b'\n_START_ARTICLE_\nSemejanza (geometr\xc3\xada)\n_START_PARAGRAPH_\nEn matem\xc3\xa1ticas se dice que dos figuras geom\xc3\xa9tricas son semejantes si tienen la misma forma sin importar los tama\xc3\xb1os entre ellos. Por ejemplo, dos mapas con distintas escalas son semejantes, pues la forma del contenido no cambia, pero s\xc3\xad el tama\xc3\xb1o.\n_START_SECTION_\nEcuaci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nSe re\xc3\xbanen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuaci\xc3\xb3n:\n_START_SECTION_\nGeometr\xc3\xadas no-eucl\xc3\xaddeas\n_START_PARAGRAPH_\nLa posibilidad de aumentar el tama\xc3\xb1o de una figura sin modificar su forma es tan obvia y natural que durante milenios se pens\xc3\xb3 que era una consecuencia de los axiomas de la geometr\xc3\xada, y se trat\xc3\xb3 en vano de demostrarlo desde la Grecia antigua. Sin embargo, al estudiar otras geometr\xc3\xadas, las no euclidianas, los matem\xc3\xa1ticos del siglo XIX, entre ellos Bernhard Riemann y Nikol\xc3\xa1i Lobachevski se dieron cuenta de que esto solo suced\xc3\xada en los espacios eucl\xc3\xaddeos, es decir, sin curvatura._NEWLINE_Se puede definir una geometr\xc3\xada sobre la esfera, por ejemplo: Los segmentos son los caminos m\xc3\xa1s cortos que unen sus extremos y las rectas son las l\xc3\xadneas geod\xc3\xa9sicas, a semejanza de los ecuadores de la esfera. El an\xc3\xa1logo de una homotecia se construye as\xc3\xad: se escoge un punto O de la superficie como centro de la homotecia, y para definir la imagen de otro punto A se traza la geod\xc3\xa9sica que pasa por O y A (que es \xc3\xbanica si A no es el punto diametralmente opuesto a O), consideramos que O es el origen de esta l\xc3\xadnea y A el punto de abscisa 1. La imagen A\'  ser\xc3\xa1 el punto de abscisa k, donde k es la raz\xc3\xb3n de la homotecia. En la figura se ha tomado k = 3 y se han construido las im\xc3\xa1genes de B y C tambi\xc3\xa9n._NEWLINE_Se observa que la imagen del "tri\xc3\xa1ngulo" ABC es el "tri\xc3\xa1ngulo A\'B\'C\', es decir que los catetos A\'B\', A\'C\'  y B\'C\'  son segmentos de l\xc3\xadneas geod\xc3\xa9sicas, y que A\'B\'C\'  merece ser llamado tri\xc3\xa1ngulo semejante (por no decir homot\xc3\xa9tico) al tri\xc3\xa1ngulo ABC._NEWLINE_Al aplicar la construcci\xc3\xb3n precedente al peque\xc3\xb1o tri\xc3\xa1ngulo ABC de la superficie de la esfera (peque\xc3\xb1o en comparaci\xc3\xb3n con el di\xc3\xa1metro), la suma de sus \xc3\xa1ngulos ser\xc3\xa1 ligeramente superior a \xcf\x80 radianes (180\xc2\xba), pero el tri\xc3\xa1ngulo A\'B\'C\' tendr\xc3\xa1 \xc3\xa1ngulos de mayor amplitud, siendo su suma mucho mayor que \xcf\x80 radianes, como se ve en la figura. El aumento de tama\xc3\xb1o implica aqu\xc3\xad claramente un cambio de forma._NEWLINE_En conclusi\xc3\xb3n, los tri\xc3\xa1ngulos semejantes permiten saber en que clase de espacio nos hallamos, uno euclidiano, o con curvatura positiva (como la esfera), o con curvatura negativa (espacio hiperb\xc3\xb3lico), y la doble caracterizaci\xc3\xb3n de los tri\xc3\xa1ngulos similares (mismos \xc3\xa1ngulos y cocientes de los lados iguales) en la geometr\xc3\xada usual no es ni anecd\xc3\xb3tico ni anodino.'