system
Răspunde în limba română, în stilul Wikipedia, cat mai corect gramatical.
user
Ce aspecte principale ale [Titlu] poți să-mi împărNumăr prim?
assistant
Un număr prim este un număr natural, mai mare decât 1, care are exact doi divizori pozitivi: numărul 1 și numărul în sine. Acești divizori sunt improprii. Un număr prim este deci nefactorizabil.

Opusul noțiunii de număr prim este cel de număr compus.

Cel mai mic număr prim este 2; în afară de 2 toate numerele prime sunt numere impare. Există o infinitate de numere prime, fapt demonstrat de Euclid în Antichitate prin intermediul reducerii la absurd.

Definiție 
 Un număr natural p > 1 se numește prim dacă : p | ab  atunci p | a  sau p | b, unde a, b sunt numere naturale. De exemplu 15 | 3 . 5, dar 15  3, 15  5, adică 15 nu este număr prim. Aceasta este o proprietate esențială a numerelor prime, iar cele două definiții sunt echivalente pentru inelul , dar nu sunt echivalente în orice inel integru.
 Mulțimea numerelor prime poate fi notată MP={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... infinit} și se poate indexa cu indecși naturali consecutivi astfel: MP={P(1)=2, P(2)=3, P(3)=5, P(4)=7, P(5)=11, P(6)=13, P(7)=17, P(8)=19, P(9)=23,....P(n), P(n+1), ...P(infinit)}, cu P(n) fiind al n-lea număr prim din șirul/mulțimea numerelor prime MP (care este o mulțime cu o infinitate de elemente).
 Există de asemenea și o infinitate de subtipuri posibile de numere prime. Un subtip special de numere prime îl constituie numerele prime cu indecși la rândul lor primi (alias "prime-index primes" sau "super-primes"). De exemplu, se poate forma o submulțime (infinită) MP1 din MP extrăgând toate acele elemente din MP care au indecși primi la rândul lor: MP1={P(2)=3, P(3)=5, P(5)=11, P(7)=17, ... P(al n-lea numar prim), P(al [n+1]-lea numar prim)...P(infinit)}. MP1 se mai numește și "mulțimea (șirul) super-primelor de ordinul 1; și se poate scrie și astfel: MP1={P(P(1))=P(2)=3, P(P(2))=P(3)=5, P(P(3))=P(5)=11, P(P(4))=P(7)=17, ...P(P(n))=P(al n-lea număr prim), P(P(n+1))=P(al [n+1]-lea număr prim),  ...P(P(infinit))}. 
 Analog, se poate defini și MP2={P(P(P(1)))=P(P(2))=P(3)=5, P(P(P(2)))=P(P(3))=P(5)=11, ...P(P(P(n)))=P(P(al n-lea numar prim)), P(P(P(n+1)))=P(P(al [n+1]-lea numar prim)),  ...P(P(P((infinit)))}. Iterativ, se poate defini și un număr super-prim de ordin x ca P(P(P...P(n)) (cu x funcții P incluse una în alta) și MPx conținînd toate aceste numere pentru x aparținând mulțimii naturale N*={1, 2, 3, ...infinit}. (Neil Fernandez 1999, URL2, URL3)

Proprietăți 
 În anul 300 î.Hr. Euclid a demonstrat că există o infinitate de numere prime. Iată demonstrația: presupunând prin absurd că p ar fi cel mai mare număr prim, construim numărul unu plus produsul numerelor prime de la 1 la p . Acesta nu se divide cu nici unul din numerele 2, 3, 5, ....., p, așadar sau este prim, sau are un divizor prim mai mare ca p, ceea ce contrazice presupunerea că p ar fi cel mai mare număr prim.
 Nu se știe dacă există o infinitate de numere prime gemene (impare consecutive ca: [3, 5]; [41, 43]; [59, 61]; [101, 103] etc.).
 Șirul numerelor prime începe cu 2, 3, 5, 7, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 
, , , , , , , , , ,  
 Descompunerea în factori primi: orice număr natural n, n > 1  poate fi descompus în mod unic (până la o permutare a factorilor) ca produs finit de numere prime, și putem scrie  descompunerea în factori primi  distincți ai lui n unde  sunt numere prime distincte. 
 Exemplu : .
 Pentru numerele întregi avem   , unde . 
 Teorema lui Dirichlet: În progresia aritmetică  a, a+q, a+2q, a+3q..., a+nq, .., cu a>0, q>0 numere naturale prime între ele, există o infinitate de numere prime. Demonstrații elementare există pentru progresiile 4n+1 și 4n+3, iar cazul general are o demonstrație elementară foarte lungă, iar altele sunt neelementare. 
 Postulatul lui Bertrand: Dacă n > 1 este un număr natural atunci există un număr prim p cuprins între n și 2n, adică n < p < 2n.
 Conjectura lui Andrica: Diferența radicalilor a două numere prime consecutive este întotdeauna mai mică decât 1.
 Există intervale foarte mari în care nu există numere prime, de exemplu între 370261 și 370373.

Mărimea numerelor prime cunoscute în prezent 
 Cel mai mare număr prim găsit până în prezent este 274.207.281- 1 și are peste 22 milioane de cifre.
 În decembrie 2018, a fost descoperit un nou număr prim Mersenne:  282.589.933- 1 și are 24.862.048 de cifre.

Note

Bibliografie 
  I.D. Ion ș.a., Algebra pentru perfecționarea profesorilor,  E.D.P. București,1983, p. 77 , 152.
  I.D. Ion ș.a. Algebra pentru perfecționarea profesorilor,  E.D.P. București,1983, p. 77 , 152.
  I. Creangă ș.a., Introducere în teoria numerelor, E.D.P. București,1965.

Lectură suplimentară
 Nicolae N. Mihăileanu, Istoria matematicii, vol. 1-2, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1974, 1981

Vezi și 
 Listă de numere prime - primele 1000 de numere prime și diferite clase de prime
 Teorema numerelor prime
 Numere prime între ele
 Teorema lui Wilson
 Semiprim
 Primorial
 Prim factorial
 Prim permutabil
 Prim trunchiabil

Legături externe 
 Prime number calculator  - Check prime number, find next largest and next smallest prime numbers of a number 
 Pagina numerelor prime — http://primes.utm.edu/
 MacTutor history of prime numbers
 Prime Number Generator  - Generate a given number of primes above a given start number.
 Primele 15, 000, 000 numere prime 
 The prime puzzles
 An English translation of Euclid's proof that there are infinitely many primes
 Primes de la WIMS  online  generator de numere prime
 Number Spiral with prime patterns
 An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi and Cyril Banderier 
 Factorizer Windows software to find prime numbers and pairs of prime numbers less than 2,147,483,646.
 Huge database of prime numbers
 EFF Cooperative Computing Awards
 Cel mai mare număr prim  cunoscut !
 Numere prime - mathworld
 Math.com calculator