transformation)熱力学や解析力学を学ぶとき最も解りにくいのがルジャンドル変換です。その意味についてクーラン、ヒルベルトが文献1.で明快に説明しています。以下でその内容を解りやすく紹介します。簡単に説明するために、まず一変数の関数u(x)を取り上げます。二次元xu空間内の一つの曲線を表すのに二つの方法がある。曲線が点の集合からなると考えて、関数u=u(x)によって与える方法。この場合の(x,u)の事を文献1.では“点座標”と呼んでいる。曲線が、接線の集合の包絡線であると考えて、一つの接線がその曲線に接するための条件を与える。その条件とは、具体的に言うと、[接線の傾きξ]と[接線がu軸を切る切辺の値ω]です。その二つの値の集合(これも別の空間の一つの曲線を表す関数とみなすことができる)によって曲線を表す方法。この二つの値の集合(傾きの値ξ,切辺の値ω)を文献1.に習って“接線座標”と呼ぶことにしよう。何のことか解りにくいのでグラフで説明する。このグラフをそのまま描いたが1.の方法による表現です。このとき“点座標”の集合はとなる。次に、問題の曲線の接線とu軸切辺の集合は、接線のグラフがの様になるのでとなる。これが2.の方法による“接線座標”表現です。[補足説明]1.の方法の“点座標”の集合と2.の方法による“接線座標”の集合は、1対1で対応します。完全に1対1で対応するためには、関数u=u(x)の勾配がxとともに単調に変化する凹関数あるいは凸関数でなければなりません。ルジャンドル変換を適用する熱力学関数は、実際にこの条件を満たしています。今(∂u/∂x)≡ξで表すことにする。問題にしている曲線を、(x,u(x))=(x,u)による表現から((∂u/∂x),ω)=(ξ,ω)による表現に変えてみる。その為には、点(x,u)における接線を定める方程式を考えればよい。高校数学で習うように、点(x,u)における接線の方程式は(x,u)と(0,ω)の二点を通る直線の方程式だから、直線の傾きを表す式によりとなる。これは、(x,u)による表現を(ξ,ω)による表現に変える変換を表しており、これを“ルジャンドル変換”という。これは“接線座標”の一方の値である切辺の値ωが、元の関数値uからξxと言う量を差し引いたものであることを表している。このとき、変数(∂u/∂x)≡ξで表したωのグラフω(ξ)を描いてみると、それは二次元ξω空間に於ける一つの曲線を表す。今考察している例では、ω=u−ξx=(1/2)x2−x+1-ξxであるから、この式中のxにξ≡(∂u/∂x)=x−1から求まるx=ξ+1を代入すれば、ω=ω(ξ)=(1/2)(ξ+1)2−(ξ+1)+1−ξ(ξ+1)=−(1/2)ξ2-ξ+1/2となる。変数がξに変換された、新しい状態量ω(ξ)を表すグラフとなる。ωはξが決まると完全に一意に定まる関数値(状態量)です。このグラフω(ξ)は、u(x(ξ)))=(1/2)(ξ+1)2−(ξ+1)+1のグラフに−ξx=−ξ(−∂ω/∂ξ)=−ξ(ξ+1)のグラフを加えたものであることに注意。これはxの関数である状態量uからによって新たなる状態量ωを定めたとき、uを表していた変数xが新たな変数ξに変更されたことを意味する。このときuとωは全く異なった状態量です。古い状態量uに状態量−ξxを付け加えることにより新たな状態量ωを作ったのですが、それを表す変数もxからξ≡(∂u/∂x)に変換されていることに注意されたし。6.文献(3)逆ルジャンドル変換ルジャンドル変換の逆変換を考える。関数ω(ξ)のξに関する導関数を作る。u(x)=u(x(ξ))であることに注意するとだからとなる。(1)と(4)を比較すると右辺の符号が逆転しているように見えるが、(2)と(3)を比較されると以下の事情が解ります。曲線ω=ω(ξ)のグラフの点(ξ,ω)に於ける接線の傾きが∂ω/∂ξだから、uは点(ξ,ω)における接線がω軸と交わる点の値を表している。ω=ω(ξ)の“点座標”から、その“接線座標”であるu=u(x)に変換されている。ルジャンドル変換の逆変換もルジャンドル変換となる。一つの対象に対し二つの等価な記述法が存在するとき、二つの記述法を取り替える操作を数学では“双対”(そうつい)と呼ぶ。ここで説明している“点座標”と“接線座標”は双対性の関係をなしている。