Untermodul
Der Begriff Untermodul verallgemeinert den Begriff des Untervektorraumes eines Vektorraums auf einen Modul über einem Ring.

Definition 
Sei  ein Rechtsmodul über dem unitären Ring .
Eine Untergruppe  von  heißt -Untermodul, wenn  abgeschlossen ist bezüglich der Multiplikation mit Elementen aus .
Das bedeutet:  Für alle  und alle  ist . Entsprechend wird der Begriff für Linksmoduln erklärt.

Beispiele und weitere Definitionen 
 Jeder Modul  besitzt den trivialen Untermodul  und den Untermodul .
 Ist  ein Rechtsmodul und , so ist  ein Untermodul von . Es ist der von  erzeugte zyklische Untermodul.
 Ist  ein Rechtsideal des Ringes , so ist  ein -Untermodul von  als Rechtsmodul.
 Sind  Untermoduln von , so ist  ein Untermodul von . Es ist der kleinste Untermodul von , der  und  enthält.
 Ist  eine Familie von Untermoduln, so ist  ein Untermodul. Es ist der größte Untermodul, der in allen  enthalten ist.
 Die Vereinigung von Untermoduln ist im Allgemeinen kein Untermodul. So sind  Untermoduln von , aber .

Summe von Untermoduln 
 Ist  ein Rechtsmodul über dem Ring  und  eine Familie von Untermoduln, so ist 
 
ein Untermodul. Es ist die Summe der Untermoduln .
 Sei  eine Teilmenge von . Dann ist 
 
 der kleinste Untermodul von , welcher die Menge  enthält. Ist 
 
so erzeugt  den Untermodul . Man sagt auch  ist ein Erzeugendensystem von .
 Wird der Untermodul  von einer endlichen Menge  erzeugt, so heißt  endlich erzeugt. Ist die Menge , so ist .
 Ein Modul  heißt einfach, wenn der einzige echte Untermodul   ist. Ein Untermodul  von   heißt maximal, wenn für alle Untermoduln  mit  gilt:  oder . Ein Modul  ist genau dann einfach, wenn jeder zyklische Untermodul  schon gleich  ist. Ist  ein echter Untermodul eines endlich erzeugten Moduls , so ist  in einem maximalen Untermodul enthalten.

Innere direkte Summe von Untermoduln 
Die innere direkte Summe von Moduln wird wie die innere direkten Summe von Vektorräumen definiert. Im Unterschied zu einem Vektorraum hat nicht jeder Modul eine Basis, sodass ein Modul normalerweise nicht die innere direkte Summe von zyklischen Untermoduln ist.

Definition 
Sei   eine Familie von Untermoduln  des Rechtsmoduls  und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

 Für alle  ist: .
 Für alle endlichen Teilmengen  gilt: Ist , wobei  für alle , so gilt  für alle . Jedes  lässt sich daher auf genau eine Weise als Summe von Elementen aus den  darstellen.

Trifft eine dieser Aussagen zu, so heißt  die innere direkte Summe der . Diese direkte Summe wird mit

bezeichnet. Der Untermodul  von   heißt direkter Summand von , wenn es einen Untermodul   von  gibt mit . Der Modul  heißt direkt unzerlegbar oder einfach unzerlegbar, wenn er keinen direkten Summanden ungleich  hat.

Beispiele 
 Ist  ein Vektorraum über einem Körper oder Schiefkörper und  eine Basis von  und ist  für jedes  der von  erzeugte Untervektorraum, so ist . 
 Jeder einfache Modul ist direkt unzerlegbar.
 Ist  ein Integritätsring und  sein Quotientenkörper, so ist  als Modul über  unzerlegbar.
  ist kein direkter Summand, da es keinen injektiven Morphismus  gibt

Besondere Untermoduln

Maximale Untermoduln 
Ein Untermodul  heißt maximal, wenn  in keinem echten Untermodul von M echt enthalten ist.

 ist genau dann ein maximaler Untermodul, wenn der Faktormodul  einfach ist. Jeder echte Untermodul eines endlich erzeugten Moduls ist in einem maximalen Untermodul. Das heißt, insbesondere hat jeder Ring maximale Ideale. Es gibt aber auch Moduln, die keine maximalen Untermoduln enthalten. So hat  keine maximalen Untermoduln.

Große Untermoduln

Definition 
Für einen Untermodul  von  sind äquivalent:
 Für alle Untermoduln  mit  ist .
 Zu jedem  gibt es ein  mit .

