b'\n_START_ARTICLE_\n3-variet\xc3\xa0\n_START_PARAGRAPH_\nIn geometria, una 3-variet\xc3\xa0 \xc3\xa8 una variet\xc3\xa0 differenziabile di dimensione 3. Informalmente, si tratta di un "possibile universo": uno spazio con 3 dimensioni che \xc3\xa8 localmente simile allo spazio tridimensionale come \xc3\xa8 percepito dall\'essere umano, la cui struttura globale pu\xc3\xb2 per\xc3\xb2 essere molto differente e di difficile intuizione._NEWLINE_Lo studio delle 3-variet\xc3\xa0 \xc3\xa8 un ramo importante della topologia della dimensione bassa. Ha forti connessioni con la teoria dei nodi e la geometria iperbolica. Gli strumenti usati nello studio delle 3-variet\xc3\xa0 sono molteplici: tra questi, il gruppo fondamentale (che cattura gran parte della struttura della variet\xc3\xa0), lo studio delle superfici (in particolare le superfici incompressibili) e la geometria iperbolica.\n_START_SECTION_\nDefinizione\n_START_PARAGRAPH_\nUna 3-variet\xc3\xa0 \xc3\xa8 una variet\xc3\xa0 differenziabile oppure topologica di dimensione 3. L\'aggettivo "topologica" o "differenziabile" \xc3\xa8 usato, quando necessario, per specificare di quale variet\xc3\xa0 si tratta; in verit\xc3\xa0, la differenza fra le due nozioni in dimensione 3 \xc3\xa8 minima: una variet\xc3\xa0 differenziabile \xc3\xa8 anche topologica (questo \xc3\xa8 valido in tutte le dimensioni), e viceversa ogni variet\xc3\xa0 topologica pu\xc3\xb2 essere dotata di una unica struttura differenziabile a meno di diffeomorfismo (questo \xc3\xa8 valido solo in dimensione 2 e 3). Per questo motivo, l\'aggettivo \xc3\xa8 generalmente omesso._NEWLINE_Analogamente, una 3-variet\xc3\xa0 con bordo \xc3\xa8 una variet\xc3\xa0 con bordo di dimensione 3. Spesso anche una 3-variet\xc3\xa0 con bordo \xc3\xa8 chiamata semplicemente 3-variet\xc3\xa0.\n_START_SECTION_\nSpazi lenticolari\n_START_PARAGRAPH_\nGli spazi lenticolari sono le 3-variet\xc3\xa0 chiuse aventi gruppo fondamentale pi\xc3\xb9 semplice. Lo spazio lenticolare  \xc3\xa8 una 3-variet\xc3\xa0 definita come spazio quoziente di  tramite un\'azione del gruppo ciclico . Lo spazio \xc3\xa8 definito per ogni coppia di interi coprimi . Si tratta di una variet\xc3\xa0 chiusa, il cui gruppo fondamentale \xc3\xa8 ._NEWLINE_Per  la 3-variet\xc3\xa0 \xc3\xa8 la sfera , mentre per  si tratta dello spazio proiettivo reale tridimensionale .\n_START_SECTION_\nVisualizzazione\n_START_PARAGRAPH_\nUna superficie pu\xc3\xb2 essere agevolmente visualizzata tramite un disegno, e se \xc3\xa8 orientabile pu\xc3\xb2 essere descritta interamente all\'interno dello spazio tridimensionale. Inoltre \xc3\xa8 descritta a meno di omeomorfismo semplicemente dal suo genere._NEWLINE_Descrivere e visualizzare una 3-variet\xc3\xa0 \xc3\xa8 pi\xc3\xb9 difficile. Non esiste una semplice generalizzazione della nozione di genere, che possa classificarle agevolmente. Esistono quindi varie tecniche per costruire e descrivere completamente una 3-variet\xc3\xa0.\n_START_SECTION_\nTriangolazione\n_START_PARAGRAPH_\nOgni 3-variet\xc3\xa0 compatta ammette una triangolazione. Pu\xc3\xb2 quindi essere descritta in modo combinatorio, da una lista di dati che descrivono i tetraedri e i modi in cui le facce triangolari di questi sono identificate a coppie. Questa descrizione combinatoria \xc3\xa8 stata usata a partire dagli anni ottanta in vari programmi al computer.