b'\n_START_ARTICLE_\nIpotesi del continuo\n_START_SECTION_\nSignificato dell\'ipotesi del continuo\n_START_PARAGRAPH_\nSe si trovasse un insieme S che rendesse falsa l\'ipotesi del continuo, sarebbe impossibile trovare una corrispondenza biunivoca tra S e gli interi: ci sarebbe sempre qualche elemento di S (in realt\xc3\xa0 un numero infinito) "lasciato fuori". Allo stesso tempo, sarebbe impossibile trovare una corrispondenza biunivoca tra S e i numeri reali; in questo caso saremmo sempre costretti a "lasciare fuori" un numero infinito di numeri reali.\n_START_SECTION_\nIndipendenza dagli assiomi di Zermelo - Fraenkel\n_START_PARAGRAPH_\nCantor era convinto della verit\xc3\xa0 dell\'ipotesi del continuo, e tent\xc3\xb2 invano per molti anni di dimostrarla. Essa divenne la prima nella lista dei problemi (oggi noti come Problemi di Hilbert) che il grande matematico David Hilbert present\xc3\xb2 al Congresso Matematico Internazionale di Parigi nell\'anno 1900._NEWLINE_Nel 1940, Kurt G\xc3\xb6del fece un passo in avanti, dimostrando che l\'ipotesi del continuo (in breve CH, dall\'inglese continuum hypothesis) non pu\xc3\xb2 essere dimostrata falsa usando il sistema di assiomi di Zermelo-Fraenkel, neppure con l\'aggiunta dell\'assioma della scelta. D\'altra parte, nel 1963 Paul Cohen dimostr\xc3\xb2 che CH non pu\xc3\xb2 essere neppure dimostrata vera a partire da quegli assiomi. Il risultato complessivo \xc3\xa8 che CH \xc3\xa8 indipendente dal sistema di assiomi di Zermelo-Fraenkel e dall\'assioma della scelta. Occorre tenere conto che entrambi questi risultati partono dall\'assunto che gli assiomi di Zermelo-Fraenkel non siano tra loro contraddittori, cosa che si suppone generalmente essere vera._NEWLINE_Il risultato per cui un\'affermazione non possa essere n\xc3\xa9 provata n\xc3\xa9 refutata in un certo insieme di assiomi non \xc3\xa8 sorprendente: il teorema di incompletezza di G\xc3\xb6del afferma esattamente che se un sistema di assiomi \xc3\xa8 abbastanza potente e senza contraddizioni esisteranno sempre al suo interno affermazioni di questo tipo. L\'indipendenza di CH \xc3\xa8 per\xc3\xb2 ugualmente disturbante, perch\xc3\xa9 \xc3\xa8 stato il primo esempio concreto di una affermazione interessante e importante a cui si \xc3\xa8 potuto dire con sicurezza che era impossibile rispondere con un "s\xc3\xac" o un "no" a partire dal gruppo di assiomi universalmente accettati per costruire la nostra matematica._NEWLINE_L\'ipotesi del continuo \xc3\xa8 strettamente correlata a svariate affermazioni in analisi matematica, topologia e teoria della misura. Come diretto risultato della sua indipendenza, molte congetture importanti in questi campi sono state dimostrate essere anch\'esse indipendenti._NEWLINE_\xc3\x88 interessante notare come G\xc3\xb6del credesse fortemente nella falsit\xc3\xa0 di CH. Per lui, questa indipendenza dell\'ipotesi significava solamente che l\'insieme di assiomi usato generalmente non era completo. In quanto platonista, G\xc3\xb6del non aveva problemi ad asserire la verit\xc3\xa0 o la falsit\xc3\xa0 di affermazioni in maniera indipendente dalla loro dimostrabilit\xc3\xa0 in un particolare sistema assiomatico. Cohen al contrario era un formalista, ma anch\'egli tendeva a rifiutare CH. Al giorno d\'oggi la maggior parte dei ricercatori nel campo tendono ad essere neutrali o contrari a CH._NEWLINE_Storicamente, i matematici che preferivano un universo di insiemi "ricco" e "ampio" erano contro CH, mentre coloro che preferivano un universo "ordinato" e "controllabile" erano a suo favore.  Pi\xc3\xb9 di recente, per\xc3\xb2, qualche esperto (ad esempio Foreman) ha notato come il massimalismo ontologico possa servire come argomento a favore di CH, dato che, tra modelli che hanno gli stessi reali, \xc3\xa8 quello che ha pi\xc3\xb9 insiemi di reali che ha la maggior possibilit\xc3\xa0 di soddisfare CH.  Vedi (Maddy, p.\xc2\xa0500)._NEWLINE_Nel 1986 Chris Freiling propose un argomento a favore della reiezione di CH: mostr\xc3\xb2 che la negazione di CH \xc3\xa8 equivalente a un\'affermazione sulle probabilit\xc3\xa0 che lui definisce "intuitivamente vera", anche se altri non sono d\'accordo con lui._NEWLINE_Nel 2001  W. Hugh Woodin ha proposto un sistema assiomatico in cui si pu\xc3\xb2 dimostrare la falsit\xc3\xa0 di CH, e sta suscitando molto interesse nella comunit\xc3\xa0 matematica, anche se non \xc3\xa8 universalmente accettato.\n_START_SECTION_\nL\'ipotesi generalizzata del continuo\n_START_PARAGRAPH_\nL\'ipotesi generalizzata del continuo (GCH) afferma che se la cardinalit\xc3\xa0 di un insieme T \xc3\xa8 compresa tra quella di un insieme infinito S e quella dell\'insieme delle parti di S, allora la sua cardinalit\xc3\xa0 deve necessariamente essere o quella di S o quella dell\'insieme delle parti di S: non ci sono altre alternative. L\'ipotesi del continuo \xc3\xa8 un caso particolare, visto che il continuo ha la stessa cardinalit\xc3\xa0 dell\'insieme delle parti degli interi. Anche la GCH \xc3\xa8 indipendente dagli altri assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel e dall\'assioma della scelta.'