b'\n_START_ARTICLE_\nCartas sobre SO(3)\n_START_PARAGRAPH_\nEn matem\xc3\xa1ticas, el grupo ortogonal en tres dimensiones, tambi\xc3\xa9n conocido como grupo de rotaci\xc3\xb3n SO(3), es un ejemplo natural de un variedad. Las diversas cartas sobre SO(3) configuran sistemas de coordenadas rivales: en este caso, no se puede decir que exista un conjunto preferido de par\xc3\xa1metros que describan cualquier rotaci\xc3\xb3n. El sistema dispone de tres grados de libertad, por lo que la dimensi\xc3\xb3n de SO(3) es tres. En numerosas aplicaciones se usa uno u otro sistema de coordenadas, y surge la pregunta de c\xc3\xb3mo convertir las coordenadas de un sistema dado en las de otro.\n_START_SECTION_\nEl espacio de rotaciones\n_START_PARAGRAPH_\nEn geometr\xc3\xada, el grupo de rotaci\xc3\xb3n es el grupo de todos los movimiento de rotaci\xc3\xb3n sobre el origen del espacio eucl\xc3\xaddeo tridimensional R\xc2\xb3 bajo la operaci\xc3\xb3n de composici\xc3\xb3n.\xe2\x80\x8b Por definici\xc3\xb3n, una rotaci\xc3\xb3n sobre el origen es una aplicaci\xc3\xb3n lineal que conserva la longitud de los vectores (es una isometr\xc3\xada) y conserva la orientaci\xc3\xb3n (es decir, la quiralidad) del espacio. Una transformaci\xc3\xb3n que preserva la longitud pero que invierte la orientaci\xc3\xb3n se denomina rotaci\xc3\xb3n impropia. Toda rotaci\xc3\xb3n impropia del espacio eucl\xc3\xaddeo tridimensional es una rotaci\xc3\xb3n seguida por una reflexi\xc3\xb3n respecto a un plano que pasa a trav\xc3\xa9s del origen._NEWLINE_La composici\xc3\xb3n de dos rotaciones da como resultado otra rotaci\xc3\xb3n; cada rotaci\xc3\xb3n tiene una rotaci\xc3\xb3n inversa \xc3\xbanica; y la funci\xc3\xb3n identidad satisface la definici\xc3\xb3n de una rotaci\xc3\xb3n. Debido a las propiedades anteriores, el conjunto de todas las rotaciones es un grupo bajo la funci\xc3\xb3n de composici\xc3\xb3n de isometr\xc3\xadas. Adem\xc3\xa1s, el grupo de rotaci\xc3\xb3n tiene una estructura de variedad natural para la que las operaciones del grupo son suaves; as\xc3\xad que de hecho es un Grupo de Lie. El grupo de rotaci\xc3\xb3n a menudo se denota SO(3) por las razones explicadas m\xc3\xa1s adelante._NEWLINE_El espacio de rotaciones es isomorfo con el conjunto de operadores de rotaci\xc3\xb3n y el conjunto de matrices ortonormales con determinante +1. Tambi\xc3\xa9n es isomorfo con el conjunto de cuaterniones con su producto interno, y tambi\xc3\xa9n es equivalente al conjunto de vectores de rotaci\xc3\xb3n, con una operaci\xc3\xb3n de composici\xc3\xb3n interna diferente dada por el producto de sus matrices equivalentes._NEWLINE_La notaci\xc3\xb3n de los vectores de rotaci\xc3\xb3n surge del teorema de rotaci\xc3\xb3n de Euler que indica que cualquier rotaci\xc3\xb3n en tres dimensiones se puede describir mediante una rotaci\xc3\xb3n de alg\xc3\xban \xc3\xa1ngulo alrededor de alg\xc3\xban eje. Teniendo en cuenta esto, se puede especificar el eje de una de estas rotaciones en dos \xc3\xa1ngulos, y se puede usar el radio del vector para especificar el \xc3\xa1ngulo de rotaci\xc3\xb3n. Estos vectores representan un bola en 3D con una topolog\xc3\xada inusual._NEWLINE_Esta esfera s\xc3\xb3lida 3D es equivalente a la superficie de una esfera 4D, que tambi\xc3\xa9n es una variedad 3D. Para hacer esta equivalencia, se tiene que definir c\xc3\xb3mo se va a representar una rotaci\xc3\xb3n con esta superficie 4D incrustada.