Dualität von Lp-Räumen
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Unter Dualität von Lp-Räumen, kurz Lp-Dualität, versteht man eine Reihe von Sätzen aus dem mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis, die sich mit den Dualräumen von Lp-Räumen beschäftigen, wobei  eine reelle Zahl ist. Die wesentliche Aussage lautet, dass Dualräume von  Lp-Räumen wieder von dieser Art sind, nämlich Lq-Räume, wobei  sein muss. Das heißt, in einprägsamer Form gilt .

Der Fall p > 1 
Es sei  der sogenannte zu  konjugierte Exponent, das heißt diejenige Zahl , für die  gilt. Dies ist äquivalent mit . Ist weiter  ein Maßraum, dann kann man die Banachräume  und  über dem Körper  bilden, wobei  für  oder  steht. Wie üblich werden fast überall übereinstimmende Funktionen ohne weitere Hinweise identifiziert, um eine umständliche Sprech- und Schreibweise über Äquivalenzklassen von Funktionen zu vermeiden.
Nach der Hölderschen Ungleichung gilt

 für alle ,

wobei   die Norm auf dem Lp-Raum bezeichnet und entsprechend . Diese Abschätzung zeigt, dass

ein beschränktes lineares Funktional auf , also ein Element des Dualraums  ist, mit . Mit Hilfe des Satzes von Radon-Nikodým kann man zeigen, dass jedes beschränkte lineare Funktional auf  von dieser Form ist und dass für die Normen sogar Gleichheit gilt. Man hat daher folgenden Satz:

 Es seien  ein Maßraum und . Dann ist die Abbildung
 
 ein isometrischer Isomorphismus.

Genau dieser Isomorphismus ist gemeint, wenn man kurz  schreibt.

Da  und  ja in einer symmetrischen Beziehung zueinander stehen, ergibt sich aus diesem Satz sofort
.
Verwendet man die im Satz angegebenen Isomorphismen, so erkennt man, dass es sich hier um die kanonische Einbettung von  in seinen Bidualraum handelt. Die  Lp-Räume sind also reflexiv.

Obiger Satz, der manchmal nicht ganz korrekt als Satz von Riesz zitiert wird, hat mehrere Väter. Der bereits 1907 bewiesene Hilbertraum-Fall  geht auf M. Fréchet zurück. Das Einheitsintervall steht hier für den Maßraum [0,1] mit der Borelschen σ-Algebra und dem auf [0,1] eingeschränkten Lebesgue-Maß. Die Verallgemeinerung dieses Ergebnisses auf beliebige Hilberträume ist auch als Darstellungssatz von Fréchet-Riesz (oder Rieszscher Darstellungssatz) bekannt.
F. Riesz hat drei Jahre später den Fall  für  bewiesen. Das wurde dann von O. M. Nikodým auf den Fall endlicher Maßräume verallgemeinert. Der allgemeinste Fall eines beliebigen Maßraums wurde schließlich 1950 von E. J. McShane behandelt.

Ein sehr einfacher Spezialfall sind die Folgenräume , die man erhält, wenn man  und für  das Zählmaß nimmt. Die Elemente aus  werden als Folgen  geschrieben, wobei eine solche Folge für die -Funktion  steht. Für die Dualität zwischen  und  erhält man an Stelle obiger Integrale eine Summe:
 für alle  und .
Diese Aussage kann auch ohne maßtheoretischen Aufwand bewiesen werden.

Der Fall p = 1 
Ein entsprechender Satz über den Dualraum von  L1-Räumen gilt nicht in voller Allgemeinheit. Bildet man den zu 1 konjugierten Exponenten, so muss man  nehmen. H. Steinhaus konnte 1919 in der Tat

zeigen, wobei die isometrische Isomorphie durch den zum oben definierten Operator  analogen Operator vermittelt wird.
Die zusätzliche Schwierigkeit besteht letztlich darin, dass die auftretenden Räume, von trivialen Ausnahmen abgesehen, nicht mehr reflexiv sind. Es lässt sich aber noch folgender Satz zeigen:

 Es sei  ein -endlicher Maßraum. Dann ist die Abbildung
 
 ein isometrischer Isomorphismus.

Auf die zusätzliche Voraussetzung der -Endlichkeit des Maßraums kann nicht verzichtet werden. Betrachtet man zum Beispiel auf  die -Algebra  derjenigen Mengen, die abzählbar sind oder deren Komplement abzählbar ist, und als Maß  das Zählmaß, so ist  der Raum aller Funktionen , die höchstens an abzählbar vielen Stellen von null verschieden sind und für die  gilt. Offenbar ist durch  ein beschränktes lineares Funktional auf  definiert. Wäre dieses von der Form  für ein , so müsste  konstant gleich 1 auf  und konstant gleich 0 auf  sein. Eine solche Funktion ist aber nicht -messbar. Daher kann in diesem Beispiel die im Satz beschriebene Isomorphie nicht bestehen.

Es gibt aber eine wichtige Situation, die auch gewisse nicht--endliche Maßräume umfasst, in der man dennoch zu einem befriedigenden Resultat kommt, nämlich die der lokalkompakten Gruppen. In der harmonischen Analyse ist folgender Satz wichtig:

 Es seien  eine lokalkompakte Gruppe,  die Borelsche -Algebra auf   und   ein reguläres Borelmaß auf . Dann ist
 
 ein isometrischer Isomorphismus.

