Rationalised 2023-24
MATRICES         55
Solution We have 
1
1
1
1 3
1
0 1 3
2
4
2
1
AB
2
0
3
0 2
2
0
3 6
0 12
1 18
3
1
2
1 4
3
0
2 9
2
8
1 15
−
+
+
+
−

 






 





=
=
+
−
+
+
= −

 






 





−
−
+
−
−
+

 





(AB) (C)
2
2
4
0
6
2
8
1
2
1
1
2
3
4
1 18
1
36
2
0
3
36
4
18
2
0
2
1
1 15
1
30
2
0
3
30
4
15
+
+
−
−
+




−






= −
= − +
− +
− −
+






−






+
+
−
−
+




=
4
4
4
7
35
2
39
22
31
2
27
11
−




−
−




−


Now
BC =
1
6
2
0
3
6
4
3
1 3
1
2
3
4
0 2
0
4
0
0
0
4
0
2
2
0
2
1
1 4
1
8
2
0
3
8
4
4
+
+
−
− +




−






=
+
+
−
+






−






−
− +
− +
− −
+




=
7
2
3
1
4
0
4
2
7
2
11
8
−
−




−




−
−


Therefore
A(BC) =
7
2
3
1
1
1
1
2
0
3
4
0
4
2
3
1
2
7
2
11
8
−
−
−








−








−
−
−

 

=
7
4
7
2
0
2
3
4
11
1
2
8
14
0
21
4
0
6
6
0
33
2
0
24
21
4
14
6
0
4
9
4
22
3
2
16
+
−
+
+
− −
+
− +
−




+
+
+
−
− +
−
− +
+




−
+
+
−
− +
−
− −
+


=
4
4
4
7
35
2
39
22
31
2
27
11
−




−
−




−

 Clearly, (AB) C = A  (BC)
Rationalised 2023-24
 56
MATHEMATICS
Example 17 If 
0
6
7
0
1
1
2
A
6
0
8 , B
1
0
2 , C
2
7
8
0
1
2
0
3












= −
=
= −












−






Calculate AC, BC and (A + B)C Also, verify that (A + B)C = AC + BC
Solution Now, 
0
7
8
A+B
5
0
10
8
6
0




= −




−


So
(A + B) C =
0
7
8
2
0
14
24
10
5
0
10
2
10
0
30
20
8
6
0
3
16
12
0
28
−
+

 






 





−
−
= −
+
+
=

 






 





−
+
+

 





Further
AC =
0
6
7
2
0 12
21
9
6
0
8
2
12
0
24
12
7
8
0
3
14
16
0
30
−
+

 






 





−
−
= −
+
+
=

 






 





−
+
+

 





and
BC =
0
1
1
2
0
2
3
1
1
0
2
2
2
0
6
8
1
2
0
3
2
4
0
2
−
+

 






 





−
=
+
+
=

 






 





−
+
−

 





So
AC + BC =
9
1
10
12
8
20
30
2
28












+
=












−






Clearly,
(A + B) C = AC + BC
Example 18 If 
1
2
3
A
3
2
1
4
2
1




=
−






, then show that A3 – 23A – 40 I = O
Solution We have 
2
1
2
3
1
2
3
19
4
8
A
A A
3
2
1
3
2
1
1
12
8
4
2
1
4
2
1
14
6
15

 




 



=
=
−
−
=

 




 




 



Rationalised 2023-24
MATRICES         57
So
A3 = A A2 = 
1
2
3
19
4
8
63
46
69
3
2
1
1
12
8
69
6
23
4
2
1
14
6
15
92
46
63

 




 



−
=
−

 




 




 



Now
A3 – 23A – 40I = 
63
46
69
1
2
3
1
0
0
69
6
23 – 23 3
2
1 – 40 0
1
0
92
46
63
4
2
1
0
0 1












−
−


















=
63
46
69
23
46
69
40
0
0
69
6
23
69
46
23
0
40
0
92
46
63
92
46
23
0
0
40
−
−
−
−












−
+ −
−
+
−












−
−
−
−






=
63
23
40
46
46
0
69
69
0
69
69
0
6
46
40
23
23
0
92
92
0
46
46
0
63
23
40
−
−
−
+
−
+




−
+
− +
−
−
+




−
+
−
+
−
−


=
0
0
0
0
0
0
O
0
0
0



 =






Example 19 In a legislative assembly election, a political group hired a public relations
firm to promote its candidate in three ways: telephone, house calls, and letters