<img src="/get_file?id=113308" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60. Найдите диагональ этого прямоугольника.
Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Площадь прямоугольника равна их произведению. Обозначим длины сторон <i>a</i> и $b.$ Тогда периметр и площадь прямоугольника соответственно равны $P=2 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка =34$ и $S=ab=60.$ Решим систему:$ левая фигурная скобка \beginalign  новая строка a плюс b = 17,  новая строка a b = 60 \endalign равносильно левая фигурная скобка \beginalign  новая строка a = 17 минус b,  новая строка 17 b минус b в квадрате = 60 \endalign равносильно левая фигурная скобка \beginaligna = 17 минус b,  новая строка левая квадратная скобка \beginalign b=5, b=12 \endalign \endalign равносильно левая квадратная скобка \beginalign \ левая фигурная скобка \beginarrayl a=12, b=5, \endarray левая фигурная скобка \beginarrayl a=5, b=12. \endarray \endalign $ Тем самым, стороны прямоугольника треугольника равны 5 и 12.  Диагональ разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в которых она является гипотенузой. Пусть длина диагонали равна <i>c</i>, тогда по теореме Пифагора $c = корень из 5 в квадрате плюс 12 в квадрате = корень из 25 плюс 144=13.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 13. <i>Примечание 1.</i> Можно заметить, что система уравнений $a плюс b=17, ab=60$ является системой Виета. Поэтому её решения  — корни квадратного уравнения $t в квадрате минус 17t плюс 60=0,$ откуда $t=5$ и $t=12.$ <i>Примечание 2.</i>Можно было и вовсе не решать систему уравнений: действительно, $с в квадрате =a в квадрате плюс b в квадрате = левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате минус 2ab=17 в квадрате минус 2 умножить на 60=169 = 289 минус 120=169,$откуда $c=13.$