b'\n_START_ARTICLE_\nOmotopia\n_START_PARAGRAPH_\nIn topologia, due funzioni continue da uno spazio topologico  ad un altro  sono dette omotope (dal greco homos = identico e topos = luogo) se una delle due pu\xc3\xb2 essere "deformata con continuit\xc3\xa0"  nell\'altra, e tale trasformazione \xc3\xa8 detta omotopia fra le due funzioni. _NEWLINE_Un uso importante dell\'omotopia \xc3\xa8 nella definizione dei gruppi di omotopia (il pi\xc3\xb9 importante fra questi \xc3\xa8 il gruppo fondamentale), invarianti molto importanti per distinguere spazi topologici non omeomorfi e per formalizzare rigorosamente nozioni intuitive quali "il numero di buchi" di uno spazio. L\'omotopia definisce una relazione di equivalenza sull\'insieme delle funzioni continue da  ad .\n_START_SECTION_\nDefinizione formale\n_START_PARAGRAPH_\nFormalmente, un\'omotopia fra due funzioni continue  e  da uno spazio topologico  a uno spazio topologico  \xc3\xa8 una funzione continua  dal prodotto dello spazio  con l\'intervallo unitario  a  tale che, per tutti i punti  in ,  e ._NEWLINE_Se pensiamo al secondo parametro di  come il "tempo", allora  descrive una "deformazione continua" di  in : al tempo  abbiamo la funzione , al tempo  abbiamo la funzione .\n_START_SECTION_\nRelazione di equivalenza\n_START_PARAGRAPH_\nEssere omotopi \xc3\xa8 una relazione di equivalenza sull\'insieme di tutte le funzioni continue da  a .  Questa relazione di omotopia \xc3\xa8 compatibile con la composizione di funzioni in questo senso: se  sono omotope, e  sono omotope, allora anche le loro composizioni  e  sono omotope._NEWLINE_Una funzione  \xc3\xa8 detta omotopicamente nulla se \xc3\xa8 omotopa a una funzione costante. Se  \xc3\xa8 connesso per archi, le funzioni costanti da  in  sono tutte omotope fra loro. Uno spazio topologico connesso per archi  per cui ogni funzione continua  \xc3\xa8 omotopicamente nulla si dice contrattile o contraibile. Per quanto visto sopra, uno spazio euclideo \xc3\xa8 contrattile. Intuitivamente, uno spazio contrattile pu\xc3\xb2 essere "contratto ad un punto" in modo continuo._NEWLINE_Uno spazio  \xc3\xa8 contrattile se e solo se la applicazione identica da  in s\xc3\xa9 \xc3\xa8 omotopicamente nulla.\n_START_SECTION_\nSpazi omotopicamente equivalenti\n_START_PARAGRAPH_\nDati due spazi  e , diciamo che sono omotopicamente equivalenti, oppure che hanno lo stesso tipo di omotopia se esistono due funzioni  e  tali che  \xc3\xa8 omotopa alla funzione identit\xc3\xa0  su  e  \xc3\xa8 omotopa alla funzione identit\xc3\xa0  su . Le applicazioni  e  sono dette equivalenze di omotopia. _NEWLINE_Si dimostra facilmente che uno spazio  \xc3\xa8 contrattile se e solo se \xc3\xa8 omotopicamente equivalente allo spazio topologico  fatto da un punto solo. Chiaramente, ogni omeomorfismo \xc3\xa8 una equivalenza di omotopia, ma il contrario non \xc3\xa8 sempre vero: uno spazio euclideo \xc3\xa8 contrattile, ma non \xc3\xa8 omeomorfo ad un punto._NEWLINE_Intuitivamente, due spazi  e  sono omotopicamente equivalenti se possono essere trasformati l\'uno nell\'altro con operazioni di deformazione, contrazione ed espansione. Ad esempio, una palla \xc3\xa8 omotopicamente equivalente ad un punto, mentre  \xc3\xa8 omotopicamente equivalente alla circonferenza ._NEWLINE_Uno spazio omotopicamente equivalente al punto \xc3\xa8 detto contrattile o contraibile. Esempi di spazi contraibili sono la palla -dimensionale e , per qualsiasi . Un altro esempio \xc3\xa8 la superficie dell\'ipersfera  per  dispari, che possiede una caratteristica di Eulero , pari a quella del punto (per  pari, la caratteristica vale , come quella della superficie sferica).\n_START_SECTION_\nCategoria delle omotopie e invarianti per omotopie\n_START_PARAGRAPH_\nPi\xc3\xb9 in astratto, si pu\xc3\xb2 ricorrere ai concetti della teoria delle categorie. Si pu\xc3\xb2 definire una categoria delle omotopie, i cui oggetti sono spazi topologici, e i cui morfismi sono classi di omotopia di applicazioni continue. Due spazi topologici  e  sono isomorfi in questa categoria se e solo se sono omotopicamente equivalenti._NEWLINE_Un invariante per omotopie \xc3\xa8 una qualsiasi funzione sullo spazio (o sulle applicazioni), che rispetta la relazione di equivalenza di omotopia (risp. omotopia); tali invarianti fanno parte della teoria delle omotopie._NEWLINE_Un esempio di invariante per omotopie \xc3\xa8 il gruppo fondamentale di uno spazio._NEWLINE_Nella pratica, la teoria delle omotopie \xc3\xa8 portata avanti lavorando su CW-complessi, per comodit\xc3\xa0 tecnica.\n_START_SECTION_\nOmotopia relativa\n_START_PARAGRAPH_\n\xc3\x88 necessario definire la nozione di omotopia relativa a un sottospazio, in modo particolare per definire il gruppo fondamentale. Esistono omotopie che mantengono fissi gli elementi di un sottospazio. Formalmente: se  e  sono applicazioni continue da  a  e  \xc3\xa8 un sottoinsieme di , allora diciamo che  e  sono omotope relativamente a  se esiste una omotopia  tra  e  tale che  per ogni  e .\n_START_SECTION_\nIsotopia ambiente\n_START_PARAGRAPH_\nUna isotopia ambiente di uno spazio topologico  \xc3\xa8 una isotopia fra la funzione identit\xc3\xa0  ed un altro omeomorfismo . _NEWLINE_L\'isotopia ambiente \xc3\xa8 usata per costruire relazioni di equivalenza fra sottospazi di alcuni spazi topologici, ad esempio nella teoria dei nodi: quando \xc3\xa8 sensato considerare due nodi equivalenti? Prendiamo due nodi  e  in uno spazio a tre dimensioni. L\'idea intuitiva di "deformazione" di un nodo nell\'altro corrisponde proprio ad una isotopia ambiente fra la funzione identit\xc3\xa0  ed un omeomorfismo  che porta il primo nodo nel secondo, cio\xc3\xa8 tale che .'