Kardinalzahlarithmetik
Unter Kardinalzahlarithmetik versteht man in der Mengenlehre Regeln über mathematische Operationen zwischen Kardinalzahlen. Diese Operationen sind die aus der Theorie der natürlichen Zahlen bekannten Addition, Multiplikation und Potenzierung, die auf die Klasse der Kardinalzahlen ausgedehnt werden. Im Gegensatz zur Ordinalzahlarithmetik werden diese Operationen nicht durch transfinite Induktion, sondern durch Mengenoperationen definiert.
Die Addition und die Multiplikation erweisen sich als sehr einfach, über das Potenzieren hingegen kann man in der ZFC-Mengenlehre nur unter der Annahme zusätzlicher Axiome zu starken Aussagen kommen.

Definitionen 
Die Idee der Kardinalzahlen besteht im Vergleich von Mächtigkeiten. Mit Hilfe des Auswahlaxioms kann man zu jeder Menge  eine zu ihr gleichmächtige Ordinalzahl finden und wegen deren Wohlordnung auch eine kleinste solche Ordinalzahl, die man die Kardinalität oder Mächtigkeit der Menge nennt und mit  bezeichnet. Die als Mächtigkeit auftretenden Ordinalzahlen heißen bekanntlich Kardinalzahlen, diese werden mit griechischen Buchstaben , ,  ... bezeichnet, wohingegen Ordinalzahlen mit den Anfangsbuchstaben ,  ... des griechischen Alphabets notiert werden. Die endlichen unter den Kardinalzahlen sind die natürlichen Zahlen, die unendlichen können durch die -Funktion aufgezählt werden, das heißt die unendlichen Kardinalzahlen sind die , wobei  die Ordinalzahlen durchläuft. 

 Zur Addition zweier Kardinalzahlen  und  finde man zwei disjunkte zu ihnen gleichmächtige Mengen  und  und definiere , also als die Mächtigkeit der disjunkten Vereinigung.

 Zur Multiplikation zweier Kardinalzahlen  und  finde man zwei zu ihnen gleichmächtige Mengen  und  und definiere , also als die Mächtigkeit des kartesischen Produktes.

 Zur Potenzierung zweier Kardinalzahlen  und  finde man zwei zu ihnen gleichmächtige Mengen  und  und definiere , also als die Mächtigkeit der Menge aller Funktionen von  nach .

In allen drei Fällen kann man zeigen, dass die Definition nicht von der Wahl der Mengen  und  abhängt. Da  und  selbst Mengen sind, kann man auch einfach
 
 
 
schreiben, die zuerst gegebenen Definitionen sind aber flexibler zu handhaben. In der dritten Definition steht links die zu definierende Potenz zweier Kardinalzahlen, rechts bedeutet  die Menge aller Funktionen , für beides wird dieselbe Notation verwendet. Ferner überlegt man sich leicht, dass die so definierten Operationen für endliche Kardinalzahlen, das heißt für natürliche Zahlen, mit den bekannten Operationen übereinstimmen.

 Die oben definierte Addition kann wie folgt auf unendliche Summen ausgedehnt werden: Ist  eine Familie von Kardinalzahlen, so seien  zu den  gleichmächtige und paarweise disjunkte Mengen, zum Beispiel . Die Summe der  ist wie folgt definiert:
 

 Auch die Multiplikation lässt sich auf unendliche Produkte erweitern: Ist  eine Familie von Kardinalzahlen, so seien  zu den  gleichmächtige Mengen. Das Produkt der  ist wie folgt definiert:
 
 Dabei tritt das Produktzeichen in zwei Bedeutungen auf: Auf der linken Seite steht es für das zu definierende unendliche Produkt von Kardinalzahlen und auf der rechten Seite für das kartesische Produkt.

Auch die Definitionen der unendlichen Operationen sind von der Auswahl der Mengen  unabhängig und daher wohldefiniert.

Addition und Multiplikation 
Addition und Multiplikation erweisen sich für unendliche Kardinalzahlen als triviale Operationen, denn es gilt:

 Ist wenigstens eine der von 0 verschiedenen Kardinalzahlen  und  unendlich, so gilt
 ,
 beziehungsweise in der Aleph-Notation  für alle Ordinalzahlen  und , siehe Satz von Hessenberg.

 Ist  eine unendliche Kardinalzahl und sind ,  von 0 verschiedene Kardinalzahlen, so gilt
 .

 Für Kardinalzahlen  und ,  gelten die erwarteten Regeln
 ,
 .

Summe und Produkt stehen ferner durch den Satz von König in Beziehung, was zu wichtigen Ungleichungen führt.

