Aljabar (dari bahasa arab "al-jabr" yang berarti "pengumpulan bagian yang rusak"[1]) adalah salah satu bagian dari bidang matematika yang luas, bersama-sama dengan teori bilangan, geometri dan analisis. Dalam bentuk paling umum, aljabar adalah ilmu yang mempelajari simbol-simbol matematika dan aturan untuk memanipulasi simbol-simbol ini;[2] aljabar adalah benang pemersatu dari hampir semua bidang matematika.[3] Selain itu, aljabar juga meliputi segala sesuatu dari dasar pemecahan persamaan untuk mempelajari abstraksi seperti grup, gelanggang, dan medan. Semakin banyak bagian-bagian dasar dari aljabar disebut aljabar elementer, sementara bagian aljabar yang lebih abstrak yang disebut aljabar abstrak atau aljabar modern. Aljabar elementer umumnya dianggap penting untuk setiap studi matematika, ilmu pengetahuan, atau teknik, serta aplikasi dalam kesehatan dan ekonomi. Aljabar abstrak merupakan topik utama dalam matematika tingkat lanjut, yang dipelajari terutama oleh para profesional dan pakar matematika.
Aljabar elementer berbeda dari aritmetika dalam penggunaan abstraksi, seperti menggunakan huruf untuk mewakili angka-angka yang tidak diketahui atau diperbolehkan untuk mengambil banyak nilai-nilai. Misalnya, dalam

x
+
2
=
5

{\displaystyle x+2=5}

 huruf

x

{\displaystyle x}

 tidak diketahui, tetapi hukum inversi dapat digunakan untuk menemukan nilai:

x
=
3

{\displaystyle x=3}

. Dalam E = mc2, huruf

E

{\displaystyle E}

 dan

m

{\displaystyle m}

 adalah variabel, dan huruf

c

{\displaystyle c}

 adalah konstanta, kecepatan cahaya dalam vakum. Aljabar memberikan metode untuk memecahkan persamaan dan mengekspresikan rumus yang lebih mudah (bagi mereka yang memahami konsepnya) daripada metode konvensional, yaitu menulis semuanya dalam kata-kata.
Kata aljabar juga digunakan dalam hal-hal yang lebih spesifik. Jenis khusus dari objek matematika dalam aljabar abstrak disebut "aljabar", kata ini digunakan, misalnya, dalam ungkapan aljabar linear dan topologi aljabar.
Seorang ahli matematika yang melakukan penelitian dalam aljabar disebut aljabarwan, English: Algebraist.
Etimologi
Kata aljabar berasal dari bahasa arab الجبر (al-jabr secara harfiah berarti "pengumpulan kembali bagian yang rusak") istilah ini diambil dari judul buku Ilm al-jabr wa'l-muḳābala karya matematikawan dan astronom Persia, Al-Khwarizmi. Kosakata ini memasuki bahasa Inggris selama abad kelima belas, baik dari spanyol, italia, atau Pertengahan Latin. Aljabar awalnya disebut prosedur operasi pengaturan patah atau dislokasi tulang. Makna matematisnya pertama kali tercatat pada abad keenam belas.[4]
Berbagai arti dari "aljabar"
Kata "aljabar" memiliki beberapa makna dalam matematika, sebagai kata tunggal atau dengan kualifikasi.
Sebagai kata tunggal tanpa kata sandang, "aljabar" nama salah satu bidang ilmu matematika.
Sebagai kata tunggal dengan sebuah kata sandang atau dalam bentuk jamak, "aljabar" menunjukkan struktur matematika secara spesifik, dan definisi yang tepat tergantung pada penulis. Biasanya struktur ini memiliki penambahan, perkalian, dan skalar perkalian (lihat Aljabar atas lapangan). Ketika beberapa penulis menggunakan istilah "aljabar", mereka membuat sebuah subset dari asumsi tambahan berikut: asosiatif, komutatif, unital, dan/atau dimensi berhingga. Dalam aljabar universal, kata "aljabar" mengacu pada generalisasi dari konsep di atas, yang memungkinkan n-ary operasi.
Dengan kualifikasi, ada perbedaan yang sama:
Tanpa sebuah kata sandang, berarti merupakan bagian dari aljabar, seperti aljabar linier, aljabar elementer (simbol-manipulasi aturan yang diajarkan dalam kursus sd matematika sebagai bagian dari pendidikan dasar dan menengah), atau aljabar abstrak (studi struktur aljabar tentang aljabar itu sendiri).
Dengan sebuah kata sandang, berarti sebuah contoh dari beberapa struktur abstrak, seperti aljabar bentang, aljabar asosiatif, atau aljabar operator verteks.
Kadang-kadang kedua makna yang ada digunakan untuk kualifikasi yang sama, seperti dalam kalimat: aljabar Komutatif adalah studi tentang gelanggang komutatif, yang merupakan aljabar komutatif atas bilangan bulat.
Aljabar sebagai cabang dari matematika
Aljabar dimulai dengan perhitungan yang sama dengan aritmetika, dengan huruf digunakan untuk mewakili angka. hal Ini memungkinkan bukti dari sifat-sifat yang benar tanpa memperhatikan angka-angka yang terlibat. Misalnya, dalam persamaan kuadrat

a

x

2

+
b
x
+
c
=
0
,

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}

 bisa menjadi bilangan apapun (kecuali bahwa

a

{\displaystyle a}

 tidak dapat bernilai

0

{\displaystyle 0}

), dan rumus kuadrat dapat digunakan untuk dengan cepat dan mudah menemukan nilai-nilai dari kuantitas

