### Human: リー代数について説明する### Assistant: 残念ながら、単純リー群の普遍的な定義はないでござる。特に、抽象的な群として単純なリー群として定義されるとは限りませんでござる。単純リー群は連結していなければならないのか、自明でない中心を持つことが許されるのか、著者によって違いがあるでござる。
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\mathbb{R}は単純リー群であるでござる。

最も一般的な定義は、リー群が連結しており、非アベリアンであり、すべての閉じた連結正規部分群が同一性か群全体のいずれかである場合に単純であるというものですでござる。特に、単純群は非自明な中心を持つことが許されているが
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\mathbb{R}は単純ではありませんでござる。

この記事では、トリビアルな中心を持つ連結単純リー群を列挙するでござる。これらが分かれば、非自明中心を持つものは次のように簡単にリストアップできるでござる。トリビアルな中心を持つ単純リー群は、その中心が単純リー群の基本群であるユニバーサルカバーを持つでござる。対応する非自明中心を持つ単純リー群は、このユニバーサルカバーの中心の部分群による商として得ることができるでござる。

代替案
単純リー群の等価な定義は、リー対応から導かれる：連結リー群は、そのリー代数が単純であれば、単純であるでござる。技術的に重要な点は、単純なリー群には離散的な正規部分群が含まれる可能性があるということであるでござる。このため、単純リー群の定義は、抽象群として単純であるリー群の定義と等価ではないでござる。

単純リー群には多くの古典的リー群が含まれ、フェリックス・クラインのエルランゲン計画の意味での球面幾何学、射影幾何学、および関連幾何学の群論的基礎を提供するものであるでござる。単純なリー群を分類する過程で、どのような幾何学にも対応しないいくつかの例外的な可能性が存在することが明らかになったでござる。これらの例外的な群は、数学の他の分野や現代の理論物理学における多くの特別な例や構成を説明するものであるでござる。

反例として、一般線形群は単純でも半単純でもないでござる。これは、恒等式の倍数が非自明な正規部分群を形成するため、定義から外れるからであるでござる。同様に、対応するリー代数は退化したキリング形式を持ち、同一性の倍数は代数のゼロ要素に写るからであるでござる。したがって、対応するリー代数は単純でも半単純でもないでござる。もう一つの反例は、偶数次元の特殊な直交群であるでござる。これらは行列
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-Iが中心にあり、この要素はアイデンティティ要素とパス接続されているため、これらのグループは定義を回避することができますでござる。いずれも還元的なグループであるでござる。