このページを印刷される方はこちらのバージョンをご利用下さい。ブラウザーでは見にくいのですが印刷は鮮明です。数学的に少し詳しく説明します。一次の化学反応の理論と同じです。現在の地球上には三種類の崩壊系列が残っている。238Uから出発して最終的に206Pbへ崩壊するウラニウム・ラジウム系列(4n+2)、235Uから出発して207Pbに崩壊するアクチニウム系列(4n+3)、232Thから出発してそして208Pbへ崩壊するトリウム系列(4n)がある。それらの詳細については別項「放射性崩壊と半減期」を参照。ここでは話を簡単にするために系列の枝分かれは無視してそれぞ一列の連鎖崩壊として考える。それぞれの核種の崩壊定数をλ1、λ2、・・・λn-1とする。これらは、各核種の半減期との関係で結びつけられる。崩壊系列の時刻tにおける親核種の存在量をX1、娘核種の存在量をX2、X3、・・・・・、Xnとする。i番目の核種の存在量Xiの時間的変化は自らの存在量Xiに比例して失われていく崩壊速度とXi-1が壊れてXiに付け加わってくる速度(Xi-1に比例)に関係するから、X1、X2、・・・・・、Xnは下記の連立常微分方程式を満足する。この連立常微分方程式は一見すると複雑に見えるが、この問題の特徴を理解すると意外に簡単に解ける。放射性崩壊は各核種の性質で決まっており、Xiの関数形はXh(h<i)には影響されるが、その崩壊産物Xj(i<j)の値には全く影響されない。そのため連立の方程式にもかかわらず、(1)式から順番に解いてゆけばすべての解を得ることができる。(1)式の解よく知られているようにとなる。X0はX1の時刻t=0の時の値である。(2)式の解(2)式の右辺第2項が上記の定まった関数になるので、その形から予想されることであるが、となるであろう。f(t)の形を定めるために、この式を(2)式に代入して整理するとなるので、X2はとなる。(3)式の解この場合も(2)式の場合と同様にを考えて、この式を(3)式に代入してf(t)の形を定める。系列モデル(i)番目の方程式の解(1)〜(3)式の解から、Xiの形はであると予想される。ここで各項の分母の(λi−λj)においてi=jとなる部分が抜け落ちていることに注意。この式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する。Xiが上式で表されるとすると、(i+1)番目の方程式の解はと考えて、この式を(i+1)番目の微分方程式に代入してf(t)の形を定める。なるのでXi+1はとなる。ここでとなることが証明できればXiの表現式が正しいことになる。以下で、数学的帰納法を用いてこの式を証明する。(A)式が成り立つことを証明すればよい。上記(A)式の第1項〜第i項までを取り出すととなる。以下、同様な手順を繰り返せばとなる。番目の項の符号を変えたものに等しいので、(A)式が成り立つことが証明された。よって、Xiは最初仮定した式で表されることが証明されたことになる。(n)番目の方程式の解となる。ならねばならないのでとなる。ここで、Xiの導出の際に利用したテクニックを用いて変形していくと同様な変形を繰り返すととなる。そのためXnはとなる。よって求めた式と一致する。置いて得られる式と一致する。これらは簡単な計算で確かめることができるので、ぜひ確認してみて下さい。利用させてもらって高校生向きに解りやすくしたものです。こんな大げさなことをしなくても地道に計算すれば求まる。得られたので、以下で幾つかの例を検討する。以下ではすべて初期値をX0=1として論じる。崩壊平衡に達してからはX1とX2の存在比は、T1>>T2の場合ほぼその半減期に比例する。X2の存在は微量なのでX1が半減期T1で直接X3に崩壊すると見なせる。場合X1は急速に減少してX2に置き換わる。そのため、やがてX1の存在は無視してよくなり、X2が半減期T2でX3に崩壊すると見なせるようになる。