b'\n_START_ARTICLE_\nModello a quark costituenti\n_START_PARAGRAPH_\nIl modello a quark costituenti (CQM) \xc3\xa8 il modello maggiormente utilizzato fra quelli efficaci nel riprodurre le propriet\xc3\xa0 degli adroni._NEWLINE_Lo stimolo allo sviluppo di numerosi modelli efficaci per la descrizione degli adroni in termini di quark \xc3\xa8 derivato dall\'impossibilit\xc3\xa0 di risolvere le equazioni della cromodinamica quantistica in regime non perturbativo (basse energie).\n_START_SECTION_\nIl modello a quark di Gell-Mann e Zweig\n_START_PARAGRAPH_\nLe motivazioni fenomenologiche che hanno portato alla nascita del modello a quark vanno ricercate nell\'osservazione di famiglie adroniche di uguale spin e parit\xc3\xa0, con masse uguali, entro un errore dell\'ordine di qualche percento, ma differenti tra loro per carica elettrica. La famiglia composta da protone (938,3 MeV ) e neutrone (939,5 MeV ) ne \xc3\xa8 un esempio, al pari della famiglia dei pioni (con masse che variano tra i 135 e i 140 MeV ). _NEWLINE_Immaginando di "spegnere" l\'interazione elettromagnetica, si pu\xc3\xb2 pensare che i componenti di queste famiglie in realt\xc3\xa0 degenerino in una sola entit\xc3\xa0 fisica. La motivazione teorica di questa degenerazione degli autostati dell\'interazione forte sta in una simmetria dell\'hamiltoniano; esiste cio\xc3\xa8 un gruppo di trasformazioni sugli stati che lascia invariato l\'hamiltoniano responsabile della dinamica delle particelle adroniche. Questa simmetria viene chiamata SU(2) di isospin e viene appunto rotta dall\'interazione elettromagnetica._NEWLINE_Le famiglie di particelle sono quindi rappresentazioni irriducibili di questo gruppo: il nucleone \xc3\xa8 una rappresentazione di dimensione due, il pione di dimensione tre, la  \xc3\xa8, invece, la rappresentazione di dimensione quattro. \xc3\x88 da sottolineare che sono permesse matematicamente anche altre rappresentazioni, delle quali per\xc3\xb2 non vi \xc3\xa8 un\'evidenza sperimentale che ne attesti l\'esistenza in natura._NEWLINE_Quando si scoprirono le prime particelle strane si not\xc3\xb2 che, insieme alle altre gi\xc3\xa0 note, potevano essere raggruppate in multipletti, di diverse dimensioni, caratterizzati da isospin e stranezza (vedi Figura 1)._NEWLINE_Se si considera la stranezza, il gruppo SU(2) di isospin va allargato a SU(3). Ci\xc3\xb2 sta a significare che, adesso, l\'hamiltoniano dell\'interazione forte \xc3\xa8 invariante per trasformazioni di SU(3). Questo gruppo viene chiamato SU(3) di flavour (o sapore). A differenza della simmetria di isospin, quella di sapore viene rotta per circa il 20%; infatti al variare della stranezza le masse delle particelle differiscono di circa 150 MeV (caratteristica che ha contribuito alla scoperta della particella ). Il modello a quark per gli adroni, proposto indipendentemente da Gell-Mann e Zweig, nel 1964 spiega questa simmetria rispetto al gruppo SU(3). Il modello chiama in causa l\'esistenza di un tripletto di particelle costituenti, i quark, indicati come la realizzazione della rappresentazione fondamentale del gruppo di invarianza. I barioni vengono pensati costituiti da tre quark () mentre i mesoni da una coppia quark-antiquark (). Sorge, quindi, in maniera naturale la struttura a multipletti osservata:_NEWLINE_ (1)_NEWLINE_ (2)\n_START_SECTION_\nIl modello a quark non relativistico\n_START_PARAGRAPH_\nNel 1965 Morpurgo  dimostr\xc3\xb2 la possibilit\xc3\xa0 di una trattazione non relativistica della dinamica dei quark all\'interno degli adroni: questo permise lo sviluppo dei modelli a quark costituenti. In questi modelli i barioni sono considerati stati legati di tre quark. Tenendo conto di tutti i gradi di libert\xc3\xa0 dei quark, la funzione d\'onda pu\xc3\xb2 essere scritta:_NEWLINE_ (3)_NEWLINE_Per fare in modo che i barioni rispettino il principio di esclusione di Pauli, \xc3\xa8 necessario combinare le varie funzioni d\'onda facendo in modo che il risultato sia completamente antisimmetrico per lo scambio di due quark