\documentclass[__main__.tex]{subfiles}

\begin{document}

\qtitle{33}
Описание пространства сплайнов третьей степени единичного дефекта, его стандартный базис. Формулировка теоремы о корректности интерполирования дефектными сплайнами нулевой, первой, второй и третьей степеней непрерывной на отрезке функции.\\

Пусть $A = \langle a = \tau_0, \tau_1, ..., \tau_k = b\rangle$ - сетка $[a, b]$.\\
$^>y = [y_0, y_1, ..., y_n\rangle \in\;^>\mathbb{R}^{|A|}(A)$ и $(\delta_1, ..., \delta_k)$ - подразделения $[a, b]$ на подотрезки, где $k = [\tau_{i-1}, \tau_i]$ для $i = \overline{1, k}$.\\
Сплайн $\varphi = spl_3(A, \;^>y)$ интерполяция степени 3(дефект 1) на $[a, b]$ определяется сплайном полиномов $(P_1, ..., P_k)$, где $P_i(\tau) = \varphi(\tau) = a_i + b_i(\tau - \tau_{i-1}) + c_i(\tau - \tau_i)^2 + d_i(\tau - \tau_{i-1})^3$ для $\tau \in \delta_i(i = \overline{1, k})$.
При этом признаётся, что 
\begin{gather}
\begin{cases}
	c_1 = c_k = 0\\
	P_i(\tau_{i-1}) = y_{i-1} \;\; для\; i = \overline{1, k}\;\; P_k(\tau_k) = y_k\\
	P_i(\tau_i) = P_{i+1}(\tau_i) \;\; для\; i = \overline{1, (k-1)}\; (склейка\; значений)\\
	P'_i(\tau_i) = P'_{i+1}(\tau_i) \;\; для\; i = \overline{1, (k-1)}\; (склейка\; производных)\\
	P''_i(\tau_i) = P''_{i+1}(\tau_i) \;\; для\; i = \overline{1, (k-1)}\; (склейка\; вторых\; производных)
\end{cases}
\label{33-systema}
\end{gather}
Условия \ref{33-systema} обеспечивают определение полиномов $P_1, ..., P_k$. Для пространства $Spl_3(A)$ интерполируемых сплайнов третьей степени (дефект 1) на сетке $A$, индуцируемого условием \ref{33-systema}, вводится базис $H = (h_0, ..., h_k)$, в котором $h_i = spl_3(A, \;^>c_{k+1})$ для $i = \overline{0, k}$ где $(^>c_1, ..., \;^>c_{|A|})$ - стандартный базис $^>\mathbb{R}^{|A|}$.\\
Тогда $spl_3(A,\; ^>y) = \sum_{i=0}^{+\infty}{y_ispl_3(A, \;^>c_{i+1})}$
\begin{theorem}
	а) Корректность интерполирования непрерывной на $[a, b]$ функции для систем сеток с помощью интерполируемых сплайнов третьей степени дефекта 1.\\
	б) Если $f \in \underline{C}'([a, b], \mathbb{R})$ и $A_{(.)} = (A_k)_{\mathbb
	{N}}$ - схема сеток.\\
	$f' = \underset{k \rightarrow \infty}{lim}{spl_3}(A_k, \hat{A_k}(spl'_3(A, \;^>y)))$
\end{theorem}
\end{document}