Diagonaler Schnitt
Im mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre ist der diagonale Schnitt eine dem Durchschnitt verwandte Konstruktion, einer Familie von Mengen eine neue, nämlich ihren diagonalen Schnitt, zuzuordnen. Die Elemente des diagonalen Schnitts der Familie  sind gewisse Indizes , die ihrerseits wieder gewissen der Mengen  angehören. Die hier zu besprechende Begriffsbildung ist daher nur dann sinnvoll, wenn die Indizes selbst als Elemente der Mengen auftreten, daher betrachtet man mit Ordinalzahlen indizierte Mengen von Ordinalzahlen.

Definition 
Es sei  eine Kardinalzahl und  eine Familie von Mengen . Dann heißt

der diagonale Schnitt der Familie .

Eigenschaften 

Es mögen die Daten obiger Definition vorliegen. Natürlich ist der Durchschnitt im diagonalen Schnitt enthalten, das heißt, es gilt , denn ist  in jeder der Mengen  enthalten, so erst recht in , und das ist genau die definierende Bedingung für die Zugehörigkeit von  zu .

Setzt man , so ist  eine fallende Funktion , wobei  für die Potenzmenge steht, das heißt, aus  folgt . Nach Definition ist  äquivalent zu . Auf dem kartesischen Produkt  definiere die Relation  und die „Diagonale“ . Dann ist der diagonale Schnitt genau die Menge derjenigen Ordinalzahlen , für die das Diagonalelement  in  liegt:
 .
Die Mitgliedschaft von  zum diagonalen Durchschnitt hängt nur von der Mitgliedschaft in den ersten  ab. Das wird in der folgenden Formel besonders deutlich:

Beispiel 
Um zu demonstrieren, wie der hier vorgestellte Begriff funktioniert, soll folgende einfache Aussage bewiesen werden:
 Es sei  eine Kardinalzahl und für eine Ordinalzahl  sei . Dann gilt
 

Beweis: „“: Ist , so ist , also  für alle . Für alle  gilt also , daher ist  eine Limes-Ordinalzahl.

„“: Ist umgekehrt  eine Limes-Ordinalzahl, so ist  für alle  und daher , was genau die definierende Bedingung für  ist.

Verwendung 

Der diagonale Schnitt findet besonders in der Untersuchung überabzählbarer regulärer Kardinalzahlen Anwendung. 
Ein Filter auf einer Kardinalzahl  heißt normal, wenn er gegenüber der Bildung diagonaler Schnitte abgeschlossen ist, das heißt,  ist wieder Element des Filters, wenn alle  es sind.
So ist etwa der club-Filter auf einer überabzählbaren regulären Kardinalzahl normal. 
Diese Tatsache wird zum Beispiel im Satz von Fodor verwendet.

Diagonale Vereinigung 
Der zum diagonalen Schnitt duale Begriff ist die diagonale Vereinigung. Ist  eine Kardinalzahl und  eine Familie von Mengen , so heißt
 
die diagonale Vereinigung der Mengenfamilie .

Die Definition ist gerade so angelegt, dass

gilt.

Literatur 
 Thomas Jech: Set Theory. 3. millenium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, Kapitel 8.

Mengenlehre