Hurwitzquaternion
Eine Hurwitzquaternion (oder Hurwitz-Ganzzahl) in der Mathematik ist eine Quaternion, deren vier Koeffizienten entweder alle (rational-)ganzzahlig oder alle halbzahlig (Hälften ungerader ganzer Zahlen) sind – Mischungen von Ganzzahlen und Halbzahlen sind also unzulässig. Die Menge aller Hurwitzquaternionen ist

 .

Sie bildet in ihrem Quotientenkörper, dem Divisionsring (Schiefkörper) der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten

 ,

eine maximale -Ordnung.  ist der kleinste Unterkörper des Quaternionenschiefkörpers  mit nicht-kommutativer Multiplikation. Andererseits ist seine Vervollständigung (Komplettierung) für die Betrags-Metrik gerade wieder .

Eine Lipschitzquaternion (oder Lipschitz-Ganzzahl) ist eine Quaternion, deren Koeffizienten alle ganzzahlig sind. Die Menge aller Lipschitzquaternionen

 

ist ein (nicht-kommutativer) Unterring von  (aber kein Ideal!).  und  haben denselben Quotientenkörper .

Im Unterschied zu  ist  maximal als Ganzheitsring und zusätzlich ein euklidischer Ring, d. h.,  kennt eine Division mit kleinem Rest und einen euklidischen Algorithmus.

Der Artikel behandelt die wichtigsten algebraischen Eigenschaften inklusive Symmetrien von  und deren geometrische Auswirkungen.
Ferner lässt sich exemplarisch verfolgen, inwieweit Begriffe, die man von den kommutativen Ringen her kennt und die häufig nur dort definiert werden, fürs nicht-kommutative Umfeld angepasst werden können.

Erbschaften 
Der Schiefkörper  „erbt“ die , ,  und alle einschlägigen Rechenregeln von , den Quaternionen mit reellen Koeffizienten. Bezüglich der Definitionen wird auf den entsprechenden Artikel verwiesen.

 ist ein 4-dimensionaler Vektorraum über seinem Skalarkörper , wie es  über  ist. Vom Vektorraum gewinnt man die Addition und die Skalarmultiplikation , bei der der Skalar  die Quaternion komponentenweise multipliziert. Diese Multiplikation stimmt in ihrem Definitionsbereich mit der Quaternionen-Multiplikation überein, da  als  in die Quaternionen eingebettet wird, und sie ist kommutativ.

In diesem Artikel wird die (volle) Quaternionen-Multiplikation mit dem Mittepunkt  und die Skalarmultiplikation durch einfache Juxtaposition notiert, ferner werden die Quaternionen mit griechischen und die Skalare mit lateinischen Buchstaben geschrieben.

Zur Erläuterung der Auswirkungen der Erbschaften auf das Thema des Artikels seien  und  beliebige Quaternionen (mit rationalen oder ggf. reellen Koeffizienten).
Das Skalarprodukt   , definiert durch
 ,
ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform. Wir haben die Bilder
 
und
 
und die Bilder
 .

Die Konjugation  wirft  nach
 .

Die Norm, gegeben durch
 
ist   (Quadrat des Betrags), multiplikativ, rein reell, nicht-negativ und bei einer Hurwitzquaternion immer eine ganze Zahl. Gemäß dem Vier-Quadrate-Satz von Lagrange benötigt man für jede nicht-negative ganze Zahl höchstens 4 Quadratzahlen, deren Summe sie ist. Somit ist jede nicht-negative Ganzzahl Norm einer Lipschitz- (oder Hurwitz-)Quaternion.

Die positive Definitheit des Skalarprodukts bedeutet  für . Daraus folgt die Existenz des Inversen
  für ,
daraus die Nullteilerfreiheit von .

