Sphärensatz
Der Sphärensatz ist ein bedeutendes Resultat aus der globalen riemannschen Geometrie. Nach Vorarbeiten von Harry Rauch bewiesen Wilhelm Klingenberg und Marcel Berger diesen Satz im Jahr 1961.

Sphärensatz

(Klassischer) Sphärensatz 
Sei  eine n-dimensionale, kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeit, für deren Schnittkrümmung 

mit  gilt. Dann ist  homöomorph zur Sphäre.

Differenzierbarer Sphärensatz 
Erfüllt die riemannsche Mannigfaltigkeit  beziehungsweise deren Schnittkrümmung dieselben Voraussetzungen wie im (klassischen) Sphärensatzes, so ist  diffeomorph zur Sphäre, die mit der normalen differenzierbaren Struktur ausgestattet ist.

Entstehung des Satzes 
Der Sphärensatz wurde von Harry Rauch im Jahr 1951 für  bewiesen. Wilhelm Klingenberg brachte dieses Problem mit dem Schnittort in Zusammenhang. In dem Fall, dass die Mannigfaltigkeit gerade Dimension hat und obige Ungleichung bezüglich der Schnittkrümmung erfüllt, war die Entfernung zum Schnittort größergleich  (Lemma von Klingenberg). Mit dieser Aussage bewies Klingenberg den Sphärensatz für  und gerade Dimension. Mit Hilfe des Satzes von Toponogov und des gerade erwähnten Lemmas von Klingenberg bewies 1960 Marcel Berger den Sphärensatz für  und gerader Dimension. Im Jahr 1961 konnte Klingenberg das erwähnte Lemma auch für ungerade Dimension beweisen. Der Beweis für ungerade Dimensionen ist ungleich komplizierter und verwendet Morsetheorie. Dies vollendete den Beweis des Sphärensatzes. Tsukamoto konnte zeigen, dass der Satz von Toponogov für den Beweis des Sphärensatzes nicht notwendig ist.

Im Jahr 2007 gelang es Simon Brendle und Richard Schoen zu beweisen, dass unter obigen Voraussetzungen die Mannigfaltigkeit  sogar diffeomorph zur Sphäre ist.

Hilfsaussagen 
In diesem Abschnitt werden noch einige Aussagen aufgezeigt, die wichtig für den Beweis des Sphärensatzes sind. Das hier als erstes angegebene Lemma von Klingenberg entspricht dem aus dem obigen Abschnitt.

Lemma von Klingenberg 
Sei  eine kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeit, für deren Schnittkrümmung  die Ungleichung

gilt. Dann folgt 

wobei  den kürzesten Abstand zu einem nächsten Schnittort meint. Dies nennt man auch den injektiven Radius von

Existenz von Hemisphären 
Sei  eine n-dimensionale, kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeit, für deren Schnittkrümmung 
gilt, und seien , so dass  gilt. Dann folgt

wobei  den offenen geodätischen Ball mit Radius  und mit Mittelpunkt  bezeichnet. Die Funktion  gibt den Durchmesser der riemannschen Mannigfaltigkeit an.

Existenz eines Äquators 
Unter den zur Existenz von Hemisphären gemachten Voraussetzungen existiert für jede Geodätische mit der Länge  und mit Startpunkt  ein eindeutiger Punkt , so dass 

gilt. Genauso gilt für jede Geodätische mit Startpunkt  und Länge , dass ein eindeutiger Punkt  existiert, welcher äquidistant von  und  ist. Die Funktion  ist die Abstandsfunktion, welche durch die riemannsche Metrik induziert wird.

Weitere Anmerkungen

Konstruierter Homöomorphismus 
Berger konstruierte in dem Beweis des Sphärensatzes eine Funktion , von der er zeigte, dass sie ein Homöomorphismus ist. Sei  für ein  eine Isometrie und sei  der antipodale Punkt von . Die Funktion  ist nun definiert durch

Die Funktion  ist die Exponentialabbildung und  ist die Abstandsfunktion, welche durch die riemannsche Metrik induziert wird.

Optimale Schranke 
Der komplexe projektive Raum  für  ist kompakt und einfach zusammenhängend und die Schnittkrümmung erfüllt die Ungleichung . Es ist jedoch bekannt, dass der komplex projektive Raum nicht homöomorph zur Sphäre ist. Das heißt, bei gerader Dimension  ist  die optimale Schranke. Bei ungerader Dimension ist bekannt, dass der Satz auch für  gilt. Jedoch ist die optimale Schranke noch nicht gefunden worden. Für Dimension  ist der Satz sogar für  richtig.

Satz von Hamilton 
Fünfundzwanzig Jahre, bevor der differenzierbare Sphärensatz bewiesen werden konnte, veröffentlichte Richard S. Hamilton im Jahr 1982 einen Satz, den er mit Hilfe von Techniken aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen aus dem (topologischen) Sphärensatz ableitete. Die Aussage des Satzes lautet:

Sei  eine kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension drei mit strikt positiver Ricci-Krümmung. Dann ist  diffeomorph zur Sphäre .

Siehe auch 

 Sphärensatz von Grove-Shiohama

Literatur 
 Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
Simon Brendle Der Sphärensatz in der Riemannschen Geometrie, Jahresbericht DMV, Band 113, 2011, Heft 3, S. 123–138

Einzelnachweise 

Satz (Riemannsche Geometrie)