Why is it possible to replace 都 with 也 in 什么都没有?
什麼都 can be used in both positive and negative statements while 什麼也 is usually used in negative statements. So, instead of focusing on the usage of 也 here, 什麼都 and 什麼也 can be regarded as phrases which are sometimes used interchangeably.

For example:


  我們以為什麼都知道，而實際上什麼也不知道。/ 我们以为什么都知道，而实际上什么也不知道。


One possible translation:  


  We thought we knew/know everything but, in fact, we knew/know nothing at all.


So, it's ok to say (although the above example would read better):


  我們以為什麼都知道，而實際上*什麼都*不知道。/ 我们以为什么都知道，而实际上*什么都*不知道。


but odd to say:


  我們以為*什麼也*知道，而實際上什麼也不知道。/ 我们以为*什么也*知道，而实际上什么也不知道。