b"\n_START_ARTICLE_\nIntegrale\n_START_PARAGRAPH_\nIn analisi matematica, l'integrale \xc3\xa8 un operatore che, nel caso di una funzione di una sola variabile a valori reali non negativi, associa alla funzione l'area sottesa dal suo grafico entro un dato intervallo  nel dominio. Se la funzione assume anche valori negativi, allora l'integrale pu\xc3\xb2 essere interpretato geometricamente come l'area orientata sottesa dal grafico della funzione._NEWLINE_Sia  una funzione continua di una variabile a valori reali e sia  un elemento nel dominio di  allora dal teorema fondamentale del calcolo integrale segue che l'integrale da  a  di  \xc3\xa8 una primitiva di .\n_START_SECTION_\nCenni storici\n_START_PARAGRAPH_\nL'idea di base del concetto di integrale era nota ad Archimede di Siracusa, vissuto tra il 287 e il 212 a.C., ed era contenuta nel metodo da lui usato per il calcolo dell'area del cerchio o dell'area sottesa al segmento di un ramo di parabola, detto metodo di esaustione, gi\xc3\xa0 proposta da Eudosso di Cnido._NEWLINE_Nel XVII secolo alcuni matematici trovarono altri metodi per calcolare l'area sottesa al grafico di semplici funzioni, tra di essi figurano, ad esempio, Bonaventura Cavalieri, scopritore del metodo degli indivisibili (anni 1640), Pierre de Fermat (1636) e Nicolaus Mercator (1668). In quegli stessi anni Pietro Mengoli (1659) diede una prima definizione di integrale._NEWLINE_Nel diciassettesimo e diciottesimo secolo Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Johann Bernoulli dimostrarono indipendentemente il teorema fondamentale del calcolo integrale, che ricondusse tale problema alla ricerca della primitiva di una funzione._NEWLINE_La definizione di integrale per le funzioni continue in un intervallo venne inizialmente formulata da Augustin-Louis Cauchy, che a partire dal lavoro di Mengoli, descrisse l'integrale utilizzando la definizione di limite. In seguito Bernhard Riemann propose la sua definizione, in modo da comprendere classi pi\xc3\xb9 estese di funzioni. Nel 1875, Gaston Darboux riformul\xc3\xb2 la definizione gi\xc3\xa0 individuata da Cauchy in modo da evitare l'uso di limiti e dimostrando che era del tutto equivalente alla definizione data da Riemann. Per questo motivo spesso si parla di integrale di Riemann-Darboux. Allo scopo di comprendere una classe molto pi\xc3\xb9 estesa di funzioni, Henri Lebesgue produsse una definizione di integrale pi\xc3\xb9 complessa, attraverso l'introduzione della teoria della misura. In seguito Thomas Stieltjes fu in grado di generalizzare l'integrale di Riemann introducendo il concetto di funzione integratrice e, con un procedimento del tutto analogo, Johann Radon generalizz\xc3\xb2 l'integrale di Lebesgue. Una definizione d'integrale alternativa a quella di Lebesgue-Radon venne fornita da Percy J. Daniell, che la ricav\xc3\xb2 a partire dall'integrale di Riemann-Stieltjes.\n_START_SECTION_\nNotazione\n_START_PARAGRAPH_\nIl simbolo  che rappresenta l'integrale nella notazione matematica fu introdotto da Leibniz alla fine del XVII secolo. Il simbolo si basa sul carattere \xc5\xbf (esse lunga), lettera che Leibniz utilizzava come iniziale della parola summa (\xc5\xbfumma), in latino somma, poich\xc3\xa9 questi considerava l'integrale come una somma infinita di addendi infinitesimali._NEWLINE_La variabile di integrazione, cio\xc3\xa8 la variabile della funzione integranda, \xc3\xa8 una variabile muta, cio\xc3\xa8  ha lo stesso significato , . La forma differenziale  \xc3\xa8 il differenziale della variabile di integrazione._NEWLINE_Esistono leggere differenze nella notazione dell'integrale nelle letterature di lingue diverse: il simbolo inglese \xc3\xa8 inclinato verso destra, quello tedesco \xc3\xa8 dritto mentre la variante russa \xc3\xa8 inclinata verso sinistra. Nei testi italiani si usa il simbolo inglese.\n_START_SECTION_\nTeorema di Vitali-Lebesgue\n_START_PARAGRAPH_\nIl teorema di Vitali-Lebesgue \xc3\xa8 un teorema che consente di individuare le funzioni definite su uno spazio  che siano integrabili secondo Riemann. Fu dimostrato nel 1907 dal matematico italiano Giuseppe Vitali contemporaneamente e indipendentemente con il matematico francese Henri Lebesgue._NEWLINE_Data una funzione su  che sia limitata e nulla al di fuori di un sottoinsieme limitato di , essa \xc3\xa8 integrabile secondo Riemann se e solo se \xc3\xa8 trascurabile l'insieme dei suoi punti di discontinuit\xc3\xa0. Se si verifica questo, la funzione \xc3\xa8 anche integrabile secondo Lebesgue e i due integrali coincidono. Nel caso in cui  l'enuciato assume la seguente forma: una funzione  limitata in un intervallo  \xc3\xa8 ivi integrabile secondo Riemann se e solo se l'insieme dei suoi punti di discontinuit\xc3\xa0 \xc3\xa8 di misura nulla rispetto alla misura di Lebesgue.\n_START_SECTION_\nPropriet\xc3\xa0 degli integrali\n_START_PARAGRAPH_\nDi seguito si riportano le propriet\xc3\xa0 principali dell'operatore integrale.\n_START_SECTION_\nAltri operatori di integrazione\n_START_PARAGRAPH_\nAccanto agli integrali di Riemann e Lebesgue sono stati introdotti diversi altri operatori integrali. L'integrale di Riemann-Stieltjes \xc3\xa8 una generalizzazione dell'integrale di Riemann, ed \xc3\xa8 a sua volta generalizzato dall'integrale di Lebesgue-Stieltjes, che \xc3\xa8 anche un'estensione dell'integrale di Lebesgue."