c/vが大きくなると屈折率nが定まっていても同一の随伴係数とはなりません。確かに、(1)〜(3)の図から明らかなようにfの値を調整することで射線の方向δ’が等しくなる様にすることは常に可能ですが、vやγが変われば、たとえnが一定でもfの値は変化します。c/vが大きくなるとf=一定としたは成り立たなくなるのだと思います。そのため解決すべき問題は、“(c/v)<<1の場合に、vやγが変化しても、常にδ’が一定となるような(屈折率のみの関数)fがあるか?”ということです。最初に、文献5.でWhittakerが証明しているものを紹介します。解りやすくするために少し変更しています。前節図の(1)と(2)の状態を比較しながら説明しますが、Whittakerの証明は3.(1)[補足説明]の(B)の立場のようです。ここでのδは前節の図中のδとは取り方を変えていますので注意して下さい。このようにしてもδ’−δが光行差の角度になる事情は同じです。証明の鍵は、光行差角(δ’−δ)が光行差の関係式δ’−δ=(v/c)sinδを満足することです。3.(2)で述べたようにだから、これらの関係式を用いるとが得られる。これを四角形CA0D”A3’に適用するとが得られます。四角形C’A0’D’A3からはプリズムの移動速度v=0の時のスネルの法則が得られます。このときδ’>δですからとなります。その差分を表しています。この両辺を変形して行きましょう。なり、フレネルの随伴係数の表現形が得られる。2.Fresnelの証明ここでフレネルの論文にある証明を紹介します。私自身フレネルの式展開の意味が今ひとつ理解できないのですが、フレネルは3.(1)[補足説明]の(A)の立場で証明しているようです。フレネルはA0’D’の方向をプリズムが絶対静止空間に静止している時の屈折波の射線の方向とすると、プリズムが運動している場合の屈折波の射線の方向はA0’Dの方向であり、しかも両直線が成す角(δ’−δ)が望遠鏡がプリズムと同じ速度vで動いていることによる光行差に一致しなければならないとした。すればプリズムと望遠鏡が静止していようと、運動していようと星の見える方向は同じになると言うものです。フレネル論文中の記号(下図の黒字)はこの稿の記号(下図の赤字)と下記のように対応します。文献2.の段落14でフレネルが、“対象物を観測する望遠鏡の光軸はBHに沿って向けられているので、光線が地球の運動によって引きずられている望遠鏡のクロスワイヤーと同時に、H’に達するためには方向BH’をたどらねばなりません。”と述べているのは、まさに∠CBC’=∠HBH’が光行差角(δ’−δ)であるということを言っています。ここは非常に解りにくいところですが、前項のWhitatkerの説明と比較されてみて下さい。その時ホィテッカーは3.(1)[補足説明]の(B)の立場であり、フレネルは(A)の立場であることに注意して下さい。フレネルの(A)の立場でも図からとなりますのでが成り立ちます。この(1)(2)式は前項のWhittaterの場合とまったく同じですので以下の議論もまったく同様に成り立ち、随伴係数f=1−1/n2が導けます。[補足説明]フレネルは文献2.の段落13、14での関係を導いています。彼がこの関係式をどうやって導いたのか良く解らないのですが、この式は(δ’−δ)が光行差角ならば直ちに証明できます。この稿の記号γ、v、c、c’をフレネルの論文中の記号i、u、v、v’に置き換えるととなりますが、このとき光の振動周期をTとするとの関係にあるのでとなる。“アラゴのプリズム実験”の結果が説明できれば、“ボスコピッチが提案した光行差実験”も同じことですから直ちに“望遠鏡を水で満たそうが、満たすまいが光行差の量に変化が無い”ことは直ちに言えます。ボスコピッチの提案した実験が実際に行われるのはかなり後ですが、1818年の時点でそうなることをフレネルは断言しています。1871年にエアリーが行った実験の結果はまさにフレネルが予言した通りでした。3章の証明と同じですが、Airyが用いた天頂付近の星(竜座のγ星)の光行差観測の状況に即してその様になることを証明します。