<0x0A> </s> ▁In ▁mathematics , ▁the ▁differential ▁geometry ▁of ▁surfaces ▁de als ▁with ▁the ▁differential ▁geometry ▁of ▁smooth ▁surfaces ▁with ▁various ▁additional ▁structures , ▁most ▁often , ▁a ▁Riemann ian ▁metric . ▁Sur faces ▁have ▁been ▁extens ively ▁studied ▁from ▁various ▁pers pect ives : ▁extr ins ically , ▁rel ating ▁to ▁their ▁embedding ▁in ▁E uclidean ▁space ▁and ▁intr ins ically , ▁reflect ing ▁their ▁properties ▁determined ▁sole ly ▁by ▁the ▁distance ▁within ▁the ▁surface ▁as ▁measured ▁along ▁curves ▁on ▁the ▁surface . ▁One ▁of ▁the ▁fundamental ▁concepts ▁investig ated ▁is ▁the ▁Gaussian ▁curv ature , ▁first ▁studied ▁in ▁depth ▁by ▁Carl ▁Friedrich ▁G auss , ▁who ▁showed ▁that ▁curv ature ▁was ▁an ▁intr insic ▁property ▁of ▁a ▁surface , ▁independent ▁of ▁its ▁is ometric ▁embedding ▁in ▁E uclidean ▁space . ▁ ▁Sur faces ▁naturally ▁arise ▁as ▁graphs ▁of ▁functions ▁of ▁a ▁pair ▁of ▁variables , ▁and ▁sometimes ▁appear ▁in ▁paramet ric ▁form ▁or ▁as ▁lo ci ▁associated ▁to ▁space ▁curves . ▁An ▁important ▁role ▁in ▁their ▁study ▁has ▁been ▁played ▁by ▁Lie ▁groups ▁( in ▁the ▁spirit ▁of ▁the ▁Er lang en ▁program ), ▁namely ▁the ▁symmetry ▁groups ▁of ▁the ▁E uclidean ▁plane , ▁the ▁sphere ▁and ▁the ▁hyper bol ic ▁plane . ▁These ▁Lie ▁groups ▁can ▁be ▁used ▁to ▁describe ▁surfaces ▁of ▁constant ▁Gaussian ▁curv ature ; ▁they ▁also ▁provide ▁an ▁essential ▁ing red ient ▁in ▁the ▁modern ▁approach ▁to ▁intr insic ▁differential ▁geometry ▁through ▁connections . ▁On ▁the ▁other ▁hand , ▁extr insic ▁properties ▁re lying ▁on ▁an ▁embedding