<reponame>nicolair/math-exos
\begin{tiny}(Csc16)\end{tiny} Formons l'encadrement de définition de la partie entière
\[
  kx - 1 < \lfloor kx \rfloor \leq kx
\]
et sommons de $1$ à $n$.
\begin{multline*}
  \left( \sum_{k=1}^{n} k\right) x - n < \sum_{k=1}^{n} \lfloor kx \rfloor 
  \leq \left( \sum_{k=1}^{n} k\right) x \\
  \Rightarrow
  \frac{n+1}{n} \frac{x}{2} - \frac{1}{n} < \frac{1}{n^2}\,\sum_{k=1}^{n} \lfloor kx \rfloor \leq \frac{n+1}{n} \frac{x}{2}
\end{multline*}

car $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$. On conclut par le théorème d'encadrement car $\left( \frac{n+1}{n}\right)_{n\in \N}\rightarrow 1$.
