Banachlimes
In der Funktionalanalysis ist ein Banachlimes, benannt nach Stefan Banach, ein dem Grenzwert ähnliches Funktional auf dem Folgenraum .

Definition 
Im Folgenden bezeichne  den Linksshift

und  die Folge, die nur aus Einsen besteht.

Ein Banachlimes ist ein stetiges, lineares Funktional , das die folgenden Eigenschaften besitzt:
 
 für alle  gilt
  
 falls  für alle , so ist auch

Eigenschaften 
Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach lässt sich beweisen, dass ein Banachlimes existiert. Jedoch ist er nicht eindeutig bestimmt. Aus den in der Definition geforderten Eigenschaften lässt sich ferner folgern, dass  den klassischen Limes, der auf dem Raum der konvergenten Folgen  definiert ist, nach  fortsetzt:
 für 
Es gibt nicht-konvergente Folgen, die einen Banachgrenzwert besitzen. Ein einfaches Beispiel für eine solche ist

Aufgrund der Linearität von  und der Invarianz unter  ist der Banachgrenzwert von  gleich .

Der Banachgrenzwert ist ein Beispiel für ein Funktional aus , das nicht von der Gestalt

ist.

Literatur 
 

Funktionalanalysis