Can I ride side by side with another cyclist in Switzerland?
The relevant law text in Switzerland is on admin.ch (quoting German version, the French and Italian versions are also available at that link and just as legally binding. I'm not translating it, but very roughly summing it up below):


  Art. 43 Motorräder, Motorfahrräder und Fahrräder; Hintereinanderfahren
  
  (Art. 46 Abs. 2 und 47 Abs. 1 SVG)
  
  
  Die Führer von Fahrrädern und Motorfahrrädern dürfen nicht neben andern Fahr-rädern oder Motorfahrrädern fahren. Sofern der übrige
  Verkehr nicht behindert wird, ist das Nebeneinanderfahren zu zweit
  jedoch gestattet:
  
  a.
  in geschlossenem Verband von mehr als zehn Fahrrädern oder Motorfahr-rädern;
  
  b.
  bei dichtem Fahrrad- oder Motorfahrradverkehr;
  c.
  auf Radwegen und auf signalisierten Rad-Wanderwegen auf Nebenstrassen;
  
  d.
  in Begegnungszonen
  Die Führer von Motorrädern dürfen weder nebeneinander noch neben Fahrrädern oder Motorfahrrädern fahren. Radfahrer und
  Motorfahrradfahrer dürfen nicht neben Motorrädern fahren.
  


I understand this to mean that any condition a-d is sufficient to allow exactly two (motorized) bicycles side by side, with the caveat that you aren't ever allowed to hinder the rest of the traffic.

Probably there is some other law somewhere defining what exactly is meant by hindering traffic, but I couldn't find it on the spot.

ASVZ Rennvelo (cycling club of several large Swiss universities) has the following in their introduction document for people interested in joining one of their riding groups:


  Die  Fahrer  am  Ende  der  Gruppe  weisen  auf  von  hinten kommendem  Verkehr  hin  mit  dem  Ruf  «Auto!»,  was  heisst,  dass 
  jetzt  in  einer  Spur  gefahren  werden  muss  und  nicht  abgelöst 
  werden  darf,  bis  der  Verkehr  sicher  überholt  hat.  (Gemäss 
  Verkehrsregelv erordnung  Art.  43  darf  «[...]  in  geschlossenem 
  Verband von mehr als zehn Fahrrädern [...]» nebenei nander gefahren
  werden.)


So they are interpreting it in a careful way: You should not ride side by side (to switch to the back of the riding formation) if there is any (motorized) traffic overtaking you.

On the other hand groups like Critical Mass or Vélorution stretch the law in the other direction and regularly ride in large groups (20-600) with 3-10 riders side by side taking up to 3 regular lanes and no one to my knowledge has ever been taken to court for that. Police on bicycles recently showed up at such events so they are well aware of them.

Basically I think this boils down to: Only do it on official cycling roads (marked by brown/red signs, no or little motor traffic) and in large groups. That large group should have someone more experienced who can tell when it's okay and when not.