\n_START_SECTION_\nVisualizaci\xc3\xb3n de la hiperesfera\n_START_PARAGRAPH_\nEs interesante considerar el espacio como una esfera tridimensional S\xc2\xb3, el l\xc3\xadmite de un disco en el espacio euclidiano en 4 dimensiones. Para hacer esto, se tiene que definir c\xc3\xb3mo se representa una rotaci\xc3\xb3n con esta superficie 4D embebida._NEWLINE_La forma en que se puede usar el radio para especificar el \xc3\xa1ngulo de rotaci\xc3\xb3n no es directa. Puede relacionarse con c\xc3\xadrculos de latitud en una esfera con un polo norte definido, y se explica a continuaci\xc3\xb3n._NEWLINE_Comenzando en el polo norte de una esfera en el espacio tridimensional, se especifica el punto en el polo norte para representar la rotaci\xc3\xb3n identidad. En el caso de la rotaci\xc3\xb3n identidad, no se define ning\xc3\xban eje de rotaci\xc3\xb3n, y el \xc3\xa1ngulo de rotaci\xc3\xb3n (cero) es irrelevante. Una rotaci\xc3\xb3n con su eje contenido en el plano xy y un \xc3\xa1ngulo de rotaci\xc3\xb3n muy peque\xc3\xb1o se puede especificar mediante un corte a trav\xc3\xa9s de la esfera paralela al plano xy y muy cerca del polo norte. El c\xc3\xadrculo definido por este corte ser\xc3\xa1 muy peque\xc3\xb1o, correspondiente al peque\xc3\xb1o \xc3\xa1ngulo de rotaci\xc3\xb3n. A medida que los \xc3\xa1ngulos de rotaci\xc3\xb3n se hacen m\xc3\xa1s grandes, la rodaja se mueve hacia el sur y los c\xc3\xadrculos se hacen m\xc3\xa1s grandes, hasta que se alcanza el ecuador de la esfera, que se corresponder\xc3\xa1 con un \xc3\xa1ngulo de rotaci\xc3\xb3n de 180 grados. Continuando hacia el sur, los radios de los c\xc3\xadrculos ahora se vuelven m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1os (correspondientes al valor absoluto del \xc3\xa1ngulo de rotaci\xc3\xb3n considerado como un n\xc3\xbamero negativo). Finalmente, a medida que se alcanza el polo sur, los c\xc3\xadrculos se contraen una vez m\xc3\xa1s a la rotaci\xc3\xb3n identidad, que tambi\xc3\xa9n se especifica como el punto en el polo sur. Obs\xc3\xa9rvese que en esta visualizaci\xc3\xb3n se pueden ver una serie de caracter\xc3\xadsticas de dichas rotaciones y sus representaciones._NEWLINE_El espacio de rotaciones es continuo, cada rotaci\xc3\xb3n tiene una vecindad de rotaciones que son casi iguales, y esta vecindad se vuelve plana a medida que la vecindad se reduce.\n_START_SECTION_\nOtras denominaciones\xe2\x80\x8b\n_START_PARAGRAPH_\nAdem\xc3\xa1s, cada rotaci\xc3\xb3n est\xc3\xa1 representada por dos puntos ant\xc3\xadpodas en la esfera, que est\xc3\xa1n en los extremos opuestos de una l\xc3\xadnea que pasa por el centro de la propia esfera. Esto refleja el hecho de que cada rotaci\xc3\xb3n se puede representar como una rotaci\xc3\xb3n sobre alg\xc3\xban eje, o, de manera equivalente, como una rotaci\xc3\xb3n negativa sobre un eje que apunta en la direcci\xc3\xb3n opuesta (circunstancia denominada doble recubrimiento). La "latitud" de un c\xc3\xadrculo que representa un \xc3\xa1ngulo de rotaci\xc3\xb3n particular ser\xc3\xa1 la mitad del \xc3\xa1ngulo representado por esa rotaci\xc3\xb3n, ya que a medida que el punto se mueve desde el polo norte al sur, la latitud var\xc3\xada de cero a 180 grados, mientras que para el \xc3\xa1ngulo de rotaci\xc3\xb3n el rango var\xc3\xada de 0 a 360 grados (la "longitud" de un punto representa un eje de rotaci\xc3\xb3n en particular). Sin embargo, se debe tener en cuenta que este conjunto de rotaciones no est\xc3\xa1 cerrado por la operaci\xc3\xb3n de composici\xc3\xb3n._NEWLINE_Dos rotaciones sucesivas con ejes en el plano xy no dar\xc3\xa1n necesariamente una rotaci\xc3\xb3n cuyo eje se encuentre en el plano xy, por lo que no se pueden representar como un punto en la esfera. Este no ser\xc3\xa1 el caso con una rotaci\xc3\xb3n general en el espacio de tres dimensiones, que forma un conjunto cerrado bajo