2006年度前期輪講で発表した内容にそって説明を書く予定。行列の、座標変換によって不変な性質を調べる。座標変換によって不変な特徴量があるならば、その量こそが行列の本質を表す量なのではないか。value、行列の“特性”値。ドイツ語起源の接頭語。own、「自分自身の」「自身に固有の」という感じの意味。発音もドイツ語的にアイゲン。いうか、ドイツ語起源なので英語圏の人でも読めない場合があって、エイジャンとかアイジャンとか読む人も。)固有値の「固有」は「eigen」の訳語。線形空間の座標系の取り方によって行列の形が変わります。なると、線形写像の性質は、座標系の取り方によって変わってしまうか?という疑問が生じます。実際、行列の見た目は座標の取り方によってがらりと変わってしまいます。座標系の取り方を変えても変化しない性質もあります。線形写像の本質を表しているのではないかと考えるのが妥当でしょう。座標変換によって不変な行列の性質を調べていくことになります。座標変換を行ったときに行列の形がどう変化するかを考えましょう。表されているといます。y'と表すことができます。間には以下の関係が成り立ちます。transform)と呼びます。これまでの説明の通り、相似変換は行列の座標変換に相当します。「相似変換によって変化しない行列の性質」ということになります。前節で言うような「相似変換によって変化しない行列の性質」として、これから説明する固有値や固有ベクトルという物があるのですが、そういう概念を説明する前に、もう少し簡単な話から初めて見ましょう。最初の一歩として、相似変換によって、行列を簡潔な形に変形できないかを考えてみます。「簡潔な形」というのは、例えば行列の冪などが計算しやすい形です。対角成分のみを持つ行列)でしょう。簡単化のために、2次の場合で例を示すと、以下のような行列です。以下のようになります。冪級数によって定義される「行列の関数」も同様に簡単に計算できます。冪も簡単に計算することができます。冪計算に帰着することができます。任意の行列が対角化できるわけではありません。行列は相似変換によって以下の3つのいずれかの形に帰着させることができます。図1のように、座標軸にそって縦横にそれぞれ拡大するようなイメージのものになります。図2のように、ある座標軸にそって斜めに押しつぶすようなイメージのものになります。図3のように、原点を中心に回転するようなイメージのものになります。固有値と固有ベクトルそれでは、具体的な対角化の方法について考えてみましょう。Pとなるということです。eigenvector)と呼びます。固有値・固有ベクトルを求める問題に帰着します。このような問題を固有値問題と呼びます。固有方程式さらに、固有値、固有ベクトルを具体的に求める方法を考えます。単位行列)が「不良設定問題」である必要があります。0という条件を満たさなければなりません。個の固有値が求まります。固有方程式の解のパターンによって、行列が対角化可能か決まります。具体的には以下のようになるのですが、それぞれの詳細に関しては次節で説明します。異なる固有値に対する固有ベクトルは互いに独立になることが知られています。列目の対角成分がλiであるような対角行列です。0)となるベクトルが解の重複度と同じだけあれば、対角化することが可能です。最悪の場合、解が1つしかない場合もあります。0を満たすベクトルを使います。個あることが保証されます。0となるものを選びます。p1となるものを選びます。