Graßmann-Plücker-Relation
Die Graßmann-Plücker-Relationen beschreiben Beziehungen zwischen Determinanten mit teilweise übereinstimmenden Spalten.

Definitionen und Sätze

Allgemeine Form 

Eine allgemeine Graßmann-Plücker-Relation hat die Form

wobei  Vektoren in einem r-dimensionalen Vektorraum sind,
die die Spalten der Matrizen bilden, deren Determinanten berechnet
werden.

Die Dimension des zugrundeliegenden  Vektorraums wird häufig als Rang bezeichnet (und daher hier als r abgekürzt).
In Fällen, in denen die Spalten homogene Koordinaten von Punkten darstellen, liegen diese Punkte in einem
projektiven Raum eine Dimension niedriger.

Konkrete Form für niedrige Dimensionen 

In Rang 2 hat die Formel 3 Summanden und verwendet 4 Vektoren A bis D:

In Rang 3 hat die Formel 4 Summanden und verwendet 6 Vektoren A bis F:

Kurzer, konzeptioneller Beweis 
Wir fixieren  und betrachten die Abbildung

Diese Abbildung ist offenbar multilinear (d. h. linear in jedem  separat). Außerdem wird die rechte Seite Null, wenn es  gibt mit , denn dann sind nur die Summanden mit  und  möglicherweise ungleich null, und sie heben einander weg. Das heißt, dass die Abbildung alternierend ist. Ein grundlegender Satz der linearen Algebra besagt, dass eine alternierende multilineare Abbildung von r+1 Vektoren auf einem r-dimensionalen Vektorraum identisch Null sein muss. Das ist gerade die Graßmann-Plücker-Relation.

Langer Beweis 

Falls alle vorkommenden Summanden 0 sind, ist die Gleichung trivialer Weise erfüllt.
Nehmen wir also an, dass einer der Summanden von 0 verschieden ist.
O.B.d.A. sei dies der erste Summand,
da wir die Vektoren der beiden Mengen A und B beliebig umsortieren können.
Der erste Summand besteht also aus zwei Matrizen, deren Determinanten von 0 verschieden sind.

Bezeichnen wir die Matrix in der ersten Determinante mit M und die zweite mit N.

Multipliziert man alle vorkommenden Matrizen mit der inversen Matrix ,
so wird jede Determinante mit dem Faktor  multipliziert,
die gesamte Gleichung also mit dem Quadrat davon. Diesen Faktor kann man ausklammern und aus der Gleichung ziehen.
Da  die Einheitsmatrix ist,
kann man also o. B. d. A. annehmen, dass die erste Matrix die Einheitsmatrix ist.

In diesem Fall gilt  (für ) und .

Dabei wird die Summe als Entwicklung der Determinante nach der letzten Zeile aufgefasst.
Der Eintrag , der in der Matrix  in der letzten Zeile  und in der Spalte  steht, entspricht dabei der letzten Komponente des Vektors , da  mit  anfängt. Die Matrix  ist die Untermatrix, wenn man den Vektor  und die letzte Zeile entfernt.
Diese Untermatrizen ergeben sich durch Entwicklung der zweiten Determinante nach der ersten
Spalte.

Anwendungen 
 Die Graßmann-Plücker-Relationen gehören zu den Syzygien. Sie können verwendet werden, um Beweise (etwa von geometrischen Schließungssätzen) zu formulieren.
 Orientierte Matroide können dadurch charakterisiert werden, dass sie in keinem offensichtlichen Widerspruch zu den Graßmann-Plücker-Relationen stehen.
 Graßmann-Plücker-Koordinaten, die zur Beschreibung geometrischer Objekte in höherdimensionalen projektiven Räumen verwendet werden, müssen diese Relationen erfüllen, um konsistent zu sein.

Siehe auch 
 Syzygie

Literatur

Einzelnachweise 

Algebraische Geometrie