b'\n_START_ARTICLE_\nAplicaci\xc3\xb3n progrediente\n_START_PARAGRAPH_\nLa aplicaci\xc3\xb3n progrediente o pushforward es una aplicaci\xc3\xb3n asociada a una aplicaci\xc3\xb3n entre variedades diferenciables, que permite asociar campos tensoriales definidos sobre la primera variedad con campos definidos sobre la segunda._NEWLINE_Sup\xc3\xb3ngase que \xcf\x86\xc2\xa0: M \xe2\x86\x92 N es una aplicaci\xc3\xb3n diferenciable entre variedades diferenciables; entonces la [aplicaci\xc3\xb3n] diferencial de \xcf\x86 en un punto x es, en un cierto sentido, la mejor aproximaci\xc3\xb3n lineal de \xcf\x86 aldededor del punto x. Es decir, generaliza el concepto de derivada o matriz jacobiana de una funci\xc3\xb3n de n variables del c\xc3\xa1lculo ordinario. Expl\xc3\xadcimente es una aplicaci\xc3\xb3n lineal que va desde el espacio tangente a M en el punto x al espacio tangente a N en el punto \xcf\x86(x). De ah\xc3\xad, que se use el t\xc3\xa9rmino push \'empujar\' en ingl\xc3\xa9s o progrediente (del lat\xc3\xadn pr\xc5\x8dgrediens \'que avanza hacia delante\') ya que "lleva hacia delante" vectores de M hasta superponerlos con vectores de N._NEWLINE_La diferencial diferancial (tambi\xc3\xa9n llamada aplicaci\xc3\xb3n tangente) asociada a una aplicaci\xc3\xb3n \xcf\x86 tambi\xc3\xa9n es llamada simplemente derivada o derivada total de \xcf\x86, y a veces se llama incluso pushforward.\n_START_SECTION_\nMotivaci\xc3\xb3n\n_START_PARAGRAPH_\nSea \xcf\x86:U\xe2\x86\x92V una aplicaci\xc3\xb3n diferenciable desde un conjunto abierto U de R\xe1\xb5\x90 hasta un conjunto abierto V de R\xe2\x81\xbf. Para cualquier punto x de U, la matriz jacobiana de \xcf\x86 en el punto x (con respecto a las coordenadas est\xc3\xa1ndar) de hecho resulta ser la matriz de componentes de la aplicaci\xc3\xb3n diferencial asociada a \xcf\x86 en el punto x, que naturalmente es una aplicaci\xc3\xb3n lineal:_NEWLINE_de R\xe1\xb5\x90 a R\xe2\x81\xbf._NEWLINE_La aplicaci\xc3\xb3n progrediente pretende generalizar esto al caso en que \xcf\x86 sea una aplicaci\xc3\xb3n continua entre dos variedades diferenciales cualquiera M y N. Adem\xc3\xa1s la aplicaci\xc3\xb3n progrediente puede generalizarse a objetos tensoriales definidos sobre el espacio tangente a una variedad.\n_START_SECTION_\nDiferencial de una aplicaci\xc3\xb3n diferenciable\n_START_PARAGRAPH_\nSea \xcf\x86: M \xe2\x86\x92 N una aplicaci\xc3\xb3n lineal entre variedades diferenciables. Dado un cierto x \xe2\x88\x88 M, la diferencial de \xcf\x86 en el punto x es una aplicaci\xc3\xb3n lineal:_NEWLINE_definida en el espacio tangente de M en el punto x al espacio tangente de N en el punto \xcf\x86(x). La aplicaci\xc3\xb3n d\xcf\x86\xe2\x82\x93 del espacio vectorial tangente X se llama aplicaci\xc3\xb3n progrediente o pushforward de X por \xcf\x86. La definici\xc3\xb3n exacta de esta aplicaci\xc3\xb3n progrediente depende de la definici\xc3\xb3n que uno use para los vectores tangentes._NEWLINE_Por ejemplo, si los vectores tangentes en un punto x se definen como clases de equivalencia de las curvas que pasan a trav\xc3\xa9s de x entonces la aplicaci\xc3\xb3n diferencial viene dada por:_NEWLINE_donde \xce\xb3 es una curva sobre M que cumple que \xce\xb3(0) = x. En otras palabras, la aplicaci\xc3\xb3n progrediente del vector tangente a la curva \xce\xb3 en 0 es precisamente el vector tangente a la curva \xcf\x86\xe2\x88\x98\xce\xb3 en 0._NEWLINE_Por otra parte, si los vectores tangentes se definen como derivaciones que act\xc3\xbaan sobre funciones reales diferenciables, entonces la diferencial viene dada por_NEWLINE_Aqu\xc3\xad X \xe2\x88\x88 T\xe2\x82\x93M, y por tanto X es una derivaci\xc3\xb3n definida sobre  M y f es una funci\xc3\xb3n real sobre N. Por definici\xc3\xb3n, la aplicaci\xc3\xb3n progrediente de X en un punto dado x de M pertenece a T\xcf\x86\xe2\x82\x8d\xe2\x82\x93\xe2\x82\x8eN y por tanto es una derivaci\xc3\xb3n._NEWLINE_Escogiendo cartas locales alrededor de x y \xcf\x86(x), F viene determinada