Erfüllt ein Untermodul  eine der äquivalenten Eigenschaften, dann heißt  groß  in . Manchmal wird dies mit  abgekürzt.

Beispiele 
 In  als -Modul ist jeder Untermodul  groß.
 Das letzte Beispiel kann verallgemeinert werden. Ist  eine torsionsfreie abelsche Gruppe, so ist eine Untergruppe  genau dann groß, wenn die Faktorgruppe  ein Torsionsmodul ist.
 Ist  eine Primzahl und  eine natürliche Zahl größer 1, so ist in  jeder Untermodul groß.
 In einem halbeinfachen Modul  ist nur der Modul selber groß in sich.

Eigenschaften 
 Ist  groß in  und  ein Untermodul von  mit , so ist  groß in .
 Ist  groß in  und  groß in , so ist  groß in .
 Ist  eine nach oben filtrierende Familie von Untermoduln von  und ist  groß in jedem , so ist  groß in .
 Sind  zwei Familien von Untermoduln von  und ist die Summe der  direkt, so gilt: Sind alle  groß in , so ist  groß in .
 Ein Untermodul  heißt  abgeschlossen , wenn er in keinem echten Obermodul groß ist. Zu jedem Untermodul  gibt es einen abgeschlossenen Untermodul , so dass  groß in  ist. 
 Sind  zwei Untermoduln von  mit , so gibt es einen Obermodul  von , welcher maximal bezüglich der Eigenschaft  ist. Es ist  groß in . Es ist  ein Durchschnittskomplement von . Ein Durchschnittskomplement ist keineswegs eindeutig bestimmt.
 Ist  ein Untermodul von , so gibt es zu  ein Durchschnittskomplement  von . Zu  gibt es ein Durchschnittskomplement  von , so dass  ein Untermodul von  ist. Es ist  groß in  und  abgeschlossen in .

Der Sockel eines Moduls 
Ist  ein Modul, so ist der Durchschnitt aller großen Untermoduln gleich der Summe aller einfachen Untermoduln. Dieser Untermodul heißt Sockel von . Er ist der größte halbeinfache Untermodul von . Er wird mit  bezeichnet. Ist

ein Homomorphismus zwischen Moduln  , so ist  ein Untermodul von . Insbesondere heißt dies, dass der Sockel ein -Untermodul von  ist, wenn  der Endmorphismenring von  ist. Der Sockel des Ringes  als -Rechtsmodul ist ein zweiseitiges Ideal. Außerdem ist 

Der Sockel ist ein Präradikal.  Er ist mit direkten Summen vertauschbar. Das heißt: Ist  eine Familie von Untermoduln, deren Summe direkt ist, so ist
.

Kleine Untermoduln 
Ein Untermodul  heißt klein in , wenn für alle Untermoduln  von  gilt:
Ist , so ist .

Beispiele 
  ist in jedem Obermodul klein.
  In einer freien abelschen Gruppe ist nur der Modul  klein.
 In  ist jede endlich erzeugte Untergruppe klein als -Untermodul.

Eigenschaften 
 Die endliche Summe kleiner Untermoduln ist klein.
 Ist  ein Homomorphismus und ist  klein in , so ist  klein in .
 Ein zyklischer Untermodul  ist genau dann nicht klein in , wenn es einen maximalen Untermodul  gibt, mit .

Das Radikal eines Moduls 
Die Summe aller kleinen Untermoduln von  ist gleich dem Durchschnitt aller maximalen Untermoduln von . Dieser Untermodul heißt Radikal von . Er wird mit  bezeichnet.

Eigenschaften des Radikals 
 Ist  ein Homomorphismus, so ist  ein Untermodul von   (Siehe auch Jacobson-Radikal). Das Radikal ist ein Unterfunktor der Identität. Insbesondere ist  ein zweiseitiges Ideal.
 . Der kleinste Untermodul  von  mit  ist .
 Das Radikal ist mit direkten Summen vertauschbar. Das heißt: Ist  eine Familie von Moduln, so gilt: .
  ist ein Untermodul von .
 Ist  endlich erzeugt, so ist  klein in .
 Ist  endlich erzeugt und das Ideal  ein Untermodul von , dann ist  klein in . Dies ist das Lemma von Nakayama.

Einzelnachweise

Literatur 
 Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7.
 Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.

Modul (Mathematik)
Algebra