b'\n_START_ARTICLE_\nInterpolaci\xc3\xb3n polin\xc3\xb3mica de Lagrange\n_START_PARAGRAPH_\nEn an\xc3\xa1lisis num\xc3\xa9rico, el polinomio de Lagrange, llamado as\xc3\xad en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es una forma de presentar el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado. Lagrange public\xc3\xb3 este resultado en 1795, pero lo descubri\xc3\xb3 Edward Waring en 1779 y fue redescubierto m\xc3\xa1s tarde por Leonhard Euler en 1783.\xe2\x80\x8b Dado que existe un \xc3\xbanico polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo enga\xc3\xb1oso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre m\xc3\xa1s apropiado es interpolaci\xc3\xb3n polin\xc3\xb3mica en la forma de Lagrange.\n_START_SECTION_\nDemostraci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nLa funci\xc3\xb3n que estamos buscando es una funci\xc3\xb3n polin\xc3\xb3mica L(x) de grado k con el problema de interpolaci\xc3\xb3n puede tener tan solo una soluci\xc3\xb3n, pues la diferencia entre dos tales soluciones, ser\xc3\xada otro polinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros._NEWLINE_Por lo tanto, L(x) es el \xc3\xbanico polinomio interpolador\n_START_SECTION_\nConcepto\n_START_PARAGRAPH_\nLa resoluci\xc3\xb3n de un problema de interpolaci\xc3\xb3n lleva a un problema de \xc3\xa1lgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base mon\xc3\xb3mica est\xc3\xa1ndar para nuestro polinomio interpolador, llegamos a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, llegamos a la forma m\xc3\xa1s simple de matriz identidad = \xce\xb4\xe1\xb5\xa2,\xe2\xb1\xbc, que puede resolverse inmediatamente.\n_START_SECTION_\nDesventajas de su uso\n_START_PARAGRAPH_\nSi se aumenta el n\xc3\xbamero de puntos a interpolar (o nodos) con la intenci\xc3\xb3n de mejorar la aproximaci\xc3\xb3n a una funci\xc3\xb3n, tambi\xc3\xa9n lo hace el grado del polinomio interpolador as\xc3\xad obtenido, por norma general. De este modo, aumenta la dificultad en el c\xc3\xa1lculo, haci\xc3\xa9ndolo poco operativo manualmente a partir del grado 4, dado que no existen m\xc3\xa9todos directos de resoluci\xc3\xb3n de ecuaciones de grado 4, salvo que se puedan tratar como ecuaciones bicuadradas, situaci\xc3\xb3n extremadamente rara._NEWLINE_La tecnolog\xc3\xada actual permite manejar polinomios de grados superiores sin grandes problemas, a costa de un elevado consumo de tiempo de computaci\xc3\xb3n. Pero, a medida que crece el grado, mayores son las oscilaciones entre puntos consecutivos o nodos. Se podr\xc3\xada decir que a partir del grado 6 las oscilaciones son tal que el m\xc3\xa9todo deja de ser v\xc3\xa1lido, aunque no para todos los casos._NEWLINE_Sin embargo, pocos estudios requieren la interpolaci\xc3\xb3n de tan s\xc3\xb3lo 6 puntos. Se suelen contar por decenas e incluso centenas. En estos casos, el grado de este polimonio ser\xc3\xada tan alto que resultar\xc3\xada inoperable. Por lo tanto, en estos casos, se recurre a otra t\xc3\xa9cnica de interpolaci\xc3\xb3n, como por ejemplo a la Interpolaci\xc3\xb3n polin\xc3\xb3mica de Hermite o a los splines c\xc3\xbabicos_NEWLINE_Otra gran desventaja, respecto a otros m\xc3\xa9todos de interpolaci\xc3\xb3n, es la necesidad de recalcular todo el polinomio si se var\xc3\xada el n\xc3\xbamero de nodos.\n_START_SECTION_\nOtras aplicaciones\n_START_PARAGRAPH_\nAunque el polinomio interpolador de Lagrange se emplea mayormente para interpolar funciones e implementar esto f\xc3\xa1cilmente en una computadora, tambi\xc3\xa9n tiene otras aplicaciones en el campo del \xc3\xa1lgebra exacta, lo que ha hecho m\xc3\xa1s c\xc3\xa9lebre a este polinomio, por ejemplo en el campo de los proyectores ortogonales:_NEWLINE_Sea un espacio vectorial complejo de dimensi\xc3\xb3n finita E en el que definimos un producto escalar (no necesariamente el usual). Sea F un operador normal, tal que gracias al teorema de la descomposici\xc3\xb3n espectral es igual a . Donde  son los proyectores ortogonales y  los autovectores de F asociados a cada proyector. Entonces: _NEWLINE_ _NEWLINE_Siendo I la matriz identidad._NEWLINE__NEWLINE_Demostraci\xc3\xb3n:_NEWLINE_Haciendo uso de la descomponsici\xc3\xb3n espectral y aplicando las propiedades de los proyectores:'