Scottsches Axiomensystem
Das Scottsche Axiomensystem, benannt nach dem Mathematiker Dana Scott, ist ein Axiomensystem der Mengenlehre, das als alternativer Zugang zum Axiomensystem der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, kurz ZF, angesehen werden kann. Es verwendet das in ZF beweisbare Reflexionsprinzip als Axiom und kann auf diese Weise auf einige ZF-Axiome verzichten.

Motivation 
Durch die Von-Neumann-Hierarchie wird das gesamte Mengenuniversum in Stufen  eingeteilt, wobei  die Ordinalzahlen durchläuft. Wir beschreiben hier drei Konsequenzen, die dann umgekehrt zu Axiomen des Scottschen Axiomensystems werden.

 

Das heißt, jede Menge  liegt in einer Stufe. Das ist genau die zum Fundierungsaxiom äquivalente Aussage der Von-Neumann-Hierarchie, wonach jede Menge bereits in einer Stufe liegt bzw. bezüglich der -Relation bereits durch eine Stufe beschränkt ist; man spricht daher auch vom Beschränktheitslemma.

 

Wenn also  in einer Stufe  liegt, so liegt es bereits in einer niedrigeren Stufe  mit  oder ist als Teilmenge in einer solchen niedrigeren Stufe enthalten. Dieses sogenannte Kumulierungslemma folgt direkt aus der rekursiven Definition der Stufen  als Vereinigung aller Vorgänger oder als Potenzmenge des Vorgängers, je nachdem, ob  eine Limes-Ordinalzahl ist oder nicht.

Das Reflexionsprinzip besagt, dass jede in ZF formulierbare Aussage  bereits durch eine Stufe  gespiegelt wird, genauer:

 

Die Spiegelung durch die Stufe  bedeutet dabei die Spiegelung durch das durch „“ definierte Prädikat; Einzelheiten zum Begriff der Spiegelung findet man im Artikel Relativierung (Mengenlehre).

Diese drei Eigenschaften – Beschränktheitslemma, Kumulierungslemma und Reflexionsprinzip – sollen nun zu Axiomen erhoben werden, ohne die in ZF definierten Stufen zu verwenden. Dazu benötigen wir ein neues Prädikat „ ist Stufe“, das wir  nennen. Die Schreibweise  ist demnach als „ ist Stufe“ zu lesen, und man kann sich darunter etwas Ähnliches wie die Stufen der Von-Neumann-Hierarchie vorstellen. Die genauen Eigenschaften dieser Stufen werden allerdings durch die Axiome des Scottschen Axiomensystems festgelegt, das nun vorgestellt wird.

Das Axiomensystem 
Wir verwenden kleine lateinische Buchstaben als Variablen für Mengen und die Symbole , wobei = für Gleichheit steht und  für die Elementbeziehung,  ein einstelliges Prädikat ist und die restlichen Symbole die üblichen logischen Symbole sind. In den folgenden Axiomen bezeichne  eine mengentheoretische Formel mit der Variablen  und möglicherweise weiteren Variablen (Parametern) .

 Existenz: 

Das Existenzaxiom fordert, dass es wenigstens eine Menge im Mengenuniversum gibt.

 Extensionalität: 

Das Extensionalitätsaxiom beschreibt den quantitativen Aspekt des Mengenbegriffs, enthalten zwei Mengen dieselben Elemente, so sind sie gleich.

 Aussonderung: 

Zu jeder Menge und zu jeder Eigenschaft kann man die Menge derjenigen Elemente aussondern, die diese Eigenschaft erfüllen, genauer:
Bei vorgegebener Formel  und gegebenen Parametern gibt es zu jeder Menge  die Menge , die genau aus denjenigen Elementen  aus  besteht, die der Eigenschaft  genügen. Dies ist kein einzelnes Axiom, sondern ein sogenanntes Schema von Axiomen, da man für jede Formel  ein Axiom erhält.

 Beschränktheit: .

Jede Menge liegt in einer Stufe.

 Kumulierung: 

Dabei steht  wie üblich für . In Worten besagt das Kumulierungsaxiom: Wenn  eine Stufe ist, so gilt für jedes  aus dieser Stufe, dass es eine in  enthaltene Stufe  gibt, in der  als Element oder als Teilmenge liegt.

 Reflexionsprinzip: 

Hier soll  alle Formeln ohne das Symbol  durchlaufen, es handelt sich also wieder um ein Schema von Axiomen. Der Ausdruck  bedeutet dabei

wobei  die durch Relativierung nach  aus  hervorgegangene Formel ist.

Die Gesamtheit dieser Axiome werde im Folgenden mit  bezeichnet.

Äquivalenz zu ZF 
Die ersten drei Axiome aus  sind auch ZF-Axiome, und die einleitenden Bemerkungen zeigen, dass die Festlegung  ein Prädikat definiert, das auch die übrigen drei -Axiome erfüllt. Umgekehrt kann man aus  alle ZF-Axiome herleiten, das heißt das Vereinigungsaxiom, Potenzmengenaxiom,  Unendlichkeitsaxiom, Fundierungsaxiom und das Schema der Ersetzungsaxiome.

In  kann man daher wie in ZF Ordinalzahlen und die Von-Neumann-Hierarchie der  einführen. In  gilt dann der Satz:
 .
Damit sind die Axiomensysteme ZF und  gleichwertig. In beiden Axiomatisierungen lassen sich dieselben Sätze beweisen, wobei das in ZF fehlende  durch  zu ersetzen ist.

Literatur 
 Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre, Spektrum Verlag 2003, ISBN 3-8274-1411-3, insbesondere Kapitel X, §3
 Dana Scott: Axiomatizing set theory in Axiomatic Set Theory II, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 13 (1974), American Mathematical Society, Seiten 207–214

Mengenlehre