Los dos primeros discos d'O'Connor (The Lion and the Cobra, de 1987, y I Do Not Want What I Haven't Got, de 1990) llamaron enforma l'atención y consiguió munches crítiques positives. Afalagóse la so voz y les sos canciones orixinales. Emponderóse tamién el so aspeutu: la so cabeza afaitada como seña d'identidá, davezu con una espresión enfadada, y vistida a vegaes con ropa poco corriente nin atopadizo.