Часы со стрелками показывают 8 часов ровно. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
До четвертой встречи стрелок минутная должна сначала пройти 8 разделяющих их часовых делений (поскольку часы показывают 8 часов), затем 3 раза обойти полный круг, то есть пройти 36 часовых делений, и пройти последние <i>L</i> делений, на которые поворачивается часовая стрелка за время движения минутной. Скорость движения минутной стрелки в 12 раз больше часовой: пока часовая обходит один полный круг, минутная проходит 12 кругов. Приравняем время движения часовой и минутной стрелок до их четвертой встречи:$ дробь: числитель: L, знаменатель: 1 конец дроби = дробь: числитель: 8 плюс 36 плюс L, знаменатель: 12 конец дроби равносильно 12L=L плюс 44 равносильно L=4. $Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 240. <b>Приведем арифметическое решение.</b>Скорость минутной стрелки 1 круг в час, а часовой  — $ дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 12$ круга в час, поэтому скорость удаления или сближения стрелок равна $ дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби $ круга в час. Расстояние между стрелками, отсчитываемое по окружности, в начальный момент составляет 40 минут или $ дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби $ круга. С момента первой встречи до момента четвёртой встречи минутная стрелка должна опередить часовую на три круга. Всего $ дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 3 = дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби $ круга. Поэтому необходимое время равно $ дробь: числитель: 11}3 : дробь: числитель: {, знаменатель: 1 конец дроби 1, знаменатель: 12 конец дроби = 4 $ часа или 240 минут. <b>Приведем другое решение.</b>Ясно, что в первый раз стрелки встретятся между 8 и 9 часами, второй раз  — между 9 и 10 часами, третий  — между 10 и 11, четвертый  — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 4 часа, что составляет 240 минут. <b>Помещаем решение в общем виде.</b>Скорость вращения часовой стрелки равна 0,5 градуса в минуту, а минутной  — 6 градусов в минуту. Поэтому когда часы показывают время <i>h</i> часов <i>m</i> минут часовая стрелка повернута на 30<i>h</i> + 0,5<i>m</i> градусов, а минутная  — на 6<i>m</i> градусов относительно 12-часового деления. Пусть в первый раз стрелки встретятся через <i>t</i><sub>1</sub> минут. Тогда если минутная стрелка еще не опережала часовую в течение текущего часа, то 6<i>m</i> + 6<i>t</i><sub>1</sub> = 30<i>h</i> + 0,5<i>m</i> + 0,5<i>t</i><sub>1</sub>, т. е. <i>t</i><sub>1</sub> = (60<i>h</i> − 11<i>m</i>)/11 (*). В противоположном случае получаем уравнение 6<i>m</i> + 6<i>t</i><sub>1</sub> = 30<i>h</i> + 0,5<i>m</i> + 0,5<i>t</i><sub>1</sub> + 360, откуда <i>t</i><sub>1</sub> = (60<i>h</i> − 11<i>m</i> + 720)/11 (**).Пусть во второй раз стрелки встретятся через <i>t</i><sub>2</sub> минут после первого, тогда 0,5<i>t</i><sub>2</sub> = 6<i>t</i><sub>2</sub> − 360, откуда <i>t</i><sub>2</sub> = 720/11 (***). Это же верно для каждого следующего оборота.Поэтому для встречи с номером <i>n</i> из (*) и (**) с учетом (***) имеем соответственно: <i>t</i><sub><i>n</i></sub> = (60<i>h</i> − 11<i>m</i> + 720(<i>n</i> − 1))/11 или <i>t</i><sub><i>n</i></sub> = (60<i>h</i> − 11<i>m</i> + 720<i>n</i> − 720)/11.