la composici\xc3\xb3n._NEWLINE_Esta visualizaci\xc3\xb3n se puede extender a una rotaci\xc3\xb3n general en el espacio tridimensional. La rotaci\xc3\xb3n identidad es un punto, y un peque\xc3\xb1o \xc3\xa1ngulo de rotaci\xc3\xb3n alrededor de alg\xc3\xban eje se puede representar como un punto en una esfera con un radio peque\xc3\xb1o. A medida que el \xc3\xa1ngulo de rotaci\xc3\xb3n crece, la esfera crece, hasta que el \xc3\xa1ngulo de rotaci\xc3\xb3n alcanza los 180 grados, en cuyo punto la esfera comienza a contraerse, convirti\xc3\xa9ndose en un punto a medida que el \xc3\xa1ngulo se aproxima a 360 grados (o cero grados desde la direcci\xc3\xb3n negativa). Este conjunto de esferas en expansi\xc3\xb3n y contracci\xc3\xb3n representa una hiperesfera en el espacio tridimensional (una esfera de dimensi\xc3\xb3n 3)._NEWLINE_Al igual que en el ejemplo m\xc3\xa1s simple de arriba, cada rotaci\xc3\xb3n representada como un punto en la hiperesfera se corresponde con su punto antipodal en esa hiperesfera. La "latitud" en la hiperesfera ser\xc3\xa1 la mitad del \xc3\xa1ngulo de rotaci\xc3\xb3n correspondiente, y la vecindad de cualquier punto se volver\xc3\xa1 "m\xc3\xa1s plana" (es decir, estar\xc3\xa1 representada por un espacio eucl\xc3\xaddeo de puntos en 3D) a medida que la vecindad se contraiga._NEWLINE_Este comportamiento se compara con el conjunto de cuaterniones unitarios: un cuaterni\xc3\xb3n general representa un punto en un espacio de cuatro dimensiones, pero al restringirlo para que tenga una magnitud unidad, se obtiene un espacio tridimensional equivalente a la superficie de una hiperesfera. La magnitud del cuaterni\xc3\xb3n unitario ser\xc3\xa1 la unidad, correspondiente a una hiperesfera de radio unitario._NEWLINE_La parte vectorial de un cuaterni\xc3\xb3n unitario representa el radio de la 2 esfera correspondiente al eje de rotaci\xc3\xb3n, y su magnitud es el seno de la mitad del \xc3\xa1ngulo de rotaci\xc3\xb3n. Cada rotaci\xc3\xb3n est\xc3\xa1 representada por dos cuaterniones unitarios de signo opuesto y, como en el espacio de rotaciones en tres dimensiones, el producto de dos cuaterniones unitarios produce un nuevo cuaterni\xc3\xb3n unitario. Adem\xc3\xa1s, el espacio de los cuaterniones unitarios es "plano" en cualquier vecindad infinitesimal de un cuaterni\xc3\xb3n unitario dado.\n_START_SECTION_\nProblemas de las parametrizaciones\n_START_PARAGRAPH_\nExisten problemas al usar estas representaciones m\xc3\xa1s all\xc3\xa1 de un \xc3\xa1mbito localizado, que tienen que ver con su naturaleza de valores m\xc3\xbaltiples y sus singularidades. Es decir, se debe tener cuidado sobre todo para trabajar solo con difeomorfismos en la definici\xc3\xb3n de una carta. Los problemas de este tipo son inevitables, ya que SO(3) es difeomorfo con respecto al espacio proyectivo real P\xc2\xb3 (R), que es un cociente de S\xc2\xb3 al identificar puntos antipodales, y las cartas intentan modelar una variedad usando R\xc2\xb3._NEWLINE_Esto explica por qu\xc3\xa9, por ejemplo, los \xc3\xa1ngulos de Euler parecen dar una variable en el 3-toro, y los cuaterniones unitarios una 3-esfera. La singularidad de la representaci\xc3\xb3n por los \xc3\xa1ngulos de Euler se descompone en algunos puntos (v\xc3\xa9ase bloqueo del card\xc3\xa1n), mientras que la representaci\xc3\xb3n del cuaterni\xc3\xb3n es siempre un doble recubrimiento, con q y -q dando la misma rotaci\xc3\xb3n._NEWLINE_Si se usa una matriz antisim\xc3\xa9trica, cada matriz antisim\xc3\xa9trica de 3\xc3\x973 est\xc3\xa1 determinada por 3 par\xc3\xa1metros, por lo que a primera vista, el espacio de par\xc3\xa1metros es R\xc2\xb3. Exponenciando