b"\n_START_ARTICLE_\nC\xc3\xa1lculo diferencial\n_START_SECTION_\nDiferenciaci\xc3\xb3n y diferenciabilidad\n_START_PARAGRAPH_\nUna funci\xc3\xb3n de una variable es diferenciable en un punto  si su derivada existe en ese punto; una funci\xc3\xb3n es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto  perteneciente al intervalo. Si una funci\xc3\xb3n no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una funci\xc3\xb3n sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda funci\xc3\xb3n diferenciable en un punto c es continua en c, pero no toda funci\xc3\xb3n continua en c es diferenciable en c (como f(x) = |x| es continua, pero no diferenciable en x = 0).\n_START_SECTION_\nNoci\xc3\xb3n de derivada\n_START_PARAGRAPH_\nLas derivadas se definen tomando el l\xc3\xadmite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente. Es dif\xc3\xadcil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funci\xc3\xb3n porque s\xc3\xb3lo se conoce un punto de \xc3\xa9sta, el punto donde ha de ser tangente a la funci\xc3\xb3n. Por ello, se aproxima la recta tangente por rectas secantes. Cuando se tome el l\xc3\xadmite de las pendientes de las secantes pr\xc3\xb3ximas, se obtendr\xc3\xa1 la pendiente de la recta tangente._NEWLINE_Para obtener estas pendientes, t\xc3\xb3mese un n\xc3\xbamero arbitrariamente peque\xc3\xb1o que se denominar\xc3\xa1 h. h representa una peque\xc3\xb1a variaci\xc3\xb3n en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos  y  es_NEWLINE_Esta expresi\xc3\xb3n es un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x es el l\xc3\xadmite del valor del cociente diferencial conforme las l\xc3\xadneas secantes se acercan m\xc3\xa1s a la tangente:_NEWLINE_Si la derivada de f existe en cada punto x, es posible entonces definir la derivada de f como la funci\xc3\xb3n cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x._NEWLINE_Puesto que la inmediata sustituci\xc3\xb3n de h por 0 da como resultado una divisi\xc3\xb3n por cero, calcular la derivada directamente puede ser poco intuitivo. Una t\xc3\xa9cnica consiste en simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda cancelarse. Esto resulta muy sencillo con funciones polin\xc3\xb3micas, pero para la mayor\xc3\xada de las funciones resulta demasiado complicado. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan la diferenciaci\xc3\xb3n de la mayor\xc3\xada de las funciones.\n_START_SECTION_\nEl cociente diferencial alternativo\n_START_PARAGRAPH_\nLa derivada de f(x) (tal como la defini\xc3\xb3 Newton) se describi\xc3\xb3 como el l\xc3\xadmite, conforme h se aproxima a cero. Una explicaci\xc3\xb3n alternativa de la derivada puede interpretarse a partir del cociente de Newton. Si se utiliza la f\xc3\xb3rmula anterior, la derivada en c es igual al l\xc3\xadmite conforme h se aproxima a cero de [f(c + h) - f(c)] / h. Si se deja que h = x - c (por ende, c + h = x), entonces x se aproxima a c (conforme h tiende a cero). As\xc3\xad, la derivada es igual al l\xc3\xadmite conforme x se aproxima a c, de [f(x) - f(c)] / (x - c). Esta definici\xc3\xb3n se utiliza para una demostraci\xc3\xb3n parcial de la regla de la cadena.