localmente por la aplicaci\xc3\xb3n diferenciable:_NEWLINE_entre conjuntos abiertos de R\xe1\xb5\x90 y R\xe2\x81\xbf y d\xcf\x86\xe2\x82\x93 tiene representaci\xc3\xb3n (en x):_NEWLINE_usado el convenio de sumaci\xc3\xb3n de Einstein, donde las derivadas parciales se eval\xc3\xbaan en el punto de U que corresponde a x en la carta local dada. Extendiendo por linealidad esto da la siguiente matriz:_NEWLINE_Por tanto la diferencial es una aplicaci\xc3\xb3n lineal, entre espacios tangentes, asociados a ala aplicaci\xc3\xb3n diferenciable \xcf\x86 en cada punto. Por tanto, en ciertas coordenadas locales, se representa por una matriz jacobiana de R\xe1\xb5\x90 en R\xe2\x81\xbf. En general, la diferencial no tiene porqu\xc3\xa9 ser invertible (por ejemplo si m > n, pero no s\xc3\xb3lo en esos casos). Si \xcf\x86 es un difeomorfismo local, entonces la aplicaci\xc3\xb3n progrediente en x es invertible y su inversa da precisamente la aplicaci\xc3\xb3n regrediente en  T\xcf\x86\xe2\x82\x8d\xe2\x82\x93\xe2\x82\x8eN._NEWLINE_La aplicaci\xc3\xb3n diferencial frecuentemente se expresa unsando una gran variedad de notaciones distintas, entre las m\xc3\xa1s comunes son:_NEWLINE_Se sigue de la definici\xc3\xb3n que la aplicaci\xc3\xb3n diferencial de una composici\xc3\xb3n de aplicaciones es la composici\xc3\xb3n de aplicaciones diferenciables. Ese hecho es el equivalente de la regla de la cadena para aplicaciones diferenciables entre variedades. Asimismo, la aplicaci\xc3\xb3n diferencial de un difeomorfismo local es un isomorfismo lineal de espacios vectoriales tangentes.\n_START_SECTION_\nExtensi\xc3\xb3n de la diferencial al fibrado tangente\n_START_PARAGRAPH_\nLa aplicaci\xc3\xb3n diferencial de una aplicaci\xc3\xb3n diferenciable \xcf\x86 induce, de una manera obvia, una aplicaci\xc3\xb3n entre fibrados (de hecho un homeomorfismo de fibrados vectoriales) del fibrado tangente de M al fibrado tangente de N, denotado como d\xcf\x86 o \xcf\x86*, que hace que el siguiente diagrama conmute:_NEWLINE_donde \xcf\x80M y \xcf\x80N denotan las proyecciones de los fibrados tangentes de M y N respectivamente._NEWLINE_Equivalentemente, \xcf\x86* = d\xcf\x86 es una aplicaci\xc3\xb3n entre fibrados de TM al fibrado regrediente \xcf\x86*TN sobre M, que podr\xc3\xada a su vez ser visto como una secci\xc3\xb3n del fibrado tangente Hom(TM,\xcf\x86*TN) sobre M.\n_START_SECTION_\nProgrediente de campos vectoriales\n_START_PARAGRAPH_\nDada una aplicaci\xc3\xb3n diferenciable \xcf\x86:M\xe2\x86\x92N y un campo vectorial X sobre M, no siempre es posible definir una campo sobre N que sea la imagen por la aplicaci\xc3\xb3n progrediente de X asociada a \xcf\x86. Por ejemplo, si la aplicaci\xc3\xb3n \xcf\x86 no es suprayectiva, no existe ninguna manera natrual de definir una "progresi\xc3\xb3n" (extensi\xc3\xb3n de imagen por la aplicaci\xc3\xb3n progrediente) fuera de la imagen por \xcf\x86. De la misma manera, si \xcf\x86 no es inyectiva puede haber m\xc3\xa1s de una elecci\xc3\xb3n para dicha "progresi\xc3\xb3n" en un punto dado. Nevertheless, one can make this difficulty precise, using the notion of a vector field along a map._NEWLINE_Una secci\xc3\xb3n del fibrado tangente de \xcf\x86*TN sobre M se llama campo vectorial a trav\xc3\xa9s de \xcf\x86. Por ejemplo, si M es una subvariedad de N y \xcf\x86 es su inclusi\xc3\xb3n, entonces un campo vectorial a trav\xc3\xa9s de \xcf\x86 es precisamente una secci\xc3\xb3n del fibrado tangente de N a lo largo de M; en particular, un campo vectorial sobre M define una secci\xc3\xb3n de ese tipo v\xc3\xada la inclusi\xc3\xb3n TM dentro de TN. Esta idea se generaliza a aplicaciones diferenciables cualesquiera._NEWLINE_Sup\xc3\xb3ngase que X es un campo vectorial sobre M, i.e., una secci\xc3\xb3n de TM. Entonces, aplicando la aplicaci\xc3\xb3n diferenical puntualmente a X se tiene la aplicaci\xc3\xb3n progrediente \xcf\x86*X, que es un campo vectorial a trav\xc3\xa9s de \xcf\x86, i.e., una secci\xc3\xb3n de \xcf\x86*TN sobre M.'