Human: Est-ce qu'une fonction continue est dérivable ?

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Pas nécessairement. Un fonction dérivable est continue mais une fonction continue peut être non dérivable. Non, une fonction continue n'est pas toujours dérivable. Voici un contre exemple: la fonction f: R -> R qui à x associe |x| où |x| désigne la valeur absolue de x est continue sur R mais n'est pas dérivable en tout point de R, car elle n'est pas dérivable en 0. En général, une fonction continue peut être dérivable. Cependant, ce n'est pas une garantie. Il existe des fonctions continues qui ne sont pas dérivables en certains points, ce qui s'appelle une fonction de Weierstrass. Ainsi, une fonction peut être continue sans être dérivable, mais si une fonction est dérivable, alors elle est nécessairement continue. Pas toujours, par exemple la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n'y est pas dérivable. Non, une fonction continue n'est pas toujours dérivable. La fonction de Weierstrass en est un exemple.