نسخة الفيديو النصية
احسب تقدير قاعدة نقطة المنتصف لتكامل من صفر لأربعة لـ س تربيع زائد اتنين، بالنسبة للـ س، بالفترات الجزئية ن تساوي اتنين. هل النتيجة تقدير أكبر من القيمة الفعلية أم أصغر منها؟
الـ س تربيع زائد اتنين دي بتعبّر عن د س دالة اللي بنوجد لها تكامل. يعني اللي بنوجد المساحة تحت المنحنى س تربيع زائد اتنين. وعلشان نستخدم قاعدة نقطة المنتصف، لو كان المنحنى تقريبًا بالشكل ده، وعايزين نوجد المساحة تحته اللي هي بتمثِّل التكامل. فبنقسِّم المساحة دي لمستطيلات عبارة عن الطول والعرض بتوعها اللي بنستخدمهم. نجيب مساحة كل مستطيل فيهم. وعدد المستطيلات بيبقى عدد الفترات اللي بنقسم ليها. وعرض المستطيل بيبقى اسمه Δ س. وارتفاع المستطيل بيبقى اللي هو قيمة الدالة عند الـ س دي، لو كانت س واحد، س اتنين، بنوجد قيمة الـ ص عند النقطة س واحد، أو الـ ص عند الـ س اتنين.
لو استخدمنا قاعدة المنتصف. الفترة عندنا من الصفر لأربعة؛ يعني بالشكل ده صفر إلى أربعة. وهنستخدم إحداثيات نقطة المنتصف، بعد ما نقسم الفترة الجزئية إلى فترتين. فهتبقى الـ Δ س تساوي نهاية الفترة اللي هي مثلًا بنسميها ب ناقص الـ أ، على الـ ن اللي هو عدد الفترات. وهنا نهاية الفترة كانت أربعة. بداية الفترة صفر. والـ ن قيمتها اتنين. يعني الـ Δ س هتبقى تساوي اتنين. فيبقى القيمة بتاعة النقطة دي اتنين.
هنستخدم إحداثيات قاعدة نقطة المنتصف؛ يعني ارتفاع المستطيل اللي هنوجد له المساحة، هيبقى النقطة اللي في منتصف ما بين الصفر والاتنين، واللي هنا بتساوي واحد. وهنا نفس الكلام ما بين الاتنين والأربعة، إحداثيات نقطة المنتصف هتبقى عند التلاتة. يبقى ارتفاع المستطيل هيبقى قيمة الدالة عند التلاتة، وقيمة الدالة عند الواحد. ويبقى باستخدام مجموع ريمان، Σ من الـ هـ تساوي واحد إلى اتنين، اللي هو الفترات الجزئية، والـ هـ تساوي واحد اللي أول نقطة هنبدأ عندها للـ د س هـ. وهنضرب في الـ Δ س اللي هو عرض المستطيل. يبقى هيساوي الـ Δ س دي ثابتة معانا، هتبقى اتنين. و الـ Σ من الـ هـ تساوي واحد لاتنين، اللي همّ هيعبروا عن قيمة الدالة عند التلاتة، وقيمة الدالة عند الواحد. يبقى د عند التلاتة زائد الـ د عند الواحد.
هنعوّض بالـ س تساوي تلاتة في الدالة المعطاة س تربيع زائد اتنين. يبقى تلاتة تربيع زائد اتنين، زائد … عند الواحد يبقى الواحد تربيع زائد الاتنين. ويبقى هي دي قيمة المساحة تحت المنحنى، واللي بتعبّر عن تكامل من صفر لأربعة للـ س تربيع زائد اتنين بالنسبة للـ س باستخدام قاعدة نقطة المنتصف ومجموع ريمان.
بالتبسيط هتبقى اتنين في حداشر زائد التلاتة، يعني اتنين في أربعتاشر، هتساوي تمنية وعشرين. يبقى دي قيمة التكامل باستخدام قاعدة نقطة المنتصف، ودي بتبقى قيمة تقديرية للتكامل.
علشان نوجد القيمة الفعلية هنكامل من صفر إلى أربعة للـ س تربيع زائد اتنين بالنسبة للـ س. فالتكامل هيساوي … الـ س تربيع لمّا هنكاملها هنزوّد الأُس واحد، ونقسم على الأُس الجديد. يعني س تكعيب على تلاتة، ونعوّض بالفترة من صفر إلى أربعة. مرة هنعوّض بالأربعة، ومرة هنعوّض بالصفر، ونطرحهم من بعض. زائد … الاتنين تكاملها هيبقى اتنين س، وهنعوض من الصفر إلى الأربعة. هتساوي … بالتعويض بالأربعة، يبقى أربعة أُس تلاتة على تلاتة ناقص التعويض بالصفر هيبقى قيمته صفر. زائد … اتنين هنعوّض بالأربعة مكان الـ س، يبقى اتنين في أربعة ناقص اتنين في صفر، هتبقى صفر. يبقى قيمة التكامل هتساوي تسعة وعشرين وواحد على تلاتة. ويبقى دي القيمة الفعلية لمّا هنقارنها بالقيمة التقديرية اللي هي ساوت تمنية وعشرين. يبقى معنى كده إن التقدير أصغر من القيمة الفعلية. ويبقى هي دي الإجابة المطلوبة.