b'\n_START_ARTICLE_\nEcuaciones de Euler-Lagrange\n_START_PARAGRAPH_\nLas ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de la mec\xc3\xa1nica cl\xc3\xa1sica en relaci\xc3\xb3n con el principio de m\xc3\xadnima acci\xc3\xb3n, tambi\xc3\xa9n aparecen en teor\xc3\xada cl\xc3\xa1sica de campos (electromagnetismo y teor\xc3\xada general de la relatividad) y sirve de base para la formulaci\xc3\xb3n de integrales de camino para la teor\xc3\xada cu\xc3\xa1ntica de campos.\n_START_SECTION_\nCaso discreto\n_START_PARAGRAPH_\nEn mec\xc3\xa1nica cl\xc3\xa1sica, estas ecuaciones establecen que la integral de acci\xc3\xb3n para un sistema f\xc3\xadsico es un m\xc3\xadnimo. Los sistemas de part\xc3\xadculas o sistemas discretos tienen un n\xc3\xbamero finito de grados de libertad, y en esos casos la integral de acci\xc3\xb3n es del tipo:_NEWLINE_Y su correspondiente variaci\xc3\xb3n viene dada por:_NEWLINE_Si se impone ahora que  para variaciones "cercanas", esto implica que:_NEWLINE_donde L es el lagrangiano para el sistema, y  son las coordenadas generalizadas del sistema.\n_START_SECTION_\nCaso continuo\n_START_PARAGRAPH_\nLa formalizaci\xc3\xb3n de ciertos problemas f\xc3\xadsicos requiere construir una integral de acci\xc3\xb3n sobre un continuum o sistema que no puede ser tratado mediante un n\xc3\xbamero finito de variables o grados de libertad. As\xc3\xad en teor\xc3\xada de campos y mec\xc3\xa1nica de medios continuos la acci\xc3\xb3n f\xc3\xadsica puede expresarse como una integral sobre un volumen:_NEWLINE_Donde  es el elemento de volumen que usualmente viene dado por una n-forma y  representan las variables del campo y sus derivadas respecto a las coordenadas espaciales (o espacio-temporales). Cuando la acci\xc3\xb3n toma esa forma las ecuaciones de Euler-Lagrange para el campo que minimiza la anterior integral, usando el convenio de sumaci\xc3\xb3n de Einstein, vienen dadas por:\n_START_SECTION_\nMec\xc3\xa1nica lagrangiana de la part\xc3\xadcula\n_START_PARAGRAPH_\nUn ejemplo de problema mec\xc3\xa1nica simple es el de una part\xc3\xadcula sometida a un campo de fuerzas conservativo, en ese caso su trayectoria puede ser encontrada mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas al lagrangiano:_NEWLINE_La funci\xc3\xb3n lagrangiana anterior usa coordenadas cartesianas, aunque seg\xc3\xban el tipo de problema tambi\xc3\xa9n puede escribirse un lagrangiano en t\xc3\xa9rminos de cualquier tipo de coordenadas generalizadas: _NEWLINE_Las ecuaciones de Euler-Lagrange para el caso de las coordenadas cartesianas se reducen a la segunda ley de Newton para la part\xc3\xadcula:\n_START_SECTION_\nAplicaciones en mec\xc3\xa1nica cu\xc3\xa1ntica\n_START_PARAGRAPH_\nUn art\xc3\xadculo influyente, para la introducci\xc3\xb3n del formalismo lagrangiano en la mec\xc3\xa1nica cu\xc3\xa1ntica, fue el de Paul Dirac de 1932. El art\xc3\xadculo titulado \xe2\x80\x9cEl lagrangiano en Mec\xc3\xa1nica Cu\xc3\xa1ntica\xe2\x80\x9d comienza de la siguiente manera:_NEWLINE_\xe2\x80\x9cLa mec\xc3\xa1nica cu\xc3\xa1ntica fue construida sobre la base de la analog\xc3\xada con el hamiltoniano de la mec\xc3\xa1nica cl\xc3\xa1sica. Esto se debe a que se encontr\xc3\xb3 que la cl\xc3\xa1sica noci\xc3\xb3n de coordenadas can\xc3\xb3nicas y momentos es similar a la an\xc3\xa1loga