- dimensional ▁primitive ▁pseud og r oup ▁of ▁complex ▁analyt ic ▁transformations ▁belongs ▁to ▁one ▁of ▁the ▁six ▁classes : ▁ 1 ) ▁the ▁pseud og r oup ▁of ▁all ▁analyt ic ▁transformations ▁of ▁n ▁complex ▁variables ; ▁ 2 ) ▁the ▁pseud og r oup ▁of ▁all ▁analyt ic ▁transformations ▁of ▁n ▁complex ▁variables ▁with ▁a ▁constant ▁Jacob ian ▁( i . e ., ▁transformations ▁that ▁multiply ▁all ▁volumes ▁by ▁the ▁same ▁complex ▁number ); ▁ 3 ) ▁the ▁pseud og r oup ▁of ▁all ▁analyt ic ▁transformations ▁of ▁n ▁complex ▁variables ▁whose ▁Jacob ian ▁is ▁equal ▁to ▁one ▁( i . e ., ▁transformations ▁that ▁preserve ▁volumes ); ▁ 4 ) ▁the ▁pseud og r oup ▁of ▁all ▁analyt ic ▁transformations ▁of ▁ 2 n ▁> ▁ 4 ▁complex ▁variables ▁that ▁preserve ▁a ▁certain ▁double ▁integral ▁( the ▁sym ple ctic ▁pseud og r oup ); ▁ 5 ) ▁the ▁pseud og r oup ▁of ▁all ▁analyt ic ▁transformations ▁of ▁ 2 n ▁> ▁ 4 ▁complex ▁variables ▁that ▁multiply ▁the ▁above - ment ioned ▁double ▁integral ▁by ▁a ▁complex ▁function ; ▁ 6 ) ▁the ▁pseud og r oup ▁of ▁all ▁analyt ic ▁transformations ▁of ▁ 2 n ▁+ ▁ 1 ▁complex ▁variables ▁that ▁multiply ▁a ▁certain ▁form ▁by ▁a ▁complex ▁function ▁( the ▁contact ▁pseud og r oup ). ▁There ▁are ▁similar ▁classes ▁of ▁pseud og r oups ▁for ▁primitive ▁pseud og r oups ▁of ▁real ▁transformations ▁defined ▁by ▁analyt ic ▁functions ▁of ▁real ▁variables . ▁ ▁D iffer