,
(–1)1 + 3 a13 
21
22
31
32
a
a
a
a
Step 4 Now the expansion of determinant of A, that is, | A | written as sum of all three
terms obtained in steps 1, 2 and 3 above is given by
det A = |A| = (–1)1 + 1 a11 
22
23
21
23
1
2
12
32
33
31
33
(–1)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
         + 
21
22
1
3
13
31
32
(–1)
a
a
a
a
a
+
or
|A| = a11 (a22 a33 – a32 a23) – a12 (a21 a33 – a31 a23)
+ a13 (a21 a32 – a31 a22)
Rationalised 2023-24
DETERMINANTS     79
= a11 a22 a33 – a11 a32 a23 – a12 a21 a33 + a12 a31 a23 + a13 a21 a32
– a13 a31 a22 (1)
ANote  We shall apply all four steps together Expansion along second row (R2)
| A | =
11
12
13
31
32
33
a
a
a
a
a
a
21
22
23
a
a
a
Expanding along R2, we get
| A | =
12
13
11
13
2
1
2
2
21
22
32
33
31
33
(–1)
(–1)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
11
12
2
3
23
31
32
(–1)
a
a
a
a
a
+
+
= – a21 (a12 a33 – a32 a13) + a22 (a11 a33 – a31 a13)
– a23 (a11 a32 – a31 a12)
| A | = – a21 a12 a33 + a21 a32 a13 + a22 a11 a33 – a22 a31 a13 – a23 a11 a32
 
+ a23 a31 a12
= a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
– a13 a31 a22 (2)
Expansion along first Column (C1)
| A | =
12
13
22
23
32
33
11
21
31
a
a
a
a
a
a
a
a
a
By expanding along C1, we get
| A | =
22
23
12
13
1
1
2
1
11
21
32
33
32
33
(–1)
( 1)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
−
+ 
12
13
3
1
31
22
23
(–1)
a
a
a
a
a
+
= a11 (a22 a33 – a23 a32) – a21 (a12 a33 – a13 a32) + a31 (a12 a23 – a13 a22)
Rationalised 2023-24
 80
MATHEMATICS
| A | = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a21 a12 a33 + a21 a13 a32 + a31 a12 a23
– a31 a13 a22
= a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
– a13 a31 a22