いかなるYも真となるため、結果として矛盾を生じる。集合や帰属関係の概念はそれらの性質を取り出した記号論理学的な公理系によって間接的に定義される。この捉え方においては集合と帰属関係はユークリッド幾何学の点や線のような根源的な概念で、それ自体は他のものを用いて定義されることはない。実際には数学を行う上では、集合を素朴集合論の立場で理解しておけば十分なことが多い。実際、集合論を学び始めるときは、パラドックスには目をつぶりつつ素朴集合論から始めることが普通である。集合論の歴史[編集]ゲオルク・カントールゲオルク・カントールによるフーリエ級数の研究において、実直線上の級数がよく振る舞わない点を調べる過程で集合の概念が取り出された。彼はやがて有理数や代数的数のなす集合が可算であるという結果を得て、それをリヒャルト・デーデキントとの書簡の中で伝えている。そこでは実数についてもこれが成り立つかという問題に取り組んでいること、どうやらそうではないらしいことが述べられている。それからわずか数週間で、彼は実数が可算でないということについての証明を得る(カントールの対角線論法)。R2の間に全単射があるかという問題に取り組んで、3年にわたる研究の結果、それらの集合の間に全単射が存在することを示した。pas"「私にはそれが見えるが、しかし信じることができない」という(フランス語の)言葉を書き残している。実数集合の持つ超越的な性格は同時代の数学者の一部のあいだに揺籃期の集合論そのものに対する拒否反応を巻き起こした。カントールの師レオポルト・クロネッカーによる否定(カントールの人格までも否定したほどだった)はカントールに影響を与えることになった。ツェルメロによって選択公理とその帰結としてすべての集合上に整列順序関係が入るということがはっきりさせられた。選択公理の意味するところやその妥当性についてはルベーグとボレル、ベールの間の議論などに代表されるように数学者たちによる活発な議論の的となった。クルト・ゲーデル一方で、カントールが頭を悩ませつづけた連続体仮説:「実数集合(自然数集合のベキ集合との間に全単射がある)は自然数集合の次に大きい集合であるか?」は、クルト・ゲーデルとポール・コーエンの業績によって(ZFCそれ自体が矛盾を含まない限り)ZFC公理系からは証明も反証もできないことがわかった。数学にあたえた影響[編集]集合論以前の数学は、数であるとか方程式であるとかあらかじめ与えられた数学的対象の性質を研究する、という性格が強いものだった。集合論以降は問題にしている数学的な現象をよく反映するような「構造」を積極的に記号論理によって定義し、その構造を持つ集合について何がいえるかを調べる、という考え方が優勢になった。20世紀に入ってからの抽象代数学や位相空間論では様々な新しい数学的対象が集合の道具立てを用いて積極的に構成され、研究された。このパラダイムはニコラ・ブルバキによる「数学原論」においてその頂点に達したと見なされている。一方で、さまざまな数学の問題に対応した構造を理解するときには、個々の対象が具体的にどんな集合として定義されたかということよりも、類似の構造を持つほかの数学的対象との関係性の方がしばしば重要になる。この関係性は対象間の写像のうちで「構造を保つ」ようなもの(しばしば準同型と呼ばれる)によって定式化される。このような考え方を扱うために圏論が発達した。集合論の著しい特徴は集合間の写像たちまでが再び集合として実現できることだが、こういった性質を圏論的に定式化することで集合論の圏論化・幾何化ともいうべきトポスの概念がえられる。参考文献[編集]この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注による参照が不十分であるため、情報源が依然不明確です。適切な位置に脚注を追加して、記事の信頼性向上にご協力ください。河合出版、1996年。4879999679。培風館、1959年、増補版。4563003018。岩波書店、1968年。4000054244。戸惑いgooのお知らせあなたの好きなデザインテーマは1~12月までの季節感テーマのデザインや、環境活動に貢献できる緑のgooなど、好きなデザインテーマを設定しようgooをスタートページに設定しようタイムリーなニュースやメール、天気など、便利な情報が集約!地震や津波など防災情報もお知らせするgooトップページを設定しよう一番安い自動車保険は?《利用者800万人突破》最大21社に無料で一括見積もり。安くなった平均額は30,597円!goo電子書籍特集とある家庭のペットとして暮らす魔王と、その飼い主である少年の物語。ときに隣の家の勇者におびえ――。今日からできる環境貢献。