Primonengas
Das Primonengas ist ein Beispielmodell, das einzelne Konzepte aus der Quantenphysik, der Physik der Wärme und der Zahlentheorie verbindet. Es besteht aus hypothetischen Teilchen, den Primonen, die so heißen, weil ihre Energie von Primzahlen bestimmt wird.

Übersicht 

Die Idee des Primonengases geht zurück auf Bernard Julia.

Primonen sind Bosonen und wechselwirken nicht miteinander, beispielsweise stoßen sie nicht miteinander zusammen.

Quantentheoretische Beschreibung

Einzelnes Primon 

Die Eigenzustände der einzelnen Teilchen haben Energien, die proportional zu den Logarithmen  der Primzahlen sind:

mit

Bei dieser „Nummerierung“ der Eigenzustände mit einer Teilmenge der natürlichen Zahlen werden keine Eigenzustände „weggelassen“; sie ist lediglich eine praktische Namensgebung.

Vielteilchensystem 

Ein Eigenzustand eines Systems aus beliebig vielen Primonen kann, da es sich um Bosonen handelt, so beschrieben werden: im Zustand zur Primzahl  befinden sich  Teilchen (Fockraum).

Dies ist analog zur Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl , bei der der Primfaktor  in der -ten Potenz auftritt. Da jede natürliche Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat (Fundamentalsatz der Arithmetik), entspricht jede natürliche Zahl  einem Zustand des Primonengases und umgekehrt. Die Zahl  enthält dabei die gesamte Information über die Besetzungszahlen der Einteilchenzustände (sie ist aber nicht die Gesamtzahl der Primonen). Es liegt daher nahe, den Zustand durch diese Zahl  zu benennen.

mit

Die Energie des Vielteilchenzustandes ist

Beispiele 

 Der Zustand  enthält keine Primonen und hat die Gesamtenergie 0.
 Der Zustand  enthält acht Teilchen im Zustand 2 (dem niedrigsten Einteilchenzustand) und hat die Energie .
 Der Zustand  enthält drei Teilchen im Zustand 2, zwei Teilchen im Zustand 3 und ein Teilchen im Zustand 5. Die Gesamtenergie ist .

Thermodynamische Beschreibung 

Die kanonische Zustandssumme  ist gleich der Riemannschen Zeta-Funktion:

Dabei ist ,  die Boltzmann-Konstante und  die Temperatur in Kelvin. Die Divergenz der Zeta-Funktion bei  entspricht der Divergenz der Zustandssumme bei der Hagedorn-Temperatur .

Fermionen 

Man kann alternativ auch fermionische Primonen betrachten.

Dabei kann jeder Einteilchenzustand nur einmal besetzt sein. Auch dies führt zu einer interessanten zahlentheoretischen Aussage: die Zahlen  müssen dann nämlich quadratfrei sein.

Einzelnachweise

Weblinks 
 John Baez: This Week's Finds in Mathematical Physics, Week 199. 8. Dezember 2003 (engl.)

Zahlentheorie
Quantenfeldtheorie