system
Răspunde în limba română, în stilul Wikipedia, cat mai corect gramatical.
user
Ce ar trebui să știu despre Funcție continuă?
assistant
În analiza matematică, o funcție se numește continuă într-un punct dacă o modificare mică a argumentului în jurul punctului dat produce o modificare mică a imaginii funcției și, mai mult, se poate limita oricât de mult variația valorii funcției prin limitarea variației argumentului. O funcție care este continuă în fiecare punct al domeniului de definiție se numește simplu funcție continuă.

Păstrând limbajul intuitiv, o funcție este continuă dacă graficul acesteia nu are întreruperi sau "rupturi".
Dacă o modificare mică a argumentului poate produce un salt (o ruptură) în graficul funcției,se zice că funcția este discontinuă, sau că are una sau mai multe discontinuități.

Continuitate într-un spațiu metric 
Dacă , unde X și Y sunt submulțimi ale unor spații metrice (de exemplu, ), funcția f se numește continuă în punctul  dacă pentru orice valoare  există un  astfel încât , să aibă loc , unde  reprezintă distanța din spațiul metric X, iar  reprezintă distanța din spațiul metric Y.

Echivalent, f este continuă într-un punct de acumulare  dacă  (f este continuă într-un punct dacă limita sa în acel punct (de acumulare) există și este egală cu valoarea funcției în acel punct).

Nu se poate formula continuitatea unei funcții într-un punct în care funcția nu este definită; dar într-un punct din domeniul său de definiție ce nu este punct de acumulare al domeniului său de definiție (adică un punct izolat), orice funcție este continuă.

O funcție se numește discontinuă într-un punct dacă nu este continuă în acel punct. Un punct în care funcția nu este continuă se numește discontinuitate a funcției.

O discontinuitate poate exista fie pentru că funcția are un "salt" (limita funcției sau cel puțin una din limitele laterale există, dar este diferită de valoarea funcției) - o astfel de discontinuitate se numește de primă speță, fie pentru că funcția nu are limită în acel punct -- discontinuitate de speța a doua.

Exemple:

este continuă în toate punctele cu excepția lui 0 unde are o discontinuitate de prima speță.

este continuă în toate punctele cu excepția lui 0 unde are o discontinuitate de speța a doua. De notat că această funcție este un exemplu de funcție Darboux care nu este continuă.

Continuitatea funcțiilor reale 
Definiția 1.
Fief o funcție definită pe  și   
Se spune că funcția f este continuă în punctul  dacă pentru orice  astfel încât oricare ar fi  cu proprietatea  se respectă relația:   

Definiția 2
Se spune că funcția  este continuă în punctul  dacă pentru orice șir  convergent către  șirul valorilor funcției  converge către 

Definiția 3.
Spunem că funcția f definită pe o vecinătate a punctului  este continuă în  dacă f are limita în punctul  și dacă această limită este egală cu

Vezi și 
 Limită a unei funcții
 Derivată

Bibliografie 
 Gh. Sirețchi, Analiză matematică, Editura didactică și pedagogică.

Funcții matematice
Analiză matematică
Topologie