b'\n_START_ARTICLE_\nInvarianza di scala\n_START_SECTION_\nGeometria proiettiva\n_START_PARAGRAPH_\nL\'idea di una invarianza di scala dei monomi si generalizza in un numero maggiore di dimensioni all\'idea dei polinomi omogenei e pi\xc3\xb9 genericamente alle funzioni omogenee. Le funzioni omogenee sono la base naturale degli spazi proiettivi e i polinomi omogenei sono studiati come variet\xc3\xa0 proiettive in geometria proiettiva. La geometria proiettiva \xc3\xa8 un campo particolarmente fertile della matematica; nella sua forma pi\xc3\xb9 astratta, la geometria degli schemi, ha svariate connessioni con la teoria delle stringhe.\n_START_SECTION_\nFrattali\n_START_PARAGRAPH_\nSpesso comunemente i frattali sono indicati come oggetti invarianti di scala sebbene sarebbe pi\xc3\xb9 corretto dire che sono piuttosto auto-similari. Un frattale \xc3\xa8 uguale a se stesso tipicamente solamente per un insieme discreto di valori di \xce\xbb e anche le traslazioni e le rotazioni devono essere applicate in modo discreto per riottenere lo stesso frattale. Quindi per esempio, la curva di Koch scala con \xce\x94 = 1, ma il riscalamento \xc3\xa8 valido solo per valori di \xce\xbb = 1 / 3n con n intero. Inoltre, la curva di Koch si riscala non solo rispetto all\'origine, ma, in un certo senso, "dovunque": una copia in miniatura di tutto il frattale pu\xc3\xb2 essere ritrovata in qualsiasi punto della curva._NEWLINE_Alcuni frattali possono avere sequenze differenti di valori di invarianza di scala che sono studiate con l\'analisi multifrattale.\n_START_SECTION_\nCosmologia\n_START_PARAGRAPH_\nNella cosmologia, lo spettro di potenza della distribuzione spaziale della radiazione di fondo cosmica \xc3\xa8 prossima ad essere una distribuzione invariante di scala. Sebbene in matematica questo significhi che lo spettro esibisce una legge di potenza, in cosmologia il termine "invariante di scala" indica che l\'ampiezza, P(k), delle fluttuazioni primordiali come funzione del numero d\'onda, k, \xc3\xa8 approssimativamente costante, cio\xc3\xa8 uno spettro piatto. Questo tipo di spettro \xc3\xa8 consistente con i modelli inflativi.\n_START_SECTION_\nInvarianza di scala nelle teorie quantistiche dei campi\n_START_PARAGRAPH_\nLa dipendenza dalla scala di una teoria di campo (QFT) \xc3\xa8 caratterizzata dal modo in cui le sue costanti di accoppiamento dipendono dall\'energia a cui avviene un dato processo. Questa dipendenza dall\'energia \xc3\xa8 descritta dal gruppo di rinormalizzazione, ed \xc3\xa8 codificata nella funzione beta della teoria._NEWLINE_Per avere una teoria QFT invariante di scala, le sue costanti di accoppiamento devono essere indipendenti dalla scala di energia e questo \xc3\xa8 indicato dall\'annullarsi della funzione beta della teoria. Queste teorie sono note come punti fissi del corrispondente flusso del gruppo di rinormalizzazione.\n_START_SECTION_\nElettrodinamica quantistica\n_START_PARAGRAPH_\nUn semplice esempio di teoria di campo quantistica invariante di scala \xc3\xa8 il campo elettromagnetico libero quantizzato senza alcuna particella carica. Questa teoria, come il suo corrispettivo classico, \xc3\xa8 invariante di scala semplicemente dato che non contiene al suo interno alcuna costante di accoppiamento (n\xc3\xa9 con le assenti particelle cariche, n\xc3\xa9 con gli stessi fotoni dato che questi non interagiscono direttamente tra di loro)._NEWLINE_Tuttavia in natura il campo elettromagnetico \xc3\xa8 