b'\n_START_ARTICLE_\nParadoja de las ruedas de Arist\xc3\xb3teles\n_START_PARAGRAPH_\nLa paradoja de las ruedas de Arist\xc3\xb3teles es una paradoja o problema que aparece en la obra griega Mec\xc3\xa1nica tradicionalmente atribuida a Arist\xc3\xb3teles. \xe2\x80\x8b _NEWLINE_Una rueda se puede representar en dos dimensiones usando dos c\xc3\xadrculos. El c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s grande es tangente a una superficie horizontal (por ejemplo, una carretera) sobre la que puede rodar. El c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o tiene el mismo centro y est\xc3\xa1 r\xc3\xadgidamente fijado al m\xc3\xa1s grande. El c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o podr\xc3\xada representar el tal\xc3\xb3n de un neum\xc3\xa1tico, una llanta sobre la cual est\xc3\xa1 montado, un eje, etc. Supongamos que los c\xc3\xadrculos m\xc3\xa1s grandes ruedan sin deslizarse (o patinar) para una revoluci\xc3\xb3n completa. Las distancias recorridas por ambos c\xc3\xadrculos son de la misma longitud, como se muestra en las l\xc3\xadneas discontinuas azules y rojas. La distancia para el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s grande es igual a su circunferencia, pero la distancia para el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o es m\xc3\xa1s larga que su circunferencia: una paradoja o problema. _NEWLINE_La paradoja no se limita a una rueda. Otras cosas representadas en dos dimensiones muestran el mismo comportamiento. Un rollo de cinta lo hace. Una t\xc3\xadpica botella redonda enrollada de lado lo hace: el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o que representa la boca o el cuello de la botella. _NEWLINE_Hay algunas cosas que se representan con la l\xc3\xadnea horizontal marr\xc3\xb3n en la imagen tangente al c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o en lugar de la m\xc3\xa1s grande. Los ejemplos son una rueda de tren t\xc3\xadpica, que tiene una brida, o una barra que se sienta a horcajadas en un banco. Drabkin llam\xc3\xb3 a estos Casos II y al tipo en la imagen Casos I. \xe2\x80\x8b Se aplica un an\xc3\xa1lisis similar pero no id\xc3\xa9ntico.\n_START_SECTION_\nEn la antig\xc3\xbcedad\n_START_PARAGRAPH_\nEn la antig\xc3\xbcedad, el problema de la rueda se describ\xc3\xada en la Mec\xc3\xa1nica aristot\xc3\xa9lica, as\xc3\xad como en la Mec\xc3\xa1nica de Her\xc3\xb3n de Alejandr\xc3\xada. \xe2\x80\x8b En el primero aparece como "Problema 24", donde la descripci\xc3\xb3n de la rueda se da de la siguiente manera. _NEWLINE_ Para que haya un c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s grande \xce\x94Z\xce\x93 un EHB m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o, y A en el centro de ambos; sea ZI la l\xc3\xadnea que m\xc3\xa1s se desenrolla por s\xc3\xad sola, y HK la que desenrolla m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o por s\xc3\xad misma, igual a Z\xce\x9b. Cuando muevo el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o, muevo el mismo centro, que es A; deja que el m\xc3\xa1s grande se adhiera a \xc3\xa9l. Cuando AB se vuelve perpendicular a HK, al mismo tiempo, A\xce\x93 se vuelve perpendicular a Z\xce\x9b, de modo que siempre habr\xc3\xa1 completado una distancia igual, es decir, HK para la circunferencia HB, y Z\xce\x9b para Z\xce\x93. Si el cuarto se desenrolla a una distancia igual, est\xc3\xa1 claro que todo el c\xc3\xadrculo se desenrollar\xc3\xa1 a la misma distancia que todo el c\xc3\xadrculo, de modo que cuando la l\xc3\xadnea BH llegue a K, la circunferencia Z\xce\x93 ser\xc3\xa1 Z\xce\x9b, y el c\xc3\xadrculo entero se desenrollar\xc3\xa1. De la misma manera, cuando muevo el c\xc3\xadrculo grande, encajando el peque\xc3\xb1o, su centro es el mismo, AB ser\xc3\xa1 perpendicular y estar\xc3\xa1 en \xc3\xa1ngulos rectos simult\xc3\xa1neamente con A latter, este \xc3\xbaltimo con ZI, el primero con H\xce\x98. De modo que, cuando uno haya completado una l\xc3\xadnea igual a H the, y el otro a ZI, y ZA vuelva a ser perpendicular a Z\xce\x9b, y HA a HK, para que sean como al principio en \xce\x98 y I.  _NEWLINE_ El problema se plantea entonces: _NEWLINE_ Ahora, ya que no hay una parada de la mayor para la menor, de modo que [la mayor] permanece durante un intervalo de tiempo en el mismo punto, y dado que la m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1a no salta sobre ning\xc3\xban punto, es extra\xc3\xb1o que la mayor atraviese un camino. igual a la de los m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1os, y nuevamente que el m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o atraviesa un camino igual a la de los m\xc3\xa1s grandes. Adem\xc3\xa1s, es notable que, aunque en cada caso solo hay un movimiento, el centro que se mueve en un caso rueda una gran distancia y en el otro una distancia menor. \xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nEn la Revoluci\xc3\xb3n Cient\xc3\xadfica\n_START_PARAGRAPH_\nEl matem\xc3\xa1tico Gerolamo Cardano analiza el problema de la rueda en su 1570 Opus novum de vuestreiberus numerorum, \xe2\x80\x8b cuestionando la presunci\xc3\xb3n del an\xc3\xa1lisis del problema en t\xc3\xa9rminos de movimiento. \xe2\x80\x8b Mersenne habl\xc3\xb3 m\xc3\xa1s sobre la rueda en su 1623 Quaestiones Celeberrimae en Genesim, \xe2\x80\x8b donde sugiere que el problema puede analizarse mediante un proceso de expansi\xc3\xb3n y contracci\xc3\xb3n de los dos c\xc3\xadrculos. Pero Mersenne qued\xc3\xb3 insatisfecha con su comprensi\xc3\xb3n, escribiendo, _NEWLINE_ De hecho, nunca he podido descubrir, y no creo que nadie m\xc3\xa1s haya podido descubrir si el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o toca el mismo punto dos veces, o si avanza a pasos agigantados. \xe2\x80\x8b _NEWLINE__NEWLINE_ En sus Dos nuevas ciencias, Galileo usa el problema de la rueda para defender un cierto tipo de atomismo. Galileo comienza su an\xc3\xa1lisis considerando un par de hex\xc3\xa1gonos conc\xc3\xa9ntricos, a diferencia de un par de c\xc3\xadrculos. Al imaginar que esta rueda hexagonal "rueda" sobre una superficie, Galileo se da cuenta de que el hex\xc3\xa1gono interior "salta" un poco de espacio, con cada rollo del hex\xc3\xa1gono exterior sobre una nueva cara. \xe2\x80\x8b Luego imagina lo que suceder\xc3\xada en el l\xc3\xadmite a medida que las caras de los n\xc3\xbameros en el pol\xc3\xadgono se vuelven muy grandes, y encuentra que el poco espacio que el pol\xc3\xadgono interno "salta" se vuelve cada vez m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o, escribiendo: _NEWLINE_ Por lo tanto, un pol\xc3\xadgono m\xc3\xa1s grande con mil lados pasa por encima y mide una l\xc3\xadnea recta igual a su per\xc3\xadmetro, mientras que al mismo tiempo el m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o pasa una l\xc3\xadnea aproximadamente igual, pero uno est\xc3\xa1 compuesto de mil peque\xc3\xb1as part\xc3\xadculas iguales a sus mil lados con una mil peque\xc3\xb1os espacios vac\xc3\xados interpuestos, ya que podemos llamarlos "vac\xc3\xados" en relaci\xc3\xb3n con los mil linelets tocados por los lados del pol\xc3\xadgono. \xe2\x80\x8b _NEWLINE_ Puesto que el c\xc3\xadrculo es solo el l\xc3\xadmite en el que el n\xc3\xbamero de caras en el pol\xc3\xadgono se vuelve infinito, Galileo encuentra que la rueda de Arist\xc3\xb3teles contiene material que est\xc3\xa1 lleno de espacios infinitesimales o "vac\xc3\xados", y que "los vac\xc3\xados interpuestos no se cuantifican, pero son infinitos. muchos". \xe2\x80\x8b Esto lleva a Galileo a concluir que una creencia en los \xc3\xa1tomos, en el sentido de que la materia est\xc3\xa1 "compuesta de infinitos \xc3\xa1tomos no cuantificables" es suficiente para resolver el problema de la rueda. \xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nEn el siglo XIX\n_START_PARAGRAPH_\nBernard Bolzano habl\xc3\xb3 sobre la rueda de Arist\xc3\xb3teles en Las paradojas del infinito (1851), un libro que influy\xc3\xb3 en Georg Cantor y en los pensadores posteriores sobre las matem\xc3\xa1ticas del infinito.Bolzano observa que hay una bijecci\xc3\xb3n entre los puntos de dos arcos similares, que pueden implementarse dibujando un radio, se\xc3\xb1alando que la historia de este hecho aparentemente parad\xc3\xb3jico se remonta a Arist\xc3\xb3teles. \xe2\x80\x8b\n_START_SECTION_\nEn el siglo XX\n_START_PARAGRAPH_\nEl autor de Falacias y paradojas matem\xc3\xa1ticas usa una moneda de diez centavos pegada a medio d\xc3\xb3lar con sus centros alineados, ambos fijos a un eje, como modelo para la paradoja. La moneda de diez centavos sirve como el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o y el medio d\xc3\xb3lar como el m\xc3\xa1s grande. El escribe: _NEWLINE_ Esta es la soluci\xc3\xb3n, entonces, o la clave para ello. Aunque tiene cuidado de no dejar que el medio d\xc3\xb3lar se deslice sobre la mesa, el "punto" que rastrea el segmento de l\xc3\xadnea al pie de la moneda de diez centavos gira y se desliza todo el tiempo. Se est\xc3\xa1 deslizando con respecto a la mesa. Como la moneda de diez centavos no toca la parte superior de la mesa, no notar\xc3\xa1 el deslizamiento. Si puede mover el medio d\xc3\xb3lar a lo largo de la mesa y al mismo tiempo hacer rodar la moneda de diez centavos (o, mejor a\xc3\xban, el eje) a lo largo de un bloque de madera, puede observar el deslizamiento. Si alguna vez ha estacionado demasiado cerca del bordillo, ha notado el chirrido que hace su tap\xc3\xb3n mientras se desliza (y rueda) en el bordillo mientras que su llanta simplemente rueda sobre el pavimento. Cuanto m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o es el c\xc3\xadrculo peque\xc3\xb1o en relaci\xc3\xb3n con el c\xc3\xadrculo grande, m\xc3\xa1s se desliza el peque\xc3\xb1o. Por supuesto, el centro de los dos c\xc3\xadrculos no gira en absoluto, por lo que se desliza todo el camino.  _NEWLINE_ Alternativamente, uno puede rechazar la suposici\xc3\xb3n de que el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o es independiente del c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s grande. Imagine un neum\xc3\xa1tico como el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s grande, e imagine el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o como la circunferencia interior del neum\xc3\xa1tico y no como la llanta. El movimiento del c\xc3\xadrculo interno depende del c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s grande. Por lo tanto, su movimiento de cualquier punto a otro puede calcularse utilizando una inversa de su relaci\xc3\xb3n.\n_START_SECTION_\nAn\xc3\xa1lisis y soluciones\n_START_PARAGRAPH_\nLa paradoja es que el c\xc3\xadrculo interno m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o se mueve 2\xcf\x80R, la circunferencia del c\xc3\xadrculo externo m\xc3\xa1s grande con radio R, en lugar de su propia circunferencia. Si el c\xc3\xadrculo interno se enrollara por separado, se mover\xc3\xada 2\xcf\x80r, su propia circunferencia con radio r. El c\xc3\xadrculo interior no est\xc3\xa1 separado, sino que est\xc3\xa1 r\xc3\xadgidamente conectado con el m\xc3\xa1s grande. As\xc3\xad que 2\xcf\x80r es una pista falsa.