そのためルジャンドル変化は単に1点を他の1点に対応づけるのではなくて、接線要素(x,u,∂u/∂x)を別の接線要素(ξ,ω,∂ω/∂ξ)に対応させるものと理解することもできる。変数を変換することの意味が一変数関数の場合には必ずしも明瞭ではないので、二変数関数で考察してみる。三次元xyu空間内の一つの曲面を表すのに二つの方法がある。曲面が点の集合からなると考えて、関数u=u(x,y)によって与える方法。この場合の(x,y,u)の事を文献1.では“点座標”と呼んでいる。曲面が、接平面の集合の包絡面であると考えて、一つの接平面がその曲面に接するための条件を与える。その条件を具体的に言うと三通りが考えられる。[接平面のx方向の傾き]、[接平面のy方向の傾き]と[接平面がu軸を切る切辺の値]の三つの値の集合(これもある三次元空間の一つの曲面を表す関数とみなすことができる)によて曲面を表す場合。この三つの値の集合(x方向の傾きの値,y方向の傾きの値,u軸の切辺の値)を文献1.では“接平面座標”と呼んでいる。[曲面をx=一定の平面で切った切り口のy方向の傾き]と、[曲面を切り取ったその平面のx座標]と、[曲面を切り取ったx=一定の平面内の接線がxu平面と交わる点のu座標]の三つの値の集合で表す場合。この三つで“接平面座標”を構成すると考える。[曲面をy=一定の平面で切った切り口のx方向の傾き]と、[曲面を切り取ったその平面のy座標]と、[曲面を切り取ったy=一定の平面内の接線がyu平面と交わる点のu座標]の三つの値の集合で表す場合。この三つで“接平面座標”を構成すると考える。2.(A)の方法まず最初に、上記2.(A)による表現を求める。曲面u=u(x,y)上の点(x,y,u(x,y))=(x,y,u)における接平面の方程式は、接平面上の座標点を(x’,y’,u’)とすると、高校数学で習うようにとなる。今後(∂u/∂x)≡ξ、(∂u/∂y)≡ηと置いて、三つの数字の組(ξ,η,ω)を“接平面座標”と呼ぶことにする。曲面u(x,y)上の点(x,y,u)で接する接平面u’(x’,y’)の方程式はであるから、接平面u’(x’,y’)がu軸を切る値u’(0,0)=ωは上式でx’=y’=0と置いたとなる。これは、まさしく(x,y,u)による表現を(ξ、η、ω)による表現に変える変換を表しており、これも“ルジャンドル変換”と言う。変換後の“接平面座標”(ξ,η,ω)はとなる。ωがξとηの関数として与えられれば、2パラメーターの接平面の群が定まり、従って考えている曲面ω(ξ,η)が決まるのは明らかです。関数ω(ξ、η)はなる方程式からx、y、uをξ、ηの関数として定め、次の方程式に代入することにより求めることができる。次に、上記2.(B)による表現を求める。曲面u=u(x,y)をx=一定の平面で切った切り口の点(x,y,u(x,y))=(x,y,u)における接線の方程式は、接線上の座標点を(x,y’,u’)とすると、高校数学で習うようにとなる。今後(∂u/∂y)≡ηと置いて、三つの数字の組(x,η,ωxu)を“接平面座標”と呼ぶことにする。曲面u(x,y)上の点(x,y,u)で接する接平面のx=一定の面で切った切り口線(接線)の方程式はであるから、接線がxu面と交わる点の値u’(x,y’)=ωxuは上式でx’=x,y’=0と置いたとなる。これは、まさしく(x,y,u)による表現を(x、η、ωxu)による表現に変える変換を表しており、これも“ルジャンドル変換”と言う。変換後の“接平面座標”(x,η,ωyu)はとなる。ωxuがxとηの関数として与えられれば、2パラメーターの接平面の群が定まり、従って考えている曲面ωxu(x,η)が決まるのは明らかです。関数ωxu(x,η)はなる方程式からyとuをx、ηの関数として定め、次の方程式に代入することにより求めることができる。次に、上記2.(C)による表現を求める。曲面u=u(x,y)をy=一定の平面で切った切り口の点(x,y,u(x,y))=(x,y,u)における接線の方程式は、接線上の座標点を(x’,y,u’)とすると、高校数学で習うようにとなる。今後(∂u/∂x)≡ξと置いて、三つの数字の組(ξ,y,ωyu)を“接平面座標”と呼ぶことにする。