Найдите наименьшее значение функции $y= минус 14x плюс 7 тангенс x плюс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 11 $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка . $
Найдем производную заданной функции: $y'= дробь: числитель: 7, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 14= дробь: числитель: минус 7 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = минус дробь: числитель: 7 косинус 2x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби . $Найдем нули производной:$ система выражений  новая строка 7 косинус 2x=0,  новая строка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби  конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,  новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .  конец совокупности .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67753" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Функция может принимать наименьшее значение в точках $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби $ или $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . $ Найдем их:$y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = минус 7 тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 14 умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 11 = минус 7 корень из 3 плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 6 конец дроби Пи плюс 11 , $ $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =7 тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 3,5 Пи плюс 3,5 Пи плюс 11=18. $Поскольку $ y левая круглая скобка минус Пи /3 правая круглая скобка больше минус 14 плюс 24 плюс 11 = 21,$ наименьшее из найденных чисел равно 18. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 18.