b"\n_START_ARTICLE_\nBan\xc5\xab M\xc5\xabs\xc4\x81\n_START_PARAGRAPH_\nI Ban\xc5\xab M\xc5\xabs\xc4\x81 erano i tre fratelli matematici: Ab\xc5\xab Ja\xca\xbffar Mu\xe1\xb8\xa5ammad ibn M\xc5\xabs\xc4\x81 ibn Sh\xc4\x81kir, A\xe1\xb8\xa5mad ibn M\xc5\xabs\xc4\x81 ibn Sh\xc4\x81kir e al-\xe1\xb8\xa4asan ibn M\xc5\xabs\xc4\x81 ibn Sh\xc4\x81kir, che lavorarono nella Bayt al-\xe1\xb8\xa4ikma di Baghdad nel IX secolo.\n_START_SECTION_\nBiografia\n_START_PARAGRAPH_\nNelle opere pervenuteci, firmate sempre con l'appellativo di Ban\xc5\xab M\xc5\xabs\xc4\x81, sono pressoch\xc3\xa9 indistinguibili, ma sappiamo che, sebbene lavorassero insieme, ognuno di loro aveva un suo specifico campo di ricerca. Ab\xc5\xab Ja\xca\xbffar Mu\xe1\xb8\xa5ammad si dedicava principalmente alla geometria ed all'astronomia, A\xe1\xb8\xa5mad alla meccanica e al-\xe1\xb8\xa4asan alla geometria._NEWLINE_Non molto tempo dopo la nascita del padre dei Ban\xc5\xab M\xc5\xabs\xc4\x81, M\xc5\xabs\xc4\x81 ibn Sh\xc4\x81kir, divenne califfo H\xc4\x81r\xc5\xabn al-Rash\xc4\xabd, che alla corte di Baghdad attu\xc3\xb2 un ambizioso progetto di forte slancio culturale. Venne costruita proprio in questo periodo la Bayt al-\xe1\xb8\xa4ikma, biblioteca che verr\xc3\xa0 poi istituzionalizzata ed enormemente arricchita dal figlio al-Ma\xca\xbem\xc5\xabn. Fu sotto Rash\xc4\xabd che vennero tradotti in arabo per la prima volta da al-\xe1\xb8\xa4ajj\xc4\x81j gli Elementi di Euclide e che si mossero i primi sostanziosi passi nella diffusione della matematica greca._NEWLINE_Esemplificativa di questi profondi sviluppi culturali in atto \xc3\xa8 la vita di M\xc5\xabs\xc4\x81 ibn Sh\xc4\x81kir, che se da giovane era un ladro, divenne in et\xc3\xa0 adulta un promettente astronomo. M\xc5\xabs\xc4\x81 b. Sh\xc4\x81kir era ben presto entrato in rapporto di stretta confidenza con al-Ma\xca\xbem\xc5\xabn, tanto che alla sua morte il califfo divenne il tutore dei fratelli M\xc5\xabs\xc4\x81, ai quali fece impartire un'eccellente educazione. I Ban\xc5\xab M\xc5\xabs\xc4\x81 poterono cos\xc3\xac dedicarsi allo studio di geometria, matematica, fisica, musica e astronomia. Al-Ma\xca\xbem\xc5\xabn riconobbe subito il loro talento e li fece entrare nella Bayt al-\xe1\xb8\xa4ikma, in cui presto di distinsero come alcuni fra i membri pi\xc3\xb9 attivi. _NEWLINE_I fratelli portarono cos\xc3\xac avanti la ricerca scientifica insieme con al-Khwarizmi, lo studioso di matematica cui si deve il libro di algebra del Kit\xc4\x81b al-jabr wa l-muq\xc4\x81bala, condussero osservazioni astronomiche e organizzarono una scuola di traduttori (tra i pi\xc3\xb9 noti ricordiamo \xe1\xb8\xa4unayn b. Ish\xc4\x81q e Th\xc4\x81bit ibn Qurra) che volse in arabo molti manoscritti filosofici e scientifici greci. _NEWLINE_I Ban\xc5\xab M\xc5\xabs\xc4\x81 furono fra i primi scienziati arabi a studiare i lavori dei matematici greci e ad arricchirne i concetti con nuove intuizioni e sviluppi, cercando di dare altre dimostrazioni ai risultati dei Greci e andando oltre ci\xc3\xb2 che essi avevano gi\xc3\xa0 precedentemente dimostrato._NEWLINE_Sotto i successori di al-Ma\xca\xbem\xc5\xabn i Ban\xc5\xab M\xc5\xabs\xc4\x81 diventarono molto ricchi e influenti e vennero spesso coinvolti (particolarmente Mu\xe1\xb8\xa5ammad) nella turbolenta vita politica di Baghdad. Sembra che Mu\xe1\xb8\xa5ammad e A\xe1\xb8\xa5mad fossero tra i responsabili della costruzione della citt\xc3\xa0 di al-Ja\xca\xbffariyya per il califfo al-Mutawakkil, dirigendo lo scavo dei canali. I Ban\xc5\xab M\xc5\xabs\xc4\x81 provocarono inoltre la caduta in disgrazia del famoso filosofo al-Kindi, loro nemico, che venne perci\xc3\xb2 duramente punito da al\xc2\xacMutawakkil, il quale permise ai fratelli di appropriarsi della sua biblioteca. Nel periodo in cui i Turchi stavano assumendo il controllo del califfato, Mu\xe1\xb8\xa5ammad fu molto attivo politicamente, appoggiando l'effimero califfato di al-Musta\xca\xbf\xc4\xabn. In ogni caso, i risultati scientifici dei fratelli sono senz'altro pi\xc3\xb9 rilevanti della loro attivit\xc3\xa0 politica._NEWLINE_Di tutti i trattati dei B. M\xc5\xabs\xc4\x81, il pi\xc3\xb9 studiato e ricco di conseguenze \xc3\xa8 il Libro sulla misura delle figure piane e sferiche. Questa opera nel medioevo era molto conosciuta, sia dal mondo islamico che in Europa, e una prova evidente ne \xc3\xa8 la traduzione in latino di Gherardo di Cremona, intitolata Liber trium fratrum de geometria. Un riscontro esemplare della sua influenza sugli scienziati europei \xc3\xa8 la Practica geometrica di Leonardo Fibonacci. In questo libro possiamo trovare diversi teoremi dei B. M\xc5\xabs\xc4\x81 che non esistevano nei libri greci._NEWLINE_Lo scopo principale di questo trattato era dimostrare il metodo con cui i greci usavano determinare l'area e il volume, pi\xc3\xb9 in particolare la misura del cerchio e della sfera. In Misura del cerchio e Sulla sfera e il cilindro, Archimede trov\xc3\xb2 l'area del cerchio e la superficie e il volume della sfera usando il metodo di Eudosso, che venne pi\xc3\xb9 tardi chiamato \xe2\x80\x9cmetodo di esaustione\xe2\x80\x9d; questo metodo si basa sugli stessi principi della teoria dei limiti della matematica moderna. I Ban\xc5\xab M\xc5\xabs\xc4\x81 trovarono l'area del cerchio attraverso un metodo diverso da quello di Archimede ma basato sulla stessa idea di infinitesimali. Usarono il \xe2\x80\x9cmetodo di esaustione\xe2\x80\x9d ma omisero il passaggio fondamentale, inscrivendo nel cerchio una sequenza di poligoni regolari con 2 lati e trovando le loro aree._NEWLINE_Tuttavia omisero il passaggio della condizione del limite, non trovando quindi l'area del poligono per k\xe2\x86\x92\xe2\x88\x9e. Provarono cos\xc3\xac che, data una circonferenza C e una linea di lunghezza L, e se L < C, allora possiamo inscrivere in questo cerchio un poligono regolare di perimetro Pn (dove n \xc3\xa8 il numero di lati) cos\xc3\xac che Pn > L. Ci\xc3\xb2 significa che possiamo trovare un numero intero N cos\xc3\xac che C-Pn < C-L per ogni n > N. I B. M\xc5\xabs\xc4\x81 provarono poi che se L > C, allora possiamo circoscrivere un poligono regolare di perimetro Q n, cos\xc3\xac che Qn < L. Risulta quindi facile ed intuitivo giungere alla formula A= r \xe2\x80\xa2 1/2C (dove A \xc3\xa8 l'area del cerchio e r il suo raggio)._NEWLINE_Inoltre bisogna ricordare che i B. M\xc5\xabs\xc4\x81 definirono le aree e i volumi come i prodotti di precisi valori, mentre nella geometria greca erano