b'\n_START_ARTICLE_\nCircunferencia de Apolonio\n_START_PARAGRAPH_\nLa circunferencia de Apolonio, se trata de un famoso problema de lugares geom\xc3\xa9tricos:_NEWLINE_Dados dos puntos A y B, se trata de determinar el lugar geom\xc3\xa9trico de los puntos del plano P que cumplen: PA/PB = r, siendo r una constante._NEWLINE_En el caso r = 1 es f\xc3\xa1cil comprobar que el lugar geom\xc3\xa9trico descrito por el punto P es la recta mediatriz del segmento determinado por A y B._NEWLINE_En el caso general (r distinto de 1) el lugar geom\xc3\xa9trico es una circunferencia de radio "k" cuyo centro est\xc3\xa1 sobre el segmento AB. Esta circunferencia se conoce con el nombre de circunferencia de Apolonio de los puntos A y B para la raz\xc3\xb3n r. _NEWLINE_Adem\xc3\xa1s, se cumple que , siendo r el radio de la circunferencia de Apolonio de centro O; lo que significa que los puntos A y B son inversos respecto de la circunferencia de Apolonio. Por ello los puntos A, B y los dos puntos M y N que se obtienen como intersecci\xc3\xb3n de la circunferencia de Apolonio con la recta determinada por A y B constituyen una cuaterna arm\xc3\xb3nica.\n_START_SECTION_\nDemostraci\xc3\xb3n 1\n_START_PARAGRAPH_\na) Consideremos un punto P, no alineado con A y B, que cumpla la propiedad. Si consideramos el tri\xc3\xa1ngulo APB, sabemos por el teorema de las bisectrices que si M y N son los puntos en los que las bisectrices, interna y externa, del \xc3\xa1ngulo P cortan a la recta AB, se cumple que r = AP/PB = AM/MB = AN/BN. Resulta as\xc3\xad que para cualquier punto P los puntos M y N son fijos y, adem\xc3\xa1s, por ser MP y PN bisectrices, el \xc3\xa1ngulo <MPN es recto. Por ello P est\xc3\xa1 sobre la circunferencia de di\xc3\xa1metro MN._NEWLINE_b) Veamos que todo punto P perteneciente a la circunferencia de di\xc3\xa1metro MN, donde AM/MB = AN/BN = r, cumple: AP/PB = r. La recta sim\xc3\xa9trica de PA respecto a PM corta a la recta AB en B\', siendo PM y PN las bisectrices de <APB\' (PM por la construcci\xc3\xb3n realizada, y PN por ser perpendicular a PM). Por el teorema de la bisectriz sabemos que AP/PB\' = AM/MB\' = AN/B\'N. De la \xc3\xbaltima igualdad, teniendo en cuenta que AM/MB = AN/BN = r, se deduce que B\' = B. De aqu\xc3\xad resulta que AP/PB = r\n_START_SECTION_\nDemostraci\xc3\xb3n 2\n_START_PARAGRAPH_\nLa demostraci\xc3\xb3n consta de dos partes: a) si P cumple la propiedad est\xc3\xa1 sobre la circunferencia mencionada, b) si P es un punto de dicha circunferencia cumple la propiedad PA/PB = r._NEWLINE_a) Considermos un punto P que cumpla la propiedad del lugar geom\xc3\xa9trico y que no est\xc3\xa9 alineado con A y B (PA/PB = r). Dibujamos la circunferencia que contiene a A, B y P. Por P trazamos la recta tangente a dicha circunferencia obteniendo el punto O como intersecci\xc3\xb3n de la tangente con la recta determinada por A y B. Podemos observar que el \xc3\xa1ngulo <PAB, inscrito en la circunferencia, y el \xc3\xa1ngulo semiinscrito <BPO son iguales (abarcan el mismo arco de circunferencia). De aqu\xc3\xad deducimos que los tri\xc3\xa1ngulos APO y BPO son semejantes ya que tienen un \xc3\xa1ngulo com\xc3\xban (<O), los \xc3\xa1ngulos <PAB y <BPO coinciden y tienen un lado com\xc3\xban: PO. Por ello\xc2\xa0:_NEWLINE_OA/OP = OP/OB = AP/PB = r. Multiplicando los dos primeros miembros de las igualdades anteriores obtenemos: (OA/OP)(OP/OB) = r2, es decir: OA/OB = r2. Como O es exterior al segmento AB resulta que O es un punto fijo de la recta AB, independiente de P. Tambi\xc3\xa9n tenemos que OA \xc2\xb7 OB es constante. Si designamos OA \xc2\xb7 OB por k2 (OA \xc2\xb7 OB = k2), tenemos: OP2= k2, por lo que P est\xc3\xa1 sobre la circunferencia de centro O y radio k._NEWLINE_(Observaci\xc3\xb3n: el caso de P alineado con A y B tiene dos posibilidades que se estudian directamente respecto al punto O obtenido, y se comprueba que tambi\xc3\xa9n est\xc3\xa1n sobre la circunferencia de Apolonio)_NEWLINE_b) Supongamos ahora que un punto P se encuentra situado sobre la circunferencia de centro O y cumple OP2 = OA \xc2\xb7 OB. De aqu\xc3\xad obtenemos OP/OB = OA/OP. De la proporcionalidad anterior y de la igualdad del \xc3\xa1ngulo en O deducimos que los tri\xc3\xa1ngulos OAP y OBP son semejantes. Por ello: OP/OB = OA/OP = PA/PB = r. Veamos que r es un valor constante que no depende del punto P de la circunferencia. Multiplicando los primeros miembros de las igualdades resulta (OP/OB)(OA/OP) = r2, OA/OB = r2. Como O, A y B son fijos tambi\xc3\xa9n lo es r2 y por tanto tambi\xc3\xa9n "r".'