b"\n_START_ARTICLE_\nApprossimante di Pad\xc3\xa9\n_START_PARAGRAPH_\nIn matematica, e pi\xc3\xb9 precisamente in analisi complessa, l'approssimante di Pad\xc3\xa9 costituisce un metodo d'approssimazione di una funzione analitica con una funzione razionale. Si pu\xc3\xb2 considerare una estensione dello sviluppo della funzione in una serie di Taylor troncata (sviluppo limitato) che costituisce un'approssimazione della funzione con un polinomio._NEWLINE_Come lo sviluppo troncato in serie di Taylor tende ad una serie di potenze intera, che sotto opportune ipotesi converge alla funzione iniziale, l'approssimante di Pad\xc3\xa9 si pu\xc3\xb2 associare ad una successione, poich\xc3\xa9 si esprime come il troncamento di una frazione continua il cui limite \xc3\xa8 proprio la funzione iniziale. In questo senso le approssimanti fanno parte della vasta teoria delle frazioni continue._NEWLINE_In analisi complessa le approssimanti forniscono uno sviluppo della funzione con un dominio di convergenza a volte pi\xc3\xb9 ampio di quello della serie di potenze relativa alla funzione stessa. Esse permettono anche di prolungare alcune funzioni analitiche e di studiare aspetti riguardanti la questione delle serie divergenti. In teoria analitica dei numeri l'approssimante permette di mettere in evidenza la natura di un numero o di una funzione aritmetica come quella chiamata zeta di Riemann. Nell'analisi numerica l'approssimante viene utilizzata ad esempio per valutare il comportamento di una soluzione di un sistema dinamico in aiuto alla teoria delle perturbazioni._NEWLINE_L'approssimante di Pad\xc3\xa9 fu utilizzata per la prima volta da Leonhard Euler (1707 - 1783), per dimostrare l'irrazionalit\xc3\xa0 di e, la base del logaritmo naturale. Una tecnica analoga permise a Johann Heinrich Lambert (1707 - 1777) di mostrare l'irrazionalit\xc3\xa0 di \xcf\x80. Fu poi  Henri Pad\xc3\xa9 (1863 - 1953) che ne svilupp\xc3\xb2 la teoria.\n_START_SECTION_\nPresentazione dell'argomento\n_START_PARAGRAPH_\nSi sa che \xc3\xa8 utile poter approssimare una funzione data con una successione di funzioni facilmente studiabili. Questa osservazione fu all'origine della teoria delle serie di potenze che consiste nell'approssimare sempre pi\xc3\xb9 precisamente una funzione analitica per mezzo della serie dei suoi sviluppi limitati. La corrispondente teoria, oltre che sulle esigenze di calcolo numerico, influisce su molte altre questioni matematiche. Gli sviluppi limitati e cos\xc3\xac pure le serie di potenze sono utilizzati, ad esempio, per il calcolo di limiti e per la soluzione di equazioni differenziali._NEWLINE_L'obiettivo dell'approssimante di Pad\xc3\xa9 \xc3\xa8, in molti sensi, analogo a quello delle serie di potenze: si tratta di avvicinarsi il pi\xc3\xb9 possibile ad una funzione analitica mediante una funzione razionale. Il pi\xc3\xb9 possibile vuole dire che, per una coppia di interi positivi (p, q) data, la funzione razionale h(t) / k (t) \xc3\xa8 tale che    h(t) e k (t) sono polinomi il cui grado non supera rispettivamente p e q, e lo sviluppo di Taylor di questa frazione coincide il pi\xc3\xb9 possibile a quello della funzione f(t). _NEWLINE_Di regola i due sviluppi di Taylor coincidono fino all'ordine p + q. Una tale funzione \xc3\xa8 detta approssimante di Pad\xc3\xa9 della funzione f(t)._NEWLINE_Cos\xc3\xac come \xc3\xa8 interessante considerare la serie di Taylor di una funzione, \xc3\xa8 indispensabile studiare la successione delle approssimanti che si avvicinano sempre pi\xc3\xb9 alla funzione f. Le serie possono esprimersi sempre come frazioni continue. Nel caso dei polinomi, gli sviluppi limitati sono caratterizzati da un intero positivo, il loro grado, con la cui variabilit\xc3\xa0 si ottiene la serie di potenze. Le approssimanti di Pad\xc3\xa9 sono caratterizzate da una coppia di interi positivi, che portano a una successione a due indici il cui studio risulta pi\xc3\xb9 complesso. Anche altre cause rendono l'approccio allo studio di queste approssimanti pi\xc3\xb9 complesso. Ad esempio pu\xc3\xb2 accadere che la somma, il prodotto, la derivata