閉形式であるが完全形式ではないことがわかる。このように一般の多様体においては閉形式が完全形式であるとはかぎらない。閉形式の空間と完全形式の空間の差をはかるのがド・ラームコホモロジーである。次微分形式の空間とする。}は複体であり、これをド・ラーム複体と呼ぶ。この複体のコホモロジーがド・ラームコホモロジーである。次ド・ラームコホモロジー群である。次閉形式が完全形式であることが同値である。^{n}}が成り立つ。上の滑らかな函数は局所定数関数であるという事実から従う。}^{k}(M)=0}をみたす。ド・ラームコホモロジーを計算する上で有用な事実はマイヤー・ヴィートリス完全系列の存在およびホモトピー不変性である。ド・ラームコホモロジーを計算した結果を以下に挙げる。開区間との積を考える。0,n\end{cases}}}が成立する。穴のあいたユークリッド空間:穴のあいたユークリッド空間とは、単に原点を取り除いたユークリッド空間のことを言う。微分可能多様体とする。