b'\n_START_ARTICLE_\nGrupo (matem\xc3\xa1tica)\n_START_PARAGRAPH_\nEn \xc3\xa1lgebra abstracta, un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto no vac\xc3\xado dotado de una operaci\xc3\xb3n interna que combina cualquier par de elementos para componer un tercero, dentro del mismo conjunto y que satisface las propiedades asociativa, existencia de elemento neutro y sim\xc3\xa9trico .\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nRese\xc3\xb1a hist\xc3\xb3rica y situaci\xc3\xb3n actual de la investigaci\xc3\xb3n sobre teor\xc3\xada de grupos\n_START_PARAGRAPH_\nEl concepto de un grupo surgi\xc3\xb3 del estudio de ecuaciones algebraicas en una inc\xc3\xb3gnita, comenzando con \xc3\x89variste Galois durante los a\xc3\xb1os 1830. Despu\xc3\xa9s de contribuciones desde otros campos como la teor\xc3\xada de n\xc3\xbameros y la geometr\xc3\xada, la noci\xc3\xb3n de grupo se generaliz\xc3\xb3 y se estableci\xc3\xb3 firmemente alrededor de 1870. _NEWLINE_La definici\xc3\xb3n de grupo  (G, *) usando: la asociatividad, la existencia de elemento neutro, de elemento inverso y la noci\xc3\xb3n de operaci\xc3\xb3n binaria, fue formulada por F.G. Frobenius, por primera vez en 1887, advirtiendo que los teoremas que los demostraba depend\xc3\xadan \xc3\xbanicamente de los axiomas propuestos y sin tener que acudir al aparato de los grupos de permutaciones, que empleaban sus antecesores Cauchy, Jordan y Sylow.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_Los grupos conmutativos son los que, adem\xc3\xa1s verifican la propiedad conmutativa, son habitualmente denominados como grupos abelianos en honor al matem\xc3\xa1tico dan\xc3\xa9s Niels Abel que en su important\xc3\xadsima aportaci\xc3\xb3n, demostr\xc3\xb3 la irresoluci\xc3\xb3n de la qu\xc3\xadntica mediante radicales en 1846 a partir de Ruffini en lo que se denomina teorema de Abel-Ruffini y debido al uso reiterado de grupos conmutativos en sus investigaciones. Posteriormente \xc3\x89variste Galois prob\xc3\xb3 con sus nuevas teor\xc3\xadas que la irresoluci\xc3\xb3n del grupo S\xe2\x82\x85 implicar\xc3\xada la demostraci\xc3\xb3n fehaciente de lo que Abel descubri\xc3\xb3 sobre la irresolubilidad de la ecuaci\xc3\xb3n de quinto grado mediante el uso de radicales._NEWLINE_Debido a que los primeros grupos estudiados en la historia, fueron los multiplicativos, su nomenclatura y notaci\xc3\xb3n , muy extendidas , se lleg\xc3\xb3 a utilizar en la generalizaci\xc3\xb3n de las definiciones axiom\xc3\xa1ticas y abstractas en teor\xc3\xada de grupos; aunque es necesariamente recomendable, utilizar la notaci\xc3\xb3n y nomenclatura propias del \xc3\xa1lgebra abstracta._NEWLINE_La moderna teor\xc3\xada de grupos (una disciplina matem\xc3\xa1tica muy activa) estudia los grupos en s\xc3\xad.\xe2\x80\x8b Con el fin de explorar los grupos, los matem\xc3\xa1ticos han ideado diversas nociones con tal de dividir grupos en subsistemas m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1os, m\xc3\xa1s comprensibles, como subgrupos, grupos cociente y grupos simples. Adem\xc3\xa1s de sus propiedades abstractas, los te\xc3\xb3ricos de los grupos tambi\xc3\xa9n estudian las maneras en que un grupo se puede expresar en forma concreta (sus representaciones de grupo), tanto desde un punto de vista te\xc3\xb3rico como de un punto de vista computacional. Una teor\xc3\xada especialmente rica fue desarrollada para grupos finitos y culmin\xc3\xb3 con la clasificaci\xc3\xb3n de los grupos simples finitos completada en 1983.