Gruppeneigenschaften 
Folgende Notationen seien in diesem Artikel durchgehalten.
Die Menge
 
ist wegen der Multiplikativität der Norm additiv und multiplikativ abgeschlossen und Untermenge von , da alle  mit  eine ungerade Norm haben. Ferner ist für  und  sowohl
  als auch .
 ist bekannt als das Gitter D4 im . Es wird der geraden „Quersummen“  wegen auch „Schachbrettgitter“ genannt.
 sei eine Kurzschreibweise für die Nebenklasse .
Die Quaternion
 
hat  zur 6-ten Potenz, und es ist  und .
Die Menge
 
ist multiplikativ abgeschlossen.

Additivität

Lipschitz-Gitter 
Die additive Gruppe  wird erzeugt von  und bildet ein Gitter im , bekannt als das Gitter I4.

 ist ein Untergitter vom Index 2 von . Es ergeben sich die Partitionen
 .

Hurwitz-Gitter 
Als additive Gruppe ist  frei abelsch mit den Erzeugenden .  bildet ebenfalls ein Gitter im , bekannt als das Gitter F4.

 ist ein Untergitter vom Index 2 von  und es ergeben sich die Partitionen
 
(siehe unten stehendes Diagramm). Damit ist  ein vollständiges Repräsentantensystem von .

Die Elemente  der Nebenklassen  haben gerade, die von  ungerade „Quersumme“ .

Multiplikativität

Lipschitz-Halbgruppe 
Es ist klar, dass das Produkt zweier Lipschitz-Zahlen mit ganzzahligen Koeffizienten wieder ganzzahlige Koeffizienten hat. Somit ist die Menge  eine Halbgruppe unter der Quaternionen-Multiplikation .

Lipschitz-Einheiten 
Die Einheitengruppe in  ist die nicht-abelsche Quaternionengruppe
 
von der Ordnung 8 mit dem Zentrum . Erzeugende von Q8 sind z. B.  und  mit den Gleichungen
 ,    und .

Hurwitz-Halbgruppe 
Der Beweis der multiplikativen Abgeschlossenheit von  gelingt ohne große Rechnerei durch Zusammensetzen aus den 4 Nebenklassen.

Fazit: Die Mengen  und  sind abgeschlossen unter der Addition  und der Multiplikation , so dass sie (nicht-kommutative) Unterringe in ihrer beider Quotientenkörper  bilden, und  ist ein Ideal in beiden Ringen (siehe auch den Abschnitt Ideale).

Hurwitz-Einheiten 

Die Einheitengruppe in , auch Gruppe der Hurwitzeinheiten genannt, ist die nicht-abelsche Gruppe
 
der Ordnung 24, die aus den 8 Elementen der Gruppe Q8 und den 16 Quaternionen  besteht, bei denen die Vorzeichen in jeder Kombination zu nehmen sind: den Hurwitzeinheiten im engeren Sinn.  ist isomorph zur binären Tetraedergruppe 2T, einer zentralen Gruppenerweiterung der Tetraedergruppe T = A4 von der Ordnung 12 mit einer zyklischen Gruppe der Ordnung 2. Ihr Zentrum ist ebenfalls  und die Faktorgruppe  ist isomorph zu A4.

Q8 ist Normalteiler vom Index 3 von , und  ist Untergruppe von  mit  und ; also ist  das semidirekte Produkt .

Erzeugende von  sind z. B.
  und 
mit den Gleichungen
  ,
wobei  .

Geometrische Eigenschaften

Regulärer 16-Zeller (Hexadekachor) 

Die Elemente der Gruppe Q8 haben alle die Norm 1 und bilden die Ecken des Kreuzpolytops der vierten Dimension, des regulären sogenannten 16-Zellers, auch  (das, englisch , von griechisch  aus hexa ‚sechs‘ und deka ‚zehn‘ und chōros ‚Raum‘) genannt. Er ist eingeschrieben in die Einheits-3-Sphäre, die selbst wieder eine Gruppe ist, nämlich die Lie-Gruppe SU(2).
Sein Rand besteht aus 16 Tetraedern mit den Eckenmengen , wobei jede der 16 Vorzeichenkombinationen für ein Tetraeder steht. Die Mittelpunkte dieser Tetraeder sind gerade die Hälften der Hurwitzeinheiten im engeren Sinn.

