b'\n_START_ARTICLE_\nInfinito potencial e infinito actual\n_START_PARAGRAPH_\nEl infinito actual (del lat\xc3\xadn tard\xc3\xado actualis, \xc2\xabactivo\xc2\xbb, \xc2\xabeficaz\xc2\xbb) y el infinito potencial (del lat\xc3\xadn tard\xc3\xado potentialis, \xc2\xabde acuerdo a las posibilidades o la potencia\xc2\xbb) designan dos modalidades en las que lo infinito puede existir o concebirse. El primer t\xc3\xa9rmino se trata de la interrogante de si acaso un dominio de cardinalidad infinita en todas sus partes siquiera puede existir realmente en un momento dado, o si en cada caso solamente existen o pueden imaginarse o construirse elementos determinados (antirrealismo en relaci\xc3\xb3n al infinito actual, como por ejemplo en el constructivismo de la Escuela de Erlangen), de manera de que solo puede existir realmente el infinito potencial. En segundo t\xc3\xa9rmino, de aceptarse la posibilidad en principio del infinito actual, se trata de cu\xc3\xa1les ser\xc3\xadan los objetos actualmente infinitos. _NEWLINE_En el \xc3\xa1mbito de la filosof\xc3\xada de las matem\xc3\xa1ticas esto se refiere especialmente a la cuesti\xc3\xb3n de la existencia real de conjuntos con cardinalidad infinita, entre los que se cuenta por ejemplo la clase de los n\xc3\xbameros naturales (lo que aqu\xc3\xad presupone una postura tambi\xc3\xa9n denominada \xc2\xabplatonismo\xc2\xbb en relaci\xc3\xb3n a los objetos matem\xc3\xa1ticos). La postura antirrealista (que en este contexto casi siempre es constructivista) podr\xc3\xada formularse as\xc3\xad: \xc2\xabSi bien no existe un n\xc3\xbamero natural que sea el mayor de todos, tampoco existe una totalidad acabada de n\xc3\xbameros naturales\xc2\xbb (infinito potencial).\xe2\x80\x8b_NEWLINE_En la historia de la filosof\xc3\xada y en la ontolog\xc3\xada contempor\xc3\xa1nea, entre otros posibles objetos actualmente infinitos se discute acerca de: un conjunto infinito de substancias (por ejemplo \xc3\xa1tomos) o de unidades espaciales y temporales (en particular como continuo espaciotemporal), una secuencia infinita de causas (cuya imposibilidad es una de las premisas para diversas pruebas cl\xc3\xa1sicas de la Existencia de Dios), as\xc3\xad como Dios mismo.\n_START_SECTION_\nHistoria del concepto\n_START_PARAGRAPH_\nAnaximandro introdujo el concepto de lo ilimitado (a-peiros). Lo infinito es tanto ilimitado como indeterminado._NEWLINE_De las consideraciones de Plat\xc3\xb3n se deriva la idea de un infinito actual. Es el principio determinado de la forma, el Uno, que estructura la variedad material a trav\xc3\xa9s de su delimitaci\xc3\xb3n._NEWLINE_En la ontolog\xc3\xada de Arist\xc3\xb3teles, la contraposici\xc3\xb3n de potencialidad y actualidad es fundamental, aplic\xc3\xa1ndose tambi\xc3\xa9n a conjuntos de objetos.\xe2\x80\x8b A un conjunto, al que en principio puedan agreg\xc3\xa1rsele infinitos objetos, Arist\xc3\xb3teles lo denomina \xc2\xabpotencialmente\xc2\xbb infinito. De lo anterior distingue el concepto de un conjunto que realmente contenga ya infinitos objetos. Seg\xc3\xban Arist\xc3\xb3teles, esto \xc3\xbaltimo es imposible, con lo que rechaza tambi\xc3\xa9n la idea de que un determinado principio infinito pueda explicar totalmente la unidad de la realidad finita. De acuerdo a \xc3\xa9l, lo \xc2\xabinfinito\xe2\x80\x9c solo se refiere a \xc2\xabaquello, fuera de lo cual a\xc3\xban sigue habiendo algo\xc2\xbb.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Este descarte de un infinito actual se emple\xc3\xb3 frecuentemente en filosof\xc3\xada de la religi\xc3\xb3n, tanto en la antig\xc3\xbcedad como en la edad media, para demostrar la existencia de Dios, porque as\xc3\xad nunca puede concluir un progreso que en principio pueda llevarse a cabo en un n\xc3\xbamero infinito de pasos. Es por ello que se considera impracticable una explicaci\xc3\xb3n de la realidad que parta con determinados objetos, indique sus respectivas causas y contin\xc3\xbae as\xc3\xad sucesivamente. En lugar de ello, se supone a Dios como primera causa, que en s\xc3\xad misma no es parte de una tal secuencia causal. As\xc3\xad por ejemplo en Tom\xc3\xa1s de Aquino.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Siguiendo al platonismo, Agust\xc3\xadn de Hipona identifica a Dios directamente con el infinito actual.