x

{\displaystyle x}

 yang tidak diketahui dan memenuhi persamaan. Rumus kuadrat digunakan untuk menyatakan persamaan, dan kemudian menemukan semua solusi dari persamaan tersebut.
Secara historis, dan dalam pengajaran sekarang ini, pengkajian aljabar dimulai dengan memecahkan persamaan seperti persamaan kuadrat di atas. Kemudian muncullah pertanyaan-pertanyaan yang lebih umum, seperti "apakah persamaan memiliki solusi?", "berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan?", "apa yang dapat dikatakan tentang sifat dari solusi?". Pertanyaan-pertanyaan ini memicu kemunculan ide-ide tentang bentuk, struktur dan simetri.[5] Sifat-sifat struktural dari objek-objek non-numerik ini kemudian diabstraksi untuk mendefinisikan struktur-struktur aljabar seperti grup, gelanggang, dan medan.
Sebelum abad ke-16, matematika dibagi menjadi dua subbidang, aritmetika dan geometri. Meskipun beberapa metode, yang telah dikembangkan jauh lebih awal, mungkin yang dianggap saat ini sebagai aljabar, munculnya aljabar dan, segera setelah itu, kalkulus infinitesimal sebagai subbidang matematika hanya dari abad 16 atau abad ke-17. Dari paro kedua abad ke-19, banyak hal baru dalam bidang matematika muncul, yang sebagian besar dibuat menggunakan kedua aritmetika dan geometri, dan hampir semuanya menggunakan aljabar.
Hari ini, aljabar telah berkembang hingga mencakup banyak cabang dari matematika, seperti yang dapat dilihat dalam Klasifikasi Subjek Matematika[6]
di mana tak satu pun dari area tingkat pertama (dua digit entri) disebut aljabar. Hari ini aljabar meliputi bagian 08-sistem-sistem aljabar umum, 12-teori medan dan Polinomial, 13-aljabar komutatif, 15-aljabar linear dan multilinear; teori matriks, 16-aljabar asosiatif, 17-aljabar tak-asosiatif, 18-teori kategori; aljabar homologis, 19-teori-K, dan 20-teori grup. Aljabar juga digunakan secara ekstensif dalam 11-teori bilangan dan 14-geometri aljabar.
Sejarah
Sejarah awal aljabar

Akar aljabar dapat ditelusuri hingga bangsa Babilonia kuno,[7] yang mengembangkan sistem aritmetika lanjut, yang dengannya mereka dapat melakukan perhitungan menurut gaya algoritme. Bangsa Babilonia mengembangkan rumus untuk menghitung solusi dari masalah-masalah yang biasanya diselesaikan hari ini dengan menggunakan persamaan linear, persamaan kuadrat, dan persamaan taktentu. Sebaliknya, sebagian besar orang Mesir era ini, serta Yunani dan Tiongkok pada milenium 1 SM, biasanya menyelesaikan persamaan tersebut dengan metode geometris, seperti yang dijelaskan dalam Papirus Matematika Rhind, Elemen Euklides, dan Sembilan Bab mengenai Seni Matematika. Karya geometris dari Yunani, seperti yang ditulis dalam Elemen, menyediakan kerangka kerja untuk perumuman rumus melampaui solusi dari soal tertentu menjadi sistem yang lebih umum yang menyatakan dan memecahkan persamaan, meskipun hal ini tidak terealisasi sampai sebelum munculnya Matematika Islam abad pertengahan.[8]
Pada zaman Plato, matematika Yunani telah mengalami perubahan drastis. Orang Yunani menemukan aljabar geometri, di mana suku-suku dinyatakan oleh sisi-sisi dari objek geometri, biasanya garis, yang memiliki huruf-huruf yang berasosiasi dengan mereka.[9] Diofantus (abad ke-3 Masehi) adalah seorang Matematikawan Yunani dari Iskandariyah dan penulis serangkaian buku yang disebut Arithmetica. Teks-teks ini berurusan dengan penyelesaian persamaan aljabar,[10] dan telah menuntun pada hadirnya persamaan Diofantin dalam teori bilangan.
Tradisi-tradisi yang lebih dini dibandingkan dengan yang dibahas di atas berpengaruh langsung kepada Matematikawan Persia, Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (kira-kira 780–850). Dia kemudian menulis Buku Ringkasan tentang Perhitungan dengan Pelengkapan dan Penyetimbangan, yang membentuk aljabar sebagai disiplin matematika yang tidak bergantung pada geometri dan aritmetika.[11]
Matematikawan periode Hellenistik, Heron dari Iskandariyah dan Diofantus[12], juga Matematikawan India seperti Brahmagupta meneruskan tradisi-tradisi Mesir dan Babilonia, meskipun Arithmetica-nya Diophantus dan Brāhmasphuṭasiddhānta-nya Brahmagupta berada pada tingkatan yang lebih tinggi.[13] Misalnya, solusi aritmetika lengkap pertama (termasuk solusi nol dan negatif) untuk persamaan kuadrat, seperti yang dijelaskan oleh Brahmagupta dalam bukunya Brahmasphutasiddhanta. Kemudian, Matematikawan Persia dan Arab mengembangkan metode-metode aljabar untuk mencapai derajat kecanggihan yang lebih tinggi. Meskipun Diofantus dan bangsa Babilonia seringkali menggunakan metode ad hoc istimewa untuk menyelesaikan persamaan-persamaan, sumbangsih Al-Khwarizmi adalah mendasar. Dia menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat tanpa simbolisme aljabar, bilangan negatif, atau nol, dengan demikian dia harus membedakan beberapa jenis persamaan.[14]
Di dalam konteks di mana aljabar diidentifikasi dengan teori persamaan, Matematikawan Yunani, Diofantus secara tradisional telah dikenali sebagai "bapak aljabar" tetapi dalam waktu yang lebih terkemudian terdapat banyak debat mengenai apakah al-Khwarizmi, yang membentuk disiplin al-jabr, layak menyandang gelar itu.[15] Mereka yang mendukung poin Diofantus terhadap fakta bahwa aljabar ditemukan dalam Al-Jabr adalah sedikit lebih elementer daripada aljabar yang ditemukan dalam Arithmetica dan bahwa Arithmetica lebih diperingkas, sedangkan Al-Jabr sepenuhnya retoris.[16] Mereka yang mendukung poin Al-Khwarizmi terhadap fakta bahwa dia memperkenalkan metode "reduksi" dan "penyetimbangan" (transposisi suku-suku yang diambil ke ruas lain suatu persamaan, yaitu, pencoretan suku-suku yang memiliki variabel dan pangkat sama pada ruas lain suatu persamaan), yang dirujuk oleh al-jabr pada mulanya,[17] dan bahwa dia memberikan penjelasan yang panjang-lebar tentang penyelesaian persamaan kuadrat,[18] didukung oleh bukti-bukti geometris, sambil memperlakukan aljabar sebagai disiplin yang merdeka dan memiliki hak sendiri.[19] Aljabarnya juga tidak lagi berurusan "dengan sederet soal untuk diselesaikan, tetapi sebuah eksposisi yang bermula dengan suku-suku primitif di mana kombinasi harus memberikan semua purwarupa yang mungkin untuk persamaan, yang untuk selanjutnya secara eksplisit membentuk objek kajian yang sebenarnya". Dia juga mengkaji persamaan untuk kepentingannya sendiri dan "dalam cara yang umum, sejauh itu tidak hanya muncul dalam penyelesaian masalah, namun secara khusus dipanggil untuk mendefinisikan kelas masalah yang tak terbatas".[20]
Matematikawan Persia lainnya, Umar Khayyām diakui jasanya sebagai pengidentifikasi dasar-dasar geometri aljabar dan penemu solusi geometris umum untuk persamaan kubik. Bukunya Risalah tentang Peragaan Soal-Soal Aljabar (1070), yang menetapkan prinsip-prinsip aljabar, adalah bagian dari tubuh Matematika Persia yang sebenarnya dikirimkan ke Eropa.[21] Matematikawan Persia lainnya, Sharaf al-Din al-Tusi, menemukan solusi aljabar dan numerik untuk beberapa kasus persamaan kubik.[22] Dia juga mengembangkan konsep mengenai fungsi.[23] Matematikawan India, Mahavira dan Bhāskara II, Matematikawan Persia Al-Karaji,[24] dan Matematikawan Tiongkok, Zhu Shijie, menyelesaikan beberapa kasus persamaan kubik, kuartik, kuintik, dan persamaan-persamaan polinomial berorde lebih tinggi menggunakan metode numerik. Pada abad ke-13, penyelesaian persamaan kubik oleh Fibonacci adalah wakil dari awal kebangkitan aljabar Eropa. Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412–1486) mengambil "langkah-langkah pertama menuju perkenalan simbolisme aljabar". Dia juga menghitung ∑n2, ∑n3 dan menggunakan metode pendekatan berurutan (suksesif) untuk menentukan akar kuadrat.[25] Ketika dunia Islam mengalami kemunduran, dunia Eropa mengalami kebangkitan. Dan pada ketika itulah aljabar berkembang lebih jauh.
Sejarah modern aljabar

