b'\n_START_ARTICLE_\nGeometr\xc3\xada de la informaci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nLa geometr\xc3\xada de la informaci\xc3\xb3n es una rama de las matem\xc3\xa1ticas que usa t\xc3\xa9cnicas de la geometr\xc3\xada diferencial al campo de la teor\xc3\xada de la probabilidad. Esto se hace tomando las distribuciones de probabilidad, usadas para un determinado modelo estad\xc3\xadstico, como los puntos de una variedad de Riemann, que constituyen una variedad estad\xc3\xadstica. La m\xc3\xa9trica informacional de Fisher proporciona la m\xc3\xa9trica de Riemann para dicha variedad._NEWLINE_La geometr\xc3\xada de la informaci\xc3\xb3n alcanz\xc3\xb3 su madurez como disciplina independiente a trav\xc3\xa9s del trabajo de Shun\'ichi Amari y otros matem\xc3\xa1ticos japoneses en los a\xc3\xb1os 1980. El libro de Amari y Nagaoka, Methods of Information Geometry,\xe2\x80\x8b se considera uno de los trabajos seminales, y adem\xc3\xa1s presentan un amplio panorama de desarrollos significativos en la disciplinas que cubren hasta el a\xc3\xb1o 2000. Muchos de esos desarrollos s\xc3\xb3lo hab\xc3\xadan estado disponibles previamente en publicaciones en japon\xc3\xa9s, por lo que su difusi\xc3\xb3n hab\xc3\xada sido limitada.\n_START_SECTION_\nIntroducci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nLa siguiente introducci\xc3\xb3n sigue las l\xc3\xadneas generales del libro de Amari y Naoka Methods of Information Geometry.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nInformaci\xc3\xb3n y probabilidad\n_START_PARAGRAPH_\nSe define un n-conjunto como un conjunto V de cardinalidad . Para escoger un elemento v (valor, estado, punto, resultado) de un n-conjunto V, se necesita especificar  b-conjuntos (usualmente se considera b=2), si lo \xc3\xbanico que se tiene en cuenta es la cardinalidad. Es decir, se requieren  nates de informaci\xc3\xb3n para especificar v o equivalentemente,  bits de informaci\xc3\xb3n._NEWLINE_Considerando el subconjunto de apariciones  tomados de , hay una forma alternativa de referirse a  a trav\xc3\xa9s de . Primero, se escoge una aparici\xc3\xb3n , que requiere una informaci\xc3\xb3n de  bits para ser especificada. Entonces, para especificar v, se resta el exceso de informaci\xc3\xb3n usado para escoger un  de entre todos las apariciones de ese tipo relacionadas con , es decir . As\xc3\xad se tiene que  es el n\xc3\xbamero de  partes que juntas forman una partici\xc3\xb3n de . As\xc3\xad se necesitan  bits para escoger una de ellas. De esta manera la cantidad de informaci\xc3\xb3n (tama\xc3\xb1o de una variable, longitud del c\xc3\xb3digo, o n\xc3\xbamero de bits) necesaria para especificar un , considerando el n\xc3\xbamero de veces que aparece en un mensaje viene dada por_NEWLINE_Finalmente,  es la cantidad normalizada de informaci\xc3\xb3n necesaria para codificar todas las apariciones de un . La longitud de c\xc3\xb3digo promediada sobre todos los valores posibles es . Esta magnitud  se denomina entrop\xc3\xada de una variable aleatoria .\n_START_SECTION_\nPar\xc3\xa1metros de un modelo estad\xc3\xadstico\n_START_PARAGRAPH_\nCuando se observa una determinada variable aleatoria en un cierto contexto, cuyos valores pertenecen a , se parte usualmente de la distribuci\xc3\xb3n de probabilidad asociada a la observaci\xc3\xb3n de un determinado valor en un determinado contexto, como un mensaje codificado o un montaje experimental._NEWLINE_El contexto mencionado anteriormente, es una situaci\xc3\xb3n que se especifica mediante un conjunto de par\xc3\xa1metros (frecuentemente usando el razonamiento combinatorio). Los par\xc3\xa1metros pueden tener un n\xc3\xbamero arbitrario de dimensiones, y por tanto una observaci\xc3\xb3n puede caracterizarse por n par\xc3\xa1metros  que puede asociarse a un valor de , i.e. el soporte  no cambia como funci\xc3\xb3n de. Cada  determina una distribuci\xc3\xb3n de probabilidad para . N\xc3\xb3tese al