Damgård-Jurik-Kryptosystem
Das Damgård-Jurik-Kryptosystem ist ein semantisch sicherer, asymmetrischer Verschlüsselungsalgorithmus. Es wurde 2001 an der Konferenz PKC von den beiden Kryptographen Ivan Damgård und Mads Jurik vorgestellt. Das Verfahren ist additiv-homomorph, was bedeutet, dass durch die Multiplikation zweier Schlüsseltexte die Klartexte addiert werden. Es ist also nicht nötig, die Schlüsseltexte zu entschlüsseln, um auf den Klartexten operieren zu können.
Das Verfahren ist ein Nachfolger des Paillier-Kryptosystems und enthält dieses als Spezialfall.

Verfahren

Erzeugung des öffentlichen und privaten Schlüssels 
Die Erzeugung des öffentlichen und des privaten Schlüssels funktioniert wie folgt.
 Man wählt zwei große Primzahlen  gleicher Bitlänge und definiert . In der Praxis sollte  zwischen 1536 und 2048 Bits lang sein.
 Man definiert .
 Man wählt  so, dass  für ein bekanntes  relativ prim zu  und , wobei  isomorph zu  ist.
 Mittels des Chinesischen Restsatzes berechnet man  mit  und .

Der öffentliche Schlüssel besteht aus , der private aus .

Anmerkung: Um das Paillier-Kryptosystem als Spezialfall zu erhalten, wählt man  und . Weiter kann man stets  wählen, ohne die Sicherheit zu beeinträchtigen. Insbesondere muss in diesem Fall  nicht ins Vorhinein fixiert werden, sondern kann ad hoc beim Verschlüsseln einer Nachricht gewählt werden.

Verschlüsseln von Nachrichten 
Um eine Nachricht  zu verschlüsseln, verfährt man wie folgt:
 Man wählt  zufällig in .
 Man berechnet den Schlüsseltext als .

Entschlüsseln von Nachrichten (Decodierung) 
Um einen Schlüsseltext  zu entschlüsseln, verfährt man folgermaßen:
 Man berechnet . Für gültige Schlüsseltexte  muss gelten:
.
Dabei verwendet man einerseits, dass  in  die Ordnung  hat. Andererseits ist anzumerken, dass , wobei  Ordnung  hat, und  Ordnung , da  isomorph zu  ist, und  ist. Weiters sind sowohl  (per definitionem) und  Elemente von .
 Nun wendet man rekursiv den Entschlüsselungsmechanismus des Paillier-Kryptosystems an, um  zu berechnen. Da  bekannt sind, kann man nun  berechnen als .

Sicherheit 
Unter der Decisional-Composite-Residuosity-Annahme kann gezeigt werden, dass das Verfahren semantisch sicher gegen Gewählte-Klartext-Angriffe ist. Diese Annahme besagt, dass für einen zusammengesetzten Modul  nicht effizient geprüft werden kann, ob ein  eine -te Wurzel modulo  besitzt oder nicht.

Homomorphieeigenschaften 
Das Damgård-Jurik-Kryptosystem ist additiv-homomorph, wodurch durch Operationen auf Schlüsseltexte unbekannte Klartexte addiert werden können:

 Durch Multiplikation von zwei Schlüsseltexten  werden die verschlüsselten Klartexte  addiert:
 .
Dabei sind manchmal zwei Sonderfälle von besonderem Interesse:
 Durch Multiplikation eines Schlüsseltextes  mit  kann ein beliebiger Wert  zum verschlüsselten Klartext  addiert werden:
 .
 Durch Multiplikation eines Schlüsseltextes  mit  kann eine Verschlüsselung von  erneut randomisiert werden, ohne die Nachricht  zu ändern:
 .

 Durch Exponentiation eines Schlüsseltexts  mit einer natürlichen Zahl  kann die verschlüsselte Nachricht  ver-w-facht werden
 .

Allerdings gibt es keine bekannte Möglichkeit, um durch Operationen auf zwei Schlüsseltexten die enthaltenen Nachrichten miteinander zu multiplizieren.

Vorteile 
Die homomorphen Eigenschaften werden u. a. im Zusammenhang mit den folgenden Anwendungen ausgenützt.
 E-Voting: Nachdem jeder Wahlberechtigte seine Stimme (im einfachsten Fall eine 1 für ja, eine 0 für nein) verschlüsselt und an die Wahlbehörde übermittelt hat, werden alle Schlüsseltexte multipliziert, und die resultierende Verschlüsselung enthält die Verschlüsselung der Gesamtanzahl an Ja-Stimmen. Durch Entschlüsseln erhält man nun das Wahlergebnis. Wichtig ist, dass die den ersten Schritt ausführende Partei keine Kenntnis des geheimen Schlüssels benötigt, wodurch keine einzelnen Stimmen entschlüsselt werden können.
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 Zero-Knowledge-Beweise im Universal-Composability-Modell

Nachteile 
Aufgrund der angeführten Homomorphieeigenschaften ist das Verfahren allerdings nicht IND-CCA-sicher, d. h. nicht sicher unter Gewählter-Schlüsseltext-Angriffen. Jedes Verschlüsselungssystem, das diese Sicherheit besitzt, müsste nämlich auch nicht-verformbar sein, eine Eigenschaft, die zur Homomorphie im Widerspruch steht. In der Literatur findet man auch Transformationen, das Damgård-Jurik-Kryptosystem in eine IND-CCA-sichere Variante zu transformieren. Ob diese Transformationen angebracht sind oder nicht, ist von der jeweiligen Anwendung abhängig.

Quellen 

Asymmetrisches Verschlüsselungsverfahren