ular ▁element ▁ide als ▁Every ▁ring ▁with ▁unity ▁has ▁at ▁least ▁one ▁regular ▁element ▁ideal : ▁the ▁trivial ▁ideal ▁R ▁itself . ▁Reg ular ▁element ▁ide als ▁of ▁commut ative ▁rings ▁are ▁essential ▁ide als . ▁In ▁a ▁semi prime ▁right ▁Gold ie ▁ring , ▁the ▁con verse ▁holds : ▁essential ▁ide als ▁are ▁all ▁regular ▁element ▁ide als . ▁▁ ▁Since ▁the ▁product ▁of ▁two ▁regular ▁elements ▁(= non - zer od iv is ors ) ▁of ▁a ▁commut ative ▁ring ▁R ▁is ▁again ▁a ▁regular ▁element , ▁it ▁is ▁apparent ▁that ▁the ▁product ▁of ▁two ▁regular ▁element ▁ide als ▁is ▁again ▁a ▁regular ▁element ▁ideal . ▁Clear ly ▁any ▁ideal ▁containing ▁a ▁regular ▁element ▁ideal ▁is ▁again ▁a ▁regular ▁element ▁ideal . ▁ ▁Ex amples ▁ ▁In ▁an ▁integral ▁domain , ▁every ▁non zero ▁element ▁is ▁a ▁regular ▁element , ▁and ▁so ▁every ▁non zero ▁ideal ▁is ▁a ▁regular ▁element ▁ideal . ▁ ▁The ▁nil rad ical ▁of ▁a ▁commut ative ▁ring ▁is ▁composed ▁entirely ▁of ▁nil pot ent ▁elements , ▁and ▁therefore ▁no ▁element ▁can ▁be ▁regular . ▁This ▁gives ▁an ▁example ▁of ▁an ▁ideal ▁which ▁is ▁not ▁a ▁regular ▁element ▁ideal . ▁ ▁In ▁an ▁Art in ian ▁ring , ▁each ▁element ▁is ▁either ▁invert ible ▁or ▁a ▁zero ▁divis or . ▁Because ▁of ▁this , ▁such ▁a ▁ring ▁only ▁has ▁one ▁regular ▁element ▁ideal : ▁just ▁R . ▁ ▁Von ▁Ne umann ▁regular ▁ide als ▁From ▁the ▁definition , ▁it ▁is ▁clear ▁that ▁R ▁is ▁a ▁von ▁Ne