ここでは特別にv’=光速(c)と考えねばならないので、上式はとなる。「光速不変の原理(光速度は光源の速度に依存せず、どのように動いている観測者から見ても一定値cとなる)」が成り立つことから導かれたものですから、こうなることは当たり前です。)が発見されてきます。ヤング、マリュス、フレネルなどの人々が、それらの現象を説明するためには、光が波動でありしかも横波であることが必要であると考えるようになりました。1804年]で次の様に書いています。「星の光行差の現象を考察してすぐに、私は発光エーテルがあらゆる物体の内部に、たぶん風が森をふきぬけるのと同じように自由に、ほとんど、あるいはまったく抵抗を受けずに浸透すると信ずる気になった。」すなわち、波動説において光を伝える媒質であるエーテルは、絶対静止の宇宙空間に静止していていると考えれば、“波動説”でも光行差の現象を旨く説明できるとしたのです。波動説で光行差の現象を説明するためには、光を伝える媒質であるエーテルは絶対静止の空間に対して静止しており、光は絶対静止の空間に対して一定の速度で伝播することを仮定しなければならない。音波のように、地球と共に動く媒質(空気)に対して一定の速度で伝播するのではありません。地球にまとわりつく空気に対してどの方向にも一様な速度で伝播する音波の場合には、地球の大気圏上層の例えば天頂付近に音源があって、それから発せられた音波が地上に伝わる場合、たとえ大地と大気がその音源に対して動いていても、決して光行差の様には成らないと言うことです。光行差の現象を光の波動説で説明するためには、波となって伝わる光を伝える媒質である仮想的なエーテルは絶対静止の空間に対して静止しており、それは観測に用いた望遠鏡はもちろんのこと、大気も地球もすり抜けて静止し続けていると考えなければならない。これは光行差の現象を波動説で説明する場合避けては通れない前提ですが、あらゆる物体を幽霊のようにすり抜けるエーテルの性質は非常に奇妙なものです。[補足説明]波動説ではホイヘンスの原理がとても重要になる。このとき素元波の包絡線である波面が伝わる方向(つまり波面に垂直な方向)と波のエネルギーが伝わる方向との違いに注意する必要がある。光線を光のエネルギーの流れであると定義すれば光線の方向を放出した粒子の流れであるかの様に取り扱うことができる。(2)様々な疑問エーテルが絶対静止の宇宙空間に対して静止していれば、波動説でも、粒子説と同様に光行差の現象を一応説明できるようにみえます。光が水やガラスの中に進行すると屈折することが知られています。“波動説”では、屈折の現象をホイヘンスの原理によって説明します。そのとき、波の伝播速度が媒質が異なれば変化するとしています。光の伝播速度が媒質によって変化することが検証されるのはもう少し後[1850年のフーコーの実験]ですが、速度が変化する事は様々な干渉現象からもほぼ確実だと考えられていました。この事を考慮すると新たに様々な疑問が湧いてきます。“星からの光を屈折率が1よりも大きなガラスを通して観測するとします。そのとき、平らな面を持つガラス板が地球の運動によっては運ばれ、有る星からやってくる光線が、このガラス板に入ったとき曲げられないようにガラスの向きを調整したいと望んだとしよう。その時ガラスの表面は光行差とは関係なく星の真の方向に直角に置くべきであろうか、あるいは光行差の影響を受けた見かけの方向に直角におくべきなのだろうか?”あるいは、ミッチェル(Michell)が提起(1784年)したように、“星からやって来る光線は、地球とともに動いている地上の光源から発する光線と違う屈折を受けるのではないか?”また、ロビソン(Robison)とウイルソン(Wilson)が主張したように、“色収差の無い望遠鏡を地球の進行方向にある星に向けた場合と、その反対方向にある星に向けた場合では、光の望遠鏡レンズに対する相対速度が変化する。