Injektivitätsradius
Der Injektivitätsradius ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie, genauer eine Invariante riemannscher Mannigfaltigkeiten. Seine Bedeutung liegt darin, dass sich Punkte, deren Abstand geringer als der Injektivitätsradius ist, stets durch eine eindeutige kürzeste Verbindung verbinden lassen.

Definition 
Sei  eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Mit  werde der Schnittort von  bezeichnet. Dann wird der Injektivätsradius am Punkt  durch 

definiert, wobei  den riemannschen Abstand auf  bezeichnet.

Der Injektivätsradius  der riemannschen Mannigfaltigkeit  ist dann durch

definiert. Der Name Injektivätsradius erklärt sich dadurch, dass die Exponentialabbildung  genau dann injektiv auf dem geodätischen Ball  ist, wenn  gilt. 

Äquivalent kann man den Injektivätsradius am Punkt  also auch definieren als das größte , für das 

ein Diffeomorphismus ist. (Es genügt auch nur zu verlangen, dass  auf  definiert und injektiv ist.)

Beispiele 
 Sei  die Einheitssphäre. Der Injektivitätsradius an jedem Punkt  ist , denn die Exponentialabbildung  bildet die offene Kreisscheibe vom Radius  diffeomorph auf das Komplement des zu  antipodalen Punktes ab.
 Sei  der flache Torus, den man aus einem Einheitsquadrat durch Identifikation gegenüberliegender Seiten erhält. Dann ist der Injektivitätsradius an jedem Punkt  gleich , denn die Exponentialabbildung ist injektiv auf dem Inneren eines Quadrates mit Mittelpunkt  und Kantenlänge .

Abschätzungen des Injektivitätsradius 
 Abschätzung bei -gepinchter positiver Krümmung (Klingenberg-Sakai): Sei  eine vollständige, einfach zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung , dann ist .
 Verbesserungen im gerade-dimensionalen Fall: Falls  eine gerade-dimensionale, vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung  ist, dann gilt  und falls  zusätzlich orientierbar ist, sogar .

Beschränkte Geometrie 
Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit positivem Injektivitätsradius und beschränkter Schnittkrümmung werden als Mannigfaltigkeiten beschränkter Geometrie bezeichnet.

Auf vollständigen riemannschen Mannigfaltigkeiten  hängt der Injektivitätsradius am Punkt  stetig von  ab. Insbesondere haben alle kompakten riemannschen Mannigfaltigkeiten beschränkte Geometrie.

Literatur 
 Wilhelm Klingenberg: Riemannian geometry. Second edition. de Gruyter Studies in Mathematics, 1. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1995. ISBN 3-11-014593-6 
 Jürgen Jost: Riemannian geometry and geometric analysis. Sixth edition. Universitext. Springer, Heidelberg, 2011. ISBN 978-3-642-21297-0

Einzelnachweise 

Riemannsche Geometrie