Gruppen-C*-Algebra
Gruppen-C*-Algebren werden in den mathematischen Teilgebieten der harmonischen Analyse und Funktionalanalysis untersucht. Einer lokalkompakten Gruppe wird in natürlicher Weise eine C*-Algebra zugeordnet, so dass diese die Darstellungstheorie der Gruppe enthält.

Unitäre Darstellungen lokalkompakter Gruppen

Definition 
Für einen Hilbertraum  bezeichne  die C*-Algebra der beschränkten linearen Operatoren auf  und  die multiplikative Gruppe der unitären Operatoren.

Es sei  eine lokalkompakte Gruppe. Eine unitäre Darstellung von  auf einem Hilbertraum  ist ein Homomorphismus , der bezüglich der schwachen Operatortopologie stetig ist.

Die linksreguläre Darstellung 
Um eine erfolgreiche Theorie unitärer Darstellungen aufbauen zu können, muss es genügend viele solcher Darstellungen geben, um die Gruppe treu, das heißt injektiv, darstellen zu können. Das wird durch die linksreguläre Darstellung geleistet. Zu einer lokalkompakten Gruppe  gibt es bekanntlich ein links-Haarmaß . Daher kann man den Hilbertraum  konstruieren, den man unter Auslassung des Haarschen Maßes kurz als  schreibt. Für jedes  sei nun  durch  definiert, wobei  und  seien.

Aus der Linksinvarianz des Haarschen Maßes folgt, dass die  unitäre Operatoren sind. Man zeigt, dass  eine unitäre Darstellung ist; dies ist die sogenannte linksreguläre Darstellung.

Bemerkung: Würde man in der Formel  das  auf der rechten Seite durch  ersetzen, so erhielte man immer noch unitäre Operatoren, aber  wäre kein Homomorphismus, man hätte in „falscher Reihenfolge“ . Die Verwendung von  in obiger Formel bringt die Reihenfolge in Ordnung.

Die Gruppenalgebra 
Wie in der algebraischen Darstellungstheorie werden die Gruppendarstellungen auf Darstellungen zugehöriger Algebren ausgedehnt, weil Darstellungen von Algebren leichter zu handhaben sind.

Zur lokalkompakten Gruppe  mit links-Haarschem Maß  betrachtet man den -Banachraum . Für  definiert man  und  durch die Formeln

 ,
 ,

wobei der Querstrich für die komplexe Konjugation steht und  die modulare Funktion von  ist. Man zeigt, dass , die sogenannte Faltung aus  und , fast überall definiert ist, und dass  mit der Faltung als Produkt und der Involution  eine Banach-*-Algebra mit Approximation der Eins ist.

Zu jeder unitären Darstellung  der Gruppe konstruiert man 
eine Darstellung , wobei  durch folgende Formel definiert wird:

.

Man kann zeigen, dass die so definierte Darstellung  eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung ist, die auch mit der Involution verträglich ist, das heißt, es gilt  für alle -Funktionen , wobei der * auf der rechten Seite die Involution in der C*-Algebra  ist.

Ist umgekehrt  eine nicht-degenerierte *-Darstellung, so gibt es genau eine unitäre Darstellung , so dass sich  gemäß obiger Konstruktion aus  ergibt. Daher ist die Darstellungstheorie von  äquivalent zu derjenigen von .

Die Gruppen-C*-Algebra

Definition 
Es sei  die universelle Darstellung von .
Die Gruppen-C*-Algebra  einer lokalkompakten Gruppe  ist als der Normabschluss von  in  definiert. 
Ist also  irgendeine nicht-degenerierte *-Darstellung, so gibt es nach Konstruktion einen surjektiven Homomorphismus , wobei der Querstrich für den Normabschluss in  steht.

Der kommutative Fall 
Ist beispielsweise  kommutativ und  die Dualgruppe, so definiert jedes  via Pontrjagin-Dualität einen Homomorphismus . Der durch  definierte Multiplikationsoperator  auf  ist unitär, da  nur Werte vom Betrag 1 annimmt. Man erhält daher eine unitäre Darstellung , was zu einer nicht-degenerierten *-Darstellung  führt, deren Normabschluss isomorph zur C*-Algebra  der im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen  ist. Nach obiger Konstruktion erhält man also einen surjektiven Homomorphismus , von dem man zeigen kann, dass er sogar ein Isomorphismus ist; man hat also die Formel .

Im Allgemeinen liegen nicht so einfache Verhältnisse vor, was auch daran liegt, dass der Hilbertraum der universellen Darstellung unzugänglich ist.

Die reduzierte Gruppen-C*-Algebra 
Um den mit der universellen Darstellung verbundenen Schwierigkeiten aus dem Wege zu gehen, liegt es nahe, die linksreguläre Darstellung  zu betrachten, denn dann hat man es nur mit dem Hilbertraum  zu tun.
Die zugehörige Darstellung  ist nichts weiter als die Faltung: , wobei  und .
Den Normabschluss von  in  nennt man die reduzierte Gruppen-C*-Algebra und bezeichnet diese mit .

Nach oben vorgestellter Konstruktion setzt sich die linksreguläre Darstellung zu einem surjektiven Homomorphismus  fort. Dieser ist im Allgemeinen nicht injektiv, obwohl die linksreguläre Darstellung von  es ist. Man kann zeigen, dass dieser genau dann ein Isomorphismus ist, wenn die Gruppe mittelbar ist.

Die reduzierte Gruppen-C*-Algebra enthält nicht die volle Darstellungstheorie der Gruppe, sofern diese nicht mittelbar ist, wie das Beispiel  der von zwei Elementen frei erzeugten Gruppe zeigt. Man kann beweisen, dass  viele endlichdimensionale Darstellungen besitzt, wohingegen  einfach ist und daher keine endlichdimensionalen Darstellungen besitzen kann.

Einzelnachweise 

Algebra (Struktur)
Funktionalanalysis