Potenzierung 
Das Potenzieren von Kardinalzahlen erweist sich als wesentlich interessanter, da dies die Frage nach zusätzlichen Axiomen der Mengenlehre aufwirft. Schon die naheliegende Frage, ob  gilt, die sogenannte Kontinuumshypothese, lässt sich mittels ZFC nicht entscheiden. In der folgenden Darstellung wird es darum gehen, für die Potenz  einen geschlossenen Ausdruck oder eine andere Potenz mit kleineren Kardinalzahlen zu finden. Die wegen der Fallunterscheidungen zunächst unübersichtlich erscheinende Situation vereinfacht sich, wenn man zusätzliche Axiome zur Mengenlehre hinzunimmt. Wir beginnen mit den wichtigen Zweierpotenzen und wenden uns dann den allgemeinen Potenzen zu.

Kontinuumsfunktion 
Die Zweierpotenzen  zur Basis  sind Mächtigkeiten von Potenzmengen, denn  ist offenbar eine Bijektion von  auf die Potenzmenge von . Die Funktion  wird auch Kontinuumsfunktion genannt.

Die folgenden Abkürzungen werden im nachfolgenden Satz über diese Potenzen verwendet:
Ist  eine Kardinalzahl, so bezeichne  ihre Konfinalität. Mit  sei das Supremum über alle  mit  bezeichnet, wobei  eine Limes-Kardinalzahl sei. Dann hat man:

 Für Kardinalzahlen  gilt .
  für unendliche Kardinalzahlen .
  für Limes-Kardinalzahlen .

Führt man schließlich noch die sogenannte Gimel-Funktion  ein, so kann man die Zweierpotenzen  durch diese Gimel-Funktion und Zweierpotenzen mit kleineren Exponenten ausdrücken:

 für Nachfolger-Kardinalzahlen .
 für Limes-Kardinalzahlen, wenn die Kontinuumsfunktion unterhalb  schließlich konstant wird.
 für Limes-Kardinalzahlen, wenn die Kontinuumsfunktion unterhalb  nicht schließlich konstant wird.

Dass die Kontinuumsfunktion unterhalb  schließlich konstant wird, bedeutet, dass es ein  gibt, so dass  für alle  konstant ist.

Aus dem Satz von König folgt für jede Kardinalzahl  die Ungleichung .

Allgemeine Potenzen 

Für unendliche Kardinalzahlen  und  gilt:
 Ist , so ist .
Man hat es also mit den oben behandelten Zweierpotenzen zu tun. Der Fall  erfordert weitere Unterfälle:
 Ist  und gibt es ein  mit , so ist .
 Ist  und  für alle , so ist .

Die Situation vereinfacht sich, wenn man ZFC durch die sogenannte Singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese erweitert. Diese besagt, dass für singuläre Kardinalzahlen  mit  die Gleichung  bestehen soll, wobei  die Nachfolger-Kardinalzahl zu  ist. Damit lässt sich die Potenz von Kardinalzahlen bereits etwas kompakter darstellen:

 Unter der Annahme der Singuläre-Kardinalzahl-Hypothese gilt für zwei unendliche Kardinalzahlen:
 

Die Singuläre-Kardinalzahl-Hypothese folgt aus der  verallgemeinerten Kontinuumshypothese. Setzt man sogar letztere voraus, erhält man die denkbar einfachsten Potenzierungsgesetze:

 Unter der Annahme der verallgemeinerten Kontinuumshypothese gilt für zwei unendliche Kardinalzahlen:

Hausdorff-Formel 
Ohne zusätzliche Axiome gilt die 1904 von Felix Hausdorff bewiesene und nach ihm benannte Formel

für alle Ordinalzahlen  und  und alle natürlichen Zahlen .

Formel von Bernstein 
Auf Felix Bernstein geht die auch als Bernsteinscher Alephsatz bezeichnete Formel

für alle Ordinalzahlen  und alle natürlichen Zahlen  zurück, die sich leicht aus der Hausdorff-Formel ergibt.

Vergleich mit Ordinalzahlarithmetik 
Zwar werden die Kardinalzahlen als Teilklasse der Ordinalzahlen aufgefasst, aber die oben beschriebenen Kardinalzahloperationen sind nicht die Einschränkungen der gleichnamigen Operationen zwischen Ordinalzahlen. Bezeichnet man die Ordinalzahloperationen mit einem Punkt, so gilt etwa
,
für Kardinalzahlen hingegen gilt nach Obigem
.
Die Ordinalzahl  ist nicht einmal eine Kardinalzahl, denn  ist gleichmächtig zu , aber eine Kardinalzahl ist stets die kleinste unter allen gleichmächtigen Ordinalzahlen.

Literatur 
 Thomas Jech: Set Theory. 3rd millennium edition, revised and expanded, corrected 4th print. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-44085-2, insbesondere Kapitel 5.
 Dieter Klaua: Allgemeine Mengenlehre. Ein Fundament der Mathematik. Akademie-Verlag, Berlin 1964.

Einzelnachweise 

Kardinalzahl (Mathematik)