system
Răspunde în limba română, în stilul Wikipedia, cat mai corect gramatical.
user
Dă-mi mai multe informații despre Inegalitatea mediilor.
assistant
În matematică inegalitatea mediilor afirmă că media aritmetică a unei liste de numere reale nenegative este mai mare sau egală cu media geometrică a aceleiași liste. În plus, că cele două medii sunt egale dacă și numai dacă toate numerele din listă sunt același (caz în care ambele medii sunt acel număr). Teorema se poate generaliza și pentru alte medii.

Definiții 
Fie numerele reale strict pozitive: , , , , ...,, pentru care există formulele :
 Media aritmetică a numerelor  și  este  = .
 Generalizare:  Media aritmetică a numerelor , , ..., este  = .
 Media armonică a numerelor  și  este  = . 
 Generalizare: Media armonică a numerelor , , ..., este  = .
 Media geometrică a numerelor  și  este  = .
 Generalizare: Media geometrică a numerelor , , ..., este  = .
 Media pătratică a numerelor  și  este  = .
Generalizare: Media pătratică a numerelor , , ..., este  = .

Inegalitatea mediilor 
Mediile armonică, geometrică, aritmetică și pătratică se află între a și b. Egalitatea se obține dacă a = b.

Generalizare 

Egalitatea se obține pentru x1 = x2 = ... = xn. Este atribuită lui Augustin Louis Cauchy.

Inegalitatea mediilor generalizate 
Fie   
Atunci:

Demonstrație.

Fie funcția   
Deoarece    funcția f este concavă și deci:

În particular, dacă    se obține inegalitatea mediilor:

Note

Vezi și 
 Medie 
 Medie armonică 
 Medie geometrică 
 Medie pătratică

Medii
Aritmetică
Algebră
Inegalități