Karya François Viète mengenai aljabar baru pada penutupan abad ke-16 adalah sebuah langkah penting menuju aljabar modern. Pada tahun 1637, René Descartes menerbitkan La Géométrie, menemukan geometri analitis dan memperkenalkan notasi aljabar modern. Peristiwa penting lainnya dalam pengembangan aljabar lebih lanjut adalah penyelesaian aljabar umum untuk persamaan kubik dan kuartik, yang dikembangkan pada pertengahan abad ke-16. Gagasan mengenai determinan dikembangkan oleh matematikawan Jepang Seki Kōwa pada abad ke-17, diikuti secara mandiri oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, untuk tujuan memecahkan sistem persamaan linear simultan dengan menggunakan matriks. Gabriel Cramer juga melakukan beberapa pekerjaan mengenai matriks dan determinan pada abad ke-18. Permutasi dipelajari oleh Joseph-Louis de Lagrange dalam karyanya pada tahun 1770 yang berjudul Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Refleksi pada resolusi aljabar suatu persamaan), dikhususkan untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan aljabar, di mana dia memperkenalkan resolven Lagrange. Paolo Ruffini adalah orang pertama yang mengembangkan teori dari grup permutasi, dan seperti pendahulunya, juga dalam konteks memecahkan persamaan aljabar.
Aljabar abstrak dikembangkan pada abad ke-19, yang berasal dari ketertarikan dalam memecahkan persamaan, awalnya berfokus pada apa yang sekarang disebut teori Galois, dan pada permasalahan konstruktibilitas.[26] George Peacock adalah pelopor pemikiran aksiomatis dalam aritmetika dan aljabar. Augustus De Morgan menemukan aljabar relasi dalam karyanya Syllabus of a Proposed System of Logic (Silabus dari Sistem Logika yang Diusulkan). Josiah Willard Gibbs mengembangkan aljabar dari vektor-vektor dalam ruang tiga-dimensi, dan Arthur Cayley mengembangkan aljabar matriks (ini adalah aljabar tak-komutatif).[27]
Bidang matematika dengan kata aljabar pada nama mereka
Beberapa bidang matematika yang memenuhi klasifikasi aljabar abstrak memuat kata aljabar dalam nama mereka; aljabar linear adalah salah satu contoh. Tetapi ada juga yang tidak, misalnya: teori grup, teori gelanggang, dan teori bidang. Yang berikut ini adalah beberapa bidang matematika yang memuat kata "aljabar" dalam namanya.
Aljabar elementer, bagian dari aljabar yang biasanya diajarkan di perkuliahan dasar Matematika.
Aljabar abstrak, di mana struktur aljabar seperti kelompok, gelanggang dan medan didefinisikan dan diselidiki secara aksiomatis.
Aljabar Linear, di mana sifat-sifat tertentu dari persamaan linear, Ruang vektor dan matriks dipelajari.
Aljabar Boolean, cabang aljabar yang mengabstraksi komputasi dengan nilai kebenaran benar dan salah.
Aljabar komutatif, studi tentang gelanggang komutatif.
Aljabar komputer, penerapan metode-metode aljabar seperti algoritme dan program komputer.
Aljabar homologis, studi struktur aljabar yang menjadi dasar bagi pengkajian ruang topologi.
Aljabar semesta, di mana sifat-sifat yang umum untuk semua struktur aljabar dipelajari.
Teori bilangan aljabar, di mana sifat-sifat bilangan dipelajari menurut sudut pandang aljabar.
Geometri aljabar, sebuah cabang dari geometri, dalam bentuk primitif menentukan kurva dan permukaan sebagai solusi dari persamaan polinomial.
Kombinatorika aljabar, di mana metode-metode aljabar digunakan untuk mempelajari soal-soal kombinatorika.
Aljabar relasional: satu himpunan relasi berhingga yang tertutup di bawah operator tertentu.
Banyak struktur matematika disebut aljabar:
Aljabar di atas lapangan atau lebih umumnya aljabar di atas gelanggang.
Banyak kelas pada aljabar di atas lapangan atau di atas gelanggang memiliki nama spesifik:
Aljabar asosiatif
Aljabar tak-asosiatif
Aljabar Lie
Aljabar Hopf
C*-algebra
Aljabar simetri
Aljabar eksterior
Aljabar tensor
Dalam teori ukuran,
Aljabar sigma
Medan himpunan
Dalam teori kategori
F-algebra dan F-coalgebra
T-algebra
Dalam logika,
Aljabar relasi, aljabar Boolean beresidu, diperluas dengan kerumitan yang disebut konvers.
Aljabar Boolean (struktur), kisi distributif komplemen.
Aljabar Heyting
Aljabar elementer