espressi in relazione ad altre aree e volumi. Per esempio, mentre Archimede defin\xc3\xac il volume della sfera come quattro volte il volume del cono con il raggio della sfera come altezza ed il cerchio massimo della sfera come base, i B. M\xc5\xabs\xc4\x81 trovarono che il volume \xc3\xa8 uguale al raggio della sfera moltiplicato per un terzo della sua superficie. In altre parole, usarono operazioni aritmetiche per determinare valori geometrici, un importante passo avanti per estendere il sistema dei numeri ed includere gli irrazionali, i B. M\xc5\xabs\xc4\x81 descrissero infatti Pi Greco come la quantit\xc3\xa0 che, moltiplicata per il diametro di un cerchio, d\xc3\xa0 come prodotto la circonferenza._NEWLINE_Come Archimede, i B. M\xc5\xabs\xc4\x81 determinarono che la superficie della sfera \xc3\xa8 quattro volte il suo cerchio massimo, ma la loro prova \xc3\xa8 diversa, usarono la considerazione seguente senza dimostrarla: Per ogni due sfere concentriche possiamo inscrivere in quella pi\xc3\xb9 grande un solido generato dalla rotazione di un poligono regolare attorno al diametro della sfera che passa attraverso due vertici del poligono, cos\xc3\xac che la superficie di questo solido non tocca n\xc3\xa9 interseca la sfera pi\xc3\xb9 piccola. Questo era gi\xc3\xa0 stato dimostrato negli Elementi di Euclide. I B. M\xc5\xabs\xc4\x81 calcolarono il volume del solido e dimostrarono che A=4C (dove A \xc3\xa8 la superficie della sfera e C il suo cerchio massimo)._NEWLINE__NEWLINE_In aggiunta alla misura del cerchio e della sfera, nel trattato vennero risolti tre classici problemi greci: la dimostrazione della formula di Erone di Alessandria, il calcolo dei medi proporzionali e la trisezione di un angolo._NEWLINE_Tra le altre opere dei B. M\xc5\xabs\xc4\x81 bisogna citare Il libro dei congegni ingegnosi, in cui sono esposte innumerevoli invenzioni di congegni meccanici e macchine automatiche. Tra questi sono di particolare interesse gli strumenti musicali: un organo ad acqua e un flauto automatico._NEWLINE_Nel Libro sul moto delle orbite Mu\xe1\xb8\xa5ammad fu il primo a scoprire che i corpi e le sfere celesti sono soggetti alle stesse leggi fisiche della Terra e nei trattati Il moto astrale e La forza di attrazione scopr\xc3\xac che c'\xc3\xa8 una forza di attrazione tra i corpi celesti, anticipando la teoria della gravitazione universale di Isacco Newton._NEWLINE_Al-\xe1\xb8\xa4asan scrisse uno studio sull'ellisse, la figura circolare allungata, in cui effettua uno studio sulle propriet\xc3\xa0 geometriche delle curve e cerca di misurare un'area a contorno curvilineo._NEWLINE_Premesse al Libro delle coniche, probabilmente scritto da Mu\xe1\xb8\xa5ammad, \xc3\xa8 una recensione alle Coniche di Apollonio di Perga, che era stato tradotto da Th\xc4\x81bit ibn Qurra._NEWLINE_Sulla meccanica, attribuibile ad A\xe1\xb8\xa5mad, \xc3\xa8 un trattato sui congegni meccanici._NEWLINE_I fratelli diedero molti contributi anche all'astronomia. Per volere di al-Ma\xca\xbem\xc5\xabn misurarono un grado di latitudine nel deserto del nord della Mesopotamia e osservarono la luna e il sole. Mu\xe1\xb8\xa5ammad e A\xe1\xb8\xa5mad misurarono la durata dell'anno ottenendo con un'ottima approssimazione 365 giorni e 6 ore."