b"\n_START_ARTICLE_\nGruppo di tipo Lie\n_START_SECTION_\nGruppi classici\n_START_PARAGRAPH_\nUn approccio iniziale a questa questione fu la definizione e lo studio dettagliato dei cosiddetti gruppi classici sui campi finiti e non. Fu fatto molto lavoro, dal tempo di Leonard Eugene Dickson al libro di Jean Dieudonn\xc3\xa9. Per esempio Emil Artin studi\xc3\xb2 gli ordini di tali gruppi, ponendo particolare attenzione alla classificazione delle coincidenze._NEWLINE_I gruppi classici pi\xc3\xb9 importanti sono i gruppi lineari speciali, i gruppi ortogonali, i gruppi simplettici e i gruppi unitari. Vi sono inoltre altri gruppi classici meno importanti ottenuti come sottogruppi derivati o come quozienti rispetto al centro. Questi gruppi si costruiscono su un campo (finito o meno) nello stesso modo in cui sono costruiti sul campo dei numeri reali. Essi corrispondono alle successioni , , ,  dei gruppi di Chevalley e di Steinberg.\n_START_SECTION_\nGruppi di Chevalley\n_START_PARAGRAPH_\nLa teoria dei cosiddetti gruppi di Chevalley fu chiarita da quella dei gruppi algebrici e dal lavoro di Claude Chevalley della met\xc3\xa0 degli anni 50 sulle algebre di Lie, per mezzo delle quali il concetto di gruppo di Chevalley fu definito. Chevalley costru\xc3\xac una base di Chevalley (una specie di forma integrale) per tutte le algebre di Lie semplici e complesse (o piuttosto delle loro algebre universali), che pu\xc3\xb2 essere usata per definire i corrispondenti gruppi algebrici sugli interi. In particolare, egli poteva prendere gli elementi di tali gruppi in ogni campo finito. Per le algebre di Lie , , ,  ci\xc3\xb2 dava i gruppi classici pi\xc3\xb9 noti, ma questa costruzione dava anche i gruppi associati alle algebre eccezionali di Lie , , ,  e . (Alcuni di questi gruppi erano gi\xc3\xa0 stati costruiti da Dickson.)\n_START_SECTION_\nRelazioni con gruppi finiti semplici\n_START_PARAGRAPH_\nI gruppi finiti di tipo Lie furono tra i primi gruppi a essere considerati in matematica, dopo i gruppi ciclici, simmetrici e alternanti. Il loro studio inizi\xc3\xb2 con il teorema di Camille Jordan per cui il gruppo lineare speciale proiettivo PSL\xe2\x82\x82(q) \xc3\xa8 semplice per q\xe2\x89\xa0 2,3. Questo teorema generalizza i gruppi proiettivi di dimensioni maggiori e d\xc3\xa0 un'importante famiglia infinita PSL\xe2\x82\x99(q) di gruppi semplici finiti. Altri gruppi classici furono studiati da Leonard Dickson all'inizio del XX secolo. Negli anni 50 Claude Chevalley si rese conto che dopo una riformulazione appropriata, molti teoremi tipo sui gruppi semisemplici di  Lie, ammettono analoghi per gruppi algebrici su un campo arbitrario k, portando a costruzioni di ci\xc3\xb2 che ora \xc3\xa8 chiamato gruppo di Chevalley. _NEWLINE_Inoltre, come nel caso dei gruppi di Lie semplici e compatti, i gruppi corrispondenti si rivelarono essere quasi semplici come i gruppi astratti (teorema della semplicit\xc3\xa0 di Tits). Nonostante fosse noto sin dal XIX secolo che esistevano altri gruppi semplici finiti(per esempio i gruppi di Mathieu), si arriv\xc3\xb2 gradualmente alla convinzione che quasi tutti i gruppi finiti semplici potevano essere valutati attraverso appropriate estensioni della costruzione di Chevalley, insieme ai gruppi alternanti e ciclici. Tuttavia le eccezioni, i gruppi sporadici, condividono molte propriet\xc3\xa0 con i gruppi finiti del tipo di Lie e, in particolare, possono essere costruiti e caratterizzati basandosi sulla loro geometria nel senso di Tits._NEWLINE_La convinzione \xc3\xa8 ora diventata un teorema. Un'analisi della lista dei gruppi semplici finiti mostra che i gruppi di tipo Lie su un campo finito includono tutti i gruppi finiti semplici diversi dai gruppi ciclici, i gruppi alternanti, i gruppi di Tits e i 26 gruppi sporadici semplici."