text: trekant
  
  publiceret: 2023-07-11 14:50:27+02:00
  En trekant er i euklidisk geometri en polygon sammensat af tre linjestykker, kaldet trekantens sider eller kanter, der parvis mødes i trekantens tre hjørner, også kaldet vinkelspidser.
  Vinkelsummen i en trekant er \(180^\circ\). Trekanten kaldes spidsvinklet, retvinklet eller stumpvinklet, alt efter om alle tre vinkler i trekanten er mindre end \(90^\circ\), en af vinklerne er ret, altså \(90^\circ\), eller en af vinklerne er større end \(90^\circ\). I en retvinklet trekant kaldes den længste side hypotenusen og de to korte sider kateter, og her gælder Pythagoras' sætning. Hvis alle tre sider er lige lange, kaldes trekanten ligesidet; i så fald er også alle tre vinkler lige store. Hvis to sider har den samme længde, kaldes trekanten ligebenet; i så fald er de to vinkler ved den tredje side også lige store.
  Linjestykket fra et hjørne vinkelret på linjen for den modstående side kaldes en højde i trekanten, og den modstående side kaldes i denne sammenhæng for den tilhørende grundlinje. Linjestykket fra et hjørne til midtpunktet af den modstående side kaldes en median. En linje, som halverer vinklen i et af trekantens hjørner, kaldes en vinkelhalveringslinje. I en trekant skærer linjerne for de tre højder hinanden i et fælles punkt. Også de tre medianer har et fælles skæringspunkt, som deler hver median i forholdet 1:2. De tre vinkelhalveringslinjer skærer hinanden i centrum for trekantens indskrevne cirkel, dvs. cirklen, der tangerer alle trekantens sider. Endelig mødes de tre midtnormaler til trekantens sider i centrum for trekantens omskrevne cirkel, dvs. cirklen gennem trekantens tre hjørner. De omtalte fælles skæringspunkter ligger alle på den såkaldte nipunktscirkel.
  Arealet af en trekant \(A\) beregnes som halvdelen af en vilkårlig højde \(h\) gange den tilhørende grundlinje \(g\), altså \(A=\tfrac{1}{2 } hg\). En bemærkelsesværdig formel fundet af den oldgræske matematiker Heron udtrykker trekantens areal ved dens sider \(a,b,c\), nemlig \[A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\] hvor \(2s=a+b+c\) er omkredsen af trekanten.
  På kuglefladen har man sfæriske trekanter; her er vinkelsummen større end \(180^\circ\). I hyperbolsk geometri har man hyperbolske trekanter; her er vinkelsummen mindre end \(180^\circ\).