Aldredge consolidó una respetada carrea nel circuitu de Broadway que duró cinco décades. Debutó en Broadway interpretando a Danny nel musical The Nervous Set de 1959. En 1972 ganó un Drama Desk Award pol so papel de Ozzie, el padre d'un veteranu de Vietnam ciegu, en Sticks and Bones de David Rabe. Foi'l Norman Thayer Jr. orixinal en On Golden Pond de 1978, consiguiendo la so primer nominación al premiu Tony. Sicasí, el so papel más conocíu ye'l del narrador en Into the Woods de Stephen Sondheim y James Lapine, un personaxe que más tarde repitiría. Amás creó un personaxe n'otra collaboración de Sondhiem y Lapine, Passion. Aldredge formó parte de la nueva versión de 1997 de Inherit the Wind producida por Tony Randall, onde interpretó a Rev. Brown nun repartu tamién integráu por George C. Scott, Charles Durning y Anthony Heald.