu einem Vektorraum zusammen. Die zugehörigen Distributionen sind dann lineare Funktionale auf diesen Vektorräumen. Ihr Name rührt daher, dass man die Distributionen (im Sinne linearer Abbildungen) auf die Testfunktionen anwendet und dadurch testet.

Es gibt verschiedene Arten von Testfunktionen. In der mathematischen Literatur werden häufig der Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger oder der Schwartz-Raum als Testfunktionenraum bezeichnet.

Testfunktionen spielen eine wichtige Rolle in der Funktionalanalysis, etwa bei der Einführung des Begriffs der schwachen Ableitung, sowie in der Theorie der Differentialgleichungen. Ihre Ursprünge liegen in der Physik und den Ingenieurwissenschaften (mehr dazu im Artikel Distribution (Mathematik)).

Glatte Funktionen mit kompaktem Träger

Definition 
Eines der häufigsten Beispiele für einen Testfunktionenraum ist die Menge

also der Raum aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen, die einen kompakten Träger haben, das heißt außerhalb einer kompakten Menge gleich null sind. 

Um den Raum der Testfunktionen zu erhalten, wird auf diesem Funktionenraum noch eine Topologie definiert. Diese Topologie erhält man aus einem Konvergenzbegriff, der auf diesem Raum definiert wird. Eine Funktionenfolge

mit
 
konvergiert gegen , wenn es ein Kompaktum 
 
gibt mit 
,
 
für alle  und

für alle Multiindizes  gilt. 

Der Raum , zusammen mit diesem Konvergenzbegriff, wird in der Literatur häufig mit  notiert.

Beispiele 
Ein Beispiel einer Testfunktion mit kompaktem Träger  ist

Ein weiteres Beispiel ist die Familie von -Funktionen mit Träger  ()

Eigenschaften 
Beliebige Ableitungen von  liegen ebenfalls in . Das liegt an der Eigenschaft  und an der Tatsache, dass der Träger einer Funktion den Träger ihrer Ableitung enthält.

Sei  eine offene Teilmenge von .
 Dann ist der Testfunktionenraum ein lokalkonvexer Vektorraum, genauer ein (LF)-Raum.
 Der Testfunktionenraum  erfüllt die Heine-Borel-Eigenschaft.
 Der Raum  ist ein Unterraum des Schwartz-Raums. Er liegt sogar dicht im Schwartz-Raum und ist somit auch dicht in  für .

Schwartz-Raum 

Ein weiterer Raum, der häufig als Testfunktionenraum bezeichnet wird, ist der Raum der schnell fallenden Funktionen, auch bekannt als der Raum der schwartzschen Testfunktionen oder Schwartz-Raum. Sein Dualraum heißt Raum der temperierten Distributionen und wird mit  notiert.

Raum der glatten Funktionen 

Der Raum der glatten Funktionen auf  zusammen mit ihrer lokalkonvexen Topologie, die durch die Familie von Halbnormen

induziert wird, findet auch Anwendung als Testfunktionenraum. Dieser Raum wird mit  notiert. Sein Dualraum  ist der Raum der Distributionen mit kompaktem Träger.

Sobolev-Räume 

Auch der Sobolev-Raum  für eine beliebige reelle Zahl  kann als Testfunktionenraum aufgefasst werden. Dieser Unterraum von  ist ebenfalls ein Hilbertraum. Bezüglich der dualen Paarung  ist allerdings  der entsprechende Distributionenraum.

Der Satz von Riesz-Markov 
Mit Hilfe des Darstellungssatzes von Riesz-Markow lässt sich der Dualraum des Raums der stetigen Funktionen auf einem kompakten Definitionsbereich  schreiben als

wobei  der Raum der regulären Borelmaße ist. Die Isomorphie ist dadurch gegeben, dass ein Funktional  stets in der Form

geschrieben werden kann. Die Integralschreibweise legt nahe, dass es auch für diese beiden Räume möglich ist, Distributionentheorie zu betreiben.

Allgemeinere Testfunktionenräume 
Prinzipiell lässt sich das Konzept von Testfunktionen und Distributionen auf andere Beispiele übertragen, in denen man einen Funktionenraum und seinen Dualraum zur Verfügung hat. Der Grundgedanke besteht darin, dass man einen Vektorraum  von Funktionen betrachtet. Da man häufig auf Begriffe wie Stetigkeit und Konvergenz zurückgreifen möchte, sollte der Vektorraum ein topologischer Vektorraum oder besser noch ein lokalkonvexer Raum sein. Die Distributionen, die zu dem Raum  gehören sind dann Elemente des topologischen Dualraums .

Mit Hilfe der dualen Paarung kann man das Anwenden einer Distribution  auf eine Testfunktion  in der Form

schreiben. Die Notation erinnert stark an ein Skalarprodukt, und in der Tat denkt man dabei häufig an das -Skalarprodukt, so dass man (formal) auch

schreibt (beachte, dass  keine Funktion ist und das Integral daher nicht immer wohldefiniert ist). Damit diese Interpretation einen Sinn ergibt, verlangt man in aller Regel, dass der Raum  ein stetig eingebetteter Teilraum eines Vektorraums integrierbarer Funktionen ist, z. B.  oder .

Literatur 
 Hui-Hsiung Kuo: White Noise Distribution Theory, CRC Press, 1996, ISBN 0-8493-8077-4.

Einzelnachweise 

Funktionalanalysis
Distributionentheorie