Der 16-Zeller ist zum 8-Zeller dual, gehört zu den 6 regulären konvexen 4-Polytopen (Polychora im ), hat Schläfli-Symbol {3,3,4} und ist berandet von 16 (regulären) Tetraeder-Zellen, 32 (regulären) Dreiecksflächen, 24 Kanten und 8 Ecken. Sein 4-Volumen ist  bei einer Kantenlänge von  und einem Umkreisradius von 1.

Regulärer 8-Zeller (Tesserakt) 

Die restlichen 16 Elemente , d. s. die Hurwitzeinheiten im engeren Sinn, haben ebenfalls die Norm 1 und bilden die Ecken des Hyperwürfels (Maßpolytops) der vierten Dimension, des regulären sogenannten 8-Zellers, auch Tesserakt genannt. Er ist berandet durch 8 Würfel, einer davon hat bspw. die 8 Ecken  und  als Mittelpunkt. Die Mittelpunkte der Würfel sind .

Der 8-Zeller ist zum 16-Zeller dual, gehört zu den 6 regulären konvexen 4-Polytopen, hat Schläfli-Symbol {4,3,3} und ist berandet von 8 Zellen (den Würfeln), 24 Quadraten, 32 Kanten und 16 Ecken. Sein 4-Volumen ist 1 bei einer Kantenlänge und einem Umkreisradius von 1.

Regulärer 24-Zeller (Ikositetrachor) 

Die Elemente der Gruppe  haben alle die Norm 1 und bilden die Ecken des sogenannten 24-Zellers, auch  (das, englisch icositetrachoron, von griechisch  aus eikosi ‚zwanzig‘ und tetra, Präfixform von τέτταρα, ‚vier‘ und chōros ‚Raum‘), eingeschrieben in die Einheits-3-Sphäre.

Die 6 Quaternionen  markieren die Ecken eines regulären Oktaeders mit dem Mittelpunkt  auf dem Rand dieses 24-Zellers, welches bei (linker wie rechter) Multiplikation mit einem Element  in ein anderes Oktaeder (auf dem Rand) übergeht. Somit besteht der Rand des 24-Zellers aus 24 (regulären) Oktaeder-Zellen, von denen sich 6 an jeder Ecke und 3 an jeder Kante treffen. Der 24-Zeller gehört zu den 6 regulären konvexen 4-Polytopen, hat 24 Zellen (die Oktaeder), 96 Dreiecksflächen, 96 Kanten und 24 Ecken. Das 4-Volumen ist 2 bei einer Kantenlänge und einem Umkreisradius von 1.

Der 24-Zeller hat Schläfli-Symbol {3,4,3}, ist das einzige selbst-duale reguläre euklidische Polytop, das nicht Simplex oder Polygon ist, und hat insoweit keine Entsprechung in anderen Dimensionen.

Parkettierung und Sphärenpackung 
Zu jedem der 3 oben genannten regulären 4-Polytope gibt es eine reguläre und lückenlose Parkettierung – und diese sind die einzigen – des 4-dimensionalen euklidischen Raums.

Parkettierung mit dem 8-Zeller 
Eine Parkettierung des  mit dem Tesserakt lässt sich so einrichten, dass die Mittelpunkte der Tesserakte, der Maschen, genau auf die Lipschitzquaternionen  fallen. Das gelingt mit dem oben erwähnten Tesserakt, genauer: dem 4-dimensionalen und für die Disjunktheit der Maschen rechtsoffenen Intervall  als der Grundmasche.

