b'\n_START_ARTICLE_\nElasticit\xc3\xa0 (meccanica)\n_START_PARAGRAPH_\nIn fisica l\'elasticit\xc3\xa0 \xc3\xa8 la propriet\xc3\xa0 che permette ad un corpo di deformarsi sotto l\'azione di una forza esterna e di riacquisire, se le deformazioni non risultano eccessive, la sua forma originale al venir meno della causa sollecitante. Se il corpo, cessata la sollecitazione, riassume esattamente la configurazione iniziale \xc3\xa8 detto perfettamente elastico. _NEWLINE_L\'elasticit\xc3\xa0 riguarda sia i corpi solidi che i fluidi. I primi possiedono sia elasticit\xc3\xa0 di forma che di volume, reagiscono cio\xc3\xa8 elasticamente alle sollecitazioni che tendono a deformare il volume del corpo e a cambiare i suoi angoli; i fluidi invece presentano solo elasticit\xc3\xa0 di volume, in quanto reagiscono elasticamente a una compressione o espansione ma non oppongono resistenza al cambiamento di forma, che dipende dal recipiente.\n_START_SECTION_\nDescrizione\n_START_PARAGRAPH_\nLa sollecitazione massima che garantisce il comportamento elastico del materiale \xc3\xa8 detta limite di elasticit\xc3\xa0 e, nel caso venga superata, si entra nella regione di comportamento plastico del pezzo, che consiste nel cedimento o nel flusso del materiale, a seconda che sia fragile o duttile rispettivamente. Il limite di elasticit\xc3\xa0 trattandosi di una pressione \xc3\xa8 misurato in Pascal, ovvero una forza per unit\xc3\xa0 di superficie: _NEWLINE_Se il materiale \xc3\xa8 duttile, ovvero che permette plasticizzazioni, il limite elastico \xc3\xa8 la tensione di snervamento, mentre nel caso di materiali fragili, che sono privi del campo plastico, il limite elastico \xc3\xa8 la rottura del materiale._NEWLINE_Il modello matematico pi\xc3\xb9 semplice di rappresentazione del comportamento elastico \xc3\xa8 quello lineare della legge di Hooke (e della legge di Hooke generalizzata nel caso di stati tensionali pluriassiali), che nel caso di stato di sforzo monoassiale, tipico delle prove di trazione, \xc3\xa8:  dove  \xc3\xa8 lo sforzo agente nel provino raffigurato in figura con  forza applicata alle sue estremit\xc3\xa0 ed  superficie della sezione trasversale iniziale,  la deformazione del provino ovvero il suo allungamento relativo, con allungamento assoluto del provino, ossia la differenza fra la lunghezza finale  e quella iniziale  ed  il modulo di Young (o elastico), che \xc3\xa8 la costante di proporzionalit\xc3\xa0 fra gli sforzi e le deformazioni in campo elastico._NEWLINE_Tale modello riveste un aspetto fondamentale sia in ambito teorico, per la possibilit\xc3\xa0 di pervenire ad uno studio matematico completo dei problemi formulati, sia in ambito ingegneristico, per la ricaduta che esso ha nella modellazione e risoluzione di problemi di interesse tecnico e scientifico. Altri pi\xc3\xb9 complessi modelli matematici di elasticit\xc3\xa0 nonlineare, importanti per la rappresentazione del comportamento delle gomme, fanno riferimento al modello di materiale iperelastico, mentre per mezzi porosi il modello si declina nella poroelasticit\xc3\xa0._NEWLINE_Lo studio dei corpi solidi elastici \xc3\xa8 oggetto della teoria dell\'elasticit\xc3\xa0, una branca della meccanica dei solidi.\n_START_SECTION_\nOrigine atomica del comportamento elastico\n_START_PARAGRAPH_\nIl comportamento elastico dei diversi materiali ha origini microscopiche che si distinguono in base al particolare tipo di materiale. Possiamo parlare infatti di "elasticit\xc3\xa0 entalpica" ed "elasticit\xc3\xa0 entropica".