nam <0x0A> </s> ▁Function al ▁integration ▁is ▁a ▁collection ▁of ▁results ▁in ▁mathematics ▁and ▁physics ▁where ▁the ▁domain ▁of ▁an ▁integral ▁is ▁no ▁longer ▁a ▁region ▁of ▁space , ▁but ▁a ▁space ▁of ▁functions . ▁Function al ▁integr als ▁arise ▁in ▁probability , ▁in ▁the ▁study ▁of ▁partial ▁differential ▁equations , ▁and ▁in ▁the ▁path ▁integral ▁approach ▁to ▁the ▁quantum ▁mechan ics ▁of ▁particles ▁and ▁fields . ▁ ▁In ▁an ▁ordinary ▁integral ▁( in ▁the ▁sense ▁of ▁Leb es gue ▁integration ) ▁there ▁is ▁a ▁function ▁to ▁be ▁integrated ▁( the ▁integr and ) ▁and ▁a ▁region ▁of ▁space ▁over ▁which ▁to ▁integrate ▁the ▁function ▁( the ▁domain ▁of ▁integration ). ▁The ▁process ▁of ▁integration ▁consists ▁of ▁adding ▁up ▁the ▁values ▁of ▁the ▁integr and ▁for ▁each ▁point ▁of ▁the ▁domain ▁of ▁integration . ▁ ▁M aking ▁this ▁procedure ▁rig orous ▁requires ▁a ▁limit ing ▁procedure , ▁where ▁the ▁domain ▁of ▁integration ▁is ▁divided ▁into ▁smaller ▁and ▁smaller ▁regions . ▁ ▁For ▁each ▁small ▁region , ▁the ▁value ▁of ▁the ▁integr and ▁cannot ▁vary ▁much , ▁so ▁it ▁may ▁be ▁replaced ▁by ▁a ▁single ▁value . ▁In ▁a ▁functional ▁integral ▁the ▁domain ▁of ▁integration ▁is ▁a ▁space ▁of ▁functions . ▁ ▁For ▁each ▁function , ▁the ▁integr and ▁returns ▁a ▁value ▁to ▁add ▁up . ▁ ▁M aking ▁this ▁procedure ▁rig orous ▁pos es ▁challeng es ▁that ▁continue ▁to ▁be ▁topics ▁of ▁current ▁research . ▁ ▁Function al ▁integration ▁was ▁developed ▁by ▁Per cy ▁John ▁D ani ell ▁in ▁an ▁article ▁of ▁