b"\n_START_ARTICLE_\nLemma di Sperner\n_START_PARAGRAPH_\nIl lemma di Sperner \xc3\xa8 un teorema della teoria dei grafi che ha delle importanti applicazioni in topologia; in particolare, permette quella che \xc3\xa8 forse la dimostrazione pi\xc3\xb9 elementare del teorema del punto fisso di Brouwer.\n_START_SECTION_\nDimostrazione\n_START_PARAGRAPH_\nSi possono dare diversi tipi di dimostrazioni di questo enunciato. Una possibilit\xc3\xa0 \xc3\xa8 quella di considerare il grafo duale che ha un nodo dentro ciascun sotto-triangolo e all'esterno di ciascun segmento sui lati, come in figura. Poi si scelgono due colori, diciamo R (rosso) e V (verde). I nodi del grafico duale vengono poi collegati da un arco se e solo se questo arco attraversa un segmento con estremi colorati con R e V (come in figura). _NEWLINE_Ora analizziamo i cammini individuati da questi nodi (tracciati nel disegno con un tratto pi\xc3\xb9 spesso). Osserviamo innanzitutto che questi cammini non possono mai avere biforcazioni poich\xc3\xa9 un triangolo non pu\xc3\xb2 contenere pi\xc3\xb9 di due lati con colori R e V. Fra i lati esterni del triangolo possiamo trovare archi del grafo duale solamente su un lato: quello che aveva la colorazione con R e V. I cammini che partono dal lato esterno possono fermarsi solo in due casi: se entrano dentro un triangolo completo o se escono da un lato esterno: infatti se si trovano all'interno e si trovano in un triangolo non completo allora deve necessariamente esserci un altro lato con colori R e V. Ci sono poi dei cammini che rimangono sempre all'interno: per il discorso appena fatto questi cammini devono iniziare dentro un triangolo completo e concludersi dentro un altro triangolo completo._NEWLINE_Per concludere la dimostrazione ci rifacciamo alla versione unidimensionale del lemma: questa ci assicura che sul bordo esterno ci sono un numero dispari di segmenti completi RV. Dunque non tutti i cammini che entrano possono poi riuscire: deve esserci almeno un cammino che finisce all'interno e in tal caso deve finire in un triangolo completo. Dunque deve esistere un triangolo completo. Il numero di triangoli completi inoltre deve essere dispari perch\xc3\xa9 i segmenti RV del bordo che riescono dal bordo devono essere in numero pari, dunque avanza un numero dispari di segmenti che finisce in triangoli completi distinti. Ci sono poi triangoli completi interni da cui partono cammini che non escono dal bordo. In tal caso sappiamo che tali cammini devono finire su un altro triangolo completo, quindi il numero di questi triangoli completi addizionali \xc3\xa8 pari e sommato a quello dei triangoli completi collegati con il bordo d\xc3\xa0 un numero dispari."