Aljabar elementer adalah bentuk aljabar paling dasar. Aljabar elementer diajarkan kepada siswa/mahasiswa yang dianggap tidak memiliki pengetahuan tentang matematika lebih dari sekadar prinsip-prinsip dasar aritmetika. Di dalam aritmetika, hanya bilangan dan operasi aritmetika (seperti +, −, ×, ÷) yang muncul. Di dalam aljabar, bilangan seringkali diwakili oleh simbol, yang disebut variabel (seperti a, n, x, y, atau z). Ini berguna, karena:
Ini membolehkan perumusan umum dari hukum-hukum aritmetika (seperti a + b = b + a untuk setiap a dan b), dan dengan demikian merupakan langkah pertama menuju eksplorasi sistematis pada sifat-sifat sistem bilangan real.
Ini membolehkan referensi bagi bilangan "anu", perumusan persamaan dan pengkajian cara untuk menyelesaikannya. (Misalnya, "Carilah bilangan x sedemikian sehingga 3<i data-parsoid='{"dsr":[26663,26668,2,2]}'>x + 1 = 10" atau lebih lanjut "Carilah bilangan x sedemikian sehingga ax + b = c". Langkah ini mengarah pada kesimpulan bahwa bukanlah sifat alami bilangan tertentu yang membolehkan kita menyelesaikannya, melainkan operasi yang dilibatkan.)
Ini mengizinkan perumusan hubungan fungsional. (Misalnya, "Jika kamu menjual x karcis, maka keuntunganmu sebesar 3<i data-parsoid='{"dsr":[27068,27073,2,2]}'>x − 10 rupiah, atau f(x) = 3<i data-parsoid='{"dsr":[27108,27113,2,2]}'>x − 10, di mana f adalah fungsi, dan x adalah bilangan yang terhadapnya fungsi ini diterapkan".)
Polinomial

Polinomial atau suku banyak adalah sebuah ekspresi yang merupakan jumlah bilangan berhingga dari suku-suku tak-nol, tiap-tiap suku memuat perkalian dari sebuah konstanta dan sejumlah berhingga variabel yang muncul dengan seluruh pangkat bilangan. Misalnya, x2 + 2<i data-parsoid='{"dsr":[27713,27718,2,2]}'>x − 3 adalah polinomial dalam variabel tunggal x. Sebuah ekspresi polinomial adalah ekspresi yang dapat ditulis ulang sebagai polinomial, dengan menggunakan sifat-sifat komutativitas, asosiativitas, dan distributivitas perjumlahan dan perkalian. Misalnya, (x − 1)(x + 3) adalah sebuah ekspresi polinomial. Sebuah fungsi polinomial adalah fungsi yang didefinisikan oleh polinomial, atau, secara ekivalen, oleh sebuah ekspresi polinomial. Dua contoh tersebut mendefinisikan fungsi polinomial yang sama.
Dua soal yang penting dan berhubungan di dalam aljabar adalah faktorisasi polinomial, yaitu, mengekspresikan suatu polinomial sebagai perkalian dari polinomial-polinomial lainnya yang tidak dapat difaktorkan lagi, dan komputasi faktor persekutuan terbesar polinomial. Contoh polinomial di atas dapat difaktorkan sebagai (x − 1)(x + 3). Sebuah kelas soal yang behubungan adalah pencarian ekspresi aljabar untuk akar suatu polinomial dalam variabel tunggal.
Pendidikan
Telah dianjurkan bahwa aljabar elementer harus diajarkan kepada siswa yang sudah berusia 11 tahun,[28] meskipun dalam waktu dekat ini terdapat kecenderungan semakin lazimnya pengenalan aljabar elementer pada kelas delapan (≈13tahun±) di Amerika Serikat.[29] Meskipun demikian, di beberapa sekolah Amerika Serikat, aljabar mulai diperkenalkan pada kelas 9.
Sejak tahun 1997, Institut Politeknik dan Universitas Negeri Virginia dan beberapa universitas lain telah mulai menggunakan sebuah model pengajaran aljabar yang sudah dipersonalisasi yang mengombinasikan umpan-balik instan dari peranti lunak komputer terspesialisasi dengan bimbingan satu-satu dan bimbingan kelompok kecil, yang telah mengurangi biaya dan menaikkan capaian siswa.[30]
Aljabar abstrak

