b'\n_START_ARTICLE_\nTeorema de Taylor\n_START_PARAGRAPH_\nEn c\xc3\xa1lculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matem\xc3\xa1tico brit\xc3\xa1nico, Brook Taylor, quien lo enunci\xc3\xb3 con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo hab\xc3\xada descubierto en 1671.\xe2\x80\x8b Este teorema permite obtener aproximaciones polin\xc3\xb3micas de una funci\xc3\xb3n en un entorno de cierto punto en que la funci\xc3\xb3n sea diferenciable. Adem\xc3\xa1s el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimaci\xc3\xb3n.\n_START_SECTION_\nCaso de varias variables\n_START_PARAGRAPH_\nEl teorema de Taylor anterior (1) puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuaci\xc3\xb3n. Sea B una bola en R\xe1\xb4\xba centrada en el punto a, y f una funci\xc3\xb3n real definida sobre la clausura  cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier :_NEWLINE_Donde la suma se extiende sobre los multi-\xc3\xadndices \xce\xb1 (esta f\xc3\xb3rmula usa la notaci\xc3\xb3n multi-\xc3\xadndice). El resto satisface la desigualdad:_NEWLINE_para todo \xce\xb1 con |\xce\xb1|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse expl\xc3\xadcitamente en t\xc3\xa9rminos de derivadas superiores (v\xc3\xa9ase la demostraci\xc3\xb3n para los detalles).\n_START_SECTION_\nDemostraci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nPara demostrar el teorema de Taylor para el caso multidimensional, consid\xc3\xa9rese un funci\xc3\xb3n  o campo escalar, que suponemos continuo y, para simplificar lo expuesto (aunque una generalizaci\xc3\xb3n es trivial), de clase . Sea  una funci\xc3\xb3n vectorial que va de , y defin\xc3\xa1mosla como  (de ahora en adelante, se omitir\xc3\xa1n las flechas de los vectores). Pongamos  Ahora hagamos  y recordemos que . Notemos ahora que:_NEWLINE_Ahora, derivando sucesivas veces, encontramos que podemos poner de forma muy c\xc3\xb3moda:_NEWLINE_donde el exponente sobre el gradiente es entendido como las sucesivas veces que hacemos el gradiente; es decir, hacemos el producto escalar que est\xc3\xa1 dentro del par\xc3\xa9ntesis, luego volvemos a derivar otra vez la funci\xc3\xb3n, obteniendo otro producto escalar, y as\xc3\xad n veces._NEWLINE_Ahora, empleando el teorema de Taylor para una variable real, expandimos  en su serie de McLaurin:_NEWLINE_y haciendo t=1 y sustituyendo las derivadas por las expresiones antes hallada se evidencia que:_NEWLINE_Obs\xc3\xa9rvese que el primer t\xc3\xa9rmino aparece el gradiente y en el segundo la matriz hessiana, pero escrito con esta notaci\xc3\xb3n particular que resulta m\xc3\xa1s c\xc3\xb3moda y compacta. La expresi\xc3\xb3n obtenida es equivalente a la expresada m\xc3\xa1s arriba mediante la notaci\xc3\xb3n multi\xc3\xadndice.'