Яго бацькі Анатоль і Зінаіда (у дзявоцтве Камлюк) Баркоўскія паходзілі з вёскі Міханавічы Мінскага раёна. Дзед, Міхась Баркоўскі, сваімі ратнымі подзвігамі вызначыўся ў часы Першай сусветнай вайны. Стрыечны дзядзька Алеся, Анатоль Баркоўскі, быў вядомым савецкім дыпламатам, амбасадарам у шэрагу краін свету. Бацьку Алеся пасля заканчэння школы МУС накіравалі на працу ў пасёлак Асятрова, Іркуцкай вобласці, дзе і нарадзіўся ў 1953 годзе герой гэтага артыкула. У 1963 годзе Алесь Баркоўскі разам з бацькамі пераехаў у горад Дзяржынск Мінскай вобласці, дзе і скончыў у 1970-м сярэднюю школу №2.