
Американские ученые из Рочестерского университета обнаружили константу π во время вычисления ошибок в уравнении Шредингера для атома водорода вариационным методом. Связь между фундаментальной постоянной и квантовой механикой исследователи обнаружили случайно в рамках обучения студентов этому методу. Результаты работы авторы опубликовали в Journal of Mathematical Physics.
В квантовой механике вариационный метод используется для приближенного нахождения энергетических состояний квантовых систем, которые не могут быть решены точно. Хаген, один из авторов данной публикации, применил при обучении студентов вариационный метод к случаю атома водорода, для которого известно точное решение уравнения Шредингера. В качестве примера он выбрал случай, имеющий известное точное решение, для того, чтобы показать типичную для метода ошибку вычисления.
Ошибка вычисления энергетического состояния очень сильно зависит от того, которое именно состояние вычисляется. Обычно вариационный подход дает хорошее приближение для низких энергетических уровней, однако, в ходе подсчета, Хаген заметил, что для основного состояния атома водорода ошибка вариационного подхода составляет приблизительно 15 процентов, для первого возбужденного — десять процентов, и затем становится все меньше по мере увеличения степени возбуждения.
Фридман, коллега Хагена с математического факультета, помогла интерпретировать полученный результат. Исследователи пришли к выводу, что предел вариационного решения приближается к модели атома водорода, разработанной Нильсом Бором, согласно которой орбита электрона представляет собой сферу. Это хорошо согласуется с принципом соответствия Бора, согласно которому квантовая физика по мере перехода к макроскопическим величинам должна переходить в классическую.
Из формулы предела вариационного решения по мере увеличения энергии авторы сумели вычленить формулу Валлиса, которую в 1655 году английский математик Джон Валлис предложил для вычисления числа π в виде суммы бесконечного ряда.Число Пи возникает во многих реальных задачах. Например, его можно вычислить, посмотрев на статистику определенным образом построенного бильярда.
Евгений Анохин
