b"\n_START_ARTICLE_\nFermats sidste s\xc3\xa6tning\n_START_SECTION_\nTidligere fors\xc3\xb8g p\xc3\xa5 beviser og beviser af specialtilf\xc3\xa6lde\n_START_PARAGRAPH_\nS\xc3\xa6tningen beh\xc3\xb8ver kun at blive bevist for  og primtal st\xc3\xb8rre end 2. Hvis  ikke er et primtal eller 4, kan det enten v\xc3\xa6re en potens af 2 eller ikke. I det f\xc3\xb8rste tilf\xc3\xa6lde er tallet 4 en faktor i , og i det andet tilf\xc3\xa6lde er der et ulige primtal blandt faktorerne. Lad i begge tilf\xc3\xa6lde  v\xc3\xa6re s\xc3\xa5dan en faktor, og s\xc3\xa6t . Nu kan ligningen udtrykkes som . Hvis man kan bevise specialtilf\xc3\xa6ldet med eksponent , er eksponenten  blot en delm\xc3\xa6ngde af det tilf\xc3\xa6lde._NEWLINE_S\xc3\xa6tningen er blevet bevist for diverse specielle eksponenter gennem \xc3\xa5rene, men det generelle tilf\xc3\xa6lde forblev ul\xc3\xb8st. Det f\xc3\xb8rste beviste tilf\xc3\xa6lde var for , som blev bevist af Fermat selv ved hj\xc3\xa6lp af en s\xc3\xa6rlig form for matematisk induktion, der byggede p\xc3\xa5 et indirekte bevis. Ved brug af en lignende metode beviste Leonhard Euler s\xc3\xa6tningen for . Selvom hans oprindelige metode indeholdt en fejl, har den dannet grundlag for megen forskning i s\xc3\xa6tningen. Sophie Germain bidrog derefter med en ny tilgang til problemet, der var meget mere generel end forrige strategier. I stedet for at bevise, at der ikke var nogen l\xc3\xb8sninger for et givent , viste hun, at hvis der var en l\xc3\xb8sning, m\xc3\xa5tte en bestemt betingelse v\xc3\xa6re opfyldt. Denne oplysning f\xc3\xb8rte senere til beviset for Fermats sidste s\xc3\xa6tning, hvor . Dette tilf\xc3\xa6lde blev bevist af Dirichlet og Legendre i 1825 ud fra en generalisering af Eulers bevis for . Beviset for det n\xc3\xa6ste primtal, , blev fundet 15 \xc3\xa5r senere af Gabriel Lam\xc3\xa9. Desv\xc3\xa6rre var dette bevis relativt langt, og det var usandsynligt, at det kunne generaliseres til h\xc3\xb8jere tal. Derefter begyndte matematikere at vise s\xc3\xa6tningen for klasser af primtal i stedet for individuelle tal. I 1847 beviste Ernst Kummer, at s\xc3\xa6tningen var sand for alle regul\xc3\xa6re primtal, hvilket bl.a. omfatter alle primtal mindre end 100, bortset fra 2, 37, 59 og 67._NEWLINE_I 1977 beviste Guy Terjanian, at hvis  er et ulige primtal, og de naturlige tal ,  og  tilfredsstiller , s\xc3\xa5 m\xc3\xa5  g\xc3\xa5 op i  eller ._NEWLINE_I 1983 beviste Gerd Faltings Mordells formodning, som medf\xc3\xb8rer, at for et vilk\xc3\xa5rligt  er der h\xc3\xb8jest endeligt mange indbyrdes primiske heltal ,  og , for hvilke det g\xc3\xa6lder, at .\n_START_SECTION_\nBevis\n_START_PARAGRAPH_\nI slutningen af 1960'erne opdagede Yves Hellegouarch en forbindelse mellem elliptiske kurver og Fermats sidste s\xc3\xa6tning. Han benyttede forbindelsen til at bevise resultater ang\xc3\xa5ende elliptiske kurver ud fra resultater fra arbejdet med Fermats sidste s\xc3\xa6tning. Dette fik Gerhard Frey til at f\xc3\xa5 den id\xc3\xa9, at Taniyama-Shimura-formodningen medf\xc3\xb8rte Fermats sidste s\xc3\xa6tning. Formodningen siger, at enhver elliptisk kurve kan blive parametriseret af en rational afbildning med heltallige koefficienter ved hj\xc3\xa6lp af den klassiske modulkurve; det vil sige, at alle elliptiske kurver ogs\xc3\xa5 er modulformer. Da Frey foreslog dette, manglede b\xc3\xa5de Taniyama-Shimura-formodningen og hans id\xc3\xa9 et bevis. For at lave Freys id\xc3\xa9 til et rigtigt bevis, foreslog