Abstract本研究の前段階である次の命題の証明を2種類以上つけることができた。:4次元結び目の補空間の基本群が無限巡回群の場合には、カスプから始まって終わる2重点の発生と消滅のみを許して、自明な結び目に変形できる。次に、この変形を詳しく研究するために、4次元空間内の曲面の変形を、3次元に射影をして表示する方法を開発した。本研究の目的のためには、3次元空間内の一般曲面の変形を局所的に詳しく調べることが重要であり、これに関してはカーター・斉藤の研究がある。交付申請書にも書いたとおり、その内容と証明は再検討する必要があり、佐伯助教授および鹿児島大学の大木助手に特異点理論からの考察と協力をお願いしている。彼らの主張を用いると、さらに一方向に射影することによって、セルフ図形をつくり、2重点の高さとセルフ図形が出来るだけ交わらないように大域的な変形ができる条件を決定することができる。この部分についての明確な記述が待たれている。3次元空間内の一般的な曲面にどんなものがあるかについて、簡単なものから分類していくという立場も有効である。佐伯は特異点理論により3次元空間内の一般的な曲面の変形を局所的に調べる部分を担当したが調査中であり、一般写像の2重点の集合とその像の研究を既に発表している。寺垣内は結び目理論を参考に大域的な変形について特別な例で研究することを担当したが、むしろ古典結び目のデーン手術との関係に終始した。