ある角度"と同じである、なぜならば単位円の弧長はラジアンによって角度を測ったものと同じだからである[3]。基本的な性質[編集]主値[編集]6つの三角関数はいずれも単射でないから、逆関数を持つように制限される。それゆえ逆関数の値域(英語版)はもとの関数の定義域の真の部分集合である。あるように定義される。値が望まれているとき、関数はその主枝に制限される。これらの性質はすべての逆三角関数についても同様に当てはまる。主逆関数は以下の表にリストされる。関数がこの定義域上非負だからである。これによっていくつかの計算がより首尾一貫したものになる。上は正でないからである。終域はその実部にのみ適用する。三角関数と逆三角関数の関係[編集]逆三角関数の三角関数を以下の表に示す。とってピタゴラスの定理と三角比の定義を適用すればよい(表中の図を参照)。このような幾何学的な手段を用いない、純代数学的導出はより長いものとなる。arccos(x)(青)の通常の定義における主値。(青)の通常の定義における主値。{x^{2}+1}}}}ここでは複素数の平方根を、正の実部(あるいは平方が負の実数であれば正の虚部)を持つように選ぶ。v\,}とすることで導かれる。等しいとき、制限された定義域の積分は広義積分であるが、なおきちんと定義されている。アークタンジェントのより効率的な級数を見つけた。項の積(英語版)であることに注意する。複素平面において有効である。走る実数に対して最もよく働く。あり各完全平方が一度現れる。目はレオンハルト・オイラーによって開発された。{x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}これらはすべて部分積分と上で示された単純な導関数の形を用いて導出できる。{}v=x\end{aligned}}}とおく。k=1-x^{2}\,}と置換する(英語版)。{1-x^{2}}}+C}が出る。複素平面への拡張[編集]逆三角関数は解析関数であるから、実数直線から複素平面に拡張することができる。その結果は複数のシートと分岐点を持つ関数になる。対数を使った形[編集]これらの関数は複素対数関数(英語版)を使って表現することもできる。これらの関数の対数表現は三角関数の指数関数による表示を経由して初等的な証明が与えられ、その定義域を複素平面に自然に拡張する。主値の取り方に依存して決まる事である。それ故に、ここで示した対数表現における主値は、複素対数関数の主値を基準にすると、逆三角関数の主値で述べた通常の主値と一致しない場合がある事に注意する必要がある。一致させたい場合は、対数部の位相をずらす事で対応できる。文献により異なる対数表現が与えられている樣な場合には、主値の範囲を異なる範囲で取る場合であると考えられるので、目的に応じて対数部の位相をずらす必要がある。}}{2i}}=x}を得る。