Jean-Pierre Serre den s\xc3\xa5kaldte epsilonformodning, og den blev bevist af Kenneth Alan Ribet i sommeren 1986. Denne s\xc3\xa6tning sagde, at ethvert modeksempel  til Fermats sidste s\xc3\xa6tning ville resultere i en elliptisk kurve defineret som , som ikke ville v\xc3\xa6re p\xc3\xa5 modulform og dermed v\xc3\xa6re i modstrid med Taniyama\xe2\x80\x93Shimura-formodningen. Fermats sidste s\xc3\xa6tning og Taniyama\xe2\x80\x93Shimura-formodningen var nu k\xc3\xa6det sammen af epsilons\xc3\xa6tningen; sandheden af Taniyama\xe2\x80\x93Shimura-formodningen ville medf\xc3\xb8re sandheden af Fermats sidste s\xc3\xa6tning._NEWLINE__NEWLINE_Efter at have h\xc3\xb8rt om Ribets bevis for epsilonformodningen gik Andrew Wiles, der havde v\xc3\xa6ret fascineret af Fermats sidste s\xc3\xa6tning siden ti\xc3\xa5rsalderen og havde erfaring med elliptiske kurver, i gang med at bevise Taniyama\xe2\x80\x93Shimura-formodningen og dermed Fermats sidste s\xc3\xa6tning. Imidlertid gjorde han dette i n\xc3\xa6sten total hemmelighed \xe2\x80\x93 han arbejdede i hele syv \xc3\xa5r med minimal hj\xc3\xa6lp udefra \xe2\x80\x93 i mods\xc3\xa6tning til, hvordan det meste matematik udf\xc3\xb8res nu til dags. I 1993 offentliggjorde Wiles sit bevis i l\xc3\xb8bet af tre forel\xc3\xa6sninger, som han gav ved Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences den 21., 22. og 23. juni 1993. Publikum forbl\xc3\xb8ffedes af antallet af id\xc3\xa9er og konstruktioner i beviset. Wiles havde gennemg\xc3\xa5et beviset med en Princeton-kollega, Nick Katz, i forvejen. Alligevel viste det sig, at beviset indeholdt en fejl i en kritisk del, som gav en gr\xc3\xa6nse for ordenen af en bestemt gruppe. Efter syv \xc3\xa5rs arbejde var beviset ugyldigt._NEWLINE_Wiles og hans tidligere studerende Richard Taylor brugte omkring et \xc3\xa5r p\xc3\xa5 at fors\xc3\xb8ge at genoplive beviset, hvilket blev fulgt t\xc3\xa6t af medierne og det matematiske samfund. I september 1994 lykkedes det dem at korrigere beviset med nogle andre kasserede teknikker, som Wiles havde brugt i nogle tidligere fors\xc3\xb8g. Wiles fandt ud af, at han kunne arbejde med dertil h\xc3\xb8rende Galois-repr\xc3\xa6sentationer. Under forl\xc3\xb8bet udviklede han id\xc3\xa9er fra Barry Mazur om deformationer af Galois-repr\xc3\xa6sentationer. Det endelige, korrekte bevis benytter sig af den moderne algebraiske geometris standardiserede konstruktioner, hvilket involverer det matematiske felt skemaer._NEWLINE_Fordi Wiles' bevis hovedsageligt bygger p\xc3\xa5 teknikker udviklet i det 20. \xc3\xa5rhundrede, er de fleste matematikere enige om, at Wiles' bevis ikke er det samme som Fermats bevis. Visse matematikere tror, at Fermat rent faktisk ikke beviste s\xc3\xa6tningen, eller at hans bevis var fejlagtigt ligesom andre tidlige fors\xc3\xb8g. Der er dog ogs\xc3\xa5 andre matematikere, som tror, at Fermat virkelig beviste s\xc3\xa6tningen med teknikker fra det 17. \xc3\xa5rhundrede. Selvom Andrew Wiles allerede har bevist, at s\xc3\xa6tningen er sand, forts\xc3\xa6tter visse matematikere, der tror, at Fermat ogs\xc3\xa5 beviste s\xc3\xa6tningen, med at lede efter et element\xc3\xa6rt bevis.\n_START_SECTION_\nLignende ligninger\n_START_PARAGRAPH_\nMange diofantiske ligninger har en form, der minder om ligningen i Fermats sidste s\xc3\xa6tning._NEWLINE_Eksempelvis er der uendeligt mange positive heltal ,  og , s\xc3\xa5ledes at , hvor  og  er vilk\xc3\xa5rlige indbyrdes primiske naturlige tal."