レンズによる屈折率はレンズの内外での光速により決定されるので、屈折率も変化して星の像を結ぶ位置(焦点距離と言っても良い)は変化するはずである?”[下図参照]その他様々な問題提起がなされ、様々な実験がなされた。中でも有名なのが、1766年にボスコヴィッチ(Boscovich)が提起した問題と1810年にアラゴ(Arago)が行ったプリズム実験です。他の提案、実験もこの二つと大同小異ですので、この二つを代表例として説明します。(3)ボスコピッチの提案(1766年)とエアリーの観測(1871年)1.ボスコピッチの提案(1766年)ボスコピッチは、“水を満たした望遠鏡で光行差を観察すれば光行差の大きさが大きくなるはずだ!”と予想した。水の存在により光の伝播速度はc/n(ただしnは水の屈折率)に遅くなりますが、エーテルが絶対静止の空間に対して静止しているのなら光の伝播する方向は水の移動に影響されることはないのですから、絶対静止のエーテルを仮定する限りこれは避けがたい結論です。ボスコヴィッチの主張は光行差のメカニズムを考慮すると直ちに了解できます。真空中の光速度cはそのままだから望遠鏡の部分のみを拡大して説明する。望遠鏡に光が入射するA’点では屈折の効果があるのですが、話を簡単にするために、天頂にある星を観測するとし、さらにA’における水面は移動方向B’C’に平行であるとする。上図から明らかなように、水中の光速度は真空(空気)中の光速度の3/4倍だから、水で満たした望遠鏡で観測した場合の光行差β’は真の値βの4/3倍になる。波動説に於けるホイヘンスの原理が正しく、仮想的なエーテルが静止しているとする限り、このようになります。これが文献1.でフレネルが引用している“ボスコピッチが提案した実験”です。[補足説明1]エーテルが地球の運動に完全に随伴するという説では光行差の現象をまったく説明できませんから、ここではヤングが掲げた地球の運動の影響をまったく受けないエーテル仮説にもとづいて説明している。媒質中で速度が遅くなるのはなぜなのかは解りませんが、とにかく地球の運動にかかわらず星からの光は絶対静止空間に対して直進すると考えています。[補足説明2]地球表面ではエーテルが地球の運動に完全に随伴しており、宇宙空間では静止しているとして光行差の現象を説明しようとした“ストークスの理論”があります。この理論には内部的な矛盾があり、この理論を改良して光行差現象を説明しようとする多くの努力にもかかわらず結局旨くいきませんでした。その当たりを説明したローレンツの文章を引用しておきます。2.エアリーの実験(1871年)エアリー(Airy)は1871年に、りゅう座γ星が天頂を通過するときの赤緯を、春と秋に半年の間隔をおいて、鏡筒を水で満たした子午環儀で観測してボスコピッチの予想を確かめます。りゅう座γ星の位置は別項「ブラッドリーが光行差を見つけた方法」で説明したように下図の様になります。[拡大図]γ星の天頂通過時の赤緯観測値から光行差の量を補正して観測地点の緯度を算出します。春分・秋分の位置でγ星と黄道面の成す角が約75°ですから、補正する光行差の量は20.5”×sin75°=19.8”程度となります。Airyの論文では春分・秋分における光行差補正量は19.74”となっていますが、当時の公転半径の観測値から求まる地球の公転速度と、光速度の測定値からこのような値になるのでしょう。そのとき、水を満たすことで光行差の量が変化するのなら春と秋の観測値から得られる(子午環儀の設置場所の)緯度が異なるはずです。水の屈折率から考えてその違いは±15秒程度になると考えられるから充分観測できるはずです。下図のA、A’が春分の日と秋分の日にγ星が南中するときの天頂からの北向き偏角です。Almanac)”です。C、C’が光行差を考慮してγ星の赤緯から計算される子午環儀のある場所の“地理学的な緯度”です。[詳細は文献4.