\begin{exercise}
\topic{grupos!cíclicos}
Se $G$ é um grupo de ordem $n$, $G$ é cíclico sse $G$ tem um elemento de ordem $n$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
\topic{grupos!cíclicos}
Todo subgrupo cíclico é abeliano.
\end{exercise}

\begin{exercise}
\topic{grupos!cíclicos}
Seja $G$ grupo e sejam $a,b \in G$. Prove que se $a$ é uma potência de $b$, isto é, $a = b^k$, então $\langle a \rangle \subseteq \langle b \rangle$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
\topic{grupos}
Seja $G$ grupo e $\emptyset \not = H \subseteq G$. Prove que
$$
    H \subgroup G \iff (\forall a,b \in H)[ab^{-1} \in H]
$$
\end{exercise}

\begin{exercise}
\topic{grupos}
Seja $G$ grupo e $H \subgroup G$. Defina:
$$
    a \sim b \iffdf ab^{-1} \in H
$$
\begin{enumerate}[(i)]
    \item Prove que $\sim$ é uma relação de equivalência.
    \item Prove que para todo $a,b \in G$
        \begin{enumerate}[(a)]
            \item Se $a \in H$ e $b \in H$, então $a \sim b$.
            \item Se $a \in H$ e $b \not \in H$, então $a \not \sim b$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