cambiar de contexto o situaci\xc3\xb3n, la probabilidad con la que se observa un determinado resultado cambia acorde a los par\xc3\xa1metros que definen el contexto. Frecuentemente un conjunto de par\xc3\xa1metros se asocia a una determinada familia de distribuciones, por lo que los par\xc3\xa1metros en esos casos tienen una interpretaci\xc3\xb3n concreta, que constituye un modelo estad\xc3\xadstico para el contexto en el que se observa ._NEWLINE_Los par\xc3\xa1metros son muy diferentes en su naturaleza a los elementos del propio  itself, porque no describen , sino el contexto de observaci\xc3\xb3n para . Una parametrizaci\xc3\xb3n de la forma:_NEWLINE_donde  y ,_NEWLINE_que mezcla diferentes distribuciones , se denomina una distribuci\xc3\xb3n mixta, o mixtura de distribuciones o -parametrization. Todas las parametrizaciones de ese tipo est\xc3\xa1n relacionadas a trav\xc3\xa9s de una transformaci\xc3\xb3n af\xc3\xadn . Una parametrizaci\xc3\xb3n asociada a una regla de transformaci\xc3\xb3n de ese tipo se denomina plana._NEWLINE_Una paremetrizaci\xc3\xb3n plana para  es una exponencial o -parametrizaci\xc3\xb3n, porque los par\xc3\xa1metros se encuentran en el exponente de . Existen muchas distribuciones notables, como la distribuci\xc3\xb3n normal o la distribuci\xc3\xb3n de Poisson, que caen dentro de esta categor\xc3\xada. Estas distribuciones se denominan colectivamente como una "familia exponencial" o -familia. La -variedad de todas las distribuciones de ese tipo, no es una variedad af\xc3\xadn, pero  s\xc3\xad es una variedad af\xc3\xadn. La parametrizaci\xc3\xb3n  para una familia exponencial puede ponerse en relaci\xc3\xb3n con la anterior reparametrizando como  y extendiendo .\n_START_SECTION_\nGeometr\xc3\xada diferencial aplicada a las probabilidades\n_START_PARAGRAPH_\nEn geometr\xc3\xada de informaci\xc3\xb3n, los m\xc3\xa9todos de la geometr\xc3\xada diferencial se aplican para describir el espacio abstracto de distribuciones de probabilidad posibles para un conjunto de observaciones de . Esto se hace mediante una carta coordenada o un conjunto de ellas que conforma un atlas . M\xc3\xa1s a\xc3\xban, la distribuci\xc3\xb3n de probabilidad  debe ser una funci\xc3\xb3n diferenciable e invertible de . En este caso, las  forman un conjunto de coordenadas de para las -spacio de distribuciones, que de hecho tiene la estructura de variedad diferenciable, y se denota por ._NEWLINE_Las derivadas sobre esta variedad se definen como usualmente se hace para otras variedades diferenciables:_NEWLINE_con , para  una funci\xc3\xb3n real sobre . Dadao una funci\xc3\xb3n  sobre , se puede "geometrizar" tom\xc3\xa1ndola para definir una nueva variedad. Esto se hace definiendo funciones coordenadas sobre esta otra nueva variedad mediante las relaciones:_NEWLINE_De esta fomra se "geometriza" una funci\xc3\xb3n , codific\xc3\xa1ndola en las coordenadas usadas para describir el sistema. Para  la inversa es  y la variedad resultante de  se denomina -representaci\xc3\xb3n. La -variedad en s\xc3\xad misma se denomina la -representaci\xc3\xb3n.\n_START_SECTION_\nEspacio tangente\n_START_PARAGRAPH_\nEn geometr\xc3\xada diferencial ordinaria, el espacio tangente a una variedad diferenciable  en un punto  vienen dado por:_NEWLINE_En geometr\xc3\xada diferencial ordinaria, no existe ning\xc3\xban sistema can\xc3\xb3nico de coordenadas sobre la variedad; as\xc3\xad t\xc3\xadpicamente, toda discusi\xc3\xb3n debe hacerse con respecto al atlas, sin necesidad expl\xc3\xadcita de coordenadas, por esa raz\xc3\xb3n los vectores tangentes (y el conjunto de ellos que es el espacio tangente) se definen como operadores que act\xc3\xbaan sobre funciones definidas sobre la variedad. Sin embargo, cuando se usan distribuciones de probabilidad , se es posible expresar el espacio tangente directamente como  ( -representaci\xc3\xb3n) o  ( -representaci\xc3\xb3n), sin necesidad de especificarlos como operadores.'