b'\n_START_ARTICLE_\nStabilit\xc3\xa0 numerica\n_START_SECTION_\nStabilit\xc3\xa0 nell\'algebra lineare\n_START_PARAGRAPH_\nEsistono vari modi di formalizzare il concetto di stabilit\xc3\xa0: stabilit\xc3\xa0 in avanti, stabilit\xc3\xa0 all\'indietro e stabilit\xc3\xa0 mista sono usualmente usate nell\'algebra lineare numerica._NEWLINE_Consideriamo un problema risolto da un algoritmo che consiste in una funzione \xc6\x92 che mappa gli input x nelle soluzioni y. Il risultato dell\'algoritmo, che chiameremo y*, devia dalla "vera" soluzione y. Le principali cause di queste deviazioni sono gli errori di arrotondamento e gli errori di troncamento. L\'errore in avanti dell\'algoritmo \xc3\xa8 la differenza tra il risultato y* e la soluzione y, ovvero \xce\x94y = y* \xe2\x88\x92 y. L\'errore all\'indietro \xc3\xa8 il pi\xc3\xb9 piccolo \xce\x94x tale che  f (x + \xce\x94x) = y*; in altre parole, l\'errore all\'indietro ci indica quale problema ha risolto l\'algoritmo. I due errori sono legati al numero di condizionamento: l\'errore in avanti \xc3\xa8 grande al pi\xc3\xb9, in magnitudine, al numero di condizionamento moltiplicato la magnitudine dell\'errore all\'indietro._NEWLINE_In molti casi si preferisce considerare l\'errore relativo |\xce\x94x| / |x| piuttosto che l\'errore assoluto  \xce\x94x._NEWLINE_Un algoritmo si dice stabile all\'indietro se l\'errore all\'indietro \xc3\xa8 piccolo per ogni input x; con piccolo in genere si intende dello stesso ordine di grandezza, o inferiore, rispetto all\'errore macchina (errore di arrotondamento)._NEWLINE_Un algoritmo si dice stabile in avanti se l\'errore in avanti diviso il numero di condizionamento del problema \xc3\xa8 piccolo. Questo vuol dire che un algoritmo \xc3\xa8 stabile in avanti se ha un errore in avanti di grandezza comparabile ad alcune algoritmi stabili all\'indietro._NEWLINE_La stabilit\xc3\xa0 mista \xc3\xa8 invece un concetto pi\xc3\xb9 generale, che combina l\'errore in avanti e l\'errore all\'indietro. Un algoritmo \xc3\xa8 stabile in questo senso se risolve un problema vicino in modo approssimato, cio\xc3\xa8 se esiste un \xce\x94x tale che entrambi \xce\x94x e f(x + \xce\x94x) \xe2\x88\x92 y* siano entrambi piccoli. In base a questa definizione, un algoritmo stabile all\'indietro \xc3\xa8 sempre stabile.'