accoppiato con le particelle cariche, come per esempio gli elettroni o i positroni. La teoria quantistica che descrive sia i campi fermionici degli elettroni sia quelli elettromagnetici \xc3\xa8 nota come elettrodinamica quantistica (QED) e non \xc3\xa8 una teoria invariante di scala. Analizzando la funzione beta della QED, si ricava che la carica elettrica (che \xc3\xa8 il parametro di accoppiamento della teoria) cresce al crescere dell\'energia . Quindi, mentre il campo elettromagnetico quantizzato senza particelle cariche \xc3\xa8 invariante di scala, la QED non \xc3\xa8 invariante di scala.\n_START_SECTION_\nTeorie di campo scalari prive di massa\n_START_PARAGRAPH_\nCampi quantistici liberi e privi di massa non hanno parametri di accoppiamento. Quindi, in modo analogo a quanto accade nella teoria classica, questi campi sono invarianti di scala. Nel linguaggio del gruppo di rinormalizzazione questa teoria \xc3\xa8 nota come punto fisso gaussiano._NEWLINE_Inoltre, anche se la teoria classica \xcf\x86\xe2\x81\xb4 (che quindi ammette autointerazioni del campo con se stesso) \xc3\xa8 invariante di scala in , la versione quantizzata non \xc3\xa8 invariante di scala. Si pu\xc3\xb2 capire questo fatto osservando la funzione beta per il parametro di accoppiamento g._NEWLINE_Sebbene la teoria \xcf\x86\xe2\x81\xb4 quantistica non \xc3\xa8 invariante di scala, esistono altre teorie scalari quantizzate oltre a quella del punto fisso gaussiano che lo sono, ad esempio il punto fisso di Wilson-Fisher.\n_START_SECTION_\nTeoria dei campi conforme\n_START_PARAGRAPH_\nLe teorie quantistiche invarianti di scala sono quasi sempre invarianti sotto l\'azione di tutto il gruppo conforme e lo studio di queste teorie \xc3\xa8 noto come teoria dei campi conforme (CFT).  Alcuni operatori nella CFT hanno delle ben definite dimensioni di scala, analoghe alla potenza  dei casi precedenti. Tuttavia le dimensioni di scala degli operatori in una teoria CFT differiscono tipicamente da quelle classiche a causa di contributi quantistici noti come dimensioni di scala anomale.\n_START_SECTION_\nTransizioni di fase\n_START_PARAGRAPH_\nIn meccanica statistica, quando un sistema subisce una transizione di fase, le sue fluttuazioni sono descritte da una teoria di campo statistica invariante di scala (o CFT, conformal field theory, teoria dei campi conformi). Per un sistema in equilibrio (cio\xc3\xa8 indipendente dal tempo), ad una teoria statistica in D dimensioni spaziali corrisponde formalmente una teoria CFT  D-dimensionale. In questo ambito le dimensioni di scala sono solitamente denominate esponenti critici. Si pu\xc3\xb2 calcolare in linea di principio questi esponenti nella appropriata corrispondente teoria di campo conforme.\n_START_SECTION_\nL\'evoluzione di Schramm\xe2\x80\x93Loewner\n_START_PARAGRAPH_\nLe dimensioni anomale in alcune teorie di campo conformi bidimensionali possono essere correlate alla tipica dimensione frattale di un cammino aleatorio, in cui i passi casuali sono definiti tramite l\'evoluzione di Schramm-Loewner (LES). Le teorie CFT possono descrivere la fisica delle transizioni di fase, e cos\xc3\xac si possono collegare gli esponenti critici delle transizioni di fase alle dimensioni frattali. Alcuni esempi sono il modello di critico di Ising bidimensionale e il pi\xc3\xb9 generale modello di Potts bidimensionale. Collegare altre teorie conformi bidimensionali alle LES \xc3\xa8 un\'area attiva di ricerca.'