\xe2\x80\x8b Asimismo, desde mediados de 1980, la teor\xc3\xada de grupos geom\xc3\xa9tricos, que estudia los grupos de generaci\xc3\xb3n finita como objetos geom\xc3\xa9tricos, se ha convertido en un \xc3\xa1rea particularmente activa en la amplia teor\xc3\xada de grupos._NEWLINE_La importancia crucial de la teor\xc3\xada de grupos tanto en f\xc3\xadsica como en matem\xc3\xa1tica radica en que los isomorfismos de cualquier estructura, de cualquier teor\xc3\xada, forman siempre un grupo y que, en los casos m\xc3\xa1s importantes, los grupos est\xc3\xa1n clasificados: se conocen listas que agotan todos los que hay. La clasificaci\xc3\xb3n de los grupos de Lie, llevada a cabo esencialmente por \xc3\x89lie Cartan, es un punto culminante de la matem\xc3\xa1tica europea, solo comparable a la construcci\xc3\xb3n de los 5 poliedros regulares realizada por la matem\xc3\xa1tica griega. Al igual que esta \xc3\xbaltima es la determinaci\xc3\xb3n de todas las figuras geom\xc3\xa9tricas sim\xc3\xa9tricas posibles, la clasificaci\xc3\xb3n de grupos es la determinaci\xc3\xb3n de todas las posibles simetr\xc3\xadas de cualquier estructura. As\xc3\xad, podemos conocer a priori los grupos de automorfismos de cualquier teor\xc3\xada geom\xc3\xa9trica. Adem\xc3\xa1s, de acuerdo con el Programa de Erlangen de Felix Klein, este grupo de automorfismos reconstruye la correspondiente teor\xc3\xada geom\xc3\xa9trica._NEWLINE_Algo parecido sucede en f\xc3\xadsica, donde se ha descubierto que el grupo de simetr\xc3\xadas del lagrangiano de un sistema determina propiedades fundamentales asociadas a las part\xc3\xadculas elementales de dicho sistema. La clasificaci\xc3\xb3n de grupos de Lie proporciona la lista de los posibles grupos existentes de simetr\xc3\xadas infinitesimales, v\xc3\xa1lidos para eventuales y futuros modelos cient\xc3\xadficos.\n_START_SECTION_\n1. Clausura\n_START_PARAGRAPH_\nTambi\xc3\xa9n conocido como cerradura, qued\xc3\xb3 establecida en la anterior definici\xc3\xb3n; Cuando en (G, ) el resultado de operar sus elementos entre s\xc3\xad es otro elemento del mismo conjunto por lo que, la operaci\xc3\xb3n se mantiene cerrada para dicho conjunto._NEWLINE_Al establecer que un conjunto (M, ) posee un operador interno, estamos definiendo en dicho conjunto M, una estructura algebraica de magma.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\n2. Asociatividad\n_START_PARAGRAPH_\nSean a, b y c elementos de (G, ), se verifica que: ._NEWLINE_Al establecer que un conjunto (S, ) cumple con la ley asociativa queda definida una estructura algebraica de semigrupo.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\n4. Existencia de elemento sim\xc3\xa9trico\n_START_PARAGRAPH_\nEsta es la caracter\xc3\xadstica esencial para determinar si un conjunto G es un grupo, necesariamente, (G, ) debe de ser un monoide, cumpliendo las anteriores propiedades expuestas y adem\xc3\xa1s, verificar la existencia del elemento sim\xc3\xa9trico para cada uno de los elementos del monoide, es decir:_NEWLINE_Para todo a de G, existe un elemento y solo uno, que denotamos como \xc4\x81 tal que:_NEWLINE_; siendo e el elemento neutro de G y \xc4\x81 el