Projektive Quadrik
Eine projektive Quadrik ist in der projektiven analytischen Geometrie die Nullstellenmenge einer nichttrivialen, homogenen, quadratischen Funktion  in  Variablen , die als Koordinatendarstellung einer Punktmenge in dem -dimensionalen projektiven Raum  über einem Körper  aufgefasst wird.

Projektive Quadriken können, sofern die Charakteristik des Körpers nicht 2 ist, durch eine symmetrische Matrix dargestellt werden. Ist diese Matrix durch eine orthogonale Matrix diagonalisierbar, dann kann die Gleichung, die die Quadrik beschreibt, durch Wahl eines geeigneten projektiven Koordinatensystems auf eine Form
 
gebracht werden. Die Zahl  ist der Rang der Darstellungsmatrix, die Koeffizienten sind deren von 0 verschiedenen Eigenwerte. Dabei kann ein von 0 verschiedener Koeffizient  der Gleichung stets durch Wahl eines entsprechenden Koordinatensystems in einen beliebigen, zu ihm quadratisch äquivalenten Koeffizienten  umgewandelt werden, alle Koeffizienten sind nur bis auf einen gemeinsamen Faktor  bestimmt. Die Reihenfolge der Koeffizienten kann durch eine geeignete Basistransformation beliebig gewählt werden.

In der synthetischen Geometrie werden Quadriken in projektiven Geometrien als Punktmengen koordinatenfrei definiert. Dies erlaubt es, solche Punktmengen auch in nichtdesarguesschen Ebenen und nichtpappusschen Räumen zu untersuchen. → Siehe dazu Quadratische Menge.

Definitionen

Homogenes quadratisches Polynom 
Sei  ein Körper. Ein Polynom in (höchstens)  Variablen  heißt homogenes quadratisches Polynom, wenn es eine Summe von quadratischen Monomen der Form  ist. Ein solches Polynom lässt eine Darstellung

zu, wobei  eine quadratische -Matrix ist. Verlangt man von der Matrix , dass sie symmetrisch ist, dann wird sie durch die Koeffizienten  der Monome eindeutig bestimmt. Es gilt dann

falls die Charakteristik des Körpers  nicht 2 ist. Für Körper mit Charakteristik 2 ist im Allgemeinen keine Darstellung durch eine symmetrische Matrix möglich.

Homogene quadratische Funktion 
Durch jedes homogene quadratische Polynom wird eine homogene, quadratische Funktion

auf dem Vektorraum  definiert. Ist  das Nullpolynom und damit die symmetrische Matrix  die Nullmatrix, dann heißt diese quadratische Funktion trivial, in allen anderen Fällen, wenn also der Rang von  größer oder gleich 1 ist, nichttrivial.

Projektive Quadrik 
Für eine homogene, quadratische Funktion  gilt  genau dann, wenn  für jeden Skalar  gilt. Wählt man in einem -dimensionalen projektiven Raum über  daher ein festes projektives Koordinatensystem und identifiziert den Raum damit mit seinem Standardmodell , dann wird durch  eine Punktmenge in dem projektiven Raum beschrieben. Für die triviale quadratische Funktion  ist das der gesamte Raum. In allen anderen Fällen wird die Erfüllungsmenge der Koordinatengleichung, also die Punktmenge

als projektive Quadrik bezeichnet.

Äquivalenz von Quadriken 
Zwei Quadriken, die durch die nichttrivialen quadratischen Funktionen  bzw.  beschrieben werden, heißen projektiv äquivalent, wenn es symmetrische Darstellungsmatrizen  von  und  von , eine reguläre Matrix  und ein Körperelement  gibt, so dass
 gilt  ( ist die transponierte Matrix).
Damit ist es genau für äquivalente Quadriken möglich, die Gleichung der einen Quadrik durch Wahl eines geeigneten projektiven Koordinatensystems auf die Form der zweiten oder ein Vielfaches dieser Form zu bringen. Für die Äquivalenz notwendig ist, dass sich die Quadriken als Punktmengen durch eine Projektivität, die dann durch  darstellbar ist, bijektiv aufeinander abbilden lassen. Für projektive Räume über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist dies auch hinreichend.

Eine Quadrik, die eine symmetrische Darstellungsmatrix mit Vollrang, also vom Rang  besitzt, wird als nichtentartet bezeichnet, jede andere Quadrik als entartet. Eine Quadrik, für deren Erfüllungsmenge  gilt, die also keinen projektiven Punkt enthält, wird als nullteilige projektive Quadrik bezeichnet.

Entartete Quadriken sind nie nullteilig.

Invarianten 
Der Rang  einer symmetrischen Darstellungsmatrix  ist eine projektive Invariante für jede Quadrik , er wird auch als Rang der projektiven Quadrik bezeichnet.

Für den Fall einer projektiven Quadrik über einem reellen projektiven Raum liefert der Trägheitssatz von Sylvester noch eine Invariante: Da jeder Eigenwert der symmetrischen Darstellungsmatrix 0 ist oder quadratisch äquivalent zu +1 oder −1 ist, kann man – gegebenenfalls durch Multiplikation mit −1 – erreichen, dass die Anzahl  der positiven Eigenwerte nicht kleiner als die Anzahl  der negativen Eigenwerte ist. Die Zahl  ist eine weitere projektive Invariante für reelle Quadriken, die gelegentlich als projektive Signatur bezeichnet wird, da sie zusammen mit dem Rang die für projektive Quadriken wesentliche Information der Signatur einer Bilinearform enthält. Zwei reelle Quadriken sind genau dann äquivalent, wenn sie in ihrem Rang  und ihrer projektiven Signatur  übereinstimmen. Es kann stets eine Normalform gewählt werden, bei der  und daher  ist.

