system
Răspunde în limba română, în stilul Wikipedia, cat mai corect gramatical.
user
Îmi poți explica despre Rest (matematică)?
assistant
În aritmetică și algebră, restul de la împărțirea a două numere întregi este un număr care este nenul când împărțitorul nu se cuprinde exact (printr-un cât întreg) în deîmpărțit.

Restul pentru numerele naturale

Daca  și  sunt numere naturale și  este diferit de zero, se poate demonstra că există numerele naturale unice  și , astfel încât   și . Numărul  poartă denumirea de cât, iar  cea de rest.

Exemple
 Când 13 se împarte la 10, câtul este 1 și restul este 3, pentru că .
 Când 26 se împarte la 4, câtul este 6 și restul este 2, pentru că .
 Când 56 se împarte la 7, câtul este 8 și restul este 0, pentru că . 
 Când 3 se împarte la 10, restul este 3, deoarece atunci când împărțitorul este mai mare decat deîmpărțitul, restul este egal cu deîmpărțitul.

Restul pentru numerele întregi

Dacă  și  sunt numere întregi și  este diferit de zero, atunci restul este un număr întreg, astfel încât  pentru un număr întreg  și . Când se definește în acest fel, există două resturi posibile. Spre exemplu, împărțirea numărului −42 la −5 se poate exprima ca

reprezentarea preferată de matematicieni, sau

Deci restul este 3 sau −2.
Această ambiguitate poate fi o problemă serioasă pentru sistemele de calcul cu importanță majoră, unde alegerea incorectă poate avea consecințe importante. În cazul de mai sus, restul negativ se obține din cel pozitiv, scăzând 5, adică . La împărțirea cu , dacă restul pozitiv este  și cel negativ este , atunci

Restul pentru numerele reale

Dacă  și  sunt numere reale și  este diferit de zero,  poate fi împărțit la  fără rest, câtul fiind un număr real. Dacă acesta trebuie să fie un număr întreg, restul este necesar. Se poate demonstra că există un cât întreg unic  și un rest real unic , astfel încât , cu . Ca în cazul împărțirii cu numere întregi, restul poate fi negativ: .

Extinderea definiției restului pentru numere reale nu are o importanță teoretică în matematică, dar multe limbaje de programare implementează această definiție.

Inegalitatea satisfacută de rest

Prin modul în care a fost definit restul, pe lângă egalitatea , a fost impusă și o inegalitate, scrisă ca  sau  . Această inegalitate este necesară pentru ca restul să fie unic. Alegerea unei astfel de inegalități este relativ arbitrară. Orice condiție de forma   (sau ), unde  este o constantă, este suficientă pentru a garanta unicitatea restului.

Egalitatea restului la împărțirea cu un număr 
Două numere întregi pot avea același rest la împărțirea cu un al treilea număr. Aceste numere se numesc congruente modulo.

Câtul și restul în limbaje de programare

Având o alegere între două resturi diferite, unul negativ și celălalt pozitiv, înseamnă că sunt și două câturi diferite. În teoria numerelor, se alege întotdeauna restul pozitiv, dar nu și în limbajele de programare. C99 și Pascal aleg restul cu același semn ca deîmpărțitul . (Înainte de C99, limbajul C permitea ambele posibilități) Perl și Python aleg restul cu același semn ca împărțitorul .

Vezi și 
 Teorema împărțirii cu rest
 Modulo

Legături externe

 
 

Matematică elementară
Numere