b'\n_START_ARTICLE_\nGruppo fondamentale\n_START_PARAGRAPH_\nIn topologia, il gruppo fondamentale permette di analizzare la forma di un oggetto e tradurlo in forma algebrica. L\'oggetto da analizzare deve essere uno spazio topologico (ad esempio un sottoinsieme del piano, dello spazio, o di un qualsiasi spazio euclideo). Il risultato della traduzione \xc3\xa8 un gruppo, detto appunto il gruppo fondamentale dello spazio.\n_START_SECTION_\nDefinizione intuitiva\n_START_PARAGRAPH_\nPrendiamo come esempio il toro: il gruppo fondamentale del toro \xc3\xa8 un oggetto algebrico che ne cattura la forma, e che quindi codifichi la presenza di un "buco".  Come sempre in topologia, questo oggetto deve dipendere solo dalla forma del toro e non dalla sua particolare posizione e rappresentazione nello spazio. Il gruppo fondamentale \xc3\xa8 definito usando le curve sul toro (dette lacci) che partono da un punto p e tornano a p. Ad esempio, la curva mostrata a destra._NEWLINE_Questo laccio non cattura per\xc3\xb2 informazioni importanti sulla forma del toro, perch\xc3\xa9 pu\xc3\xb2 essere deformato in modo continuo (tramite una omotopia) senza uscire dalla superficie torica, fino a diventare arbitrariamente piccolo. _NEWLINE_I due lacci a e b mostrati nella figura a sinistra, invece, sono molto pi\xc3\xb9 rappresentativi: proprio a causa del buco centrale, nessuno dei due pu\xc3\xb2 essere deformato ad un laccio piccolo senza uscire dalla superficie torica. E inoltre non \xc3\xa8 possibile ottenere b deformando a. Queste sono propriet\xc3\xa0 intrinseche del toro: tramite queste considerazioni ci si accorge dell\'esistenza di un buco "dall\'interno", senza usare lo spazio tridimensionale che lo contiene._NEWLINE_I due lacci a e b possono essere composti in modo da ottenere un terzo laccio, che prima fa un giro come a e poi ne fa un altro come b. Il nuovo laccio pu\xc3\xb2 essere chiamato ab. In questo modo, dando dei nomi ai lacci, considerandoli a meno di deformazioni, e componendoli si ottiene un oggetto basilare dell\'algebra: un gruppo. Ad esempio in questo caso si ottiene il gruppo abeliano Z x Z dato da tutte le coppie (x, y) di interi, generato dai lacci a e b che si traducono rispettivamente in (1, 0) e (0, 1).\n_START_SECTION_\nCirconferenza\n_START_PARAGRAPH_\nLo spazio topologico pi\xc3\xb9 semplice non semplicemente connesso \xc3\xa8 la circonferenza, indicata con il simbolo . Il suo gruppo fondamentale \xc3\xa8 isomorfo al gruppo additivo dei numeri interi : il numero intero associato ad un laccio di  \xc3\xa8 il numero di volte che questo "gira" intorno ad essa. _NEWLINE_Il seguente esempio illustra un\'applicazione del gruppo fondamentale: pensiamo di partire per un viaggio da un punto della terra e fare un certo percorso intorno ad essa fino a ritornare al punto di partenza. Supponiamo di viaggiare abbastanza pi\xc3\xb9 lentamente del sole e di non andare oltre i circoli polari. In questo viaggio supponiamo di vedere il sole sorgere e tramontare 57 volte, mentre sappiamo dal nostro orologio che sono passati 51 giorni soltanto. Da dove arrivano questi 6 giorni in pi\xc3\xb9? Ebbene, la terra senza le calotte polari ha lo stesso gruppo fondamentale di  e il nostro percorso, secondo l\'isomorfismo con i numeri interi citato sopra, \xc3\xa8 associato al numero -6; con qualunque altro percorso omotopo (sempre togliendo le calotte polari) avremmo ottenuto lo stesso risultato. Questo perch\xc3\xa9 a ogni giro intorno alla terra corrisponde un\'alba e un tramonto in pi\xc3\xb9 o in meno; dunque per contare i giri intorno alla terra basta fare la differenza tra questi e i giorni effettivi.