# Observemos primero que la ecuacion no es exacta
M=y**3+x**2*y
N=x**3+y**2*x
M.diff(y)-N.diff(x)

# Aplicamos el item a) para ver si se cumple la condicion para multiplicar por un factor integrante radial
M, N
((N.diff(x)-M.diff(y))/(y*M-x*N)).simplify()

"""
Explanation: <h1>Ejercicio 4:<h1> 

$\textrm{a)}$ De mostrar que si $\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{xN-My}$ es una función radial entonces la ecuacion $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ tiene un factor integrante radial.

Supomgamos que $\mu(x,y)=\mu(x^2+y^2)$ como candidato a ser un factor integrante. Luego, tenemos que tener que
$$ \frac{\partial (\mu(x^2+y^2) M(x,y))}{\partial y}= \frac{\partial (\mu(x^2+y^2) N(x,y))}{\partial x}, $$ o equivalentemente

$$ \mu'(x^2+y^2)M(x,y)2y+\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}\mu(x^2+y^2)=  \mu'(x^2+y^2)N(x,y)2x+\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}\mu(x^2+y^2)$$.

Luego,

$$ \mu'(x^2+y^2)=\frac{1}{2}\frac{\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}}{xN(x,y)-M(x,y)y} \mu(x^2+y^2)$$.

Entonces si $g(x,y):=\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{xN-My}$ es una función de $x^2+y^2$ (es decir radial) el factor integrante $\mu$ es tal  que  $\mu(z)=e^{\left(\frac{1}{2}\int h(z)dz\right)}=1/z$, donde $h(z)=g(x^2+y^2)$.





$\textrm{b)}$ Resolver la ecuación $(y^3+x^2y)dx+(x^3+y^2x)dy=0$
End of explanation
"""


# veamos ahora que la ecuación multiplicada por el factor integrante es exacta
MM=(x**2+y**2)**(-1)*M
NN=(x**2+y**2)**(-1)*N
((MM).diff(y)- (NN).diff(x)).factor()

# Resolvamos la ecuación. Encontremos $f$
f=integrate(MM,x) + integrate(NN-integrate(MM,x).diff(y),y) 
f

"""
Explanation: El factor integrante es $\mu(x^2+y^2)$, donde  $\mu(z)=e^{\left(\frac{1}{2}\int -\frac{2}{z}dz\right)}=1/z$
End of explanation
"""


C=symbols('C')
((y**3+y*x**2)+(x**3+y**2*x)*(-C/x**2)).factor()

"""
Explanation: Luego las soluciones son $xy=C$ donde $C\in \mathbb{R}$. Verifiqueoms esto
End of explanation
"""


