商体の典型的な例というと、これまでの説明でも出てきたように「有理数」になります。当然のことながら、有理数以外にもさまざまな商体が考えられます。機械的に体が構成できます。上述の手順で商体を構成できます。要するに、実数上の有理式になるんですが、この実数上の有理式は体を成します。上の有理式は体を成します。Xiという形で表すことの出来る集合です。変数多項式と呼びます。商体を作ることができます。いうように書き表します。「拡大体」になっています。剰余体と呼ばれるものがあります。整数の剰余体と同じ手法で体を構成します。剰余体について話をする前に、イデアルなどの予備知識が必要ですので、まずはそちらの説明から始めます。イデアル(ideal)と言います。両方を満たすものを両側イデアルと言ったりもします。nZであり、イデアルの条件を満たしています。この2つは自明なイデアルと呼ばれます。number)という別の概念から派生したものらしい。読みで「イデアル」というらしい。ある元の倍数の形で表されるイデアルがあります。generator)と呼びます。有限個の生成元から上述のようにして作られるイデアルを有限生成イデアルと呼びます。R}を単項イデアルと呼びます。整数環のイデアルはすべて単項イデアルになります。最大公約数から生成したイデアルと一致します。R}は同じ集合になります。整数環と同じように、イデアルが全て単項イデアルになるような整域を単項イデアル整域と呼びます。単項イデアル整域ではありません。線形独立なので、これ以上生成元を減らすことが出来ません。ideal)と言います。素数のとき、素イデアルになります。素イデアルの条件を満たします。ideal)と言います。自身以外にないようなイデアルになります。整数環の場合、素イデアル(生成元が素数)ならば必ず極大イデアルになります。一般的には、素イデアルは必ずしも極大イデアルにはなりません。極大イデアルは常に素イデアルになります。