cu\xc3\xa1ntica, como resultado del cual la totalidad de la teor\xc3\xada cl\xc3\xa1sica hamiltoniana, la cual es justamente una estructura construida sobre esta noci\xc3\xb3n, deber\xc3\xada ser tomada sobre todos sus detalles en mec\xc3\xa1nica cu\xc3\xa1ntica._NEWLINE_Ahora tenemos una formulaci\xc3\xb3n alternativa para la din\xc3\xa1mica cl\xc3\xa1sica, provista por el lagrangiano. Esto requiere trabajar en t\xc3\xa9rminos de coordenadas y velocidades en lugar de coordenadas y momentos. Las dos formulaciones son, sin embargo, cercanamente relacionadas, pero hay razones para creer que el lagrangiano es el m\xc3\xa1s fundamental._NEWLINE_En primer lugar, el m\xc3\xa9todo lagrangiano nos permite conectar juntas todas las ecuaciones del movimiento y expresarlas como una propiedad estacionaria de una cierta funci\xc3\xb3n de acci\xc3\xb3n. (Esta funci\xc3\xb3n de acci\xc3\xb3n es justamente la integral en el tiempo del lagrangiano). No existe un principio de acci\xc3\xb3n correspondiente en t\xc3\xa9rminos de las coordenadas y momentos en la teor\xc3\xada hamiltoniana. En segundo lugar el m\xc3\xa9todo lagrangiano puede f\xc3\xa1cilmente ser expresado en forma relativista, teniendo en cuenta que la funci\xc3\xb3n de acci\xc3\xb3n es invariante relativista; mientras que el m\xc3\xa9todo hamiltoniano es esencialmente de forma no relativista, dado que delimita una variable de tiempo particular como la conjugada can\xc3\xb3nica de la funci\xc3\xb3n hamiltoniana._NEWLINE_Por estas razones ser\xc3\xada deseable tomar la cuesti\xc3\xb3n de lo que corresponde en la teor\xc3\xada cu\xc3\xa1ntica al m\xc3\xa9todo lagrangiano de la teor\xc3\xada cl\xc3\xa1sica. Una peque\xc3\xb1a consideraci\xc3\xb3n muestra, sin embargo, que uno no puede esperar ser capaz de tomar las ecuaciones cl\xc3\xa1sicas de Lagrange en una forma directa. Estas ecuaciones involucran derivadas parciales del lagrangiano respecto a las coordenadas y velocidades y no significa poder tener tales derivadas en mec\xc3\xa1nica cu\xc3\xa1ntica._NEWLINE_El s\xc3\xb3lo proceso de diferenciaci\xc3\xb3n que puede realizarse respecto a las variables din\xc3\xa1micas de la mec\xc3\xa1nica cu\xc3\xa1ntica es el que forma los corchetes de Poisson y este proceso conduce a la teor\xc3\xada hamiltoniana._NEWLINE_Debemos por lo tanto mirar nuestra teor\xc3\xada cu\xc3\xa1ntica lagrangiana de una manera indirecta. Debemos intentar tomar las ideas de la teor\xc3\xada lagrangiana cl\xc3\xa1sica, no las ecuaciones de la teor\xc3\xada cl\xc3\xa1sica lagrangiana\xe2\x80\x9d.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nS\xc3\xadntesis de aplicaciones en f\xc3\xadsica\n_START_PARAGRAPH_\nComo se vio antes, es posible derivar las ecuaciones de la mec\xc3\xa1nica cl\xc3\xa1sica como las del electromagnetismo a partir del lagrangiano respectivo introducido en las ecuaciones de Euler-Lagrange. _NEWLINE_Por ese camino, es posible ampliar el lagrangiano de Maxwell para obtener el lagrangiano de Dirac y as\xc3\xad obtener, luego, la ecuaci\xc3\xb3n relativista de Dirac. Tambi\xc3\xa9n las ecuaciones de Schr\xc3\xb6dinger, de Klein-Gordon y de Proca pueden obtenerse por ese m\xc3\xa9todo._NEWLINE_Incluso es posible derivar las ecuaciones de Einstein, de la relatividad generalizada, a partir del lagrangiano de Hilbert-Einstein\xe2\x80\x8b'