b"\n_START_ARTICLE_\nDisco di Poincar\xc3\xa9\n_START_SECTION_\nAngoli\n_START_PARAGRAPH_\nIl tensore metrico  \xc3\xa8 ottenuto semplicemente per riscalamento dell'usuale tensore euclideo, tramite una costante che dipende dal punto. La metrica del disco \xc3\xa8 quindi conforme alla metrica euclidea: ne segue che le due metriche danno gli stessi angoli.\n_START_SECTION_\nGeodetiche\n_START_PARAGRAPH_\nUna geodetica completa nel disco di Poincar\xc3\xa9 \xc3\xa8 una circonferenza  o un segmento , che interseca ortogonalmente il bordo del disco in due punti. Il segmento  \xc3\xa8 quindi un diametro del disco._NEWLINE_Pi\xc3\xb9 in generale, una geodetica (non completa) \xc3\xa8 una porzione di una geodetica completa.\n_START_SECTION_\nGeometria iperbolica\n_START_PARAGRAPH_\nIl disco di Poincar\xc3\xa9 \xc3\xa8 un modello di geometria non euclidea. Sono infatti validi tutti gli assiomi di Euclide, tranne il quinto._NEWLINE_In particolare, il disco ha una metrica completa e iperbolica.\n_START_SECTION_\nMetrica completa\n_START_PARAGRAPH_\nIl disco di Poincar\xc3\xa9, con la usuale metrica euclidea, non \xc3\xa8 uno spazio completo. Infatti uno spazio completo in  \xc3\xa8 necessariamente chiuso. In particolare, esistono delle successioni di Cauchy convergenti al bordo del disco._NEWLINE_Il disco di Poincar\xc3\xa9 con la metrica iperbolica qui introdotta \xc3\xa8 per\xc3\xb2 completo. Questo \xc3\xa8 dovuto al fatto che il fattore di riscalamento della metrica tende a infinito quando il punto tende al bordo del disco: conseguentemente, non esistono successioni di Cauchy tendenti al bordo per la metrica iperbolica._NEWLINE_La propriet\xc3\xa0 di completezza pu\xc3\xb2 anche essere verificata dal fatto che le geodetiche complete hanno lunghezza (nella metrica iperbolica) infinita.\n_START_SECTION_\nMetrica iperbolica\n_START_PARAGRAPH_\nLa curvatura sezionale della metrica \xc3\xa8 costantemente pari a , indipendentemente dal punto e dal piano su cui \xc3\xa8 misurata. Una metrica con queste propriet\xc3\xa0 \xc3\xa8 detta iperbolica.\n_START_SECTION_\nModello dello spazio iperbolico\n_START_PARAGRAPH_\nIn ogni dimensione  esiste a meno di isometrie una sola variet\xc3\xa0 riemanniana completa con curvatura sezionale costantemente -1, che sia semplicemente connessa. Questa variet\xc3\xa0 \xc3\xa8 solitamente chiamata spazio iperbolico e descritta con il simbolo . Il disco di Poincar\xc3\xa9 \xc3\xa8 isometrico a : si tratta di uno dei modelli dello spazio iperbolico -dimensionale. Altri modelli sono il semispazio di Poincar\xc3\xa9, il modello di Klein, e il modello dell'iperboloide. _NEWLINE_I modelli descrivono la stessa geometria, ma in modo differente. Ad esempio, il disco ed il semispazio di Poincar\xc3\xa9 sono gli unici modelli conformi, in cui gli angoli iperbolici ed euclidei coincidono."