Aljabar abstrak memperluas konsep-konsep yang biasa ditemukan dalam aljabar elementer dan aritmetika bilangan ke konsep-konsep yang lebih umum. Yang berikut ini adalah konsep-konsep dasar di dalam aljabar abstrak.
Himpunan: Lebih dari sekadar memperhatikan jenis-jenis bilangan yang berbeda-beda, aljabar abstrak berurusan dengan konsep himpunan yang lebih umum: sekumpulan objek-objek (disebut elemen) yang dipilih oleh sifat spesifik untuk himpunan. Semua kumpulan jenis-jenis bilangan yang lazim dikenal merupakan himpunan. Contoh himpunan lainnya adalah himpunan semua matrikss dua-kali-dua, himpunan semua polinomial berderajat 2 (ax2 + bx + c), himpunan semua vektor dua dimensi pada bidang, dan berbagai grup berhingga seperti grup siklis, yang merupakan grup-grup modulo bilangan bulat n. Teori himpunan adalah sebuah cabang dari logika dan secara teknis bukanlah cabang dari aljabar.
Operasi biner: Maksud perjumlahan (+) diabstraksi untuk memberikan sebuah operasi biner, katakanlah ∗. Maksud operasi biner menjadi tidak berarti tanpa adanya himpunan tempat operasi didefinisikan. Untuk dua elemen a dan b dalam himpunan S, a ∗ b adalah elemen lain di dalam himpunan; kondisi ini disebut ketertutupan. Perjumlahan (+), perkurangan (−), perkalian (×), dan perbagian (÷) dapat menjadi operasi biner ketika terdefinisi pada himpunan yang berbeda, semisal perjumlahan dan perkalian matriks, vektor, dan polinomial.
Elemen identitas: Bilangan nol dan satu diabstraksi untuk memberikan arti suatu elemen identitas untuk sebuah operasi. Nol adalah elemen identitas untuk perjumlahan dan satu adalah elemen identitas untuk perkalian. Untuk suatu operator biner umum ∗ elemen identitas e harus memenuhi a ∗ e = a dan e ∗ a = a, dan harus tunggal, jika ia ada. Ini berlaku untuk perjumlahan sebagai a + 0 = a dan 0 + a = a dan perkalian a × 1 = a dan 1 × a = a. Tidak semua himpunan dan kombinasi operator memiliki elemen identitas; misalnya, himpunan bilangan asli positif (1, 2, 3,...) tidak memiliki elemen identitas untuk perjumlahan.
Elemen invers atau unsur balikan: Bilangan negatif memunculkan konsep elemen invers. Untuk perjumlahan, invers a ditulis sebagai −a; dan untuk perkalian, invers ditulis sebagai a−1. Elemen invers umum untuk dua-pihak a−1 memenuhi sifat bahwa a ∗ a−1 = e dan a−1 ∗ a = e, di mana e adalah elemen identitas.
Asosiativitas: Perjumlahan bilangan bulat memiliki sifat yang dinamakan asosiativitas. Yakni, pengelompokan bilangan yang dijumlahkan tidaklah mengubah hasilnya. Misalnya: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Secara umum, ini menjadi (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Sifat ini juga berlaku pada sebagian besar operasi biner, tetapi tidak untuk perkurangan, atau perbagian, atau perkalian oktonion.
Komutativitas: Perjumlahan dan perkalian bilangan real sama-sama bersifat komutatif. Yakni, urutan bilangan tidaklah mengubah hasil. Misalnya: 2 + 3 = 3 + 2. Secara umum, ini menjadi a ∗ b = b ∗ a. Sifat ini tidak berlaku untuk semua operasi biner. Misalnya, perkalian matriks dan perkalian kuaternion, kedua-duanya tidak bersifat komutatif.
Grup

Penggabungan konsep-konsep di atas memberikan salah satu struktur yang paling penting dalam matematika: grup. Grup adalah kombinasi dari sebuah himpunan S dan satu operasi biner ∗, didefinisikan dalam cara apapun yang dipilih, tapi dengan sifat sebagai berikut:
Terdapat sebuah elemen identitas e, sedemikian sehingga untuk setiap anggota a dari S, e ∗ a dan a ∗ e kedua-duanya identik dengan a.
Setiap elemen mempunyai invers: untuk setiap anggota a dari S, terdapat anggota a-1 sedemikian sehingga a ∗ a-1 dan a-1 ∗ a kedua-duanya identik dengan elemen identitas.
Operasi bersifat asosiatif: jika a, b, dan c adalah anggota dari S, maka (a ∗ b) ∗ c identik dengan a ∗ (b ∗ c).
Jika grup ini juga komutatif, yaitu untuk setiap dua anggota a dan b dari S, a ∗ b adalah identik untuk b ∗ a—maka grup tersebut dikatakan abelian.
Sebagai contoh, himpunan bilangan bulat di bawah operasi perjumlahan merupakan grup. Dalam grup ini, elemen identitas adalah 0 dan invers dari setiap elemen a adalah negasinya, −a. Persyaratan asosiativitas terpenuhi, karena untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, (a + b) + c = a + (b + c)
Bilangan rasional tak-nol membentuk grup di bawah operasi perkalian. Di sini, elemen identitas adalah 1, karena 1 × a = a × 1 = a untuk setiap bilangan rasional a. Invers dari a adalah 1/a, karena a × 1/a = 1.
Meskipun demikian, bilangan bulat di bawah operasi perkalian tidaklah membentuk sebuah grup. Hal ini karena invers perkalian suatu bilangan bulat tidaklah menghasilkan bilangan bulat. Misalnya, 4 adalah bilangan bulat, tetapi invers perkaliannya adalah ¼, yang tentu saja bukan merupakan bilangan bulat.
Teori mengenai grup dipelajari dalam teori grup. Hasil utama dalam teori ini adalah klasifikasi grup-grup sederhana berhingga, sebagian besar diterbitkan antara tahun 1955 dan tahun 1983, yang memisahkan grup-grup sederhana berhingga menjadi kira-kira 30 jenis dasar.
Semigrup, kuasigrup, dan monoid adalah struktur-struktur yang serupa dengan grup, tetapi bersifat lebih umum. Mereka memuat sebuah himpunan dan satu operasi biner tertutup, tetapi tidak perlu memenuhi persyaratan lainnya. Semigrup memiliki operasi biner asosiatif, tetapi tidak memiliki elemen identitas. Monoid adalah semigrup yang memiliki elemen identitas, tetapi tidak memiliki invers untuk setiap elemen. Kuasigrup memenuhi persyaratan bahwa sembarang elemen dapat diubah menjadi elemen yang lain dengan perkalian-kiri atau perkalian-kanan yang tunggal; tetapi operasi binernya mungkin tidak bersifat asosiatif.
Semua grup adalah monoid, dan semua monoid adalah semigrup.

Gelanggang dan Lapangan

Grup hanya memiliki satu operasi biner. Untuk menjelaskan sepenuhnya perilaku jenis-jenis bilangan yang berbeda, struktur-struktur dengan dua operator haruslah dipelajari. Yang paling penting darinya adalah gelanggang, dan medan.
Sebuah gelanggang memiliki dua Operasi biner (+) dan (×), dengan × distributif atas +. Di bawah operator pertama (+), ia membentuk grup abelian. Di bawah operator kedua (×), ia bersifat asosiatif, tetapi tidak harus memiliki identitas atau invers, sehingga perbagian tidaklah diperlukan. Elemen identitas penjumlahan (+) ditulis sebagai 0 dan invers penjumlahan dari a ditulis sebagai −a. Perhatikan bahwa operasi tersebut bisa merupakan operasi abstrak apa saja yang didefinisikan.
Sifat distributif memperumum hukum distributif untuk bilangan. Untuk bilangan bulat (a + b) × c = a × c + b × c dan c × (a + b) = c × a + c × b, dan × dikatakan distributif di atas +.
Bilangan bulat adalah contoh dari gelanggang. Bilangan bulat memiliki sifat-sifat penjumlahan yang membuatnya sebagai domain integral, atau daerah bilangan bulat, atau ranah bilangan bulat,.
Sebuah medan atau lapangan adalah gelanggang dengan sifat perjumlahan bahwa semua elemen tak-nol membentuk grup abelian di bawah ×. Identitas perkalian (×) ditulis sebagai 1 dan invers perkalian dari a ditulis sebagai a−1.
Bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks adalah contoh-contoh lapangan.
Catatan

Referensi
More than one of |author-link= and |authorlink= specified (help); More than one of |ISBN= and |isbn= specified (help)More than one of |author-link=, |author-link=, dan |authorlink= specified (bantuan); More than one of |ISBN= dan |isbn= specified (bantuan) * Donald R. Hill, Islam Sains dan Teknik (Edinburgh University Press, 1994).
Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, dan Borin Van Loon, Memperkenalkan Matematika (Totem Buku, 1999).
George Gheverghese Joseph, Puncak Merak: Non-Eropa Akar Matematika (Penguin Books, 2000).
John J o'connor dan Edmund F Robertson, . Di MacTutor History of Mathematics arsip (University of St Andrews, 2005).
I. N. Herstein: Topik dalam Aljabar. ISBN 0-471-02371-X
R. B. J. T. Allenby: Cincin, Bidang dan Kelompok. ISBN 0-340-54440-6
L. Euler: , ISBN 978-1-899618-73-6

Pranala luar

, kuliah oleh Robin Wilson, di Gresham College, 17 oktober 2007 (tersedia untuk MP3 dan MP4 download, juga sebagai file teks).
(Inggris) Entri  di Stanford Encyclopedia of Philosophy

Kategori:Halaman dengan rujukan yang memiliki parameter duplikat


PT Indocement Tunggal Prakarsa Tbk () adalah salah satu produsen semen di Indonesia. Indocement merupakan produsen terbesar kedua di Indonesia. Selain memproduksi semen, Indocement juga memproduksi beton siap-pakai, serta mengelola tambang agregat dan tras.
Indocement berdiri sejak 16 Januari 1985. Perusahaan ini merupakan hasil penggabungan enam perusahaan semen yang memiliki delapan pabrik Pabrik pertama Indocement sudah beroperasi sejak 4 Agustus 1975. Tanggal 31 Desember 2016, Indocement memiliki kapasitas produksi sebesar 24,9 juta ton semen per tahun. Selain itu, Indocement juga memiliki kapasitas produksi beton siap-pakai sebesar 5,0 Juta meter kubik per tahun dengan 38 batching plant dan 632 truk mixer, serta memproduksi agregat sebesar 2,7 juta ton.
Indocement memiliki 13 buah pabrik, sepuluh diantaranya berada di Citeureup, Kabupaten Bogor, Jawa Barat. Dua berada di Cirebon, Jawa Barat, dan satu di Tarjun, Kotabaru, Kalimantan Selatan.
Produk utama Indocement adalah semen tipe Ordinary Portland Cement disingkat OPC dan Portland Composite Cement disingkat PCC sejak 2005. Indocement juga memproduksi semen jenis lain misalnya Portland Cement Type II dan Type V serta Oil Well Cement. Indocement juga merupakan satu-satunya produsen semen jenis Semen Putih (White Cement) di Indonesia. Pada Oktober 2016, Indocement meluncurkan Semen Rajawali, semen bertipe Pozzolan Portland Cement (PPC).

