Il secondo approccio al problema ha preso come base la nozione di classe, e definisce un insieme come una classe che appartiene ad altre classi, mentre una classe propria è definita come una classe che non appartiene ad altre classi. Con l' approccio Zermelo-Fraenkel, gli assiomi impediscono la costruzione di un insieme di tutti i set che non appartengono a se stessi. Al contrario, secondo l' approccio von Neumann, la classe di tutti i set che non appartengono a se stessi può essere costruita, ma è una classe propria e non un set.
In che modo l' assioma ostacola un insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi?
Zermelo-Fraenkel