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Las discusiones, tanto en la antig\xc3\xbcedad como en la edad media, sobre ontolog\xc3\xada y filosof\xc3\xada de la religi\xc3\xb3n en su mayor\xc3\xada se refieren a estas bases._NEWLINE_En la transici\xc3\xb3n al renacimiento y a la modernidad temprana, Nicol\xc3\xa1s de Cusa combina estas tradiciones con problemas matem\xc3\xa1ticos. En numerosas analog\xc3\xadas aritm\xc3\xa9ticas y geom\xc3\xa9tricas intent\xc3\xb3 aclarar que a la raz\xc3\xb3n finita le resulta imposible abarcar la unidad actual de lo infinito. Como ejemplo se\xc3\xb1alaba la imposibilidad de hacer coincidir de modo actual la l\xc3\xadnea recta y la curva por medio de la progresiva inscripci\xc3\xb3n de pol\xc3\xadgonos con un n\xc3\xbamero de aristas creciente dentro de un c\xc3\xadrculo. Este problema de cuadratura del c\xc3\xadrculo ya hab\xc3\xada sido tratado en numerosas ocasiones, entre otros por Thomas Bradwardine. En investigaciones recientes, muchas veces se comparan las consideraciones de Cusanus con los problemas de la filosof\xc3\xada de las matem\xc3\xa1ticas que se presentan desde los representantes tempranos del constructivismo matem\xc3\xa1tico, as\xc3\xad como con el pensamiento de Georg Cantor.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Cantor era de la opini\xc3\xb3n de que el infinito potencial tiene al infinito actual como premisa, posicion\xc3\xa1ndose as\xc3\xad claramente como adversario de Johann Friedrich Herbart, quien consideraba a su vez el concepto de lo infinito como l\xc3\xadmite m\xc3\xb3vil, que puede y debe trasladarse a cada momento.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nDiversos criterios en las matem\xc3\xa1ticas y en la filosof\xc3\xada de las matem\xc3\xa1ticas contempor\xc3\xa1neas\n_START_PARAGRAPH_\nLos potencialistas critican y rechazan la pr\xc3\xa1ctica de hablar de \xc2\xabconjuntos\xc2\xbb infinitos, la que se ha impuesto en el bando actualista y se ha transformado, en la forma de la teor\xc3\xada axiom\xc3\xa1tica de conjuntos, en uno de los fundamentos m\xc3\xa1s importantes de las matem\xc3\xa1ticas. A fin de hacer resaltar el car\xc3\xa1cter pol\xc3\xa9mico del concepto de conjunto, en lo que sigue a veces se le pondr\xc3\xa1 entre comillas._NEWLINE_El ejemplo m\xc3\xa1s simple de un conjunto infinito es el conjunto  de los n\xc3\xbameros naturales: para cada n\xc3\xbamero natural es posible se\xc3\xb1alar un sucesor, por tanto no hay fin. Cada uno de estos n\xc3\xbameros (por grande que sea) puede se\xc3\xb1alarse en forma completa, mientras que eso no es posible para el conjunto  con cada uno de sus elementos._NEWLINE_Desde el punto de vista de los finitistas, es por ello que , como todo otro \xc3\xa1mbito infinito, no existe como conjunto. Pero un conjunto finito existe, puesto que es posible se\xc3\xb1alarla en forma expl\xc3\xadcita, enumerando todos sus elementos, como en . El \xe2\x80\x9econjunto\xe2\x80\x9c , en este sentido, es solo potencialmente infinito, ya que si bien siempre se le pueden agregar elementos nuevos, nunca se habr\xc3\xa1 completado, ya que no es posible enumerar todos sus elementos._NEWLINE_Los ultrafinitistas objetan aqu\xc3\xad que tambi\xc3\xa9n los conjuntos finitos como  (siendo n un n\xc3\xbamero natural arbitrario) no pueden enumerarse en forma completa, cuando n es tan grande que surgen razones pr\xc3\xa1cticas que lo impiden \xe2\x80\x93 la cantidad de papel disponible, el per\xc3\xadodo de vida del escribano o la cantidad de part\xc3\xadculas elementales, que en la parte accesible del universo con seguridad no supera los 10\xc2\xb9\xe2\x81\xb0\xe2\x81\xb0._NEWLINE_En cambio, para un constructivista m\xc3\xa1s moderado un conjunto est\xc3\xa1 ya dado cuando existe un algoritmo/procedimiento con el que todo elemento de este conjunto pueda construirse en un n\xc3\xbamero finito de pasos, es decir se\xc3\xb1alarse as\xc3\xad. El conjunto de los n\xc3\xbameros naturales en este sentido ser\xc3\xada actualmente infinito, ya que existe en la forma de un algoritmo, con el que es posible generar cualquier n\xc3\xbamero natural en un n\xc3\xbamero finito de pasos. Es cierto que en este caso no es que el conjunto como resumen de sus elementos se encuentre \xc2\xabconcluido\xc2\xbb, sino solo el algoritmo, el procedimiento operacional, por medio del cual se va generando paso a paso. Es por ello que muchos