qualsiasi, vista la natura fermionica di questo tipo di particelle. Ben presto si cap\xc3\xac che qualcosa non funzionava. Consideriamo a proposito la particella  nel suo stato ad energia minima (corrispondente a L = 0). Per consentire allo spin totale J di assumere il valore 3/2 proprio della particella, dobbiamo necessariamente imporre uno spin S=3/2 e quindi la  risulta completamente simmetrica ( per esempio)._NEWLINE_Per quanto riguarda , la composizione in quark di  \xc3\xa8 uuu, evidentemente simmetrica. Si richiede quindi che la funzione d\'onda spaziale sia antisimmetrica. Questa richiesta non pu\xc3\xb2 essere soddisfatta unitamente alla condizione L = 0, se non a costo di una funzione d\'onda spaziale con molti nodi e quindi con un\'energia piuttosto alta. In un primo momento si "aggir\xc3\xb2" il problema postulando che la teoria corretta fosse quella del cosiddetto "Modello a Quark Simmetrico", in cui si suppone che la funzione d\'onda totale debba essere simmetrica. Il modello diede subito buoni risultati, ma fu chiaro fin dall\'inizio che il problema andava risolto in maniera diversa.\n_START_SECTION_\nL\'introduzione del colore\n_START_PARAGRAPH_\nLa soluzione del problema della simmetria della funzione d\'onda che oggi viene considerata valida invoca l\'esistenza di un grado di libert\xc3\xa0 non osservato detto colore. Questo comporta una riscrittura della (3) nella forma:_NEWLINE_ (4)_NEWLINE_A questo punto la parte flavour-spin-spazio pu\xc3\xb2 essere simmetrica, purch\xc3\xa9  sia completamente antisimmetrica. Per formalizzare la teoria supponiamo che ciascun quark possieda un ulteriore grado di libert\xc3\xa0 interno (il colore) conservato nelle interazioni forti. Esiste quindi un nuovo gruppo di invarianza nella teoria, , in cui n indica la dimensione del gruppo e quindi il numero di valori che pu\xc3\xb2 assumere il nuovo grado di libert\xc3\xa0. Per determinare il valore di n si richiede solamente che  possa essere completamente antisimmetrica e che giustifichi la non osservabilit\xc3\xa0 diretta del colore. Le due richieste sono soddisfatte se la decomposizione in rappresentazioni irriducibili del prodotto diretto di tre rappresentazioni fondamentali di  contiene una rappresentazione antisimmetrica di dimensione uno (singoletto di colore)._NEWLINE_La teoria dei gruppi ci dice che la dimensione della rappresentazione irriducibile completamente antisimmetrica \xc3\xa8:_NEWLINE_ (5)_NEWLINE_e imponendo d=1, si ottiene n=3. Questo vuol dire che i quark esistono in tre stati di colore. Siccome non vi \xc3\xa8 evidenza sperimentale dell\'esistenza di particelle colorate, si suppone che tutte le particelle siano singoletti di colore. L\'introduzione del gruppo di invarianza  permette, quindi, di "scaricare" l\'antisimmetria della funzione d\'onda su , questo spiega perci\xc3\xb2 il perch\xc3\xa9 dei buoni risultati del Modello a Quark Simmetrico._NEWLINE_L\'introduzione di un nuovo numero quantico sembra, fino a questo punto, una soluzione ad hoc del problema delle statistiche. In realt\xc3\xa0 vi sono alcune evidenze sperimentali, se pur indirette, dell\'esistenza del colore. Un esempio \xc3\xa8 dato dall\'andamento della sezione d\'urto totale per la produzione di adroni in esperimenti di annichilazione di coppie elettrone-positrone (adronizzazione). Si esamina il risultato in termini del rapporto:_NEWLINE_ (6)_NEWLINE_Il valore di R dipende solamente dalla carica elettrica dei prodotti delle reazioni e dal numero degli stati finali possibili secondo la relazione:_NEWLINE_ (7)_NEWLINE_Nel caso dei tre quark u, d e s la (7) fornisce come risultato:_NEWLINE_ (8)_NEWLINE_Questo risultato \xc3\xa8 in contrasto col valore sperimentale . Se, per\xc3\xb2, si tiene conto dei tre possibili stati di colore gli stati finali della reazione saranno nove invece che tre e quindi la predizione teorica va a coincidere con quella sperimentale._NEWLINE_Si noti che il valore sperimentale  si ottiene facendo collidere elettrone e positrone con un\'energia, nel sistema di riferimento del centro di massa, inferiore a 3,5 GeV , soglia di produzione del quark charm. All\'aumentare dell\'energia entrano in gioco anche gli altri sapori dei quark aumentando, quindi, il numero di stati finali possibili.