Satz von Vidav-Palmer
Der Satz von Vidav-Palmer, benannt nach Ivan Vidav und Theodore W. Palmer, ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er charakterisiert die C*-Algebren unter den Banachalgebren und ermöglicht als Korollar eine weitere Charakterisierung unter allen Banach-*-Algebren, was zu einer Abschwächung der üblichen C*-Bedingung führt. Wesentliches Hilfsmittel ist die Verallgemeinerung des Begriffs des selbstadjungierten Elementes zum Begriff des hermiteschen Elements (s. u.) mit Hilfe des numerischen Wertebereichs.

Hermitesche Elemente 
Es sei  eine komplexe Banachalgebra mit Einselement . Für  wird

als numerischer Wertebereich des Elements  bezeichnet. Man nennt  hermitesch, wenn  und notiert als  die Menge der hermiteschen Elemente. 
Man kann zeigen, dass  ein reeller Banachraum ist und dass für ein  folgende Aussagen äquivalent sind:

 , das heißt  ist hermitesch.
  
  für alle reellen Zahlen .

Zur Bildung von  ist zu beachten, dass die zugehörige Exponentialreihe in der Banachalgebra  konvergiert.

Nach einem Satz von A. M. Sinclair stimmt der Spektralradius eines hermiteschen Elements mit seiner Norm überein. Daraus ergibt sich, dass die konvexe Hülle des Spektrums mit dem numerischen Wertebereich übereinstimmt. Letzteres ist auch als Vidavs Lemma bekannt und wurde zuvor von Vidav ohne den erwähnten Satz von Sinclair bewiesen. Beide Beweise verwenden funktionentheoretische Hilfsmittel, insbesondere den Satz von Phragmén-Lindelöf.

Formulierung des Satzes 
Der Satz von Vidav-Palmer lautet:

 Sei  eine komplexe Banachalgebra mit Einselement und es gelte . Dann definiert  für  eine Involution, die  zu einer C*-Algebra macht.

Der ursprünglich von Vidav bewiesene Satz enthielt die zusätzliche Voraussetzung, dass  für alle  gelten muss; von Palmer wurde gezeigt, dass diese entbehrlich ist.

Folgerung 
Mit dem Satz von Vidav-Palmer lässt sich folgende Charakterisierung der C*-Algebren beweisen, die ursprünglich auf James Glimm und Richard Kadison zurückgeht:

 Eine komplexe Banachalgebra  mit einer Involution * ist genau dann eine C*-Algebra, wenn  für alle  gilt. 

Der Satz von Vidav-Palmer liefert dieses Ergebnis eigentlich nur für Banachalgebren mit Einselement, die Version ohne Einselement geht auf B. J. Vowden zurück. Die in obigem Satz gestellte Bedingung ist formal schwächer als die übliche C*-Bedingung   für alle . Der Satz zeigt daher, dass durch die schwächere Bedingung keine neue Klasse von Banachalgebren begründet wird.

Einzelnachweise 

Funktionalanalysis
Vidav-Palmer, Satz von