Rápido retomól so trabayu en matemátiques y en 1940 publicó la so obra Consistencia del axoma deleición y de la hipótesis del continuu xeneralizada colos axomes de la teoría de conxuntos, que constitúi un clásicu de la matemática moderna. En dichu trabayu introduciól universu construible, un modelu de la teoría de conxuntos nel cual los únicos conxuntos quesisten son aquellos que pueden construyise a partir de conxuntos más simples. Gödel amosó que tanto laxoma deleición (AC) y la hipótesis del continuu xeneralizada (HCG) son verdaderes nel universu construible y polo tanto deben de ser consistentes colos axomes de Zermelo-Fraenkel pa la teoría de conxuntos (ZF). Darréu Paul Cohen construyó un modelu de ZF nel cual AC y HCG son falsos; en xunto estes demostraciones signifiquen que AC y HCG son independientes de los axomes de ZF pa la teoría de conxuntos.