b'\n_START_ARTICLE_\nPrincipio di Franck-Condon\n_START_PARAGRAPH_\nIn spettroscopia e in chimica quantistica il principio di Franck-Condon \xc3\xa8 un\'importante regola che permette di spiegare l\'intensit\xc3\xa0 delle transizioni vibroniche in una molecola, ovvero i cambiamenti dei livelli energetici vibrazionali ed elettronici che avvengono in modo simultaneo. Questi si verificano quando una molecola assorbe o emette energia._NEWLINE_Da un punto di vista semiclassico, il principio di Franck-Condon afferma che durante una transizione elettronica il moto dei nuclei viene considerato nullo, in quanto le loro posizioni variano molto pi\xc3\xb9 lentamente rispetto a quelle degli elettroni, dato che la loro massa \xc3\xa8 maggiore rispetto a quella di questi ultimi. Il moto dei nuclei diventa quindi trascurabile in confronto a quello degli elettroni (approssimazione di Born-Oppenheimer). La transizione elettronica \xc3\xa8 quindi "troppo rapida" perch\xc3\xa9 i nuclei possano rispondere ad essa._NEWLINE_Dal punto di vista quantomeccanico, il principio afferma che una transizione elettronica da un livello vibrazionale ad un altro \xc3\xa8 pi\xc3\xb9 probabile quanto pi\xc3\xb9 le funzioni d\'onda corrispondenti ai due stati sono sovrapposte. I livelli e le funzioni vibrazionali sono infatti quelle degli oscillatori armonici quantistici, quelli risultanti da approssimazioni pi\xc3\xb9 complesse dell\'energia potenziale delle molecole, come ad esempio con il potenziale di Morse.\n_START_SECTION_\nDescrizione\n_START_PARAGRAPH_\nLa figura a lato illustra il principio di Franck-Condon per transizioni vibroniche in una molecola la cui energia potenziale tra i nuclei \xc3\xa8 descritta dal potenziale di Morse sia per lo stato fondamentale  degli elettroni che per il primo stato eccitato ._NEWLINE_Supponendo che il sistema sia a temperatura ambiente e che la molecola si trovi nel livello vibrazionale fondamentale ; assorbendo energia pu\xc3\xb2 raggiungere stati elettronici eccitati. Si possono considerare due casi: se durante la transizione la distanza internucleare di equilibrio  \xc3\xa8 identica a quella dello stato elettronico eccitato, siamo nel caso A; altrimenti se risulta maggiore siamo nel caso B. Nel grafico lo stato elettronico eccitato viene chiamato , e la transizione vibronica viene indicata con una freccia verticale, considerando l\'approssimazione secondo cui le coordinate dei nuclei rimangono costanti durante la transizione. Per tale motivo, la transizione elettronica viene detta transizione verticale. La probabilit\xc3\xa0 che la molecola possa finire in un particolare livello vibrazionale, \xc3\xa8 proporzionale al quadrato dell\'integrale di sovrapposizione delle funzioni d\'onda vibrazionali di partenza e di arrivo, ovvero_NEWLINE_dove  ed  rappresentano rispettivamente gli stati di partenza ed arrivo nella notazione di Dirac, e  sono le corrispondenti funzioni d\'onda._NEWLINE_Nello stato elettronico eccitato le molecole si rilassano pi\xc3\xb9 velocemente ad un livello vibrazionale basso e da qui decadono allo stato elettronico minore emettendo energia. Nella stessa figura si nota che le transizioni avvengono con i nuclei alla distanza internucleare di equilibrio per lo stato di partenza. Vi sono perci\xc3\xb2 tante transizioni verticali con i nuclei fermi a tutte le distanze internucleari possibili nello stato di partenza (ogni transizione pesata secondo la probabilit\xc3\xa0, a quella distanza)._NEWLINE_Tenendo conto dei rapporti di popolazione tra i diversi livelli vibrazionali, a temperatura ambiente, si pu\xc3\xb2 ammettere, con buona approssimazione, che ogni transizione elettronica parta dallo