参照][拡大図]エアリーは1871年と1872年に二度実施しますが、どの観測においても、光行差理論から計算された緯度CとC’は全て同じ値となり変化は認められなかったのです。望遠鏡を水で満たしても満たさなくても、光行差の角度βは変わらなかったのです。これは有る意味、1868年に行われたHoekの実験結果[原論文はこちら]を追認するものだとも言えます。これらの結果はきわめて不思議なものですが、“フレネルの随伴説”によってすでに1818年の段階で説明[4.(2)2.参照]されていたことです。1835〜1881年グリニッジ天文台長として観測設備を完備。同天文台で観測した恒星・月・惑星の位置を整理集約し、基礎天文学に貢献。(4)アラゴのプリズム実験(1810年)もう一つ有名な実験が1810年に行われた“アラゴ(Arago)のプリズム実験”[文献3.参照]です。これは元々1.(2)で述べたミッチェル、ロビンソン、ウイルソン等が提起した問題に起源を持つ。アラゴは、子午環儀の対物レンズの前に、クラウンガラスとフリントガラスを貼り合わせて色消しとした角度24°のプリズムをとりつけた。彼は、幾つかの星の南中時の赤緯を、プリズムを通した場合と、プリズム無しの場合で観測して、その赤緯の差を求めてみた。エーテルがプリズムを素通りして運動して行くものとすれば、光の方向がプリズムの運動方向と一致している状態と、そうでない状態ではプリズムによる星の方向の振れ角は異なってくることが予想される。様々な南中時刻の星々を同じ日に観測してみれば、光の方向とプリズムの運動方向が異なりますので、赤緯の差に変化が起こることが予想されます。[補足説明1]子午儀とは子午線上(南北方向)にのみ向きを移動できるように作られた天体望遠鏡の一種です。子午儀で恒星の子午線通過時刻を計測することで、その恒星の赤経や子午儀の設置地点の経度を正確に求めることができる。子午儀に目標天体の高度を測定する目盛りを刻んだ環を付加した子午環儀を用いると恒星の赤緯や観測地の緯度も測定できる。アラゴは1810年の3月19、27日と10月8日に、下図の様々な方向にある星が観測地点(パリ)で南中するときに、それらの星々の天頂からの距離(角度)をプリズムを設置した場合と、プリズム無しの場合で測定した。その時アラゴは、地球の公転速度の影響が最も大きく現れると考えられる、黄道面付近の星々を選んで観測しています。図中の時刻は、それぞれの方向の星が子午環儀が設置されている場所(パリ)で南中するおよその時刻(パリ時)を示している。星が見える方向の天頂からの角度のプリズム有りと無しの偏差は下表の様になった。Almanac)”と差し引きすることで求めたのではないだろうか?下表は3月の観測結果ですが、最初の欄はそれぞれの星の南中時刻(パリ時)です。表から明らかなように、様々な黄径(赤径)の星々について観測されたが、それらの間には偏差の違いはほとんど無かった。アラゴは半年後の10月8日にも同じような観測を行い同様な結果を得た。3月と10月で偏差の値が大きく異なるのは、10月の観測ではより大きな性能の良い別のプリズムに交換したためです。そのため3月と10月の偏差の違いは関係有りません。同じ日の異なる南中時間の星との間で比較して下さい。10月の観測では対物レンズの半分のみをプリズムで覆い、プリズム有りとプリズム無しの赤緯観測を両方行い、それから偏差を求めたようです。両方の観測を行う時間的なズレは星の運行を考慮した計算で補正されています。表から解るように、いずれの場合も顕著な偏差角の違いは見いだされなかった。“動いているプリズムの見かけの屈折は静止したプリズムの屈折とまったく等しかった”のです。地球の公転速度は約30km/sですから、同じ日の午前6.00頃南中する星と午後6.00頃南中する星とでは、プリズム有る無しの赤緯の観測結果の偏差には当然観測可能な変動があるはずです。