\n_START_SECTION_\nPrimera soluci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nSi el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o depende del m\xc3\xa1s grande (Caso I), entonces el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s grande obliga al m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o a atravesar la circunferencia del c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s grande. Si el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s grande depende del m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o (Caso II), entonces el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o obliga al c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s grande a atravesar la circunferencia del c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o. Esta es la soluci\xc3\xb3n m\xc3\xa1s simple.\n_START_SECTION_\nSegunda soluci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nEsta soluci\xc3\xb3n considera la transici\xc3\xb3n de las posiciones iniciales a las finales. Sea Pb un punto en el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s grande y Ps un punto en el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o, ambos en el mismo radio. Para su comodidad, suponga que ambos est\xc3\xa1n directamente debajo del centro, de manera similar a las dos manecillas de un reloj que apunta hacia las seis. Tanto Pb como Ps viajan por un camino cicloide mientras ruedan juntos una revoluci\xc3\xb3n. Los dos caminos se muestran aqu\xc3\xad: http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html y http://mathworld.wolfram.com/CurtateCycloid.html _NEWLINE_Mientras que cada uno viaja 2\xcf\x80R horizontalmente de principio a fin, la ruta cicloide de Ps es m\xc3\xa1s corta y m\xc3\xa1s eficiente que la de Pb. Pb viaja m\xc3\xa1s arriba y m\xc3\xa1s abajo del camino del centro, la \xc3\xbanica recta, que Ps. La imagen cercana muestra los c\xc3\xadrculos antes y despu\xc3\xa9s de girar una revoluci\xc3\xb3n. Muestra los movimientos del centro, Pb y Ps, con Pb y Ps comenzando y terminando en la parte superior de sus c\xc3\xadrculos. La l\xc3\xadnea verde es el movimiento del centro. La curva del tablero azul muestra el movimiento de Pb. La curva del tablero rojo muestra el movimiento de Ps. El camino de Ps es claramente m\xc3\xa1s corto que el de Pb. Cuanto m\xc3\xa1s cerca est\xc3\xa1 Ps del centro, m\xc3\xa1s corta, m\xc3\xa1s directa y m\xc3\xa1s cercana a la l\xc3\xadnea verde es su trayectoria. _NEWLINE_Si Pb y Ps estuvieran en cualquier otro lugar en sus respectivos c\xc3\xadrculos, las trayectorias curvas ser\xc3\xadan de la misma longitud. Resumiendo, el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o se mueve horizontalmente 2\xcf\x80R porque cualquier punto en el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o recorre un camino m\xc3\xa1s corto y directo que cualquier punto en el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s grande.\n_START_SECTION_\nTercera soluci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nEsta soluci\xc3\xb3n solo compara las posiciones de inicio y final. El c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s grande y el c\xc3\xadrculo m\xc3\xa1s peque\xc3\xb1o tienen el mismo centro. Si dicho centro se mueve, ambos c\xc3\xadrculos se mueven a la misma distancia, que es una propiedad necesaria de la traducci\xc3\xb3n (geometr\xc3\xada) y es igual a 2\xcf\x80R en el experimento. QED. Adem\xc3\xa1s, cada otro punto en ambos c\xc3\xadrculos tiene la misma posici\xc3\xb3n con respecto al centro antes y despu\xc3\xa9s de rodar una revoluci\xc3\xb3n (o cualquier otro n\xc3\xbamero entero de revoluciones).'