Apa itu matematika: model kenyataan atau kenyataan itu sendiri?
Ada fakta menarik tentang Planet Neptunus: ia tak tampak bahkan dengan teleskop yang kuat.
1 + 1 = 2 dan tak ada keraguan soal ini. Lokasinya sejauh 4,3 miliar kilometer dari bumi, dan nyaris tak tampak jika dibandingkan dengan Venus atau Mars yang tampak jelas kilaunya dari Bumi. Ia "ditemukan" dengan matematika. Berdasarkan hukum gravitasi Newton, orbit-orbit planet di tata surya bisa diperkirakan. Semua berjalan sesuai rumus, kecuali Uranus yang orbitnya agak sedikit melenceng. Di abad ke-19, Uranus adalah planet terluar yang berhasil diketahui. Namun berdasarkan hitungan matematika, para ilmuwan memperkirakan adanya benda besar yang membuat orbit Uranus agak melenceng. Planeat Neptunus ditemukan lewat penghitungan dan bukan karena pengamatan. "Mereka mulai menghitung, dan mengarahkan teleskop ke arah yang diperkirakan oleh hitung-hitungan matematika itu dan berhasil menemukan Planet Neptunus," kata Lucie Green, ahli astrofisika di University College London. Penemuan Neptunus ini dianggap bukti bahwa matematika bukan karangan semata, tapi sesuatu yang nyata. Para ahli astronomi menyadari adanya planet lain ketika melihat penyimpangan dari orbit Uranus. Tak ada kue negatif Manusia memang bermain dengan matematika karena alasan duniawi, seperti untuk menghitung dan mengukur. Soal kue ini, misalnya. Kue tak bisa negatif, yang ada cuma "ada" atau "tidak ada" kue. Matematika bisa menjelaskan soal kue: ukuran, berat, pembagian dan seterusnya. Semuanya nyata. Misalnya kalau kita makan sepertiga kue, maka yang tersisa dua pertiganya. Kalau kita makan lagi sepertiga, kemudian sepertiga lagi, maka kue itu kan habis. "Ini adalah cara pikir kuno," kata Alex Bellos, penulis buku matematika. "Ini matematika praktis untuk mengukur dan menghitung. Tapi tak bicara soal angka negatif," katanya. Apabila konsep kenyataan hanya terbatas pada yang bisa diukur dan dihitung, sulit membayangkan sesuatu yang kurang dari nol. Adanya uang - tepatnya utang - membuat kita lebih mudah membayangkan angka negatif. Utang dan angka negatif Ketika kue tadi habis dimakan, tidak ada kue yang minus. Namun menurut Alex Bellos hitungan negatif berlaku sangat alamiah dalam soal uang. "Kita bisa punya uang, tapi juga bisa punya utang," katanya. "Salah satu penggunaan angka negatif adalah ketika menghitung neraca keuangan dan utang". "Kalau kamu punya utang US$5 dan saya memberi kamu uang US$5, maka sesungguhnya kamu punya $0." Ini adalah kenyataan yang dibuat oleh angka negatif, sesuatu yang "tak nyata" ketika ukurannya kue seperti di atas. Kini angka negatif bukan hanya terkait soal utang. Sulit membayangkan matematika tanpa angka negatif. Sampai sejauh ini, kita masih bisa mengaitkan matematika dengan kenyataan. Namun mari kita bermain dengan angka negatif. Misteri besar Kalau kita mengkalikan angka negatif, hasilnya adalah angka positif. Maka -1 x -1 = 1, dan ini merupakan hal yang sangat misterius. "Jika kita bermain dengan persamaan yang punya angka negatif dan positif, lihat apa yang kita dapatkan: Persamaan matematika ini mewakili misteri besar. "Apa ini sesungguhnya? Bagaimana kita bisa menemukan sesuatu yang ketika dikuadratkan, nilainya sama dengan -1!" kata Bellos. "Hasil persamaan ini tak bisa angka positif, karena ketika kita kuadratkan - atau dikalikan dengan angka yang sama - hasilnya positif. Namun tidak bisa juga angka negatif, dengan alasan yang sama" "Bagi para ahli matematika ini absurd." Di sinilah matematika mulai berpisah dengan kenyataan, sekalipun matematika masih sangat bermanfaat untuk menjelaskannya. Imajiner "Akar dari minus satu disebut sebagai 'angka imajiner', dan ini nama yang buruk karena memberi kesan matematika itu tidak nyata, dan tiba-tiba menjadi sesuatu yang imajiner," kata Bellos. "Namun jangan lupa, matematika sesungguhnya imajiner sejak semula. Kita bisa bilang kita lihat tiga kue, tapi sebenarnya yang kita lihat adalah beberapa kue, karena 'tiga' itu sebetulnya adalah abstraksi," kata Bellos. Ada kata "tiga" dan simbol "3", tapi angka sebetulnya merupakan sesuatu yang abstrak. "Sama saja dengan 'angka imajiner'. Kesannya tak masuk akal, tapi ketika kita lihat bahwa angka itu cocok dengan hitung-hitungan, semuanya logis." "Sekarang ini, akar dari -1, sama nyatanya dengan -1 itu sendiri," kata Bellos. Bahkan ketika hal itu sulit dimengerti. Sama halnya ketika nenek moyang kita bingung dengan konsep angka -1. Jangan khawatir Jika Anda bingung jangan khawatir. Teruskan membaca dan semoga akan terjelaskan. Angka yang kompleks memungkinan pemecahan pesamaan tertentu yang tak ada pemecahannya pada angka-angka nyata. Angka seperti itu sangat praktis untuk memahami kenyataan dan berguna untuk memahami soal seperti putaran atau gelombang. Angka-angka ini digunakan pada kelistrikan, radar, pencitraan medis, serta untuk memahami perilaku partikel sub atomik. Namun bagaimana sesuatu yang hanya ada dalam imajinasi matematika bisa begitu berguna di dunia nyata? Bagi Eugene Winger, ahli fisika Hungaria, ini hampir mirip dengan keajaiban. Wigner mengacu pada angka-angka kompleks pada esei terkenal tahun 1960 berjudul "The unreasonable effectiveness of mathematics in the physical sciences". Matematika merupakan alat yang dirancang untuk menjelaskan kenyataan. Kenapa kita masih kaget ketika ternyata matematika memang mampu melakukannya? Efektivitas yang tak masuk akal (unreasonable effectiveness) Kenapa tak masuk akan, jika matematika memang dirancang manusia untuk menggambarkan realitas? "Benar bahwa manusia menciptakan matematika untuk memahami fisika. Namun matematika tak selalu berkembang seperti itu," kata Eleanor Knox yang mendalami filsafat fisika. "Banyak kejadian di mana ahli matematika mengerjakan sesuatu lantaran mereka tertarik saja, dan ternyata belakangan terbukti dibutuhkan dalam penemuan penting dalam fisika". Contohnya adalah geometri non-Euclidean, kata Knox - mengacu pada cabang geometri yang dikerjakan para ahli matematika di akhir abad kesembilanbelas. "Dahulu orang berpikir bahwa dunia ini bisa dijelaskan dengan geometri Euclidian. Ini geometri yang kita pelajari disekolah seperti misalnya sudut pada satu segitiga jika dijumlahkan adalah 180 derajat." Para ahli matematika tahun 1800-an ketika itu menjelajahi kemungkinan lain dan menemukan struktur matematika yang menarik perhatian mereka. Geometri Non-Euclidian membuat kita bisa melihat bentuk-bentuk yang sebelumnya hanya ada dalam pikiran para ahli matematika, misalnya obyek yang memiliki empat, lima atau enam dimensi. "Di abad keduapuluh, ketika Albert Einstein perlu menjelaskan teori untuk menggambarkan hukum ruang dan waktu untuk teori relativitas umum, ia dibantu oleh geometri non-Euclidean geometry. Tanpa itu, ia tak akan berhasil," kata Knox. Kasus seperti ini membuat kita berpikir bahwa hubungan antara matematika dan kenyataan itu ajaib, atau setidaknya sangat menakjubkan. Matematika dan kenyataan fundamental Dengan kemajuan fisika sekarang, sulit bagi kita yang fana ini mengerti matematika yang kompleks dan kenyataan aneh yang digambarkannya. Persepsi indra kita akan kenyataan memang terbatas, tetapi matematika memungkinkan untuk mengeksplorasi hal-hal di luar itu. Apakah dalam upaya