b'\n_START_ARTICLE_\nProblema di Monty Hall\n_START_PARAGRAPH_\nIl problema di Monty Hall (o paradosso di Monty Hall) \xc3\xa8 un famoso problema di teoria della probabilit\xc3\xa0, legato al gioco a premi statunitense Let\'s Make a Deal. Prende il nome da quello del conduttore dello show, Maurice Halprin, noto con lo pseudonimo di Monty Hall. Il problema \xc3\xa8 anche noto come paradosso di Monty Hall, poich\xc3\xa9 la soluzione pu\xc3\xb2 apparire controintuitiva, ma non si tratta di una vera antinomia, in quanto non genera contraddizioni logiche._NEWLINE_Nel gioco vengono mostrate al concorrente tre porte chiuse; dietro ad una si trova un\'automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore pu\xc3\xb2 scegliere una delle tre porte, vincendo il premio corrispondente. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l\'ha ancora aperta, il conduttore dello show \xe2\x80\x93 che conosce ci\xc3\xb2 che si trova dietro ogni porta\xc2\xa0\xe2\x80\x93 apre una delle altre due, rivelando una delle due capre, e offre al giocatore la possibilit\xc3\xa0 di cambiare la propria scelta iniziale, passando all\'unica porta restante; cambiare la porta migliora le chance del giocatore di vincere l\'automobile, portandole da 1/3 a 2/3.\n_START_SECTION_\nAiuti alla comprensione del problema\n_START_PARAGRAPH_\nL\'obiezione pi\xc3\xb9 comune alla soluzione \xc3\xa8 fornita dall\'idea che, per varie ragioni, il passato possa essere ignorato quando si valutano delle probabilit\xc3\xa0. Dunque, la scelta della prima porta e il ragionamento del conduttore circa quale porta aprire si possono trascurare; dal momento che si pu\xc3\xb2 scegliere tra due porte, la probabilit\xc3\xa0 di scegliere quella giusta dovrebbe essere pari al 50%, indipendentemente che si decida di cambiare o mantenere la porta scelta._NEWLINE_Per confutare ci\xc3\xb2 possiamo porci una domanda. Ipotizziamo che un giocatore adotti la strategia di non accettare mai l\'offerta del conduttore, qualunque essa sia. Se le probabilit\xc3\xa0 di vincita all\'inizio sono del 33%, ha senso pensare che queste passino automaticamente al 50% solo perch\xc3\xa9 il conduttore ha chiesto qualcosa che il giocatore non ascolta neanche? Ovviamente no._NEWLINE_Uno scenario che giustificherebbe la stima del 50% da parte del giocatore sarebbe il seguente: supponiamo che le capre e l\'auto vengano collocate da un operatore nascosto non all\'inizio del gioco, bens\xc3\xac dopo la scelta (casuale) della porta da parte del conduttore prima per\xc3\xb2 che questa venga effettivamente aperta. L\'operatore viene incaricato di simulare il gioco, quindi metter\xc3\xa0 necessariamente una capra dietro la porta da aprire mentre l\'auto e la capra rimasta saranno messe casualmente dietro le restanti due porte. Dopo avere aperto la porta la probabilit\xc3\xa0 di vincere da parte del giocatore diviene effettivamente del 50%._NEWLINE_Sebbene ignorare il passato funzioni in certi giochi, come ad esempio nel lancio di una moneta, non funziona necessariamente in tutti i giochi. Un rilevante controesempio \xc3\xa8 fornito dal conteggio delle carte uscite in certi giochi di carte, che consente ai giocatori di sfruttare a proprio vantaggio l\'informazione riguardante eventi passati. Questo tipo di informazione \xc3\xa8 utile nella soluzione del problema di Monty Hall, come illustrato negli esempi che seguono._NEWLINE_Infatti, \xc3\xa8 pi\xc3\xb9 facile (probabile) che il giocatore si trovi ad aver scelto (prima scelta nel passato) una capra (aveva