曲面u(x,y)上の点(x,y,u)で接する接平面のy=一定の面で切った切り口線(x方向の接線)の方程式はであるから、接線がyu面と交わる点の値u’(x’,y)=ωyuは上式でx’=0,y’=yと置いたとなる。これは、まさしく(x,y,u)による表現を(ξ、y、ωyu)による表現に変える変換を表しており、これも“ルジャンドル変換”と言う。変換後の“接平面座標”(ξ,y,ωyu)はとなる。ωyuがξとyの関数として与えられれば、2パラメーターの接平面の群が定まり、従って考えている曲面ωyu(ξ,y)が決まるのは明らかです。関数ωyu(ξ,y)はなる方程式からxとuをξ、yの関数として定め、次の方程式に代入することにより求めることができる。式だけでは何のことか解らないのでグラフを用いて説明する。1.の方法1.の方法による表現であるu=u(x,y)のグラフはとなる。これが“点座標”(x,y,u)による表現です。2.(A)の方法2.(A)の方法による“接平面座標”(ξ,η,ω)の表現の様子を見るために、幾つかの座標点に於ける接平面を描いてみる。よりなる点に変換される。実際は、(x,y)のすべての値に対して(ξ,η)の値が存在する。(ξ,η)の関数として接平面がu軸を切る値ω(ξ,η)が求まる。それをするには、によってx、y、uをξ、ηで表して、uから“ルジャンドル変換”で求めたωの式に代入すればよい。このグラフを描くととなる。このグラフω(ξ,η)は、u(x(ξ,η),y(ξ,η))=(1/2){ξ2+η2}+1/2のグラフに−ξx−ηy=−ξ(−∂ω/∂ξ)−η(−∂ω/∂η)=−ξ(ξ+1)−η(η+1)のグラフの値を加えたものであることに注意。このときuとωは全く異なった状態量です。古い状態量uに状態量−ξxと−ηyを付け加えることにより新たな状態量ωを作ったのですが、それを表す変数も(x,y)から(∂u/∂x,∂u/∂y)≡(ξ,η)に変換されていることに注意されたし。[補足説明]ルジャンドル変換に伴って変数も変換されるのだが、ωを元の変数(x,y)で表すこともできる。今の場合だからとなり、グラフの形は同じになる。ルジャンドル変換が重要なのは独立変数を変えることができる事にあるのだから、この様にしてしまったのでは意味がない。独立変数を元の曲面の勾配に変換する事の意味については別稿「ギブズの自由エネルギー(化学ポテンシャル)とは何か」1.(2)3.2.を参照されたし。このことは、以下の2.(B)の方法や2.(C)の方法についても同様です。同様に、2.(B)の方法による“接平面座標”(x,η,ωxu)の表現の様子を見るために、幾つかの座標点に於ける接平面(y方向の接線)を描いてみる。よりなる点に変換されます。(x,η)の関数としてのωxu(x,η)はによってy,uをx,ηであらわして、uから“ルジャンドル変換”で求めたωxuの式に代入すればよい。このグラフを描くととなる。このグラフωxu(x,η)は、u(x,y(x,η))=(1/2){(x−1)2+η2}+1/2)のグラフに−ηy=−η(−∂ω/∂η)=−η(η+1)のグラフの値を加えたものであることに注意。このときuとωxuは全く異なった状態量です。古い状態量uに状態量−ηyを付け加えることにより新たな状態量ωxuを作ったのですが、それを表す変数も(x,y)から(x,∂u/∂y)≡(x,η)に変換されていることに注意されたし。[補足説明]このとき、u(x,y)とωxu(x,η)のグラフを比較してみれば明らかなように、変数ηを固定してωxu(x,η)をxで偏微分したものと、変数yを固定してu(x,y)をxで偏微分したものが同じになります。これは次のようにして一般的に成り立つことが証明できる。一部の変数のみを変換(今の場合y→η)するルジャンドル変換では、変換していない変数xでuとωxuを偏微分したとき、固定する変数はy→ηに変わっており、関数もu→ωxuに変換されているが、xに関する偏微分導関数は変わらない事を意味している。このことの重要な例として熱力学に於けるU(V,S)曲面とF(V,T)曲面、およびH(P,S)曲面とG(P,T)曲面の関係がある。詳細は別稿「熱力学関数(状態方程式曲面)の性質」3.(2)2.[補足説明2]を参照されたし。同様に、2.