Diese Parkettierung mit dem 8-Zeller sei als die Lipschitz-Parkettierung bezeichnet. Sie hat Schläfli-Symbol {4,3,3,4} und ist zu sich selbst dual, d. h., die Mittelpunkte der einen Parkettierung sind die Ecken der dualen und umgekehrt. Das 4-Volumen der Maschen ist 1 bei einer Kantenlänge und einem Umkreisradius von 1.

Parkettierung mit dem 24-Zeller 
Eine Parkettierung des  mit dem 24-Zeller lässt sich so einrichten, dass die Mittelpunkte der 24-Zeller genau auf die Hurwitzquaternionen  fallen. Die Grundmasche ist der 24-Zeller mit dem Mittelpunkt  und den 24 Ecken der Art .

Diese Parkettierung mit dem 24-Zeller sei als die Hurwitz-Parkettierung bezeichnet. Ihr Schläfli-Symbol ist {3,4,3,3}.
Das 4-Volumen der Maschen ist  bei einer Kantenlänge und einem Umkreisradius von .

Parkettierung mit dem 16-Zeller 
Es gibt eine Parkettierung mit dem 16-Zeller, die dual ist zur Parkettierung mit dem 24-Zeller, – Schläfli-Symbol also {3,3,4,3}. Das 4-Volumen ihrer Maschen ist  bei einer Kantenlänge von 1 und einem Umkreisradius von .

Sphärenpackung 
Im Zusammenhang mit diesen letzteren 2 Parkettierungen steht eine maximale (bewiesen für Gitter-Packungen, nicht aber für Nicht-Gitter-Packungen) Packungsdichte von 4-Kugeln (3-Sphären) von  auf dem Hurwitz-Gitter F4 im . Diese Sphärenpackung kommt auf eine Kusszahl von 24 (als obere Grenze – auch unter Nicht-Gitter-Packungen – bewiesen).

Maschenradius 
Für die Division mit Rest weiter unten benötigen wir die Gitterweite  eines Gitters  und definieren sie als die größte vorkommende Entfernung
 
eines Punktes  zu einem Gitterpunkt , der ihm am nächsten liegt, d. h.
 .

Das Gitter  hat den Maschenradius .

Pseudocode für die Approximation einer Quaternion  durch eine Lipschitz-Ganzzahl :

Damit ist  in der Masche mit Mittelpunkt , genauer:  (rechtsoffenes 4-dimensionales Intervall).

Das Gitter  hat den Maschenradius .

Pseudocode für die Approximation einer Quaternion  durch eine Hurwitz-Ganzzahl :

Die normmäßige Abweichung des Ergebnisses ist .

Euklidizität 
Der folgende Pseudocode ermittelt zu einer linken Division mit „kleinem“ Rest den Rest:

Das Suffix  kennzeichnet das Ergebnis als einer linken Division entstammend. Damit ist es in einer nachfolgenden komplementären Multiplikation zur Verwendung als linker Faktor (Teiler) geeignet.

Diese Division mit Rest macht den Ring  der Hurwitzquaternionen zu einem rechts-euklidischen Ring, d. h., zu 2 Zahlen  und  gibt es  und  mit
  und .

Wie in kommutativen euklidischen Ringen ist jedes Ideal in  ein Hauptideal – nur muss zusätzlich die Seitigkeit (hier zunächst: rechts) des Ideals angegeben werden.

Der folgende Pseudocode zeigt einen euklidischen Algorithmus zum Auffinden eines linken größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier Hurwitzquaternionen in .

Das Ergebnis ist ein linker Teiler  von  und , d. h., es gibt  mit  und . Er ist bis auf rechtsseitige Multiplikation mit einer Hurwitz-Einheit  eindeutig bestimmt, bspw.  und . Man kann also stets eine Lipschitzquaternion als Ergebnis des Algorithmus auswählen. Außerdem ist  auch größter Teiler, d. h., es gibt kein betragsmäßig größeres  mit , das linker Teiler von  und  ist. Das bedeutet auch, dass der linke ggT der beiden obigen rechtsseitigen Faktoren von  eine Einheit ist: .

