text: Keplers formodning
  
  publiceret: 2021-08-02 14:16:23+02:00
  Keplers formodning er den matematiske hypotese, at den tættest mulige pakning af (uendelig mange) helt ens, massive kugler i et givet rumligt volumen opnås ved at arrangere dem i et såkaldt fladecentreret kubisk gitter. I en pakning efter et fladecentreret kubisk gitter fylder kuglerne ca. 74% af rummet; forholdstallet er helt præcist \({\pi}/{\sqrt{18}}\).
  Formodningen blev fremsat af Johannes Kepler i værket Strena seu de nive sexangula (1611, 'Nytårsgave eller om sekskantede snefnug'), formentlig inspireret af en korrespondance om blandt andet stabling af kanonkugler med den engelske matematiker og astronom Thomas Harriot (1560-1621).
  Pakningen fortsætter derefter med, at alle kuglerne i lag nummer \(n\ge 3\) lægges lige over en kugle i lag nummer \(n-2\). Der fortsættes efter dette mønster til pakningen er fuldendt.
  Kepler gav ikke selv et bevis for formodningen. C.F. Gauss viste i 1800-tallet, at blandt alle gitterpakninger giver det fladecentrerede kubiske gitter den største tæthed, men en ikke-periodisk pakning kunne stadig tænkes at give en tættere stabling.
  Først i 1998 beviste den amerikanske matematiker Thomas Hales (f. 1958) Keplers formodning ved benyttelse af computere. Beviset bygger på intervalaritmetik, ved hjælp af hvilken man effektivt og eksakt kan bevise uligheder på en computer. De uligheder, som Hales beviser, fremkommer ved systematisk at tildele geometrisk veldefinerede dele af det tomme naborum til hver massiv kugle i en given pakning og dernæst udtrykke, at hver enkelt celle (bestående af kugle plus det tildelte tomme rum) i gennemsnit aldrig har større forholdstal end \({\pi}/{\sqrt{18}}\).
  I højere rumlige dimensioner end tre har tilsvarende pakningsproblemer betydning for bl.a. kodningsteori. Der findes dog endnu ikke beviser for eksistensen af en optimal pakning i højere dimensioner.