b'\n_START_ARTICLE_\nAnalisi delle componenti principali\n_START_SECTION_\nRisoluzione matriciale\n_START_PARAGRAPH_\nUn metodo pi\xc3\xb9 semplice per calcolare la componente w\xe1\xb5\xa2 utilizza la matrice delle covarianze di x. La stessa operazione pu\xc3\xb2 essere eseguita partendo dalla matrice dei coefficienti di correlazione anzich\xc3\xa9 dalla matrice di varianza-covarianza delle variabili "x"._NEWLINE_Innanzitutto si devono trovare gli autovalori della matrice di covarianza o della matrice dei coefficienti di correlazione. Si ottengono tanti autovalori quante sono le variabili x. Se viene utilizzata la matrice di correlazione, l\'autovalore relativo alla prima componente principale, ossia quella con varianza massima, sar\xc3\xa0 pari ad 1. In ogni caso l\'autovalore con il maggiore valore corrisponde alla dimensione w che ha la maggiore varianza: esso sar\xc3\xa0 dunque la varianza della componente principale 1. In ordine decrescente, il secondo autovalore sar\xc3\xa0 la varianza della componente principale 2, e cos\xc3\xac via per gli n autovalori. Per ciascun autovalore viene calcolato il corrispondente autovettore, ossia la matrice (riga vettore) dei coefficienti che moltiplicano le vecchie variabili x nella combinazione lineare per l\'ottenimento delle nuove variabili w. Questi coefficienti sono anche definiti loading. La matrice degli autovettori, ossia la matrice che ha per riga ciascun autovettore prima calcolato, \xc3\xa8 la cosiddetta matrice di rotazione V. Eseguendo l\'operazione matriciale , dove W \xc3\xa8 il vettore colonna avente come elementi le nuove variabili w1, w2, ..., wn e X \xc3\xa8 il vettore colonna avente come elementi le "vecchie variabili" x1, x2, ..., xn, si possono trovare le coordinate di ciascun punto nel nuovo spazio vettoriale. Utilizzando le coordinate per ciascun punto relative alle componenti principali si costruisce il grafico denominato score plot. Se le componenti principali sono 3 si avr\xc3\xa0 un grafico tridimensionale, se sono 2 sar\xc3\xa0 bidimensionale, se invece si \xc3\xa8 scelta una sola componente principale lo score plot sar\xc3\xa0 allora monodimensionale. Mediante lo score plot \xc3\xa8 possibile verificare quali dati sono simili tra di loro e quindi si pu\xc3\xb2 ad esempio dedurre quali campioni presentano la medesima composizione._NEWLINE_In PCA esiste anche un altro tipo di grafico, definito loading plot, in cui sono le variabili x ad essere riportate nel nuovo sistema avente per assi le componenti principali. Con questo tipo di grafico \xc3\xa8 possibile osservare se due variabili sono simili, e pertanto forniscono lo stesso tipo di informazione, oppure se sono distanti (e quindi non sono simili)._NEWLINE_Quindi gli elementi dell\'autovettore colonna corrispondente a un autovalore esprimono il legame tra le variabili di partenza e la componente considerata attraverso dei pesi. Il numero di variabili latenti da considerare come componenti principali si fonda sulla grandezza relativa di un autovalore rispetto agli altri. Invece nel caso in cui sia l\'operatore a scegliere le componenti principali senza considerare la relativa varianza espressa dai rispettivi autovalori, si ha un supervised pattern recognition._NEWLINE_Si pu\xc3\xb2 costruire la matrice dei fattori, in pratica una matrice modale, che elenca per riga le variabili originarie e per colonna le variabili latenti: ogni valore, compreso tra 0 e 1, dice quanto le seconde incidano sulle prime._NEWLINE_Invece la matrice del punteggio fattoriale ha la stessa struttura della precedente, ma dice quanto le singole variabili originarie abbiano pesato sulla determinazione della grandezza di quelle latenti.\n_START_SECTION_\nEsempio\n_START_PARAGRAPH_\nSi supponga di disporre di un\'indagine che riporta per 10 soggetti: voto medio (da 0 a 33), intelligenza (da 0 a 10), media ore studiate in un giorno e zona d\'origine, che varia da 1 a 3. Si standardizzino i valori con la formula:_NEWLINE_E(x) \xc3\xa8 il valore atteso di X, ovvero il valor medio, SD \xc3\xa8 la deviazione standard._NEWLINE_La matrice dei coefficienti di correlazione \xc3\xa8:_NEWLINE_La diagonale principale \xc3\xa8 composta da valori uguali ad 1 perch\xc3\xa9 \xc3\xa8 il coefficiente di correlazione di una variabile con se stessa. \xc3\x88 pure una matrice simmetrica perch\xc3\xa9 il coefficiente di correlazione tra la variabile "x" e la variabile "y" \xc3\xa8 uguale a quello tra "y" e "x". Si vede come ci sia un forte legame tra voto, media ore studio e intelligenza._NEWLINE_Dall\'analisi degli autovalori si possono trarre conclusioni:_NEWLINE_Gli autovalori sono in ordine decrescente e il loro rapporto con la somma degli autovalori d\xc3\xa0 la percentuale di varianza che spiegano. Sono stati selezionati arbitrariamente solo quelli che hanno valore maggiore di 1 in quanto pi\xc3\xb9 significativi, che spiegano il 70,708% e il 26,755% rispettivamente._NEWLINE_Si osservi alla matrice delle componenti principali:_NEWLINE_Il fattore 1 pesa fortemente sul voto medio. Sembrerebbe pure che pesi in maniera negativa sulla variabile della zona di origine; chiaramente questa affermazione non ha senso perch\xc3\xa9 inverte il nesso di causalit\xc3\xa0: spetta allo statistico dare una spiegazione e una lettura sensate._NEWLINE_Si calcoli quindi la matrice di punteggio fattoriale:_NEWLINE_Come si vede la variabile provenienza continua ad avere un influsso di segno negativo sull\'autovalore principale. Le altre variabili invece hanno peso positivo.'