b'\n_START_ARTICLE_\nSuma de Minkowski\n_START_PARAGRAPH_\nEn geometr\xc3\xada, la suma de Minkowski es una operaci\xc3\xb3n sobre las partes de un espacio vectorial. A dos partes A y B asocia su conjunto suma, formado por la suma de los elementos de A y B:_NEWLINE_La suma de dos compactos es compacta, as\xc3\xad es posible restringir la operaci\xc3\xb3n a este conjunto, que puede ser provisto con una distancia llamada distancia de Hausdorff. La suma de Minkowski es entonces una operaci\xc3\xb3n continua. Adem\xc3\xa1s, respeta la convexidad, es decir, que la suma de dos convexos es convexa. La medida de la suma de dos convexos verifica una mayoraci\xc3\xb3n, denominada la desigualdad de Brunn-Minkowski._NEWLINE_La suma de Minkowski interviene en muchas \xc3\xa1reas de las matem\xc3\xa1ticas puras y aplicadas. Esta herramienta es la base de muchas demostraciones de teoremas isoperim\xc3\xa9tricos para determinar la parte del espacio de mayor volumen posible dada como restricci\xc3\xb3n la magnitud de su frontera. En la geometr\xc3\xada euclidiana, se tienen las esferas de dimensi\xc3\xb3n n. La suma de Minkowski tambi\xc3\xa9n est\xc3\xa1 involucrada al contar el n\xc3\xbamero de caras de un poliedro, resolver preguntas de mosaicos o aun para estudiar la geometr\xc3\xada de los convexos. Se aplican, por ejemplo, en cristalograf\xc3\xada por razones de teselaciones del espacio, en econom\xc3\xada para optimizar el potencial de producci\xc3\xb3n de un grupo de empresas, o aun para estudiar las mezclas.\n_START_SECTION_\nEjemplos\n_START_PARAGRAPH_\nEl conjunto A de la izquierda es un tri\xc3\xa1ngulo cuyas coordenadas de sus v\xc3\xa9rtices son (0, -1), (0,1) y (1.0). A la derecha se muestra un tri\xc3\xa1ngulo B similar, orientado de manera diferente. Las coordenadas son (0,0), (1, -1) y (1.1). Si los conjuntos A y B son dos tripletas, se tiene:_NEWLINE_Si A y B son los tri\xc3\xa1ngulos rojos, se forma un hex\xc3\xa1gono, ilustrado en la parte inferior derecha._NEWLINE_En general, la suma de dos pol\xc3\xadgonos es todav\xc3\xada un pol\xc3\xadgono. Esta propiedad es verdadera para un poliedro de cualquier dimensi\xc3\xb3n._NEWLINE_Uno puede notar la analog\xc3\xada entre la suma de Minkowski y la convoluci\xc3\xb3n. Figurativamente, se puede obtener la superficie de la suma de dos conjuntos A + B cubriendo B de pintura y haciendo recorrer a su centro la superficie A. Por esta raz\xc3\xb3n, la suma de Minkowski es a veces llamada convoluci\xc3\xb3n de A y B._NEWLINE_Evidentemente, la suma de un conjunto A y un singleton {b} corresponde a la traslaci\xc3\xb3n de A por el vector b._NEWLINE_Es algo m\xc3\xa1s complejo darse cuenta de que la suma de dos cuadrados es de nuevo un cuadrado. En general, si C es un conjunto convexo, sim\xc3\xa9trico con respecto al origen, la suma C + C es igual al convexo 2C, aqu\xc3\xad 2C significa la homotecia de raz\xc3\xb3n 2. La prueba es algo m\xc3\xa1s sutil, es an\xc3\xa1loga al lema preliminar usado en la prueba del teorema de Minkowski. Para realizar esto, se puede observar que cada elemento de 2C es un elemento de C + C, rec\xc3\xadprocamente sea u + v un elemento de C + C, se escribe tambi\xc3\xa9n como el doble de 1/2(u + v), o este elemento es en C._NEWLINE_Podemos citar un \xc3\xbaltimo ejemplo, que se encuentra en la demostraci\xc3\xb3n de teoremas isoperim\xc3\xa9tricos. Sean C un conjunto compacto convexo de un plano eucl\xc3\xaddeo y P un pol\xc3\xadgono convexo cuyos v\xc3\xa9rtices est\xc3\xa1n todos en la frontera de C y cuya arista m\xc3\xa1s grande es de una longitud mayorada por \xce\xb5. Entonces, la suma de Minkowski de P y del disco con centro el vector nulo y radio \xce\xb5 contiene al conjunto compacto convexo C. Esta propiedad es un paso para establecer que, para un per\xc3\xadmetro dado, el disco es la figura de mayor superficie.'