共軛をとる操作は対合、つまり自身を自身の逆とする変換であり、一つの元の共軛を二度とればもとの元に戻る。二つの四元数の積の共軛は、それぞれの四元数の共軛を「順番を逆にして」掛けたものになる。{1}{2}}(q+iqi+jqj+kqk)}が成立する。表される(ハミルトンはこれを四元数のテンソルと呼んだが、この用語は現代的な意味でのテンソルと衝突する)。見做した時のユークリッドノルムと同じものである。四元数を実数倍したもののノルムは、ノルムを実数の絶対値倍したものに等しい。}が満たされることの特別の場合である。この乗法性は、積の共軛に関する式からの帰結である。通常の虚数単位)から乗法性を示すこともできる。して定義することができる。距離空間となり、加法と乗法はこの距離位相に関して連続になる。