\n_START_SECTION_\nFunciones de varias variables\n_START_PARAGRAPH_\nPara funciones de varias variables , las condiciones de diferenciabilidad son m\xc3\xa1s estrictas y requieren m\xc3\xa1s condiciones a parte de la existencia de derivadas parciales. En concreto, se requiere la existencia de una aproximaci\xc3\xb3n lineal a la funci\xc3\xb3n en el entorno de un punto. Dada una base vectorial, esta aproximaci\xc3\xb3n lineal viene dada por la matriz jacobiana:\n_START_SECTION_\nHistoria\n_START_PARAGRAPH_\nLos problemas comunes que dieron origen al c\xc3\xa1lculo infinitesimal comenzaron a plantearse en la \xc3\xa9poca cl\xc3\xa1sica de la antigua Grecia (Siglo III a.C.), con conceptos de tipo geom\xc3\xa9trico como el problema de la tangente a una curva de Apolonio de Perge, pero no se encontraron m\xc3\xa9todos sistem\xc3\xa1ticos de resoluci\xc3\xb3n sino hasta el siglo XVII, gracias a los trabajos de Isaac Newton y de Gottfried Wilhelm Leibniz. _NEWLINE_Ellos dos sintetizaron dos conceptos y m\xc3\xa9todos usados por sus predecesores en lo que hoy se denomina \xc2\xabdiferenciaci\xc3\xb3n\xc2\xbb e \xc2\xabintegraci\xc3\xb3n\xc2\xbb. Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivaci\xc3\xb3n) y demostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del c\xc3\xa1lculo)._NEWLINE_Desde el siglo XVII, muchos matem\xc3\xa1ticos han contribuido al c\xc3\xa1lculo diferencial. En el siglo XIX, el c\xc3\xa1lculo tom\xc3\xb3 un estilo m\xc3\xa1s riguroso, debido a matem\xc3\xa1ticos como Augustin Louis Cauchy (1789\xe2\x80\x931857), Bernhard Riemann (1826\xe2\x80\x931866), y Karl Weierstrass (1815\xe2\x80\x931897). Fue tambi\xc3\xa9n durante este periodo cuando el c\xc3\xa1lculo diferencial se generaliz\xc3\xb3 al espacio eucl\xc3\xaddeo y al plano complejo.\n_START_SECTION_\nUso de las derivadas para realizar gr\xc3\xa1ficos de funciones\n_START_PARAGRAPH_\nLas derivadas son una herramienta \xc3\xbatil para examinar las gr\xc3\xa1ficas de funciones. En particular, los puntos en el interior de un dominio de una funci\xc3\xb3n de valores reales que llevan a dicha funci\xc3\xb3n a un extremo local tendr\xc3\xa1n una primera derivada de cero. Sin embargo, no todos los puntos cr\xc3\xadticos son extremos locales. Por ejemplo, f(x)=x\xc2\xb3 tiene un punto cr\xc3\xadtico en x=0, pero en ese punto no hay un m\xc3\xa1ximo ni un m\xc3\xadnimo. El criterio de la primera derivada y el criterio de la segunda derivada permiten determinar si los puntos cr\xc3\xadticos son m\xc3\xa1ximos, m\xc3\xadnimos o ninguno._NEWLINE_En el caso de dominios multidimensionales, la funci\xc3\xb3n tendr\xc3\xa1 una derivada parcial de cero con respecto a cada dimensi\xc3\xb3n en un extremo local. En este caso, la prueba de la segunda derivada se puede seguir utilizando para caracterizar a los puntos cr\xc3\xadticos, considerando el eigenvalor de la matriz Hessiana de las segundas derivadas parciales de la funci\xc3\xb3n en el punto cr\xc3\xadtico. Si todos los eigenvalores son positivos, entonces el punto es un m\xc3\xadnimo local; si todos son negativos, entonces es un m\xc3\xa1ximo local. Si hay algunos eigenvalores positivos y algunos negativos, entonces el punto cr\xc3\xadtico es un punto silla, y si no se cumple ninguno de estos casos, la prueba es no concluyente (es decir, los engeivalores son 0 y 3)._NEWLINE_Una vez que se encuentran los extremos locales, es mucho m\xc3\xa1s f\xc3\xa1cil hacerse de una burda idea de la gr\xc3\xa1fica general de la funci\xc3\xb3n, ya que (en el caso del dominio monodimensional) se incrementar\xc3\xa1 o decrementar\xc3\xa1 uniformemente excepto en los puntos cr\xc3\xadticos, y por ello (suponiendo su continuidad) tendr\xc3\xa1 valores intermedios entre los valores en los puntos cr\xc3\xadticos de cada lado.