b'\n_START_ARTICLE_\nTopologia in dimensione bassa\n_START_PARAGRAPH_\nLa topologia in dimensione bassa \xc3\xa8 una branca della topologia (e quindi della geometria) che studia gli "spazi di dimensione 1, 2, 3 e 4". _NEWLINE_La topologia in dimensione bassa studia soprattutto le variet\xc3\xa0, da molteplici punti di vista. A partire dagli anni sessanta, \xc3\xa8 emersa sempre pi\xc3\xb9 la peculiarit\xc3\xa0 di queste dimensioni, il cui studio necessita di strumenti ad hoc, pi\xc3\xb9 specifici delle tecniche generali fornite dalla topologia algebrica e della topologia differenziale. Da cui la nascita negli anni 60/70 di un settore apposito, che studiasse tecniche adeguate, soprattutto alle dimensioni 3 e 4. _NEWLINE_Un esempio lampante di questo fenomeno \xc3\xa8 la dimostrazione di Stephen Smale della Congettura di Poincar\xc3\xa9: gli argomenti usati dal matematico statunitense funzionano per tutte le dimensioni superiori a 4, ma non per le altre. La stessa congettura \xc3\xa8 stata successivamente dimostrata con tecniche complesse e molto specifiche in dimensione 4 da Michael Freedman nel 1982 e in dimensione 3 da Grigori Perelman nel 2003 (i casi 1 e 2 sono molto facili, come not\xc3\xb2 Henri Poincar\xc3\xa9 gi\xc3\xa0 alla fine del XIX secolo)._NEWLINE_I risultati sorprendenti ottenuti da William Thurston, Simon Donaldson, Michael Freedman, Vaughan Jones e Edward Witten nell\'ambito delle variet\xc3\xa0 di dimensione 3 e 4, ottenuti tra la fine degli anni settanta, e tutti gli anni ottanta, hanno valso a tutti questi una medaglia Fields, e hanno portato il settore alla ribalta della geometria e di tutta la matematica. Grigori Perelman, anch\'egli vincitore di una medaglia Fields, chiude infine nel 2003 la congettura di Poincar\xc3\xa9, insoluta per pi\xc3\xb9 di un secolo.\n_START_SECTION_\nDimensione uno\n_START_PARAGRAPH_\nEsistono solo due variet\xc3\xa0 di dimensione 1 a meno di omeomorfismo: la retta e la circonferenza. Una circonferenza dentro lo spazio tridimensionale pu\xc3\xb2 per\xc3\xb2 essere annodata, ed \xc3\xa8 possibile dare un significato matematico ben preciso a questo concetto: la branca della topologia che si occupa di questo \xc3\xa8 la teoria dei nodi.\n_START_SECTION_\nDimensione due\n_START_PARAGRAPH_\nUna variet\xc3\xa0 di dimensione 2 \xc3\xa8 una superficie. Le superfici compatte e orientabili sono classificate dal loro genere, intuitivamente pari al "numeri di buchi". Pi\xc3\xb9 in generale, esiste una classificazione delle superfici per ogni superficie di tipo finito. Dal punto di vista topologico tali superfici sono quindi completamente classificate. Queste diventano per\xc3\xb2 un importante oggetto di studio se arricchite di un\'ulteriore struttura. _NEWLINE_Le superfici di Riemann sono superfici dotate di una struttura di variet\xc3\xa0 complessa di dimensione uno: questi oggetti sono stati gi\xc3\xa0 abbondantemente studiati nel XIX secolo, ben prima della definizione di spazio topologico, in quanto luogo di zeri di funzioni polinomiali a coefficienti complessi. Avendo dimensione complessa 1, questi oggetti sono esempi di curve algebriche. Il loro studio usa le tecniche dell\'analisi complessa e della geometria algebrica. _NEWLINE_Per il teorema di uniformizzazione di Riemann, una