一般解ここでは非同次波動方程式の解を求めます。非同次の事を非斉次と書く場合もありますが同じことを意味します。ここではf(x,y,z,t)の項があるために非同次となっています。最初に、全空間において成り立つ同次波動方程式の解を、与えられた初期条件の下で求める。)単独[つまり一次]なものであって、方程式がそれらの項の和[線型結合]で構成されていると言うことです。どの項も、uやその偏導関数の積や高次[つまり二乗、三乗・・・]の項では無いと言うことです。後の記法を便利にするために座標(x,y,z)を(x1,x2,x3)と書くことにする。ω(x1,x2,x3)を領域Dあるいは全空間領域で、その二階導関数まで連続な任意の関数とする。以下の考察はすべてこの領域で行う。関数の値を点(x1,x2,x3)を中心とする半径rの球面Cr(x1,x2,x3)上で考える。この球面上の点の座標点の方向余弦を(α1,α2,α3)とすると、この球面上の座標(ξ1,ξ2,ξ3)となる。角θは0〜πまで、角φは0〜2πの間を変化する。このときd1σを単位球状の面積要素、drσを半径rの球面上の面積要素とするととなる。ここで関数ωの値の球面Cr(x1,x2,x3)上での算術平均をv(x1,x2,x3,r)とすると以下の様に表される。これはω(x1,x2,x3)の球面上での積分値を球の表面積で割ったものですが、この関数v(x1,x2,x3,r)の値は明らかに中心(x1,x2,x3)の位置と球の半径rに依存する。この関数v(x1,x2,x3,r)に対して次の補助定理1成り立つ。4.参考文献(2)補助定理[補助定理1]二階まで連続な偏導関数をもつ任意の関数ω(x1,x2,x3)を考える。このとき初期条件をとしたときで定義された関数v(x1,x2,x3,r)は偏微分方程式を満たす解となる。[証明]式v(x1,x2,x3,r)の積分は単位球面上で行われている。このときxiについて積分記号下で微分することができるから及びが成り立つ。このとき最後の積分は球面Cr(x1,x2,x3)上での積分を用いた形で表現することもできる。これにガウスの定理を適用すれば面積分を体積積分に直すことができてを得る。ここでDrは(x1,x2,x3)を中心とする半径rの球を表す。最後の式は(1/4πr2)とDrについての積分との積である。球Dr上の三重積分(体積積分)の微分係数は、同じ被積分関数のこの球面Cr上での積分(面積分)に等しい。これを確かめるには、たとえばDr上の積分を球座標で表してみればよい。いずれにしても、これらの事を用いると最後の式をもう一度rで微分したものはとなる。上に述べた導関数を表す式をすべて用いれば偏微分方程式が満足されていることがわかる。ここで、r→0とすればv(x1,x2,x3,r)→ω(x1,x2,x3)に近づく事はその定義式から解るのでとなる。中の三重積分の部分は平均値の定理によりr3のオーダーであるが、その前に掛かっている係数はr-2のオーダーなのでr→0ともに(∂v/∂r)→0となるのでが成り立つ。そのためv(x1,x2,x3,r)は確かに初期条件を満足していることが解る。補助定理1を用いると以下の定理2が証明できる。[定理2]初期条件のとき、波動方程式の解はとなる。[証明]いまとなるが、このとき、以下の関係式が成り立つ。)内はr=atとすれば、前節の補助定理1の偏微分方程式の左辺に一致する。そのため補助定理1よりゼロとなる。u(x1,x2,x3,t)は波動方程式を満たしている。u(x1,x2,x3,t)が定理の初期条件を満たしていることは、v(x1,x2,x3,at)が補助定理1の初期条件を満たしていることからただちに導かれる。[証明終わり]定理2を用いると、さらに以下の定理3が証明できる。[定理3]は初期条件のときの同次波動方程式の解である。両辺をtで偏微分するともまた波動方程式の解と成る。そのときt=0のときの初期値は、前出の定理2の初期条件を考慮すればを得る。この同次波動方程式の解であって、初期条件を満足する。前節の結論をもちいると以下の定理4(ポアソンの公式)が証明できる。ここからは、座標(x1,x2,x3)から元の座標(x,y,z)に帰ることにする。[定理4]初期条件のとき、波動方程式の解はとなる。[証明]定理2の初期条件における関数ω(x,y,z)を関数φ1(x,y,z)とすれば、定理2によりは、初期条件における波動方程式の解となる。同様に、定理3の初期条件における関数ω(x,y,z)を関数φ(x,y,z)とすれば、定理3によりは、初期条件における波動方程式の解となる。初期条件は解u1の初期条件と解u2の初期条件を加え合わせたものになる。それ故には初期条件における同次波動方程式の解となる。[証明終わり][補足説明]今初期攪乱が閉曲面[σ]を境界とする有限領域[v]上に集中したとしよう。φ(x,y,z)とφ1(x,y,z)とは[v]の外では0とする。u(x,y,z,t)を求める点M(x,y,z)は[v]の外部にあるとする。点Mから閉曲面[σ]までの最短距離をdとすればt<(d/a)のときMを中心とする半径atの球面[Sat]は初期攪乱領域[v]の外部にある。従って、このときポアソンの公式内の二つの関数φとφ1は球面[Sat]上では0に等しく、ポアソンの公式よりu(x,y,z,t)=0、すなわち点Mでは静止の状態になっている。時刻t=(d/a)では閉曲面[σ]は球面[Sat]と接し、波面の最前面は点Mを通過する。点Mから閉曲面[σ]までの最大距離をDと書けば、t>(D/a)のとき有限領域[v]の全領域が球面[Sat]の内部にあることになるので、球面[Sat]は再び[v]の外側にある。従ってポアソンの公式により再びu(x,y,z,t)=0を得る。時刻t=(D/a)は波面の最後面が点Mを通過する時刻である従ってこの時刻にu(x,y,z,t)は再び0となる。与えられた時刻tにおける前方の波面境界は、まだ静止している点とすでに振動した点とを分離する曲面であるがが、この曲面上のすべての点の閉曲面[σ]からの最短距離はatに等しい。この曲面は、閉曲面[σ]上に中心を持つ半径atの球面族の包絡面となっている。常数aは波面の伝播速度である。無限に広い空間において非同次波動方程式を考え、この方程式の解で次の同次の初期条件を満足するものを求めよう。解で、初期条件を満足するものを考える。置き換えねばならない。関数w(x,y,z,t)は通常の独立変数(x,y,z,t)の他にパラメーターτにも依存していることに注意しよう。[定理5]関数u(x,y,z,t)をによって定義すると、uは非同次微分方程式の解であって同次の初期条件を満足する。[証明]まず次式が成り立つ。