Aleph-Funktion
Die Aleph-Funktion, benannt nach dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als  geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung aller unendlichen Kardinalzahlen.

Definition 
Die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen ist unter Verwendung des Auswahlaxioms in der Klasse  der Ordinalzahlen enthalten, wobei jede Kardinalzahl  mit der kleinsten zu  gleichmächtigen Ordinalzahl identifiziert wird. Ferner ist das Supremum einer Menge von Kardinalzahlen stets wieder eine Kardinalzahl. Daher gibt es genau einen Ordnungsisomorphismus  von  auf die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen. Den Wert von  an der Stelle  bezeichnet man mit , das heißt,  ist die -te unendliche Kardinalzahl. 

Die Aleph-Funktion lässt sich mit transfiniter Rekursion wie folgt definieren:
  ist kleinste unendliche Ordinalzahl und damit auch kleinste unendliche Kardinalzahl,
 , also die kleinste Kardinalzahl, die größer als  ist,
  für Limes-Ordinalzahlen .

Eigenschaften 
Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist , die Kardinalität der abzählbar unendlichen Mengen. Die Nachfolger-Kardinalzahl, das heißt die kleinste Kardinalzahl größer als , ist , und so weiter. Die Frage, ob  gleich der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ist, ist als Kontinuumshypothese bekannt.

Allgemein ist  eine Nachfolger-Kardinalzahl, falls  eine Nachfolger-Ordinalzahl ist, anderenfalls eine Limes-Kardinalzahl.

Üblicherweise bezeichnet  die kleinste unendliche Ordinalzahl. Diese ist gleich , aber als Index für die Aleph-Funktion verwendet man lieber die Ordinalzahl-Schreibweise.  ist damit die kleinste Limes-Kardinalzahl und kann als  geschrieben werden.

Es gilt stets  für alle Ordinalzahlen . Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen , für die  gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge , der informal als  dargestellt wird. Ebenso sind schwach unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Aleph-Funktion.

Siehe auch 
 Anfangszahl
 Beth-Funktion
 Gimel-Funktion

Literatur 
 Georg Cantor: Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Arbeiten zur Mengenlehre aus den Jahren 1872–1884 (= Teubner-Archiv zur Mathematik. Bd. 2, ). Herausgegeben und kommentiert von G. Asser. Teubner, Leipzig, 1884.
 Thomas Jech: Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.

Kardinalzahl (Mathematik)