この置換を実行すればを得る。上での体積積分を意味する。表す式は次の形に書かれる。最後の表示式の被積分関数に関しては、次のような特徴がある。考えていることである。速度aで進行するのに要する時間を与える。遅延ポテンシャルと言われる。存在に起因しによって定められる。4.参考文献(2)非同次波動方程式の一般解[定理6]無限に広い空間において成り立つ非同次波動方程式の、任意の初期条件を満足する一般解は、これまでの議論から明らかなように、初期条件[ただし、φ1(x,y,z)は二階までの連続偏動関数を、φ(x,y,z)は三階までの連続偏動関数を持つとする。]を満足する同次波動方程式の解に、同次の初期条件を満足する非同次波動方程式の特別解を加えたものになる。4.参考文献3.別の説明これまでの考察をもう少し別な観点から眺めてみよう。a→∞とすると、これはの形の方程式となる。これはPoissonの方程式と言われる数理物理学でおなじみのもので、この方程式の解は別稿「カルマンの渦列(動的安定性解析)」2.(3)1.ですでに求めた。置き換えれば直ちに、上記の方程式の解としてが求まる。発した力線が無限大の速さ(a→∞としている)で点(x,y,z)影響を及ぼしていると解釈されるものです。一般解」3.(1)で一次元の波動方程式の解を論じた。そこの記号をここの議論に合わせた文字に書き換えると、そこの議論からとなる。なる形を持つ波がx軸の負方向に速度aで進行していく平面波を表している。その両方の波形を重ね合わせた形をしていることを示している。解として原点からの距離rと時間tのみに依存する波動関数を求めてみる。このとき球座標表示でのラプラス演算子Δに於いてuが原点からの距離rのみに依存するu(r,t)であることを考慮するととなる。球座標表示のラプラス演算子は適当な参考書を御覧ください。uがrとtのみの関数で、θとφに関係しないことが最初から判っている場合にはここで説明するように簡単に導けます。結局r・u(r,t)は一次の波動方程式を満足することになる。よってu(r,t)の一般解はとなる。原点では1/r→∞の特異性を持つから、厳密に言えばこの式は非同次波動方程式の解を意味する。δ(r)はディラックのδ関数です。従ってu(r,t)が同次波動方程式の解であるためにはでなければならない。この第1項は原点から外へ向かって拡散する球面波を表し、第2項は原点に向かって収束する球面波を表す。r/aは原点とrの間を波が伝播するのに要する時間です。第1項は場所rで時刻tに観測する波の振幅は時刻τ=t−r/aに原点を出発した波の振幅に関係することを意味している。第2項は場所rで時刻tに観測する波の振幅は時刻τ=t+r/aの未来の時間に原点に到達する波の振幅に関係することを意味している。その両者を重ね合わせたものが時刻tの場所rにおける振幅となる。そのとき原点での条件を満たすためには、時刻τ=t+r/aに原点を出発する拡散波の振幅と同じ時刻τに原点に到達する収束波の振幅は同じで符号が反対でなければならない。して初めて原点での合成波の振幅は常に打ち消し合ってゼロとなり、同次波動方程式の初期条件を満たす。4.参考文献(3)非同次波動方程式3.(1)節と3.(2)節の考察を考慮すると、aが有限の非同次波動方程式の解は次のようになることが予想される。試行解としての形が考えられる。t=τ+r/aであると言うことです。遅れるのは攪乱波の伝播速度が有限な速度aであるためです。potential)と言われる。過去であると言っている。生み出す原因であると言っているのと同じです。上記の試行解が確かに非同次波動方程式を満足することを確かめよう。第1項が満足するのを証明する。u(x,y,z,t)を非同次波動方程式の左辺に代入して偏微分と積分を入れ替えるととなる。ここでf(ξ,η,ζ,t−r/a)は直接(x,y,z)に関係していないように見えるが、時間項のrの中で関係している事に注意してが言える。最後の式の第二項のΔ(1/r)は(x,y,z,t)≠(ξ,η,ζ)の位置において常にゼロとなるが、(x,y,z,t)=(ξ,η,ζ)の場所で無限大となるような関数です。実際このことは(ξ,η,ζ)を仮の原点とした極座標表示でのラプラスの演算子用いれば直ちに了解できる。ここで、これがのような関数だと考えることができればすべて旨くいくことが証明できる。δ(ξ,η,ζ)はDiracのデルタ関数でを満足するようなものである。これらの結果を用いれば前出の式はと変形でき、最初に仮定した試行解の第1項が確かに非同次波動方程式を満足することが証明できた。同様にして第2項も非同次波動方程式を満足することが証明できる。実際の問題においては、未来の攪乱要素の分布が現在の現象に意味を持つことはないので、現実の問題については第1項だけで解を構成すればよい。4.参考文献4.参考文献このページは別稿で用いるために作りました。ここの内容は以下の文献に全面的に依存しています。(1968年刊)この第3章“電磁輻射”、と第4章p334〜44にとても教育的な説明がありますので別稿で引用。