como una matriz, se obtiene como resultado una matriz ortogonal de 3\xc3\x973 con determinante 1, en otras palabras, una matriz de rotaci\xc3\xb3n, pero esta es una aplicaci\xc3\xb3n de muchos elementos sobre uno solo. T\xc3\xa9ngase en cuenta que no es un recubrimiento; si bien es un homeomorfismo local cerca del origen, no es una aplicaci\xc3\xb3n de recubrimiento en las rotaciones de 180 grados. Es posible restringir estas matrices a una bola alrededor del origen en R\xc2\xb3 para que las rotaciones no excedan los 180 grados, y esto habilitar\xc3\xa1 una correspondencia uno a uno, excepto en las rotaciones de 180 grados, que corresponden hasta el l\xc3\xadmite S\xc2\xb2, y estos identifican puntos antipodales; esto es, el lugar geom\xc3\xa9trico de corte. La 3-bola con esta identificaci\xc3\xb3n del l\xc3\xadmite es P\xc2\xb3(R). Una situaci\xc3\xb3n similar es v\xc3\xa1lida para aplicar una transformada de Cayley a una matriz antisim\xc3\xa9trica._NEWLINE_El \xc3\xa1ngulo del eje proporciona par\xc3\xa1metros en S\xc2\xb2 \xc3\x97 S\xc2\xb9; si se reemplaza el vector unitario por el eje de rotaci\xc3\xb3n real, de modo que n y -n den la misma l\xc3\xadnea de eje, el conjunto de ejes se convierte en P\xc2\xb2(R), el plano real proyectivo. Pero como las rotaciones alrededor de n y -n est\xc3\xa1n parametrizadas por valores opuestos de \xce\xb8, el resultado es un paquete P\xc2\xb9 sobre S\xc2\xb2(R), que resulta ser P\xc2\xb3(R)._NEWLINE_Las transformaciones lineales fraccionarias utilizan cuatro par\xc3\xa1metros complejos, a, b, c y d, con la condici\xc3\xb3n de que ad-bc no sea cero. Como la multiplicaci\xc3\xb3n de los cuatro par\xc3\xa1metros por el mismo n\xc3\xbamero complejo no cambia el par\xc3\xa1metro, se puede insistir en que ad-bc = 1. Esto sugiere escribir (a, b, c, d)_NEWLINE_como una matriz compleja de 2 \xc3\x97 2 del determinante 1, es decir, como un elemento del grupo lineal especial SL(2, C). Pero no todas estas matrices producen rotaciones: tambi\xc3\xa9n se incluyen aplicaciones conformes en S\xc2\xb2. Para obtener solo rotaciones, hay que insistir en que d es el conjugado complejo de a, y c es el negativo del complejo conjugado de b. Luego se tienen dos n\xc3\xbameros complejos, a y b, sujetos a |a|\xc2\xb2 + |b|\xc2\xb2 = 1. Si se escribe a + bj entonces se trata de un cuaterni\xc3\xb3n unitario, de longitud 1._NEWLINE_En \xc3\xbaltima instancia, dado que R\xc2\xb3 no es P\xc2\xb3(R), habr\xc3\xa1 un problema con cada uno de estos enfoques. En algunos casos, se debe recordar que ciertos valores de par\xc3\xa1metros dan como resultado la misma rotaci\xc3\xb3n, y para eliminar este problema, se deben establecer l\xc3\xadmites, pero entonces una ruta a trav\xc3\xa9s de esta regi\xc3\xb3n en R\xc2\xb3 debe saltar repentinamente a una regi\xc3\xb3n diferente cuando cruza un l\xc3\xadmite. El bloqueo del card\xc3\xa1n es un problema cuando la derivada de la carta no es de rango completo, lo que ocurre con los \xc3\xa1ngulos de Euler y con los \xc3\xa1ngulos de Tait-Bryan, pero no para las otras opciones. La representaci\xc3\xb3n del cuaterni\xc3\xb3n no tiene ninguno de estos problemas (es una aplicaci\xc3\xb3n de dos a uno en todas partes), pero tiene 4 par\xc3\xa1metros con una condici\xc3\xb3n (longitud unidad), lo que a veces dificulta apreciar los tres grados de libertad disponibles.