これはフレネルが文献1.(文献2.)中で説明している内容そのままです。話を簡単にするために黄道の極付近に有る恒星を観測する。その恒星を黄道面に沿って公転速度vで移動する望遠鏡で見た結果を[真空中で見た場合]、屈折率n(簡単のためにn=2とする)の媒質で望遠鏡を満たして観測して[仮説1]と[仮説3]で説明する場合を考察します。ここでも[仮説2]は光行差の現象をまったく説明できないのではぶきます。なる事を考慮すると、だいたいの様子は上図のようになる。[仮説1]では、望遠鏡を媒質で満たすと光行差角βは真空中での値の約2倍となります。[仮説3]のように媒質中を伝播する光が随伴係数(1−1/n2)に従って望遠鏡(媒質)の運動方向に引きずられるとすると光行差角βは変化しないことが解る。光行差角は望遠鏡を媒質で満たそうが、満たすまいが同じになる。前節の考察をもう少し厳密にする。1.随伴係数の導出いま、恒星Sを、OO’の方向に地球の公転速度vで移動する、望遠鏡で見るとする。下図中の記号は前節の図に対応するようにしてある。一般的に論じるために、望遠鏡には水が一杯みたされており、その水面は望遠鏡の筒軸に垂直であるとし、観測する星も黄道の極から外れていても良いとする。[文献7.p11〜13]今、望遠鏡の傾きをαとし、望遠鏡に水を入れないときの光行差をβとする。望遠鏡に水を入れない場合には、点Aで望遠鏡に入った光が点O’に達するまでに望遠鏡はOAの位置からO’A’の位置まで動き、したがって光はO’S’の方向に見える。このとき1.(1)1.で説明したように、三角形AOO’に正弦定理を適用して変形すれば、真空中での光行差の関係式が得られる。望遠鏡を水で満たすと、[仮説1]が正しい場合には点Aで望遠鏡に入る光は、屈折角rで屈折して図のABの方向に進むはずです。そのとき、光がABを伝わるのに要する時間は真空中のAO’を伝わる時間よりも約n倍ほど長くなるので、前節で見たように[仮説1]の立場では望遠鏡をより寝かさないと星は見えなくなる。ところがAiryの実験結果は望遠鏡を水で満たしても光行差角βは変わらなかった。ここでは同じ光行差角βとなるためには[仮説2]のフレネルの随伴係数fがどのような関係を満たさなければいけないかを求めてみる。フレネルの随伴説によると光がABを伝わる時間t’の間に光はOO”の方向に距離BO”=fvt’だけ引きずられる。そのとき望遠鏡は距離OO”=vt’だけ動く。そのため距離OBについての関係が成り立つ。このとき、△AOBに対して正弦定理を適用するとが得られる。水の屈折率nはで与えられる。上で求めた(1)(2)(3)より直ちにが得られる。2.Fresnelの証明フレネルの論文(文献2.)では、逆に随伴係数の形を仮定してから、Airyの観測結果を説明しています。この稿のv/cがフレネル論文中のt/dに相当します。このtとdの定義はアラゴの実験の説明のときの定義と違いますので注意して下さい。フレネルの論文中ではn=d/d’ですから、上記の式はとなります。フレネル論文中の図の記号(黒字)はこの稿の記号(赤字)と下図の様に対応します。フレネルの図では、線分A’g(AO”)があたかも線分MA’(SA)の延長線のように見えますが、そうではありませんので注意して下さい。記号の対応関係に注意されてフレネルの論文を読まれると、この稿で説明した内容とまったく同じであることが解ります。フレネルの文献2.の段落19の内容を上図を利用して説明します。この稿の記号で置き換えています。角度βは真空中での光行差の角度だからが成り立ちます。屈折に関するスネルの法則よりが言えます。フレネルの随伴係数の仮説よりが成り立ちます。上で求めた(1)(2)より直ちにが得られる。その結果、点Sの星の像は望遠鏡の接眼部のクロスワイヤーと同時にO”に達するでしょう。望遠鏡を水で満たそうと満たすまいと、光行差の角度βは変化しない事になる。[補足説明]フレネルは文献2.の段落18で、光の放射説(粒子説)でもAiryの観測が説明できると言っています。