Teilerfunktion
In der Zahlentheorie ist die Teilerfunktion die Funktion, die einer natürlichen Zahl die Summe ihrer Teiler, erhoben zu einer gewissen Potenz, zuordnet. Sie wird üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben  bezeichnet.

Definition 
Für eine natürliche Zahl  ist definiert:
.
Hierbei erstreckt sich die Summe über alle positiven Teiler von , einschließlich  und .
Beispielsweise ist demnach

Spezialisierungen 
  ist die Teileranzahlfunktion,
  ist die Teilersumme.

Eigenschaften 

  ist multiplikativ, das heißt, für teilerfremde  gilt: .
 Hat  die Primfaktorzerlegung , so ist
 ,
  für , und für   gilt: .
 Die durchschnittliche Größenordnung von  für  ist , mit der Riemannschen Zetafunktion .
 Die durchschnittliche Größenordnung der Teileranzahlfunktion  ist . Genauer gilt mit der Eulerschen Konstanten 
.

Reihenformeln 
Speziell für  gilt:

Dies kann man sich klarmachen, in dem man die rechte Summe als  schreibt: Wenn man nun  durch  substituiert, werden genau die Summanden der Summe um 1 größer, die  teilen.

Zwei Dirichletreihen mit der Teilerfunktion sind: (S. 285, Satz 291)
  für  
was speziell für d(n) = σ0(n) ergibt:
   für  
und (S. 292, Satz 305)

Eine Lambert-Reihe mit der Teilerfunktion ist:

für beliebiges  komplexes |q| ≤ 1 und a.

Die Teilerfunktion lässt sich für  mittels Ramanujansummen auch explizit als Reihe darstellen:

Die Berechnung der ersten Werte von  zeigt das Schwanken um den "Mittelwert" :

Identitäten aus der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen 

Ein wesentlicher Bestandteil der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen von Gewicht , gerade, sind die Teilerfunktionen . Aus Relationen zwischen den Eisensteinreihen können die Werte einiger Faltungen von Teilerfunktionen hergeleitet werden, so ist zum Beispiel für alle :

Quellen 

Zahlentheoretische Funktion