b'\n_START_ARTICLE_\nIntegralregning\n_START_SECTION_\nEksempler\n_START_PARAGRAPH_\nFor at forst\xc3\xa5 hvad integraler er, kan man forestille sig en person som dagligt k\xc3\xb8rer i bil til og fra sit job: P\xc3\xa5 et tidspunkt f\xc3\xa5r han/hun brug for at vide hvor lang ruten mellem hjem og arbejdsplads er, men desv\xc3\xa6rre er bilens kilometert\xc3\xa6ller (og evt. tript\xc3\xa6ller) i uorden. Men speedometeret fungerer (og viser endda ganske n\xc3\xb8jagtigt), s\xc3\xa5 med lidt tidtagning kan man, omend med nogen usikkerhed, beregne den k\xc3\xb8rte distance s\xc3\xa5ledes:_NEWLINE__NEWLINE_10 minutters by-k\xc3\xb8rsel (50 km/t) ud til motorvejen giver 8,3 km; 20 minutter p\xc3\xa5 motorvej (110 km/t) giver 36,7 km, og til sidst yderligere 15 minutters by-k\xc3\xb8rsel ved 50 km/t, som giver 12,5 km. I alt 57,5 km._NEWLINE__NEWLINE_Men farten er n\xc3\xa6ppe, som regnestykket foruds\xc3\xa6tter, konstant; is\xc3\xa6r ikke ved k\xc3\xb8rsel i byer, s\xc3\xa5 for at f\xc3\xa5 andet end et "l\xc3\xb8st overslag" ud af metoden med fart og tidsrum, burde denne bilist have en assistent med sig p\xc3\xa5 turen, som med s\xc3\xa5 korte intervaller som muligt kunne notere farten fra speedometeret, og tage tid p\xc3\xa5 hvert interval. Jo kortere intervallerne kan g\xc3\xb8res, desto mere pr\xc3\xa6cist bliver det endelige resultat for hele rutens l\xc3\xa6ngde._NEWLINE_Hvis man kan skrive et regneudtryk, der pr\xc3\xa6cist fort\xc3\xa6ller hvad bilens fart var til et tidspunkt t minutter inde i k\xc3\xb8returen, kan man ved hj\xc3\xa6lp af integralregning beregne den k\xc3\xb8rte distance helt pr\xc3\xa6cist: L\xc3\xb8ser man ovenst\xc3\xa5ende opgave ved at integrere regneudtrykket for bilens fart, svarer det til at f\xc3\xb8romtalte assistent noterede den \xc3\xb8jeblikkelige hastighed i uendeligt mange, uendeligt sm\xc3\xa5 tidsintervaller._NEWLINE_For et mere formelt eksempel, betragt da en funktion  defineret i et lukket interval .  er kontinuert og ._NEWLINE_Nu inddeles  i n stykker, hver af l\xc3\xa6ngden . I hvert af intervallerne v\xc3\xa6lges tilf\xc3\xa6ldigt en x-v\xc3\xa6rdi  Til hvert interval h\xc3\xb8rer nu et rektangel med arealet  Summen af disse rektangler, , er en approksimation af arealet der afgr\xc3\xa6nses af grafen for , x-aksen samt de to lodrette linjer defineret ved  og . Efterh\xc3\xa5nden som , vil , og summen af rektanglernes areal bliver en stedse bedre approksimation for f\xc3\xb8rn\xc3\xa6vnte areal. Med denne motivation kan man definere det bestemte integral af f i intervallet [a, b] som\n_START_SECTION_\nBestemte og ubestemte integraler\n_START_PARAGRAPH_\nMan skelner mellem to m\xc3\xa5der at bruge integraler p\xc3\xa5: hhv. bestemte og ubestemte integraler.\n_START_SECTION_\nUbestemt integral\n_START_PARAGRAPH_\nI eksemplet med bilen kan man, ud fra den funktion der beskriver bilens fart til ethvert tidspunkt t under k\xc3\xb8rslen, beregne den tilbagelagte str\xc3\xa6kning som det ubestemte integral af fartfunktionen. Hvis fartfunktionen hedder f(t), skrives det ubestemte integral heraf som:_NEWLINE__NEWLINE_At integrere mht. en bestemt variabel modsvarer at differentiere mht. samme variabel, s\xc3\xa5dan at ; og da man definerer fart som differentialkvotienten af stedfunktionen mht. tid, f\xc3\xb8lger det, at stedfunktionen er en stamfunktion til fartfunktionen mht. tid._NEWLINE_Tegnet \xe2\x88\xab til venstre kaldes det lange s eller, n\xc3\xa5r det bruges i forbindelse med integralregning, et integraltegn. Det var oprindeligt en skrivem\xc3\xa5de for et s, der ikke afslutter et ord, og brugtes f\xc3\xb8rste gang til integralregning af Gottfried Wilhelm Leibniz baseret p\xc3\xa5 det latinske ord summa "sum". dt angiver, at t er integranden, alts\xc3\xa5 den variabel der integreres med hensyn til._NEWLINE_Det ubestemte integral er en ny funktion af samme variabel som den oprindelige funktion (t i eksemplet). Denne nye funktion kan nu bruges til at beregne de bestemte integraler.\n_START_SECTION_\nBestemt integral\n_START_PARAGRAPH_\nN\xc3\xa5r man har fundet det ubestemte integral af et regneudtryk, kan man beregne bestemte integraler. I eksemplet med bilen svarer det til at beregne hvor stor en del af hele str\xc3\xa6kningen der blev tilbagelagt inden for bestemte tidsintervaller. For eksempel: Hvor mange af de i alt 57,5 km bliver tilbagelagt inden for de f\xc3\xb8rste fem minutters byk\xc3\xb8rsel efter motorvejen?_NEWLINE_Hvis man har fundet det ubestemte integral af fartfunktionen som en ny funktion F(t), s\xc3\xa5dan at:_NEWLINE__NEWLINE_kan man svare p\xc3\xa5 sp\xc3\xb8rgsm\xc3\xa5let om de f\xc3\xb8rste 5 minutter efter motorvejen (30 til 35 minutter efter starten):_NEWLINE__NEWLINE_Bem\xc3\xa6rk skrivem\xc3\xa5den med de to tal (30 og 35) der afgr\xc3\xa6nser det relevante interval skrevet ved integraltegnet. Har man et regneudtryk for F(t), kan man s\xc3\xa5ledes l\xc3\xb8se opgaven for vilk\xc3\xa5rlige tidsintervaller._NEWLINE_Bem\xc3\xa6rk, at et bestemt integral er et tal \xe2\x80\x93 i eksemplet med bilen, den str\xc3\xa6kning der k\xc3\xb8res inden for 5 minutter efter motorvejen forlades \xe2\x80\x93 mens et ubestemt integral altid er en funktion.\n_START_SECTION_\nArealet under en kurve\n_START_PARAGRAPH_\nHvis man tegner grafen til en funktion og v\xc3\xa6lger et interval som beskrevet ovenfor, kan man markere intervallet p\xc3\xa5 grafen som to linjer parallelt med koordinatsystemets ordinatakse: Nu vil arealet mellem grafen, abscisseaksen og de to intervalgr\xc3\xa6nser v\xc3\xa6re lig med funktionens bestemte integral for samme interval.'