\n_START_SECTION_\nMateriali cristallini\n_START_PARAGRAPH_\nL\'elasticit\xc3\xa0 entalpica \xc3\xa8 caratteristica dei materiali cristallini, e deriva da un fenomeno che avviene a livello atomico. Le propriet\xc3\xa0 elastiche di questi materiali derivano dal tipo di interazione che si instaura fra i loro atomi costituenti, quando questi sono sottoposti ad un carico esterno. Se tali interazioni determinano un dislocamento degli atomi contenuto, questi, una volta rimosso il carico, riescono a rioccupare la loro posizione iniziale ed il materiale \xc3\xa8 detto elastico; se perdipi\xc3\xb9 il dislocamento \xc3\xa8 sufficientemente piccolo, \xc3\xa8 garantita la diretta proporzionalit\xc3\xa0 fra deformazione e carico ed \xc3\xa8 valida pertanto la legge di Hooke. _NEWLINE_Il fitto reticolo cristallino di questi materiali permette solamente piccole deformazioni e spostamenti locali, da cui derivano l\'alto limite di elasticit\xc3\xa0 ed il grande modulo elastico. Questo comporta la necessit\xc3\xa0 di esercitare elevate tensioni per ottenere deformazioni rilevanti. Nel caso in cui si rimanga al di sotto dello sforzo di snervamento del materiale, il rapporto tra sforzo e deformazione \xc3\xa8 pari alla costante modulo elastico o modulo di Young, che rappresenta la proporzionalit\xc3\xa0 fra sforzo e deformazione nel campo lineare del materiale, descritta dalla legge di Hooke, e determina la pendenza del tratto rettilineo nel diagramma sforzo-tensione della prova monoassiale rappresentata in figura. _NEWLINE_L\'elasticit\xc3\xa0 dipende quindi dalla struttura microscopica del materiale e dalle forze di interazione che agiscono fra gli atomi che lo compongono. In particolare va considerata l\'energia potenziale esistente tra ogni coppia di atomi, che pu\xc3\xb2 essere espressa in funzione della loro distanza. A una certa distanza d\xe2\x82\x80 i due atomi sono in equilibrio, ossia la risultante delle forze di interazione tra i due \xc3\xa8 nulla. La variazione di tali forze (a causa della sollecitazione esterna) fa variare la distanza reciproca tra le particelle (producendo a livello macroscopico la deformazione del corpo: nel caso di trazione, per esempio, si ha uno "stiramento" dei legami). Per livelli relativamente bassi delle sollecitazioni, il lavoro meccanico necessario viene accumulato come energia elastica, all\'interno del materiale, e viene restituito interamente al venir meno della causa sollecitante mentre le particelle ritornano alla loro posizione iniziale (il corpo riacquista la sua forma e dimensioni originarie). L\'energia immagazzinata nel materiale \xc3\xa8 quantificabile dalla seguente relazione:  che graficamente \xc3\xa8 rappresentata dall\'area sottesa alla curva tensione-deformazione rappresentata in figura, dove  \xc3\xa8 il lavoro svolto di deformazione, immagazzinato nel materiale come energia elastica, \xc3\xa8 l\'andamento dello sforzo in funzione della deformazione , ed  \xc3\xa8 la deformazione finale che si raggiunge applicando il carico esterno._NEWLINE_Questo meccanismo \xc3\xa8 alla base del comportamento elastico macroscopico dei diversi materiali, ma al variare del tipo di materiale, e dunque della struttura microscopica, si delineano comportamenti elastici differenti.\n_START_SECTION_\nMateriali non cristallini\n_START_PARAGRAPH_\nL\'elasticit\xc3\xa0 entropica \xc3\xa8 caratteristica dei materiali polimerici costituiti a livello molecolare da catene; tale elasticit\xc3\xa0 scaturisce da un movimento delle catene da uno stato ad elevata entropia (lo stato pi\xc3\xb9 probabile, in cui le catene sono aggrovigliate) a uno stato a bassa entropia (uno stato meno probabile, pi\xc3\xb9 ordinato, in cui le catene sono allineate), che avviene durante l\'allungamento del materiale._NEWLINE_Materiali polimerici come la gomma, essendo costituiti a livello microscopico da molecole a catena, permettono grandi scorrimenti e deformazioni, e pertanto sono caratterizzati da bassi limiti di elasticit\xc3\xa0 e piccolo modulo di elasticit\xc3\xa0. Ci\xc3\xb2 significa che a sforzi e tensioni relativamente bassi corrispondono gi\xc3\xa0 deformazioni apprezzabili macroscopicamente, cos\xc3\xac come punti di snervamento o rottura molto bassi. Questi materiali sono detti elastomeri, con un comportamento cosiddetto ad "alta elasticit\xc3\xa0" rispetto alla "vera elasticit\xc3\xa0" dei cristallini. Inoltre, a causa del precoce stiramento delle catene, causato da un ulteriore allungamento quando queste sono gi\xc3\xa0 state allineate, gli elastomeri hanno un comportamento elastico non lineare.