b"\n_START_ARTICLE_\nEquazione diofantea lineare\n_START_SECTION_\nEsempio\n_START_PARAGRAPH_\nApplichiamo il metodo descritto all'equazione . Consideriamo quindi l'equazione  e implementiamo l'algoritmo di Euclide alla coppia  e :_NEWLINE_Riscriviamo le tre uguaglianze mettendo in evidenza i resti_NEWLINE_Partiamo dall'ultima e sostituiamo a ritroso i valori:_NEWLINE_._NEWLINE_Quindi abbiamo  e ._NEWLINE_Una volta trovata una soluzione dell'equazione , che indichiamo con , per ottenere una soluzione dell'equazione  bastano tre moltiplicazioni per uno stesso fattore._NEWLINE_Moltiplicando per  i due membri di , otteniamo che una soluzione dell'equazione  \xc3\xa8 data dalla coppia ._NEWLINE_La soluzione generale dell'equazione  \xc3\xa8 data da\n_START_SECTION_\nRisoluzione con le frazioni continue\n_START_PARAGRAPH_\nMostriamo ora come si possano usare le frazioni continue per risolvere l'equazione diofantea ._NEWLINE_Il nostro avvicinamento a questa meta avverr\xc3\xa0 gradualmente, attraverso facili passaggi, che culmineranno infine nel metodo per la risoluzione di ogni equazione risolubile della forma_NEWLINE_.\n_START_SECTION_\nL'equazione indeterminata ax-by=\xc2\xb11\n_START_PARAGRAPH_\nImpariamo dapprima a risolvere l'equazione  con ._NEWLINE_Teorema_NEWLINE_L'equazione , dove  e  sono interi positivi primi fra loro, ha infinite soluzioni intere ._NEWLINE_Dimostrazione_NEWLINE_Trasformiamo dapprima  in una frazione continua aritmetica limitata o semplice_NEWLINE_e calcoliamo le ridotte ._NEWLINE_Le ultime due_NEWLINE_sono la chiave della soluzione. Queste infatti soddisfano la relazione fondamentale_NEWLINE_e poich\xc3\xa9  e , si ha_NEWLINE_._NEWLINE_Se  \xc3\xa8 pari, cio\xc3\xa8 se abbiamo un numero pari di quozienti parziali_NEWLINE_,  e l'ultima equazione scritta diventa_NEWLINE_._NEWLINE_Confrontando questa con l'equazione data , si vede che una_NEWLINE_soluzione di questa \xc3\xa8_NEWLINE_._NEWLINE_Questa, tuttavia, \xc3\xa8 una soluzione particolare e non la soluzione_NEWLINE_generale. Indicheremo le soluzioni particolari con ._NEWLINE_D'altra parte se  \xc3\xa8 dispari cos\xc3\xac che , possiamo_NEWLINE_modificare lo sviluppo_NEWLINE_sostituendo_NEWLINE_ con  se _NEWLINE_o sostituendo_NEWLINE_ con  se ._NEWLINE_Cio\xc3\xa8, se lo sviluppo ha un numero dispari di quozienti parziali, si_NEWLINE_pu\xc3\xb2 trasformare in  se  o in  se ; in entrambi i casi il numero dei quozienti diviene pari._NEWLINE_Usando questa frazione continua, in entrambi i casi, ricalcoliamo_NEWLINE_,  e l'equazione  \xc3\xa8 di nuovo soddisfatta._NEWLINE_Come gi\xc3\xa0 visto nella sezione precedente la soluzione generale \xc3\xa8_NEWLINE__NEWLINE_(c.v.d.)\n_START_SECTION_\nEsempio\n_START_PARAGRAPH_\nTrovare le soluzioni intere dell'equazione indeterminata_NEWLINE_._NEWLINE_Qui gli interi  e  sono primi fra loro_NEWLINE_e l'equazione ha soluzioni intere. _NEWLINE_La frazione continua corrispondente a  cio\xc3\xa8  ha un numero dispari di quozienti parziali, ma pu\xc3\xb2 essere sostituita da_NEWLINE_, sviluppo equivalente con un numero pari_NEWLINE_di quozienti._NEWLINE_Calcoliamone le ridotte._NEWLINE_Qui ,  , , e_NEWLINE_quindi, per la_NEWLINE_,_NEWLINE_la soluzione generale dell'equazione \xc3\xa8\n_START_SECTION_\nOsservazione\n_START_PARAGRAPH_\nIl metodo per risolvere l'equazione_NEWLINE_ con _NEWLINE_\xc3\xa8 del tutto analogo a quello usato per risolvere l'equazione  con ._NEWLINE_Basta trasformare  in una frazione continua aritmetica limitata_NEWLINE_con un numero dispari di ridotte.\n_START_SECTION_\nLa soluzione generale di ax-by=c con MCD(a,b)=1\n_START_PARAGRAPH_\nImparato a risolvere l'equazione_NEWLINE__NEWLINE_dove  e  sono interi primi fra loro, \xc3\xa8 facile risolvere_NEWLINE_l'equazione_NEWLINE__NEWLINE_nella quale  \xc3\xa8 intero. Come abbiamo gi\xc3\xa0 visto nei paragrafi precedenti la soluzione generale di  \xc3\xa8\n_START_SECTION_\nLa soluzione generale di ax+by=c con MCD(a,b)=1\n_START_PARAGRAPH_\nLa discussione di questa equazione \xc3\xa8 simile, ad eccezione di alcune lievi_NEWLINE_modifiche, a quella dell'equazione . Sempre supponendo che_NEWLINE_ e  siano interi positivi, troviamo dapprima una soluzione_NEWLINE_particolare dell'equazione_NEWLINE_ con ._NEWLINE_Per fare ci\xc3\xb2, sviluppiamo  in frazione continua con un_NEWLINE_numero pari di quozienti parziali._NEWLINE_Dalla tavola delle ridotte_NEWLINE_prendiamo  e . Allora vale_NEWLINE_,_NEWLINE_come in precedenza._NEWLINE_L'artificio consiste ora nello scrivere l'equazione data nella forma_NEWLINE_._NEWLINE_Cambiamo l'ordine dei termini ed otteniamo_NEWLINE_._NEWLINE_Quindi  divide la quantit\xc3\xa0 che figura a sinistra; ma  e quindi , che non ha divisori comuni con  (salvo ), deve dividere  che equivale a dire che esiste un intero  tale che_NEWLINE_o anche che_NEWLINE_._NEWLINE_Sostituendo si ottiene_NEWLINE_la quale, risolta nella variabile , d\xc3\xa0_NEWLINE_._NEWLINE_Viceversa, qualunque sia l'intero , sostituendo in  si ha_NEWLINE_e l'equazione  \xc3\xa8 soddisfatta._NEWLINE_Quindi la sua soluzione generale \xc3\xa8\n_START_SECTION_\nEsempio\n_START_PARAGRAPH_\nRisolviamo ora con le frazioni continue l'equazione diofantea . Sviluppiamo  in frazione continua, ottenendo_NEWLINE_Quindi_NEWLINE_._NEWLINE_La frazione ha un numero pari di coefficienti parziali, quindi non dobbiamo modificarla._NEWLINE_Le ridotte della frazione continua sono:_NEWLINE_._NEWLINE_In conclusione la soluzione generale dell'equazione diofantea  \xc3\xa8 data da_NEWLINE_."