b'\n_START_ARTICLE_\nTeorema di Bolzano-Weierstrass\n_START_SECTION_\nIl teorema\n_START_PARAGRAPH_\nSia  un insieme limitato e infinito. Allora  possiede almeno un punto di accumulazione._NEWLINE_Un corollario immediato del teorema asserisce che ogni successione limitata in  ammette almeno una sottosuccessione convergente.\n_START_SECTION_\nDimostrazione per n = 1 (alternativa)\n_START_PARAGRAPH_\nLa dimostrazione nel caso  fa uso dell\'assioma di Dedekind (o assioma di completezza) e di un apposito lemma.\n_START_SECTION_\nLemma\n_START_PARAGRAPH_\nOgni successione  a valori in  ammette una sottosuccessione monotona.\n_START_SECTION_\nDimostrazione del lemma\n_START_PARAGRAPH_\nChiamiamo "picco per la successione" ogni numero naturale  tale che, per ogni , risulti  ovvero tale che il termine  sia maggiore o uguale di ogni termine che lo "segue" nella successione._NEWLINE_Consideriamo il caso in cui la successione abbia infiniti picchi . Ne consegue che otteniamo una sottosuccessione monotona decrescente  costituitadagli infiniti picchi della successione di partenza e la tesi (del lemma) \xc3\xa8 raggiunta._NEWLINE_Risultato simile si ritrova nello studio del limite superiore di una successione. In tale contesto, infatti, si considera la sottosuccessione data da ._NEWLINE_Supponiamo adesso che ci sia solo un numero finito di picchi, chiamiamo con N l\'ultimo picco e n\xe2\x82\x81 = N + 1. Perci\xc3\xb2 n\xe2\x82\x81 non \xc3\xa8 un picco, poich\xc3\xa9 n\xe2\x82\x81 > N; da ci\xc3\xb2 segue che esiste un n\xe2\x82\x82 > n\xe2\x82\x81 tale che  Allo stesso modo, n\xe2\x82\x82 > N non \xc3\xa8 un picco, per cui esiste n\xe2\x82\x83 > n\xe2\x82\x82 con . Iterando il procedimento si ottiene la sottosuccessione monotona crescente .\n_START_SECTION_\nDimostrazione vera e propria\n_START_PARAGRAPH_\nSupponiamo adesso di avere una successione limitata in ; il lemma precedente implica l\'esistenza di una sottosuccessione monotona necessariamente limitata. Dal teorema della convergenza monotona per successioni reali segue che questa sottosuccessione necessariamente converge. Infatti, essendo limitata, avr\xc3\xa0 l\'estremo superiore (inferiore) per l\'assioma di Dedekind, che sar\xc3\xa0 anche il limite della successione. Ci\xc3\xb2 \xc3\xa8 provato dal fatto che, chiamato  l\'estremo superiore, . Essendo monotona,  cio\xc3\xa8 . Si conclude cos\xc3\xac la dimostrazione del teorema per il caso .\n_START_SECTION_\nDimostrazione per n qualsiasi\n_START_PARAGRAPH_\nNella sua formulazione pi\xc3\xb9 generale, il teorema pu\xc3\xb2 essere dimostrato tramite il caso : data una successione limitata in , la successione delle prime coordinate \xc3\xa8 una successione reale limitata e perci\xc3\xb2 essa ammette sottosuccessione convergente. Da questa possiamo estrarre una sottosottosuccessione (convergente) per la quale la seconda coordinata converga. Iterando questo procedimento per tutte le  coordinate si ottiene una  volte sottosuccessione della successione di partenza \xe2\x80\x94 che \xc3\xa8 a tutti gli effetti una sottosuccessione della successione di partenza \xe2\x80\x94 per la quale ogni coordinata \xc3\xa8 una successione convergente. Si \xc3\xa8 cos\xc3\xac ottenuta una sottosuccessione convergente della successione in .\n_START_SECTION_\nFormulazione del teorema con la nozione di compattezza\n_START_PARAGRAPH_\nCome affermato si ha un secondo enunciato del teorema:_NEWLINE_Sia  un insieme infinito, e sia  un insieme compatto. Allora  ammette almeno un punto di accumulazione in .'