Расстояние между городами <i>A</i> и <i>B</i> равно 150 км. Из города <i>A</i> в город <i>B</i> выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе <i>C</i> и повернул обратно. Когда он вернулся в <i>A</i>, автомобиль прибыл в $B.$ Найдите расстояние от <i>A</i> до $C.$ Ответ дайте в километрах.
Обозначим <i>S</i> км  — расстояние от <i>A</i> до <i>C</i>, $ v $ км/ч  — скорость автомобиля, <i>t</i> ч  — время движения мотоциклиста от <i>A</i> до <i>C</i>. Тогда $ левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 90t$  и $ левая круглая скобка 2t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 150.$ Решим систему полученных уравнений: $ система выражений  новая строка левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 90t,  новая строка левая круглая скобка 2t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 150 конец системы . равносильно система выражений  новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v , знаменатель: левая круглая скобка 2t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v конец дроби = дробь: числитель: 90t, знаменатель: 150 конец дроби  новая строка левая круглая скобка 2t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 150  конец системы . равносильно система выражений  новая строка дробь: числитель: 2t плюс 1, знаменатель: 2t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 6t, знаменатель: 5 конец дроби ,  новая строка левая круглая скобка 2t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 150  конец системы . равносильно система выражений  новая строка t=1,  новая строка v =60. конец системы . $Тогда  $ S = 90t= 90$ км. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 90. <b>Приведём другой способ решения.</b>Обозначим υ км  — скорость автомобиля. В момент выезда мотоциклиста между автомобилем и мотоциклом было 0,5υ км, и мотоциклист догонит автомобиль в городе <i>C</i> за $ дробь: числитель: 0,5 v , знаменатель: 90 минус v конец дроби $ ч. За это же время мотоцикл вернётся в <i>A</i>, а автомобиль доедет до <i>B</i>. Всего автомобиль затратит времени $2 умножить на дробь: числитель: 0,5 v , знаменатель: 90 минус v конец дроби плюс 0,5. $ За это время он со скоростью υ проедет 150 км. Получим уравнение:$ левая круглая скобка дробь: числитель: v , знаменатель: 90 минус v конец дроби плюс 0,5 правая круглая скобка умножить на v =150 равносильно 0,5 v в квадрате плюс 45 v =150 умножить на 90 минус 150 v равносильно v в квадрате плюс 390 v минус 300 умножить на 90=0. $Положительный корень уравнения $ v =60.$ Тогда мотоцикл затратит на дорогу до <i>C</i> $ дробь: числитель: 30, знаменатель: 30 конец дроби =1 $ час, а поскольку его скорость равна 90, то расстояние до <i>C</i> равно 90 км. <span style="letter-spacing: 2pv;">Ответ:</span> 90.