\n_START_SECTION_\nHamiltoniano nei modelli a quark costituenti\n_START_PARAGRAPH_\nNei CQM si considera un hamiltoniano della forma H=T+V, dove T rappresenta l\'energia cinetica mentre V \xc3\xa8 il potenziale che deve tenere conto, tra le altre cose, del confinamento dei quark. Indicazioni della LQCD suggeriscono che il potenziale confinante debba essere  invariante. Per riprodurre in maniera adeguata lo spettro \xc3\xa8, quindi, necessario aggiungere nell\'hamiltoniano anche un termine in grado di rompere la simmetria . Si utilizza l\'energia cinetica nello sviluppo non relativistico dell\'energia relativistica, cio\xc3\xa8:_NEWLINE_ (9)_NEWLINE_Se consideriamo, in prima approssimazione, tre quark aventi masse uguali, una trattazione pi\xc3\xb9 agevole ci viene fornita dall\'introduzione delle coordinate di Jacobi:_NEWLINE_ (10a) _NEWLINE_ (10b)_NEWLINE_ (10c)_NEWLINE_la coordinata  rappresenta il centro di massa del sistema a tre corpi,  la coordinata relativa dei primi due quark, mentre  la coordinata relativa del terzo quark rispetto al centro di massa delle prime due particelle. Il tutto viene visualizzato pi\xc3\xb9 chiaramente se si fa riferimento alla figura 2._NEWLINE_Con questa definizione l\'equazione (9) diventa:_NEWLINE_ (11)_NEWLINE_da cui si pu\xc3\xb2 separare il termine che concerne il centro di massa, in quanto non \xc3\xa8 interessante nello studio delle risonanze barioniche._NEWLINE_\xc3\x88 in questo ambiente che si sviluppano i vari potenziali confinanti. Uno dei pi\xc3\xb9 importanti, soprattutto perch\xc3\xa9 ha ispirato la quasi totalit\xc3\xa0 dei modelli sviluppati successivamente, \xc3\xa8 il modello di Isgur e Karl. In questo modello i barioni (mesoni) vengono schematizzati come un sistema di tre quark (una coppia quark-antiquark) interagenti tramite forze di tipo elastico tra due corpi a cui viene aggiunta un\'interazione del tipo iperfine. Lo spettro ottenuto con questo modello \xc3\xa8 molto simile a quello effettivamente osservato in natura anche se presenta un certo numero di problemi.\n_START_SECTION_\nIl modello di Isgur e Karl\n_START_PARAGRAPH_\nNel modello di Isgur e Karl il potenziale confinante \xc3\xa8 del tipo oscillatore armonico: si ipotizza che i quark interagiscano a coppie mediante forze di tipo oscillatore armonico con la medesima costante elastica. _NEWLINE_ (12)_NEWLINE_Il termine responsabile della rottura della simmetria SU(6) spin-flavour, chiamato "di interazione iperfine", viene ricavato dalla formulazione non relativistica del diagramma di Feynman per l\'interazione tra due quark mediata dallo scambio di un gluone (si veda a proposito la figura 3)._NEWLINE_L\'operatore iperfine ha la forma:_NEWLINE_ (13)_NEWLINE_Si tiene conto dell\'azione di questo operatore in maniera perturbativa, ci\xc3\xb2 consente di eliminare la degenerazione degli autostati dell\'hamiltoniano di oscillatore armonico (che sono rappresentazioni irriducibili del gruppo )._NEWLINE_L\'hamiltoniano completo, nel caso di Isgur e Karl assume quindi la forma:_NEWLINE_ (14)\n_START_SECTION_\nConclusioni\n_START_PARAGRAPH_\nIn generale tutti i modelli a quark costituenti si fondano sulla costruzione di un hamiltoniano invariante rispetto alle trasformazioni del gruppo SU(6) di spin-flavour al quale viene aggiunto successivamente un termine, trattato solitamente in maniera perturbativa, che rompe la simmetria dell\'hamiltoniano imperturbato._NEWLINE_Per migliorare ulteriormente i risultati si possono introdurre correzioni che tengano conto degli effetti relativistici. Ottenuti i nuovi risultati, per\xc3\xb2, si noter\xc3\xa0 che le migliorie apportate non saranno di portata rilevante (perlomeno confrontate con lo sforzo che queste correzioni comportano) confermando la bont\xc3\xa0 della dimostrazione [3] gi\xc3\xa0 citata'