b'\n_START_ARTICLE_\nParadosso di Banach-Tarski\n_START_PARAGRAPH_\nDimostrato per la prima volta da Stefan Banach e Alfred Tarski nel 1924, il paradosso di Banach-Tarski, o paradosso di Hausdorff-Banach-Tarski, \xc3\xa8 il famoso risultato del "raddoppiamento della sfera" ("doubling the ball") con cui si stabilisce che, adoperando l\'assioma della scelta, \xc3\xa8 possibile prendere una sfera nello spazio a 3 dimensioni, suddividerla in un insieme finito di pezzi non misurabili e, utilizzando solo rotazioni e traslazioni, riassemblare i pezzi in modo da ottenere due sfere dello stesso raggio dell\'originale.\n_START_SECTION_\nDescrizione\n_START_PARAGRAPH_\nCon questo risultato, Banach e Tarski intendevano fornire argomenti a sostegno della loro decisione di non avvalersi dell\'assioma della scelta e speravano di spingere alle medesime conclusioni gli altri matematici dell\'epoca. Contrariamente a quanto da loro auspicato, tuttavia, la maggior parte dei matematici preferisce utilizzare tale assioma e vedere nel risultato paradossale di Banach e Tarski semplicemente un risultato controintuitivo (e tuttavia di per s\xc3\xa9 non contraddittorio)._NEWLINE_Il paradosso mostra che non \xc3\xa8 possibile formulare una nozione di misura che da una parte si accordi con la classica nozione di volume (e che, quindi, sia invariante per roto-traslazioni) e che dall\'altra possa essere applicata a tutti i sottoinsiemi dello spazio. _NEWLINE_Detto in altri termini:_NEWLINE_se della classica nozione di volume si vuole preservare la propriet\xc3\xa0 di invarianza roto-traslazionale, allora si deve rinunciare alla pretesa di misurare ogni sottoinsieme dello spazio, ovvero si deve accettare il fatto che esistano sottoinsiemi dello spazio per i quali la nozione di volume non \xc3\xa8 definita._NEWLINE_Difatti, il paradosso si spiega proprio con il fatto che alcuni dei pezzi in cui risulta suddivisa la prima sfera risultano essere insiemi ai quali la nozione di volume non pu\xc3\xb2 essere applicata, nonostante sia l\'insieme di partenza (la prima sfera) sia quello d\'arrivo (la coppia di sfere) abbiano invece un volume ben definito._NEWLINE_La dimostrazione dell\'esistenza di insiemi il cui volume non pu\xc3\xb2 essere definito era gi\xc3\xa0 stata ottenuta da Giuseppe Vitali con il famoso esempio dell\'insieme di Vitali. Ma nell\'insieme di Vitali viene fatta una decomposizione in un numero infinito (ma numerabile) di parti mentre nel paradosso di Banach-Tarski la suddivisione \xc3\xa8 in un numero finito di parti._NEWLINE_Infine, \xc3\xa8 utile osservare che sia la costruzione di Vitali sia quella di Banach-Tarski si basano sull\'assioma della scelta: \xc3\xa8 stato dimostrato che se non si utilizza tale assioma allora non \xc3\xa8 possibile costruire l\'insieme di Vitali n\xc3\xa9 dimostrare il paradosso di Banach-Tarski.'