The existence of multiplicative identity For every square matrix A, there
exist an identity matrix of same order such that IA = AI = A Now, we shall verify these properties by examples Example 16 If 
1
1
1
1 3
1
2
3
4
A
2
0
3 , B
0 2
and C
2
0
2
1
3
1
2
1 4
−




−






=
=
= 





−






−
−




, find
A(BC), (AB)C and show that (AB)C = A(BC) Rationalised 2023-24
MATRICES         55
Solution We have 
1
1
1
1 3
1
0 1 3
2
4
2
1
AB
2
0
3
0 2
2
0
3 6
0 12
1 18
3
1
2
1 4
3
0
2 9
2
8
1 15
−
+
+
+
−

 






 





=
=
+
−
+
+
= −

 






 





−
−
+
−
−
+

 





(AB) (C)
2
2
4
0
6
2
8
1
2
1
1
2
3
4
1 18
1
36
2
0
3
36
4
18
2
0
2
1
1 15
1
30
2
0
3
30
4
15
+
+
−
−
+




−






= −
= − +
− +
− −
+






−






+
+
−
−
+




=
4
4
4
7
35
2
39
22
31
2
27
11
−




−
−




−


Now
BC =
1
6
2
0
3
6
4
3
1 3
1
2
3
4
0 2
0
4
0
0
0
4
0
2
2
0
2
1
1 4
1
8
2
0
3
8
4
4
+
+
−
− +




−






=
+
+
−
+






−






−
− +
− +
− −
+




=
7
2
3
1
4
0
4
2
7
2
11
8
−
−




−




−
−


Therefore
A(BC) =
7
2
3
1
1
1
1
2
0
3
4
0
4
2
3
1
2
7
2
11
8
−
−
−








−








−
−
−

 

=
7
4
7
2
0
2
3
4
11
1
2
8
14
0
21
4
0
6
6
0
33
2
0
24
21
4
14
6
0
4
9
4
22
3
2
16
+
−
+
+
− −
+
− +
−




+
+
+
−
− +
−
− +
+




−
+
+
−
− +
−
− −
+


=
4
4
4
7
35
2
39
22
31
2
27
11
−




−
−




−