constructivistas evitan el concepto del \xc2\xabinfinito actual\xc2\xbb, prefiriendo denominar los conjuntos tales como el de los n\xc3\xbameros naturales como \xc2\xaboperativamente cerrados\xc2\xbb, lo que simplemente quiere se\xc3\xb1alar que el correspondiente algoritmo tarde o temprano generar\xc3\xa1 cada elemento del conjunto._NEWLINE_El \xc3\xa1mbito de los n\xc3\xbameros reales es el caso cl\xc3\xa1sico de un conjunto no operativamente cerrado. Un algoritmo solamente puede producir n\xc3\xbameros que puedan representarse con una cantidad finita de signos, de manera que si bien es posible construir conjuntos finitos o enumerables de n\xc3\xbameros reales (para los constructivistas se trata de sucesiones regulares de n\xc3\xbameros racionales) (por ejemplo d\xc3\xa1ndole a cada una un nombre distinto), pero no es posible indicar un algoritmo capaz de generar todo n\xc3\xbamero real. Porque este deber\xc3\xada se capaz de producirlos en un n\xc3\xbamero enumerable de pasos, lo que sin embargo es imposible, porque el conjunto de los n\xc3\xbameros reales es no enumerable (segundo argumento de la diagonal de Cantor). El \xc2\xabconjunto\xe2\x80\x9c de los n\xc3\xbameros reales, por tanto, no puede se\xc3\xb1alarse por medio de un algoritmo (o por medio de un n\xc3\xbamero finito de ellos), sino que se requierir\xc3\xada una cantidad infinita de algoritmos para generar todos los n\xc3\xbameros reales y esos infinitos algoritmos, por su parte, no pueden generarse sobre la base de un algoritmo de orden superior (porque de ello tambi\xc3\xa9n se desprender\xc3\xada que los n\xc3\xbameros reales tendr\xc3\xadan que ser numerables). Los algoritmos para la generaci\xc3\xb3n de todos los n\xc3\xbameros reales, por tanto, no conforman un \xc3\xa1mbito operativamente cerrado, por lo que dif\xc3\xadcilmente se les puede calificar como algo \xc2\xabconcluido\xc2\xbb, formando en cambio un infinito potencial._NEWLINE_Es notable que - pese a estas dificultades para generar el conjunto de los n\xc3\xbameros reales - tambi\xc3\xa9n en el bando constructivista a ratos se expresa una concepci\xc3\xb3n actualista con respecto a lo infinito de los n\xc3\xbameros reales: el intuicionista Luitzen Egbertus Jan Brouwer considera al continuo como una intuici\xc3\xb3n originaria, es decir como algo que le es dado al esp\xc3\xadritu humano en forma acabada y que por tanto es actualmente infinito. En la medida en que el conjunto de los n\xc3\xbameros reales constituye el modelo matem\xc3\xa1tico m\xc3\xa1s corriente del continuo, resulta posible entonces considerarlo tambi\xc3\xa9n como infinito actual._NEWLINE_Es as\xc3\xad que en la filosof\xc3\xada de las matem\xc3\xa1ticas, aparte del rechazo a todo tipo de concepto de infinito (ultrafinitismo), existen la aceptaci\xc3\xb3n exclusiva del infinito potencial (finitismo), la aceptaci\xc3\xb3n del infinito actual exclusivamente para conjuntos operativamente cerrados como la de los n\xc3\xbameros naturales (constructivismo), as\xc3\xad como la aceptaci\xc3\xb3n del infinito actual solo para el continuo (intuicionismo), mientras que el platonismo acepta sin m\xc3\xa1s el infinito actual._NEWLINE_Tanto las matem\xc3\xa1ticas cl\xc3\xa1sicas como tambi\xc3\xa9n la inmensa mayor\xc3\xada de los matem\xc3\xa1ticos contempor\xc3\xa1neos aceptan el infinito actual para todos aquellos conjuntos que se pueden definir sobre la base de los  axiomas de Zermelo-Fraenkel: Das axioma del infinito conlleva la existencia del conjunto de los n\xc3\xbameros naturales, el axioma de los conjuntos potencia la de los n\xc3\xbameros reales. Sobre esta base axiom\xc3\xa1tica resulta una variedad infinita de niveles del infinito actual, que se caracterizan por diferentes cardinalidades. Para los n\xc3\xbameros cardinales, an\xc3\xa1logamente al caso de los n\xc3\xbameros reales, no es posible se\xc3\xb1alar un proceso general de generaci\xc3\xb3n que sea capaz de generarlos a todos. Entre los matem\xc3\xa1ticos tampoco existe acuerdo en si acaso la \xc2\xabtotalidad de los n\xc3\xbameros cardinales\xc2\xbb tiene sentido como concepto, o si se los puede considerar infinitos actuales. Resulta que considerar esta totalidad como conjunto en el sentido de la teor\xc3\xada axiom\xc3\xa1tica de conjuntos conduce a una contradicci\xc3\xb3n l\xc3\xb3gica (primera antinomia de Cantor).'