elemento sim\xc3\xa9trico de a; _NEWLINE_En grupos no conmutativos, el orden en el que se hace la operaci\xc3\xb3n de grupo es esencial porque el resultado de operar el elemento a con el elemento \xc4\x81 puede ser distinto al obtenido operando \xc4\x81 con a y entonces verifica la propiedad de manera parcial, puede ser sim\xc3\xa9trico por la izquierda o sim\xc3\xa9trico por la derecha._NEWLINE_As\xc3\xad es posible verificar lateralmente la existencia de elemento sim\xc3\xa9trico si:_NEWLINE_En grupos no conmutativos sim\xc3\xa9tricos por la derecha, se verifica _NEWLINE_En grupos no conmutativos sim\xc3\xa9tricos por la izquierda, se verifica _NEWLINE_La existencia de un elemento sim\xc3\xa9trico bil\xc3\xa1tero, debe de cumplir el requisito de ser un mismo elemento operado por ambos lados, en consecuencia, queda establecida una relaci\xc3\xb3n biun\xc3\xadvoca entre un elemento dado a y su sim\xc3\xa9trico \xc4\x81.\n_START_SECTION_\nTeorema sobre la unicidad del elemento sim\xc3\xa9trico\n_START_PARAGRAPH_\nEn un grupo, cada uno de los elementos tiene un (y solo un) elemento sim\xc3\xa9trico._NEWLINE_Demostraci\xc3\xb3n: Dejamos competir dos elementos sim\xc3\xa9tricos respecto a un elemento    en G. _NEWLINE_ ; sean los candidatos a sim\xc3\xa9trico de ._NEWLINE_Operamos por la izquierda: _NEWLINE_._NEWLINE_. _NEWLINE__NEWLINE_Y ahora, por la derecha: _NEWLINE_._NEWLINE_._NEWLINE_Deduci\xc3\xa9ndose que: _NEWLINE_En consecuencia y aplicando el teorema cancelativo:_NEWLINE__NEWLINE_Por la izquierda: _NEWLINE__NEWLINE_Y por la derecha: _NEWLINE_Luego solo existe un elemento sim\xc3\xa9trico para .\n_START_SECTION_\n5. Propiedad conmutativa\n_START_PARAGRAPH_\nSean a y b elementos de (G, ) cuando es posible operar en cualquier orden de manera indistinta:_NEWLINE_a con b  o  b con a, para obtener un mismo resultado; se est\xc3\xa1 cumpliendo la conmutatividad en el grupo:_NEWLINE_._NEWLINE_Los grupos que son conmutativos, se denominan grupos abelianos y su notaci\xc3\xb3n es Ab_NEWLINE_En grupos abelianos multiplicativos, la propiedad conmutativa se expresa de esta manera:_NEWLINE_En los grupos no conmutativos multiplicativos, solamente es verificable una de sus partes, o bien:  o bien: , dependiendo de que, respectivamente, se trate de un grupo lateral por la derecha o por la izquierda._NEWLINE_En grupos abelianos aditivos, la propiedad conmutativa se expresa de esta manera:_NEWLINE_En los grupos no conmutativos aditivos, solamente es verificable una de sus partes, o bien:  o bien: , dependiendo de que, respectivamente, se trate de un grupo lateral por la derecha o por la izquierda._NEWLINE_Cuando un grupo verifica lateralmente su conmutatividad, no es un grupo abeliano, en todo caso es un grupo semiconmutativo por la derecha o por la izquierda.\n_START_SECTION_\nTeorema cancelativo\n_START_PARAGRAPH_\nCuando en un grupo , dados los elementos de ese grupo:  tomamos como referencia al elemento  para verificar el cumplimiento de la ley cancelativa por la izquierda (t\xc3\xb3mese  como el elemento que opera a la izquierda de los dem\xc3\xa1s), de tal manera que:_NEWLINE__NEWLINE_Si el grupo verifica el cumplimiento de la ley por la derecha: _NEWLINE__NEWLINE_verifica la bilateralidad de la ley, haci\xc3\xa9ndola v\xc3\xa1lida para grupos abelianos.