\n_START_SECTION_\nGruppo dei cammini marginali di un complesso simpliciale\n_START_PARAGRAPH_\nSe X \xc3\xa8 un complesso simpliciale connesso, un cammino marginale in X si definisce come una catena di vertici connessi mediante i margini in X. Due cammini marginali si dicono "equivalenti al margine" se uno pu\xc3\xb2 essere ottenuto dall\'altro spostandosi successivamente tra un margine e i due margini opposti di un triangolo in X. Se v \xc3\xa8 un vertice fisso in X, un  laccio marginale presso v \xc3\xa8 un cammino marginale che parte e finisce presso v. Il gruppo dei cammini marginali E(X,\xc2\xa0v) si definisce come l\'insieme di classi di equivalenza marginale dei lacci marginali presso v, con il prodotto e l\'inverso definiti dalla concatenazione e dall\'inversione dei lacci marginali._NEWLINE_Il gruppo dei cammini marginali \xc3\xa8 naturalmente isomorfo, per \xcf\x80\xe2\x82\x81(|X|, v), al gruppo fondamentale della realizzazione geometrica |X| di X. Poich\xc3\xa9 dipende soltanto dai 2-scheletri X\xc2\xb2 di X (cio\xc3\xa8 i vertici, i margini e i triangoli di X), i gruppi \xcf\x80\xe2\x82\x81(|X|,v) e \xcf\x80\xe2\x82\x81(|X\xc2\xb2|,\xc2\xa0v) sono isomorfici. _NEWLINE_Il gruppo dei cammini marginali pu\xc3\xb2 essere descritto esplicitamente in termini di generatori e relazioni. Se T \xc3\xa8 un albero ricoprente massimo nell\'1-scheletro di X, allora E(X, v) \xc3\xa8 canonicamente isomorfico rispetto al gruppo con i generatori (i cammini marginali orientati di X che non compaiono in T) e con relazioni (le equivalenze marginali che corrispondono ai triangoli in X). Un risultato simile \xc3\xa8 valido se T \xc3\xa8 sostituito da un qualsiasi sottocomplesso semplicemente connesso di X \xe2\x80\x93 in particolare contraibile \xe2\x80\x93. Questo d\xc3\xa0 spesso un modo pratico di calcolare i gruppi fondamentali e pu\xc3\xb2 essere usato per mostrare che ogni gruppo finitamente presentato sorge come il gruppo fondamentale di un complesso simpliciale finito. \xc3\x88 anche uno dei metodi classici usati per le superfici topologiche, che sono classificate in base ai loro gruppi fondamentali._NEWLINE_Lo spazio universale di rivestimento di un complesso simpliciale connesso finito X pu\xc3\xb2 essere descritto direttamente come un complesso simpliciale usando i cammini marginali. I suoi vertici sono coppie (w,\xce\xb3) dove w \xc3\xa8 un vertice di X e \xce\xb3 una classe di equivalenza marginale di cammini da v a w. I k-simplessi contenenti (w,\xce\xb3) corrispondono naturalmente ai k-simplessi contenenti w. Ciascun nuovo vertice u del k-simplesso d\xc3\xa0 un margine wu e quindi, per concatenazione, un nuovo cammino \xce\xb3\xe1\xb5\xa4 da v a u. i punti (w,\xce\xb3) e (u, \xce\xb3\xe1\xb5\xa4) sono i vertici del simplesso "trasportato" nello spazio universale di rivestimento. Il gruppo dei cammini marginali agisce naturalmente per concatenazione, preservando la struttura simpliciale, e lo spazio quoziente \xc3\xa8 appunto X._NEWLINE_\xc3\x88 risaputo che questo metodo pu\xc3\xb2 essere usato anche per calcolare il gruppo fondamentale di uno spazio topologico arbitrario. Ci\xc3\xb2 era senza dubbio noto a \xc4\x8cech e Leray e apparve esplicitamente come un\'osservazione in un saggio di Weil (1960); vari altri autori come L. Calabi, W-T. Wu e N. Berikashvili hanno anch\'essi pubblicato prove. Nel caso pi\xc3\xb9 semplice di uno spazio compatto X con rivestimento aperto finito nel quale tutte le intersezioni finite non vuote degli insiemi aperti nel rivestimento sono contraibili, Il gruppo fondamentale pu\xc3\xb2 essere identificato con il gruppo dei cammini marginali del complesso simpliciale corrispondente al nerbo del rivestimento.'