Satz von Ramsey (Mengenlehre)
Der Satz von Ramsey ist ein von F. P. Ramsey im Jahre 1929 bewiesener Satz aus dem mathematischen Gebiet der Mengenlehre. Er verallgemeinert die einfache Tatsache, dass bei einer Zerlegung einer unendlichen Menge in endlich viele Teilmengen wenigstens eine dieser Teilmengen ebenfalls unendlich sein muss.

Formulierung des Satzes 
Ist  eine unendliche Menge, so bezeichne  die Menge aller -elementigen Teilmengen von . Zerlegt man  in endlich viele Teilmengen, so muss eine der Teilmengen wieder unendlich sein. Darüber hinaus kann man folgende stärkere Aussage aufstellen, die als Satz von Ramsey bekannt ist:

 Ist  die Menge der natürlichen Zahlen und ist  eine Zerlegung in  Teilmengen, wobei  und  natürliche Zahlen seien, so gibt es ein  und eine unendliche Teilmenge  mit .

Bemerkungen 
Teilmengen von  der Form  nennt man homogen. Nach dem Satz von Ramsey gilt also, dass jede Zerlegung von  in endlich viele Teilmengen, wenigstens eine unendliche homogene Teilmenge enthält. 
Der Fall  reduziert sich auf die in der Einleitung genannte Tatsache, dass bei einer Zerlegung einer unendlichen Menge in endlich viele Teilmengen wenigstens eine dieser Teilmengen ebenfalls unendlich sein muss.

 ist der Prototyp einer Menge der Mächtigkeit  (siehe Aleph-Funktion) und kann im Satz von Ramsey natürlich durch jede andere Menge dieser Mächtigkeit ersetzt werden. Ist  eine Menge der Mächtigkeit , so könnte man in Analogie zu obigem Satz fragen, ob bei einer Zerlegung der Menge  in  Teilmengen wenigstens eine der Zerlegungsmengen eine homogene Teilmenge der Mächtigkeit  enthalten muss. Für  lautet die Antwort natürlich ja, aber schon für  muss sie verneint werden. Die Existenz von Kardinalzahlen , so dass bei einer Zerlegung von  in zwei Teilmengen wenigstens eine dieser Teilmengen eine homogene Teilmenge der Mächtigkeit  umfassen muss, lässt sich in der ZFC-Mengenlehre nicht beweisen. Solche Kardinalzahlen nennt man schwach-kompakt und deren Nicht-Existenz ist zumindest relativ konsistent, das heißt, wenn die ZFC-Mengenlehre widerspruchsfrei ist, dann ist sie auch zusammen mit dem zusätzlichen Axiom der Nicht-Existenz schwach-kompakter Kardinalzahlen widerspruchsfrei.

Siehe auch 
 Satz von Ramsey, ein Satz aus der kombinatorischen Graphentheorie
 Satz von Erdős-Rado, ein Satz über Partitionen von Mengen der Form .

Literatur 
 Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003), ISBN 3-540-44085-2, insbesondere Kapitel 9
 F. P. Ramsey: On a Problem of Formal Logic, Proc. London Mathematical Society 1929/1930, Band 30, Seiten 264–186

Ramseytheorie
Ramsey, Satz von (Mengenlehre)