アラゴは黄道付近にある星の場合、6:00南中の星の編差と18:00南中の星の偏差の違いは、3月の角度24°のプリズムを用いた場合には12”程度、10月のより大きなプリズムを用いた場合には28”程度であろうと見積もっていました。それにもかかわらず、その様な変化はまったく観測されなかったのです。これはきわめて不思議な結果でした。これが文献1.でフレネルが引用している“アラゴのプリズム実験”(1810年)の内容です。これの結果は、1.(2)で説明したロビソンとウイルソンの主張も同様に否定される事を意味します。[補足説明2]この時点のアラゴは、光の放射説(粒子説)の立場から自分の観測結果を説明しています[文献3.のp46の後半]。それはかなり恣意的な論理で、今日の目から見てとうてい納得できるものではありません。フレネルが文献2.の段落1で引用しているのが、そのアラゴの説明です。[補足説明3]いずれも黄道面付近にある星を観測するのですが、南中時間が異なれば星を観測するときの仰角は異なります。そのため“大気差”は観測する星毎にかなり変化します。この“大気差”はプリズム有りと無しの両方の観測に等しく関係してきますので、その差を取った最後のデータには表れてこないことに注意して下さい。6.参考文献2.随伴係数1815年〜1823年頃にかけてヤング、アラゴ、フレネル等により“光の横波波動説”が確立して行きます。いった流れの中で、アラゴは“自分が1810年に行ったプリズム実験の結果が光の“波動説”によって旨く説明できるかどうか考えてみて欲しい”と言って1818年にフレネル対して問題提起します。その要請に応えてフレネルが考え出したのが、“光を伝える媒質としてエーテルは絶対静止の空間に静止しているのだが、物体が移動するとエーテルの一部が引きずられてあたかも動いているように見える[エーテルの随伴説]”というものです。以下で説明しますが、彼の随伴説は、“アラゴのプリズム実験”や“エアリーの光行差実験(ボスコピッチが提案した)”を含めた諸々の類似の実験や観測を見事に説明するものでした。よれば、弾性体内を伝播する横波の速度は、媒質の剛性率と密度をN、ρとすればで与えられる。フレネルは、この関係が光を伝える媒質としてのエーテルに対しても成り立つとした。真空中のエーテルの剛性率と密度をN、ρとし、任意媒質のそれをN’、ρ’とした。フレネルは真空中と媒質中での光速度の違いはそれぞれの中のエーテルの密度に由来し、剛性率は同じであると仮定した。この仮定は元々、ヤングの“透明体の屈折能力はその内部のエーテルの濃度による”という示唆を採用したものです。このときc>c’であるからρ<ρ’となる。種々の媒質中ではエーテルの密度は異なり、屈折率が1より大きい媒質は真空中よりもより多くのエーテルを含んでいるとした。[補足説明1]これが、フレネルが文献2.の段落12で“媒質の密度比は、波動の伝播速度の2乗の比の逆数でなければならない、ということが知られているからです”と述べている部分です。当時はまだ弾性理論は発展途上で弾性体内を伝わる横波の速度が最初に述べた関係式で表されることが確立していたわけではありません。フレネルなどの研究とともにまさに手探りの状態で少しずつ弾性体の理論が形作られていった時代です。[補足説明2]フレネルはここで述べた弾性理論の助けをかりて、次節で説明するように“エーテルが物質の運動に部分的に随伴する”という仮説から随伴係数(1−1/n2)をまず導きます。これが成り立つとアラゴの実験、エアリーの観測が旨く説明できるとしています。ここで注意して欲しいことは、以下で述べるようにアラゴの実験、エアリーの観測、ヘックの実験結果をそのまま素直に解釈することから逆にフレネルの随伴係数が導き出されることです。そこでは、ここに述べたような恣意的な弾性理論による助けを必要とするわけではありません。このようにして得られた実験事実を説明する随伴係数を、弾性理論の助けを借りて次節で述べる説明を逆にたどって解釈すれば、弾性流体としてのエーテルが物質の運動に部分的に随伴するという考え方にたどり着けます。