Mannigfaltigkeit mit Rand
Eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt sich hierbei nicht um einen Spezialfall einer Mannigfaltigkeit, sondern ganz im Gegenteil um eine Verallgemeinerung. Viele Strukturen, welche man auf einer Mannigfaltigkeit definieren kann, lassen sich auf Mannigfaltigkeiten mit Rand übertragen.

Eine Mannigfaltigkeit ohne Rand ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand, bei der der Rand die leere Menge ist.

Definitionen

Mannigfaltigkeit mit Rand 
Mit 

wird hier der obere Halbraum bezeichnet. Dieser ist mit der Teilraumtopologie von  versehen, insbesondere ist also  als Ganzes sowohl eine offene als auch eine abgeschlossene Menge.

Eine -dimensionale topologische Mannigfaltigkeit mit Rand ist ein Hausdorff-Raum, welcher dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt und in dem jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die zu einer offenen Teilmenge des oberen Halbraums  homöomorph ist.

Verallgemeinerte Karte 
Eine offene Teilmenge  zusammen mit einem Homöomorphismus , wobei  offen in  ist, wird verallgemeinerte Karte genannt.

Rand 
Der Rand von  in  ist die Menge der Punkte mit . Ist  eine berandete Mannigfaltigkeit so nennt man die Punkte, welche von einer (dann notwendigerweise jeder) Kartenabbildung auf einen Punkt von  abgebildet werden, einen Randpunkt von . Die Menge aller Randpunkte wird mit  bezeichnet.

Die Zusammenhangskomponenten von  heißen Randkomponenten.

Strukturen

Differenzierbare Struktur 
Ähnlich wie auf einer unberandeten Mannigfaltigkeit kann man auch auf einer Mannigfaltigkeit mit Rand eine differenzierbare Struktur definieren. Diese besteht aus einer Überdeckung mit verallgemeinerten Karten. Wobei für alle Paare solcher Karten  und  die Abbildung

ein Diffeomorphismus sein muss. Falls die Definitionsmenge  von  noch Randpunkte von  enthält, so muss man eine offene Menge aus , welche  enthält aber nicht mehr in  liegt, wählen, um  auf Differenzierbarkeit zu untersuchen. Es ist natürlich auch nicht möglich, für jede Mannigfaltigkeit mit Rand eine differenzierbare Struktur zu definieren. Mannigfaltigkeiten mit Rand können wie normale Mannigfaltigkeiten auch mehrere, unterschiedliche differenzierbare Strukturen haben.

Orientierung 
Bei einer berandeten (differenzierbaren) Mannigfaltigkeit  ist der Rand  eine Untermannigfaltigkeit von . Wird vorausgesetzt, dass  orientierbar ist, dann ist auch der Rand  orientierbar. Dies ist nicht selbstverständlich, da es Untermannigfaltigkeiten gibt, die nicht orientierbar sind.

Satz von Stokes 

Mithilfe berandeter Mannigfaltigkeiten kann man den stokesschen Integralsatz prägnant und elegant formulieren. Sei  eine orientierte, n-dimensionale, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und sei  eine Differentialform vom Grad , welche kompakten Träger hat, dann gilt

Hat  keinen Rand, so ist das rechte Integral null und ist  eine eindimensionale Mannigfaltigkeit so ist das rechte Integral eine endliche Summe.

Mannigfaltigkeit mit Ecken

Definition 

Sei  die Menge aller Punkte des , bei denen sämtliche Koordinaten nichtnegativ sind:

Diese Teilmenge ist homöomorph, jedoch nicht diffeomorph zu . Sei  eine (topologische) Mannigfaltigkeit mit Rand. Eine Mannigfaltigkeit mit Ecken ist eine Mannigfaltigkeit, welche lokal diffeomorph zu offenen Teilmengen des  ist. In diesem Fall heißen die Karten von  Karten mit Ecken. Eine Karte mit Ecken ist also ein Paar , wobei  eine offene Teilmenge von  und  ein Homöomorphismus ist. Zwei Karten mit Ecken  und  heißen verträglich, falls  glatt ist.

Eine glatte Struktur mit Ecken auf einer topologischen Mannigfaltigkeit mit Rand ist die maximale Menge aller verträglichen Karten mit Ecken, welche  überdecken. Eine topologische Mannigfaltigkeit mit Rand zusammen mit einer glatten Struktur mit Ecken heißt Mannigfaltigkeit mit Ecken.

Anmerkungen 
Da  homöomorph zu  ist, sind Mannigfaltigkeiten mit Rand und Mannigfaltigkeiten mit Ecken topologisch nicht zu unterscheiden. Aus diesem Grund macht es auch keinen Sinn, eine Mannigfaltigkeit mit Ecken ohne differenzierbare Struktur zu definieren. Ein Beispiel für eine Mannigfaltigkeit mit Ecken sind Rechtecke.

Literatur 
 John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.

Differentialtopologie
Mannigfaltigkeit