Монету подбрасывают 8 раз. Найдите математическое ожидание количества выпавших орлов.
Вероятность каждого исхода (последовательность выпадения орлов и решек) в описанном эксперименте составляет $p= левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени 8 .$ Количество исходов, соответствующих событию "Выпало ровно <i>k</i> орлов", равно $C_8 в степени k ,$ а вероятность этого события, равна $p умножить на C_8 в степени k .$Тогда математическое ожидание E  количества выпавших орлов (<i>X</i>)  равно$EX=0 умножить на p умножить на C_8 в степени 0 плюс 1 умножить на p умножить на C_8 в степени 1 плюс 2 умножить на p умножить на C_8 в квадрате плюс 3 умножить на p умножить на C_8 в кубе плюс 4 умножить на p умножить на C_8 в степени 4 плюс 5 умножить на p умножить на C_8 в степени 5 плюс 6 умножить на p умножить на C_8 в степени 6 плюс 7 умножить на p умножить на C_8 в степени 7 плюс 8 умножить на p умножить на C_8 в степени 8 .$Учитывая, что $C_8 в степени k =C_8 в степени левая круглая скобка 8 минус k правая круглая скобка ,$ получаем$EX=p умножить на 8 умножить на левая круглая скобка C_8 в степени 0 плюс C_8 в степени 1 плюс C_8 в квадрате плюс C_8 в кубе правая круглая скобка плюс p умножить на 4 умножить на C_8 в степени 4 =8p левая круглая скобка 1 плюс 8 плюс 28 плюс 56 правая круглая скобка плюс 4p умножить на 70=1024p= дробь: числитель: 1024, знаменатель: 2 в степени 8 конец дроби = дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени 8 конец дроби =2 в квадрате =4. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 4. <b>Примечание.</b>В решении выше фактически выведена формула Бернулли. Читатель, знакомый с этим материалом, мог бы сразу построить распределение количества выпавших орлов. Покажем, как это сделать.Орел может не выпасть или выпасть от 1 до 8 раз, а вероятность каждого из этих событий определяются по формуле Бернулли. Напомним ее: если вероятность наступления некоторого события в каждом испытании равна <i>p</i>, то вероятность  того, что при <i>n</i> независимых испытаниях данное событие наступит ровно <i>k</i> раз, равна $P_n в степени k = C_n в степени k p в степени k левая круглая скобка 1 минус p правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n минус k правая круглая скобка .$ Для симметричной монеты вероятность выпадения орла при однократном испытании $p = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ поэтому вероятность, что при 8 бросаниях орел выпадет ровно <i>k</i> раз равна $P_8 в степени k = C_8 в степени k левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени k левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 8 минус k правая круглая скобка = C_8 в степени k левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени 8 = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 в степени 8 C_8 в степени k .$ Получаем распределение: По построенному распределению находим математическое ожидание E количества выпавших орлов <i>X</i>:$E левая круглая скобка X правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 в степени 8 левая круглая скобка 0 умножить на C_8 в степени 0 плюс 1 умножить на C_8 в степени 1 плюс 2 умножить на C_8 в квадрате плюс 3 умножить на C_8 в кубе плюс 4 умножить на C_8 в степени 4 плюс 5 умножить на C_8 в степени 5 плюс 6 умножить на C_8 в степени 6 плюс 7 умножить на C_8 в степени 7 плюс 8 умножить на C_8 в степени 8 правая круглая скобка = 4. $ <b>Приведем еще три способа решения (Дмитрий Гущин, Санкт-Петербург).</b>1.  Читатель, знакомый с механическим смыслом математического ожидания, сразу вспомнит, что матожидание дискретной случайной величины численно совпадает с абсциссой центра тяжести единичной массы, распределенной в точках <i>x<sub>i</sub></i> в количествах <i>p</i>(<i>x<sub>i</sub></i>). При помощи этой аналогии, построив распределение случайной величины, матожидание можно получить без вычислений: случайная величина принимает последовательные значения от 0 до 8, а $p_i = p_8 минус i,$ поэтому центр масс находится в точке 4, что и равно матожиданию.2.  Читатель, знающий, что понимается под суммой дискретных случайных величин, мог бы воспользоваться тем, что математическое ожидание суммы двух случайных (зависимых или независимых) величин равно сумме их математических ожиданий: $M левая круглая скобка X плюс Y правая круглая скобка = M левая круглая скобка X правая круглая скобка плюс M левая круглая скобка Y правая круглая скобка .$ Если взять за <i>Х</i> количество выпавших орлов, а за <i>Y</i>  — количество выпавших решек, то, поскольку делается восемь бросаний, получаем: $M левая круглая скобка X плюс Y правая круглая скобка = M левая круглая скобка X правая круглая скобка плюс M левая круглая скобка Y правая круглая скобка = 8.$ Тогда из симметричности монетки следует, что $M левая круглая скобка X правая круглая скобка = M левая круглая скобка Y правая круглая скобка = 4.$ Отметим, что приведенное свойство математического ожидания вовсе не очевидно, а его доказательство требует некоторой работы.3.  Читатель, изучавший в вузе статистику, знает следующую <span style="letter-spacing: 2px;">теорему:</span>  В нашем случае вероятность выпадения орла для каждого бросания равна 0,5. Поэтому математическое ожидание количества выпавших орлов при 8 бросаниях равно 8 · 0,5  =  4. Вероятно, именно так следует решать эту задачу на экзамене.