\n_START_SECTION_\nChirurgia di Dehn\n_START_PARAGRAPH_\nUn link in  (pi\xc3\xb9 precisamente, in ), in cui ogni componente ha un numero razionale assegnato, descrive una 3-variet\xc3\xa0. Questa \xc3\xa8 la variet\xc3\xa0 ottenuta tramite chirurgia di Dehn effettuata sul link: la chirurgia consiste nel rimuovere attorno ad ogni componente del link un toro solido, ottenuto "ingrassando" lievemente la componente (il toro solido \xc3\xa8 un piccolo intorno tubolare di questa), e reincollare il toro solido lungo una mappa differente. La scelta della mappa dipende dal numero razionale.\n_START_SECTION_\nDecomposizione e geometrizzazione\n_START_PARAGRAPH_\nPer il teorema di uniformizzazione di Riemann, ogni superficie ammette una struttura di variet\xc3\xa0 riemanniana completa con curvatura sezionale costante +1, 0 o -1. Ogni superficie ha quindi una struttura di variet\xc3\xa0 ellittica, piatta o iperbolica completa._NEWLINE_Una analoga uniformizzazione esiste anche per le 3-variet\xc3\xa0: congetturata da William Thurston all\'inizio degli anni ottanta, \xc3\xa8 stata dimostrata da Grigori Perelman nel 2002. La geometrizzazione di Thurston asserisce che ogni 3-variet\xc3\xa0 si decompone lungo sfere e tori in pezzi che ammettono una metrica omogenea. La decomposizione lungo sfere e tori, nota gi\xc3\xa0 negli anni settanta, consiste nel teorema di Kneser-Milnor per la somma connessa (le sfere) e nella decomposizione JSJ (i tori).\n_START_SECTION_\nEllittiche\n_START_PARAGRAPH_\nLe 3-variet\xc3\xa0 chiuse ellittiche sono precisamente tutte le 3-variet\xc3\xa0 con gruppo fondamentale finito. Tra queste, la sfera, lo spazio proiettivo, e pi\xc3\xb9 generalmente ogni spazio lenticolare. Pi\xc3\xb9 in generale, una tale variet\xc3\xa0 \xc3\xa8 ottenuta come quoziente di  tramite un gruppo di isometrie di  che agisce in modo libero e propriamente discontinuo. Il gruppo delle isometrie di  \xc3\xa8 il gruppo ortogonale speciale , e tutti i suoi sottogruppi di questo tipo sono stati classificati da John Milnor negli anni sessanta.\n_START_SECTION_\nIperboliche\n_START_PARAGRAPH_\nLo studio delle 3-variet\xc3\xa0 iperboliche, emerso con i lavori di Thurston a partire dalla fine anni settanta, \xc3\xa8 considerato di gran lunga pi\xc3\xb9 interessante fra i matematici. Fra le 8 geometrie omogenee, quella iperbolica si mostra infatti come la pi\xc3\xb9 ricca. Mentre le variet\xc3\xa0 della altre 7 geometrie sono gi\xc3\xa0 state classificate dagli anni cinquanta, non esiste ancora una classificazione soddisfacente delle variet\xc3\xa0 iperboliche._NEWLINE_Una 3-variet\xc3\xa0 iperbolica \xc3\xa8 ottenuta come quoziente dello spazio iperbolico  tramite un gruppo di isometrie che agisce in modo libero e propriamente discontinuo. Il gruppo delle isometrie che preservano l\'orientazione di  \xc3\xa8 isomorfo al gruppo delle trasformazioni di M\xc3\xb6bius, un gruppo importante in analisi complessa e geometria proiettiva.\n_START_SECTION_\nPiatte\n_START_PARAGRAPH_\nLa variet\xc3\xa0  ammette (come ogni prodotto di un numero arbitrario di circonferenze) una struttura di variet\xc3\xa0 piatta; \xc3\xa8 ottenuta quozientando lo spazio euclideo  tramite il gruppo di isometrie dato dalle traslazioni intere sui tre assi.\n_START_SECTION_\nAltre geometrie\n_START_PARAGRAPH_\nLa variet\xc3\xa0  ottenuta come prodotto di una superficie  di genere maggiore di uno e di una circonferenza ammette una delle 5 metriche omogenee rimanenti.'