b'\n_START_ARTICLE_\nConexi\xc3\xb3n de Galois\n_START_PARAGRAPH_\nEn matem\xc3\xa1tica, especialmente en la teor\xc3\xada del orden, una conexi\xc3\xb3n de Galois es una correspondencia particular entre dos conjuntos parcialmente ordenados (abreviado "poset" en ingl\xc3\xa9s). Las conexiones de Galois generalizan la correspondencia entre subgrupos y subcuerpos investigada en la teor\xc3\xada de Galois. Tienen aplicaci\xc3\xb3n en varias teor\xc3\xadas matem\xc3\xa1ticas._NEWLINE_Una conexi\xc3\xb3n de Galois es bastante m\xc3\xa1s d\xc3\xa9bil que un isomorfismo entre los posets implicados, pero cada conexi\xc3\xb3n de Galois da lugar a un isomorfismo de ciertos sub-posets, como explicaremos m\xc3\xa1s adelante._NEWLINE_Al igual que la teor\xc3\xada de Galois, las conexiones deben su nombre al matem\xc3\xa1tico franc\xc3\xa9s \xc3\x89variste Galois.\n_START_SECTION_\nOperadores de clausura y conexiones de Galois\n_START_PARAGRAPH_\nLo expuesto anteriormente se puede resumir como sigue: para una conexi\xc3\xb3n de Galois, la composici\xc3\xb3n f \xe2\x88\x97f \xe2\x88\x97 es mon\xc3\xb3tona (siendo la composici\xc3\xb3n de funciones mon\xc3\xb3tonas), inflacionaria e idempotente. Esto establece que f \xe2\x88\x97f \xe2\x88\x97 es de hecho un operador de clausura sobre A. Dualmente, f \xe2\x88\x97f \xe2\x88\x97 es mon\xc3\xb3tona, deflacionaria e idempotente. Tales funciones se llaman a veces operadores de n\xc3\xbacleo._NEWLINE_A la inversa, cualquier operador de clausura c sobre un poset A da origen a la conexi\xc3\xb3n de Galois con adjunto inferior f \xe2\x88\x97 que no es m\xc3\xa1s que la correstricci\xc3\xb3n de c a la imagen de c (es decir, una funci\xc3\xb3n sobreyectiva del sistema de clausura c(A)). Entonces el adjunto superior f \xe2\x88\x97 lo da la inclusi\xc3\xb3n de c(A) en A, que hace corresponder cada elemento cerrado sobre s\xc3\xad mismo, considerado como un elemento de A. De esta manera, se ven estrechamente relacionados los operadores de clausura y las conexiones de Galois, especificando cada uno una instancia del otro. Se llega a conclusiones similares para los operadores de n\xc3\xbacleo._NEWLINE_Las consideraciones anteriores muestran tambi\xc3\xa9n que los elementos cerrados de A (elementos x con f \xe2\x88\x97(f \xe2\x88\x97(x)) = x) se corresponden con elementos dentro del rango del operador de n\xc3\xbacleo f \xe2\x88\x97  f \xe2\x88\x97, y viceversa.\n_START_SECTION_\nExistencia y unicidad de las conexiones de Galois\n_START_PARAGRAPH_\nOtra propiedad importante de las conexiones de Galois es que los adjuntos inferiores conservan todos los supremos que existen dentro de su dominio. Dualmente, los adjuntos superiores conservan todos los \xc3\xadnfimos. De estas propiedades uno puede concluir inmediatamente tambi\xc3\xa9n la monotonicidad de los adjuntos. El teorema del funtor adjunto de la teor\xc3\xada de orden establece que la implicaci\xc3\xb3n inversa es v\xc3\xa1lida tambi\xc3\xa9n en ciertos casos: especialmente, cualquier funci\xc3\xb3n entre ret\xc3\xadculos completos que conserve todos los supremos es el adjunto inferior de una conexi\xc3\xb3n de Galois._NEWLINE_En esta situaci\xc3\xb3n, una caracter\xc3\xadstica importante de las conexiones de Galois es que un adjunto determina un\xc3\xadvocamente al otro. Por tanto podemos endurecer la