(2)随伴係数の仮定フレネルはさらに次の仮定を設けた。屈折率が1より大きな物質は、真空中でこれと同体積に含まれるエーテルよりもより多くのエーテルを含む。この物質が運動すれば、この余分のエーテル(真空のエーテル密度を超える部分)は物質とともに運ばれていくが、残りのエーテル(真空のエーテル密度の分)は物質の運動によって何ら影響を受けずに絶対静止の空間にそのまま残っている。上記の仮定は次のように解釈することができる。今単位体積の立方体の形をした物質が速度vで図の矢印の方向に運動しているとする。物質内のエーテル(密度ρ’)は速度v’でやはり矢印の方向へ運動する。物質内のエーテルの速度は遅くなるのだが、仮定のように常に物質内のエーテル密度ρ’が保たれるためには、単位時間に物質内へ入るエーテルの量と、単位時間内に物質から流れ出るエーテルの量が等しくなければならない。成り立たねばならない。この式の意味が解りにくいので図で説明します。上図の領域Aでは、元々真空のエーテルの量ρvが存在する。それに新たにρ’v’が付け加わる。それらをあわせたものが領域A全体でならされたと考えてρ’vとならねばならない。領域Bでは媒質が移動したためにエーテルが存在しない空白の領域ができる。そのとき媒質中のエーテルはv’の速度でしか移動しないのでρ’(v−v’)のエーテル量が領域Bの中に取り残されている。これが領域B全体に広がったと考えて真空のエーテル量ρvになればよいのでとなる。[ここは解りにくいところですので、文献7.p9〜11の説明も参照されたし。]いずれにしても前記の関係式が満たされることになる。この関係式が成り立てば“物質内部のエーテル密度は常にρ’を保ちながら、真空のエーテル密度からの過剰分だけが物質と共に移動していくように見える”と言えるのだが、これはまた、“物質内部では密度ρ’のエーテルが全体としてあたかもv’で動いているように見える”のである。[この当たりは別稿「フィゾーが運動媒質中の光速度(随伴係数)を測定した方法(1851年)」2.(3)3.の説明も参照されて下さい。前節で述べた弾性理論から得られる関係式からであるからとなる。v’/vを随伴係数と呼ぶのはv’=fvの関係があり、物質がvの速度で移動すれば、それに含まれるエーテルはfvの速度で動くことになるからです。従って屈折率がnの物質が速度vで動いているとき、そのなかにおける光の速度は絶対静止空間から見て物質の進行方向に対してはの速度で伝播することになる。6.参考文献3.随伴説による“アラゴのプリズム実験”の説明フレネルの随伴説によって、アラゴのプリズム実験の結果を説明します。話しを簡単にするために秋分の日のパリ時刻の明方6:00と夕方18:00に南中する黄道方向にある2つの恒星をプリズム有りとプリズム無しの状態で子午環儀で測定する。その時さらに話を簡単にするために、プリズム有りの場合に星の光はプリズム面に垂直入射するように取り付けられているとする。パリの緯度は48.85°だから、6:00と18:00の観測の様子は下図の様になる。このとき確かめたい事は、“地球の公転運動に伴ってプリズムが絶対静止空間(エーテルが静止している)に対して動いているとき、プリズムの運動速度や運動方向によって図の偏角δが異なるのか?”と言うことです。フィゾーが運動媒質中の光速度(随伴係数)を測定した方法(1851年)」1.(2)で説明した、光を伝える媒質として考えられているエーテルについての三つの仮説に分けて検討してみる。エーテルには付着性があり、物体の分子に固定されていて、物体が運動すれば物体と共に動く。場合ですが、1.(1)2.で説明したように光行差の現象がまったく説明できないので直ちに否定される。そのため以下では、[仮説1]と[仮説3(フレネルの随伴説)]の正当性について考察する。空気の屈折率はほとんど1に近いので、プリズム以外の空間部分は真空空間と同じと考える。