b'\n_START_ARTICLE_\nN\xc3\xbamero complejo\n_START_PARAGRAPH_\nLos n\xc3\xbameros complejos son una extensi\xc3\xb3n de los n\xc3\xbameros reales y forman un cuerpo algebraicamente cerrado.\xe2\x80\x8b El conjunto de los n\xc3\xbameros complejos se designa con la notaci\xc3\xb3n , siendo  el conjunto de los n\xc3\xbameros reales se cumple que  ( est\xc3\xa1 estrictamente contenido en ). Los n\xc3\xbameros complejos incluyen todas las ra\xc3\xadces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo n\xc3\xbamero complejo puede representarse como la suma de un n\xc3\xbamero real y un n\xc3\xbamero imaginario (que es un m\xc3\xbaltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar._NEWLINE_Los n\xc3\xbameros complejos son la herramienta de trabajo del \xc3\xa1lgebra, an\xc3\xa1lisis, as\xc3\xad como de ramas de las matem\xc3\xa1ticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilita el c\xc3\xa1lculo de integrales, en aerodin\xc3\xa1mica, hidrodin\xc3\xa1mica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Adem\xc3\xa1s, los n\xc3\xbameros complejos se utilizan por doquier en matem\xc3\xa1ticas, en muchos campos de la f\xc3\xadsica (notoriamente en la mec\xc3\xa1nica cu\xc3\xa1ntica) y en ingenier\xc3\xada, especialmente en la electr\xc3\xb3nica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagn\xc3\xa9ticas y la corriente el\xc3\xa9ctrica._NEWLINE_En matem\xc3\xa1ticas, estos n\xc3\xbameros constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los n\xc3\xbameros reales y los imaginarios puros.\n_START_SECTION_\nHistoria\n_START_PARAGRAPH_\nLa primera referencia conocida a ra\xc3\xadces cuadradas de n\xc3\xbameros negativos proviene de los matem\xc3\xa1ticos griegos, como Her\xc3\xb3n de Alejandr\xc3\xada en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible secci\xc3\xb3n de una pir\xc3\xa1mide. _NEWLINE_Los complejos se hicieron m\xc3\xa1s patentes en el Siglo XVI, cuando la b\xc3\xbasqueda de f\xc3\xb3rmulas que dieran las ra\xc3\xadces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matem\xc3\xa1ticos italianos como Tartaglia y Cardano. Originalmente, los n\xc3\xbameros complejos fueron propuestos en 1545, por el matem\xc3\xa1tico italiano, Girolamo Cardano (1501-1576), en un tratado epit\xc3\xb3mico que versaba sobre la soluci\xc3\xb3n de las ecuaciones c\xc3\xbabicas y cu\xc3\xa1rticas, con el t\xc3\xadtulo de Ars magna.  El t\xc3\xa9rmino imaginario para estas cantidades fue acu\xc3\xb1ado por Descartes en el Siglo XVII y est\xc3\xa1 en desuso._NEWLINE_Las cantidades \xc2\xabficticias\xc2\xbb de Cardano cayeron en un mar de indiferencia por la mayor\xc3\xada de los  miembros de la comunidad matem\xc3\xa1tica. Fueron Caspar Wessel en 1799 y Jean-Robert Argand en 1806, con la propuesta del plano complejo y la representaci\xc3\xb3n de la unidad imaginaria i, mediante el punto (0,1) del eje vertical quienes sentaron las bases de estos n\xc3\xbameros. El matem\xc3\xa1tico alem\xc3\xa1n Carl Friedrich Gauss (1777-1855), fue quien les dio nombre, los defini\xc3\xb3 rigurosamente y los utiliz\xc3\xb3 en la demostraci\xc3\xb3n original del teorema fundamental del \xc3\xa1lgebra, que afirma que todo polinomio que no sea constante, posee al menos un cero. La implementaci\xc3\xb3n m\xc3\xa1s formal, con pares de n\xc3\xbameros reales fue dada en el Siglo XIX._NEWLINE_La frase n\xc3\xbamero complejo fue usada por Carnot en 1803. A\xc3\xb1os despu\xc3\xa9s la emple\xc3\xb3 Gauss en Theoria residorum biquadratorum en 1828; la usaba para eludir la expresi\xc3\xb3n n\xc3\xbamero imaginario. Cardano los llamaba n\xc3\xbameros negativos puros\xe2\x80\x8b. _NEWLINE_Los n\xc3\xbameros complejos ligados a las funciones anal\xc3\xadticas o de variable compleja, permiten extender el concepto del c\xc3\xa1lculo al plano complejo. El c\xc3\xa1lculo de variable compleja posee diversas propiedades notables que conllevan propiedades que pueden usarse para obtener diversos resultados \xc3\xbatiles en matem\xc3\xa1tica aplicada.\xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nPlano de los n\xc3\xbameros complejos o Diagrama de Argand\n_START_PARAGRAPH_\nEl concepto de plano complejo permite interpretar geom\xc3\xa9tricamente los n\xc3\xbameros complejos. La suma de n\xc3\xbameros complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicaci\xc3\xb3n de n\xc3\xbameros complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los t\xc3\xa9rminos, y el \xc3\xa1ngulo contado desde el eje real del producto es la suma de los \xc3\xa1ngulos de los t\xc3\xa9rminos pudiendo ser vista como la transformaci\xc3\xb3n del vector que rota y cambia su tama\xc3\xb1o simult\xc3\xa1neamente._NEWLINE_Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotaci\xc3\xb3n de 90\xc2\xba en direcci\xc3\xb3n contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que (-1)\xc2\xb7(-1)=+1 puede ser entendido geom\xc3\xa9tricamente como la combinaci\xc3\xb3n de dos rotaciones de 180\xc2\xba (i al cuadrado = -1), dando como resultado un cambio de signo al completar una vuelta._NEWLINE_Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una funci\xc3\xb3n en el plano complejo._NEWLINE_El an\xc3\xa1lisis complejo, la teor\xc3\xada de las funciones complejas, es una de las \xc3\xa1reas m\xc3\xa1s ricas de la matem\xc3\xa1tica, que encuentra aplicaci\xc3\xb3n en muchas otras \xc3\xa1reas de la matem\xc3\xa1tica as\xc3\xad como en f\xc3\xadsica, electr\xc3\xb3nica y muchos otros campos.\n_START_SECTION_\nSoluciones de ecuaciones polin\xc3\xb3micas\n_START_PARAGRAPH_\nUna ra\xc3\xadz o un cero\xe2\x80\x8b del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definici\xc3\xb3n es que todas las ecuaciones polin\xc3\xb3micas (algebraicas) de grado n tienen exactamente n soluciones en el cuerpo de los n\xc3\xbameros  complejos, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del \xc3\x81lgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado; por esto los matem\xc3\xa1ticos consideran a los n\xc3\xbameros complejos unos n\xc3\xbameros m\xc3\xa1s naturales que los n\xc3\xbameros reales a la hora de resolver ecuaciones._NEWLINE_Tambi\xc3\xa9n se cumple que si z es una ra\xc3\xadz de un polinomio p con coeficientes reales, entonces el complejo conjugado de z tambi\xc3\xa9n es una ra\xc3\xadz de p.\n_START_SECTION_\nVariable compleja o an\xc3\xa1lisis complejo\n_START_PARAGRAPH_\nAl estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el An\xc3\xa1lisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de matem\xc3\xa1ticas aplicadas as\xc3\xad como en otras ramas de las matem\xc3\xa1ticas. El an\xc3\xa1lisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostraci\xc3\xb3n de teoremas incluso en teor\xc3\xada de n\xc3\xbameros; mientras que las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente dif\xc3\xadciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cuatro.\n_START_SECTION_\nEcuaciones diferenciales\n_START_PARAGRAPH_\nEn ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las ra\xc3\xadces (en general complejas)  del polinomio caracter\xc3\xadstico, lo que permite expresar la soluci\xc3\xb3n general del sistema en t\xc3\xa9rminos de funciones de base de la forma: .\n_START_SECTION_\nFractales\n_START_PARAGRAPH_\nMuchos objetos fractales, como el conjunto de Mandelbrot, pueden obtenerse a partir de propiedades de convergencia de una sucesi\xc3\xb3n de n\xc3\xbameros complejos. El an\xc3\xa1lisis del dominio de convergencia revela que dichos conjuntos pueden tener una enorme complejidad autosimilar.\n_START_SECTION_\nEn f\xc3\xadsica\n_START_PARAGRAPH_\nLos n\xc3\xbameros complejos se usan en ingenier\xc3\xada electr\xc3\xb3nica y en otros campos para una descripci\xc3\xb3n adecuada de las se\xc3\xb1ales peri\xc3\xb3dicas variables (ver An\xc3\xa1lisis de Fourier). En una expresi\xc3\xb3n del tipo  podemos pensar en  como la amplitud y en  como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una funci\xc3\xb3n de variable compleja de la forma  donde \xcf\x89 representa la frecuencia angular y el n\xc3\xbamero complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las f\xc3\xb3rmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos \xc3\xbaltimas (ver redes el\xc3\xa9ctricas). Ingenieros el\xc3\xa9ctricos y f\xc3\xadsicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que est\xc3\xa1 t\xc3\xadpicamente destinada a la intensidad de corriente._NEWLINE_El campo complejo es igualmente importante en mec\xc3\xa1nica cu\xc3\xa1ntica cuya matem\xc3\xa1tica subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensi\xc3\xb3n infinita sobre C (\xe2\x84\x82)._NEWLINE_En la relatividad especial y la relatividad general, algunas f\xc3\xb3rmulas para la m\xc3\xa9trica del espacio-tiempo son mucho m\xc3\xa1s simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.'