b"\n_START_ARTICLE_\nTeorema de Ribet\n_START_PARAGRAPH_\nEn matem\xc3\xa1ticas, el teorema de Ribet (antes llamado conjetura \xc3\xa9psilon o conjetura \xce\xb5 de Serre) es un enunciado en teor\xc3\xada de n\xc3\xbameros relativo a las propiedades de las representaciones de Galois asociadas a las formas modulares.\xe2\x80\x8b Fue propuesto por Jean-Pierre Serre y demostrado por Ken Ribet. La prueba de la conjetura epsilon fue un paso significativo hacia la demostraci\xc3\xb3n del \xc3\x9altimo Teorema de Fermat. Como demostraron Serre y Ribet, la conjetura de Taniyama-Shimura (cuya situaci\xc3\xb3n no estaba resuelta en ese momento) y la conjetura epsilon, ambas en conjunto, implican que el \xc3\xbaltimo teorema de Fermat es cierto.\n_START_SECTION_\nEnunciado\n_START_PARAGRAPH_\nSea E una curva el\xc3\xadptica con coeficientes enteros en una forma m\xc3\xadnima global. Denotemos por \xce\xb4\xe2\x82\x9a, respectivamente, n\xe2\x82\x9a, el exponente con el que un primo p aparece en la factorizaci\xc3\xb3n prima del discriminante \xce\x94 de E, respectivamente, el conductor N de E. Supongamos que E es una curva el\xc3\xadptica modular, a continuaci\xc3\xb3n, podemos realizar un descenso de nivel modulo primos \xe2\x84\x93 dividiendo uno de los exponentes \xce\xb4\xe2\x82\x9a de un primo que divide al discriminante. Como E es modular, existe una forma modular f con la misma serie L que E, y adem\xc3\xa1s se sabe que f es de peso 2 y tiene nivel N igual al conductor de E. Si p\xce\xb4p es un factor de potencia impar prima de \xce\x94 tal que el exponente \xce\xb4\xe2\x82\x9a es m\xc3\xbaltiplo de \xe2\x84\x93, y si p divide a N s\xc3\xb3lo una vez (es decir, n\xe2\x82\x9a = 1), entonces existe otra forma modular f' tambi\xc3\xa9n de peso 2, con nivel N'=N/p, de modo que los coeficientes de la serie L de E son congruentes m\xc3\xb3dulo \xe2\x84\x93 con los coeficientes de la serie L de f'._NEWLINE_La conjetura \xc3\xa9psilon es una declaraci\xc3\xb3n relativa: si se asume que una determinada curva el\xc3\xadptica E sobre Q es modular, predice el nivel minimal que tendr\xc3\xa1 una forma modular cuya serie L es congruente con la de E m\xc3\xb3dulo \xe2\x84\x93. El teorema puede enunciarse m\xc3\xa1s generalmente partiendo de una forma modular f, est\xc3\xa9 asociada o no a una curva el\xc3\xadptica: el resultado de Ribet de descenso de nivel es un resultado enteramente sobre formas modulares, y es s\xc3\xb3lo en su aplicaci\xc3\xb3n al \xc3\x9altimo Teorema de Fermat (en combinaci\xc3\xb3n con los trabajos de Frey y Wiles) donde se especializa al caso de una curva el\xc3\xadptica modular. En general, el nivel minimal que garantiza el resultado de Ribet (para una forma modular f' que tenga serie L congruente m\xc3\xb3dulo \xe2\x84\x93a la de una forma modular f dada) ser\xc3\xa1 igual al conductor de Artin de la representaci\xc3\xb3n de Galois residual m\xc3\xb3dulo \xe2\x84\x93 asociada a f, el cual es bien sabido que divide al nivel N de f._NEWLINE_Una forma breve pues de enunciar el resultado de Ribet de descenso de nivel para formas modulares ser\xc3\xada: Si el conductor de Artin de la representaci\xc3\xb3n de Galois m\xc3\xb3dulo \xe2\x84\x93 de una forma modular de nivel N es un divisor propio N' de N, entonces existe otra forma modular f' de nivel N' cuya serie L es congruente m\xc3\xb3dulo \xe2\x84\x93 con la de f. En particular, las representaciones de Galois m\xc3\xb3dulo \xe2\x84\x93asociadas a f y a f' son isomorfas. (En este enunciado cuando hablamos de formas modulares en realidad han de ser tambi\xc3\xa9n formas cuspidales propias para el \xc3\xa1lgebra de Hecke, otro punto t\xc3\xa9cnico esencial en el resultado de Ribet es que se debe poner como hip\xc3\xb3tesis que la representaci\xc3\xb3n m\xc3\xb3dulo \xe2\x84\x93asociada a f es irreducible).\n_START_SECTION_\nLas conjeturas de Taniyama-Shimura y la \xc3\xa9psilon implican el \xc3\x9altimo Teorema de Fermat\n_START_PARAGRAPH_\nSupongamos que la ecuaci\xc3\xb3n de Fermat con el exponente \xe2\x84\x93 \xe2\x89\xa5 3 tenga una soluci\xc3\xb3n con enteros a, b, c distintos de cero. Vamos a formar la correspondiente curva de Frey E. Se trata de una curva el\xc3\xadptica y se puede demostrar que su discriminante \xce\x94 es igual a 16(abc)2\xe2\x84\x93 y su conductor N es el radical de abc, es decir, el producto de todos los primos distintos que dividen a abc. Seg\xc3\xban el teorema de Taniyama-Shimura, E es una curva el\xc3\xadptica modular. Puesto que N es libre de cuadrados y vista la forma del discriminante, por la conjetura \xc3\xa9psilon uno puede realizar descenso de nivel de m\xc3\xb3dulo \xe2\x84\x93. Repitiendo este procedimiento, vamos a eliminar todos los primos impares del conductor y llegar a una congruencia m\xc3\xb3dulo \xe2\x84\x93entre la serie L de E y la de una forma modular de peso 2 y nivel 2. Sin embargo, el espacio de formas modulares (cuspidales) de este peso y nivel es trivial, lo que resulta en una contradicci\xc3\xb3n.\n_START_SECTION_\nCoda\n_START_PARAGRAPH_\nEn 1994, Andrew Wiles y Richard Taylor completaron una prueba de una parte de la conjetura de Taniyama-Shimura, relativa a la modularidad de las curvas el\xc3\xadpticas semiestables, lo cual es suficiente para dar como resultado el \xc3\xbaltimo teorema de Fermat. Sus trabajos fueron publicados en 1995 en Annals of Mathematics. En su antes mencionado trabajo, Jean-Pierre Serre formul\xc3\xb3 una conjetura m\xc3\xa1s fuerte de modularidad, conocida como Conjetura de Serre (en versi\xc3\xb3n d\xc3\xa9bil y fuerte) que para el caso de representaciones de Galois de nivel 2 y peso 2, c\xc3\xb3mo observa Serre en su trabajo, permite dar otra demostraci\xc3\xb3n del \xc3\xbaltimo teorema de Fermat.\xe2\x80\x8b Este caso de la conjetura de Serre fue resuelto en 2004 por C. Khare y J.-P. Wintenberger e, independientemente, por L. Dieulefait."