b"\n_START_ARTICLE_\nIntegrale di Lebesgue\n_START_PARAGRAPH_\nIn analisi matematica, l'integrale di Lebesgue di una funzione, il cui nome \xc3\xa8 dovuto a Henri Lebesgue, \xc3\xa8 l'integrale rispetto a una misura definita su una sigma-algebra. La locuzione si riferisce anche al caso particolare in cui si integri una funzione definita su un sottoinsieme dell'asse reale, o in generale di uno spazio euclideo, rispetto alla misura di Lebesgue._NEWLINE_Si tratta di una generalizzazione dell'integrale di Riemann, il quale \xc3\xa8 storicamente stato la prima formalizzazione dell'idea di integrale, che permette di definire l'integrale di una pi\xc3\xb9 ampia classe di funzioni. Ad esempio, la funzione di Dirichlet \xc3\xa8 integrabile per mezzo dell'integrale di Lebesgue, mentre non lo \xc3\xa8 con l'integrale di Riemann. L'integrale di Lebesgue risponde inoltre alla necessit\xc3\xa0 di considerare funzioni sempre pi\xc3\xb9 irregolari, ad esempio il risultato di processi al limite nell'analisi matematica e nella teoria matematica della probabilit\xc3\xa0.\n_START_SECTION_\nIntroduzione\n_START_PARAGRAPH_\nCome parte della generale tendenza al rigore in matematica del XIX secolo, erano stati fatti dei tentativi per porre il calcolo integrale su basi solide. L'integrale di Riemann, proposto da Bernhard Riemann (1826-1866), \xc3\xa8 un tentativo largamente riuscito di fornire tale fondazione all'integrale. La definizione di Riemann parte con la costruzione di una successione di integrali facilmente calcolabili che convergono all'integrale di una data funzione: tale definizione fornisce la risposta attesa per molti problemi gi\xc3\xa0 risolti, ed \xc3\xa8  risultata utile in molti altri problemi._NEWLINE_L'integrazione secondo Riemann, tuttavia, non si comporta bene con i limiti di successioni di funzioni, rendendo questi processi al limite difficili da analizzare. Questi limiti sono di primaria importanza, ad esempio, nello studio delle serie di Fourier, trasformate di Fourier, e in altri campi. L'integrale di Lebesgue \xc3\xa8 pi\xc3\xb9 adatto a descrivere come e quando \xc3\xa8 possibile eseguire l'operazione di limite sotto il segno di integrale. La definizione di Lebesgue considera infatti una differente classe di integrali facilmente calcolabili rispetto alla definizione di Riemann, e questa \xc3\xa8 la ragione principale per cui l'integrale di Lebesgue si comporta meglio._NEWLINE_La definizione di Lebesgue rende inoltre possibile il calcolo di integrali per una classe di funzioni pi\xc3\xb9 estesa. Ad esempio, la funzione di Dirichlet, che vale 0 dove il suo argomento \xc3\xa8 irrazionale e 1 altrimenti, ha un integrale di Lebesgue, ma non ha un integrale di Riemann._NEWLINE_La costruzione dell'integrale di Lebesgue si basa sulla teoria della misura. La teoria della misura \xc3\xa8 stata inizialmente creata per fornire un'analisi dettagliata della nozione di lunghezza dei sottoinsiemi della retta reale e pi\xc3\xb9 in generale aree e volumi di sottoinsiemi di spazi euclidei. Come mostrato da sviluppi successivi nella teoria degli insiemi, che comprende anche il concetto di insieme non misurabile, \xc3\xa8 effettivamente impossibile assegnare una lunghezza a tutti i sottoinsiemi di  in un modo che preservi determinate propriet\xc3\xa0 di additivit\xc3\xa0 naturale e di invarianza per traslazioni. Questo suggerisce che scegliere un'appropriata classe di sottoinsiemi, detti misurabili, sia un prerequisito essenziale.\n_START_SECTION_\nDefinizione\n_START_PARAGRAPH_\nSia  una misura su una sigma-algebra  di sottoinsiemi di un insieme . Ad esempio,  pu\xc3\xb2 essere un n-spazio euclideo  o un qualche suo sottoinsieme Lebesgue-misurabile, mentre  pu\xc3\xb2 essere la sigma-algebra di tutti i sottoinsiemi Lebesgue-misurabili di  e  la misura di Lebesgue. Nella teoria matematica delle probabilit\xc3\xa0  \xc3\xa8 una misura di probabilit\xc3\xa0 su uno spazio di probabilit\xc3\xa0  di misura 1."