b"\n_START_ARTICLE_\nIntegrale multiplo\n_START_PARAGRAPH_\nL'integrale multiplo \xc3\xa8 una forma di integrale definito esteso a funzioni di pi\xc3\xb9 variabili reali (ad esempio a funzioni della forma  o della forma )._NEWLINE_Gli integrali definiti possiedono interpretazioni geometriche e fisiche significative: limitandosi per semplicit\xc3\xa0 alle funzioni con valori positivi, mentre l'integrale definito per una funzione di una variabile rappresenta l'area della regione chiamata trapezoide compresa tra il suo grafico e l'asse delle ascisse, l'integrale definito per funzioni di due variabili (integrale doppio) fornisce la misura del volume del solido chiamato cilindroide compreso tra la superficie che ne d\xc3\xa0 il grafico e il piano contenente il suo dominio. In generale gli integrali definiti di funzioni di 3 o pi\xc3\xb9 variabili sono interpretabili come misure di ipervolumi, ovvero di volumi di solidi di 4 o pi\xc3\xb9 dimensioni, non rappresentabili quindi graficamente. Un integrale triplo, integrale definito di una funzione di tre variabili, \xc3\xa8 interpretabile fisicamente come misura della massa di un corpo che occupa lo spazio che corrisponde al dominio e che ha la densit\xc3\xa0 variabile fornita dai valori della funzione stessa.\n_START_SECTION_\nIntegrale improprio\n_START_PARAGRAPH_\nCome nel caso di una sola variabile, la definizione di integrale di Riemann richiede di integrare funzioni limitate su insiemi limitati. Per estendere la definizione agli altri casi, il primo passo \xc3\xa8 prendere in esame le funzioni positive, e considerare una successione crescente di compatti (ovvero di chiusi limitati in cui ) dove la funzione \xc3\xa8 limitata, il cui limite (che coincide con la loro unione) sia l'insieme di integrazione . In tal caso, la successione degli integrali sugli  \xc3\xa8 una successione crescente, e quindi ha un limite; data inoltre un'altra successione di insiemi con le stesse caratteristiche, ogni elemento di quest'ultima \xc3\xa8 compreso tra due elementi (non necessariamente consecutivi) della prima, e quindi per il teorema dei carabinieri il limite \xc3\xa8 lo stesso._NEWLINE_Nel caso di funzioni a segno qualsiasi, \xc3\xa8 sufficiente dividerla nella sua parte positiva e nella sua parte negativa; l'integrale sar\xc3\xa0 quindi definito nel caso in cui possa essere definito separatamente per entrambe. Questo \xc3\xa8 equivalente a chiedere che l'integrale (improprio) del suo valore assoluto sia finito._NEWLINE_L'integrale di Lebesgue, invece, non ha bisogno di questa costruzione, in quanto la sua definizione comprende gi\xc3\xa0 i casi in cui la funzione o il dominio d'integrazione non sono limitati.\n_START_SECTION_\nEsame diretto\n_START_PARAGRAPH_\nIn pochi casi particolari \xc3\xa8 possibile evitare calcoli diretti e ottenere subito il risultato dell'integrazione. Uno di questi \xc3\xa8 il caso di integrazioni di funzioni costanti su rettangoli: in tal caso, conoscendo la misura del dominio, basta moltiplicarla per il valore della costante . Se , in  si avr\xc3\xa0 il volume di un parallelepipedo, mentre in  il suo ipervolume._NEWLINE_In altri casi si pu\xc3\xb2 sfruttare la disparit\xc3\xa0 della funzione rispetto ad una variabile in congiunzione con la simmetria del dominio rispetto all'asse corrispondente, ottenendo un integrale nullo: ad esempio, la funzione  \xc3\xa8 dispari in , e quindi il suo integrale nel semicerchio superiore  \xc3\xa8 uguale a ."