b"\n_START_ARTICLE_\nTeoria dei nodi\n_START_PARAGRAPH_\nLa teoria dei nodi \xc3\xa8 una branca della topologia, a sua volta branca della matematica, che si occupa di nodi, ovvero di curve chiuse intrecciate nello spazio. La teoria ha applicazioni in fisica subatomica, chimica supramolecolare e biologia._NEWLINE_Per i suoi stretti legami con lo studio delle variet\xc3\xa0 di basse dimensioni (1, 2, 3 e 4), la teoria dei nodi \xc3\xa8 spesso considerata una branca della topologia della dimensione bassa.\n_START_SECTION_\nNascita della teoria\n_START_PARAGRAPH_\nUn primo accenno di sistematizzazione della teoria dei nodi venne fatto da Vandermonde (1735-1796), il matematico che introdusse il determinante, nel XVIII secolo, ma a parte rari sprazzi, si dovette attendere la fine del XX secolo per vedere la teoria dei nodi trovare una formalizzazione, anche in conseguenza della sua importanza in fisica teorica, per l'elaborazione delle teorie note collettivamente come teoria delle stringhe._NEWLINE_Il primo impiego in fisica \xc3\xa8 per\xc3\xb2 dovuto a William Thomson, ossia Lord Kelvin: in pieno dibattito tra teoria ondulatoria e corpuscolare, egli propone nel 1867 gli atomi vortice. Essi sono formati da un'onda intrecciata in un nodo chiuso, come quello in figura._NEWLINE_ Annodandosi in maniere pi\xc3\xb9 o meno complicate, si determinerebbero le propriet\xc3\xa0 chimico-fisiche degli atomi. Da notare come, traslato alle particelle subatomiche e allo spaziotempo, il concetto sia identico nella teoria delle stringhe menzionata prima. Le molecole deriverebbero dall'unione dei nodi._NEWLINE_In realt\xc3\xa0 i nodi sono un caso particolare di link, ossia curve chiuse intrecciate nello spazio. A differenza dei nodi, i link possono essere formati da pi\xc3\xb9 curve. Le molecole di Thomson sarebbero dunque dei link. _NEWLINE_Un seguace di Thomson, Peter Guthrie Tait si pose il problema della classificazione dei nodi. Egli consider\xc3\xb2 solo i nodi alternati, ossia quelli in cui il filo passa alternativamente sopra e sotto ogni incrocio. Nel 1899 lo statunitense Little espanse la classificazione ai nodi non alternati, fino a 10 incroci._NEWLINE_La teoria di Thomson, che a taluni potrebbe apparire bizzarra, ai tempi in cui fu formulata era capace di spiegare molti dati sperimentali._NEWLINE__NEWLINE_Tuttavia alla pubblicazione della tavola periodica degli elementi di Mendeleev, tutta la teoria dei nodi di Thomson e allievi venne abbandonata.\n_START_SECTION_\nDescrizione diagrammatica e invarianti\n_START_PARAGRAPH_\nUn nodo \xc3\xa8 generalmente descritto tramite diagramma, ovvero disegnando una sua proiezione generica su un piano, con alcuni incroci come negli esempi mostrati nelle figure. Lo stesso nodo ha per\xc3\xb2 tante rappresentazioni diverse, e si pone un problema fondamentale: come capire se due rappresentazioni descrivono lo stesso nodo? Il problema risulta essere di difficile approccio anche nel caso pi\xc3\xb9 semplice: come capire da una rappresentazione diagrammatica se il nodo \xc3\xa8 banale, ovvero se si scioglie?_NEWLINE_Nel 1927 Reidemeister risponde parzialmente a questo problema, proponendo tre operazioni, dette mosse di Reidemeister. Esse consistono nella formazione/scioglimento di un ricciolo, nella separazione/sovrapposizione di due tratti di corda non incrociati, e nello scavalcamento di un incrocio da parte di un tratto di corda. Ciascuna di queste mosse non cambia il nodo. D'altra parte, due nodi risultano essere equivalenti se e solo se i loro diagrammi sono ottenibili l'uno dall'altro tramite una combinazione di mosse di Reidemeister._NEWLINE_Questo risultato sembra apparentemente rispondere al problema, ma non fornisce in verit\xc3\xa0 un vero e proprio algoritmo per determinare l'equivalenza fra due nodi descritti come diagramma nel piano: questo perch\xc3\xa9, non essendo noto a priori il numero di mosse necessarie per trasformare un diagramma in un altro, non \xc3\xa8 possibile sapere con certezza in un tempo finito se due nodi non sono equivalenti._NEWLINE_Il problema fondamentale, che le mosse di Reidemeister non risolvono, \xc3\xa8 quindi quello di distinguere due nodi diversi. Nel 1928 viene fatto un significativo passo in avanti in questa direzione: l'introduzione di invarianti, ovvero di oggetti algebrici (numeri, polinomi, etc) che non variano all'applicazione di una mossa di Reidemeister, e quindi sono intrinsecamente assegnati al nodo. Il polinomio di Alexander \xc3\xa8 un invariante di questo tipo: ad ogni nodo \xc3\xa8 associato un polinomio, che pu\xc3\xb2 essere calcolato in modo combinatorio a partire da un diagramma. Due nodi che hanno polinomi diversi sono quindi necessariamente diversi._NEWLINE_La ricerca di invarianti potenti ha occupato quasi tutto il resto del XX secolo. Tra questi, il polinomio di Jones ha valso al fisico Vaughan Jones la medaglia Fields.\n_START_SECTION_\nNodi e 3-variet\xc3\xa0\n_START_PARAGRAPH_\nIl complementare del nodo nello spazio tridimensionale (o nella 3-sfera S\xc2\xb3 ottenuta da quest'ultimo aggiungendo un punto e quindi compattificando lo spazio) \xc3\xa8 una variet\xc3\xa0 tridimensionale. Questa variet\xc3\xa0 fornisce molte informazioni sul nodo._NEWLINE_Tramite lo studio di questa variet\xc3\xa0, il matematico Haken costru\xc3\xac nel 1961 il primo algoritmo che riconosce se un nodo dato (ad esempio in forma diagrammatica) \xc3\xa8 banale (cio\xc3\xa8 se si scioglie completamente). Tale algoritmo, bench\xc3\xa9 importante dal punto di vista teorico, \xc3\xa8 per\xc3\xb2 di difficile applicazione pratica, proprio perch\xc3\xa9 usa tecniche relative a variet\xc3\xa0 3-dimensionali._NEWLINE_La variet\xc3\xa0 fornisce anche un potente invariante: il suo gruppo fondamentale. Molti teoremi relativi alle 3-variet\xc3\xa0 hanno una stretta analogia con analoghi teoremi per i nodi. Fra questi, il pi\xc3\xb9 importante \xc3\xa8 un teorema di fattorizzazione dimostrato nel 1949 dal matematico tedesco Horst Schubert._NEWLINE_Negli anni 80, i matematici Cameron Gordon e John Luecke dimostrano infine che il nodo \xc3\xa8 strettamente collegato alla sua variet\xc3\xa0 complementare: due nodi sono infatti equivalenti se e solo se le loro variet\xc3\xa0 complementari sono omeomorfe.\n_START_SECTION_\nConcetti fondamentali\n_START_PARAGRAPH_\nI concetti fondamentali della teoria dei nodi sono quello di nodo e link."