نسخة الفيديو النصية
هنتكلم عن إيجاد جذور المعادلات التربيعية من الرسم البياني، وهنعرف إزاي نقدر نوجد جذور أي معادلة تربيعية باستخدام الرسم البياني.
في البداية الصورة القياسية للمعادلة التربيعية هتكون: أ س تربيع زائد ب س زائد جـ بتساوي صفر، حيث أ لا تساوي صفر، و أ و ب و جـ أعداد صحيحة. وهنسمي حلول المعادلة التربيعية جذور المعادلة، وأحد طرق إيجاد جذور المعادلة التربيعية هتكون هي إيجاد أصفار الدالة التربيعية المرتبطة بها، وأصفار الدالة التربيعية همّا نقاط التقاطع مع محور السينات لرسمها البياني؛ يعني لو في صفحة جديدة هناخد مثال: عندنا دالة تربيعية بالشكل ده، بالنسبة للمعادلة التربيعية س تربيع ناقص س ناقص ستة بتساوي صفر، الدالة التربيعية المرتبطة بيها هتكون عبارة عن د س هتساوي س تربيع ناقص س ناقص ستة. وعشان نقدر نوجد جذور المعادلة التربيعية محتاجين نوجِد أصفار الدالة التربيعية؛ فالدالة التربيعية لو عايزين نمثّلها بيانيًّا هتكون بالشكل ده، وأصفار الدالة التربيعية هي عبارة عن نقاط التقاطع للمنحنى مع محور السينات، فهنلاحظ إن عندنا نقطتين على المنحنى بيقطعوا محور السينات هما صفر وتلاتة وصفر وسالب اتنين، فهيكونوا هما دول أصفار الدالة التربيعية؛ يعني في الدالة التربيعية هنعوّض مرة عن س بسالب اتنين، فهيكون عندنا د سالب اتنين هتساوي سالب اتنين تربيع ناقص سالب اتنين ناقص ستة، أو هتساوي صفر، وهنعوّض مرة عن س بتلاتة فهيكون عندنا د تلاتة هتساوي تلاتة تربيع ناقص تلاتة ناقص ستة أو صفر؛ وبالتالي هنقدر نقول إن سالب اتنين وتلاتة همَا أصفار الدالة، وبما إننا قدرنا نوجد أصفار الدالة فهنعوّض بسالب اتنين وتلاتة في المعادلة التربيعية؛ فهيكون عندنا سالب اتنين تربيع ناقص سالب اتنين ناقص ستة أو صفر، أو عندنا لما نعوّض عن س بتلاتة: تلاتة تربيع ناقص تلاتة ناقص ستة أو صفر. وبما إن سالب اتنين وتلاتة حققوا المعادلة التربيعية، يبقى نقدر نقول إن سالب اتنين وتلاتة همَا جذور المعادلة، ويبقى كده قدرنا نوجد جذور المعادلة التربيعية عن طريق إيجاد أصفار الدالة التربيعية المرتبطة بها.
في صفحة جديدة هناخد مثال آخر، لو عندنا مثال بالشكل ده، مطلوب حل المعادلة س تربيع ناقص تلاتة س ناقص أربعة بيساوي صفر بيانيًّا، أول خطوة هنرسم الدالة المرتبطة بيها اللي هي د س هتساوي س تربيع ناقص تلاتة س ناقص أربعة، وعشان نقدر نمثّل الدالة دي بيانيًّا هنوجد معادلة محور التماثل، ومعادلة محور التماثل هتكون س بتساوي سالب تلاتة على اتنين في واحد، أو واحد وخمسة من عشرة، تاني خطوة هنرسم جدول القيم وهيكون بالشكل ده، تالت خطوة هنمثّل الدالة التربيعية بيانيًّا وهتكون بالشكل ده، وهنلاحظ إن نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات هيكونوا همّا صفر وأربعة وصفر وسالب واحد؛ وبالتالي هنقدر نقول إن أصفار المعادلة هما سالب واحد وأربعة؛ وبالتالي هتكون حلول المعادلة هما سالب واحد وأربعة، أو ممكن نكتبهم في صورة المجموعة س حيث س تساوي سالب واحد وأربعة، ويبقى كده قدرنا نحل المعادلة بيانيًّا، هنلاحظ في المثال إن المعادلة التربيعية ليها حلين حقيقيين، وهتكون دي واحدة من تلات احتمالات ممكنة لحل المعادلة التربيعية. وفي صفحة جديدة هنشوف الاحتمالات الممكنة لحل المعادلة التربيعية.