確かに図の方向に屈折する場合には旨くいきます。望遠鏡の進行方向に対して反対に屈折する場合には旨くいきませんから、放射説ではAiryの観測結果を旨く説明できないと思います。“フレネルの随伴説”を地上の実験で検証したのが1851年に行われたフィゾーの実験(別稿「フィゾーが運動媒質中の光速度(随伴係数)を測定した方法(1851年)」)です。[残念な事にフレネルは1827年に39歳の若さで夭折しますので、フィゾーの実験の結果を知ることはできませんでした。]後の1886年にマイケルソンとモーリーが、そして1914年にゼーマンが同様な実験をさらに高い精度で行って随伴説の正しいことを確かめています。ちなみに、水の屈折率はn=1.333ですから、水の場合の随伴係数はとなります。1886年の実験[http://en.wikisource.org/wiki/Influence_of_Motion_of_the_Medium_on_the_Velocity_of_Light]でマイケルソンとモーリーが得た水の随伴係数はf=0.434±0.02でしたからきわめて良い一致が得られたと言えます。ローレンツは1892年の論文「Maxwellの電磁理論とその運動物体への応用」で、彼が展開する電子論により、静止エーテルを理論の基礎に置いて全ての粒子が並進運動を共有するような系の内部での光の伝播を考察して、フレネルの随伴係数が導き出されることを証明します。この事については別稿で説明予定。ローレンツはさらに1895年の小冊子で随伴係数の中に光の屈折率が波長に依存するための効果も存在することを導きます。これは、フレネルの随伴説に内在していた屈折率の波長依存性に関する疑問を解決するものです。この部分の簡単な解説は別項の第�X章§12をご覧下さい。ちなみに、1914年にゼーマンが行った実験は、ローレンツの波長依存性も含んだより正確な随伴係数を実験的に証明するものでした。1915年]ローレンツの考察はアインシュタインの特殊相対性理論につながるもので、フレネルの随伴係数は、最終的にアインシュタインの特殊相対性理論によって説明されます。この事については別稿で説明。結局のところ物体の運動速度vと光速度cの比(v/c)の一次の項までが効いてくる現象は、全てフレネルの随伴説で旨く説明できます。(v/c)の二次の項まで考慮した実験を行うとどうしても旨く説明できない事実が出てきます。それが1887年に行われる“マイケルソン・モーリーの実験”です。このことについては別稿で説明。随伴係数を説明したフレネルの論文は有名ですが、その内容を理解するのはかなり難しい。このページを作るに当たって参考にした文献を挙げておきます。源流−物理学篇�U」北大図書刊行会(1976年刊)p247〜256フレネル、“光学的諸現象における地球の運動の影響についてのオーギュスタン・フレネルよりフランソワ・アラゴへの手紙”、1818年これは文献1.の日本語全訳です。“アラゴのプリズム実験”は1810年にアカデミーで報告されますが、論文として出版されるのはずいぶん時間が経ってからです。この内容が文献1.でフレネルが言及しているものです。UTF-8]を添付しておきます。右記URLに詳しい説明のpdfファイルが有ります。1872年これは、エアリーが行った水で満たした望遠鏡による光行差観測を報告した論文です。p134〜136この原本は下記URLからpdfファイルでダウンロードできます。その中のp119〜120ページを御覧下さい。pdfファイルとしてダウンロードできます。なることの証明が載っているのですが、これは正しくないと思います。(9)式の導出までは正しいのですが、(9)式の左辺と右辺がそれぞれ別々にゼロとなるべきだと言うところが正しくありません。(9)式の左辺もv/cのオーダーで、v/cに関係するからです。(1967年刊)p9〜13この稿の4.(2)1.の説明はこの本から引用しました。相対論の形成」みすず書房(1980年刊)光速度とエーテルに関する実験・考察と特殊相対性理論との関係が良く解ります。