Beth-Funktion
Die Beth-Funktion, benannt nach dem zweiten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als  geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung gewisser unendlicher Kardinalzahlen.

Definition 
Die Beth-Funktion ordnet jeder Ordinalzahl  eine wie folgt rekursiv definierte Kardinalzahl  zu:

 , wobei  die kleinste unendliche Kardinalzahl ist, siehe Aleph-Funktion.
  für Nachfolger-Ordinalzahlen . Dabei steht die rechte Seite für die Potenz von Kardinalzahlen.
  für Limes-Ordinalzahlen .

Bemerkungen 
Die Kontinuumshypothese ist gleichbedeutend mit , denn  ist definitionsgemäß die Mächtigkeit der Potenzmenge einer abzählbaren Menge und daher gleichmächtig zum Kontinuum . Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese ist äquivalent zu , das heißt  für alle Ordinalzahlen .

Eine Limes-Kardinalzahl  heißt ein starker Limes, wenn  für alle Kardinalzahlen . Eine Kardinalzahl  ist genau dann eine starke Limes-Kardinalzahl, wenn  für eine Limes-Ordinalzahl .

Es gilt stets  für alle Ordinalzahlen . Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen , für die  gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge , der informal als  dargestellt wird. Ebenso sind stark unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Beth-Funktion.

Einzelnachweise 

Kardinalzahl (Mathematik)