أول حاجة المعادلة التربيعية ممكن يكون لها حلين حقيقيين؛ وبالتالي التمثيل البياني للدالة التربيعية المرتبطة بالمعادلة هتكون بالشكل ده، تاني حاجة المعادلة التربيعية ممكن يكون ليها حل حقيقي واحد؛ وبالتالي هيكون التمثيل البياني للدالة التربيعية المرتبطة بالمعادلة بالشكل ده، وآخر حاجة ممكن ميكونش للمعادلة التربيعية أي حلول حقيقية، وبالتالي التمثيل البياني للدالة التربيعية المرتبطة بمعادلة هتكون بالشكل ده؛ وبالتالي هنلاحظ لما تكون الدالة التربيعية بتقطع محور السينات في نقطتين، هيكون للمعادلة التربيعية حلين حقيقيين، ولما تكون الدالة التربيعية بتقطع محور السينات في نقطة واحدة بس هيكون للمعادلة التربيعية حل حقيقي واحد، ولما تكون الدالة التربيعية مبتقطعش محور السينات فالمعادلة التربيعية هيكون ليس لها حلول حقيقية.
في صفحة جديدة هناخد مثال آخر، لو عندنا مثال بالشكل ده: مطلوب حل المعادلة أربعتاشر ناقص س تربيع بتساوي سالب ستة س زائد تلاتة وعشرين بيانيًّا. أول خطوة محتاجين نكتب المعادلة في صورتها القياسية، فالمعادلة هي أربعتاشر ناقص س تربيع بتساوي سالب ستة س زائد تلاتة وعشرين. هنجمع س تربيع على الطرفين فهيكون عندنا أربعتاشر بتساوي س تربيع ناقص ستة س زائد تلاتة وعشرين، هنطرح أربعتاشر من الطرفين فهيكون عندنا صفر بتساوي س تربيع ناقص ستة س زائد تسعة، وهنبدأ نرسم الدالة التربيعية المرتبطة بالمعادلة التربيعية اللي هي هتكون د س بتساوي س تربيع ناقص ستة س زائد تسعة، ويبقى أول خطوة هنرسم جدول القيم وهيكون بالشكل ده.
تاني خطوة هنمثّل الدالة بيانيًّا وهتكون بالشكل ده، وهنلاحظ إن الدالة بتقطع محور السينات في نقطة واحدة بس؛ يعني الدالة ليها صفر واحد بس وهو تلاتة، يعني الحل هيكون تلاتة، أو ممكن نكتبه في صورة المجموعة س حيث س بتساوي تلاتة، كُنّا ممكن نستخدم الدالة التربيعية ر س بتساوي سالب س تربيع زائد ستة س ناقص تسعة عشان نقدر نوجِد حلول المعادلة، بس هنلاحظ إن التمثيل البياني للدالة ر س هيكون بالشكل ده، هنلاحظ إن التمثيل البياني للدالة مختلف عن التمثيل البياني للدالة س تربيع ناقص ستة س زائد تسعة، لكن هنلاقي إن عندنا نفس الحل؛ يعني الدالتين بيقطعوا محور السينات عند نفس النقطة وهي صفر وتلاتة؛ يعني حل المعادلة هيكون تلاتة؛ وبالتالي نقدر نستخدم أي دالة منهم عشان نقدر نوجد حل المعادلة.
في صفحة جديدة هناخد مثال آخر، لو عندنا مثال بالشكل ده: استخدم المعادلة التربيعية لإيجاد عددين حقيقيين مجموعهما خمستاشر وحاصل ضربهما تلاتة وستين. أول حاجة هنفرض إن س بتمثل عدد واحد من العددين، ويبقى العدد الآخر هو خمستاشر ناقص س، ومُعطى إن حاصل ضرب العددين بيساوي تلاتة وستين؛ فهيبقى هنضرب س في خمستاشر ناقص س هيساوي تلاتة وستين، يعني خمستاشر س ناقص س تربيع هيساوي تلاتة وستين، هنطرح تلاتة وستين من الطرفين عشان نخلي المعادلة في الصورة القياسية، فهيكون عندنا سالب س تربيع زائد خمستاشر س ناقص تلاتة وستين بيساوي صفر.
