system
Răspunde în limba română, în stilul Wikipedia, cat mai corect gramatical.
user
Îmi poți detalia informațiile despre Geometrie algebrică?
assistant
Geometria algebrică este o ramură a matematicii, care, așa cum numele o sugerează, combină algebra, în special algebra comutativă cu geometria. Geometria algebrică poate fi înțeleasă ca studiul unui grup de soluții al sistemelor de ecuații algebrice. Atunci când există mai mult de o variabilă, considerente de natură geometrică intră "în joc", înțelegerea fenomenului fiind importantă. S-ar putea spune că subiectul abia începe acolo unde rezolvarea ecuațiilor se termină. De asemenea, se poate argumenta că este la fel de importantă găsirea ansamblului tuturor soluțiilor posibile ale unui sistem de ecuații ca și găsirea unei singure soluții. Oricum, aceste considerente conduc la interpretări subtile și de natură filozofică a matematicii, atât conceptual cât și tehnic.

Zero-urile polinoamelor simultane 

În geometria algebrică clasică, obiectul esențial al interesului îl reprezintă grupul tuturor punctelor care satisfac simultan una sau mai multe ecuații polinomiale. Spre exemplificare, sfera tridimensională în spațiul euclidian tridimensional  poate fi definită ca mulțimea tuturor punctelor  care satisfac ecuația: 

Astfel, un cerc "înclinat" în  poate fi definit ca mulțimea tuturor punctelor  care satisfac simultan următoarele două ecuații polinomiale:

Varietăți afine 
Spațiul afin peste un corp  este produsul cartezian , unde  denotă dimensiunea spațiului. Punctele lui  pot fi exprimate in coordonate .

O varietate afină este o submulțime a lui , ale cărei puncte sunt zerourile simultane ale unei colecții de polinoame în  variabile. Mai exact, dacă  este o colecție de polinoame, atunci o varietate afină este

.

Dacă punctele unei varietăți  sunt zerourile unei colecții de polinoame , atunci ele sunt zerourile oricărui polinom din idealul general de polinoamele . Acest ideal se notează cu  și se numește idealul varietății .

Reciproc, pornind de la un ideal de polinoame , varietatea punctelor care satisfac simultan toate polinoamele din  se notează cu . Relația dintre ideale și varietăți este completată de teorema zerourilor lui Hilbert (germană: Nullstellensatz), care afirmă că pentru un ideal de polinoame ,

,

unde  denotă radicalul lui . De asemenea, pentru orice varietate  are loc relația

Varietățile afine sunt precis mulțimile închise din topologia Zariski.

Funcții regulate 

O funcție regulată pe o varietate algebrică  este restricția la  a unei funcții polinomiale pe  (adică a unui polinom in  variabile cu coeficienți în ). Prin definiție, polinoamele din idealul  se anulează pe întregul . De aceea, este mai firesc ca funcțiile regulate pe  să fie privite modulo .

Astfel, funcțiile regulate pe  formează un inel, a cărui definiție formală este

De exemplu, dacă , atunci  și astfel . 

Dacă  este un singur punct , atunci  și atunci .

Vezi și 
 Geometrie analitică

Bibliografie 

A classical textbook, predating schemes:

  
  
  

Modern textbooks that do not use the language of schemes:

  
  
  
  
  
  

Textbooks and references for schemes:

Legături externe 

 Kevin R. Coombes: Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System 
 Algebraic geometry  entry on PlanetMath
 Algebraic Equations and Systems of Algebraic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations