English Információ A lap Pontverseny Cikkek Hírek Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

P. 4867. Two objects, which are moving into the same direction collide totally inelastically with each other. The mass of one of the objects is $\displaystyle n$ times as much as that of the other, whilst its speed is one-$\displaystyle n$-th of the speed of the other ($\displaystyle n\ge 2$ is an integer). For which $\displaystyle n$ will at least half of the kinetic energy be dissipated?

(4 points)

Deadline expired on 10 November 2016.

Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen az egyik test tömege $\displaystyle m$, sebessége $\displaystyle v$, a másik tömege $\displaystyle nm$, sebessége $\displaystyle v/n$. A két test ütközés előtti összes mozgási energiája

$\displaystyle E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}(nm) \left(\frac{v}n\right)^2=\frac{1}{2}mv^2\,\frac{1+n}{n},$

az összimpulzusuk pedig $\displaystyle I=2mv$.

Az ütközés utáni közös sebességük

$\displaystyle v'=\frac{I}{m+nm}=\frac{2}{1+n}v,$

az összes mozgási energiájuk tehát

$\displaystyle E'=\frac{1}{2}(m+nm)v'^2=\frac{1}{2}mv^2\,\frac{4}{1+n}.$

A megadott $\displaystyle E'\le \frac{1}{2}E$ feltétel akkor teljesül, ha

$\displaystyle \frac{4}{1+n}\le \frac{1+n}{2n},\qquad \text {azaz}\qquad n^2-6n+1\ge 0.$

Ezen másodfokú egyenlőtlenség megoldása (az $\displaystyle n\ge2$ és egész feltételt is figyelembe véve): $\displaystyle n\ge 6.$

Statistics on problem P. 4867.
 118 students sent a solution. 4 points: 83 students. 3 points: 19 students. 2 points: 9 students. 1 point: 5 students. 0 point: 2 students.

• Problems in Physics of KöMaL, October 2016

•  Támogatóink: Morgan Stanley
{"extraction_info": {"found_math": true, "script_math_tex": 0, "script_math_asciimath": 0, "math_annotations": 0, "math_alttext": 0, "mathml": 0, "mathjax_tag": 0, "mathjax_inline_tex": 1, "mathjax_display_tex": 0, "mathjax_asciimath": 0, "img_math": 0, "codecogs_latex": 0, "wp_latex": 0, "mimetex.cgi": 0, "/images/math/codecogs": 0, "mathtex.cgi": 0, "katex": 0, "math-container": 0, "wp-katex-eq": 0, "align": 0, "equation": 0, "x-ck12": 0, "texerror": 0, "math_score": 0.8045737743377686, "perplexity": 20863.303230317557}, "config": {"markdown_headings": true, "markdown_code": true, "boilerplate_config": {"ratio_threshold": 0.18, "absolute_threshold": 10, "end_threshold": 15, "enable": true}, "remove_buttons": true, "remove_image_figures": true, "remove_link_clusters": true, "table_config": {"min_rows": 2, "min_cols": 3, "format": "plain"}, "remove_chinese": true, "remove_edit_buttons": true, "extract_latex": true}, "warc_path": "s3://commoncrawl/crawl-data/CC-MAIN-2017-43/segments/1508187823016.53/warc/CC-MAIN-20171018161655-20171018181655-00285.warc.gz"}