Indocement pertama kali mencatatkan sahamnya di Bursa Efek Indonesia pada 5 Desember 1989. Sejak tahun 2001, HeidelbergCement Group, yang berbasis di Jerman dan merupakan perusahaan manufaktur bahan bangunan terintegrasi terbesar di dunia, yang merupakan pemimpin pasar agregat, semen dan beton siap-pakai dengan operasional di 60 negara mengambil alih kepemilikan saham mayoritas di Indocement.
Semen yang dipasarkan adalah semen dengan merek "Tiga Roda" dan Semen Rajawali.
Komposisi saham
Tanggal 31 Desember 2016, mayoritas kepemilikan saham Indocement dipegang oleh Birchwood Omnia Ltd. (HeidelbergCement Group) sebesar 51,00% dan Masyarakat sebesar 49,00%.[2]
Susunan Dewan Komisaris dan Direksi
Sesuai dengan hasil Rapat Umum Pemengang Saham Tahunan (RUPST) PT Indocement Tunggal Prakarsa Tbk. yang dilaksanakan pada Jumat, 22 Mei 2017. Berikut ini susunan Dewan Komisaris PT Indocement Tunggal Prakarsa Tbk.[3][4]
Dewan Komisaris
Komisaris Utama: Kevin Gluskie
Wakil Komisaris Utama/Komisaris Independen: Tedy Djuhar
Wakil Komisaris Utama/Komisaris Independen: Simon Subrata
Komisaris Independen: Daniel Lavalle
Komisaris: Dr. Lorenz Naeger
Komisaris: Dr. Bernd Scheifele
Komisaris: Dr. Albert Scheuer
Direksi
Direktur Utama: Christian Kartawijaya
Wakil Direktur Utama: Franciscus Welirang
Direktur Independen: Kuky Permana
Direktur: Hasan Imer
Direktur: Ramakanta Bhattacharjee
Direktur: Troy D. Soputro
Direktur: David Clarke
Direktur: Benny S. Santoso
Direktur: Juan Francisco Defalque
Pabrik
Lokasi pabrik
Indocement memiliki tiga kompleks pabrik yang terletak di Pulau Jawa dan Pulau Kalimantan, kompleks pabrik tersebut adalah:
Kompleks Pabrik Citeureup
Kompleks Pabrik Citeureup terletak di Citeureup, Kabupaten Bogor, Jawa Barat. Kompleks ini merupakan komplek terbesar milik PT Indocement Tunggal Prakarsa Tbk. Dikompleks ini terdapat delapan pabrik yang masih beropersi penuh, yaitu Plant 1 - Plant 8, Plant 11 dan Plant 14.
Kompleks Pabrik Palimanan
Kompleks ini terletak di Palimanan, Kabuapten Cirebon, Jawa Barat. Kompleks ini memiliki dua buah pabrik, yaitu Plant 9 dan Plant 10
Kompleks Pabrik Tarjun
Kompleks Pabrik Tarjun terletak di kabupaten Kota baru, Kalimantan Selatan. Tedapat satu buah pabrik yang beroperasi disini, yaitu Plant 12
Distribusi dan logistik
Untuk menjamin rantai pasokan semen merek “Tiga Roda”, Indocement memiliki beberapa terminal serta metode pengangkutan semen yang terintegrasi dengan baik. Indocement memiliki beberapa terminal semen guna menjamin kelancaran distribusi semen ke pelanggannya.
Terminal Indocement
Indocement memiliki tujuh terminal semen yang tersebar diseluruh Indonesia, yaitu:
Terminal Tanjung Priok, Jakarta Utara, DKI Jakarta
Terminal Tanjung Perak, Surabaya, Jawa Timur
Terminal Pontianak, Pontianak, Kalimantan Barat
Terminal Lembar, Lombok, Nusa Tenggara Barat
Terminal Palaran, Samarinda, Kalimantan Timur
Terminal Cigading, Serang, Banten
Terminal Sepanjang, Sidoarjo, Jawa Timur
Selain terminal, Indocement juga menggunakan moda transportasi darat dan laut dalam mendistribusikan semennya. Moda transportasi laut terutama digunakan untuk mendistribusikan semen dari Pabrik Tarjun, Kalimantan Selatan.
Indocement juga menggunakan moda transportasi darat, yaitu truk dan kereta api. Indocement memiliki enam relasi perjalanan kereta api untuk pengangkutan semen. Tiga rangkaian kereta api berangkat dari Stasiun Nambo, Desa Bantarjati, Kecamatan Klapanunggal, Kabupaten Bogor. Dua rangkaian berangkat menuju Stasiun Kalimas, Kota Surabaya, Jawa Timur sedangkan satu rangkaian lain menuju Stasiun Banyuwangi Baru, Banyuwangi, Jawa Timur. Total kapasitas angkut dari rangkaian ini adalah 2.400 ton per hari.[5]
Tiga rangkaian kereta api yang lain berangkat dari Stasiun Arjawinangun, Cirebon dengan tujuan Purwokerto, Jawa Tengah dan menuju Wangon, Banyumas melalui Purwokerto. Total kapasitas angkut dari rangkaian kereta ini mencapai 1.900 ton semen per hari.
Indocement juga terus menambah jumlah peti kemas yang diberangkatkan dari Tarjun. Sampai dengan akhir 2013, jumlah peti kemas meningkat dari 1.200 teus menjadi 2.100 teus sehingga dapat memenuhi permintaan dari lebih banyak wilayah. Sistem pemuatan ini tidak dipengaruhi oleh kondisi cuaca, sehingga mampu meningkatkan keluaran dari Kompleks Pabrik Tarjun.
Produk Indocement
Selain menghasilkan semen dengan mereka dagang "Semen Tiga Roda", Indocement juga memiliki beberapa produk lainnya, yaitu berupa beton siap-pakai dan barang tambang. Berikut ini adalah jenis porduk yang dimiliki Indocement:
Portland Composite Cement (PCC)
PCC dibuat untuk penggunaan umum seperti rumah, bangunan tinggi, jembatan, jalan beton, beton pre-cast dan beton pre-stress. PCC mempunyai kekuatan yang sama dengan Portland Cement Tipe I.
Ordinary Portland Cement (OPC)
OPC juga dikenal sebagai semen abu-abu, terdiri dari lima tipe semen standar. Indocement memproduksi OPC Tipe I, II dan V. OPC Tipe I merupakan semen kualitas tinggi yang sesuai untuk berbagai penggunaan, seperti konstruksi rumah, gedung tinggi, jembatan, dan jalan. OPC Tipe II dan V memberikan perlindungan tambahan terhadap kandungan sulfat di air dan tanah.
Oil Well Cement (OWC)
OWC adalah tipe semen khusus untuk pengeboran minyak dan gas baik di darat maupun lepas pantai. OWC dicampur menjadi suatu adukan semen dan dimasukkan antara pipa bor dan cetakan sumur bor di mana semen tersebut dapat mengeras dan kemudian mengikat pipa pada cetakannya.
White Cement
Semen putih digunakan untuk dekorasi eksterior dan interior gedung. Sebagai satu-satunya produsen semen putih di Indonesia, saat ini Indocement dapat mencukupi kebutuhan semen putih pasar domestik.
Acian Putih TR30
Acian Putih TR30 sangat sesuai untuk pekerjaan acian dan nat. Komposisi Acian Putih TR30 antara lain Semen Putih ”Tiga Roda”, kapur (Kalsium Karbonat) dan bahan aditif khusus lainnya. Keuntungan menggunakan Acian Putih TR30 antara lain, permukaan acian lebih halus, mengurangi retak dan terkelupasnya permukaan, karena mempunyai sifat plastis dengan daya rekat tinggi, cepat dan mudah dalam pengerjaan, hemat karena acian lebih tipis, serta dapat digunakan pada permukaan beton dengan menambahkan lem putih.
Ready-Mix Concrete
Beton Siap-Pakai diproduksi dengan mencampur OPC dengan bahan campuran yang tepat (pasir dan batu) serta air dan kemudian dikirimkan ke tempat pelanggan menggunakan truk semen untuk dicurahkan. Sebagai nilai tambah produk, Beton Siap-Pakai mendatangkan keuntungan yang lebih tinggi dari produk semen lainnya. Mayoritas yang signifikan dari Beton Siap-Pakai Indocement adalah dijual di daerah Jakarta di mana industri pembangunannya sangat baik.
Agregat (Diproduksi anak perusahaan)
Tambang aggregates (batu andesit) di Rumpin dan Purwakarta, Jawa Barat dengan total cadangan 130 juta ton andesit, melalui anak perusahaan Indocement akan memperkuat posisi Indocement sebagai pemasok bahan bangunan.
Sertifikasi PT Indocement Tunggal Prakarsa Tbk.
Perusahaan terus berupaya untuk memenuhi beragam sertifikasi demi menjamin praktik kelola perusahaan yang baik. Sertifikasi-sertifikasi yang telah diraih oleh perusahaan antara lain:
Sertifikasi Sistem Manajamen Mutu ISO 9001:2008 sejak Maret 1995
Sertifikasi Sistem Manajemen Lingkungan ISO 14001:2004 sejak Agustus 2002
Sertifikasi Sistem Manajemen Keselamatan dan Kesehatan Kerja OHSAS 18001:2007 Sejak Juni 2004
Sertifikasi Sistem Manajemen Kesehatan dan Keselamatan Kerja (SMK3) sejak Juli 2000
Sertifikasi Sistem Manajemen Keamanan ISO 28000:2007 Sejak Juli 2015 untuk Pabrik Citeureup
Sertifikasi Sistem Manajemen Keamanan ISO 28000:2007 Sejak November 2012 untuk Pabrik Palimanan
Sertifikasi Sistem Manajemen Keamanan ISO 28000:2007 Sejak November 2012 untuk Pabrik Tarjun.
ISO 17025:2005 - General Requirements For The Competence of Testing and Calibration Laboratories sejak Juli 2006 untuk Laboratorium di Pabrik Citeureup.
ISO 17025:2005 - General Requirements For The Competence of Testing and Calibration Laboratories sejak Agustus 2006 untuk Laboratorium di Pabrik Palimanan.
ISO 17025:2005 - General Requirements For The Competence of Testing and Calibration Laboratories sejak Mei 2007 untuk Laboratorium di Pabrik Tarjun.
Prestasi
PT Indocement Tunggap Prakarsa Tbk. juga memegang beberapa kategori penghargaan MURI (Museum Rekor Indonesia), yaitu:
Rekor "Temu Keluarga Toko Bahan Bangunan Terbanyak (Sambil Bermain Angklung Bersama)"
“Relief (lukisan 2 dimensi) motif batik dan tenun berbahan dasar semen putih dan bubur kertas terbesar di dunia”
“roadshow event terbanyak di 96 perguruan tinggi seluruh Indonesia dalam waktu tiga bulan”
“Pengiriman Semen Menggunakan Kereta Api dengan Jarak Terpanjang”
Kontroversi
Aksi Petani Kendeng

