b'\n_START_ARTICLE_\nMorfolog\xc3\xada matem\xc3\xa1tica\n_START_PARAGRAPH_\nLa morfolog\xc3\xada matem\xc3\xa1tica es una teor\xc3\xada y t\xc3\xa9cnica para el an\xc3\xa1lisis y tratamiento de las estructuras geom\xc3\xa9tricas, basada en la teor\xc3\xada de conjuntos, teor\xc3\xada de ret\xc3\xadculos, topolog\xc3\xada y funciones aleatorias. La morfolog\xc3\xada matem\xc3\xa1tica es com\xc3\xbanmente aplicada m\xc3\xa1s a las im\xc3\xa1genes digitales, pero puede ser empleada tambi\xc3\xa9n en gr\xc3\xa1ficos, mallas poligonales, s\xc3\xb3lidos y muchas otras estructuras espaciales._NEWLINE_Conceptos topol\xc3\xb3gicos y geom\xc3\xa9tricos de espacio continuo, tales como tama\xc3\xb1o, forma, convexidad , conectividad y distancia geod\xc3\xa9sica, se pueden caracterizar por la morfolog\xc3\xada matem\xc3\xa1tica en espacios continuos y discretos. La morfolog\xc3\xada matem\xc3\xa1tica es tambi\xc3\xa9n la base del procesamiento de im\xc3\xa1genes morfol\xc3\xb3gicas, que consiste en un conjunto de operadores que transforman las im\xc3\xa1genes de acuerdo a las caracterizaciones anteriores._NEWLINE_La morfolog\xc3\xada matem\xc3\xa1tica se desarroll\xc3\xb3 originalmente para im\xc3\xa1genes binarias y se extendi\xc3\xb3 m\xc3\xa1s tarde a funciones e im\xc3\xa1genes en escala de grises. La generalizaci\xc3\xb3n posterior a ret\xc3\xadculos completos es ampliamente aceptada hoy en d\xc3\xada como fundamento te\xc3\xb3rico de la morfolog\xc3\xada matem\xc3\xa1tica.\n_START_SECTION_\nHistoria\n_START_PARAGRAPH_\nLa morfolog\xc3\xada matem\xc3\xa1tica naci\xc3\xb3 en 1964 de la colaboraci\xc3\xb3n de Georges Matheron y Jean Serra en la \xc3\x89cole des Mines de Paris, Francia. Matheron supervis\xc3\xb3 la tesis de PhD de Serra, dedicada a la cuantificaci\xc3\xb3n de las caracter\xc3\xadsticas minerales de una secci\xc3\xb3n delgada de la mina de la Mouri\xc3\xa8re, y este trabajo dio lugar a un nuevo enfoque pr\xc3\xa1ctico as\xc3\xad como avances te\xc3\xb3ricos en geometr\xc3\xada integral y topolog\xc3\xada._NEWLINE_En 1968, el Centre de Morphologie Math\xc3\xa9matique fue fundado por la \xc3\x89cole des Mines de Paris en Fontainebleau, Francia, liderado por Matheron y Serra._NEWLINE_Durante el resto de la d\xc3\xa9cada de 1960 y la mayor parte de la d\xc3\xa9cada de 1970, la morfolog\xc3\xada matem\xc3\xa1tica trat\xc3\xb3 esencialmente con im\xc3\xa1genes binarias, tratadas como conjuntos, y gener\xc3\xb3 un gran n\xc3\xbamero de operadores binarios y t\xc3\xa9cnicas: Transformaci\xc3\xb3n de localizaci\xc3\xb3n, dilataci\xc3\xb3n, erosi\xc3\xb3n, apertura, cierre, granulometr\xc3\xada, adelgazamiento, c\xc3\xa1lculo del esqueleto, erosi\xc3\xb3n final, bisectriz condicional, entre otros. Un enfoque al azar tambi\xc3\xa9n se desarroll\xc3\xb3 a partir de nuevos modelos de im\xc3\xa1genes. La mayor parte del trabajo en ese per\xc3\xadodo se desarroll\xc3\xb3 en Fontainebleau._NEWLINE_Desde mediados de la d\xc3\xa9cada de 1970 hasta mediados de la d\xc3\xa9cada de 1980, la morfolog\xc3\xada matem\xc3\xa1tica se generaliz\xc3\xb3 tambi\xc3\xa9n a funciones e im\xc3\xa1genes en la escala de grises. Adem\xc3\xa1s de ampliar los conceptos principales (tales como la dilataci\xc3\xb3n, erosi\xc3\xb3n, etc.) a las funciones, esta generalizaci\xc3\xb3n dio nuevos operadores, tales como el gradiente morfol\xc3\xb3gico, transformaci\xc3\xb3n sombrero de copa y divisoria (watershed) (enfoque principal de segmentaci\xc3\xb3n de la