b"\n_START_ARTICLE_\nDecomposizione ai valori singolari\n_START_SECTION_\nStoria\n_START_PARAGRAPH_\nIn origine, la decomposizione ai valori singolari fu sviluppata da studiosi di geometria differenziale allo scopo di determinare se una forma bilineare reale potesse essere equivalente ad un'altra tramite trasformazioni ortogonali indipendenti dei due spazi presi in considerazione. Eugenio Beltrami nel 1873, e Camille Jordan nel 1874, in modo indipendente tra loro, scoprirono che i valori singolari della forma bilineare, rappresentati in una matrice, formano un insieme completo di invarianti per forme bilineari. Anche James Joseph Sylvester arriv\xc3\xb2 al risultato della SVD, sembra in maniera indipendente dagli studi di Beltrami e Jordan. Sylvester chiam\xc3\xb2 i valori singolari moltiplicatori canonici della matrice. Il quarto matematico a scoprire la decomposizione a valori singolari fu L\xc3\xa9on Autonne, nel 1915, che raggiunse la sua formulazione tramite lo studio delle matrici per decomposizione polare. La prima dimostrazione del procedimento di decomposizione per matrici rettangolari e a valori complessi sembra esser stata prodotta da Carl Eckart e Gale Young nel 1936._NEWLINE_Nel 1907, Erhard Schmidt defin\xc3\xac un analogo dei valori singolari per gli operatori integrali (che sono compatti, sotto alcune deboli assunzioni); pare che, durante i suoi studi, Schmidt fosse ignaro dell'esistenza dei risultati sui valori singolari per le matrici finite. Questa teoria fu ulteriormente sviluppata da \xc3\x89mile Picard nel 1910, che fu il primo a chiamare i numeri \xc2\xabvaleurs singuli\xc3\xa8res\xc2\xbb e a denotarli ._NEWLINE_Metodi pratici per la computazione della SVD risalgono a Ervand Kogbetliantz fra il 1954 e il 1955 e a Magnus Hestenes nel 1958 e hanno un'implementazione simile al metodo di Jacobi, che usa rotazioni del piano o rotazioni di Givens. Tali approcci furono rimpiazzati dal metodo di Gene Golub e William Kahan pubblicato nel 1965 (Golub & Kahan 1965), che si basa su trasformazioni di Householder o riflessioni. Nel 1970, Golub e Christian Reinsch pubblicarono una variante dell'algoritmo di Golub/Kahan che \xc3\xa8 ancora uno dei pi\xc3\xb9 utilizzati.\n_START_SECTION_\nApplicazioni\n_START_PARAGRAPH_\nLa SVD ha numerose applicazioni nel campo dell'algebra lineare. Innanzitutto fornisce delle informazioni importanti sulla matrice , come il suo rango, qual \xc3\xa8 il suo nucleo e qual \xc3\xa8 la sua immagine. Viene usata per definire la pseudo-inversa di una matrice rettangolare utile per la risoluzione del problema dei minimi quadrati. Trova utilizzo anche nella risoluzione di sistema di equazioni lineari omogeneo._NEWLINE_Un'altra importante applicazione riguarda l'approssimazione della matrice , con una di rango inferiore (SVD troncata), utilizzata nell'elaborazione di immagini e nell'elaborazione dei segnali._NEWLINE_La SVD ha anche note applicazioni nel campo dell'analisi delle componenti principali."