b'\n_START_ARTICLE_\nCongettura di Poincar\xc3\xa9\n_START_SECTION_\nMotivazione ed enunciato della congettura\n_START_PARAGRAPH_\nNel 1904 Henri Poincar\xc3\xa9 stava lavorando ai fondamenti di quella che poi sarebbe stata chiamata topologia algebrica. In particolare, studiava le propriet\xc3\xa0 e caratteristiche topologiche della sfera._NEWLINE_Poincar\xc3\xa9 aveva sviluppato uno strumento matematico chiamato omologia, che distingueva e permetteva quindi di classificare topologicamente tutte le variet\xc3\xa0 di dimensione 2. Congettur\xc3\xb2 inizialmente un fenomeno analogo in dimensione 3, ovvero che l\'omologia distinguesse almeno la sfera tridimensionale dalle altre variet\xc3\xa0. Si accorse molto presto di essere in errore, dato che riusc\xc3\xac a costruire una 3-variet\xc3\xa0, chiamata successivamente sfera di Poincar\xc3\xa9, con la stessa omologia della 3-sfera ma non omeomorfa ad essa. Spazi di questo tipo (ve ne sono in verit\xc3\xa0 infiniti) vengono ora chiamati sfere di omologia._NEWLINE_Poincar\xc3\xa9 svilupp\xc3\xb2 allora un nuovo strumento, in un certo senso pi\xc3\xb9 raffinato, chiamato gruppo fondamentale. Si domand\xc3\xb2 quindi se questo strumento fosse sufficiente a distinguere la 3-sfera dalle altre variet\xc3\xa0 tridimensionali. Poincar\xc3\xa9 non ha mai dichiarato esplicitamente di credere nell\'affermazione seguente, per\xc3\xb2 questa \xc3\xa8 passata alla storia come la congettura di Poincar\xc3\xa9.\n_START_SECTION_\nDa Whitehead a Thurston\n_START_PARAGRAPH_\nInizialmente, questo problema fu trascurato finch\xc3\xa9 nel 1930 J.H.C. Whitehead ravviv\xc3\xb2 l\'interesse sulla congettura proponendo una prima soluzione. Successivamente, si rese conto che la soluzione non era corretta, ma comunque i suoi studi portarono alla scoperta di interessanti esempi di variet\xc3\xa0 che portarono alle variet\xc3\xa0 di Whitehead._NEWLINE_Tra gli anni cinquanta e sessanta, molti matematici si cimentarono nell\'impresa, ma, pur ottenendo importanti risultati nel campo della topologia e delle variet\xc3\xa0, non riuscirono a dimostrare o a confutare la congettura._NEWLINE_Col tempo, la congettura acquist\xc3\xb2 la fama di essere una congettura molto difficile da dimostrare, pur possedendo una formulazione relativamente semplice. Questo indusse i matematici pi\xc3\xb9 famosi a essere molto cauti negli annunci legati alla congettura di Poincar\xc3\xa9, dato che errori a volte molto sottili rendevano le dimostrazioni inutili. Nonostante le mille cautele, negli anni ottanta e novanta, vi furono annunci con fantomatiche soluzioni, che si rivelarono errate. Contemporaneamente, la Congettura di Poincar\xc3\xa9 fu inserita da William Thurston come parte di una congettura pi\xc3\xb9 grande che riguarda tutte le 3-variet\xc3\xa0: la congettura di geometrizzazione.\n_START_SECTION_\nIl Clay Institute e Perel\'man\n_START_PARAGRAPH_\nNel 2000, il Clay Mathematics Institute decise di includere la congettura di Poincar\xc3\xa9 tra i Problemi per il millennio e quindi di offrire un milione di dollari a chi avesse dimostrato la congettura stessa. Questo premio evidenzia ulteriormente la portata della congettura di Poincar\xc3\xa9, soprattutto ai fini pratici: tutti i problemi del Millennium Prize avrebbero immediate applicazioni, sia teoriche che tecnologiche. La congettura di Poincar\xc3\xa9 avrebbe ripercussioni sulle possibili topologie della teoria delle stringhe e delle varie altre teorie della gravitazione quantistica._NEWLINE_Sembr\xc3\xb2 che la congettura di Poincar\xc3\xa9 potesse essere il primo premio assegnato. Nell\'aprile del 2002, infatti, un primo articolo di M.J.Dunwoody propose una prima dimostrazione, che tuttavia si rivel\xc3\xb2 errata. Successivamente, due articoli di Grigorij Jakovlevi\xc4\x8d Perel\'man dell\'Istituto Matematico di Steklov di San Pietroburgo sembrarono pi\xc3\xb9 promettenti. Nel primo, Perel\'man dichiar\xc3\xb2 di aver dimostrato la pi\xc3\xb9 generale congettura di geometrizzazione di Thurston, portando avanti un programma intrapreso da Richard Hamilton. Nel 2003, pubblic\xc3\xb2 un secondo articolo, iniziando una serie di conferenze negli Stati Uniti._NEWLINE_Nel 2004, le sue tecniche furono analizzate e crearono un notevole interesse, anche per alcuni collegamenti con argomenti di fisica teorica, e portarono a far credere il suo come il pi\xc3\xb9 serio attacco che la congettura di Poincar\xc3\xa9 avesse mai ricevuto._NEWLINE_Tra il 2003 e il 2006, furono pubblicate o messe in rete alcune esposizioni dettagliate del lavoro di Perel\'man, redatte da alcuni matematici: prima alcune note di Kleiner e Lott, quindi, nella primavera del 2006, un articolo di Huai-Dong Cao e Xiping Zhu sull\'Asian Journal of Mathematics e un articolo di Morgan e Tian. I lavori di Perel\'man furono quindi riconosciuti dalla comunit\xc3\xa0 matematica adeguati per la dimostrazione, ma il russo rifiut\xc3\xb2 sia la Medaglia Fields, il 22 agosto 2006, sia il premio Clay da un milione di dollari.\n_START_SECTION_\nLa congettura di geometrizzazione\n_START_PARAGRAPH_\nLa congettura di Poincar\xc3\xa9 \xc3\xa8 legata alla classificazione delle variet\xc3\xa0 a 3 dimensioni. Per la "classificazione delle variet\xc3\xa0 a 3 dimensioni" generalmente si intende la capacit\xc3\xa0 di creare una lista contenente tutte le variet\xc3\xa0 possibili senza omeomorfismi o ripetizioni. Avere come risultato una classificazione \xc3\xa8 equivalente a definire se una variet\xc3\xa0 \xc3\xa8 omeomorfa ad un\'altra variet\xc3\xa0._NEWLINE_La congettura di geometrizzazione di Thurston contiene come caso particolare la congettura di Poincar\xc3\xa9. Essa implica anche la capacit\xc3\xa0 di classificare qualsiasi variet\xc3\xa0 a 3 dimensioni.'