Прямая $y= минус 5x плюс 8$ является касательной к графику функции $y=28x в квадрате плюс bx плюс 15.$ Найдите <i>b</i>, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Условие касания графика функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и прямой $y=kx плюс l$ задаётся системой требований:$ левая фигурная скобка \beginalign f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =k, f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l. \endalogn . $В нашем случае имеем:$ левая фигурная скобка \beginalign 56x плюс b= минус 5, 28x в квадрате плюс bx плюс 15= минус 5x плюс 8 \endalogn . равносильно левая фигурная скобка \beginalign b= минус 5 минус 56x, 28x в квадрате плюс левая круглая скобка минус 5 минус 56x правая круглая скобка x плюс 15= минус 5x плюс 8 \endalogn . равносильно левая фигурная скобка \beginalign b= минус 5 минус 56x, x в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . \endalogn . $ По условию абсцисса точки касания положительна, поэтому <i>x</i> = 0,5, откуда <i>b</i> = −33. <b>Приведём другое решение.</b>Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение $28x в квадрате плюс bx плюс 15= минус 5x плюс 8$ должно иметь единственное решение, а значит, должен равняться нулю дискриминант уравнения $28x в квадрате плюс левая круглая скобка b плюс 5 правая круглая скобка x плюс 7=0. $ Найдем его: $D= левая круглая скобка b плюс 5 правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на 7 умножить на 28 = левая круглая скобка b плюс 5 правая круглая скобка в квадрате минус 28 в квадрате = левая круглая скобка b плюс 5 плюс 28 правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс 5 минус 28 правая круглая скобка = левая круглая скобка b плюс 33 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 23 правая круглая скобка .$ Дискриминант обращается в нуль при $b= минус 33$ или $b=23.$ Проверим, положительны ли абсциссы точек касания при найденных значениях параметра. Для этого подставим их в уравнение $28x в квадрате плюс левая круглая скобка b плюс 5 правая круглая скобка x плюс 7=0. $ При $b= минус 33$ имеем: $28x в квадрате минус 28x плюс 7=0 равносильно 4х в квадрате минус 4x плюс 1=0 равносильно левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Аналогично при $b=23$ имеем: $28x в квадрате плюс 28x плюс 7=0 равносильно 4х в квадрате плюс 4x плюс 1=0 равносильно левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$Точка касания имеет положительную абсциссу при $b= минус 33.$  <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span>  −33.