Azaria nació y creció en Forest Hills, Queens, Nueva York, fíu de padres sefardínes de Tesalónica, Grecia. El so padre, Albert, tuvo dellos negocios testiles, ente quel so madre criar xunto a los sos dos hermanes mayores, Stephanie y Elise. Antes de casase col so padre, la madre de Azaria trabayara como publicista en Columbia Pictures, promocionando películes nos países llatinoamericanos, polo que falaba tanto inglés como español. Dambos padres amaben el mundu y el negociu del espectáculu, polo que lo impulsaron a convertise nactor. Azaria graduóse na Escuela The Kew Forest en Forest Hills, y más tarde estudió actuación na Universidá Tufts hasta 1985, enantes dingresar na Academia dArtes Dramátiques. Ellí conoció a Oliver Platt, quien se convirtió nel so meyor amigu; Azaria dixo que Oliver yera meyor actor de lo que yo yera nos mios años duniversidá, y realmente foi una inspiración. Xuntos, protagonizaron delles producciones universitaries, incluyendo El mercader de Venecia. Azaria orixinalmente quería ser actor de teatru, polo quél y Platt crearon la so propia compañía: Big Theatre. La única obra que produció la compañía foi una versión de The Dumb Waiter, de Harold Pinter. El primer trabayu de Azaria foi nun comercial de la televisión italiana, a los diecisiete años dedá. Llueu se dio cuenta de que la televisión ufiertába-y más oportunidaes, polo que se camudó a Los Angeles. Antes de dise de Nueva York, Azaria trabayó per dellos años nun chigre.