b'\n_START_ARTICLE_\nTeorema de los residuos\n_START_PARAGRAPH_\nEl teorema de los residuos es consecuencia directa del Teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teor\xc3\xada matem\xc3\xa1tica de an\xc3\xa1lisis complejo.\n_START_SECTION_\nEnunciado\n_START_PARAGRAPH_\nSea  una funci\xc3\xb3n anal\xc3\xadtica en un dominio simplemente conexo , excepto en un n\xc3\xbamero finito de puntos  que constituyen  singularidades aisladas de . Sea  una curva en , simple, cerrada, regular a trozos, con orientaci\xc3\xb3n positiva y tal que el dominio que esta define contiene las singularidades de . Entonces se tiene:_NEWLINE__NEWLINE_donde  es el Residuo de la funci\xc3\xb3n  en el punto singular .\n_START_SECTION_\nDemostraci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nSea    holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial  es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, se sabe  que la integral  es igual a  siempre que  sea una curva  homot\xc3\xb3pica con ._NEWLINE_En espec\xc3\xadfico, se puede considerar una curva tipo  la cual tiene una rotaci\xc3\xb3n alrededor de los puntos  sobre c\xc3\xadrculos peque\xc3\xb1os, cuando se unen todos estos peque\xc3\xb1os c\xc3\xadrculos por medio de segmentos.  _NEWLINE_Ya que la curva  sigue cada segmento 2 veces con alineaci\xc3\xb3n opuesta, s\xc3\xb3lo se necesitan sumar las integrales de  alrededor de los c\xc3\xadrculos peque\xc3\xb1os._NEWLINE_Consecuentemente sea  parametrizaci\xc3\xb3n de la curva alrededor del punto , entonces se tiene , por lo tanto:_NEWLINE_donde , escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas   est\xc3\xa1n todas desarticuladas y todas en un mismo dominio . Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda :_NEWLINE_Sea  fija y apl\xc3\xadquese la serie de Laurent para  en _NEWLINE_de tal forma que , donde c\xe2\x82\x8b\xe2\x82\x81, es el coeficiente de  en la serie de Laurent. Entonces tenemos:_NEWLINE_Obs\xc3\xa9rvese que si , se tiene:_NEWLINE_mientras que para  se tiene que los t\xc3\xa9rminos de la suma se anulan, debido a que:'