b'\n_START_ARTICLE_\nTeorema de Liouville (an\xc3\xa1lisis complejo)\n_START_PARAGRAPH_\nEn matem\xc3\xa1ticas, y en particular en el an\xc3\xa1lisis complejo, el teorema de Liouville afirma que si una funci\xc3\xb3n es holomorfa en todo el plano complejo y est\xc3\xa1 acotada, entonces es constante. N\xc3\xb3tese que esta afirmaci\xc3\xb3n es falsa en los n\xc3\xbameros reales (t\xc3\xb3mese, por ejemplo, la funci\xc3\xb3n , que est\xc3\xa1 acotada pero no es constante).\n_START_SECTION_\nDemostraci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nLa f\xc3\xb3rmula integral de Cauchy dice que_NEWLINE_De modo que_NEWLINE_Como podemos elegir  tan grande como queramos, concluimos que  para todo  en . Finalmente, como  est\xc3\xa1 definida sobre un conjunto simplemente conexo, entonces f debe ser constante.\n_START_SECTION_\nEspectro de un operador\n_START_PARAGRAPH_\nUna de las consecuencias interesantes del teorema de Liouville es que el espectro de un operador necesariamente es un conjunto no vac\xc3\xado. Para verlo, veamos que el hecho de que fuera vac\xc3\xado contradice el teorema de Liouville. Si dicho espectro fuera vac\xc3\xado entonces la norma de la funci\xc3\xb3n resolvente:_NEWLINE_Donde  es un operador acotado de un espacio de Banach, estar\xc3\xada definida en todo el plano complejo y ser\xc3\xada holomorfa y acotada. Y eso implica que la funci\xc3\xb3n ser\xc3\xada constante por el teorema de Liouville. Y dado que:_NEWLINE_Por ser constante, tendr\xc3\xada que ser 0 en todos sitios y eso contradir\xc3\xada el hecho de que el resolvente sea un operador lineal acotado.'