Mientres la so vida, Kosyguin recibió siete Órdenes y dos premios del Estáu soviéticu. Foi gallardoniáu dos veces col Héroe del Trabayu Socialista; unu d'ellos en 1964 mientres el so cumpleaños númberu 60 pol Presidium del Sóviet Supremu, nesta ocasión tamién recibió una Orde de Lenin y una medaya d'oru d'el focete y el martiellu. El 20 de febreru de 1974 el Presidium del Sóviet Supremu concediólu, esta vegada pa conmemorar el so cumpleaños númberu 70, otra Orde de Lenin y una segunda medaya d'oru del focete y el martiellu. En total, Kosyguin recibió seis Órdenes de Lenin del Estáu soviéticu y una Orde de la Revolución d'Ochobre y una Orde de la Bandera Colorada del Trabayu. Mientres una visita oficial a Perú na década de 1970 xuntu con Leonid Brézhnev y Andréi Gromyko, los trés fueron gallardoniaos cola Orde El Sol de Perú pol Presidente Francisco Morales Bermúdez. Nel so honor, la Universidá Testil Estatal de Moscú foi nomada col so nome en 1981 y en 1982 foi asitiáu un bustu en Leningráu, güei San Petersburgu. En 2006 el Gobierno rusu renombró una cai nel so honor.