b'\n_START_ARTICLE_\nVariet\xc3\xa0 (geometria)\n_START_PARAGRAPH_\nIn geometria, una variet\xc3\xa0 \xc3\xa8 uno spazio topologico che localmente \xc3\xa8 simile a uno spazio topologico ben conosciuto (ad esempio lo spazio euclideo -dimensionale), ma che globalmente pu\xc3\xb2 avere propriet\xc3\xa0 geometriche differenti (ad esempio pu\xc3\xb2 essere "curvo" contrariamente allo spazio euclideo)._NEWLINE_Le variet\xc3\xa0 localmente simili alla retta si chiamano curve, mentre quelle localmente simili al piano si chiamano superfici. Le variet\xc3\xa0 vengono usate in molteplici branche della matematica quali la topologia, l\'analisi reale, l\'analisi complessa, l\'algebra e la geometria algebrica. Le variet\xc3\xa0 trovano applicazioni in computer grafica e si incontrano spesso in fisica, come ad esempio in meccanica lagrangiana, in meccanica quantistica, in relativit\xc3\xa0 generale e nella teoria delle stringhe.\n_START_SECTION_\nStrutture su variet\xc3\xa0\n_START_PARAGRAPH_\nNel caso pi\xc3\xb9 generale una variet\xc3\xa0 viene definita soltanto con una struttura di spazio topologico, e in tal caso si specifica usando il termine variet\xc3\xa0 topologica. Tuttavia, quello di variet\xc3\xa0 \xc3\xa8 un concetto sufficientemente semplice da potersi adattare a diversi contesti, in quanto \xc3\xa8 possibile definire ulteriori strutture su una stessa variet\xc3\xa0. Ad esempio, nell\'ambito della geometria differenziale si pu\xc3\xb2 definire su una variet\xc3\xa0 topologica una struttura differenziabile, per ottenere quella che viene chiamata una variet\xc3\xa0 differenziabile. Analogamente, in altri campi si definiscono le variet\xc3\xa0 riemanniane, le variet\xc3\xa0 complesse, le variet\xc3\xa0 simplettiche e le variet\xc3\xa0 k\xc3\xa4hleriane. Un caso un po\' a parte \xc3\xa8 quello delle variet\xc3\xa0 algebriche: una variet\xc3\xa0 algebrica non \xc3\xa8 una variet\xc3\xa0 topologica nel senso che andremo a definire, in quanto le variet\xc3\xa0 algebriche non sono spazi di Hausdorff.\n_START_SECTION_\nVariet\xc3\xa0 topologica\n_START_PARAGRAPH_\nIl concetto di variet\xc3\xa0 topologica considera uno spazio soltanto dal punto di vista topologico. Pertanto, nella definizione di una particolare variet\xc3\xa0 topologica si considerano solo le propriet\xc3\xa0 "di base" della forma di tale spazio quali la connessione, la compattezza, l\'orientabilit\xc3\xa0 o il "numero di buchi".\n_START_SECTION_\nDefinizione\n_START_PARAGRAPH_\nUna variet\xc3\xa0 topologica  \xc3\xa8 uno spazio topologico di Hausdorff e secondo numerabile in cui ogni punto ha un intorno aperto omeomorfo allo spazio euclideo -dimensionale . Il numero  \xc3\xa8 la dimensione della variet\xc3\xa0._NEWLINE_Una variet\xc3\xa0 di dimensione  \xc3\xa8 spesso chiamata brevemente -variet\xc3\xa0. Si definiscono curve le -variet\xc3\xa0 e superfici le -variet\xc3\xa0. _NEWLINE__NEWLINE_Nella definizione si pu\xc3\xb2 richiedere, equivalentemente, che  sia localmente omeomorfo ad un aperto di . Se  \xc3\xa8 un omeomorfismo fra un aperto di  e un aperto di , allora la coppia  \xc3\xa8 chiamata carta. Quindi se  \xc3\xa8 una variet\xc3\xa0 topologica allora esiste una famiglia di carte  che ricoprono , ovvero tali che _NEWLINE_Una tale famiglia di carte si definisce un atlante. I nomi "carta" e "atlante" sono scelti in analogia con la cartografia. Infatti la superficie della Terra non \xc3\xa8 descrivibile interamente su un foglio (nel senso che non \xc3\xa8 omeomorfa ad un aperto di ), per\xc3\xb2 \xc3\xa8 possibile descriverla "a pezzi" tramite un certo numero di carte geografiche: ad esempio, con due carte che descrivono gli emisferi Nord e Sud. _NEWLINE_Se  e  sono due carte tali che , allora la mappa _NEWLINE_si chiama funzione di transizione. Le funzioni di transizione sono omeomorfismi._NEWLINE_La scelta di un atlante, e quindi delle funzioni di transizione, ha un ruolo determinante nella definizione di una variet\xc3\xa0. Sono infatti le funzioni di transizione a permettere di definire delle ulteriori strutture, come ad esempio quella differenziabile, su una variet\xc3\xa0 topologica.