due possibilit\xc3\xa0 su tre per una capra contro una possibilit\xc3\xa0 su tre per l\'automobile)._NEWLINE_Quello che realmente fa la differenza \xc3\xa8 la conoscenza del futuro o almeno la restrizione dei possibili eventi futuri. Mentre nel lancio della moneta le probabilit\xc3\xa0 di uscita testa o croce non dipendono dai lanci passati, negli esempi di carte (contare le carte) o del problema di Monty Hall i possibili eventi futuri si "riducono" dopo un preciso episodio. Nel caso del contare le carte, l\'uscita di una carta modifica le possibili carte che possono ancora uscire, quindi ne modifica la probabilit\xc3\xa0. Nel caso del problema di Monty Hall, l\'esclusione da parte del conduttore di una scelta certamente "sconveniente" rende attraente la porta rimanente pi\xc3\xb9 interessante della prima porta scelta quando non si aveva nessuna conoscenza._NEWLINE_In realt\xc3\xa0 l\'errore cognitivo base \xc3\xa8 di considerare la possibilit\xc3\xa0 di scelta offerta dal presentatore al concorrente, dopo aver scoperto la carta con la capra, come una giocata DIVERSA, come se il gioco ricominciasse EX NOVO, e quindi le probabilita\' si azzerassero rispetto alla prima giocata; in realt\xc3\xa0 il gioco CONTINUA, con le stesse probabilita\'; naturalmente al concorrente, dopo la proposta del presentatore, conviene cambiare carta, in quanto, se non la cambiasse, non potrebbe approfittare dell\'informazione che gli da\' il presentatore scoprendo la carta con la capra, carta che il concorrente NON HA MODO DI SAPERE quale sia PRIMA che il presentatore la scopra; nel momento in cui quest\'informazione arriva al concorrente, quest\' ultimo ha una sola possibilit\xc3\xa0 di approfittarne, cio\xc3\xa8 CAMBIARE la carta scelta: in questo modo, a fronte del gioco, \xc3\xa8 come se gli fosse data la possibilit\xc3\xa0 di scegliere 2 carte su 3 per tentare di vincere l\'auto, da cui la probabilita dei due terzi (66 percento). Se non facesse il cambio, rimarrebbe invariabilmente "bloccato" sulla probabilita\' di un terzo (33 percento) della sua giocata iniziale, avvenuta fatalmente PRIMA di avere l\'informazione CERTA di dove si trovasse una delle due capre in gioco.\n_START_SECTION_\nDiagrammi di Eulero-Venn\n_START_PARAGRAPH_\nLa probabilit\xc3\xa0 che l\'auto sia dietro la porta restante pu\xc3\xb2 essere calcolata con l\'ausilio del diagramma di Venn illustrato sotto. Dopo aver scelto la porta 1, per esempio, il giocatore ha probabilit\xc3\xa0 1/3 di aver selezionato la porta con l\'auto, il che assegna una probabilit\xc3\xa0 pari a 2/3 alle due porte restanti. Si osservi che c\'\xc3\xa8 una probabilit\xc3\xa0 pari a 1 di trovare una capra dietro almeno una delle due porte non selezionate dal giocatore, dal momento che c\'\xc3\xa8 una sola auto in palio._NEWLINE_Si supponga che il conduttore apra la porta 3. Dal momento che pu\xc3\xb2 solo aprire una porta che nasconde una capra, e non apre una porta a caso, questa informazione non ha effetto sulla probabilit\xc3\xa0 che l\'auto sia dietro la porta originariamente selezionata, che resta pari a 1/3._NEWLINE_Ma l\'auto non \xc3\xa8 dietro la porta 3, dunque l\'intera probabilit\xc3\xa0 di 2/3 delle due porte non selezionate dal giocatore \xc3\xa8 ora assegnata alla sola porta 2, come mostrato sotto. Un modo alternativo per arrivare a questa conclusione \xc3\xa8 osservare che se l\'auto si trova dietro la porta 2 o dietro la porta 3, aprire la porta 3 implica che l\'auto si trova dietro la 2 e viceversa._NEWLINE_Osserviamo che il