Find the largest prime whose length, sum and product is prime
Python 2.7 on PyPy, {2404}3{1596} (~10^4000)
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111113111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Found this one about 50 minutes after starting from 4000. Therefore, I would estimate this is the upper limit of this code approach.
Change: I've noticed that some lengths seem to be more fruitful for generating this sort of prime than others, so I've decided to only check 50 random locations of the digit that isn't 1 instead of all possible locations, before moving on. I'm not completely sure this will improve performance, or that 50 is correct, but we'll see.
Possibilities list is generated based on the fact that for the products requirement to be fulfilled, the number must be all ones except for a prime. In addition, the prime can't be 2 because of the sum and length relationship, and the digital sum must not be divisible by three, giving the %3 requirements.
is_prime taken from http://codepad.org/KtXsydxK , written by @primo
Note: this is_prime function is actually a Baillie-PSW pseudoprime test, but there are no known counter-examples, so I'm not going to worry about the distinction.
#http://codepad.org/KtXsydxK
from my_math import is_prime
import time,random
LLIMIT=2748
time.clock()
start_time=time.time()
checked=0
while time.time()-start_time&lt;3600:
    small_primes = [a for a in range(LLIMIT,2*LLIMIT) if is_prime(a)]
    leng,dig=(0,0)
    for a in small_primes:
        if a+2 in small_primes:
            leng,dig=(a,3)
            break
        if a+4 in small_primes:
            leng,dig=(a,5)
            break
        if a+6 in small_primes:
            leng,dig=(a,7)
            break
    start=time.clock()
    print leng,dig,time.clock(),checked
    for loc in random.sample(range(leng),50):
        checked+=1
        if is_prime(int('1'*loc+str(dig)+'1'*(leng-loc-1))):
            print leng-1,loc,dig,time.clock(),time.clock()-start, \
                  int('1'*loc+str(dig)+'1'*(leng-loc-1))
            break
    LLIMIT=leng+1