Прямая <i>y</i> = 3<i>x</i> + 1 является касательной к графику функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =$ <i>ax</i><sup>2</sup> + 2<i>x</i> + 3. Найдите <i>a</i>.
Прямая $y=kx плюс b$ является касательной к графику функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда одновременно $f левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =y левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка $ и $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =k.$ В нашем случае имеем:$ система выражений  новая строка 2ax_0 плюс 2=3,  новая строка ax_0 в квадрате плюс 2x_0 плюс 3=3x_0 плюс 1 конец системы . равносильно система выражений  новая строка ax_0=0,5,  новая строка 0,5x_0 минус x_0= минус 2 конец системы . равносильно система выражений  новая строка a=0,125,  новая строка x_0=4. конец системы .$ Искомое значение <i>а</i> равно 0,125. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,125. <b>Приведем другое решение.</b>По смыслу задачи <i>a</i> ≠ 0, а значит, график заданной функции  — парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе) имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение <i>ax</i><sup>2</sup> + 2<i>x</i> + 3  =  3<i>x</i>  + 1 имело единственно решение. Для этого дискриминант 1 − 8<i>а </i> уравнения <i>ax</i><sup>2</sup> − <i>x</i> + 2 = 0 должен быть равен нулю, откуда $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби =0,125.$