b"\n_START_ARTICLE_\nInversione circolare\n_START_SECTION_\nCostruzione con riga e compasso\n_START_PARAGRAPH_\nL'inverso di un punto pu\xc3\xb2 essere costruito con riga e compasso.\n_START_SECTION_\nCaso 2: Il punto \n  \n    \n      \n        P\n      \n    \n    {\\displaystyle P}\n  \n \xc3\xa8 interno a \n  \n    \n      \n        \xce\xb3\n      \n    \n    {\\displaystyle \\gamma }\n  \n.\n_START_PARAGRAPH_\nSi consideri la retta passante per  e per . Si tracci la perpendicolare a tale retta passante per . Detti  e  i suoi punti di intersezione con , ancora per il primo teorema di Euclide,  \xc3\xa8 il punto di intersezione delle tangenti a  condotte per  e per .\n_START_SECTION_\nCaso 3: Se il punto \n  \n    \n      \n        P\n      \n    \n    {\\displaystyle P}\n  \n appartiene a \n  \n    \n      \n        \xce\xb3\n      \n    \n    {\\displaystyle \\gamma }\n  \n.\n_START_PARAGRAPH_\nIn questo caso  coincide con .\n_START_SECTION_\nComposizione\n_START_PARAGRAPH_\nLa composizione di inversioni non \xc3\xa8 mai una inversione. La composizione di due inversioni aventi lo stesso centro \xc3\xa8 una omotetia con quel centro.\n_START_SECTION_\nMappa conforme\n_START_PARAGRAPH_\nL'inversione \xc3\xa8 una mappa conforme. Si tratta cio\xc3\xa8 di una funzione che preserva gli angoli fra curve piane. Ad esempio, le circonferenze ortogonali a  sono insiemi invarianti (o figure unite) per l'inversione: vengono cio\xc3\xa8 trasformati in se stessi.\n_START_SECTION_\nOrientazione\n_START_PARAGRAPH_\nCome la riflessione, l'inversione cambia l'orientazione del piano (o della sfera).\n_START_SECTION_\nFunzioni olomorfe e antiolomorfe\n_START_PARAGRAPH_\nL'inversione \xc3\xa8 una funzione antiolomorfa. Non \xc3\xa8 una funzione olomorfa perch\xc3\xa9 cambia l'orientazione del piano._NEWLINE_La composizione di due inversioni \xc3\xa8 per\xc3\xb2 sempre una funzione olomorfa: si tratta di un biolomorfismo dalla sfera di Riemann in s\xc3\xa9. Una tale trasformazione \xc3\xa8 detta trasformazione di M\xc3\xb6bius.\n_START_SECTION_\nIn dimensione pi\xc3\xb9 alta\n_START_PARAGRAPH_\nL'inversione pu\xc3\xb2 essere definita analogamente in dimensione 3 o superiore. In questo caso, l'inversione \xc3\xa8 effettuata rispetto ad una sfera, o ad una ipersfera. Molte delle propriet\xc3\xa0 elencate per il piano vengono generalizzate.\n_START_SECTION_\nInvoluzione\n_START_PARAGRAPH_\nL'inversione \xc3\xa8 una involuzione, cio\xc3\xa8  \xc3\xa8 la funzione identit\xc3\xa0. In particolare, \xc3\xa8 un omeomorfismo della sfera in s\xc3\xa9.\n_START_SECTION_\nPiani e sfere\n_START_PARAGRAPH_\nFissato , una inversione manda piani affini e sfere -dimensionali in s\xc3\xa9 (una sfera -dimensionale \xc3\xa8 una sfera contenuta in uno spazio affine di dimensione ). Piani contenenti il centro vengono lasciati invarianti, sfere non contenenti il centro vengono trasformate in altre sfere non contenenti il centro, mentre piani non contenenti il centro vengono trasformati in sfere contenenti il centro (e viceversa).\n_START_SECTION_\nMappa conforme\n_START_PARAGRAPH_\nL'inversione \xc3\xa8 una mappa conforme (sia se considerata sullo spazio, che sulla sfera)."