\n_START_SECTION_\nPuntos cr\xc3\xadticos\n_START_PARAGRAPH_\nPor punto cr\xc3\xadtico se entiende por un punto singular o estacionario.\n_START_SECTION_\nPuntos singulares\n_START_PARAGRAPH_\nSon puntos singulares los valores en los que la derivada de la funci\xc3\xb3n: f'(x), presenta alg\xc3\xban tipo de discontinuidad.i\n_START_SECTION_\nPuntos estacionarios\n_START_PARAGRAPH_\nSe denomina punto estacionario a los valores de la variable en los que se anula la derivada f'(x) de una funci\xc3\xb3n f(x), es decir, si f\xc2\xb4(x)=0 en x\xe2\x82\x81, x\xe2\x82\x82, x\xe2\x82\x83, . . ., x\xe2\x82\x99. Entonces, x\xe2\x82\x81, x\xe2\x82\x82, x\xe2\x82\x83, . . ., x\xe2\x82\x99 son puntos estacionarios de f(x)._NEWLINE_Los valores f(x\xe2\x82\x81), f(x\xe2\x82\x82), f(x\xe2\x82\x83), . . ., f(x\xe2\x82\x99), se llaman valores estacionarios._NEWLINE_Si la segunda derivada es positiva en un punto estacionarios, se dice que el punto es un m\xc3\xadnimo local; si es negativa, se dice que el punto es un m\xc3\xa1ximo local; si vale cero, puede ser tanto un m\xc3\xadnimo como un m\xc3\xa1ximo o un punto de inflexi\xc3\xb3n. Derivar y resolver en los puntos cr\xc3\xadticos suele ser una forma simple de encontrar m\xc3\xa1ximos y m\xc3\xadnimos locales, que pueden emplearse en optimizaci\xc3\xb3n. No obstante, nunca hay que despreciar los extremos en dichos problemas.\n_START_SECTION_\nGeneralizaci\xc3\xb3n del c\xc3\xa1lculo diferencial\n_START_PARAGRAPH_\nCuando una funci\xc3\xb3n depende de m\xc3\xa1s de una variable, se utiliza el concepto de derivada parcial. Las derivadas parciales se pueden pensar informalmente como tomar la derivada de una funci\xc3\xb3n con respecto a una de ellas, manteniendo las dem\xc3\xa1s variables constantes. Las derivadas parciales se representan como:_NEWLINE_En donde  es una 'd' redondeada conocida como 's\xc3\xadmbolo de la derivada parcial'. _NEWLINE_El concepto de derivada puede extenderse de forma m\xc3\xa1s general. El hilo com\xc3\xban es que la derivada en un punto sirve como una aproximaci\xc3\xb3n lineal a la funci\xc3\xb3n en dicho punto. Quiz\xc3\xa1 la situaci\xc3\xb3n m\xc3\xa1s natural es que las funciones sean diferenciables en las variedades. La derivada en un cierto punto entonces se convierte en una transformaci\xc3\xb3n lineal entre los correspondientes espacios tangentes, y la derivada de la funci\xc3\xb3n se convierte en un mapeo entre los grupos tangentes._NEWLINE_Para diferenciar todas las funciones continuas y mucho m\xc3\xa1s, se puede definir el concepto de distribuci\xc3\xb3n. Para las funciones complejas de una variable compleja, la diferenciabilidad es una condici\xc3\xb3n mucho m\xc3\xa1s fuerte que la simple parte real e imaginaria de la funci\xc3\xb3n diferenciada con respecto a la parte real e imaginaria del argumento. Por ejemplo, la funci\xc3\xb3n  satisface lo segundo, pero no lo primero. V\xc3\xa9ase tambi\xc3\xa9n la funci\xc3\xb3n holom\xc3\xb3rfica._NEWLINE_V\xc3\xa9ase tambi\xc3\xa9n: diferintegral._NEWLINE_Dadas las funciones, de valor real, y ambas con dominio, el problema consiste en hallar los valores m\xc3\xa1ximos o m\xc3\xadnimos (valores extremos) de cuando se restringe a tomar valores en el conjunto."