Generell kann man die beiden Faktoren bei jeder Quaternionenmultiplikation  und gleichzeitig überall die Begriffe „rechts“ und „links“ vertauschen, was zu den Funktionen  und  führt.

Der Ring  ist also auch links-euklidisch, d. h., zu 2 Zahlen  und  gibt es  und  mit
  und .
Und jedes Linksideal in  ist ein Links-Hauptideal.

 Fazit
  ist zweiseitig euklidisch – oder euklidisch schlechthin.

Einige einfache Rechenregeln für den ggT für beliebige , wobei das Suffix  für eine der Seitigkeiten des ggT steht:
  und 
 
  und analog 
 
Und es gilt auch das beidseitige Lemma von Bézout, d. h., es gibt
  mit      (linkes Lemma von Bézout)
  mit      (rechtes Lemma von Bézout)
wobei die  als Nebenprodukte des resp. euklidischen Algorithmus anfallen (und auch aus der Funktion  herausgeführt werden können, s. den Artikel Erweiterter euklidischer Algorithmus).

Automorphismen 
Als Automorphismus einer algebraischen Struktur  gilt eine bijektive Abbildung , bei der alle algebraischen Verknüpfungen homomorph behandelt werden, d. h. bspw.
 .

Der Primkörper  des Schiefkörpers  muss immer fest bleiben. Dagegen können die 3 imaginären Einheiten  (die die Quaternionengruppe Q8 erzeugen) in eine jeweils andere überführt werden. Die Automorphismen von Q8 lassen sich alle zu Automorphismen von  (eindeutig) fortsetzen. Die Untergruppen  und  von  erben diese Automorphismen durch Einschränkung. Somit sind die Automorphismengruppen ,  und  isomorph zu  und zur Drehgruppe des Oktaeders, die wiederum zur symmetrischen Gruppe S4 isomorph ist.

Die Automorphismen lassen sich durch (für ) „innere“ Automorphismen realisieren:
 Von den 24 Quaternionen
 
 werden auf  Automorphismen vermittelt vermöge . Die ändern sich nicht, wenn wir die  auf die Einheits-3-Sphäre projizieren. Die Ergebnisse  erzeugen die Gruppe , welche  und isomorph zur binären Oktaedergruppe 2O ist, 48 Elemente und Zentrum  hat.
Die Faktorgruppe  hat 24 Elemente und ist damit isomorph zu den hier besprochenen Automorphismengruppen (und zur symmetrischen Gruppe S4).

Die Konjugation als Spiegelung an der reellen Achse ist involutiv und (wie schon bei Q8) antihomomorph in der Multiplikation, d. h.
 ,
und wird deshalb als involutiver Antiautomorphismus bezeichnet.

Assoziierte Elemente 

Der Begriff der zueinander assoziierten Elemente kann für nicht-kommutative Ringe etwas weiter gefasst werden: 2 Elemente  und  sind zueinander erweitert assoziiert, wenn es 2 Einheiten  gibt mit . Zu einer Hurwitzquaternion gibt es höchstens 242/2 = 288 erweitert Assoziierte, da auf einer der beiden Seiten die ganze Gruppe  auf der anderen nur die Faktorgruppe Modulo dem Zentrum durchlaufen werden muss. Die Assoziiertheit ist wie im kommutativen Fall eine Äquivalenzrelation.

Ist , so ist entweder  oder  (siehe Hurwitz-Gitter), d. h., zu jeder Hurwitzquaternion gibt es links (und genauso rechts) assoziierte Lipschitzquaternionen.

Die Konjugierte ist normalerweise nicht assoziiert.