هنرسم الدالة المرتبطة بالمعادلة اللي هي د س بتساوي سالب س تربيع زائد خمستاشر س ناقص تلاتة وستين، والتمثيل البياني للدالة هيكون بالشكل ده، من الرسمة هنلاحظ إن المنحنى مبيقطعش محور السينات في أي نقطة، وده معناه إن المعادلة الأصلية ليس لها حلول حقيقية، عشان كده هيكون غير ممكن إيجاد عددين حقيقيين مجموعهما خمستاشر وحاصل ضربهما تلاتة وستين، هنلاحظ إن أغلب الوقت مش هنقدر نوجِد الجذور باستخدام الرسم، عشان كده ممكن نقدّر الحلول عن طريق تحديد الأعداد الصحيحة اللي بتقع الجذور بينها؛ يعني في صفحة جديدة هنقول تقدير الحلول، يبقى هنستخدم تقدير الحلول لما نكون مش قادرين نحدد الجذور باستخدام الرسم، وعشان نقدر نقدّر الحلول هنحدد الأعداد الصحيحة اللي بتقع الجذور بينها، فلمّا تكون قيمة الدالة موجبة والقيمة اللي بعدها سالبة؛ فهيكون عَ الأقل فيه صفر واحد بين القيمتين، يعني مثلًا لو عندنا جدول قيَم بالشكل ده، هنلاحظ إن عند س بتساوي سالب اتنين قيمة الدالة بتساوي تلاتة، وعند س بتساوي سالب واحد قيمة الدالة بتساوي سالب ستة، وهنلاحظ إن عندنا قيمة موجبة والقيمة اللي بعدها سالبة، فهيكون بينهم عَ الأقل صفر واحد فقط، وهنلاحظ عند س بتساوي صفر قيمة الدالة بسالب اتنين وعند س بتساوي واحد قيمة الدالة بأربعة، فهنلاحظ إن عندنا قيمة سالبة والقيمة اللي بعدها قيمة موجبة، فهيكون بينهم على الأقل صفر واحد فقط.
يبقى كده عرفنا إزاي هنقدر نقدّر الحلول لما نكون مش قادرين نوجد الحلول باستخدام الرسم. في صفحة جديدة، هناخد مثال: لو عندنا مثال بالشكل ده حل المعادلة س تربيع ناقص ستة س زائد أربعة بيساوي صفر بيانيًّا، وإذا لم تستطيع إيجاد الجذور بطريقة دقيقة حدّد الأعداد الصحيحة المتتالية التي تقع الجذور بينهما. فأول خطوة هنرسم جدول القيم وهيكون بالشكل ده، وتاني خطوة هنمثل الدالة بيانيًّا وهتكون بالشكل ده، هنلاحظ إننا مش قادرين نحدّد نقاط تقاطع الدالة مع محور السينات بشكل دقيق، فهنستخدم طريقة تقدير الحلول؛ وبالتالي من جدول القيم لما س بتساوي صفر قيمة الدالة بتساوي أربعة، ولما س بتساوي واحد قيمة الدالة بتساوي سالب واحد. يعني عندنا قيمة موجبة والقيمة اللي بعدها قيمة سالبة، فهيكون عَ الأقل هنا بينهم فيه صفر واحد فقط، وهنلاحظ لما س بتساوي خمسة قيمة الدالة بتساوي سالب واحد، ولما س بتساوي ستة قيمة الدالة بتساوي أربعة؛ يعني عندنا قيمة سالبة والقيمة اللي بعدها قيمة موجبة؛ وبالتالي بينهم هيكون عندنا عَ الأقل صفر واحد فقط؛ وبالتالي هيكون عندنا حل بين إن س بتساوي صفر و س بتساوي واحد، والحل الآخر بين س بتساوي خمسة و س بتساوي ستة.
ويبقي كده قدرنا نحدّد الأعداد الصحيحة المتتالية اللي بتقع الجذور بينها، وفي النهاية نكون عرفنا إزاي نقدر نوجد جذور المعادلات التربيعية باستخدام الرسم، وإزاي نقدر نحدّد إذا كان للمعادلة التربيعية حلين حقيقيين أو حل حقيقي واحد أو ليس لها حلول حقيقية، وعرفنا إزاي نقدر نقدّر الحلول لو مكناش قادرين نحدد جذور المعادلة التربيعية باستخدام الرسم بشكل دقيق.