En 1931, Gödel publicó On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, que demostraba la incompletitud (nun sentíu distintu del términu) de cualquier sistema axomáticu abondo espresivu, que'l so sistema d'axomes fuera recursivamente enumerable. Esti tipu de resultancies, conocíos como teorema de incompletitud de Gödel, implica que los sistemes axomáticos de primer orde tienen severes llimitaciones pa encontar les matemátiques, y supunxeron un duru golpe pal llamáu programa de Hilbert pa la fundamentación de les matemátiques. Unu de los resultaos de Gödel estableció que ye imposible que pueda formalizase la consistencia de l'aritmética nuna teoría formal na que pueda formalizase la mesma aritmética. Per otra parte, mientres dalgún tiempu nin Hilbert nin otros de los sos collaboradores fueron conscientes de la importancia del trabayu de Gödel pa la so pretensión d'encontar les matemátiques por aciu el citáu "programa de Hilbert".