Indocement adalah anak perusahaan HeidelbergCement, terlibat dan berperan penting dalam pembangunan pabrik semen yang kontroversial di pulau Jawa, Indonesia. Tujuan eksploitasi Pegunungan Kendeng ini mendapat perlawanan dari masyarakat yang tinggal di sana. Selain berdampak pada kehancuran sistem ekologi yang kompleks, pembangunan pabrik semen dan penambangan karst di Pegunungan Kendeng berdampak langsung pada kehidupan masyarakat sekitar--sebagian dari mereka adalah petani dan masyarakat adat.[6]
Konflik memuncak pada tahun 2014, setelah itu lebih dari 20 perempuan lokal, sebagian besar dari mereka adalah ibu-ibu, tinggal di tenda protes yang mereka dirikan di lokasi pembangunan pabrik semen. Petugas keamanan dari pabrik semen memberikan batasan waktu berkunjung 10 menit untuk kerabat. Banyak aktivis yang bersolidaritas dan pendukung "Perempuan Kendeng" tidak bisa melakukan kontak dengan mereka lagi.[7]
Oleh karena itu, Perusahaan Semen menghadapi tuduhan pelanggaran Hak Asasi Manusia.[8][9]
Pada tanggal 10 April 2016, hari ke-666 pendudukan di lokasi pembangunan pabrik semen, 9 Perempuan dari Kendeng melakukan protes di depan Istana Presiden di Jakarta, mereka secara simbolis menyemen kaki mereka.[10] Selain protes terhadap pembangunan pabrik dan konsekuensi ekologis sebagai salah satu "kesalahpahaman `pembangunan` dengan mengorbankan masyarakat adat dan petani", Perempuan Kendeng juga memberikan statemen politik kepada HeidelbergCement bahwa "sebuah perusahaan Jerman tidak harus berinvestasi dalam perusakan lingkungan dan pelanggaran Hak Asasi Manusia, di negara manapun di dunia."[11]
Referensi

Pranala luar
(in Indonesian)
(in Indonesian)

Kategori:Salim Group
Kategori:Perusahaan semen Indonesia
Kategori:Perusahaan yang didirikan tahun 1985

Apakah perusahaa roti terbesar di Jerman?