stato vibrazionale fondamentale , appartenente allo stato elettronico fondamentale. Pu\xc3\xb2 concludersi, comunque, a diversi livelli vibrazionali dello stato eccitato, dando origine alla cosiddetta "struttura vibrazionale" della banda elettronica._NEWLINE_Queste diverse transizioni danno origine a diversi picchi nello spettro di assorbimento, che vengono indicati con 0-0\', 0-1\', etc., dove il primo numero indica il numero quantico vibrazionale dello stato elettronico di partenza e il secondo quello dello stato elettronico di arrivo. La banda 0-0\' \xc3\xa8, naturalmente, quella a frequenza minore (lunghezza d\'onda maggiore). La differenza (in frequenza) fra due picchi vibrazionali adiacenti \xc3\xa8 pari ad una frequenza vibrazionale caratteristica dello stato elettronico eccitato._NEWLINE_Nella seconda figura \xc3\xa8 riportato un esempio di spettro; la figura mostra anche le differenze nei rapporti di intensit\xc3\xa0 delle bande vibrazionali per i due casi. I rapporti di intensit\xc3\xa0 delle bande vibrazionali, entro una data banda elettronica, sono proporzionali ai cosiddetti fattori di Franck-Condon, dati dall\'integrale di sovrapposizione riportato in precedenza. Una banda della struttura vibrazionale sar\xc3\xa0 tanto pi\xc3\xb9 intensa quanto maggiore \xc3\xa8 la sovrapposizione tra le distribuzioni di probabilit\xc3\xa0 dei due stati vibrazionali, di partenza e di arrivo._NEWLINE_Assumendo che il potenziale dei nuclei sia lo stesso per ciascuno stato elettronico, le funzioni d\'onda dei livelli vibrazionali fondamentali di ciascuno di questi stati hanno la stessa forma, con un massimo in corrispondenza della distanza di equilibrio per quello stato. Nel caso A le curve sono esattamente sovrapponibili se traslate verticalmente in modo da far coincidere i due livelli 0 e 0\', mentre nel caso B, la curva per lo stato elettronico eccitato \xc3\xa8 traslata orizzontalmente, con il minimo della funzione a valori di R maggiori, in accordo con il valore pi\xc3\xb9 grande della distanza di equilibrio. Le due curve si sovrappongono poco quando si spostano verticalmente, facendo coincidere i livelli 0 e 0\'. Negli stati vibrazionali eccitati aumenta la probabilit\xc3\xa0 di trovare i nuclei nelle posizioni pi\xc3\xb9 lontane dall\'equilibrio (in corrispondenza del massimo accorciamento e massimo allungamento possibile per un dato stato vibrazionale), mentre diminuisce la probabilit\xc3\xa0 per la distanza di equilibrio._NEWLINE_Nel caso A, la sovrapposizione delle funzioni d\'onda dello stato vibrazionale di partenza () con quella di uno qualsiasi degli stati vibrazionali eccitati di arrivo \xc3\xa8 minore rispetto alla sovrapposizione con quella dello stato vibrazionale . Nel caso di un potenziale puramente armonico, quest\'ultima \xc3\xa8 la sola transizione attiva, in considerazione dell\'ortogonalit\xc3\xa0 delle funzioni d\'onda dell\'oscillatore armonico. Corrispondentemente, la banda vibrazionale pi\xc3\xb9 intensa si ha per la transizione indicata 0-0\'. Nel caso B, lo spostamento orizzontale dello stato elettronico eccitato fa s\xc3\xac che alcuni massimi nella curva relativa agli stati vibrazionali eccitati si trovino in corrispondenza della distanza di equilibrio dello stato di partenza (). Nella prima figura, ad esempio, il massimo della distribuzione di probabilit\xc3\xa0 nel secondo stato vibrazionale eccitato (stato elettronico eccitato) \xc3\xa8 proprio in corrispondenza del massimo nella funzione d\'onda di  (stato elettronico fondamentale). Tra queste due curve si ha la massima sovrapposizione, e, coerentemente, nello spettro la transizione 0-2\' ha intensit\xc3\xa0 maggiore delle altre.'