簡単の為に、プリズムを構成するガラスの屈折率はn=2.0と仮定する。真空中での光速度をcとするとプリズム中の光の伝播速度はc’=c/2となる。エーテルは物体に対して自由で独立しており、物体が運動してもこれに引きずられることはない。この場合には、入射光に対するプリズムの動きに対応して、屈折波の波面は下図のようになる。これらは絶対静止の空間に対する素元波の広がりや、波面を表していることに注意して下さい。[拡大図]光を伝播する媒質であるエーテルは絶対静止の空間に静止しており、そのエーテルに対してプリズム中では速度c’=c/2で、真空中(空気中)ではcで伝わる。このとき、(2)のプリズム静止の場合の屈折波の波面A3’D’と射線A0’D’は垂直になるが、(1)の場合に波面A3Dと垂直になるのはA0’DではなくてA0Dであり、(3)の場合に波面A3”D”と垂直になるのはA0’D”ではなくてA0”D”であることに注意して下さい。このようになるのは、ちょうど異方性媒質中を光が伝播する場合と同じように、境界面から広がる素元波が見かけ上半円にならないためです。そのとき、“実際にエネルギーが伝播する射線A0DやA0”D”の方向”と“波が伝播する波面A3DやA3”D”の垂線の方向”とは一致しています。図から明らかなように、[仮説1]の場合屈折角(γ+δ)、(γ+δ’)、(γ+δ”)はプリズムの絶対静止空間に対する運動状態に応じて変化する。アラゴは、(1)と(3)の差δ−δ”は3月に行ったプリズム実験では12”程度、10月の実験では28”程度と予想しており、この差を観測で確かめようとしました。このとき(1)や(3)の状態で実際に望遠鏡を向ける方向に対しては光行差による変化分も入ることに注意して下さい。ところが観測結果は、プリズムが運動していても、していなくても屈折角の違いは生じなかったのです。フレネルは、アラゴの要請に応えて、その様になるためには何が起こればよいかを考えて、文献1.で報告しました。それが[仮説3]“エーテルの随伴説”です。エーテルの一部は自由であり、他の一部分は物体の分子に固定されていて、その部分だけが物体とその運動を共有する。フレネルは、実際に起こっている事を波動説で説明するために、運動媒質中のエーテルは、その運動媒質の速度vの有る割合fで引きずられると仮定すれば旨くいくことに気付きます。この割合fを“フレネルの随伴係数”と言います。実際のところfの値を調整すれば、(1)〜(3)の全ての場合で屈折角を同じδ’にすることができます。それを前図を用いて説明します。(1)の状況では、プリズム中ではエーテルが右方向に引きずられる為に、光の伝播速度が前記の場合よりも速くなります。そのため距離CA3を伝播するのに要する時間は前記のt3よりも短くなります。そのためA0から広がる真空中の二次波の伝達半径A0Dも短くなります。そのとき二次波の包絡線ADはより立ち上がってきてδは(2)のδ’に近づいていきます。(3)の状況では、プリズム中ではエーテルが左方向に引きずられる為に、光の伝播速度が前記の場合よりも遅くなります。そのため距離C”A3”を伝播するのに要する時間は前記のt3”よりも長くなります。そのためA0”から広がる真空中の二次波の伝達半径A0”D”も長くなります。そのとき二次波の包絡線A”D”はより寝てきてδ”は(2)のδ’に近づいていきます。[拡大図]随伴係数fを旨く選べば(1)と(3)の状況の屈折角を(2)と同じδ’にできそうです。以下でそのための条件を求めてみる。実験結果より、(1)の状況でも(3)の状況でも、その屈折角は(2)と同じだったのですから、そうなることを仮定して前図の様な状況が満たされるときの随伴係数fを求めてみようと言うことです。このとき前図(1)に於いて素元円形波の射線A0Dは波面A3Dに垂直になり、(3)に於いても素元円形波の射線A0”D”は波面A3”D”に垂直になることに注意して下さい。