b'\n_START_ARTICLE_\nTeorema de categor\xc3\xadas de Baire\n_START_SECTION_\nRelaci\xc3\xb3n con el axioma de elecci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nLas pruebas de BCT1 y BCT2 arbitrarias para espacios m\xc3\xa9tricos completos requieren alguna forma de axioma de elecci\xc3\xb3n, y de hecho BCT1 es equivalente a m\xc3\xa1s de ZF una forma d\xc3\xa9bil del axioma de elecci\xc3\xb3n llamado el axioma de opciones dependientes.\xe2\x80\x8b_NEWLINE_La forma restringida del teorema de Baire categor\xc3\xada en la que tambi\xc3\xa9n est\xc3\xa1 el espacio m\xc3\xa9trico completo supone que es separable es demostrable en ZF sin principios selecci\xc3\xb3n adicionales.\xe2\x80\x8b Esta forma restringida se aplica en particular a la recta real, el espacio de Baire \xcf\x89 \xcf\x89, y el espacio de Cantor 2 \xcf\x89.\n_START_SECTION_\nDemostraci\xc3\xb3n de BTC1\n_START_PARAGRAPH_\nLa siguiente es una demostraci\xc3\xb3n est\xc3\xa1ndar que un espacio pseudom\xc3\xa9trico completo  es un espacio de Baire._NEWLINE_Sea  una colecci\xc3\xb3n numerable de subconjuntos abiertos densos de . Queremos demostrar que la intersecci\xc3\xb3n  es densa en . Un conjunto es denso si y solo si cualquier otro subconjunto abierto no vac\xc3\xado lo interseca. De modo que para demostrar que una intersecci\xc3\xb3n de conjuntos es densa es suficiente con demostrar que cualquier abierto no vac\xc3\xado  tiene un punto  que pertenece a  para todo ._NEWLINE_Dado  abierto no vac\xc3\xado, se construyen dos sucesiones  y  de la siguiente manera:_NEWLINE_Para , dado que  es denso, tiene intersecci\xc3\xb3n no nula con , y dado que los dos conjuntos son abiertos, su intersecci\xc3\xb3n tambi\xc3\xa9n y por tanto existen  y  tales que:_NEWLINE_donde  y  denotan respectivamente la bola abierta y cerrada de centro  y radio . Como  es un abierto no vac\xc3\xado y  es denso, podemos usar el mismo razonamiento para encontrar  y , y en general  y  de manera que:_NEWLINE__NEWLINE_Adem\xc3\xa1s, se escogen  tal que _NEWLINE_Por este procedimiento se construyen las sucesiones  y ._NEWLINE_Dado que  y que  cuando , la sucesi\xc3\xb3n  es de Cauchy. Dado que  es un espacio completo, existe  l\xc3\xadmite de la sucesi\xc3\xb3n ._NEWLINE_Teniendo en cuenta que para cada , todos los t\xc3\xa9rminos de la sucesi\xc3\xb3n excepto un n\xc3\xbamero finito de ellos est\xc3\xa1n dentro de  y que consideramos las bolas cerradas,_NEWLINE_Por tanto  para todo , que es lo que se quer\xc3\xada demostrar.'