Why does the word 萌 mean "cute"?
From the wikipedia article:

關於「萌」這個字現今用法的來源，至今依舊眾說紛紜，以下為部份幾種的說法：

有種說法認為，原本所用的詞語應該是「燃え」(もえ)，但是因為「萌え」和「燃え」的日語發音相同，且動漫喜好者認為「萌え」更能形容他們對事物喜好的狀態，因此後來都用「萌え」了。

亦有說法認為，這個詞語原本來自較為常用的「燃えている」（燃燒），但由於日文電腦輸入平假名時會智能判斷漢字，而萌え排序在前面，變成現在的寫法。


目前「萌」大多使用在二次元裡，如果遇到刻意將現實世界（三次元）的人套用到二次元的審美的情況，也有可能用到「萌」。 不過這種狀況十分稀少，因為三次元的人通常難以構成萌屬性。 現在「燃え」在中文界解作萌的相對詞，是對熱血的喜愛。

Abbreviated translation:

There are two main theories of the origin:

One is that 「燃え」(to burn, describing a reaction to something attractive) is a homophone in Japanese with「萌え」(to sprout), so Japanese Anime enthusiasts decided the latter was a better (perhaps more poetic?) way to describe this kind of reaction.

One is that「燃え」and「萌え」got switched because the IME would put「萌え」 first.



In any event, it seems clear that this use of 萌 comes from Japanese anime, and it originally described a reaction to a beautiful woman. Now, it can refer to anything loveable.