▁▁ ▁Category : M unicip al ities ▁in ▁B isc ay ▁Category : Pop ulated ▁places ▁in ▁B isc ay <0x0A> </s> ▁An ger erk opf ▁is ▁a ▁mountain ▁of ▁Bav aria , ▁Germany . ▁ ▁Category : Mount ains ▁of ▁Bav aria ▁Category : Mount ains ▁of ▁the ▁Al ps <0x0A> </s> ▁In ▁geometry , ▁the ▁Gram – E uler ▁theorem ▁general izes ▁the ▁internal ▁angle ▁sum ▁formula ▁to ▁higher - dimensional ▁poly top es . ▁ ▁Stat ement ▁ ▁Let ▁ ▁be ▁an ▁- dimensional ▁convex ▁poly to pe . ▁For ▁each ▁cell ▁, ▁let ▁ ▁be ▁its ▁dimension ▁( 0 ▁for ▁vertices , ▁ 1 ▁for ▁edges , ▁ 2 ▁for ▁faces , ▁etc .), ▁and ▁ ▁be ▁its ▁internal ▁solid ▁angle , ▁determined ▁by ▁choosing ▁a ▁small ▁enough ▁- s phere ▁centered ▁at ▁some ▁point ▁in ▁the ▁interior ▁of ▁ ▁and ▁finding ▁the ▁surface ▁area ▁contained ▁inside ▁. ▁Then , ▁. ▁ ▁Ex amples ▁ ▁For ▁a ▁polygon ▁ ▁with ▁ ▁sides , ▁there ▁is ▁one ▁face ▁( the ▁entire ▁polygon ), ▁which ▁has ▁internal ▁angle ▁, ▁and ▁ ▁edges , ▁each ▁of ▁which ▁has ▁internal ▁angle ▁. ▁Let ▁ ▁be ▁the ▁sum ▁of ▁the ▁internal ▁angles ▁of ▁the ▁corners . ▁The ▁Gram - E uler ▁theorem ▁then ▁tells ▁us ▁that ▁, ▁or ▁equival ently , ▁. ▁ ▁References ▁▁ ▁Category : Pol y top es ▁Category : Real ▁algebraic ▁geometry ▁Category : Ge ometry <0x0A> </s> ▁Ap ter ome chus ▁tex anus ▁is ▁a ▁species ▁of ▁hidden ▁sn