o la primitiva dell'approssimante di Pad\xc3\xa9 non siano approssimanti di Pad\xc3\xa9._NEWLINE_Queste successioni per\xc3\xb2 offrono vantaggi che le serie di potenze non hanno: in particolare le dimostrazioni della irrazionalit\xc3\xa0 e della trascendenza di \xcf\x80 e di e si servono di questa teoria._NEWLINE_Le successioni delle approssimanti di Pad\xc3\xa9 hanno a volte un altro vantaggio. Certe funzioni inizialmente si sanno trattare mediante serie il cui dominio di convergenza \xc3\xa8 limitato dalla presenza dei poli; un esempio \xc3\xa8 dato dalla funzione zeta di Riemann._NEWLINE_Molte espressioni sotto forma di successione di approssimanti di Pad\xc3\xa9 non presentano questo problema. Il fatto che il dominio di convergenza di una serie di approssimanti di Pad\xc3\xa9 sia pi\xc3\xb9 ampio rispetto a quello di una serie di potenze \xc3\xa8 un punto di forza non trascurabile. La fisica o l'astronomia offrono esempi di questa applicazione. Lo studio di un sistema dinamico un po' complesso pu\xc3\xb2 richiedere la teoria delle perturbazioni e le soluzioni sono spesso funzioni analitiche espresse sotto forma di serie di potenze, ma la presenza di poli implica a volte un raggio di convergenza troppo piccolo per permettere un'analisi effettivamente utile. Diventa quindi necessario trovare una buona successione di approssimanti di Pad\xc3\xa9 che consenta di studiare la funzione analitica in un dominio di convergenza pi\xc3\xb9 ampio.\n_START_SECTION_\nApprossimazione mediante frazione continua\n_START_PARAGRAPH_\nUn numero reale costruibile si pu\xc3\xb2 approssimare con frazioni continue con la precisione che si desidera. Un ragionamento analogo si pu\xc3\xb2 applicare alle funzioni analitiche._NEWLINE_Se t\xe2\x82\x80 \xc3\xa8 un punto del dominio di definizione della funzione  f e t uno scalare di modulo strettamente inferiore ad r, il raggio di convergenza della f nel punto t\xe2\x82\x80, \xc3\xa8 possibile sviluppare f in serie di potenze nella maniera seguente: _NEWLINE_f(t\xe2\x82\x80 + t) = \xce\xb1\xe2\x82\x80 + \xce\xb1\xe2\x82\x99\xe2\x82\x81.t\xe2\x81\xbf\xc2\xb9 + .... dove \xce\xb1\xe2\x82\x99\xe2\x82\x81 e i coefficienti successivi sono scelti diversi da 0. Per questa ragione n\xe2\x82\x81 non \xc3\xa8 necessariamente uguale a 1. Esiste una funzione analitica f\xe2\x82\x81 tale che 0 appartenga al suo insieme di definizione e:_NEWLINE_Un ragionamento analogo per la funzione f\xe2\x82\x81, poi per f\xe2\x82\x82, mostra che \xc3\xa8 possibile scrivere la funzione f nel modo seguente:_NEWLINE_Questo algoritmo permette di approssimare la funzione analitica f con funzioni razionali. Se f \xc3\xa8 essa stessa una funzione razionale, esiste un valore p tale che f\xe2\x82\x9a sia una funzione costante e il processo si arresta; in caso contrario, il processo pu\xc3\xb2 continuare quanto si vuole. _NEWLINE_Questa costruzione \xc3\xa8 analoga a quella che porta ad esprimere i numeri razionali mediante frazioni continue._NEWLINE_Per comodit\xc3\xa0 utilizzeremo le notazioni seguenti, dette di Pringsheim:_NEWLINE_Se il processo si ferma al p\xe1\xb5\x89\xcb\xa2\xe2\x81\xb1\xe1\xb5\x90\xe1\xb5\x92 passaggio, si ottiene una funzione razionale che approssima la funzione iniziale f. Questa funzione razionale \xc3\xa8 un esempio di approssimante di Pad\xc3\xa9. _NEWLINE_Per ragioni di semplicit\xc3\xa0 prenderemo come valore di t\xe2\x82\x80 lo 0.\n_START_SECTION_\nFunzione tangente\n_START_PARAGRAPH_\nPer illustrare questo procedimento, consideriamo la funzione tangente, storicamente uno dei primi esempi  di funzione analitica di cui sono state calcolate le approssimanti di Pad\xc3\xa9:_NEWLINE_Un primo calcolo, realizzato da Johann Heinrich Lambert, mostra l'uguaglianza dei due sviluppi ma non ne studia la convergenza, che non \xc3\xa8 garantita. Un'analisi pi\xc3\xb9 precisa mostra che se t non \xc3\xa8 della forma k\xcf\x80 + \xcf\x80/2, dove k \xc3\xa8 un intero, il termine di destra tende a tan(t)._NEWLINE_Applichiamo l'algoritmo del paragrafo precedente al punto t\xe2\x82\x80 = 0. Il valore a\xe2\x82\x80 \xc3\xa8 uguale a 0 