b"\n_START_ARTICLE_\nProblema de Galois inverso\n_START_PARAGRAPH_\nEn teor\xc3\xada de Galois, el problema de Galois inverso plantea si todo grupo finito puede ser el grupo de Galois de alguna extensi\xc3\xb3n de los n\xc3\xbameros racionales. Este problema, propuesto inicialmente por Hilbert en el siglo\xc2\xa0XIX,\xe2\x80\x8b permanece sin resolver._NEWLINE_M\xc3\xa1s generalmente, sea  un grupo finito dado, y sea  un cuerpo. Entonces la pregunta es: \xc2\xbfexiste una extensi\xc3\xb3n de cuerpos galoisiana  tal que el grupo de Galois de la extensi\xc3\xb3n sea isomorfo a ? Se dice que  es realizable sobre  si dicho cuerpo  existe.\n_START_SECTION_\nResultados parciales\n_START_PARAGRAPH_\nPese a ser un problema abierto, se conocen muchos detalles sobre algunos casos particulares. Se sabe, por ejemplo (\xc5\xa0afarevi\xc4\x8d), que todo grupo finito es realizable sobre cualquier cuerpo de funciones en una variable sobre los n\xc3\xbameros complejos , y m\xc3\xa1s generalmente sobre cuerpos de funciones en una variable sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado de caracter\xc3\xadstica cero. \xc5\xa0afarevi\xc4\x8d mostr\xc3\xb3 que todo grupo finito resoluble es realizable sobre . Tambi\xc3\xa9n se sabe que los 26 grupos espor\xc3\xa1dicos, a excepci\xc3\xb3n del grupo de Mathieu , son realizables sobre .\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Hilbert hab\xc3\xada mostrado que esta cuesti\xc3\xb3n est\xc3\xa1 relacionada con una pregunta de racionalidad para : si  es una extensi\xc3\xb3n cualquiera de , en la que  act\xc3\xbaa como grupo de automorfismos y el cuerpo fijo por , , es racional sobre , entonces  es realizable sobre . Aqu\xc3\xad \xc2\xabracional\xc2\xbb significa que es una extensi\xc3\xb3n puramente trascendental de , generada por un conjunto algebraicamente independiente. Este criterio puede, por ejemplo, emplearse para demostrar que todos los grupos sim\xc3\xa9tricos son realizables._NEWLINE_Se ha profundizado mucho en esta cuesti\xc3\xb3n, para la que a\xc3\xban no existe una resoluci\xc3\xb3n general. Algunos de los trabajos llevados a cabo se basan en construir  geom\xc3\xa9tricamente como un recubrimiento de Galois de la recta proyectiva: en t\xc3\xa9rminos algebraicos, empezar con una extensi\xc3\xb3n del cuerpo  de funciones racionales en una indeterminada ; despu\xc3\xa9s aplicar el teorema de irreducibilidad de Hilbert para especializar , de tal manera que se conserve su grupo de Galois.\n_START_SECTION_\nGrupos r\xc3\xadgidos\n_START_PARAGRAPH_\nSupongamos que  son clases de conjugaci\xc3\xb3n de un grupo finito , y sea  el conjunto de n-tuplas  de  tales que  est\xc3\xa1 en  y el producto  es trivial. Entonces se dice que  es r\xc3\xadgido si es no vac\xc3\xado,  act\xc3\xbaa transitivamente sobre \xc3\xa9l por conjugaci\xc3\xb3n, y cada elemento de  genera ._NEWLINE_Thompson (1984) mostr\xc3\xb3 que si un grupo finito  posee un subgrupo r\xc3\xadgido, entonces es muy posible que pueda realizarse como grupo de Galois sobre una extensi\xc3\xb3n ciclot\xc3\xb3mica de los racionales._NEWLINE_Esto puede usarse para mostrar que muchos grupos simples finitos, incluido el grupo simple monstruo, son grupos de Galois de extensiones de los racionales._NEWLINE_El paradigma de la rigidez es el grupo sim\xc3\xa9trico , que est\xc3\xa1 generado por un n-ciclo y una trasposici\xc3\xb3n cuyo producto es un (n\xe2\x88\x921)-ciclo. La construcci\xc3\xb3n en la secci\xc3\xb3n precedente hac\xc3\xada uso de estos generadores para determinar el grupo de Galois de un polinomio.\n_START_SECTION_\nUna construcci\xc3\xb3n mediante una funci\xc3\xb3n modular el\xc3\xadptica\n_START_PARAGRAPH_\nSea  un entero mayor que 1. Un ret\xc3\xadculo \xce\x9b en el plano complejo de periodo  contiene un subret\xc3\xadculo \xce\x9b' de periodo . Este \xc3\xbaltimo pertenece al conjunto finito de subret\xc3\xadculos permutados por el grupo modular PSL(2,Z), que se basa en cambios de base para \xce\x9b. Sea  la funci\xc3\xb3n modular el\xc3\xadptica de Klein. Definamos el polinomio  como el producto de las diferencias  sobre los subret\xc3\xadculos conjugados. Como polinomio en ,  tiene coeficientes que son polinomios sobre  en ._NEWLINE_En los ret\xc3\xadculos conjugados, el grupo modular act\xc3\xbaa como PGL(2,Z\xe2\x82\x99). Se sigue que  tiene grupo de Galois isomorfo a PGL(2,Z\xe2\x82\x99) sobre ._NEWLINE_El teorema de irreducibilidad de Hilbert permite obtener un conjunto infinito (y denso) de n\xc3\xbameros racionales que especializan  a polinomios con grupo de Galois PGL(2,Z\xe2\x82\x99) sobre . Los grupos PGL(2,Z\xe2\x82\x99) incluyen infinitos grupos no resolubles."