(C)の方法による“接平面座標”(ξ,y,ωyu)の表現の様子を見るために、幾つかの座標点に於ける接平面(x方向の接線)を描いてみる。よりなる点に変換されます。(ξ,y)の関数としてのωyu(ξ,y)はによってx,uをξ,yであらわして、uから“ルジャンドル変換”で求めたωyuの式に代入すればよい。このグラフを描くととなる。このグラフωyu(ξ,y)は、u(x(ξ,y),y)=(1/2){ξ2+(y−1)2}+1/2のグラフに−ξx=−ξ(−∂ω/∂ξ)=−ξ(ξ+1)のグラフの値を加えたものであることに注意。このときuとωyuは全く異なった状態量です。古い状態量uに状態量−ξxを付け加えることにより新たな状態量ωyuを作ったのですが、それを表す変数も(x,y)から(∂u/∂x,y)≡(ξ,y)に変換されていることに注意されたし。[補足説明]このとき、u(x,y)とωyu(ξ,y)のグラフを比較してみれば明らかなように、変数ξを固定してωyu(ξ,y)をyで偏微分したものと、変数xを固定してu(x,y)をyで偏微分したものが同じになります。これは次のようにして一般的に成り立つことが証明できる。一部の変数のみを変換(今の場合x→ξ)するルジャンドル変換では、変換していない変数yでuとωyuを偏微分したとき、固定する変数はx→ξに変わっており、関数もu→ωyuに変換されているが、yに関する偏微分導関数は変わらない事を意味している。二次元曲面の場合の逆ルジャンドル変換を考える。関数ω(ξ,η)のξとηの偏動関数をつくるととなるのでが言える。(1)と(4)を比較すると右辺の符号が逆転しているように見えるが、(2)と(3)を比較されると以下の事情が解ります。この式は、曲面ω=ω(ξ,η)の点(ξ,η,ω)に於ける接平面がω軸を切る値がuであることを表している。ω=ω(ξ,η)の“点座標”から、その“接平面座標”であるu=u(x,y)に変換されている。ルジャンドル変換の逆変換もルジャンドル変換となる。このように“点座標”と“接平面座標”は双対性の関係をなしている。そのためルジャンドル変化は単に1点を他の1点に対応づけるのではなくて、接平面要素(x,y,u,∂u/∂x,∂u/∂y)を別の接平面要素(ξ,ξ,ω,∂ω/∂ξ,∂ω/∂η)に対応させるものと理解することもできる。[補足説明]クーラン、ヒルベルトの文献1.では、ルジャンドル変換後の関数をωではなくて−ωで定義しており、ルジャンドル変換をの様に表している。このようにすると前述の式はとなるのでとなります。この定義の方がルジャンドル変換の双対性をより旨く表せます。実際、解析力学におけるラグランジアンLとハミルトニアンHを相互に変換するときの“ルジャンドル変換”は、この形の定義に従っています。熱力学における状態量間の“ルジャンドル変換”は、この稿で採用した定義に従っています。第4章で説明するように、こちらの定義の方が幾何学的に解釈するとき便利です。ルジャンドル変換で新たに導入された量が、物理的に何を意味するのかを理解するのは容易ではありません。それぞれの物理学理論で解読しなければなりません。その解読の中に物理の本質があります。熱力学に対応した定義です。解析力学に対応した定義です。ω→G(ギブズの自由エネルギー)、ωxu→F(ヘルムホルツの自由エネルギー)、ωyu→H(エンタルピー)、x→V(体積)、ξ→-P(圧力)=(∂U/∂V)S、y→S(エントロピー)、η→T(絶対温度)=(∂U/∂S)Vへ置き換えることです。明快に説明されています。文献2のpdfファイルをダウンロードされてお読みください。その中に描かれている図2.1(次図参照))を本稿2.(2)の図と比較されれば、すべてが了解できます。以下の説明は文献2.からの引用です。Surfaces”(物体の熱力学的諸性質の曲面による幾何学的表示)で導入されたので、“ギブズの自由エネルギー”と呼ばれている。論文のタイトルからも判るようにギブズはを幾何学的に導入している。記号“G”は導入者ギブズの名前(Gibbs)にちなむ。Helmholtz、1821-1894年)により導入された(1882年)ので、“ヘルムホルツの自由エネルギー”と呼ばれている。energy)に由来する。Substances”(不均質物質の熱力学について)の第2部が公刊された1878年から数えても4年後である。