b"\n_START_ARTICLE_\nModello di Sommerfeld\n_START_SECTION_\nIpotesi\n_START_PARAGRAPH_\nGli elettroni di valenza sono considerati completamente liberi e costituiscono a tutti gli_NEWLINE_effetti un gas ideale di elettroni. Come nel caso di un gas ideale la interazione elettrone elettrone_NEWLINE_\xc3\xa8 completamente trascurata. _NEWLINE_La struttura cristallina non \xc3\xa8 tenuta in considerazione. L'unico limite del modello \xc3\xa8 dato dalla_NEWLINE_scatola cubica di lato  in cui sono contenuti gli elettroni._NEWLINE_La statistica a cui obbedisce tale gas quantistico \xc3\xa8 la statistica di Fermi-Dirac.\n_START_SECTION_\nModello stazionario\n_START_PARAGRAPH_\nConsideriamo una scatola cubica di lato  dentro cui sono contenute  elettroni non interagenti. Si pu\xc3\xb2 dimostrare che la forma della scatola modifica i risultati finali in maniera irrilevante. Immaginiamo che il potenziale sia infinito all'esterno della scatola, di conseguenza la funzione d'onda deve essere nulla all'esterno della scatola stessa. Se scegliamo l'origine delle coordinate coincidente con un vertice del cubo e gli assi cartesiani orientati come i suoi spigoli, la funzione d'onda soddisfer\xc3\xa0 per ragioni di continuit\xc3\xa0 le equazioni:_NEWLINE_La soluzione del problema \xc3\xa8 la combinazione lineare di onde piane viaggianti in direzioni opposte:_NEWLINE_Tale equazione pu\xc3\xb2 essere riscritta come:_NEWLINE_La necessit\xc3\xa0 che vengano soddisfatte le condizioni al contorno richiede che le componenti di  devono assumere solo dei valori discreti:_NEWLINE_Dove , ed  devono essere numeri positivi ed interi. Non sono soluzioni possibili nemmeno quelle soluzioni per cui uno solo degli  \xc3\xa8 nullo: verrebbe infatti violato il principio di indeterminazione in quella direzione._NEWLINE_Se noi disegniamo, nello spazio , l'insieme dei punti che sono soluzioni del_NEWLINE_problema di  particelle nella scatola cubica di lato ,_NEWLINE_otteniamo un reticolo cubico semplice di punti in un solo ottante di_NEWLINE_tale spazio._NEWLINE_Allo zero assoluto mi aspetto che siano occupati solo gli stati con_NEWLINE_minore energia rispettando il principio di esclusione di Pauli. Il_NEWLINE_numero di elettroni nei solidi macroscopici \xc3\xa8 molto elevato per_NEWLINE_cui se andiamo a disporre i nostri  elettroni negli stati_NEWLINE_possibili riempiendo prima gli stati con  basso (bassa energia) e poi via_NEWLINE_via quelli con  pi\xc3\xb9 elevato (grande energia). Dato che il numero _NEWLINE_ \xc3\xa8_NEWLINE_molto elevato si pu\xc3\xb2 trascurare la discretizzazione degli stati._NEWLINE_Nello spazio_NEWLINE_ gli stati possibili occupano i punti di un reticolo cubico semplice._NEWLINE_La distanza tra punti adiacenti di tale reticolo vale_NEWLINE_ovviamente:_NEWLINE_. Nei reticoli cubici semplici_NEWLINE_di parametro reticolare_NEWLINE_, la densit\xc3\xa0 dei punti reticolari vale ovviamente . Abbiamo_NEWLINE_che la densit\xc3\xa0 dei punti nello spazio  vale:_NEWLINE_dove  \xc3\xa8 il volume del cubo._NEWLINE_Abbiamo calcolato tale densit\xc3\xa0 di punti, ma ogni stato_NEWLINE_pu\xc3\xb2 essere occupato da due soli elettroni_NEWLINE_a causa del principio di esclusioni di Pauli, avendo_NEWLINE_gli elettroni un ulteriore grado di libert\xc3\xa0 interno dovuto allo spin_NEWLINE_semintero. Quindi per ogni stato permesso alla funzione d'onda di un elettrone,_NEWLINE_ci sono_NEWLINE_due stati elettronici, che corrispondono alle due possibili direzioni_NEWLINE_verso cui pu\xc3\xb2 puntare il momento angolare di un_NEWLINE_elettrone._NEWLINE_Quindi la densit\xc3\xa0 _NEWLINE_di stati elettronici nello spazio  vale:_NEWLINE_Il significato fisico di  (estendendo la sua definizione_NEWLINE_dallo spazio discreto a quello continuo) \xc3\xa8 che vi sono nel volume_NEWLINE_ dello spazio  un numero  elettroni._NEWLINE_Possiamo determinare il raggio  dell'ottavo di sfera_NEWLINE_contenente gli  elettroni del metallo:_NEWLINE_Si noti come si faccia un errore, trascurabile, dovuto all'inclusione dei punti sui tre piani cartesiani._NEWLINE_Dalla equazione si ricava che:_NEWLINE_Il raggio del settore sferico  viene detto vettore d'onda di Fermi._NEWLINE_Al contrario del caso classico quindi gli elettroni in un metallo_NEWLINE_anche a temperatura bassissima hanno un vasto range di valori di vettori_NEWLINE_d'onda e di conseguenza di energie cinetiche fino ad un certo_NEWLINE_valore massimo dipendente soltanto dalla densit\xc3\xa0 degli elettroni.