Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren
In der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren kann man ein Tensorprodukt definieren, mit dem man aus zwei Von-Neumann-Algebren eine dritte erhält. Da Von-Neumann-Algebren auf Hilberträumen operieren und dort gewisse Abschlusseigenschaften haben müssen, reicht die Bildung des algebraischen Tensorproduktes nicht aus; man verwendet daher die in diesem Artikel beschriebene Konstruktion.

Konstruktion 
Es seien  und  zwei Von-Neumann-Algebren auf den Hilberträumen  und . Zwei Operatoren  und  definieren einen stetigen linearen Operator  auf dem Hilbertraum-Tensorprodukt , und es gilt sogar  (siehe Artikel Hilbertraum-Tensorprodukt). Die von allen Operatoren der Form  mit  und  in  erzeugte Von-Neumann-Algebra, das heißt der Abschluss  der Menge aller endlichen Summen solcher Operatoren  bezüglich der schwachen Operatortopologie, heißt das Tensorprodukt aus  und  und wird mit  bezeichnet, wobei der Querstrich über dem Tensorproduktzeichen an die Abschlussoperation erinnern soll.

Der Kommutantensatz 
Sind  und  zwei Von-Neumann-Algebren,  und  sowie  und  aus den Kommutanten  bzw. , so ist klar, dass  und  in  vertauschen, denn . Daraus ergibt sich sofort . Der Kommutantensatz sagt aus, dass hier sogar Gleichheit gilt:

 Sind  und  zwei Von-Neumann-Algebren, so gilt .

Eine einfache Konsequenz ist , was sich aber auch ohne Kommutantensatz leicht beweisen lässt.

Der Kommutantensatz kann auch benutzt werden, um zu zeigen, dass das Zentrum eines Tensorproduktes von Von-Neumann-Algebren gleich dem Tensorprodukt der Zentren ist. Insbesondere ist das Tensorprodukt von Faktoren wieder ein Faktor.

Typ des Tensorprodukts 
Haben die Von-Neumann-Algebren  und  einen reinen Typ, so auch deren Tensorprodukt, und der Typ kann folgender Tabelle entnommen werden:

Im Allgemeinen hat eine Von-Neumann-Algebra keinen reinen Typ, sondern ist nach dem Satz von der Typzerlegung eine endliche direkte Summe von Von-Neumann-Algebren der Typen  bzw. . Damit kann obige Tabelle zur Typbestimmung der Bestandteile des Tensorproduktes  herangezogen werden.

Siehe auch 
Eine ganz ähnliche Konstruktion führt in der Theorie der C*-Algebren zum sogenannten räumlichen Tensorprodukt.

Einzelnachweise 

Funktionalanalysis
John von Neumann als Namensgeber