\n_START_SECTION_\nMateriali cellulari\n_START_PARAGRAPH_\nI materiali cellulari, come il legno, reagiscono in modo differente alla compressione e alla trazione. Grazie alla presenza di cavit\xc3\xa0 nel materiale, la compressione mostra completa rigidit\xc3\xa0 fino a quando le pareti di tali cavit\xc3\xa0 non sono soggette a inflessione elastica, che permette di avere una notevole deformazione senza grande incremento di sforzo. Tali deformazioni inoltre, sono in gran parte recuperabili, ma una volta avvenute riportano il corpo a uno stato di rigidit\xc3\xa0, essendosi annullate le cavit\xc3\xa0. D\'altra parte, queste non hanno la stessa influenza sulla trazione, che non permette la flessione elastica delle pareti nello stesso modo.\n_START_SECTION_\nDeformazioni\n_START_PARAGRAPH_\nPer studiarne il comportamento se sottoposti a sforzo, i materiali possono essere modellati come privi di struttura interna e costituiti da un continuo solido. Rappresentando il corpo in un sistema di riferimento cartesiano, si pu\xc3\xb2 indicare la posizione di ogni suo punto tramite il vettore posizione: ed il loro spostamento con il vettore . Il vettore spostamento descrive come si deforma il corpo sotto carico, infatti:   \xc3\xa8 la distanza cartesiana fra due punti del corpo e \xc3\xa8 la stessa distanza dopo che il corpo si sia deformato ed \xc3\xa8 chiaramente funzione di . Si introduce la grandezza  detta deformazione, che al variare di  forma un tensore di rango 2, detto tensore delle deformazioni: dove i termini diagonali con  sono dette deformazioni normali e descrivono gli allungamenti o le contrazioni, le restanti con  sono detti scorrimenti e descrivono la variazione di forma, quindi degli angoli, rispetto al riferimento cartesiano.\n_START_SECTION_\nSforzi\n_START_PARAGRAPH_\nLo stato di sforzo \xc3\xa8 generalmente, e nella maggior parte dei casi, tridimensionale. Per studiarlo si sfrutta il Teorema di Cauchy ponendo una terna cartesiana sul punto  sotto studio e tagliando il corpo con un piano inclinato di normale  a distanza infinitesima  da , che individua insieme ai tre piani di riferimento un tetraedro, detto di Cauchy, rappresentato in figura. La faccia di normale ha superficie pari a , mentre le altre, di normale e , hanno superficie rispettivamente pari a , e dove , e sono i coseni direttori di . Il generico sforzo agente sul piano di normale  \xc3\xa8 , e sulle altre facce ,  e , che per convenzione sono considerati positivi se entranti e quindi il meno sta ad indicare che sono uscenti dal volume infinitesimo. Per studiare il generico stato di sforzo di un punto appartenente al corpo basta imporre l\'equilibrio statico nel tetraedro (I equazione cardinale della statica): _NEWLINE_ _NEWLINE_che nel caso siano noti i tre vettori  ,  e si pu\xc3\xb2 determinare lo sforzo in qualsiasi punto del corpo. _NEWLINE_Si possono ora proiettare tutti e tre i vettori ,  e nelle tre direzioni , e ed il vettore nella direzione normale e tangenziale del piano di normale , ottenendo: _NEWLINE_ _NEWLINE_ _NEWLINE_dove due delle tre componenti saranno tangenziali alla faccia di applicazione dello sforzo e la rimanente sar\xc3\xa0 normale alla faccia. Si compone infine il tensore degli sforzi, che descrive il generico stato di sforzo:\n_START_SECTION_\nDensit\xc3\xa0 di energia di deformazione\n_START_PARAGRAPH_\nLa densit\xc3\xa0 di energia di deformazione \xc3\xa8 l\'energia elastica immagazzinata dal materiale per unit\xc3\xa0 di volume, e vale la relazione: ovvero l\'incremento della densit\xc3\xa0 di energia di deformazione \xc3\xa8 pari al lavoro svolto dagli sforzi per alterare le deformazioni . Si ricava allora che: ._NEWLINE_La relazione  pu\xc3\xb2 essere espansa in serie con Taylor nell\'intorno di nel caso di solido lineare e di stato iniziale scarico ed indeformato, ovvero con , ottenendo:_NEWLINE_ alla quale se applichiamo  otteniamo la legge di Hooke generalizzata:  che nel caso di materiale isotropo diviene:_NEWLINE_dove  \xc3\xa8 il modulo elastico e  \xc3\xa8 il coefficiente di Poisson.'