<0x0A> </s> ▁In ▁mathematics , ▁the ▁We ber ▁mod ular ▁functions ▁are ▁a ▁family ▁of ▁three ▁mod ular ▁functions ▁f , ▁f 1 , ▁and ▁f 2 , ▁studied ▁by ▁Heinrich ▁Martin ▁We ber . ▁ ▁Definition ▁ ▁Let ▁ ▁where ▁ τ ▁is ▁an ▁element ▁of ▁the ▁upper ▁half - plane . ▁▁ ▁where ▁ ▁is ▁the ▁D ed ek ind ▁et a ▁function . ▁Note ▁the ▁descri ptions ▁as ▁ ▁quot ients ▁immediately ▁imply ▁ ▁The ▁transformation ▁ τ   →   – 1 / τ ▁fixes ▁f ▁and ▁ex changes ▁f 1 ▁and ▁f 2 . ▁So ▁the ▁ 3 - dimensional ▁complex ▁vector ▁space ▁with ▁basis ▁f , ▁f 1 ▁and ▁f 2 ▁is ▁acted ▁on ▁by ▁the ▁group ▁SL 2 ( Z ). ▁ ▁Rel ation ▁to ▁the ta ▁functions ▁ ▁Let ▁the ▁argument ▁of ▁the ▁Jacob i ▁the ta ▁function ▁be ▁the ▁nome ▁. ▁Then , ▁ ▁Using ▁the ▁well - known ▁identity , ▁ ▁thus , ▁ ▁Rel ation ▁to ▁j - function ▁ ▁The ▁three ▁roots ▁of ▁the ▁cub ic ▁equation , ▁ ▁where ▁j ( τ ) ▁is ▁the ▁j - function ▁are ▁given ▁by ▁. ▁Also , ▁since , ▁ ▁then , ▁ ▁See ▁also ▁ ▁Ram an uj an – S ato ▁series , ▁level ▁ 4 ▁ ▁References ▁ ▁Category : Mod ular ▁forms <0x0A> </s> ▁Ser ra ▁de ▁Sant ▁Pere ▁( Saint ▁Peter ' s ▁Range ) ▁( , ▁) ▁or ▁Ser ra ▁del ▁Sol à ▁is ▁a ▁ ▁long