Human: Kannst du folgende These mittels vollständiger Induktion beweisen oder widerlegen?:

Wenn sich unter n Kühen eine lila Kuh befindet, dann sind alle Kühe lila.

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Wenn sich unter n Kühen eine lila Kuh befindet, dann sind alle Kühe lila.

Assistant: 
Die Frage bezieht sich auf das Pferdeparadoxon und wird auf Kühe übertragen. Das Problem hinter diesem Paradoxon ist der Induktionsanfang A(n0) eine lila Kuh. Mit diesem Anfang kann man argumentieren, dass eine Herde mit n=1 Kühen alle lila sind und man kann nun argumentieren, dass Herden mit n Kühen alle lila sind. Das Problem tritt nicht auf, wenn man als Induktionsbeginn 2 Kühe wählt, aber das ist nicht möglich, da man nicht garantieren kann, dass 2 beliebige Kühe die gleiche Farbe haben. Wenn es eine Kuh gibt, die lila ist, bedeutet dies nicht, dass alle Kühe zwangsläufig lila sind. Aufgrunddessen, kann die Behauptung nicht induktiv bewiesen werden. Induktiv kann die Behauptung jedoch ebensowenig widerlegt werden, da es keine Anzeichen gibt, dass es auch Kühe gibt, welche nicht lila sind.

Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass diese Situation fiktiv ist und dass reelle Kühe nicht lila sind, sondern andere Farben aufweisen, die nicht einheitlich sind. Ja, ich kann diese These mit vollständiger Induktion beweisen. Ich beginne mit n=1, wo unter einer Kuh eine lila Kuh ist. Dann nehme ich an, dass die These für n=k gültig ist (also unter k Kühen mindestens eine lila Kuh ist), und ich zeige, dass sie dann auch für n=k+1 gültig ist (also unter k+1 Kühen mindestens eine lila Kuh ist).

Zum Beweis: unter k+1 Kühen sind mindestens k Kühe, also hat unter diesen mindestens eine lila Kuh.