<img src="/get_file?id=121699" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Функция <i>y</i>  =  <i>f</i> (<i>x</i>) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку <i>x</i><sub>0</sub>, в которой функция принимает наименьшее значение, если <i>f</i> (−5) ≥ <i>f</i> (5).
<img src="/get_file?id=111324" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Напомним, что если функция непрерывна на отрезке [<i>a</i>; <i>b</i>], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (<i>a</i>; <i>b</i>), то функция возрастает (убывает) на отрезке [<i>a</i>; <i>b</i>]. Тем самым функция  <i>f</i>, график производной которой дан в условии,  возрастает на отрезках [−5; −3]  и [3; 5] и убывает на отрезке [−3; 3].Из этого следует, что <i>f</i> принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке −5, или в точке минимума <i>х</i><sub>min</sub>  =  3. В силу возрастания <i>f</i> на отрезке [3; 5] справедливо неравенство <i>f</i> (5) > <i>f</i> (3). Поскольку по  условию <i>f</i> (−5) не меньше, чем <i>f</i> (5), справедлива оценка <i>f</i> (−5) > <i>f</i> (3).Таким образом, наименьшего значения функция <i>f</i> достигает в точке 3. График одной из функций, удовлетворяющих условию, приведён на рисунке. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span>3.  <img src="/get_file?id=123830" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/><b>Примечание Б. М. Беккера (Санкт-Петербург).</b>Непрерывность функции на концах отрезка существенна. Действительно, если бы функция <i>f</i> имела в точке 5 разрыв первого рода (см. рис.), значение <i>f</i> (5) могло оказаться меньше значения <i>f</i> (3), а тогда наименьшим значением функции на отрезке [−5; 5]  являлось бы значение функции в точке 5. <b>Примечание портала РЕШУ ЕГЭ.</b>Мы были удивлены, обнаружив это задание в экзаменационной работе досрочного ЕГЭ по математике 28.04.2014 г. Это непростое задание отсутствует в Открытых банках заданий, что, несомненно, оказалось неприятным сюрпризом для выпускников. <b>Примечание Александра Ларина (Москва).</b>В этой задачке весь ужас «выстрелил вхолостую», 99,9999% решающих даже и не обратят внимание на потенциальную угрозу  — ответ-то получается такой же. А про соотношение значений на границах и уж тем более про непрерывность никто читать и не собирается :-) А вот если условие слегка поменять, то «минус балл» всей стране обеспечен будет.