複雑なものは考えず、単純な線形座標系について説明したいと思います。非線形な場合の理解も早まるかと思います。関する座標(coordinate)といいます。記号は転置を表します。system)が導入されると言います。座標系の基底(base)あるいは基と言います。自体のことを座標系という場合もあります。1)Tの場合がいわゆる正規直交座標です。平行でさえなければ任意のベクトルを使ってかまいません。a2)と置くと、Axというように、行列の形で表すことができます。同じ空間を表すのに複数の座標系が存在します。yb)Tとしましょう。この2つが同じ点を表すわけですから、当然、Axa=Bxbが成り立ちます。したがって、2つの座標の間には、以下の関係式が成り立っています。xb=B-1Axaこの式により、ある座標系から他の座標系への変換が可能です。change)と言います。space)と言います。ベクトルの内積で表されます。線形写像になっています。双対(dual:2つ組の)という言葉はこのことに由来します。b)で表されています。R2の双対空間はR2自身と同型な空間になります。次元線形空間になります。結局元と同じ空間になるのにわざわざ双対空間などと言うのかですが、それは以下で説明する双対座標の座標変換を見ていただければはっきりすると思います。先ほどの説明では、座標系の話はあいまいにぼかして説明していましたが、ここでは双対空間に座標系を導入することを考えて見ましょう。n)の座標系を持っているものとしましょう。次元線形空間になります。n)を用意して座標系を導入できます。fixと書き表します。関係が明瞭になるように恣意的なものを選びます。以下の条件を満たすように選んだ時でしょう。base)と言います。coordinate)と呼びます。V-1・Tという関係が成り立ちます。yTx=n∑i=1xiyiとなり、それぞれの座標の値を、数ベクトルの内積と同じルールで積和したものと一致します。yb)Tとすると、xb=B-1Axaという変換法則が成り立つことを説明しました。これに対して、双対座標の場合にはどのような変換法則が成り立つのかを見てみましょう。B-1・Tと表します。以下のようになります。元の座標の変換式とは異なる形になります。双対座標系を導入しその座標変換を考えると元の空間の座標変換と異なる変換法則が得られます。反変座標と共変座標これまでの話を少し違った視点から見てみましょう。双対座標と呼ぶ、というように考えることも出来ます。ついて考えてみましょう。単純化のため、2次元の場合について考えます。a2の線形結合を表しています。この表現方法は、図的に考えると図1のようになります。これは以下の式から示されます。coordinage)とも呼びます。A-1・Txで表される座標について考えてみましょう。基底との内積の値を座標にしていることになります。少々無理やりに、図的に表すと図2のようになります。イメージを表す図です。coordinate)とも呼びます。正規直交座標を用いる場合には反変座標と共変座標は一致します。まで気兼ねなくご連絡ください。ついて運営者について。