\n_START_SECTION_\nTeorema sobre la existencia de una soluci\xc3\xb3n \xc3\xbanica en una ecuaci\xc3\xb3n lineal en (\n  \n    \n      \n        G\n        ,\n        \xe2\x8a\x9b\n      \n    \n    {\\displaystyle G,\\circledast }\n  \n)\n_START_PARAGRAPH_\nCuando en un grupo  se dan elementos conocidos:  y  y un elemento desconocido  relacionados entre s\xc3\xad mediante la ecuaci\xc3\xb3n, por la izquierda fijado en : _NEWLINE_   _NEWLINE_ Se verifica que x tiene en  un valor concreto y \xc3\xbanico:._NEWLINE_De id\xc3\xa9ntica manera, puede tratarse el caso de una ecuaci\xc3\xb3n fijado en  por la derecha, de tal manera que: _NEWLINE_   _NEWLINE_ Verific\xc3\xa1ndose que y tiene en  un valor concreto y \xc3\xbanico:._NEWLINE__NEWLINE_En grupos abelianos al verificarse la bilateralidad de este teorema: _NEWLINE_ es equivalente a  _NEWLINE_En consecuencia, mediante la utilizaci\xc3\xb3n del teorema cancelativo, la soluci\xc3\xb3n es \xc3\xbanica:_NEWLINE_.\n_START_SECTION_\nEl grupo (\xe2\x84\xa4/n\xe2\x84\xa4*,\n  \n    \n      \n        \xe2\x8a\x9b\n      \n    \n    {\\displaystyle \\circledast }\n  \n)\n_START_PARAGRAPH_\nUn grupo puede tener infinitos elementos, como por ejemplo, el grupo abeliano (\xe2\x84\xa4, +) o el grupo abeliano multiplicativo de \xe2\x84\x9d - {0}\xc2\xa0:  (\xe2\x84\x9d*,\xc2\xb7) o por el contrario tener un n\xc3\xbamero finito de elementos._NEWLINE_Dado un n\xc3\xbamero natural n, los restos que se obtienen al dividir por n (es decir, los n\xc3\xbameros 0, 1, ..., n - 1) forman un grupo, este grupo se denota con \xe2\x84\xa4/n\xe2\x84\xa4* y se denomina grupo de enteros m\xc3\xb3dulo n. _NEWLINE_As\xc3\xad, el grupo \xe2\x84\xa4/(12)\xe2\x84\xa4* es el que usamos para calcular con las horas del reloj anal\xc3\xb3gico, y \xe2\x84\xa4/(24)\xe2\x84\xa4* para calcular las horas en el reloj digital que no distinga entre ma\xc3\xb1ana o tarde, los que lo distinguen anteponen A.M. o P.M. respectivamente._NEWLINE_En el grupo \xe2\x84\xa4/(12)\xe2\x84\xa4* si tomamos alg\xc3\xban n\xc3\xbamero que tenga alg\xc3\xban factor com\xc3\xban con 12, por ejemplo el 10, este no puede ser multiplicado por otro n\xc3\xbamero de forma que el resto de la divisi\xc3\xb3n entre 12 sea 1, por lo que 10 no tendr\xc3\xada inverso, es por lo que es necesario comprender que el resultado de dividir 12 entre 10 arroja el resto 2 y no otro, de esa forma, es posible considerar \xe2\x84\xa4/(12)\xe2\x84\xa4* como un grupo y adem\xc3\xa1s, el elemento del grupo (el resto 2) posee un inverso. _NEWLINE_As\xc3\xad, solo son elementos del grupo \xe2\x84\xa4/(12)\xe2\x84\xa4* aquellos n\xc3\xbameros coprimos con 12, \xe2\x84\xa4/(12)\xe2\x84\xa4* = {1, 5, 7, 11}._NEWLINE_El grupo multiplicativo \xe2\x84\xa4/(5)\xe2\x84\xa4* tiene que tener como m\xc3\xadnimo al menos, 4 elementos para permitir la existencia de elemento inverso, siendo los coprimos de 5, los menores hasta el 1. \xe2\x84\xa4/(5)\xe2\x84\xa4* = {1, 2, 3, 4} que es el n\xc3\xbamero m\xc3\xadnimo de elementos que tiene que tener el grupo \xe2\x84\xa4/n\xe2\x84\xa4* para permitir la existencia de elementos inversos._NEWLINE_En el caso de que n sea primo, como por ejemplo \xe2\x84\xa4/(7)\xe2\x84\xa4* ser\xc3\xadan coprimos todos los menores a 7: {1, 2, 3, 4, 5, 6} es por lo que este grupo tendr\xc3\xa1 un cardinal n - 1; Card [\xe2\x84\xa4/(7)\xe2\x84\xa4*] = 7 - 1 = 6.'