b'\n_START_ARTICLE_\nF\xc3\xb3rmula de Euler\n_START_SECTION_\nDemostraci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nN\xc3\xb3tese que esta no es una demostraci\xc3\xb3n basada en las propiedades de los n\xc3\xbameros complejos y de la funci\xc3\xb3n exponencial, sino que es necesaria la definici\xc3\xb3n de la exponencial compleja como el equivalente a la serie de Taylor sobre los n\xc3\xbameros reales para par\xc3\xa1metros complejos._NEWLINE_La f\xc3\xb3rmula puede interpretarse geom\xc3\xa9tricamente como una circunferencia unidad en el plano complejo, dibujada por la funci\xc3\xb3n e\xe2\x81\xb1\xcb\xa3 al variar  sobre los n\xc3\xbameros reales. As\xc3\xad,  es el \xc3\xa1ngulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La f\xc3\xb3rmula s\xc3\xb3lo es v\xc3\xa1lida si tambi\xc3\xa9n el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.\n_START_SECTION_\nRelevancia matem\xc3\xa1tica\n_START_PARAGRAPH_\nLa f\xc3\xb3rmula proporciona una potente conexi\xc3\xb3n entre el an\xc3\xa1lisis matem\xc3\xa1tico y la trigonometr\xc3\xada. Se utiliza para representar los n\xc3\xbameros complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para n\xc3\xbameros negativos y n\xc3\xbameros complejos.\n_START_SECTION_\nEcuaciones diferenciales\n_START_PARAGRAPH_\nEn las ecuaciones diferenciales, la expresi\xc3\xb3n  es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la respuesta final es una funci\xc3\xb3n real en la que aparezcan senos o cosenos. La identidad de Euler es una consecuencia inmediata de la f\xc3\xb3rmula de Euler.\n_START_SECTION_\nAn\xc3\xa1lisis de se\xc3\xb1ales\n_START_PARAGRAPH_\nLas se\xc3\xb1ales que var\xc3\xadan peri\xc3\xb3dicamente suelen describirse como una combinaci\xc3\xb3n de funciones seno y coseno, como ocurre en el an\xc3\xa1lisis de Fourier, y estas son expresadas m\xc3\xa1s convenientemente como la parte real de una funci\xc3\xb3n exponencial con exponente imaginario, utilizando la f\xc3\xb3rmula de Euler.'