b"\n_START_ARTICLE_\nSpazio vettoriale topologico\n_START_PARAGRAPH_\nIn matematica, uno spazio vettoriale topologico (a volte spazio topologico lineare) \xc3\xa8 uno spazio su cui sono definite sia una struttura topologica sia una struttura lineare, in modo che esse siano compatibili tra loro. Gli spazi topologici lineari sono tra gli oggetti pi\xc3\xb9 studiati dell'analisi funzionale. La ricerca riguardante gli spazi vettoriali topologici \xc3\xa8 stata iniziata da Stefan Banach negli anni trenta, come generalizzazione, appunto, degli spazi di Banach.\n_START_SECTION_\nPropriet\xc3\xa0\n_START_PARAGRAPH_\nIl successo degli spazi topologici lineari in matematica \xc3\xa8 dovuto alla generalit\xc3\xa0 della loro struttura (molti degli spazi utilizzati pi\xc3\xb9 comunemente sono spazi topologici lineari) ed al tempo stesso alla possibilit\xc3\xa0 di costruire su di essi delle teorie matematiche piuttosto ricche.\n_START_SECTION_\nInsiemi limitati\n_START_PARAGRAPH_\nUn sottoinsieme  di  si dice limitato se per ogni intorno  dello  (lo zero di  visto come spazio vettoriale), esiste uno scalare , tale che  contenga . La possibilit\xc3\xa0 di parlare di insiemi limitati in un ambito cos\xc3\xac astratto, \xc3\xa8 stato storicamente uno dei fattori che hanno contribuito allo sviluppo dello studio degli spazi topologici vettoriali.\n_START_SECTION_\nConvessit\xc3\xa0\n_START_PARAGRAPH_\nGli spazi topologici vettoriali sono le strutture pi\xc3\xb9 generali su cui sia possibile trattare le nozioni di convessit\xc3\xa0. Gli studi in questa direzione hanno portato a definire ed analizzare gli spazi localmente convessi.\n_START_SECTION_\nFunzioni a valori in spazi topologici vettoriali\n_START_PARAGRAPH_\nLa pi\xc3\xb9 generale classe di funzioni per cui sia nota una teoria dell'integrazione \xc3\xa8 la classe delle applicazioni da uno spazio misurabile a valori in uno spazio topologico vettoriale. Tale nozione \xc3\xa8 nota come integrale di Von Neumann.\n_START_SECTION_\nStabilit\xc3\xa0 per prodotti\n_START_PARAGRAPH_\nData una famiglia (finita o infinita) di spazi topologici vettoriali , il loro prodotto cartesiano  ha una naturale struttura sia di spazio topologico che di spazio vettoriale. Risulta che tale prodotto \xc3\xa8 anche uno spazio topologico vettoriale.\n_START_SECTION_\nEsempi\n_START_PARAGRAPH_\nLo spazio euclideo  \xc3\xa8 uno spazio vettoriale topologico, se equipaggiato con la topologia euclidea e con la usuale struttura di spazio vettoriale. Pi\xc3\xb9 in generale, tutti gli spazi di Banach sono spazi vettoriali topologici (con la topologia indotta dalla norma). Tuttavia, esistono strutture molto naturali in matematica che sono spazi vettoriali topologici, ma non sono spazi di Banach. Ad esempio, dato uno spazio di Banach , possiamo considerare la topologia debole  su . Con tale topologia,  in generale non sar\xc3\xa0 uno spazio di Banach (fanno eccezione gli spazi finito-dimensionali), e tuttavia sar\xc3\xa0 ancora uno spazio vettoriale topologico._NEWLINE_Gli spazi L\xe1\xb5\x96 sono spazi vettoriali topologici, qualunque sia , ma sono spazi localmente convessi solo se ."