実数直線を共通の交わりとして持つ無数の複素平面の合併であることがわかる。平方根の成す球面全体を(球面の対蹠点が同じ平面に対応することを踏まえたうえで)亙って取ったものである。のどの部分複素数平面に含まれるかという関係性は、可換部分環族の言葉を使っても同定し書き表すことができる。この可換部分環を求める方法は、分解型四元数(英語版)の全体や二次実正方行列の全体の性質を知るのにも利用できる。複素変数の函数同様に、四元変数の函数から有効な物理モデルが得られることが示唆される。{a}{\|q\|}}}として与えられる[22]。}}の形に書くことができる。)}で定まるものである。