b'\n_START_ARTICLE_\nCurva de Lorenz\n_START_PARAGRAPH_\nLa curva de Lorenz es una representaci\xc3\xb3n gr\xc3\xa1fica utilizada frecuentemente para plasmar la distribuci\xc3\xb3n relativa de una variable en un dominio determinado. El dominio puede ser el conjunto de hogares o personas de una regi\xc3\xb3n o pa\xc3\xads, por ejemplo. La variable cuya distribuci\xc3\xb3n se estudia puede ser el ingreso de los hogares o las personas. Utilizando como ejemplo estas variables, la curva se trazar\xc3\xada considerando en el eje horizontal el porcentaje acumulado de personas u hogares del dominio en cuesti\xc3\xb3n y en el eje vertical el porcentaje acumulado del ingreso. Su autor\xc3\xada es de Max O. Lorenz en 1905._NEWLINE_Cada punto de la curva se lee como porcentaje acumulativo de los hogares o las personas. La curva parte del origen (0,0) y termina en el punto (100,100). Si el ingreso estuviera distribuido de manera perfectamente equitativa, la curva coincidir\xc3\xada con la l\xc3\xadnea de 45 grados que pasa por el origen (por ejemplo el 30% de los hogares o de la poblaci\xc3\xb3n percibe el 30% del ingreso). Si existiera desigualdad perfecta, o sea, si un hogar o persona poseyera todo el ingreso, la curva coincidir\xc3\xada con el eje horizontal hasta el punto (100,0) donde saltar\xc3\xada el punto (100,100). En general la curva se encuentra en una situaci\xc3\xb3n intermedia entre estos dos extremos.\n_START_SECTION_\nCurva de Lorenz y desigualdad\n_START_PARAGRAPH_\nSi una curva de Lorenz se encuentra siempre por encima de otra (por lo tanto, est\xc3\xa1 m\xc3\xa1s cerca de la l\xc3\xadnea de 45 grados que la otra), entonces podemos decir, sin ambig\xc3\xbcedad, que la primera exhibe menor desigualdad que la segunda. Esta comparaci\xc3\xb3n gr\xc3\xa1fica entre distribuciones de distintos dominios geogr\xc3\xa1ficos o temporales es el principal empleo de las curvas de Lorenz._NEWLINE_El indicador gr\xc3\xa1fico de bienestar m\xc3\xa1s usado es la Curva de Lorenz Generalizada (CLG), que es una derivaci\xc3\xb3n de la curva de Lorenz habitual. La CLG s\xc3\xb3lo se diferencia de la de Lorenz en que en la escala vertical no se representan las cantidades relativas acumuladas sino las cantidades acumuladas (no relativas) divididas por el n\xc3\xbamero N de elementos de la poblaci\xc3\xb3n. La l\xc3\xb3gica pretendida es representar qu\xc3\xa9 cantidad absoluta corresponde a cada porcentaje de individuos. Para clarificar este aspecto, sup\xc3\xb3ngase que la curva de Lorenz normal de una poblaci\xc3\xb3n nos dice que el 50% de los menos ricos poseen el 25% de la riqueza total. Se puede comprender que es muy diferente la situaci\xc3\xb3n de bienestar de este 50% de la poblaci\xc3\xb3n seg\xc3\xban si la riqueza total es muy peque\xc3\xb1a o muy grande. Es obvio que es peor poseer el 50% de una cantidad peque\xc3\xb1a que poseer el 25% de una cantidad mucho mayor. El dividir las cantidades acumuladas por el total de elementos N es necesario para poder comparar riquezas entre poblaciones distintas que tengan un n\xc3\xbamero diferente de elementos: no es lo mismo una riqueza total de 1.000.000\xe2\x82\xac en un conjunto de 10 personas que esa misma riqueza total en un conjunto formado por 1.000 personas.\n_START_SECTION_\nEcuaci\xc3\xb3n de la curva de Lorenz\n_START_PARAGRAPH_\nSi se conoce la distribuci\xc3\xb3n de la renta como densidad de probabilidad  para cada valor de renta, la curva de Lorenz puede encontrarse anal\xc3\xadticamente en funci\xc3\xb3n de \xc3\xa9sta. La proporci\xc3\xb3n de personas o unidades familiares con una renta inferior a un nivel de renta r viene dada por:_NEWLINE_Mientras que la proporci\xc3\xb3n de renta acumulada por las personas con rentas iguales o inferiores a r viene dada por:_NEWLINE_Donde  es la renta media. Las ecuaciones (1) y (2) constituyen juntas las ecuaciones param\xc3\xa9tricas de la curva en funci\xc3\xb3n del par\xc3\xa1metro r.\n_START_SECTION_\nPropiedades\n_START_PARAGRAPH_\nLa curva de Lorenz tiene pendiente positiva en todos sus puntos como se deduce de la siguiente relaci\xc3\xb3n:_NEWLINE_En el punto inicial  la pendiente ser\xc3\xa1 nula (aun en el caso  el l\xc3\xadmite anterior sigue siendo v\xc3\xa1lido, pero en el resto de puntos ser\xc3\xa1 estrictamente positiva._NEWLINE_Adem\xc3\xa1s la curva de Lorenz es convexa ya que su derivada segunda siempre es positiva:\n_START_SECTION_\nEjemplo 1\n_START_PARAGRAPH_\nEn esta secci\xc3\xb3n calculamos la curva de Lorenz y el \xc3\xadndice de Gini para una distribuci\xc3\xb3n de renta exponencial. Aunque \xc3\xa9sta no parece una distribuci\xc3\xb3n adecuada para la renta nacional de ning\xc3\xban pa\xc3\xads, la sencillez de las expresiones obtenidas permite entender de modo sencillo la aplicaci\xc3\xb3n de las ecuaciones (1) a (4). Para un pa\xc3\xads con una renta nacional media  con una distribuci\xc3\xb3n exponencial la densidad de probabilidad de la distribuci\xc3\xb3n ser\xc3\xa1:_NEWLINE_Esta expresi\xc3\xb3n permite calcular la proporci\xc3\xb3n de personas por debajo de una cierta renta y la renta acumulada de ese grupo de personas f\xc3\xa1cilmente:_NEWLINE_Despejando  de la primera ecuaci\xc3\xb3n y substituyendo el resultado en la segunda se obtiene la curva de Lorenz expl\xc3\xadcitamente:_NEWLINE_El \xc3\xadndice de Gini se puede calcular simplemente como:_NEWLINE_Este es el valor exacto. Cuando para calcular este valor en lugar de una distribuci\xc3\xb3n continua se usa un c\xc3\xa1lculo aproximado por decilas en cambio resulta s\xc3\xb3lo .'