)ベクトルの内積(スカラー積)と外積(ベクトル積)の成分表示ベクトルの内積(スカラー積とも言う)と外積(ベクトル積とも言う)の成分表示を説明します。この稿では文章中でベクトルを表すときには太字のアルファベット文字を用いることにする。1.内積(スカラー積)(1)ベクトル演算としての内積の定義ベクトルAとBの大きさをAとBとし、そのなす角をθとするときで持って、二つのベクトルAとBの“内積”又は“スカラー積”という。この稿では、最も簡単な左端の表現を用いますが、普通の掛け算演算と混同される恐れが在る場合には中央あるいは右端の表現を用いる。前節で定義したベクトル演算について、次の代数法則が成り立つ。[証明](1)が成り立つことは内積の定義より明らか。(3)が成り立つことはベクトルのスカラー倍の意味と、内積の定義より明らか。以下で(2)が成り立つことを証明する。)(3)直交単位ベクトルの内積につて成り立つ性質ここでベクトルの直交座標の成分表示を考察する。直交座標のx、y、z方向の単位ベクトルをそれぞれi、j、kとすると、内積の意義によりこれらの単位ベクトルを用いると任意のベクトルA、Bはの様に表される。ここでAx、Ay、Az、・・・・等はそれぞれのベクトルをx座標、y座標、z座標に射影したときの長さを意味する。前々節と前節の結論を用いれば、内積の成分表示が直ちに導かれる。この関係式はとても重要です。これは“内積演算の分配・結合法則”を利用して導かれたものであることを忘れないで下さい。前節の成分表示を用いて、幾つかの重要な結論が導かれます。1.内角まず、内積の定義より、二つのベクトルAとBの間の角度をθとするとの関係が成り立ちます。そのため、二つのベクトルAとBが垂直でθ=90°ならが直ちに言えます。これが成り立てはAとBは互いに垂直です。2.余弦定理さらに、下図の様な三角形の各辺の長さについてが成り立つことが直ちに言えます。これは三角形OABに対して成り立つ“余弦定理”そのものです。これはまた、逆に“余弦定理”を用いれば、(AxBx+AyBy+AzBz)が確かに二つのベルクAとBの大きさAとBを乗じたものに二つのベクトルの成す角θの余弦を乗じたものであることが直接示せるということです。[補足説明]“余弦定理”は、直角三角形について成り立つ“ピタゴラスの定理(三平方の定理)”を用いれば簡単に証明できます。角度θが鋭角でも鈍角でも下記の関係が成り立つ。)2.外積(ベクトル積)外積についても、内積と同様な手順で説明できます。(1)ベクトル演算としての外積の定義ベクトルAとBの大きさをAとBとし、そのなす角をθとする。このとき、その大きさが、クトルAとBが作る平行四辺形の面積に等しく、かつその方向がこの平行四辺形に垂直なベクトルを、二つのベクトルAとBの“外積”又は“ベクトル積”と言う。このき、そのベクトルの方向がAからBに向かって右ネジを回すとき、ネジの進む方向と同じである場合をで表し、BからAに向かって右ネジを回すとき、ネジの進む方向と同じである場合をで表すことにする。演算の順序が異なると、その結果を表すベクトルの方向は逆転する。この稿では、最も簡単な左端の表現を用いますが、普通の掛け算演算と混同される恐れが在る場合には中央あるいは右端の表現を用いる。前節で定義したベクトル演算について、次の代数法則が成り立つ。[証明](1)が成り立つことは外積の定義より明らか。(3)が成り立つことはベクトルのスカラー倍の意味と、外積の定義より明らか。以下で(2)が成り立つことを証明する。ベクトルA、B、Cを下記の様なものだとする。今、上図の様な、ベクトルBとCを含みベクトルAに平行な面を持つ平行六面体の角柱OBDCAEGFを考える。O点を通りベクトルAに垂直な平面πを考える。ベクトルBとCを平面πへの射影したベクトルをB’とC’とする。このとき、平行四辺形OAEBの面積と長方形OAE’B’の面積は等しく、平行四辺形OAFCの面積と長方形OAF’C’の面積は等しい。平行四辺形OAGDの面積と長方形OAG’D’の面積は等しい。このときπ平面上のベクトルの方向に関してであることが言える。あることを考慮すると、平行四辺形OB’D’C’と平四辺形OHJIは互いに相似となる。平四辺形OHJIの大きさは、平行四辺形OB’D’C’の辺の長さをOA倍したものです。このとき、ベクトルA×BとベクトルA×Cを足したベクトルは(A×B+A×C)であるが、これこそベクトル(B+C)をπ平面へ射影したベクトルOD’を90°回転してOA倍したものです。これはベクトルA×(B+C)を意味するので、分配の法則が成り立つことが証明できたことになる。)(3)直交単位ベクトルにつて成り立つ性質ここでベクトルの直交座標の成分表示を考察する。直交座標のx、y、z方向の単位ベクトルをそれぞれi、j、kとすると、外積の定義と、前項の代数法則(1)によりこれらの単位ベクトルを用いると任意のベクトルA、Bはの様に表される。ここでAx、Ay、Az、・・・・等はそれぞれのベクトルをx座標、y座標、z座標に射影したときの長さを意味する。前々節と前節の結論を用いれば、外積の成分表示が直ちに導かれる。この関係式はとても重要です。剛体の力学を論じるとき必須の公式となります。”を利用して導かれたものであることを忘れないで下さい。このとき、この成分表示で示されるベクトルの大きさが、実際にベクトルAとベクトルBが作る平行四辺形の面積である事は直ちに確認できる。タゴラスの定理を適用してと変形できる。前節の成分表示を用いて、幾つかの重要な結論が導かれます。三つのベクトルの外積(A×B)×Cを成分表示で表してみる。外積の成分表示を用いるとここで(A×B)とCの外積の順番をいれかえると、2.(2)で述べた(1)交換法則によりとなる。ここでC→A、A→B、B→Cの置き換えを行えばとなる。外積の演算の結合順序を変えると異なったベクトルとなる。これは外積の定義に従って実際にベクトルを求めてみれば直ちに明らかになることです。三ベクトルの外積A×(B×C)に関するこの公式は、別稿「電磁場の応力(マクスウェルの応力)」2.(3)2.などで用いました。下記の様な三つのベクトルA、B、Cで構成される平行六面体の体積は直ちに求まる。内積と外積の定義よりの関係が成り立ちます。これは行列式に等しい。これをの様に表して、ベクトルA、B、Cの“スカラー三重積”と呼ぶ。ここでベクトルA、B、Cは互いに右手回りのサイクリックな関係になっていることに注意。CがAとBが作る平面に対して図の反対側にあれば、スカラー三重積の値は負になる。3.スカラー三重積の性質i、j、kを右手直交座標系の単位ベクトルとすれば、直ちにが言える。次に、下記のいずれの表現も、同一の平行六面体の体積を示しているので、直ちにこれらの関係式が成り立つことが言える。内積(スカラー積)の交換の法則を上式に適用するとが言える。このときベクトルA、B、Cの順番はサイクリックに回さなければならないことに注意。上記の二式と内積、外積の交換法則により、[A,B,C]の任意の二つの順番を入れ替えると符号が変わることが解る。二つのベクトル外積A×BとC×Dの内積を変形する。このとき前項と前々項の結論を用いればが成り立つ。ここでA=C、B=Dのときにはが成り立つ。これは“コーシー・シュワルツの不等式”と言われ、有用な関係式です。