b"\n_START_ARTICLE_\nPrincipio di inclusione-esclusione\n_START_SECTION_\nDimostrazione I\n_START_PARAGRAPH_\nSi dovr\xc3\xa0 dimostrare che ogni elemento dell'insieme  viene contato una e una sola volta. Sia  e , riordinando cio\xc3\xa8 gli insiemi e supponendo che  appartenga ai primi ._NEWLINE_Il termine  conta  esattamente  volte, mentre il secondo termine dello sviluppo della sommatoria, cio\xc3\xa8  conta  esattamente  volte, ecc._NEWLINE_Dunque l'elemento  nel principio di inclusione-esclusione \xc3\xa8 contato esattamente _NEWLINE_ volte_NEWLINE_Osserviamo che l'indice  varia fino a  perch\xc3\xa9 considerando , l'intersezione di  con gli altri  non conterr\xc3\xa0 ._NEWLINE_Si pu\xc3\xb2 ora dimostrare facilmente, considerando lo sviluppo del Binomio di Newton, che la sommatoria in questione \xc3\xa8 uguale a :\n_START_SECTION_\nDimostrazione II (induzione su n)\n_START_PARAGRAPH_\nAbbiamo che_NEWLINE_Verifichiamola per , dato che per  \xc3\xa8 banalmente , e il caso torner\xc3\xa0 poi utile nel proseguimento della dimostrazione:_NEWLINE_Ipotizziamo ora vero il principio per  insiemi, e dimostriamo che allora \xc3\xa8 vero anche per  insiemi. Vale che_NEWLINE_Poich\xc3\xa9 l'ipotesi \xc3\xa8 vera per  vale_NEWLINE_Ovvero_NEWLINE_Tale proposizione \xc3\xa8 vera in quanto i due termini dell'uguaglianza hanno gli stessi addendi con lo stesso segno. Come volevasi dimostrare.\n_START_SECTION_\nStoria\n_START_PARAGRAPH_\nIl principio \xc3\xa8 stato utilizzato da Nicolaus II Bernoulli  (1695-1726); la formula viene attribuita ad Abraham de Moivre (1667-1754); per il suo utilizzo e per la comprensione della sua portata vengono ricordati Joseph Sylvester (1814-1897) ed Henri Poincar\xc3\xa9 (1854-1912)."