Von-Neumann-Hierarchie
Die Von-Neumann-Hierarchie oder kumulative Hierarchie ist ein Begriff der Mengenlehre, der eine Konstruktion von John von Neumann aus dem Jahr 1928 benennt, und zwar einen stufenweisen Aufbau des gesamten Mengenuniversums mit Hilfe von Ordinalzahlen und der Iteration der Potenzmengenbildung.

Definition 
Die Stufen  zu Ordinalzahlen  bzw. Limes-Ordinalzahlen  werden durch transfinite Rekursion über folgende Rekursionsbedingungen definiert: Demnach ist

usw.

Sämtliche Mengen in den  sind also aus der leeren Menge heraus konstruiert. Die Stufen sind transitive Mengen, und es gilt  für alle Ordinalzahlen , dies erklärt den Namen kumulative Hierarchie.

Die Hierarchie 
Innerhalb der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (kurz ZF) lässt sich zeigen, dass jede Menge in einer Stufe der Hierarchie liegt: Bezeichnet  die Klasse aller Mengen, gilt also

Hierbei wird das Fundierungsaxiom im Rahmen der Epsilon-Induktion essentiell verwendet. Umgekehrt folgt aus obiger Aussage auch das Fundierungsaxiom, beide Aussagen sind also äquivalent (über den restlichen Axiomen von ZF).

Weiterhin kann gezeigt werden, dass die Klasse , aufgefasst als Teilmenge eines angenommenen Modells von ZF ohne Fundierungsaxiom, ein Modell für ZF ist. Selbiges ist also relativ konsistent zu den übrigen Axiomen.

Rangfunktion 
Da jede Menge  in einer geeigneten Stufe  liegt, gibt es stets eine kleinste Ordinalzahl  mit  und damit . Dieses  wird als der Rang, , der Menge  bezeichnet.

Mittels transfiniter Induktion über  kann man
 für alle Ordinalzahlen 
zeigen. Für jede Menge  gilt . Der Rang einer Menge  ist also stets strikt größer als der Rang aller ihrer Elemente.

Anwendungen 
  besteht genau aus den erblich endlichen Mengen. In  gelten mit Ausnahme des Unendlichkeitsaxioms alle ZFC-Axiome. Damit ist gezeigt, dass das Unendlichkeitsaxiom nicht aus den übrigen ZFC-Axiomen hergeleitet werden kann.
 Ist  eine stark unerreichbare Kardinalzahl, so ist  ein Modell für ZFC. Für die kleinste stark unerreichbare Kardinalzahl erhält man auf diese Weise ein Modell, in dem es keine stark unerreichbaren Kardinalzahlen gibt. Die Existenz stark unerreichbarer Kardinalzahlen kann also nicht in ZFC hergeleitet werden.
 Die Stufen  spielen eine Rolle beim Reflexionsprinzip, welches ein wichtiges Axiom im Scottschen Axiomensystem ist.

Einzelnachweise 

Mengenlehre
John von Neumann als Namensgeber