Dabei heißt das Maß  regulär, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:
  für alle kompakten Teilmengen ,
  für alle offenen Teilmengen ,
  für alle Borelmengen .

Der Satz gilt also insbesondere auch für das Haarsche Maß auf , das heißt, man kann den Dualraum der Gruppenalgebra  auch für nicht--endliche Gruppen durch obigen Satz beschreiben.

Der Fall 0 < p < 1 
Für  ist [[Lp-Raum#Lp für p < 1|Lp(X,A,μ)]] zwar kein normierter Raum, aber immerhin ein vollständiger topologischer Vektorraum mit der Quasinorm

bzw. der Pseudonorm oder Fréchet-Metrik

Diese Räume sind im Allgemeinen nicht lokalkonvex, der Satz von Hahn-Banach also im Allgemeinen nicht anwendbar, sodass es möglicherweise „sehr wenige“ lineare stetige Funktionale gibt. Insbesondere ist nicht gesichert, dass die schwache Topologie auf  Punkte trennen kann.

Prototypisch ist das Beispiel  mit der Borel-Algebra  über dem Intervall   und dem Borel-Lebesgue-Maß . Hier sind die einzigen konvexen offenen Mengen die leere Menge  und der gesamte Raum  selbst. Da Urbilder konvexer offener Mengen in  unter einem linearen stetigen Funktional konvexe offene Mengen in  sind, folgt, dass das Nullfunktional das einzige lineare stetige Funktional ist. Der Dualraum ist somit trivial:
.
Insbesondere ist in diesem Raum die Aussage des Trennungssatzes nicht gültig, da sich keine zwei Punkte durch eine abgeschlossene Hyperebene trennen lassen. Die schwache Topologie auf  ist indiskret.

Es gibt aber auch weniger extreme Beispiele, wie die Folgenräume  mit dem Zählmaß . Diese Räume besitzen zwar nichttriviale absolutkonvexe offene Mengen, aber nicht genug um eine Nullumgebungsbasis zu bilden: Da jede konvexe offene Menge in  unbeschränkt ist, sind auch die  nicht lokalkonvex. Trotzdem gibt es „viele“ lineare stetige Funktionale. Es gilt nämlich für :

Die Inklusion „“ sieht man leicht, denn für  und  gilt:

Für ,  und  das Zählmaß, also  mit der -Quasinorm, ist die Topologie auf diesem Raum sogar mit der üblichen Topologie des  identisch, da es auf jedem endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraum genau eine Hausdorff-Topologie gibt, die den Raum zu einem topologischen Vektorraum macht. Obwohl die Kugeln in der erzeugenden Quasinorm nicht konvex sind, erzeugt diese eine lokalkonvexe Topologie:

Der Satz von Hahn-Banach ist anwendbar und der Dualraum wieder , wie im euklidischen bzw. unitären Fall. Die schwache Topologie ist aus den gleichen Gründen wie oben mit der -Quasinormtopologie sowie der üblichen Topologie identisch.

Banachraum-wertige Lp-Funktionen 

Ist neben dem Maßraum  noch ein Banachraum  gegeben, so kann man den Raum  aller -messbaren Funktionen , für die das Integral  endlich ist, bilden, wobei wie üblich fast überall übereinstimmende Funktionen identifiziert werden (siehe auch Bochner-Integral). Die Norm

macht  zu einem Banachraum. Sind nun  und , so kann man

bilden, und es gilt:

.

Man erhält daher wieder eine Abbildung

und man kann folgenden Satz zeigen:

 Sind  ein Maßraum,  ein separabler, reflexiver Banachraum und  sowie  der zu  konjugierte Exponent, so ist
 
 ein isometrischer Isomorphismus.

Es gilt also die erwartete und leicht einprägsame Formel
.

Gewichtete lp-Räume 

Es sei eine Folge  positiver Zahlen, sogenannter Gewichte, gegeben. Der zugehörige gewichtete  -Raum ist der Folgenraum

mit der Norm
.
Dies ist nichts anderes als der Raum , wobei das Maß  durch  definiert ist. Wendet man darauf obigen Satz über die Lp-Dualität an, erhält man einen isometrischen Isomorphismus

.

In der Theorie der Folgenräume betrachtet man aber lieber eine durch den Ausdruck
 gegebene Dualität, das heißt, man möchte die Faktoren  vermeiden. Dazu muss man von der Folge  zur Folge  übergehen. Da , gilt

 ,

wobei  für die aus den Kehrwerten der  gebildete Folge von Gewichten steht. Man erhält also einen isometrischen Isomorphismus
.
Kombiniert man diesen mit obigem isometrischen Isomorphismus , so gelangt man zu:

 Es seien  eine Folge von Gewichten,  und  der zu  konjugierte Exponent. Dann ist
 
 ein isometrischer Isomorphismus.

Dieser isometrische Isomorphismus ist gemeint, wenn man

schreibt. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass dieser nicht der isometrische Isomorphismus aus dem allgemeinen Satz über Lp-Dualität ist, außer wenn alle Gewichte gleich 1 sind.

Einzelnachweise 

Funktionalanalysis