morfolog\xc3\xada matem\xc3\xa1tica)._NEWLINE_En las d\xc3\xa9cadas de los a\xc3\xb1os 1980 y 1990, la morfolog\xc3\xada matem\xc3\xa1tica gan\xc3\xb3 un amplio reconocimiento ya que centros de investigaci\xc3\xb3n en varios pa\xc3\xadses comenzaron a adoptar e investigar el m\xc3\xa9todo. La morfolog\xc3\xada matem\xc3\xa1tica comenz\xc3\xb3 a aplicarse a un gran n\xc3\xbamero de problemas y aplicaciones de im\xc3\xa1genes._NEWLINE_En 1986 Jean Serra generaliz\xc3\xb3 a\xc3\xban m\xc3\xa1s la morfolog\xc3\xada matem\xc3\xa1tica, esta vez con un marco te\xc3\xb3rico basado en ret\xc3\xadculos completos. Esta generalizaci\xc3\xb3n trajo flexibilidad a la teor\xc3\xada, permitiendo su aplicaci\xc3\xb3n a un n\xc3\xbamero mucho mayor de estructuras, incluyendo im\xc3\xa1genes en color, v\xc3\xaddeo, gr\xc3\xa1ficos, meshes, etc. Al mismo tiempo, Matheron y Serra tambi\xc3\xa9n formularon una teor\xc3\xada para filtrado morfol\xc3\xb3gico basado en el nuevo marco (ret\xc3\xadculos)._NEWLINE_En las d\xc3\xa9cadas de los a\xc3\xb1os 1990 y 2000 tambi\xc3\xa9n se registraron m\xc3\xa1s avances te\xc3\xb3ricos, incluyendo los conceptos de  conexiones y  nivelaciones._NEWLINE_En 1993, el primer International Symposium on Mathematical Morphology (ISMM) tuvo lugar en Barcelona, Espa\xc3\xb1a. Desde entonces, los ISMM se organizan cada 2 o 3 a\xc3\xb1os, casi siempre en una parte diferente del mundo: Fontainebleau, Francia (1994); Atlanta, Estados Unidos (1996); \xc3\x81msterdam, Pa\xc3\xadses Bajos (1998); Palo Alto, California, Estados Unidos (2000); S\xc3\xaddney, Australia (2002); Par\xc3\xads, Francia (2004); R\xc3\xado de Janeiro, Brasil (2007); Groninga, Pa\xc3\xadses Bajos (2009); e Intra (Verbania), Italia (2011); Uppsala, Sweden (2013); Reykjavik, Iceland (2015); y Fontainebleau, France (2017).\n_START_SECTION_\nMorfolog\xc3\xada binaria\n_START_PARAGRAPH_\nEn morfolog\xc3\xada binaria una imagen es vista como un subconjunto de un espacio Euclideo  o de la cuadr\xc3\xadcula entera , para alguna dimensi\xc3\xb3n d.\n_START_SECTION_\nOperadores b\xc3\xa1sicos\n_START_PARAGRAPH_\nLas operaciones b\xc3\xa1sicas son operadores de cambio-invariante (invariante traslacional) estrechamente relacionados con la suma de Minkowski._NEWLINE_Sea E un espacio euclidiano o una cuadr\xc3\xadcula entera y A una imagen binaria en E.\n_START_SECTION_\nMorfolog\xc3\xada matem\xc3\xa1tica en ret\xc3\xadculos completos\n_START_PARAGRAPH_\nLos ret\xc3\xadculos completos son conjuntos parcialmente ordenados, donde cada subconjunto tiene un \xc3\xadnfimo y un supremo. En particular, contiene un elemento menor y un elemento mayor (tambi\xc3\xa9n denotado "universo").\n_START_SECTION_\nCasos particulares\n_START_PARAGRAPH_\nLa morfolog\xc3\xada binaria es un caso particular de la morfolog\xc3\xada de ret\xc3\xadculos, donde L es el conjunto potencia de E (el espacio euclidiano o cuadr\xc3\xadcula), es decir, L es el conjunto de todos los subconjuntos de E y  es la inclusi\xc3\xb3n. En este caso, el \xc3\xadnfimo es la intersecci\xc3\xb3n de conjuntos y el supremo es la uni\xc3\xb3n de conjuntos._NEWLINE_Del mismo modo, la morfolog\xc3\xada en escala de grises es otro caso particular, donde L es el conjunto de funciones que mapean E en  y , , y  son el orden punto a punto, supremo e \xc3\xadnfimo, respectivamente. Esto es, si f y g son funciones en L, entonces  si y solo si ; el \xc3\xadnfimo  est\xc3\xa1 dado por ; y el supremo  est\xc3\xa1 dado por .'