写す変換(内部自己同型)の意味にも使われる。この変換の意味で与えられた元に共軛な元の全体は、実部が等しく、かつベクトル部のノルムも等しい(従って、共軛四元数はこの変換の意味でも共軛元である)。複製の上に共軛変換によって作用する。四元数を用いる優位性としては、(オイラー角などの場合と比べて)非特異な表現である。行列を用いるよりもすっきりと(速く)記述できる。単位四元数の対で、四次元空間の回転を表せる。二重被覆群というリー群になる(これは上記の対応において各回転に対応する単位四元数がちょうど「ふたつ」あることによる)。自体には標準的な群構造はないが)ベルソルの成す部分群の像は点群であり、逆に点群の逆像はベルソル全体の成す部分群となる。二十面体群の逆像は二項二十面体群である。