Ta entender os grupos mas allá d'o nivel de meras manipulacions simbolicas como as d'alto, s'han d'emplegar mas conceptos estructurals. Bi ha un prencipio conceptual subchacent a totas as nocions que siguen: aprofeitar a estructura ofierta por os grupos (que por eixemplo os conchuntos en estar "sin estructura" no tienen) as construccions relacionatas con os grupos han d'estar compatibles con a operación de grupo. Ista compatibilidat se manifiesta en as nocions siguients de diversas maneras. Por eixemplo, os grupos se pueden relacionar la un con l'atro por meyo de funcions ditas homomorfismos de grupo. Por o prencipio debantdito, se desiche que respeten as estructuras de grupo en un sentito preciso. A estructura d'os grupos tamién se puet entender dividindo-los en partis ditas subgrupos y grupos cocient. O prencipio de "conservar estructura" —un tema que se repite muito en matematicas— ye un eixemplo de treballar en una categoría, en iste caso a categoría de grupos.