このことからも平衡系の熱力学についてはギブズが独走していたことが判る。Hには呼称が3つある。“熱関数”、“エンタルピー”、“カマーリング・オネスの自由エネルギー”の3つである。function)の呼称に由来する。Kamerlingh-Onnes、1853-1926年)による造語(1909年)です。別稿「絶対温度とは何か」8.(2)1.で説明したように、形式的には状態量であるUに同じく状態量であるpVやTSを足したり引いたりするのが“ルジャンドル変換”です。HはUにpVを足したものであり、FはUからTSを引いたものであり、GはFにpVを足したものあるいはHからTSを引いたものです。そのためUに状態量であるpVやTSを加えたり、引いたりして新しい熱力学的状態量を導入しようとすると、普通の教科書では、まずHやFを導入して、最後にGを導入する事になります。歴史的には、熱力学関数の幾何学的意味を正しく理解したギブズによって、まず“G”[2.(A)の場合]が一気に導入され、次に“F”[2.(B)の場合]が導入され、最後に“H”[2.(C)の場合]が導入された。この当たりの詳しい説明は別稿「熱力学関数(状態方程式曲面)の性質」3.と別稿「ギブズの自由エネルギー(化学ポテンシャル)とは何か」1.(2)3.2.をご覧ください。6.文献5.解析力学への応用クーラン、ヒルベルト形式3.(2)の定義に於いて、ω→H(ハミルトニアン)、u→L(ラクランジアン)の置き換えをして、変数を以下のように取れば良い。このとき、ルジャンドル変換を表す式は、ラグランジアンLからハミルトニアンHを定義する式そのものです。[補足説明1]n個の変数の内の変換されないm個の変数q1〜qmに関する偏微分導関数に対して、2.(2)2(B)の方法[補足説明]で述べのと同様な事情が成り立ちます。クーラン、ヒルベルト形式のルジャンドル変換のために符号が変わりますが、以下の関係式が成り立ちます。証明は同様に行えばよい。これを用いると、オイラー・ラグランジュ方程式はとなる。逆ルジャンドル変換からが導ける。゙偏微分して求めても良い。equation)という。[補足説明2]ここの説明だけでは、ラグランジアンLとラグランジュの運動方程式(オイラー・ラグランジュ方程式)、およびハミルトニアンHとハミルトンの正準運動方程式が何を意味するのかは解りません。この事について、最近の本では例えば村上雅人著「なるほど解析力学」海鳴社(2016年刊)などをご覧下さい。解析力学とは何かを理解するには、この本のように簡単な例を沢山当たってみるに限ります。解りやすく説明されています。この本の中に出て来るラグランジュの未定乗数法については別稿で説明していますので合わせてご覧下さい。canonic)のこと。6.文献6.参考文献ルジャンドル変換について、文献1.に明快な説明があります。このページは、そこの記述に依存しています。その内容をできるだけ解りやすく説明することに勤めました。3」東京図書(1972年刊)第1章§6ルジャンドル変換の本質が最も解りやすく明快に説明されています。その部分を引用しておきますので、その中の“接平面座標”の意味に注意されてお読みください。富永昭著「誕生と変遷にまなぶ平衡系の熱力学」第2章“自由エネルギーの幾何学的性質”熱力学への応用では、この本が一番解りやすい。この著作は以下のURLからダウンロードできます。熱とエントロピー」筑摩学芸文庫(2009年刊)第32章ギブズの業績、特に熱力学に関する第一論文(1873年4月)、第二論文(1873年12月)、第三論文(1976、1978年)について解りやすい解説があります。ルジャンドル変換の意味に注意されて読まれると良く解ります。ギブズのこれらの論文はネットからpdfファイルとして無料ダウロードできます。1878年に発表したものの日本語訳です。要約であるためにますます難解で、理解するのはかなり難しいです。元の第三論文と要約論文はネットから無料ダウンロードできます。ギブズの論文集も無料ダウンロードできます。(2013年刊)第9章、附録B.5ルジャンドル変換の解析力学への応用(第9章)と、興味深い注意事項(附録B.5)の解説があります。附録B.5の部分は下記URLにありますのでご覧ください。