b"\n_START_ARTICLE_\nParadosso dell'ipergioco\n_START_PARAGRAPH_\nIl paradosso dell'ipergioco \xc3\xa8 un paradosso dovuto al matematico William Zwicker; esso \xc3\xa8 strettamente legato con il teorema di Cantor, di cui in effetti costituisce una dimostrazione alternativa._NEWLINE_L'ipergioco viene definito come un particolare gioco in cui il primo giocatore sceglie il gioco a cui giocare, e il secondo inizia il gioco. Questa definizione, apparentemente semplice, nasconde tuttavia delle propriet\xc3\xa0 contraddittorie, che nascono dall'ambiguit\xc3\xa0 della definizione di gioco.\n_START_SECTION_\nDefinizioni preliminari\n_START_PARAGRAPH_\nConsiderando l'insieme dei giochi a due giocatori, un gioco viene definito finito se termina necessariamente in un numero finito di mosse, con la vittoria di uno dei due giocatori o con il pareggio; un esempio semplice \xc3\xa8 il gioco del tris, che pu\xc3\xb2 durare al massimo nove mosse._NEWLINE_Un gioco infinito \xc3\xa8 un gioco non finito, ovvero un gioco per il quale esiste almeno una strategia che porta a non concludere mai la partita, anche in presenza di un'altra strategia che la concluderebbe in un numero finito di mosse. Ad esempio \xc3\xa8 infinito il seguente gioco: il primo giocatore sceglie un numero naturale non primo, e i giocatori sommano alternativamente 1 o 2 al numero dell'avversario fino a quando non si ottiene un numero primo; se il primo giocatore sceglie un numero pari diverso da 2 ed entrambi continuano a sommare 2, il gioco non termina mai. \xc3\x88 da notare che questa strategia non \xc3\xa8 ottimale, e qualunque giocatore potrebbe facilmente interromperla a suo vantaggio; la sua esistenza comporta comunque la non finitezza del gioco. Un altro esempio di gioco infinito \xc3\xa8 PONG dove, teoricamente, si potrebbe continuare a far rimbalzare la pallina all'infinito tra le due barrette.\n_START_SECTION_\nL'ipergioco e il paradosso\n_START_PARAGRAPH_\nL'ipergioco \xc3\xa8 definito come il gioco in cui alla prima mossa un giocatore sceglie un gioco finito e lo comunica all'altro giocatore; alla seconda mossa questi inizia il gioco scelto dal primo giocatore._NEWLINE_Il paradosso si genera nel momento in cui si cerca di determinare se l'ipergioco sia un gioco finito o meno. In prima analisi l'ipergioco sembrerebbe un gioco finito: se infatti il primo giocatore \xc3\xa8 obbligato a scegliere un gioco finito, e se supponiamo che il gioco scelto termini in al pi\xc3\xb9 n mosse, l'ipergioco termina in n + 1 mosse ed \xc3\xa8 in particolare finito. Segue per\xc3\xb2 che, se l'ipergioco \xc3\xa8 finito, allora il primo giocatore pu\xc3\xb2 scegliere di giocare all'ipergioco, e cos\xc3\xac pu\xc3\xb2 fare a sua volta il secondo giocatore, e cos\xc3\xac via; se entrambi continuano a scegliere l'ipergioco, la partita non termina mai. Seguirebbe l'esistenza di una strategia che porta il gioco a non finire mai, e l'ipergioco si configurerebbe come gioco infinito._NEWLINE_Segue allora che, se l'ipergioco \xc3\xa8 un gioco, deve essere un gioco finito; ma non pu\xc3\xb2 essere un gioco finito, perch\xc3\xa9 se lo fosse sarebbe un gioco infinito._NEWLINE_Il paradosso nasce dall'ambiguit\xc3\xa0 insita nella definizione di gioco: se infatti si decide a priori un insieme S di giochi ben definiti (finiti e non finiti), e si limita il secondo giocatore a scegliere all'interno dei giochi finiti dell'insieme S, si pu\xc3\xb2 applicare lo stesso ragionamento fatto, ma la conclusione in questo caso \xc3\xa8 semplicemente che l'ipergioco non fa parte dell'insieme S, perch\xc3\xa9 non pu\xc3\xb2 essere n\xc3\xa9 un suo elemento finito n\xc3\xa9 un suo elemento infinito, in analogia col paradosso di Russell riguardo agli insiemi e alle classi."