e n\xe2\x82\x81 a 1. Si ottiene una prima funzione razionale _NEWLINE_h\xe2\x82\x80(t) / k\xe2\x82\x80 (t) che approssima la funzione tangente:_NEWLINE_Per procedere conviene esprimere f\xe2\x82\x81 con l'aiuto degli sviluppi in serie di Taylor delle funzioni seno e coseno:_NEWLINE_Si ottiene una espressione pi\xc3\xb9 precisa della funzione tangente:_NEWLINE_Se l'espressione in frazione continua \xc3\xa8 ridotta al minimo denominatore, e se la frazione si denota_NEWLINE_h\xe2\x82\x99(t) / k\xe2\x82\x99 (t), si possono determinare espressioni definite per ricorrenza di h e k e rappresentare graficamente queste differenti approssimazioni:_NEWLINE_Le approssimazioni successive permettono di eliminare i poli della funzione tangente. Sui reali positivi, la seconda approssimazione, in viola nella figura, simula il primo polo con un asintoto in \xe2\x88\x9a3 anzich\xc3\xa9 in \xcf\x80/2. La quarta approssimazione, in blu nell'intervallo [0,\xc2\xa0\xcf\x80] non differisce in misura visibile dalla funzione tangente, in rosso nel grafico. Essa per\xc3\xb2 presenta due poli reali positivi. L'ottava approssimazione, in verde, coincide con la funzione tangente nell'intervallo [0,\xc2\xa02\xcf\x80] e possiede 4 poli positivi di cui 3 sono visibili nella figura. In generale, se n \xc3\xa8 un intero strettamente positivo ed \xce\xb5 un numero reale strettamento positivo, la serie delle approssimanti converge uniformemente sull'insieme degli intervalli [0,\xc2\xa0\xcf\x80/2 - \xce\xb5] e [(2j-1) \xcf\x80/2 - \xce\xb5, (2j+1) \xcf\x80/2 + \xce\xb5] dove j varia da 1 a n._NEWLINE_Questa propriet\xc3\xa0 di eliminare i poli \xc3\xa8 uno dei punti di forza delle approssimanti di Pad\xc3\xa9; questo vantaggio \xc3\xa8 ancora pi\xc3\xb9 marcato se si devono trattare funzioni complesse di variabile complessa. A differenza delle serie di potenze, le approssimanti di Pad\xc3\xa9 forniscono delle informazioni sulla funzione tangente al di fuori del cerchio di raggio \xcf\x80/2. Questa propriet\xc3\xa0, ad esempio, \xc3\xa8 utilizzata per lo studio della funzione zeta di Riemann. Inoltre, pi\xc3\xb9 semplicemente, questa frazione continua \xc3\xa8 lo strumento principale con cui viene dimostrata l'irrazionalit\xc3\xa0 di \xcf\x80.\n_START_SECTION_\nFunzione esponenziale\n_START_PARAGRAPH_\n\xc3\x88 possibile applicare un algoritmo simile alla funzione esponenziale; nei primi passi si ottengono le seguenti coppie di polinomi i cui rapporti forniscono le approssimazioni:_NEWLINE_ ._NEWLINE_Si trova poi la formula di ricorrenza:_NEWLINE_\xc2\xa0;_NEWLINE_da questa si deduce una espressione in frazione continua:_NEWLINE_L'algoritmo utilizzato qui \xc3\xa8 un po' differente. I numeratori non sono pi\xc3\xb9 delle costanti ma delle funzioni affini. Resta per\xc3\xb2 valida una propriet\xc3\xa0: lo sviluppo di Taylor delle frazioni h\xe2\x82\x9a / k\xe2\x82\x9a di ordine uguale alla somma dei gradi del numeratore e del denominatore \xc3\xa8 identico a quello della funzione esponenziale._NEWLINE_Esistono molteplici espressioni differenti della funzione esponenziale sotto forma di frazione continua. Questo comporta una serie di quesiti di ordine generale sulle approssimazioni con frazioni razionali di una funzione analitica. Quattro sono particolarmente importanti agli occhi di Pad\xc3\xa9: per una coppia di interi strettamente positivi (p, q), esiste una frazione continua  h(x) / k(x) tale che h(x) sia un polinomio di grado p, k(x) un polinomio di grado q e tale che la frazione continua abbia lo stesso sviluppo di Taylor di ordine p + q   della funzione esponenziale? Esistono delle relazioni definite per ricorrenza che permettono di passare da un'approssimante all'altra con l'aiuto di formule analoghe presentate in questo esempio? Queste formule definite per ricorrenza permettono di trovare delle frazioni continue? Infine queste frazioni continue convergono verso la funzione obiettivo?_NEWLINE_Queste risposte, tutte positive per la funzione esponenziale, sono trattate approfonditamente da Pad\xc3\xa9  che riporta proprio questo esempio per introdurre la sua teoria."