\n_START_SECTION_\nClassificazione in dimensione bassa\n_START_PARAGRAPH_\nLa topologia della dimensione bassa \xc3\xa8 la branca della topologia che studia le variet\xc3\xa0 di dimensione fino a 4._NEWLINE_Nello studio delle variet\xc3\xa0, assume un ruolo di cardinale importanza la classificazione delle variet\xc3\xa0 topologiche. La classificazione delle variet\xc3\xa0 topologiche viene effettuata a meno di omeomorfismi. Infatti, cos\xc3\xac come in geometria euclidea due oggetti vengono considerati equivalenti se uguali a meno di un\'isometria (anche intuitivamente, due sfere con centri diversi ma stesso raggio vengono considerate equivalenti, in quanto uguali a meno di una traslazione), cos\xc3\xac le variet\xc3\xa0 topologiche vengono considerate a meno di omeomorfismi._NEWLINE_Osserviamo quindi che ogni -variet\xc3\xa0 \xc3\xa8 unione disgiunta delle proprie componenti connesse, che sono -variet\xc3\xa0 a loro volta._NEWLINE_Dopo questa premessa, affermiamo esistere sostanzialmente solo due variet\xc3\xa0 topologiche di dimensione : la circonferenza  e la retta . Ogni altra curva connessa \xc3\xa8 infatti omeomorfa a una di queste due. _NEWLINE_Le variet\xc3\xa0 di dimensione  sono pi\xc3\xb9 variegate: tra queste troviamo la sfera , il toro, il nastro di M\xc3\xb6bius e la bottiglia di Klein._NEWLINE_Di pi\xc3\xb9, le superfici sono infinite: i -tori, ovvero i tori con  buchi, sono superfici topologicamente distinte al variare di ._NEWLINE_Le 3-variet\xc3\xa0 non sono facilmente visualizzabili, ed il loro studio \xc3\xa8 una branca importante della topologia. La congettura di Poincar\xc3\xa9, dimostrata nel 2003 da Grigori Perelman, \xc3\xa8 stato un importante problema irrisolto per pi\xc3\xb9 di un secolo, riguardante proprio questo ambito._NEWLINE_Una variet\xc3\xa0 di dimensione  \xc3\xa8 un oggetto ancora pi\xc3\xb9 difficile da visualizzare. Lo studio delle variet\xc3\xa0 con quattro dimensioni \xc3\xa8 un punto centrale della matematica moderna, con numerosi collegamenti alla fisica teorica: la relativit\xc3\xa0 generale descrive infatti lo spaziotempo come una -variet\xc3\xa0.\n_START_SECTION_\nVariet\xc3\xa0 immerse\n_START_PARAGRAPH_\nSia  una variet\xc3\xa0 topologica di dimensione . Si dice che  \xc3\xa8 immersa in ,con , se  \xc3\xa8 un sottospazio di . Un\'immersione (in inglese, embedding) di  in  \xc3\xa8 un\'inclusione topologica , ovvero una mappa continua e iniettiva che induce un omeomorfismo con l\'immagine . Un esempio di variet\xc3\xa0 immersa \xc3\xa8 quello della sfera  in . Non \xc3\xa8 vero che tutte le superfici si possono immergere in . La bottiglia di Klein  \xc3\xa8 un esempio: bench\xc3\xa9 si possa localmente immergere in , non \xc3\xa8 realizzabile "globalmente" come sottospazio di  evitando "autointersezioni", ovvero conservando l\'iniettivit\xc3\xa0 dell\'immersione._NEWLINE_  \xc3\xa8 invece "realizzabile" dentro lo spazio quadri-dimensionale , ovvero esiste un\'immersione ._NEWLINE_Nel caso in cui  venga considerata come una variet\xc3\xa0 differenziabile, allora si usa considerare una definizione diversa di "immersione", ovvero quella di immersione differenziabile. Un\'immersione differenziabile iniettiva \xc3\xa8 anche un\'inclusione topologica nel senso sopra descritto. La rappresentazione in figura della bottiglia di Klein mostra un\'immersione differenziabile di  in . Pi\xc3\xb9 in generale, grazie al teorema di Whitney sappiamo che ogni -variet\xc3\xa0 differenziabile ammette un\'immersione differenziabile in  e un\'immersione differenziabile iniettiva in .\n_START_SECTION_\nVariet\xc3\xa0 complessa\n_START_PARAGRAPH_\nUna variet\xc3\xa0 complessa di dimensione  \xc3\xa8 una variet\xc3\xa0 topologica di dimensione  le cui funzioni di transizione, viste come mappe fra aperti di  tramite l\'identificazione naturale di  con , sono olomorfe._NEWLINE_Una variet\xc3\xa0 complessa \xc3\xa8 una variet\xc3\xa0 topologica su cui \xc3\xa8 possibile usare gli strumenti dell\'analisi complessa: le variet\xc3\xa0 complesse sono cio\xc3\xa8 l\'analogo complesso delle variet\xc3\xa0 differenziabili._NEWLINE_Poich\xc3\xa9 le funzioni olomorfe sono differenziabili, una variet\xc3\xa0 complessa ha anche una struttura di variet\xc3\xa0 differenziabile, o pi\xc3\xb9 in particolare una struttura di variet\xc3\xa0 analitica._NEWLINE_Le variet\xc3\xa0 complesse di dimensione (complessa)  si chiamano superfici di Riemann.'