Klassifikation projektiver Ebenen
Die übliche Klassifikation projektiver Ebenen erfolgt in der synthetischen Geometrie anhand der Operation der jeweiligen Gruppe ihrer Kollineationen.
Die Lenz-Barlotti-Klassifikation klassifiziert die Ebenen durch Eigenschaften der Operation bestimmter Untergruppen ihrer Kollineationsgruppe, sie verfeinert dabei die Lenz-Klassifikation. Dazu wird bei beiden Klassifikationen als Merkmal die Reichhaltigkeit der Untergruppen der Kollineationsgruppe betrachtet, die aus zentral-axialen Kollineationen (ebenen, projektiven Perspektivitäten) mit je einer festen Achse und einem festen Zentrum bestehen.

Dabei zeigt sich, dass die gröbere Klasseneinteilung nach Lenz in der Regel jeder Klasse von Ebenen eine für sie charakteristische Klasse von Ternärkörpern zuordnet: Der Koordinatenbereich einer „höheren“ Lenz-Klasse erfüllt – bei geeigneter Wahl der projektiven Punktbasis für die Koordinatisierung – stärkere algebraische Axiome als der einer niedrigeren.

Die Lenz-Barlotti-Klassifikation ist keine Klassifikation „bis auf Isomorphie“: Isomorphe projektive Ebenen gehören stets zur gleichen Klasse, aber Ebenen einer Klasse brauchen nicht zueinander isomorph zu sein. Die einzigen Ausnahmen sind die Lenz-Barlotti-Klassen IVa.3 und IVb.3: In diesen Klassen sind alle Vertreter jeweils zueinander isomorphe Ebenen der Ordnung 9.

Geschichte 
Hanfried Lenz entwickelte in den 1940er Jahren eine Klassifikation für projektive Ebenen, die Lenz-Klassifikation. Dabei definierte er als charakteristisches Merkmal die später ebenfalls nach ihm benannte Lenz-Figur einer projektiven Ebene, eine Menge von Paaren, die jeweils von einer Achse (Fixpunktgerade) und einem Punkt (dem Zentrum) auf dieser Achse gebildet werden. Adriano Barlotti erweiterte und verfeinerte diese Klassifikation in den 1950er Jahren dadurch, dass er für die charakteristische Figur auch Zentren außerhalb der Achse zuließ. Damit wird aus der Lenz-Figur die Lenz-Barlotti-Figur.

Günter Pickert entwickelte in den 1960er Jahren eine formale Definition des klassischen Begriffes Schließungssatz mit dem sich auch „Spezialisierungen“ eines Schließungssatzes und affine Formen (Spezialisierungen mit einer ausgezeichneten, konstanten Geraden, der Ferngeraden) fassen und vergleichen lassen. Der für die Klassifikation projektiver Ebenen wichtige Schließungssatz ist der Satz von Desargues, alle „Transitivitätseigenschaften“, die eine Lenz- oder Lenz-Barlotti-Klasse charakterisieren, sind der Gültigkeit einer Spezialisierung des desarguesschen Satzes zusammen mit der Nichtgültigkeit einer anderen seiner Spezialisierungen gleichwertig. Pickert konnte auch zeigen, dass die Gültigkeit jedes Schließungssatzes äquivalent zur Gültigkeit bestimmter algebraischer Axiome in einem geeignet gewählten Koordinatenternärkörper ist. Die Lenz-Barlotti-Klassifikation liefert insofern zugleich eine Klassifikation der Koordinatenternärkörper. Während aber die Klassen der algebraischen Axiome und der Schließungssätze prinzipiell unbeschränkt sind, liefert die Lenz-Barlotti-Klassifikation anhand der Automorphismengruppe der Ebene eine endliche Anzahl von Klassen.

Definitionen 
Im Folgenden sei  eine projektive Ebene und zugleich die Menge der auf der Ebene liegenden projektiven Punkte und  die Menge der Geraden der Ebene,  die Gruppe der Kollineationen der Ebene. Eine Kollineation  heißt -Kollineation, wenn sie die Achse  und das Zentrum  hat, das heißt, wenn gilt:
 Für jeden Punkt  ist  und
 Für jede Gerade , die durch  geht, ist .
Mit  wird die Untergruppe der -Kollineationen der Ebene bezeichnet.
Die projektive Ebene heißt -transitiv, wenn die Gruppe  für jede Gerade  mit  transitiv auf  operiert.

Figuren 
Die Menge

heißt Lenz-Figur von .

Die Menge

heißt Lenz-Barlotti-Figur von .

