b'\n_START_ARTICLE_\nDerivada covariante\n_START_PARAGRAPH_\nLa derivada covariante () es una generalizaci\xc3\xb3n del concepto de derivada parcial () que permite extender el c\xc3\xa1lculo diferencial sobre  con coordenadas cartesianas al caso de coordenadas curvil\xc3\xadneas en  (y tambi\xc3\xa9n al caso todav\xc3\xada m\xc3\xa1s general de variedades diferenciables).\n_START_SECTION_\nIntroducci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nIntroduciremos primero el caso de . Supongamos que tenemos n campos vectoriales que en cada punto forman una base vectorial  y un campo vectorial contravariante adicional  de tal manera que este campo puede expresarse en t\xc3\xa9rminos de la base anterior:_NEWLINE_Donde  son las componentes del vector en dicha base. Si se usan coordenadas curvil\xc3\xadneas , los vectores tangentes a las curvas coordenadas cambian de punto a punto. Eso implica que a\xc3\xban cuando el campo vectorial sea constante en general sus coordenadas en la base elegida no ser\xc3\xa1n constantes y en general suceder\xc3\xa1 que la derivada covariante ():_NEWLINE_Ya que tambi\xc3\xa9n es necesario considerar la variaci\xc3\xb3n de orientaci\xc3\xb3n de la base vectorial al pasar de un punto a otro, es decir, para evaluar la derivada (covariante) anterior necesitamos evaluar:_NEWLINE_Donde el t\xc3\xa9rmino segundo adicional da cuenta de c\xc3\xb3mo cambia la base vectorial al recorrer una l\xc3\xadnea coordenada curvil\xc3\xadnea. Es decir cuando se usan coordenadas cartesianas en  las l\xc3\xadneas coordenadas son l\xc3\xadneas rectas paralelas a los ejes coordenados, y de alguna manera en cada punto la base vectorial escogida para medir las coordenadas de un campo vectorial en todos los puntos est\xc3\xa1n "sincronizadas". Pero en coordenadas curvil\xc3\xadneas al pasar de un punto a otro, los vectores tangentes a las l\xc3\xadneas coordenadas usados como base no coindir\xc3\xa1n de un punto a otro y es necesario computar su variaci\xc3\xb3n al cambiar de punto. En general los vectores  no s\xc3\xb3lo dependen del punto, es necesario especificar c\xc3\xb3mo se "conectan" los vectores en diferentes puntos y para ello se define una conexi\xc3\xb3n que en el caso de  puede representarse como un conjunto de coeficientes:_NEWLINE_Los coeficientes  se llaman s\xc3\xadmbolos de Christoffel y definen localmente la conexi\xc3\xb3n. Juntanto los resultados de (1) y (2) la derivada covariante parcial de un campo vectorial puede expresarse mediante:_NEWLINE_Usando el convenio de sumaci\xc3\xb3n de Einstein y renombrando los \xc3\xadndices la expresi\xc3\xb3n anterior puede escribirse simplemente como:_NEWLINE_La expresi\xc3\xb3n entre par\xc3\xa9ntesis representa las componentes de la derivada covariante del vector contravariante . An\xc3\xa1logamente dada una curva  se define la derivada covariante temporal a lo largo de dicha curva como:\n_START_SECTION_\nCaso eucl\xc3\xaddeo\n_START_PARAGRAPH_\nLa necesidad de la generalizaci\xc3\xb3n de la derivada ordinaria en  se aprecia cuando su usan coordandas curvil\xc3\xadneas como se ha dicho. Basta el movimiento de una part\xc3\xadcula expresado en coordenadas cartesianas y luego el mismo movimiento expresado en coordenadas polares, por ejemplo, consideremos una masa puntual que se mueve a lo largo de la trayectoria recta por:_NEWLINE_Es decir, el punto se mueve con una velocidad  uniforme a lo largo de una recta, esto puede verse de manera sencilla, si se calculan las velocidades y las aceleraciones de la part\xc3\xadcula:_NEWLINE_Donde se ha usado la notaci\xc3\xb3n  y ._NEWLINE_Ahora consideramos el c\xc3\xa1lculo de la aceleraci\xc3\xb3n en coordenadas polares. Como la part\xc3\xadcula se mueve sobre una recta la distancia al origen y el \xc3\xa1ngulo polar estar\xc3\xa1n relacionados mediante la relaci\xc3\xb3n:_NEWLINE_Las coordenadas de la velocidad de la part\xc3\xadcula en estas coordenadas pueden determinarse mediante c\xc3\xa1lculo directo o cambiando de base a partir de la componentes cartesianas:_NEWLINE_Puesto que la part\xc3\xadcula se mueve a velocidad constante el vector aceleraci\xc3\xb3n deber\xc3\xada resultar nulo. De acuerdo a lo discutido anteriormente, las componentes del vector aceleraci\xc3\xb3n pueden obtenerse mediante las coordenadas covariantes:_NEWLINE_Es importante notar como en este caso las derivadas parciales ordinarias no coinciden con las componentes de la aceleraci\xc3\xb3n:_NEWLINE_Ya que en coordenadas polares los vectores de la base var\xc3\xadan de punto a punto, y es por ello que s\xc3\xb3lo usando la derivada covariante se obtiene un vector de aceleraci\xc3\xb3n nulo tal como cab\xc3\xada esperar a partir del c\xc3\xa1lculo en coordenadas cartesianas.\n_START_SECTION_\nCaso general\n_START_PARAGRAPH_\nEn una variedad diferenciable o una hipersuperficie de , por otra parte, el concepto de derivada direccional se define a partir del espacio tangente a cada punto. En el caso general al presentar la variedad o la hipersuperficie curvatura, los espacios tangentes de cada punto difiere del de los puntos cercanos y por tanto se necesita alguna manera de "conectar" o identificar vectores de diferentes espacios vectoriales, mediante una conexi\xc3\xb3n sobre la variedad._NEWLINE_En una variedad riemanniana com\xc3\xbanmente se escoge una conexi\xc3\xb3n (sin torsion) que sea compatible con la m\xc3\xa9trica, expresada por las componentes del tensor m\xc3\xa9trico ,  en el sentido de que:\n_START_SECTION_\nDerivada covariante de un tensor\n_START_PARAGRAPH_\nEn las secciones anteriores la discusi\xc3\xb3n de la derivada covariante se ha limitado a un campo vectorial contravariante. Pero la derivada covariante puede extenderse a otros tipos de campos tensoriales definidos sobre una variedad de Riemann. Para extender la definici\xc3\xb3n usa el hecho de que la derivada parcial de un escalar coincide con la derivada covariante parcial de dicho escalar, es decir:_NEWLINE_As\xc3\xad para calcular la derivada covariante parcial de una 1-forma  se considera su contracci\xc3\xb3n con un campo vectorial contravariante y teniendo en cuenta que la derivada covariante en una derivaci\xc3\xb3n para la cual vale la regla del producto:_NEWLINE_Esto lleva a la siguiente relaci\xc3\xb3n entre componentes:_NEWLINE_Para un tensor de tipo (p,q) general se tendr\xc3\xa1:'