b'\n_START_ARTICLE_\nVariet\xc3\xa0 riemanniana\n_START_PARAGRAPH_\nIn matematica, la nozione di variet\xc3\xa0 riemanniana \xc3\xa8 centrale in geometria differenziale, ed \xc3\xa8 utile a modellizzare spazi "curvi" di dimensione arbitraria._NEWLINE_Una variet\xc3\xa0 riemanniana \xc3\xa8 una variet\xc3\xa0 differenziabile su cui sono definite le nozioni di distanza, lunghezza, geodetica, area (o volume), curvatura. Prende il nome dal matematico tedesco Bernhard Riemann.\n_START_SECTION_\nDefinizione\n_START_PARAGRAPH_\nLa definizione di variet\xc3\xa0 riemanniana \xc3\xa8 la seguente._NEWLINE_Una variet\xc3\xa0 riemanniana \xc3\xa8 una variet\xc3\xa0 differenziabile  dotata di un tensore metrico  definito positivo._NEWLINE_Il tensore metrico  definisce quindi un prodotto scalare definito positivo sullo spazio tangente di ogni punto di ._NEWLINE_La variet\xc3\xa0 riemanniana \xc3\xa8 spesso indicata come coppia .\n_START_SECTION_\nNozioni geometriche basilari\n_START_PARAGRAPH_\nGrazie al solo tensore metrico , \xc3\xa8 possibile definire su una variet\xc3\xa0 riemanniana  numerose nozioni presenti nell\'usuale spazio euclideo. Tutte queste nozioni dipendono fortemente dalla scelta di .\n_START_SECTION_\nGeodetica\n_START_PARAGRAPH_\nUna geodetica \xc3\xa8 l\'analogo della linea retta nell\'usuale spazio (o piano) euclideo. Si tratta di una curva differenziabile  che minimizza localmente la lunghezza. Pi\xc3\xb9 precisamente, ogni  interno al dominio  ha un intorno  tale che la distanza fra  e  \xc3\xa8 uguale alla lunghezza del sotto-arco di  che collega i due punti, per ogni  in .\n_START_SECTION_\nCompletezza\n_START_PARAGRAPH_\nUna variet\xc3\xa0 riemanniana \xc3\xa8 in particolare uno spazio metrico, e in quanto tale pu\xc3\xb2 essere completa o meno. Esistono vari criteri equivalenti di completezza, forniti dal teorema di Hopf-Rinow. _NEWLINE_Una variet\xc3\xa0 compatta \xc3\xa8 sempre completa. Una variet\xc3\xa0 differenziabile non compatta pu\xc3\xb2 essere completa o meno: la completezza \xc3\xa8 in questo caso fortemente dipendente dal tensore di curvatura.\n_START_SECTION_\nCurvatura\n_START_PARAGRAPH_\nLa curvatura misura la tendenza della geometria locale su una variet\xc3\xa0 riemanniana a discostarsi dalla usuale geometria euclidea. La curvatura \xc3\xa8 una misura locale, che pu\xc3\xb2 essere realizzata in vari modi. _NEWLINE_La curvatura di una superficie  \xc3\xa8 misurata dalla curvatura gaussiana, un numero reale associato ad ogni punto di . Per una variet\xc3\xa0 di dimensione maggiore, la codifica e lo studio della curvatura sono pi\xc3\xb9 complessi. L\'oggetto che descrive completamente la curvatura di una variet\xc3\xa0 \xc3\xa8 il tensore di Riemann, un tensore di ordine . _NEWLINE_Il tensore di Riemann \xc3\xa8 un oggetto algebrico molto complesso, e quindi spesso si ricorre a nozioni di curvatura pi\xc3\xb9 semplici da manipolare. La curvatura sezionale misura la curvatura su ogni piano passante per un punto: questa nozione pi\xc3\xb9 geometrica di curvatura \xc3\xa8 molto ricca, contiene le stesse informazioni del tensore di Riemann ed \xc3\xa8 spesso di pi\xc3\xb9 facile applicazione. Il tensore di Ricci e la curvatura scalare sono due versioni "semplificate" del tensore di Riemann, ottenute contraendo alcuni indici del tensore. Il tensore di Ricci \xc3\xa8 un tensore di tipo , e la curvatura scalare un numero, simile alla curvatura gaussiana._NEWLINE_Tutte queste nozioni misurano la curvatura intrinseca della variet\xc3\xa0, determinata unicamente dalla sua struttura di variet\xc3\xa0 riemanniana. Nozioni di curvatura estrinseca sono applicabili soltanto quando la variet\xc3\xa0 \xc3\xa8 contenuta in un\'altra variet\xc3\xa0 pi\xc3\xb9 grande: ad esempio, nel caso di una superficie contenuta nello spazio  esistono anche le nozioni di curvatura principale e curvatura media, che a differenza della curvatura gaussiana non sono definite su una superficie astratta.'