b'\n_START_ARTICLE_\nSegnatura (algebra lineare)\n_START_PARAGRAPH_\nIn matematica, e pi\xc3\xb9 precisamente in algebra lineare, la segnatura \xc3\xa8 una terna di numeri che fornisce delle informazioni su una matrice simmetrica o su un prodotto scalare._NEWLINE_La segnatura \xc3\xa8 utile a determinare le propriet\xc3\xa0 essenziali di un prodotto scalare. Ad esempio, un  prodotto scalare definito positivo, come quello presente in uno spazio euclideo, ha segnatura , mentre lo spazio-tempo di Minkowski (fondamentale nella teoria della relativit\xc3\xa0) ha segnatura  oppure , a seconda delle convenzioni.\n_START_SECTION_\nDefinizione\n_START_PARAGRAPH_\nSia  una matrice simmetrica reale (cio\xc3\xa8 i cui valori sono numeri reali). La segnatura  di  \xc3\xa8 una terna di numeri naturali definita nel modo seguente: i valori  e  sono rispettivamente il numero di autovalori positivi, negativi e nulli di , ciascuno \xc3\xa8 contato con la sua molteplicit\xc3\xa0 algebrica._NEWLINE_Se  \xc3\xa8 un prodotto scalare su uno spazio vettoriale  di dimensione finita, la segnatura di  \xc3\xa8 definita come la segnatura della matrice che rappresenta  rispetto ad una qualsiasi base.\n_START_SECTION_\nNotazioni alternative\n_START_PARAGRAPH_\nNei casi in cui , vengono spesso usate notazioni differenti per la segnatura. Innanzitutto, il termine  \xc3\xa8 omesso, e si parla di segnatura come coppia  di numeri. In alternativa, la segnatura \xc3\xa8 descritta scrivendo i segni "" e "" rispettivamente  e  volte. Quindi si scrive  per , cio\xc3\xa8 , e  per , cio\xc3\xa8 . Queste sono le notazioni usate ad esempio nella relativit\xc3\xa0 ristretta e generale.\n_START_SECTION_\nTeorema spettrale\n_START_PARAGRAPH_\nPer il teorema spettrale, una matrice simmetrica reale  \xc3\xa8 diagonalizzabile. In particolare, ha esattamente  autovalori (contati con molteplicit\xc3\xa0). Quindi .\n_START_SECTION_\nTeorema di Sylvester\n_START_PARAGRAPH_\nPer il teorema di Sylvester, due prodotti scalari sono isometrici se e solo se hanno la stessa segnatura. Quindi la segnatura \xc3\xa8 un invariante completo per i prodotti scalari, visti a meno di isometria. Analogamente, due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura.\n_START_SECTION_\nInterpretazione geometrica degli indici\n_START_PARAGRAPH_\nI valori  e  sono detti indice di positivit\xc3\xa0, negativit\xc3\xa0 e nullit\xc3\xa0. L\'indice di nullit\xc3\xa0 \xc3\xa8 la dimensione del radicale di , oppure del nucleo di . Quindi un prodotto scalare non degenere ha segnatura ._NEWLINE_Gli indici  e  sono la massima dimensione di un sottospazio su cui il prodotto scalare \xc3\xa8 rispettivamente definito positivo o negativo.'