: 1 9 6 0 s ▁in ▁animation <0x0A> </s> ▁In ▁mathematics , ▁the ▁Po inc ar é ▁separation ▁theorem ▁gives ▁the ▁upper ▁and ▁lower ▁bounds ▁of ▁eigenvalues ▁of ▁a ▁real ▁symmetric ▁matrix ▁B ' AB ▁that ▁can ▁be ▁considered ▁as ▁the ▁orthogonal ▁projection ▁of ▁a ▁larger ▁real ▁symmetric ▁matrix ▁A ▁onto ▁a ▁linear ▁sub space ▁sp anned ▁by ▁the ▁columns ▁of   B . ▁ ▁The ▁theorem ▁is ▁named ▁after ▁Henri ▁Po inc ar é . ▁ ▁More ▁specifically , ▁let ▁A ▁be ▁an ▁n   ×   n ▁real ▁symmetric ▁matrix ▁and ▁B ▁an ▁n   ×   r ▁semi - orth ogonal ▁matrix ▁such ▁that ▁B ' B ▁= ▁Ir . ▁Den ote ▁by ▁, ▁i   =   1 ,   2 ,   ...,   n ▁and ▁, ▁i   =   1 ,   2 ,   ...,   r ▁the ▁eigenvalues ▁of ▁A ▁and ▁B ' AB , ▁respectively ▁( in ▁desc ending ▁order ). ▁We ▁have ▁ ▁Proof ▁▁ ▁An ▁algebraic ▁proof , ▁based ▁on ▁the ▁vari ational ▁interpretation ▁of ▁eigenvalues , ▁has ▁been ▁published ▁in ▁Magn us ' ▁Matrix ▁D iffer ential ▁Calcul us ▁with ▁App lications ▁in ▁Statistics ▁and ▁E con omet rics . ▁▁ ▁From ▁the ▁geometric ▁point ▁of ▁view , ▁B ' AB ▁can ▁be ▁considered ▁as ▁the ▁orthogonal ▁projection ▁of ▁A ▁onto ▁the ▁linear ▁sub space ▁sp anned ▁by ▁B , ▁so ▁the ▁above ▁results ▁follow ▁immediately . ▁ ▁References ▁▁ ▁Category : I ne qual ities ▁Category : Matrix