problema non cambierebbe se il conduttore, anzich\xc3\xa9 aprire una porta, offrisse al giocatore la possibilit\xc3\xa0 di cambiare la porta scelta con entrambe le altre. In questo caso \xc3\xa8 evidente che la probabilit\xc3\xa0 \xc3\xa8 2/3._NEWLINE_Viceversa, la situazione cambierebbe completamente se il presentatore, dopo aver escluso la porta 3, scambiasse casualmente i premi nascosti dietro le porte 1 e 2. In questo caso il giocatore avrebbe probabilit\xc3\xa0 1/2 di vincere sia se mantiene la porta 1, sia se la cambia. Senza questo rimescolamento le probabilit\xc3\xa0 restano 1/3 e 2/3.\n_START_SECTION_\nTeorema delle probabilit\xc3\xa0 totali\n_START_PARAGRAPH_\nDimostriamo ora che, cambiando sempre l\'ultima scelta, la probabilit\xc3\xa0 di vincere l\'automobile \xc3\xa8  mediante il teorema delle probabilit\xc3\xa0 totali. Ricordiamo che la nostra strategia \xc3\xa8 di scegliere mentalmente due porte, di indicare al conduttore l\'altra porta e poi di cambiare. Indichiamo con  l\'evento "vittoria seguendo questa strategia". Sia  l\'evento "sotto le due porte scelte mentalmente c\'\xc3\xa8 la macchina" e  l\'evento complementare. Chiaramente . Si noti anche che _NEWLINE_poich\xc3\xa9, grazie alla strategia scelta, se la macchina si trova dietro le due porte scelte mentalmente, il conduttore ci indicher\xc3\xa0 poi quella vincente aprendo la porta perdente. Per il teorema delle probabilit\xc3\xa0 totali abbiamo allora\n_START_SECTION_\nIl conduttore non sa cosa ci sia dietro le porte\n_START_PARAGRAPH_\nDopo la scelta del concorrente, il conduttore apre una delle due porte rimaste. Poich\xc3\xa9 non sa cosa c\'\xc3\xa8 dietro, con probabilit\xc3\xa0 1/3 trova l\'auto e il gioco finisce. Con probabilit\xc3\xa0 2/3 trova invece la capra e pu\xc3\xb2 chiedere al concorrente se vuole effettuare il cambio con la porta rimasta chiusa. In questo caso accettare lo scambio non fa aumentare al concorrente la sua probabilit\xc3\xa0 di vincere che a questo punto \xc3\xa8 di 1/2 qualunque sia la sua decisione.\n_START_SECTION_\nn porte\n_START_PARAGRAPH_\nEsiste una generalizzazione del problema originale in cui si hanno n porte: nel primo stadio del gioco, il giocatore sceglie una porta. Quindi il conduttore apre un\'altra porta, che nasconde una capra. Se il giocatore vuole, pu\xc3\xb2 quindi cambiare scelta e passare a un\'altra porta. Il conduttore aprir\xc3\xa0 allora un\'ulteriore porta, ancora non aperta, che nasconde una capra, diversa da quella attualmente scelta dal giocatore. Il giocatore ha quindi la possibilit\xc3\xa0 di cambiare ancora scelta, e cos\xc3\xac via. Questo procedimento continua fino a che non restano che due porte non ancora aperte: la scelta corrente del giocatore, e un\'altra porta. Quante volte dovrebbe cambiare scelta il giocatore, e a che punto del gioco (sempre che cambi almeno una volta)?_NEWLINE_La migliore strategia \xc3\xa8: restare con la prima scelta sino a che non rimangano solo due porte e a quel punto cambiare. Seguendo questa strategia la probabilit\xc3\xa0 di vincere \xc3\xa8 . Questa variante del paradosso di Monty Hall si deve a Bapeswara Rao e Rao.\n_START_SECTION_\nVariante nel gioco del bridge\n_START_PARAGRAPH_\nUna comune variante del problema \xc3\xa8 nota ai giocatori di bridge da ben prima che l\'articolo della Vos Savant fosse pubblicato. Tale variante \xc3\xa8 nota come principio della scelta ristretta.