Human: Crea una pregunta de examen de algebra lineal donde los estudiantes tienen que calcular un problema con descomposición de tipo LUx=b

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Dado el sistema de ecuaciones lineales:

3x + 2y + 4z = 18
2x + 3y + 7z = 29
4x + 7y + 4z = 47

1. Realice la descomposición de tipo LU de la matriz de coeficientes A del sistema de ecuaciones.
2. Utilizando la descomposición LU, resuelva el sistema de ecuaciones lineales para encontrar los valores de x, y, y z.

Nota: Recuerde que la descomposición de tipo LU de una matriz A se define como A = LU, donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior, y que x es el vector de incógnitas y b es el vector de términos independientes. Aquí te propongo una pregunta para un examen de álgebra lineal donde los estudiantes deben calcular un problema utilizando la descomposición LU.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2x + 3y + z = 11

4x + 7y + 4z = 27

6x + 10y + 5z = 39

a) Realiza la descomposición LU de la matriz de coeficientes.

b) Usa la descomposición LU para resolver el sistema de ecuaciones.

c) Comprueba tu respuesta sustituyendo los valores encontrados en el sistema de ecuaciones original.

Nota: Para resolver el sistema de ecuaciones utilizando la descomposición LU, los estudiantes deben utilizar la fórmula LUx = b, donde L y U son las matrices de descomposición y x es el vector de solución. Primero se resuelve Ly = b utilizando sustitución hacia adelante y luego se resuelve Ux = y utilizando sustitución hacia atrás. Dada la matriz A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \ 4 & 5 & 7 \ 6 & 8 & 11 \end{pmatrix} y el vector b = \begin{pmatrix} 4 \ 11 \ 17 \end{pmatrix}, encuentra la solución del sistema de ecuaciones lineales Ax = b utilizando la descomposición LU.

(a) Primero, encuentra la descomposición LU de A.
(b) Luego, resuelve Ly = b para encontrar y.
(c) Finalmente, resuelve Ux = y para encontrar la solución x.

Muestra todos los cálculos y explica cada paso.