Invarianz der Figuren 
Sowohl die Lenz-Figur, als auch die Lenz-Barlotti-Figur sind invariant unter jeder Kollineation, das heißt konkret:

Ist  eine projektive Ebene und  eine beliebige Kollineation dieser Ebene, dann gilt
  und
 .

Koordinatisierung der projektiven Ebene 

Für Ebenen der Lenz-Klassen I bis IV ist die algebraische Struktur der Koordinatenternärkörper von der Wahl des projektiven Koordinatensystems abhängig und von der darauf beruhenden Definition der Ternärkonstruktion. Die im nächsten Abschnitt beschriebenen Lenz-Barlotti-Figuren werden mit Hilfe des hier beschriebenen Koordinatenbezugssystems angegeben. Dazu wird eine Koordinatendarstellung der Punkte mit abgekürzten Koordinaten auf der Ferngeraden eingeführt, vergleiche dazu die Abbildung rechts, die Koordinatisierung und die Bezeichnungen richten sich nach Prieß-Crampe, sie gehen auf Marshall Hall zurück:
 Ein projektives Koordinatensystem wird durch geeignete Wahl eines vollständigen Vierecks  auf der Lenz-Barlotti-Figur bestimmt.
 Der Punkt O wird zum Ursprung des affinen Koordinatensystems,  ist die Ferngerade, die affinen Punkte auf , also die Punkte in  bilden den Ternärkörper.
 Der Punkt O wird zum neutralen Element der Addition und als Element von K mit 0 bezeichnet.
 Der Punkt E wird zum neutralen Element der Multiplikation und als Element von K mit 1 bezeichnet.
 Alle Elemente der affinen Gerade K haben als affine Koordinaten 
 Der Punkt mit den Koordinaten  ist bestimmt als Schnittpunkt der Geraden  und . Umgekehrt erhält man die Koordinaten eines affinen Punktes  als Schnittpunkte  und .
 Spezialfälle:
 Die affinen Punkte B auf der Geraden , also alle Punkte dieser Geraden außer V, haben die Koordinaten , wobei das Ternärkörperelement (Koordinate)  als Schnittpunkt  bestimmt ist. Dieser Spezialfall der Koordinatenkonstruktion ist in der Abbildung schwarz dargestellt.
 Die affinen Punkte Y auf der Geraden , also alle Punkte dieser Geraden außer V, haben die Koordinaten , wobei die Koordinate  als Schnittpunkt  bestimmt ist. Dieser Spezialfall der Koordinatenkonstruktion ist in der Abbildung grün dargestellt.
 Ein Punkt  auf der Ferngeraden erhält die Koordinatendarstellung  wobei  dadurch bestimmt ist, dass der Schnittpunkt  die affinen Koordinaten  hat. Der Punkt V, dem auf diese Art keine Koordinate zugewiesen werden kann, erhält die Koordinatendarstellung .

Ternärverknüpfung und Geradendarstellung 

Die Ternärverknüpfung  wird nun für  so definiert, vergleiche die zweite Abbildung rechts:
 Zu  wird der Fernpunkt  konstruiert.
 Zu  wird der Punkt  konstruiert.
 Das Ergebnis  ist bestimmt als die y-Koordinate des Schnitts , der in der Abbildung grün dargestellt ist.

Diese Ternärverknüpfung ist der im Artikel Ternärkörper beschriebenen affinen Definition äquivalent. Anders als dort beschrieben, werden hier die Geraden durch in der zweiten Koordinate y explizite Gleichungen (und zwei Sonderformen) dargestellt:
 Die Geraden  haben die explizite Geradengleichung  für die affinen Punkte und den Fernpunkt , als Beispiel in der Abbildung die grau dargestellte Verbindungsgerade . Dies sind alle Geraden der projektiven Ebene, außer denen durch . Ein Spezialfall sind die Verbindungsgeraden  mit der affinen Gleichung  und dem Fernpunkt .
 Die Geraden  durch V, die  in einem affinen Punkt  schneiden, haben die Gleichung  für die affinen Punkte und den Fernpunkt . Ein Beispiel ist die Gerade  in der Abbildung.
 Die Ferngerade  enthält genau die Punkte mit den Koordinaten .

Im affinen Ausschnitt der Ebene sind Geraden genau dann parallel, wenn ihre projektive Fortsetzungen durch denselben Fernpunkt  gehen, daher gilt für die Parallelenscharen:
 Zwei Geraden  sind genau dann parallel, wenn  ist. Diese Zahl ist die gemeinsame Steigung der zugehörigen Parallelenschar.
 Alle Geraden vom zweiten Typ  sind zueinander, aber zu keiner Geraden des ersten Typs parallel.