Ideale 
Die Hurwitzquaternionen bilden eine Ordnung (im Sinn der Ringtheorie) in ihrem Quotientenkörper, dem Divisionsring (Schiefkörper)  der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten. Sie sind dort sogar eine Maximalordnung oder auch Ganzheitsring. Die Lipschitzquaternionen – als auf den ersten Blick näher liegende Kandidaten für das Konzept ganzer Quaternionen – stellen auch eine Ordnung dar, sind aber nicht maximal und haben keine Division mit kleinem Rest. Deshalb sind sie weniger geeignet für die Entwicklung einer Idealtheorie, die mit der algebraischen Zahlentheorie vergleichbar wäre. Adolf Hurwitz hat dies erkannt – ein großer Schritt in der Theorie der Maximalordnungen. Ein anderer war die Feststellung, dass sie – bei einem nicht-kommutativen Ring wie  – nicht eindeutig sind (alle rein imaginären Einheitsquaternionen haben  zum Quadrat), so dass man sich auf eine festlegen muss, wenn man das Konzept der algebraischen ganzen Zahl auf den Schiefkörper  übertragen möchte.

Für  mit , also , ist der Automorphismus  von  auch ein (äußerer) Automorphismus von . Das Linksideal  ist gleich
 ,
somit auch Rechtsideal, also zweiseitig und gleich für alle diese 24 Erzeugenden . Ferner ist es ein maximales Ideal mit Faktorring  isomorph zu , dem endlichen Körper der Charakteristik 2, dessen multiplikative Gruppe isomorph ist zu  und der die 3-ten primitiven Einheitswurzeln enthält (siehe Additions- und Multiplikationstafel).  ist genauso maximal in  mit Faktorring .

Prime Elemente, Faktorisierung 
Eine Hurwitzquaternion ist prim in  genau dann, wenn ihre Norm prim in  ist.

Folgende Besonderheiten der natürlichzahligen (rein reellen) Hurwitzquaternionen  sind im Kontext der Primelementzerlegung von Belang:
  ist mit jeder anderen Hurwitzquaternion  vertauschbar, d. h., .
 Ein  ist niemals prim in .
 Ist  prim in , dann gibt es nach dem Satz von Jacobi  prime Hurwitzquaternionen mit ganzzahligen Koeffizienten  und  Hurwitzquaternionen mit halbzahligen Koeffizienten , deren Norm  ist (und die deshalb nur ausnahmsweise zueinander assoziiert oder konjugiert sein können).
Jede Hurwitzquaternion lässt sich in Primteiler zerlegen, wobei die Reihenfolge der Primteiler in folgendem Sinn vorgegeben werden kann:
Sei  eine Hurwitzquaternion und
 
eine Zerlegung ihrer Norm in Primfaktoren . Dann gibt es zu jeder Reihenfolge dieser Primfaktoren eine Zerlegung von
 
in Primelemente in  mit
  für .

Bei vorgegebener Primzahlsequenz ist die Faktorisierung bis auf Einheiten zwischen den Primelementen bzw. links und rechts davon und den vielen Aufspaltungsmöglichkeiten eines natürlichen Teilers (dazu muss in der Primzahlsequenz eine Primzahl mindestens 2 Mal vorkommen) eindeutig. Für die Faktorisierung in  stehen mehrere Algorithmen zur Verfügung. Ein der Primzahl  in  korrespondierendes Primelement  in  kann man bspw. mit der oben beschriebenen Funktion  dingfest machen und dann eben links von  abspalten. Ist das Ergebnis von , dann kommt die Primzahl  in der Primzahlsequenz mindestens 2 Mal vor, und man kann unter ihren vielen Jacobi-Aufspaltungen ein beliebiges Primelement auswählen.