superficie pu\xc3\xb2 anche essere dotata di una metrica con curvatura gaussiana costante: tale curvatura \xc3\xa8 necessariamente positiva sulla sfera, nulla sul toro e negativa per tutte le superfici di genere maggiore. Grazie alla metrica, sono quindi definite geodetiche, distanza fra punti, angoli, aree. La geometria della superficie \xc3\xa8 quindi ellittica sulla sfera, piatta (cio\xc3\xa8 simile a quella euclidea) sul toro, iperbolica in tutti gli altri casi. Come in altri contesti, la geometria iperbolica \xc3\xa8 pi\xc3\xb9 ricca e quindi oggetto di uno studio pi\xc3\xb9 approfondito.\n_START_SECTION_\nDimensione tre\n_START_PARAGRAPH_\nUna 3-variet\xc3\xa0 \xc3\xa8 intuitivamente un "universo possibile". A differenza di quanto avviene nelle dimensioni 1 e 2, non esiste ancora nessuna classificazione soddisfacente delle variet\xc3\xa0 di dimensione 3. Le variet\xc3\xa0 tridimensionali sono costruite con varie tecniche, ad esempio tramite triangolazioni. _NEWLINE_Il quadro generale \xc3\xa8 fornito dalla congettura di geometrizzazione, enunciata da William Thurston alla fine degli anni settanta, e dimostrata da Grigori Perelman nel 2003. Questa congettura contiene la congettura di Poincar\xc3\xa9 come caso particolare. Secondo questa congettura, ogni 3-variet\xc3\xa0 si decompone in "pezzi geometrici", separati da alcune "pareti": ciascuna parete \xc3\xa8 una sfera o un toro (entrambi oggetti bidimensionali). Ciascuno di questi "pezzi geometrici" ha una metrica, che non \xc3\xa8 a curvatura costante ma quasi: \xc3\xa8 una delle 8 possibili metriche derivate da spazi omogenei tridimensionali. Come per le superfici, la metrica pi\xc3\xb9 interessante, di gran lunga quella maggiormente oggetto di studio, \xc3\xa8 l\'iperbolica.\n_START_SECTION_\nDimensione quattro\n_START_PARAGRAPH_\nUna variet\xc3\xa0 di dimensione 4 \xc3\xa8 un oggetto difficile da visualizzare. Esistono moltissime variet\xc3\xa0 di dimensione 4: ad esempio, tali variet\xc3\xa0 possono avere come gruppo fondamentale qualsiasi gruppo. Per questo motivo, una classificazione completa di tali variet\xc3\xa0 \xc3\xa8 impossibile. _NEWLINE_La dimensione 4 presenta una quantit\xc3\xa0 straordinaria di fatti peculiari, che la rendono oggetto di tanto interesse nella comunit\xc3\xa0 dei matematici. Innanzitutto, \xc3\xa8 la prima dimensione in cui le nozioni di omeomorfismo e diffeomorfismo divergono radicalmente: esistono 4-variet\xc3\xa0 omeomorfe ma non diffeomorfe, e 4-variet\xc3\xa0 topologiche che non hanno nessuna struttura di variet\xc3\xa0 differenziabile. Persino la pi\xc3\xb9 semplice delle 4-variet\xc3\xa0, lo spazio euclideo , ammette un\'infinit\xc3\xa0 non numerabile di strutture differenziali differenti (fatto che non si presenta in nessun\'altra dimensione)._NEWLINE_Lo studio delle 4-variet\xc3\xa0 topologiche \xc3\xa8 quindi molto diverso da quello delle 4-variet\xc3\xa0 differenziabili. Ad esempio, le variet\xc3\xa0 compatte e semplicemente connesse topologiche sono classificate grazie ai lavori di Michael Freedman, mentre le differenziabili formano un insieme molto pi\xc3\xb9 ricco, il cui studio \xc3\xa8 estremamente difficile e ancora incompleto, richiedente l\'uso di strumenti potenti, quali gli invarianti di Seiberg-Witten.'