\n_START_SECTION_\nAplicaciones\n_START_PARAGRAPH_\nUn campo en el que estas consideraciones, de alguna forma, se vuelven inevitables, es la cinem\xc3\xa1tica de un cuerpo r\xc3\xadgido. Se puede tomar como definici\xc3\xb3n la idea de un curva en el grupo eucl\xc3\xaddeo E(3) del espacio eucl\xc3\xaddeo tridimensional, comenzando en la identidad (posici\xc3\xb3n inicial). El subgrupo de traslaci\xc3\xb3n T de E(3) es un subgrupo normal, con cociente SO(3) si se observa el subgrupo E\xe2\x81\xba(3) de isometrias directas solamente (lo cual es razonable en cinem\xc3\xa1tica). La parte de traslaci\xc3\xb3n se puede desacoplar de la parte de rotaci\xc3\xb3n en la cinem\xc3\xa1tica newtoniana est\xc3\xa1ndar considerando el movimiento del centro de masa y las rotaciones del cuerpo r\xc3\xadgido alrededor del centro de masa. Por lo tanto, cualquier movimiento r\xc3\xadgido del cuerpo conduce directamente a SO(3), cuando se factoriza la parte de traslaci\xc3\xb3n._NEWLINE_Estas identificaciones ilustran que SO(3) es conexo pero no un conjunto simplemente conexo. En cuanto a esta \xc3\xbaltima condici\xc3\xb3n, en la bola con los puntos de superficie ant\xc3\xadpodales identificados, consid\xc3\xa9rese el camino que va desde el polo norte directamente hacia el polo sur pasando por el centro. Este es un circuito cerrado, ya que el polo norte y el polo sur son equivalentes. Este bucle no puede reducirse a un punto, ya que no importa c\xc3\xb3mo se deforme el bucle, el punto de inicio y de final deben permanecer como ant\xc3\xadpodas o, de lo contrario, el bucle se abrir\xc3\xa1. En t\xc3\xa9rminos de rotaciones, este bucle representa una secuencia continua de rotaciones sobre el eje z, que comienza y termina en la rotaci\xc3\xb3n identidad (es decir, una serie de rotaciones a trav\xc3\xa9s de un \xc3\xa1ngulo \xcf\x86, donde \xcf\x86 abarca de 0 a 2\xcf\x80)._NEWLINE_Sorprendentemente, si se recorre el camino dos veces, es decir, desde el polo norte hacia el polo sur y de regreso al polo norte para que \xcf\x86 se extienda de 0 a 4\xcf\x80, se \xe2\x80\x8b\xe2\x80\x8bobtiene un bucle cerrado que se puede reducir a un solo punto: si primero se desplazan los caminos continuamente por la superficie de la bola, conectando dos veces el polo norte con el polo sur. La segunda mitad del camino se puede reflejar en el lado ant\xc3\xadpodal sin cambiar el camino en absoluto. Ahora se tiene un circuito cerrado ordinario en la superficie de la bola, que conecta el polo norte a s\xc3\xad mismo mediante una circunferencia m\xc3\xa1xima de la esfera. Este circunferencia puede reducirse al polo norte sin problemas. El truco del plato balin\xc3\xa9s y trucos similares lo demuestran en la pr\xc3\xa1ctica._NEWLINE_El mismo argumento se puede articular en general, y muestra que el grupo fundamental de SO(3) es el grupo c\xc3\xadclico de orden 2. En las aplicaciones f\xc3\xadsicas, la no trivialidad del grupo fundamental permite la existencia de objetos conocidos como espinores, una herramienta importante en el desarrollo del teorema de la estad\xc3\xadstica del esp\xc3\xadn._NEWLINE_El recubrimiento universal de SO(3) es un grupo de Lie llamado Espin(3). El grupo Espin (3) es isomorfo para el grupo unitario especial SU(2); tambi\xc3\xa9n es difeom\xc3\xb3rfico a la 3-esfera unitaria S\xc2\xb3 y puede entenderse como el grupo de cuaterniones unitarios (es decir, aquellos con valor absoluto 1). La conexi\xc3\xb3n entre cuaterniones y rotaciones, com\xc3\xbanmente explotada en computaci\xc3\xb3n gr\xc3\xa1fica, se explica en el art\xc3\xadculo dedicado a los cuaterniones y rotaci\xc3\xb3n en el espacio. La aplicaci\xc3\xb3n de S\xc2\xb3 sobre SO(3) que identifica los puntos antipodales de S\xc2\xb3 es una funci\xc3\xb3n sobreyectiva homeom\xc3\xb3rfica de grupos de Lie, con kernel {\xc2\xb11}. Topol\xc3\xb3gicamente, esta aplicaci\xc3\xb3n es un espacio recubridor de dos a uno.'