Натураль һандар арифметикаһы математик теорияларҙы нигеҙләү өсөн ҙур әһәмиәткә эйә: уның ҡаршылыҡһыҙ булыуынан ысын һандар арифметикаһының ҡаршылыҡһыҙ булыуы килеп сыға, ул үҙ сиратында, моделдәр ысулын ҡулланып, Евклид геометрияһының һәм Лобачевский геометрияһының ҡаршылыҡһыҙ булыуын күрһәтергә мөмкинлек бирә. XX быуат башында Гильберт Пеано системаһында һәм уға туғандаш аксиоматик системаларҙа арифметиканың ҡаршылыҡһыҙ булыуын иҫбатлау менән һөҙөмтәһеҙ шөғөлләнә. 1930 йылда тулы булмау тураһында Гёдель теоремаһын асҡандан һуң, бындай ябай системаларҙа был мөмкин булмауы асыҡ күренә. Ҡаршылыҡһыҙ булыуҙы 1936 йылда Генцен трансфинит индукция төрөн ҡулланып иҫбатлай.