Каспаровтың ата-әсәһе шахмат менән мауыға һәм гәзиттә баҫылған шахмат мәсьәләләрен сисә. Гарри уларҙың баш ватҡанын һәр саҡ күҙәтә һәм бер мәл сиселеште әйтә; был саҡта уға биш йәш була. Бынан һуң атаһы Гарриҙы шахмат уйнарға  өйрәтә. Гарри ете йәшенән Баҡы Пионерҙар һарайында даими шахмат дәрестәре ала, уның беренсе тренеры Олег Исаакович Приворотскийxa0 була. Шул йәшендә Гарриҙың атаһы лимфосаркома сиренән    вафат була. Ире үлгәндән һуң, Клара Шагеновна үҙен тулыһынса улының шахмат карьераһына арнай. 1975 йылда, Гарриға 12 йыл булғанда, Клара Каспарова улының фамилияһынxa0 Вайнштейндан Каспаровҡа алмаштыра. Был, СССР-ҙа йәшәп килгән антисемитизм улының артабанғы шахмат карьераһына ҡамасаулауы мөмкинлегенән сығып, туғандарының ризалығы менән эшләнә. 1977 йылда Гарри Каспаров ВЛКСМ сафына баҫа.