Identifizierbarkeit
Als Identifizierbarkeit eines Modells bezeichnet man in der Statistik und insbesondere in der Ökonometrie die Eigenschaft von Schätzmodellen, dass Inferenzstatistik auf sie anwendbar ist.

Ein Modell ist dann identifizierbar, wenn es theoretisch möglich ist, die dem Modell zugrundeliegenden wahren Werte zu ermitteln, indem unendlich viele Beobachtungen gemacht wurden (gezogen wurden). Mathematisch bedeutet das, dass unterschiedliche Werte der Parameter des Modells unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsfunktionen der beobachtbaren Variablen erzeugen.

In der Praxis, wo endlich viele Beobachtungen vorliegen, ist die Identifizierbarkeit eines Modells durch die Anzahl der zu schätzenden Parameter, die Anzahl der Beobachtungen und Anzahl der damit verbundenen Freiheitsgrade beschränkt.

Geschichte des Begriffs 
Der Begriff Identifizierbarkeit wurde von dem Ökonometriker Tjalling Koopmans um 1945 in Bezug auf die ökonomische Identität einer Beziehung innerhalb eines Beziehungssystems geprägt. Der Begriff erschien darauf unmittelbar in der Ökonometrie-Literatur, obwohl Koopmans eigene Darstellung des Themas – seine „Identifikationsprobleme im ökonomischen Modellbau“ – erst 1949 erschien. Um 1950 wurde der Begriff von Statistikern aufgegriffen und in einem allgemeineren Sinn verwendet, siehe z. B. Jerzy Neymans Existence of Consistent Estimates of the Directional Parameter in a Linear Structural Relation Between Two Variables.

Definition 
Sei  ein statistisches Modell mit einem (möglicherweise unendlich-dimensionalen) Parameterraum . Dann heißt  identifizierbar, wenn die Abbildung  injektiv ist. Es soll also gelten:
 .

Verschiedene Werte von  sollen also unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen entsprechen.

Wenn die Verteilungen über Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen definiert sind, dann werden diese als unterschiedlich angesehen, wenn sie sich auf einer Menge von positivem Lebesgue-Maß unterscheiden. (Beispielsweise werden zwei Funktionen, die sich nur in einem Punkt unterscheiden, in diesem Sinne nicht als unterschiedlich Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen angesehen.)

Diese Identifizierbarkeit des Modells im Sinne der Invertierbarkeit von  ist äquivalent dazu, dass die wahren Parameter des Modells bestimmbar sind, wenn man das Modell unendlich lange beobachten kann. Denn wenn  die Folge der Beobachtungen ist, dann folgt aus dem starken Gesetz der großen Zahlen
 
für jede messbare Menge , wobei  die Indikatorfunktion einer Menge bezeichnet. Mit einer unendlichen Anzahl von Beobachtungen kann man also die wahre Wahrscheinlichkeitsverteilung  und wegen der Invertierbarkeit der Abbildung  auch den wahren Wert des Parameters  bestimmen.

Beispiele

Normalverteilungen 
Sei  die Familie der  Normalverteilungen, die eine Lage-Skalen-Familie bildet
 .
Dann ist
 .
Dieser Ausdruck ist genau dann fast überall null, wenn alle seine Parameter null sind, was nur für  und  möglich ist. Weil der Skalenparameter  positiv ist, ist das Modell identifizierbar: .

Multiples lineares Regressionsmodell 
Sei  das das klassische Modell der linearen Mehrfachregression , mit  dem  Vektor der unbekannten Regressionsparameter, der  Versuchsplanmatrix , dem  Vektor der abhängigen Variablen  und dem  Vektor der Störgrößen . Dann ist der Parameter  genau dann identifizierbar, wenn die Matrix  invertierbar ist.

Klassisches Fehler-in-den-Variablen-Modell 
Sei  das klassische Fehler-in-den-Variablen-Modell
 
wobei  gemeinsam normalverteilte unabhängige Zufallsvariablen mit Erwartungswert null und unbekannter Varianz sind und nur die Variablen  beobachtet werden.

Dieses Modell ist nicht identifizierbar. Jedoch ist das Produkt  (wobei  die Varianz des latenten Regressors  ist) identifizierbar.

In diesem Beispiel kann zwar nicht der exakte Wert von  identifiziert werden, jedoch kann man garantieren, dass er im Intervall  liegen muss, wobei  und  die Koeffizienten sind, die mittels einer gewöhnlichen Kleinste-Quadrate-Schätzung von  auf  bzw.  auf  gewonnen wurden.

Literatur

Einzelnachweise 

Regressionsanalyse
Zeitreihenanalyse
Schätztheorie