Metrik, Vervollständigung und Potenzreihenentwicklung

Archimedische Bewertung und Metrik 
Die „natürliche“ Bewertung des Schiefkörpers  ist die Betragsbewertung
 .
Da jede Größe durch Vervielfachung einer Einheitsgröße betragsmäßig überholt werden kann, wird diese Bewertung archimedisch genannt.
Dieser Betrag induziert die Metrik
 ,
die genau dem euklidischen Abstand im  entspricht.
Sie erfüllt bekanntlich die Axiome für Metriken:

Die Vervollständigung von  für die Metrik  führt zu , den Quaternionen mit reellen Koeffizienten.
Die Vervollständigung von  für die Metrik  führt zu nichts Neuem, da  eine diskrete Teilmenge von  ist.

Zu jeder Hurwitzquaternion  gibt es eine eindeutige Darstellung durch jede der zwei endlichen Reihen
      oder   
mit der Basis , Ziffern  (s. Abschnitt #Hurwitz-Einheiten), Basispotenzen rechts bzw. links davon und einem  mit .

Dieses Stellenwertsystem, das sich auf ganz  erweitern lässt, hat folgende Eigenschaften:
 Es kommt ohne „Vorzeichen“ aus.
 Die Darstellung ist fast überall (= bis auf abzählbar viele Ausnahmen) umkehrbar eindeutig.
 Die Hurwitzquaternionen entsprechen genau den Darstellungen ohne Nachkommastelle.
 Die Elemente , und nur solche rationalen Elemente, haben periodische Darstellungen.

Nichtarchimedische Bewertung und Metrik 
Zu einer festen Primzahl  sei für jedes 
   mit  
der -Exponent der Norm. Diese (Exponenten-)Bewertung erfüllt:

Man beachte, dass der -Exponent der Norm zu einer Primzahl  die Bedingung (C) nicht erfüllt.
Dass es bei  klappt, liegt an der Zweiseitigkeit des Ideals .

Man kann  eine Gruppe von „Einheiten“
 
zuordnen, zu der es für  einen Bewertungsring gibt.

Der Bewertungsring zu  ist
 ,
ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal
 ,
wobei  die (skalaren) Normen der Nenner von  beisteuert.
Den Anschluss zu den 2-adisch ganzrationalen Zahlen schafft wegen  die Gleichung
 .

Die durch  definierte Abstandsfunktion
 
erfüllt ebenfalls die Axiome für Metriken. Dazu noch die

       verschärfte Dreiecksungleichung            ,

die  zu einer Ultrametrik macht.
Die Vervollständigung von  für diese Metrik führt zu
 ,
den Quaternionen mit 2-adischen Koeffizienten.
Der vervollständigte Bewertungsring ist
 ,
der mit der Vervollständigung  des Rings  der Hurwitzquaternionen zusammenfällt, weil  in  -dicht liegt.
Hierbei ist  die eindeutige Fortsetzung von  auf .

Das vervollständigte Bewertungsideal ist
 ,
wo  mit , und der Restklassenkörper  ist isomorph zu dem im Abschnitt Ideale erwähnten .

Wenn wir  als Vervollständigungsoperator nehmen, erhalten wir das nebenstehende Diagramm für die Vervollständigungen der Nebenklassen von , die allerdings im Unterschied zu oben keine Gitter mehr sind.

Wie bei den p-adischen Zahlen haben wir, bei einem festen Primelement , eine eindeutige -adische Darstellbarkeit eines Elementes  durch jede der zwei -konvergenten Reihen
        oder     
mit  (s. o. Repräsentantensystem) und Potenzen der Basis links bzw. rechts davon. Die Elemente , und nur diese rationalen Elemente, haben periodische Darstellungen.

Siehe auch 
 Die 5 Platonischen Körper im

Literatur

Weblinks 
 The Lattice D4 as a Hurwitzian lattice
 4-dim HyperDiamond Lattice
 
 
 
 The Regular Polychora
 Marco Möller „Polytope im R4 (= Polychora)“
 
 Richard Klitzing Euclidean tesselations, 1D, 2D, 3D, 4D.

Anmerkungen

Einzelnachweise 

Zahl
Algebra