system
Răspunde în limba română, în stilul Wikipedia, cat mai corect gramatical.
user
Ce aspecte principale ale [Titlu] poți să-mi împărInel (matematică)?
assistant
Un inel  este o structură algebrică formată dintr-o mulțime suport  și două operații binare, definite pe produsul cartezian  cu valori în , numite convențional  (sau operația aditivă) și  (sau operația multiplicativă), astfel încât:
 formează un grup comutativ sau abelian. Elementul neutru al lui  se notează în general cu .
 formează un monoid.
 Se îndeplinește proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare, adică pentru orice : 

Termenul a fost introdus în 1897 de David Hilbert.

Definiții
Dacă operația de înmulțire este comutativă, adică
 atunci inelul  este un inel comutativ.
Dacă  și înmulțirea admite element neutru, adică
 atunci inelul  este inel cu unitate sau inel unitar.
Un inel comutativ cu cel puțin două elemente și fără divizori ai lui zero se numește inel integru (sau domeniu de integritate).

Un inel în care orice element (în afară de  ) are invers față de înmulțire se numește corp.

Elementul neutru în raport cu operația  se notează   și se numește elementul nul, iar simetricul lui  în raport cu adunarea se notează  și se numește opusul lui . În loc de , vom nota .

Dacă  este inel unitar, atunci elementele lui  simetrizabile în raport cu operația multiplicativă se numesc elemente inversabile .

Se notează cu  mulțimea elementelor inversabile ale inelului unitar , adică  

Fie  un inel. Două elemente  se numesc permutabile dacă . Un element  se numește element central dacă el permută cu orice element din inelul .
Mulțimea
 
a tuturor elementelor centrale din  se numește centrul inelului .

Exemple de inele
 Inelul numerelor întregi
 este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1, iar .
 Inelul numerelor raționale
 este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus .
 Inelul numerelor reale
 este inel comutativ în care elementul nul este 0 și elementul unitate este 1. În plus .
 Inelul numerelor complexe
 este inel comutativ cu .
 Inelul  al claselor de resturi modulo n. 
 este inel comutativ, iar .

Proprietăți
Fie  un inel. Atunci pentru , avem:

 și 
Dacă  este inel cu unitate, atunci 
Dacă ,atunci definim  și . Pentru , avem .

Note

Bibliografie
 Gheorghe Ivan, Paul Mihai Șușoi, Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice, Editura Ionescu, 2001.
 Vasile Popuța, Algebră. Curs elementar de structuri fundamentale, Editura Mirton, Timișoara, 1998.

Vezi și 
 Inelul numerelor întregi
 Corp (matematică)

Structuri algebrice