Räumliches Tensorprodukt
Das im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete räumliche Tensorprodukt bietet die Möglichkeit, aus C*-Algebren neue zu konstruieren. Im Allgemeinen gibt es mehrere Möglichkeiten, das algebraische Tensorprodukt zweier C*-Algebren zu einer C*-Algebra zu vervollständigen; die hier behandelte C*-Norm auf dem Tensorprodukt erweist sich als minimal unter diesen Möglichkeiten, weshalb man auch vom minimalen Tensorprodukt spricht. Die hier vorgestellte Konstruktion geht auf M. Takesaki zurück.

Definitionen 
Es seien  und  zwei C*-Algebren. Eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt  ist eine Norm , so dass
  ist eine normierte Algebra
  für alle 
Ist  eine solche C*-Norm, so ist die mit  bezeichnete Vervollständigung eine C*-Algebra. Ist  eine C*-Norm, die sich für jedes Paar von C*-Algebren  und  definieren lässt, so spricht man von einem -Tensorprodukt.

Man kann zeigen, dass C*-Normen automatisch die Kreuznormeigenschaft haben, das heißt, es gilt
 für alle .

In diesem Artikel werden mit Hilfe von Hilberträumen, auf denen die C*-Algebren operieren, mit  bezeichnete C*-Normen definiert, wobei das  wegen der verwendeten Hilberträume an spatial (deutsch: räumlich) erinnern soll.

Konstruktion 
Es seien  und  zwei C*-Algebren. Nach dem Satz von Gelfand-Neumark gibt es Hilberträume  und  und isometrische *-Homomorphismen  und , das heißt wir können annehmen, dass die C*-Algebren Unteralgebren der vollen Operatorenalgebra über geeigneten Hilberträumen sind. Man kann zum Beispiel die universellen Darstellungen nehmen.
Man bildet nun das Hilbertraum-Tensorprodukt  und betrachtet ein Element  des algebraischen Tensorproduktes  als Operator auf , der durch

definiert ist, wobei Wohldefiniertheit zu zeigen ist. Dann ist klar, dass die Einschränkung  der Operatornorm von  auf  eine C*-Norm ist.

Unabhängigkeit von den Hilberträumen 
Obige Konstruktion hängt zunächst von der Wahl der Hilberträume ab. Hier wird eine Formel für die räumliche Norm aufgestellt, die von den Hilberträumen unabhängig ist. Sind  und  Zustände auf  bzw. , so gibt es genau einen mit  bezeichneten Zustand auf  mit  für alle  und , den sogenannten Produktzustand aus  und . Für ein Element  des algebraischen Tensorproduktes  gilt nun

wobei das Supremum über alle Zustände  von ,  von  und  mit  gebildet wird. Diese Formel zeigt die Unabhängigkeit von der Wahl der Hilberträume, denn auf der rechten Seite finden sich nur Daten der abstrakten C*-Algebren und ihrem algebraischen Tensorprodukt.

Zur Bezeichnung: Im unten angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose wird  an Stelle von  geschrieben, Murphy verwendet die Schreibweise .

Eigenschaften 
 Sind  und  *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren, so gibt es genau einen mit  bezeichneten *-Homomorphismus , so dass  für alle . Sind beide  und  isometrisch oder *-Isomophismen, so hat  dieselbe Eigenschaft.

 Ist  eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt , so ist  . Aus diesem Grunde wird das räumliche Tensorprodukt auch das minimale Tensorprodukt genannt, und man findet bisweilen die Schreibweise .

Beispiele 
Seien  eine C*-Algebra und  ein kompakter Hausdorffraum.  sei die Menge aller stetigen Funktionen . Für ,  und  definiere:
 .
Damit wird  zu einer C*-Algebra und man hat einen isometrischen Isomorphismus .

Seien  die C*-Algebra der komplexen -Matrizen und  eine C*-Algebra, die auf einem Hilbertraum  operiere. Weiter sei  die Algebra der -Matrizen mit Einträgen aus ; diese operiert in üblicher Weise auf , das heißt

Dadurch trägt  die Norm von  und man zeigt, dass , wobei  auf  abgebildet wird.

Siehe auch 
 Maximales Tensorprodukt, eine weitere Tensorproduktnorm für C*-Algebren
 Nukleare C*-Algebra, C*-Algebren mit eindeutiger Tensorproduktnorm
 Eine ganz ähnliche Konstruktion führt zu einem Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren.

Einzelnachweise

Literatur 
 Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9
 R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1

Funktionalanalysis