b"\n_START_ARTICLE_\nDistribuzione Gamma\n_START_SECTION_\nPropriet\xc3\xa0\n_START_PARAGRAPH_\nSe  segue la distribuzione Gamma allora  segue la distribuzione Gamma._NEWLINE_Se  sono variabili aleatorie indipendenti, ognuna con distribuzione Gamma, allora la loro somma  segue la distribuzione Gamma.\n_START_SECTION_\nStimatori\n_START_PARAGRAPH_\nCalcoliamo ora degli stimatori che possano, dato un campione presumibilmente Gamma distribuito, restituirci una stima dei suoi parametri  e ._NEWLINE_Per farlo adottiamo il metodo della massima verosimiglianza, pertanto cominciamo con lo scrivere la funzione di verosimiglianza dato il campione_NEWLINE_Cominciamo con il determinare , il parametro pi\xc3\xb9 semplice da stimare._NEWLINE_Notiamo che la funzione di verosimiglianza \xc3\xa8 ovunque positiva e nel limite degli estremi di , si annulla._NEWLINE_Pertanto se imponiamo la sua derivata uguale a zero, nel caso la soluzione sia unica, questa deve per forza essere un punto di massimo._NEWLINE_Occorre adesso eguagliare a zero tale espressione_NEWLINE_Ed ecco il nostro stimatore di , che ricorda molto una media aritmetica, riscalata sul parametro k (che ricordiamo essere uguale a 1 nel caso particolare della distribuzione esponenziale). Si pu\xc3\xb2 notare facilmente che il valor atteso di questo stimatore \xc3\xa8 proprio , data la linearit\xc3\xa0 dell'operatore._NEWLINE_Ricordiamo _NEWLINE_Prendiamo ora in esame il calcolo dello stimatore per _NEWLINE_Anche qui la funzione di verosimiglianza si annulla per il limite di  e , pertanto procediamo con il calcolo della derivata._NEWLINE_Con  indichiamo la funzione digamma cos\xc3\xac definita_NEWLINE_Che pu\xc3\xb2 essere espressa mediante una relazione integrale_NEWLINE_Eguagliando a zero la nostra funzione di verosimiglianza otteniamo il nostro punto di massimo_NEWLINE_La funzione digamma, nei reali positivi \xc3\xa8 strettamente crescente, per cui esiste la funzione inversa_NEWLINE_Questo stimatore ottenuto \xc3\xa8 asintoticamente corretto (ovvero per una popolazione con  molto grande), ma per valori finiti andrebbe verificato il suo valore atteso che, se risultasse essere k, allora sarebbe un corretto stimatore._NEWLINE_Calcoliamo quindi_NEWLINE_ _NEWLINE_dove abbiamo usato la linearit\xc3\xa0 del valore atteso e scritto la sua definizione su variabile aleatoria continua._NEWLINE_Ovviamente tutti gli integrali nella i-esima variabile sono uguali tra di loro, quindi la loro somma d\xc3\xa0 n volte il singolo integrale nella generica variabile di integrazione t._NEWLINE_e il risultato di quest'ultimo integrale \xc3\xa8 proprio  per qualunque k con parte reale positiva. Abbiamo quindi ottenuto l'identit\xc3\xa0_NEWLINE_ che non \xc3\xa8 sufficiente a dire che lo stimatore sia corretto (non solo per n grandi), ma \xc3\xa8 tuttavia necessario._NEWLINE_In effetti dalla disuguaglianza di Jensen (secondo cui  per una qualunque variabile aleatoria X e una funzione convessa ) si ottiene un risultato pi\xc3\xb9 forte grazie al fatto che la funzione  \xc3\xa8 convessa su tutto il suo dominio_NEWLINE_Infatti usando la disuguaglianza di Jensen per  e risulter\xc3\xa0_NEWLINE_dall'uguaglianza ottenuta in precedenza il membro di sinistra si semplifica cos\xc3\xac da avere"