text: polygon
  
  publiceret: 2023-07-11 14:03:09+02:00
  En polygon er i geometri en lukket, plan kurve sammensat af linjestykker, polygonens kanter, der mødes i polygonens hjørner. Kanterne må gerne skære hinanden; i det følgende forudsættes dog, at de ikke skærer. Hvis polygonen er randen af en plan figur, kaldes denne også en polygon. Polygonen er konveks, hvis forbindelseslinjen mellem ethvert par af hjørner helt forløber inden i polygonen. En polygon med \(n\) kanter, for \(n = 3,4,5, \cdots\), har også \(n\) hjørner og kaldes en \(n\)-kant, med trekant, firkant, femkant og sekskant som eksempler. Summen af vinklerne i en \(n\)-kant er \((n−2) \cdot 180^\circ\). Arealet beregnes ved at inddele polygonen i trekanter.
  En regulær polygon er en \(n\)-kant med \(n\) lige lange kanter og alle vinkler i hjørnerne lige store. Den fremkommer ved at inddele en cirkel i \(n\) lige store stykker og tegne de indskrevne korder. For store værdier af \(n\) kommer den regulære \(n\)-kant tæt på en cirkel. Blandt alle \(n\)-kanter med en foreskreven omkreds er det den regulære \(n\)-kant, der omslutter det største areal (det isoperimetriske problem for \(n\)-kanter). Hvis man ønsker at flisebelægge et plant areal med ensformede fliser af form som en regulær \(n\)-kant, kan det kun lade sig gøre med ligesidede trekanter, firkanter (kvadrater) og sekskanter. I de regulære polyedre er det kun regulære trekanter, firkanter og femkanter, der kan optræde som sideflader.
  Oldtidens grækere var optaget af at konstruere geometriske figurer med passer og lineal og kunne blandt andet konstruere den regulære femkant. I 1796 beviste Gauss, at den regulære 17-kant kan konstrueres, og han fandt i 1801 det fuldstændige svar på, for hvilke \(n\) den regulære \(n\)-kant kan konstrueres med passer og lineal, nemlig præcist når \(n\) har formen \( 2^kp_1p_2\cdots p_i \), hvor \( p_1, p_2, \ldots, p_i \) er forskellige primtal af formen \( 2^{2^m} +1 \). Heraf følger eksempelvis, at syvkanten ikke kan konstrueres med passer og lineal, mens 17-kanten kan.