b'\n_START_ARTICLE_\nTeorema de Bolzano-Weierstrass\n_START_PARAGRAPH_\nEn el an\xc3\xa1lisis real, el teorema de Bolzano\xe2\x80\x93Weierstrass es un importante teorema que caracteriza los conjuntos compactos secuencialmente.\n_START_SECTION_\nEnunciado\n_START_PARAGRAPH_\nEn el an\xc3\xa1lisis real, el teorema de Bolzano-Weierstrass es un resultado fundamental referente a la convergencia en un espacio eucl\xc3\xaddeo dimensionalmente finito R\xe2\x81\xbf. El teorema establece que cada sucesi\xc3\xb3n acotada en R\xe2\x81\xbf tiene una subsucesi\xc3\xb3n convergente. Una formulaci\xc3\xb3n equivalente es que un subconjunto de R\xe2\x81\xbf es secuencialmente compacto si y s\xc3\xb3lo si es cerrado y acotado.\n_START_SECTION_\nDemostraci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nEn primer lugar, aplicando el m\xc3\xa9todo de inducci\xc3\xb3n matem\xc3\xa1tica, demostraremos el teorema cuando n = 1, en cuyo caso el orden de R se puede poner a buen uso. De hecho tenemos el siguiente resultado._NEWLINE_Lema: Cada sucesi\xc3\xb3n _NEWLINE_{\xe2\x80\x89x\xe2\x82\x99\xe2\x80\x89} en R tiene una subsucesi\xc3\xb3n mon\xc3\xb3tona._NEWLINE_Demostraci\xc3\xb3n: Vamos a llamar a un n\xc3\xbamero entero positivo n un "pico de la secuencia", si m> n implica x\xe2\x80\x89\xe2\x82\x99 > x\xe2\x80\x89\xe2\x82\x98\xe2\x80\x89 es decir, si x\xe2\x82\x99 es mayor que todos los t\xc3\xa9rminos siguientes de la sucesi\xc3\xb3n. Supongamos primero que la sucesi\xc3\xb3n tiene picos infinitos, n\xe2\x82\x81\xc2\xa0< n\xe2\x82\x82\xc2\xa0< n\xe2\x82\x83\xc2\xa0<\xc2\xa0\xe2\x80\xa6\xc2\xa0< n\xe2\xb1\xbc\xc2\xa0<\xc2\xa0\xe2\x80\xa6 Entonces la subsucesi\xc3\xb3n correspondiente \xe2\x80\x89 \xe2\x80\x89 a los picos es mon\xc3\xb3tonamente decreciente, con lo que el lema queda probado. As\xc3\xad que supongamos ahora que s\xc3\xb3lo hay un n\xc3\xbamero finito de picos, sea N el \xc3\xbaltimo pico y n\xe2\x82\x81 = N + 1. Luego n\xe2\x82\x81 no es un pico, ya que n\xe2\x82\x81 > N, lo que implica la existencia de un n\xe2\x82\x82 > n\xe2\x82\x81 con\xc2\xa0 \xe2\x80\x89 Una vez m\xc3\xa1s, n\xe2\x82\x82 > N no es un pico, por lo tanto hay n\xe2\x82\x83 > n\xe2\x82\x82 con \xe2\x80\x89 Repitir este proceso conduce a una subsucesi\xc3\xb3n infinita no decreciente \xc2\xa0 , si lo desea._NEWLINE_Ahora supongamos que tenemos una sucesi\xc3\xb3n acotada en R, por el Lema existe una subsucesi\xc3\xb3n mon\xc3\xb3tona, necesariamente acotada. Pero se sigue del teorema de convergencia mon\xc3\xb3tona que esta subsucesi\xc3\xb3n deben converger, y la prueba es completa._NEWLINE_Por \xc3\xbaltimo, el caso general puede ser f\xc3\xa1cilmente reducida al caso de n = 1 como sigue: dada una secuencia limitada en R\xe2\x81\xbf, la secuencia de las primeras coordenadas es una secuencia real limitado, por lo tanto tiene una subsucesi\xc3\xb3n convergente. A continuaci\xc3\xb3n, puede extraer un subsubsucesi\xc3\xb3n en el que convergen las segundas coordenadas, y as\xc3\xad sucesivamente, hasta que al final hemos pasado de la secuencia original a subsecuencia n veces - que sigue siendo una subsecuencia de la secuencia original - en la que cada coordenada converge secuencia , por lo tanto, la propia subsucesi\xc3\xb3n es convergente.\n_START_SECTION_\nCompacidad secuencial en espacios eucl\xc3\xaddeos\n_START_PARAGRAPH_\nSupongamos que A es un subconjunto de R\xe2\x81\xbf con la propiedad de que toda sucesi\xc3\xb3n en A tiene una subsucesi\xc3\xb3n convergente a un elemento de A. Entonces, A debe ser limitada, pues de lo contrario existe una secuencia en la x\xe2\x82\x98 en A con _NEWLINE_||\xe2\x80\x89x\xe2\x82\x98\xe2\x80\x89|| \xe2\x89\xa5 m para todos los m, y luego cada subsecuencia es ilimitada y por tanto no convergentes. Por otra parte A debe ser cerrado, ya que desde un punto de no interior x en el complemento de A se puede construir una secuencia A con valores de convergencia a x. As\xc3\xad, los subconjuntos A, de R\xe2\x81\xbf, para que cada secuencia en la A tiene una subsucesi\xc3\xb3n convergente a un elemento de A \xe2\x80\x93\xc2\xa0 es decir, los subconjuntos que est\xc3\xa1n secuencialmente compacto en la topolog\xc3\xada de subespacio \xe2\x80\x93\xc2\xa0 son precisamente los conjuntos cerrados y limitados._NEWLINE_Esta forma del teorema hace especialmente clara la analog\xc3\xada con el Teorema de Heine-Borel, que afirma que un subconjunto de R\xe2\x81\xbf es compacto si y solo si es cerrado y acotado. De hecho, la topolog\xc3\xada general nos dice que un espacio es compacto metrizable si y solo si es secuencialmente compacto, de modo que la de Bolzano-Weierstrass y el teorema de Heine-Borel son esencialmente los mismos.\n_START_SECTION_\nHistoria\n_START_PARAGRAPH_\nEl teorema de Bolzano-Weierstrass lleva el nombre de matem\xc3\xa1ticos Bernard Bolzano y Karl Weierstrass. En realidad, fue demostrado por primera vez por Bolzano en 1817 como un lema en la demostraci\xc3\xb3n del teorema de valor intermedio. Unos cincuenta a\xc3\xb1os m\xc3\xa1s tarde, el resultado fue identificado como significativo por derecho propio, y demostrado una vez m\xc3\xa1s por Weierstrass. Desde entonces se ha convertido en un teorema fundamental del an\xc3\xa1lisis.'