\n_START_SECTION_\nCondizione al contorno periodica\n_START_PARAGRAPH_\nLa condizione data sulla funzione d'onda, che imponeva il suo annullarsi_NEWLINE_sulla superficie del cubo, \xc3\xa8 nella pratica poco_NEWLINE_soddisfacente, infatti porta come conseguenza che le soluzioni del_NEWLINE_problema siano onde stazionarie. Nei solidi macroscopici l'interazione degli_NEWLINE_elettroni con gli estremi del solido \xc3\xa8 spesso trascurabile nei fenomeni_NEWLINE_di trasporto di energia e carica: soluzioni quindi propagantesi_NEWLINE_descrivono meglio i fenomeni fisici di interesse, tranne che per i  al limite della I zona di Brillouin, ma nel modello la periodicit\xc3\xa0 del reticolo_NEWLINE_\xc3\xa8 trascurata. Le propriet\xc3\xa0 generali di un solido_NEWLINE_macroscopico ( \xc3\xa8 possibile dimostrarlo in maniera_NEWLINE_rigorosa_NEWLINE_) non dipendono dalle condizioni al contorno._NEWLINE_Una scelta pi\xc3\xb9 soddisfacente delle condizioni al contorno \xc3\xa8 quella_NEWLINE_di una condizione al contorno periodica, detta anche condizione al contorno di Born-Von Karman: si immagina che ogni_NEWLINE_faccia del cubo sia unita alla superficie opposta, in maniera tale che_NEWLINE_ogni elettrone che arrivi su una superficie non sia riflesso_NEWLINE_dalla superficie stessa, ma lasci il metallo entrando di nuovo dalla_NEWLINE_faccia opposta. Una condizione di tale tipo impone che la densit\xc3\xa0 degli elettroni non vari lungo il solido. In tali termini la condizione sulla funzione d'onda_NEWLINE_\xc3\xa8 del tipo:_NEWLINE_Le soluzioni del problema sono in tale caso semplicemente delle onde piane:_NEWLINE_La necessit\xc3\xa0 che vengano soddisfatte le condizioni al contorno_NEWLINE_richiede che le componenti di  possano assumere solo_NEWLINE_dei valori discreti:_NEWLINE_Dove , ed  devono essere numeri interi positivi o negativi, ma non tutti nulli. Nello spazio k tali punti costituiscono un reticolo cubico. La distanza tra i punti del reticolo cubico_NEWLINE_semplice degli stati permessi, \xc3\xa8 due volte pi\xc3\xb9 grande rispetto_NEWLINE_alla precedente condizione al contorno. Quindi nello spazio _NEWLINE_l'insieme dei punti che sono soluzioni del problema di _NEWLINE_particelle nella scatola periodica di lato  \xc3\xa8 un reticolo_NEWLINE_cubico semplice di punti di tale spazio, ma disposti simmetricamente_NEWLINE_intorno agli assi delle coordinate. Ma la distanza tra i punti del_NEWLINE_reticolo nello spazio  normalmente provoca nessun effetto_NEWLINE_misurabile nei solidi macroscopici. _NEWLINE_Tale condizioni portano alle stessa soluzione per quanto riguarda_NEWLINE_. Infatti ripetendo i ragionamenti nel caso ._NEWLINE_Gli  elettroni andranno quindi a riempire una sfera di raggio  (non pi\xc3\xb9 un ottavo di sfera):_NEWLINE_che \xc3\xa8 la stessa equazione di quella derivata_NEWLINE_precedentemente._NEWLINE_Quindi il vettore d'onda di Fermi \xc3\xa8 identico con tale condizione_NEWLINE_al contorno._NEWLINE_La regione nello_NEWLINE_spazio  permessa agli stati di un elettrone \xc3\xa8 una sfera.\n_START_SECTION_\nEnergia di Fermi\n_START_PARAGRAPH_\nPoich\xc3\xa9 gli elettroni sono liberi la relazione di dispersione tra _NEWLINE_e  vale:_NEWLINE_quindi al valore massimo  per  corrisponde una energia massima, detta energia di Fermi:_NEWLINE_o se si vuole una velocit\xc3\xa0 quadratica massima _NEWLINE_Si definisce temperatura di Fermi:_NEWLINE_La velocit\xc3\xa0 di Fermi ha un valore simile per tutti i metalli_NEWLINE_ed \xc3\xa8 circa  della velocit\xc3\xa0 della luce. L'esistenza_NEWLINE_di questa velocit\xc3\xa0 spiega la ragione per cui i segnali elettrici_NEWLINE_nei metalli si propagano con la stessa velocit\xc3\xa0, circa la_NEWLINE_velocit\xc3\xa0 di Fermi, indipendentemente dalla temperatura. La velocit\xc3\xa0_NEWLINE_di Fermi gioca nella teoria dei metalli un ruolo analogo alla velocit\xc3\xa0_NEWLINE_quadratica media termica  di un gas classico._NEWLINE_Il modulo del vettore d'onda di Fermi ha un valore paragonabile a quello_NEWLINE_della prima zona di Brillouin. La sfera di raggio , contenente_NEWLINE_i livelli occupati una volta sola \xc3\xa8 detta sfera di Fermi. La superficie_NEWLINE_della sfera di Fermi che separa gli stati occupati da quelli non_NEWLINE_occupati si chiama superficie di Fermi."