この図で特に注意して欲しいことは、プリズムは絶対静止の空間に対して動いていても上図の真空中(空気中)部分の素元円形波も波面も絶対静止の空間に於ける様子を表していると言うことです。その時(1)や(3)の状況では望遠鏡は動いており、しかも光の絶対静止空間に於ける進行方向に対して有る角δ’で動いています。当然のことながら望遠鏡を向ける方向はD’A0’の方向ではなくて(1)ではDA0’の方向、(3)ではD”A0’の方向です。その様になることは1.(1)1.で導いた光行差の公式sinβ=(v/c)sinα(ここではα=δ’)を思い出せば了解できます。光行差分の偏差は(1)と(3)の状況では必ず存在します。この差分が付け加わった上でのさらなる偏差を[仮説1]で検出しようとしたのです。実際1.(4)で述べたアラゴの実験結果の中には、光行差による変分も含まれているはずです。黄道上の星の場合3月の実験ではδ’=α=10°程度ですからβ=sin-1[(v/c)sin10°]〜3.5”程度、10月実験で〜7”程度となります。星は黄道面上に有るとは限りませんので、その値はばらつきます。[仮説1]で検出しようとしていた(1)〜(3)の状況の違いで生じる屈折角の変化分も光行差と同程度のオーダーですから、その当たりを厳密に考察しないといけません。そのためアラゴの実験に合うように随伴係数fを決定するのは容易ではありません。以下でまず導出の為の注意事項の説明から始めます。[補足説明]上記の説明のように光行差の変化分は3月実験で±3.5”程度、10月実験で±7”程度です。そのため、アラゴの観測データの解釈で、vが変わっても偏角の差が無かったと言っても、(A)“光行差の変化分を含めて差がなかった”のか、それとも(B)“光行差の変化分が存在するのだが、データの測定誤差のバラツキの中に埋もれて良く解らない”のどちらなのかは何とも言えないところです。[仮説1]で予想されるほどの変化は観測できなかったことは言えるのですが、光行差の取り扱いをどちらで解釈するかを判定するのはアラゴの実験の精度では難しい。その時、エアリーの実験結果は、望遠鏡を水で満たそうと満たすまいと、光行差は望遠鏡の速度に依存して存在し、しかもその量が望遠鏡を水で満たした場合と満たさなかった場合とで同じであったのですから、アラゴのデータも上記の(B)で解釈すべきかも知れません。(3)節1.項で説明するものは(B)の立場で証明しています。付け加えると、(A)の解釈に従って議論を組み立てても随伴係数f=1−1/n2はまったく同様に導けます。実際、フレネルは(A)を仮定して証明しているようです。(2)随伴係数を導出するための注意事項まず、随伴係数fを求める手順を、前図(1)の場合について整理しておきます。プリズムPQRが真空中で地球の運動(速度vとする)によって運ばれ、その表面PQは運動方向と直角をなし、星からの光がこの面に垂直に入射すると仮定する。光線は入射の際、屈折しないので、第二の表面QRによって生ずる効果だけを考えればよい。時間tの間にプリズムはPQRの位置からP’Q’R’の位置まで移動するとする。この間にCに於ける光の攪乱はA3に達し、A0における攪乱は(ホイヘンスの原理に従って)一つの球面波を作る。A3からこの球面に引いた接平面A3Dが出てゆく波の波面になる。今ガラスの屈折率をn、フレネルが仮定した随伴係数をfとすると、ガラスの中の絶対速度はc/nよりもfvだけ速くなるのでとなる。これらの関係式を用いるととなる。ここでですから、これを四角形C’A0’D’A3に適用するとが得られますが、この形の表現では意味がありません。δ’は屈折率nに関係するのはもちろんですがプリズム面の傾斜角γにも依存しますから求めたい答えではありません。実際、図のγ=21°のプリズムでn=2とするとδ’=25°となりとなりますが、これは求めたいとはまったく違った値となります。