物理法則や幾何学的法則では、次の一般的な表現が当てはまるケースが非常に多くあります。ある量が極小(最小)または極大(最大)になるように変化は生じるこれを数学的に表現したものが変分原理になります。「ある平衡状態に対し、ほんの少しずらしたらどうなる?」といった視点からアプローチすることにあります。2.汎関数(作用)変分原理は多次元(多自由度)で成立しますが、まずは簡単のため2次元平面で話を進めます。今、曲線y=f(x)が区間a≦x≦bで微分可能とします。このとき、曲線y=f(x)の区間内での長さは次のように表現できます。この曲線f(x)に対し、何かしらの量(例えば密度等)で重みづけされた形で現象を解くことが一般的です。I[y]の表記は、y=f(x)の関数形によって積分Iは異なる値を示す、つまりIは経路に依存することを表しています。今問題にしているのは、この項の最初に述べた“極小または極大”です。関数y=f(x)が極値をとるとき、その1階微分はf’(x)=0になります。よって、極値近傍のxを微小量dxだけ変化させても、それに対応するdyはdy/dx=0ゆえdy=0※になります。そこで、汎関数Iに極値を与えるf(x)をfp(x)とし、その時の汎関数をI[fp]で表します。そこからわずかにずれた関数f(x)で決まる汎関数I[f]とI[fp]の差について考えてみます。今、この関数の差をδy、汎関数の差をδIとけば、で表せます。このδy、δIをそれぞれf(x)およびIの変分と呼びます。今、Iが極値を取る場合を考えているので変分δIは“0”でなければなりません。今度は、汎関数Iが極値をとるための関数F(x,y,y’)の条件式を求めます。関数f(x)はIに極値を与えるfp(x)からほんの少しずれたものであるため、そのずれδyを用いて次のように表せます。このf(x)を用いて計算した汎関数I[f]は次のようになります。この被積分関数は、テイラー展開し、微小値δy、δy’の2次以降を無視することで次のように書き換えられます。ここで(4-2)式に(4-3)式を適用して変分δIを計算します。このとき以下の関係式を代入すれば、となります。右辺第二項に部分積分法を適用すると、点A、Bでのずれδy=0ゆえ、となるので、変分δIは次のようになります。積分関数が常に“0”になることが必要となります。この式を、変分δI=0に対するオイラーの方程式と呼びます。5.多次元への展開ここまでは、2次元に関する変分問題を扱いましたが、これはn次元へ簡単に拡張できます。(2-2)式は次のように拡張されます。この汎関数を前述同様にして変分δIを求めると、次のようになります。各δyiは任意性を持つので、その各係数ごとに“0”とならなければなりません。以上より、汎関数Iが極値を取る関数F(x,y1,y2,...,y’1,y’2,...)は(5-3)式で表されるn個の2階微分方程式で決定されます。クリックするとpdfが開きます。