Normierte Algebra
Der mathematische Begriff normierte Algebra bezeichnet eine bestimmte algebraische Struktur, auf der zusätzlich eine verträgliche Norm erklärt ist.

Definition 
Eine normierte Algebra ist ein Paar  bestehend aus einer -Algebra , wobei  für den Körper der reellen oder komplexen Zahlen steht, und einer auf   definierten Norm , so dass folgendes gilt
:

  für alle 
  für alle  und  (Homogenität)
  für alle  (Dreiecksungleichung)
  für alle 

Die ersten drei Normbedingungen machen  zu einem normierten - Vektorraum. Die letzte multiplikative Normbedingung ist die zur additiven Dreiecksungleichung analoge Bedingung für die Multiplikation, manche Autoren sprechen daher auch von der multiplikativen Dreiecksungleichung. Diese Bedingung sichert die Stetigkeit der Multiplikation, normierte Algebren sind daher topologische Algebren.

Beispiele 
 Die wichtigsten Beispiele normierter Algebren sind die Banachalgebren, also diejenigen, die bezüglich ihrer Norm vollständig sind.
 Der Körper  mit dem Betrag als Norm ist eine normierte Algebra.
 Die Algebra  aller Polynome in einer Unbestimmten mit der durch  definierten Norm ist eine nicht-vollständige normierte Algebra.

Eigenschaften 
 Die Norm definiert eine Topologie auf der normierten Algebra , die sogenannte Normtopologie. Aus den Eigenschaften der Norm ergibt sich sofort, dass die algebraischen Operationen stetig sind: Ist  und  sowie  mit  und , so folgt ,  und  jeweils für  bezüglich der Normtopologie auf .
 Die algebraischen Operationen setzen sich eindeutig stetig auf die Vervollständigung einer normierten Algebra fort; diese Vervollständigung ist dann eine Banachalgebra. Damit ist jede normierte Algebra dicht in einer Banachalgebra enthalten.

Anwendungen 
Die normierten Algebren haben bei weitem nicht die Bedeutung wie die Banachalgebren. Manche Konstruktionen in der Theorie der Banachalgebren führen allerdings zunächst auf normierte Algebren, die dann in einem anschließenden Konstruktionsschritt vervollständigt werden; als Beispiele seien die AF-Algebren als Vervollständigung induktiver Limiten, das maximale Tensorprodukt von C*-Algebren oder die Bildung der -Algebren in der harmonischen Analyse als Vervollständigung der entsprechenden Algebren stetiger Funktionen mit kompaktem Träger genannt.

Viele Sätze aus der Theorie der Banachalgebren verlieren für normierte Algebren ihre Gültigkeit, was die Bedeutung der Vollständigkeit beleuchtet. In obigem Beispiel  ist die Punktauswertung  ein unstetiger Homomorphismus. Ist  ein nicht-konstantes Polynom, so ist , definiert als die Menge aller , so dass  nicht invertierbar ist, gleich ganz , insbesondere also nicht kompakt. Beide Phänomene können bei Banachalgebren nicht auftreten.

Lokale Banachalgebren 
Für manche Anwendungen kommt man mit einer abgeschwächten Vollständigkeitseigenschaft aus. Eine normierte Algebra  heißt lokale Banachalgebra, wenn sie bezüglich des holomorphen Funktionalkalküls abgeschlossen ist. Genauer bedeutet dies: Sind ,  das bezüglich der Vervollständigung  gebildete Spektrum und  eine in einer Umgebung von  definierte holomorphe Funktion, mit , falls  kein Einselement hat, so liegt  in . Dabei ist  nach dem holomorphen Funktionalkalkül in  gebildet.

Ist beispielsweise  ein lokalkompakter Hausdorffraum, so ist die Algebra  aller stetigen Funktionen  mit kompaktem Träger eine lokale Banachalgebra. Ist  nicht kompakt, so ist  keine Banachalgebra.

Abweichend von dieser Definition werden in  induktive Limiten von Banachalgebren als lokal definiert. Diese sind offenbar bezüglich des holomorphen Funktionalkalküls abgeschlossen, da dieser in den Stufen des induktiven Limes, die ja Banachalgebren sind, ausgeführt werden kann.

Einzelnachweise 

Funktionalanalysis
Algebra (Struktur)