\n_START_SECTION_\nVersione quantistica\n_START_PARAGRAPH_\nEsiste una versione quantistica del paradosso, che illustra alcuni aspetti della relazione tra la teoria dell\'informazione classica (non quantistica) e l\'informazione quantistica, ossia l\'informazione codificata negli stati di sistemi meccanici quantistici. Le tre porte sono rimpiazzate da un sistema quantistico che consta di tre alternative, in cui aprire una porta e vedere cosa nasconde si traduce in fare una particolare misurazione. Le regole del gioco possono essere espresse in questo linguaggio, e ancora una volta il giocatore pu\xc3\xb2 scegliere se restare fedele alla propria scelta iniziale o cambiare e optare per una scelta alternativa ("ortogonale"). Quest\'ultima strategia ha probabilit\xc3\xa0 di vittoria doppie, esattamente come nel caso classico. Tuttavia, se la posizione del premio non \xc3\xa8 pienamente casuale in senso quantistico, il giocatore pu\xc3\xb2 fare ancora meglio, e in determinati casi vincere con probabilit\xc3\xa0 pari a uno. \xc3\x88 disponibile in rete un articolo al riguardo, nonch\xc3\xa9 un\'applet che illustra gli effetti cos\xc3\xac descritti.\n_START_SECTION_\nSpiegazione caso per caso\n_START_PARAGRAPH_\nPoich\xc3\xa9 in questo gioco i casi possibili non sono molti, si pu\xc3\xb2 pensare di schematizzarli come segue, raggruppandoli seguendo la scelta della porta iniziale:_NEWLINE_Scelgo la porta A_NEWLINE_1. GGC \xe2\x86\x92  (M apre la 2) \xe2\x86\x92 GXC \xe2\x86\x92 resto-perdo, cambio-vinco_NEWLINE_2. GCG \xe2\x86\x92  (M apre la 3) \xe2\x86\x92 GCX \xe2\x86\x92 resto-perdo, cambio-vinco_NEWLINE_3. CGG \xe2\x86\x92  (M apre la 2 o la 3) \xe2\x86\x92 CXG o CGX \xe2\x86\x92 resto-vinco, cambio-perdo_NEWLINE_Scelgo la porta B_NEWLINE_1. GGC \xe2\x86\x92 (M apre la 1) \xe2\x86\x92 XGC \xe2\x86\x92 resto-perdo, cambio-vinco_NEWLINE_2. GCG \xe2\x86\x92 (M apre la 1 o la 3) \xe2\x86\x92 XCG o GCX \xe2\x86\x92 resto-vinco, cambio-perdo_NEWLINE_3. CGG \xe2\x86\x92 (M apre la 3) \xe2\x86\x92 CGX \xe2\x86\x92 resto-perdo, cambio-vinco_NEWLINE_Scelgo la porta C_NEWLINE_1. GGC \xe2\x86\x92   (M apre la 1 o la 2) \xe2\x86\x92 XGC o GXC \xe2\x86\x92 resto-vinco, cambio-perdo_NEWLINE_2. GCG \xe2\x86\x92  (M apre la 1) \xe2\x86\x92 XCG \xe2\x86\x92 resto-perdo, cambio-vinco_NEWLINE_3. CGG \xe2\x86\x92   (M apre la 2) \xe2\x86\x92 CXG \xe2\x86\x92 resto-perdo, cambio-vinco_NEWLINE_Le disposizioni in elenco numerate da uno a tre sono le configurazioni in cui si possono trovare disposte le due capre (G=Goat) e l\'auto (C=Car) dietro ciascuna porta (A,B o C) all\'inizio del gioco. Ovviamente non cambiano al cambiare della prima scelta del concorrente e sono a lui del tutto ignote. Dopo tale scelta iniziale, il conduttore (M=Monty) apre una delle due porte che nascondono le capre, cosicch\xc3\xa9 rimangono due porte chiuse, cio\xc3\xa8 quella inizialmente scelta e l\'ultima da aprire: ad esempio, in caso di scelta della porta A ed in presenza della disposizione 1, avremo il caso iniziale GGC (in cui il grassetto indica la porta scelta), dove Monty sar\xc3\xa0 costretto a rivelare la capra dietro la porta B, cio\xc3\xa8, indicando con X la porta aperta non pi\xc3\xb9 in gioco, ci troveremo nel caso GXC. In questo caso, se il concorrente rimane sulla propria scelta iniziale (resto), perde._NEWLINE_Come si pu\xc3\xb2 notare semplicemente contando i casi vincenti relativi ad ogni modalit\xc3\xa0 di gioco, cio\xc3\xa8 qualsiasi porta inizialmente lui scelga e considerando le tre disposizioni possibili, ne esistono due su tre favorevoli al concorrente che corrispondono al cambiare la scelta iniziale.'