Konstruktion der zweistelligen Verknüpfungen 
Auf jeder projektiven Ebene werden durch die Wahl eines Koordinatenbezugssystems  auch zwei zweistellige Verknüpfungen, eine Addition  und eine Multiplikation  auf der affinen Punktmenge  festgelegt. Die oben beschriebene Ternärverknüpfung ist auf allen Ebenen außer denen der Lenz-Barlotti-Klasse I.1, also auf allen Ebenen über einem linearen Ternärkörper durch diese zweistelligen Verknüpfungen als  darstellbar.

In den Abbildungen unten sind diese Spezialfälle der Ternärverknüpfung dargestellt.

Die Klassen und ihre Eigenschaften

Lenz-Klassen 
Lenz ordnet jeder Lenz-Figur eine Ordnungszahl in Form einer römischen Zahl zwischen I und VII zu. Eine Klasse mit einer höheren Klassenzahl erfüllt alle Eigenschaften der Klassen mit niedrigeren Zahlen, aber ihre Lenz-Figur ist eine echte Obermenge von Lenzfiguren der niedrigeren Klassen. Die Klassenzahl VI entfällt, da gezeigt wurde, dass keine projektive Ebene mit der entsprechenden Lenz-Figur existiert. Stattdessen hat bereits Lenz die Klasse IV in zwei Unterklassen IVa und IVb aufgeteilt, die dual zueinander sind.

Eine projektive Ebene  hat genau eine der im Folgenden genannten Lenz-Figuren:

Ebenen, die mindestens den Lenz-Typ IVa haben, also zu einer der Klassen IVa, V oder VII gehören, werden auch als projektive Translationsebenen bezeichnet. Schlitzt man eine solche Ebene längs einer Achse, die zur Lenzfigur gehört, dann entsteht eine affine Translationsebene. Bei Ebenen der Lenz-Klassen IVb, V oder VII ist die duale Ebene eine projektive Translationsebene in diesem Sinn. Nur bei Ebenen der Lenz-Klasse VII ist die algebraische Struktur des Koordinatenbereichs unabhängig von der Wahl des projektiven Koordinatensystems, hier sind alle Koordinatenbereiche zueinander isomorphe Alternativkörper, siehe dazu Moufangebene. Für eine Ebene der Klasse V sind die Koordinatenbereiche zueinander isotope Halbkörper. Bei den Klassen I bis IV sind die Koordinatenkörper zueinander isotope Ternärkörper und nur bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems haben sie die in der Tabelle genannte „stärkst-mögliche“ algebraische Struktur.

Lenz-Barlotti-Klassen 
Die Lenz-Barlotti-Klassifikation verfeinert die Lenz-Klassifikation, indem bei der Lenz-Barlotti-Figur auch zugelassen wird, dass das Zentrum nicht auf der Achse liegt. Die römischen Zahlen nach Lenz werden beibehalten, ihnen werden, durch einen Punkt getrennt, arabische Ziffern angefügt. Jede Lenz-Barlotti-Klasse ist eine Unterklasse der oben beschriebenen Lenz-Klassifikation. Damit zerfiel zum Beispiel die Klasse I von Lenz bei Barlotti ursprünglich in 8 Unterklassen (I.1 bis I.8), wobei sich später zeigte, dass keine Vertreter der Klassen I.5, I.7 und I.8 existieren. Die Lenz-Klasse V zerfällt als Einzige in der Lenz-Barlotti-Klassifikation nicht weiter, hier gilt . Ansonsten stimmt die Lenz-Barlotti-Figur für die jeweils erste Lenz-Barlotti-Klasse mit der Lenz-Figur der entsprechenden übergeordneten Lenz-Klasse überein.

Eine projektive Ebene  hat genau eine der im Folgenden genannten Lenz-Barlotti-Figuren:

Modelle 
In diesem Abschnitt findet sich eine Übersicht über heute bekannte Beispiele (Stand: 2011) für Ebenen, die Vertreter bestimmter Lenz-Barlotti-Klassen sind. Insbesondere über unendliche Ebenen, die in die Lenz-Klasse I fallen, ist recht wenig bekannt, endliche Modelle für diese „schwächsten“ Lenz-Barlotti-Klassen werden heute mit massivem Computereinsatz gesucht oder es wird auf diesem Wege versucht, deren Existenz zu widerlegen. Die folgende tabellarische Liste erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit!

Literatur

Zur Geschichte des Begriffes und Übersichtsartikel

Originalartikel, in denen Modelle oder deren Nichtexistenz erwiesen werden

Lehrbücher

Einzelnachweise und Anmerkungen 

Endliche Geometrie
Synthetische Geometrie