b"\n_START_ARTICLE_\nCongettura di Birch e Swinnerton-Dyer\n_START_PARAGRAPH_\nIn matematica, la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer riguarda un particolare tipo di curve, le curve ellittiche nei numeri razionali. Questa congettura si basa sul fatto che le equazioni abbiano finite o infinite soluzioni razionali. Il decimo problema di Hilbert era simile, ma trattava delle equazioni diofantee, e ne \xc3\xa8 stata dimostrata l'indecidibilit\xc3\xa0.\n_START_SECTION_\nContesto\n_START_PARAGRAPH_\nTra i problemi presentati da Hilbert, il decimo riguardava le equazioni diofantee, ovvero quelle equazioni in pi\xc3\xb9 incognite di cui si cercano le soluzioni intere. Nel 1970 Yuri Matiyasevich dimostr\xc3\xb2 che non esiste un metodo generale per risolverle. Tuttavia quando le soluzioni sono i punti di una variet\xc3\xa0 abeliana, la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer afferma che la dimensione del gruppo dei punti razionali della curva \xc3\xa8 legata al comportamento di una certa funzione , per valori di  vicini a .\n_START_SECTION_\nIntroduzione matematica\n_START_PARAGRAPH_\nNel 1922 Louis Mordell ha dimostrato il teorema di Mordell, che afferma che il gruppo di punti razionali su una curva ellittica \xc3\xa8 finitamente generato. Questo significa che per ogni curva ellittica vi \xc3\xa8 un sottoinsieme finito di punti razionali della curva, da cui tutti gli altri punti razionali possono essere ottenuti. Se il numero di punti razionali della curva \xc3\xa8 infinito, allora almeno un punto della base deve avere ordine infinito._NEWLINE_Il numero di generatori del gruppo dei punti razionali \xc3\xa8 chiamato rango della curva ellittica, ed \xc3\xa8 un'importante propriet\xc3\xa0 di invarianza delle curve ellittiche. Se il rango di una curva ellittica \xc3\xa8 , allora la curva ha solo un numero finito di punti razionali. D'altro canto, se il rango della curva \xc3\xa8 maggiore di , allora la curva ha un numero infinito di punti razionali. Sebbene il teorema di Mordell mostri che il rango di una curva ellittica \xc3\xa8 sempre finito, esso non fornisce un metodo efficace per calcolarlo per ogni curva. Il rango di alcune curve ellittiche pu\xc3\xb2 essere calcolato utilizzando metodi numerici, ma (allo stato attuale delle conoscenze) questi non possono essere generalizzati per gestire tutte le curve._NEWLINE_Ad ogni curva ellittica  si pu\xc3\xb2 associare una funzione funzione L  attraverso la costruzione di un prodotto di Eulero utilizzando il numero di punti della curva su un campo finito di  elementi con  primo. Questa funzione L \xc3\xa8 analoga alla funzione zeta di Riemann e alle funzioni L di Dirichlet e si tratta di un caso particolare di una funzione L di Hasse-Weil._NEWLINE_La definizione di  come serie converge solo per valori di  nel piano complesso con . Helmut Hasse ha congetturato che  potrebbe essere estesa per prolungamento analitico in tutto il piano complesso. Questa ipotesi \xc3\xa8 stata dimostrata da Max Deuring per curve ellittiche con moltiplicazione complessa. \xc3\x88 stato successivamente dimostrato che questo \xc3\xa8 vero per tutte le curve ellittiche, come una conseguenza del teorema di modularit\xc3\xa0._NEWLINE_Trovare punti razionali su una generica curva ellittica \xc3\xa8 un problema difficile. Trovare i punti su una curva ellittica modulo un numero primo  \xc3\xa8 invece concettualmente semplice, in quanto vi sono solo un numero finito di possibilit\xc3\xa0 da controllare. Tuttavia, per grandi numeri primi \xc3\xa8 computazionalmente faticoso.\n_START_SECTION_\nPremio Clay Mathematics Institute\n_START_PARAGRAPH_\nLa congettura di Birch e Swinnerton-Dyer \xc3\xa8 uno dei sette problemi del millennio selezionati dal Clay Mathematics Institute, che offre un premio di 1 milione di dollari per la prima prova di tutta la congettura."