memahami kenyataan fundamental, matematika akan mencapai batasnya? "Abad keduapuluh memberi kita dua kisah sukses fisika: mekanika kuantum (dunia pada skala yang sangat kecil seperti atom dan partikel sub atom) dan teori relativitas umum," kata Knox. Matematika memungkinkan kita menjelajah lebih jauh ketimbang yang dimungkinkan oleh panca indra kita. "Kita tak punya kerangka yang koheren untuk memahami bagaimana dua teori utama ini bisa ada di dunia yang sama, dan bagaimana mereka menjelaskan kenyataan yang sama," kata Knox lagi. "Di titik ini kita mungkin bisa menyimpulkan bahwa kita sesungguhnya amat sangat beruntung bahwa matematika sukses menggambarkan alam semesta kita". "Atau bisa juga kita berpikir bahwa matematika menggambarkan sebagian saja dunia kita, bukan keseluruhannya," ujar Knox lagi. Atau bahwa untuk memahami dunia kita keseluruhannya merupakan sesuatu yang amat sangat kompleks. Perbedaan besar Namun seharusnya tak mengejutkan bahwa sulit untuk selalu membuat hukum matematika sesuai dengan fisika. Keduanya memang tak sama. Seperti kata Einstein, "Semakin dekat dengan kenyataan, semakin tak pasti hukum matematikanya, dan semakin pasti hukum matematikanya, semakin jauh mereka dari kenyataan". Apakah matematika suatu kenyataan? Knox menjelaskan: "Matematika punya karakter khusus: sepenuhnya soal benar atau salah. Jika kita membuktikan sesuatu hal secara matematis, tak ada yang bisa menyangsikan hal itu." "Hukum fisika tak selalu seperti itu. Itu salah satu perbedaan besar antara keduanya." "Kita sering keliru. Misalnya hukum Newton yang indah dan elegan. Di beberapa kasus memang berlaku, tapi hukum ini bukan kebenaran sepenuhnya. Tak diragukan bahwa di masa depan hukum Einsten mungkin lebih bisa menggambarkan kenyataan," kata Knox yang merupakan filsuf bidang fisika ini. Peradaban Mesir Kuno bahkan memiliki "dewi matematika" yang bernama Seshat. "Apa sebenarnya kenyataan?" Kami bertanya kepada Eugenia Cheng, ilmuwan yang mempelajari Category Theory (yang kadang disebut sebagai matematikanya matematika), apakah matematika yang ia pelajari terkait dengan kenyataan. "Ketika orang bertanya kepada saya tentang kenyataan, ingin saya jawab: sesungguhnya apa sih kenyataan itu?" "Apa yang kita sebut 'kenyataan' merupakan halusinasi yang kita anggap nyata karena kita cenderung mempersepsikannya dengan cara yang sama." "Kata orang, angka itu tak nyata, karena kita tak bisa menyentuhnya. Namun banyak hal nyata yang tak bisa disentuh, seperti misalnya rasa lapar," katanya memberi contoh. Sesuatu yang abstrak belum tentu tidak nyata. "Maka orang bicara soal hal kongkret dan hal abstrak. Hal kongkret adalah sesuatu yang bisa kita sentuh dan raba langsung. Sedangkan hal abstrak, terhubung dengan kita melalui pikiran," kata Cheng. "Matematika itu abstrak, tapi ide abstrak bisa sangat nyata seperti hal-hal lainnya." ujarnya lagi. Kenyataan selalu matematis? Dengan begitu bisakah kita menyatakan bahwa matematika selalu bisa menjelaskan kenyataan? Misalnya biologi. Fondasi sebenarnya dari biologi adalah ilmu kimia. Ilmu kimia sendiri diatur oleh hukum-hukum fisika. Sampai sini, untuk menjelaskan fisika digunakan... angka-angka. Angka-angka tersembunyi di sekitar kita. Atau coba lihat langit biru. Warna biru bisa dijelaskan dengan gelombang cahaya. Lagi-lagi ini soal fisika yang ujung-ujungnya juga soal angka-angka. Tampaknya, ketika kita menggali dengan dalam, kenyataan fisik itu sesungguhnya bersifat matematis. Namun, matematika tetap punya batas. Ia tampaknya tidak bisa menjelaskan hal-hal yang amat penting dalam hidup seperti misalnya cinta, kelaparan atau moralitas.