afirmaci\xc3\xb3n anterior para garantizar que cualquier funci\xc3\xb3n que conserve el supremo entre ret\xc3\xadculos completos es el adjunto inferior de una conexi\xc3\xb3n de Galois \xc3\xbanica. La propiedad principal para derivar esta unicidad es la siguiente: para cada x de A, f \xe2\x88\x97(x) es el menor elemento y de B tal que x \xe2\x89\xa4 f \xe2\x88\x97(y). Dualmente, para cada y de B, f \xe2\x88\x97(y) es el mayor x de A tal que f \xe2\x88\x97(x) \xe2\x89\xa4 y. La existencia de una cierta conexi\xc3\xb3n de Galois implica ahora la existencia de los respectivos elementos supremo e \xc3\xadnfimo, independientemente de si los posets correspondientes satisfacen alguna propiedad de completitud. Por tanto, cuando se da un adjunto de una conexi\xc3\xb3n de Galois, podemos definir el otro mediante esta propiedad. Por otro lado, una funci\xc3\xb3n f es un adjunto inferior si y solo si cada conjunto de la forma { x de A | f(x) \xe2\x89\xa4 b }, b de B, contiene un elemento supremo. De nuevo, esto se puede dualizar para el adjunto superior.\n_START_SECTION_\nConexiones de Galois como morfismos\n_START_PARAGRAPH_\nLas conexiones de Galois proporcionan tambi\xc3\xa9n una clase interesante de funciones entre posets que pueden usarse para obtener categor\xc3\xadas de posets. En particular, es posible componer conexiones de Galois: dadas las conexiones de Galois (f \xe2\x88\x97, f \xe2\x88\x97) entre los posets A y B y (g \xe2\x88\x97, g \xe2\x88\x97) entre B y C, la composici\xc3\xb3n (g \xe2\x88\x97f \xe2\x88\x97, f \xe2\x88\x97g \xe2\x88\x97) tambi\xc3\xa9n es una conexi\xc3\xb3n de Galois. Cuando consideramos categor\xc3\xadas de ret\xc3\xadculos completos, esto se puede simplificar para considerar solo funciones que conserven todos los supremos (o \xc3\xadnfimos). Haciendo corresponder ret\xc3\xadculos completos a sus duales, estas categor\xc3\xadas muestran auto dualidad, que son bastante fundamentales para obtener otros teoremas de dualidad. Un tipo m\xc3\xa1s especial de morfismos que inducen funciones adjuntas en la otra direcci\xc3\xb3n son los morfismos considerados normalmente para marcos (o locales).\n_START_SECTION_\nConexi\xc3\xb3n con la teor\xc3\xada de categor\xc3\xadas\n_START_PARAGRAPH_\nCada conjunto parcialmente ordenador puede verse como una categor\xc3\xada de forma natural: hay un morfismo \xc3\xbanico de x a y si y solo si x \xe2\x89\xa4 y. Entonces una conexi\xc3\xb3n de Galois no es sino un par de funtores adjuntos entre dos categor\xc3\xadas que surgen de conjuntos parcialmente ordenados. En este contexto, el adjunto superior es el adjunto derecho mientras que el adjunto inferior es el adjunto izquierdo. Sin embargo, se evita esta terminolog\xc3\xada para conexiones de Galois, ya que hubo un tiempo en que los posets se transformaban en categor\xc3\xadas de manera dual, es decir, con flechas apuntando en la direcci\xc3\xb3n opuesta. Esto llev\xc3\xb3 a una notaci\xc3\xb3n complementaria concerniente a adjuntos izquierdos y derechos, que actualmente es ambigua.\n_START_SECTION_\nAplicaciones en la teor\xc3\xada de la programaci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nLas conexiones de Galois se pueden usar para describir muchas formas de abstracci\xc3\xb3n en la teor\xc3\xada de interpretaci\xc3\xb3n abstracta de lenguajes de programaci\xc3\xb3n.'