Projektive und affine Klassifikation von Quadriken 
Durch Schlitzen eines projektiven Raumes (also durch Auswahl einer Hyperebene des Raumes als Fernhyperebene) entsteht aus jeder projektiven Quadrik eine (affine) Quadrik in dem dabei erzeugten affinen Raum. Gewöhnlich werden zwei unterschiedliche affine Quadriken nur dann zum gleichen Typ gezählt, wenn die zugehörigen projektiven Quadriken im projektiven Abschluss des affinen Raumes zum gleichen projektiven Typ gehören. Daher wird die affine Typisierung insbesondere für nullteilige Quadriken erst durch die Typisierung im projektiven Abschluss vollständig.

Beispiele

Die gewöhnlichen Fälle der linearen Algebra 
In folgenden Fällen ist die symmetrische Darstellungsmatrix stets orthogonal diagonalisierbar:
 In einem komplexen projektiven Raum der Dimension  gibt es genau einen Typ einer projektiven Quadrik mit einer Darstellungsmatrix vom Rang  zu jedem Rang , insgesamt also genau  unterschiedliche Typen. Keine Quadrik ist nullteilig.
 Das Gleiche gilt für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper mit von 2 verschiedener Charakteristik.
 In einem reellen projektiven Raum der Dimension  gibt es zu jedem möglichen Rang  mit   der Darstellungsmatrix genau  unterschiedliche Typen von projektiven Quadriken. Dabei ist  die größte ganze Zahl , vergleiche Gaußklammer.
 Das Gleiche gilt für jeden reell abgeschlossenen Körper.
 In einer projektiven Ebene, also einem zweidimensionalen projektiven Raum über einem euklidischen Körper, zum Beispiel den reellen Zahlen, existieren genau 5 verschiedene Typen von projektiven Quadriken, zwei davon haben Darstellungsmatrizen mit dem vollen Rang 3 und die Normalform   bzw.  . Die erste der genannten Normalformen beschreibt eine nullteilige Quadrik. Die Normalformen der entarteten Quadriken lauten .
 In einem dreidimensionalen projektiven Raum über einem reell abgeschlossenen Körper, zum Beispiel den reellen Zahlen, existieren genau 8 verschiedene Typen von projektiven Quadriken. Drei davon haben Vollrang und die Normalform ,  bzw. . Die erste der genannten Normalformen beschreibt eine nullteilige Quadrik, die Normalformen der entarteten Quadriken werden durch die 5 Normalformen des zweidimensionalen Falles beschrieben.

Praktische Berechnung einer rationalen Normalform 
Für praktische Berechnungen ist die Diagonalisierung der symmetrischen Matrix – auch mit Computeralgebrasystemen – aufwändig und führt zunächst auch nur zu reellen und komplexen Normalformen. Stattdessen wird man für praktische Berechnungen die gemischten Terme der quadratischen Funktion durch quadratische Ergänzung eliminieren. Dies soll hier an einem Zahlenbeispiel deutlich gemacht werden:

Gegeben ist die quadratische Funktion  die durch die symmetrische Matrix
 dargestellt wird, also 
Nun wird dreimal quadratisch ergänzt:
  führt auf die Form ,
  führt dann auf ,
  führt auf .
Die Übergangsmatrizen sind dabei

deren Produkt  vermittelt zusammen mit dem Faktor  die Äquivalenz der Matrix  zu der Diagonalmatrix , denn es ist . Damit ist die durch  beschriebene Quadrik über jedem Körper, dessen Charakteristik nicht 2 ist, durch  beschreibbar. Über  lautet eine Normalform , denn dort sind −4 und −1 quadratisch äquivalent. Liegt die Quadrik in einer Ebene, dann ist sie genau dann entartet, wenn die Charakteristik des Körpers 2, 3 oder 11 ist, bei allen anderen Charakteristiken ist ihr Rang 3. Über den reellen Zahlen ist ihr Rang 3 und ihre projektive Signatur 1.

Literatur 
Die ersten drei Schriften von Helmut Hasse sind grundlegend für die Theorie der quadratischen Formen und Quadriken über den rationalen Zahlen, die vierte erweitert diese auf Zahlkörper:
 
 
 
 
Das Lehrbuch von Leutbecher bringt einige Anwendungen der Quadriken auf diophantische Gleichungen. Solche Anwendungen finden sich in den meisten einführenden Büchern zur algebraischen Zahlentheorie:
 
Das Lehrbuch von Schaal bringt die Klassifikation von komplexen und reellen Quadriken sowohl im projektiven als auch im affinen und für reelle im euklidischen Sinn und zeigt auch Zusammenhänge dieser Klassifikationen für den zwei- und dreidimensionalen Fall auf. Ähnliches findet sich in vielen Lehrbüchern zur linearen Algebra:
 Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Band 1–2. Vieweg, Braunschweig 1976, ISBN 3-528-03056-9 (Bd. 1), ISBN 3-528-03057-7 (Bd. 2), (Band 2. 2., durchgesehene Auflage. ebenda 1980, ISBN 3-528-13057-1).

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