b"\n_START_ARTICLE_\nLocalizzazione (algebra)\n_START_PARAGRAPH_\nNella teoria degli anelli, la localizzazione \xc3\xa8 un metodo per aggiungere ad un anello (in genere commutativo) gli inversi moltiplicativi di alcuni elementi dell'anello. \xc3\x88 una generalizzazione del concetto di campo dei quozienti e pu\xc3\xb2 essere applicato ad anelli che non sono necessariamente domini d'integrit\xc3\xa0; pu\xc3\xb2 anche essere generalizzato a coprire il caso dei moduli su un anello._NEWLINE_La localizzazione di un anello rispetto ad un suo sottoinsieme  \xc3\xa8 indicata con  o ._NEWLINE_La localizzazione di un anello deve il suo nome alla geometria algebrica, dove localizzando l'anello delle funzioni di una variet\xc3\xa0 algebrica si pu\xc3\xb2 studiare il comportamento della variet\xc3\xa0 in un intorno (di Zariski) di un punto o di una sottovariet\xc3\xa0.\n_START_SECTION_\nEsempi e casi particolari\n_START_PARAGRAPH_\nDue casi particolari sono abbastanza frequenti da meritare una propria notazione. Il primo \xc3\xa8 quando  \xc3\xa8 il complementare di un ideale primo : in tal caso  viene indicato con , ed \xc3\xa8 un anello locale. Il secondo \xc3\xa8 quando  \xc3\xa8 l'insieme delle potenze di un elemento : in tal caso la localizzazione \xc3\xa8 indicata con  (\xc3\xa8 da notare che, in generale, questa parte moltiplicativa non \xc3\xa8 saturata)._NEWLINE_Se  \xc3\xa8 un dominio d'integrit\xc3\xa0, l'insieme di tutti gli elementi non nulli \xc3\xa8 una parte moltiplicativa: in tal caso, la localizzazione coincide con il campo dei quozienti di  Se  non \xc3\xa8 integro, l'insieme  non \xc3\xa8 una parte moltiplicativa; tuttavia, l'insieme degli elementi che non sono divisori dello zero lo \xc3\xa8, ed \xc3\xa8 anche saturata. (Questo dimostra, tra l'altro, che l'insieme dei divisori dello zero \xc3\xa8 unione di ideali primi.) In questo caso, la localizzazione prende il nome di anello totale dei quozienti di , ed \xc3\xa8 la pi\xc3\xb9 grande localizzazione tale che l'omomorfismo canonico \xc3\xa8 iniettivo._NEWLINE_La localizzazione  \xc3\xa8 l'anello nullo se e solo se\n_START_SECTION_\nCorrispondenza di ideali\n_START_PARAGRAPH_\nOgni ideale di  pu\xc3\xb2 essere esteso ad un ideale di , denotato a volte con : esso \xc3\xa8 formato dagli elementi nella forma  per un , ed \xc3\xa8 il pi\xc3\xb9 piccolo ideale di  che contiene l'insieme  (dove  \xc3\xa8 l'omomorfismo canonico). In particolare,  se e solo se  interseca  (supponendo che  sia saturata)._NEWLINE_Tutti gli ideali della localizzazione sono estensioni di ideali di ; tuttavia, anche riducendosi agli ideali disgiunti da , non tutti gli ideali di  sono controimmagini (a volte contrazione) di ideali di ._NEWLINE_Tuttavia, gli ideali primi e gli ideali primari disgiunti da  sono sempre la contrazione della loro estensione in ; in particolare, esiste una corrispondenza biunivoca tra gli ideali primi di  e gli ideali primi di  disgiunti da . Se  (dove  \xc3\xa8 un ideale primo),  diventa un anello locale con ideale massimale  (indicato anche come  o, pi\xc3\xb9 raramente, come ).\n_START_SECTION_\nPropriet\xc3\xa0\n_START_PARAGRAPH_\nLe localizzazioni di un anello spesso ereditano alcune propriet\xc3\xa0 dell'anello di partenza: questo avviene, ad esempio, per l'essere integri, l'essere noetheriani o l'essere integralmente chiusi. Allo stesso modo, se  \xc3\xa8 un'estensione intera di anelli, e  \xc3\xa8 una parte moltiplicativa di , allora anche l'estensione  \xc3\xa8 intera._NEWLINE_A volte \xc3\xa8 possibile compiere il percorso inverso, cio\xc3\xa8 stabilire se una data propriet\xc3\xa0 \xc3\xa8 valida per  esaminando le localizzazioni; quando una propriet\xc3\xa0 vale per  se e solo se vale per tutte le sue localizzazioni \xc3\xa8 detta locale. Un esempio tipico di propriet\xc3\xa0 locale \xc3\xa8 l'essere integralmente chiusi; tuttavia, n\xc3\xa9 l'essere integri n\xc3\xa9 la noetherianit\xc3\xa0 sono propriet\xc3\xa0 locali._NEWLINE_In alcuni casi, una definizione pu\xc3\xb2 essere data per anelli locali e poi essere estesa ad anelli arbitrari considerando le localizzazioni: ad esempio, a partire dalla definizione di anello regolare locale, si passa poi a quella di anello regolare richiedendo che l'anello  sia regolare locale per ogni ideale massimale . Generalmente si ha poi che ogni localizzazione  possiede la stessa propriet\xc3\xa0._NEWLINE_Le propriet\xc3\xa0 locali sono particolarmente utili nello studio dei moduli, in quanto la teoria dei moduli su anelli locali \xc3\xa8 generalmente pi\xc3\xb9 semplice che quella su anelli arbitrari. Esempi di propriet\xc3\xa0 locali sono l'essere il modulo nullo, l'iniettivit\xc3\xa0 o la suriettivit\xc3\xa0 di un omomorfismo e la piattezza, mentre l'essere un modulo libero non \xc3\xa8 una propriet\xc3\xa0 locale."