Монету подбрасывают до тех пор, пока орёл не выпадет два раза (не обязательно подряд). Найдите математическое ожидание числа бросков.
Ниже мы докажем, что если некоторое событие наступает с вероятностью <i>p</i>, то в серии испытаний это событие в среднем первый раз будет наступать на шаге с номером $ дробь: числитель: 1, знаменатель: p конец дроби .$ В данной задаче вероятность выпадения орла равна 0,5, поэтому при многократных бросаниях в среднем первый раз орел будет выпадать на втором шаге. Второй орел  — еще через два шага. Два орла в среднем будут выпадать за 4  броска. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 4. <b>Вычисление математического ожидания количества испытаний до первого успеха.</b>Проведем серию испытаний, результатом каждого из которых является либо успех с вероятностью <i>р</i>, где 0 < <i>p</i> < 1, либо неудача с вероятностью $q = 1 минус p.$ При наступлении успеха испытания прекращается. Определим при таких условиях матожидание количества испытаний до первого успеха.Вероятность того, что успех наступит при первом испытании равна <i>р</i>. Вероятность успеха на втором испытании означает, что первое должно окончиться неудачей, а потому она равна <i>qр</i>. На третьем испытании успех наступает с вероятностью <i>q</i><sup>2</sup><i>р</i> и так далее. Описанные события несовместные, следовательно, вероятность того, что успех наступит на каком-то шаге равна сумме найденных вероятностей:$p плюс qp плюс q в квадрате p плюс q в кубе p плюс q в кубе p плюс \ldots .$Все слагаемые в полученном выражении положительны и не превосходят единицы, поэтому она представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом <i>р</i> и знаменателем <i>q</i>. Сумма членов этой прогрессии равна $ дробь: числитель: p, знаменатель: конец дроби 1 минус q,$ откуда получаем:$p плюс qp плюс q в квадрате p плюс q в кубе p плюс q в кубе p плюс \ldots = дробь: числитель: p, знаменатель: конец дроби 1 минус q.$ Будем считать теперь левую и правую части найденного тождества функциями, зависящими от <i>q</i>. Из тождественного равенства выражений следует равенства из производных, поэтому, вычисляя производную по <i>q</i>, получим:$1p плюс 2qp плюс 3q в квадрате p плюс 4q в кубе p плюс \ldots = дробь: числитель: p, знаменатель: конец дроби левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка в квадрате .$Осталось заметить, что левая часть последнего равенства есть матожидание количества испытаний до первого успеха. Тем самым для геометрического распределения с вероятностью успеха <i>р</i> в каждом испытании матожидание количества испытаний до первого успеха равно$ Е = дробь: числитель: p, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: p, знаменатель: p в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: p конец дроби . $Таким образом, если некоторое событие наступает с вероятностью <i>p</i>, то в серии испытаний это событие в среднем первый раз будет наступать на шаге с номером $ дробь: числитель: 1, знаменатель: p конец дроби .$  Это мы и хотели доказать. <b>Примечание.</b>На первый взгляд, кажется естественным вычислить искомое математическое ожидание по определению. Для этого поступим рассмотрим следующие случаи.Случай двух бросаний: возможные комбинации ОО, ОР, РО, РР. Вероятность каждой из них равна $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ Подходящей является лишь  ОО, вероятность такого события равна $p_2 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$Случай трех бросаний: возможные комбинации ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Вероятность каждой из них <nobr>равна $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$</nobr> Комбинацию  ООО и ООР отбрасываем, поскольку она выпадение двух орлов подряд относится к предыдущему случаю. Из оставшихся подходящими комбинациями являются ОРО, РОО вероятность такого события равна $p_3 = 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$Случай четырех бросаний: возможные комбинации ОООО, ОООР, ООРО, ООРР, ОРОО, ОРОР, ОРРО, ОРРР, РООО, РООР, РОРО, РОРР, РРОО, РРОР, РРРО, РРРР. Вероятность каждой из них равна $ дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16.$ Комбинации, содержащие двух орлов до наступления четвертого шага, отбрасываем как учтенные ранее. Из оставшихся подходящими являются ОРРО, РОРО, РРОО. вероятность такого события равна $p_4 = 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16.$Видим закономерность: для <i>n</i> бросков вероятность равна $p_n = дробь: числитель: n минус 1, знаменатель: 2 в степени n конец дроби . $ Тогда по определению математическое ожидание равно$E левая круглая скобка X правая круглая скобка = 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 3 умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 8 конец дроби плюс 4 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: конец дроби 16 плюс \ldots плюс n умножить на дробь: числитель: n минус 1, знаменатель: 2 в степени n конец дроби . $Компьютерные вычисления показывают, что при стремлении количества бросков  <i>n</i> к бесконечности, найденная сумма неограниченно приближается к числу  4. Этот предел и можно считать искомым математическим ожиданием. Проблема лишь в том, как вычислить этот предел без использования компьютерной техники. <b>Примечание редакции Решу ЕГЭ.</b>Приведенное задание взято нами из Открытого банка математических задач, составленного разработчиками ЕГЭ.