同一視することによって、他の次元にも一般化することができる。i)}なる積の規則に従う。}とよく似ているが、実はこの二つは同一視できる。=-1}を保つことを確認すればよい。対応する(これは一次元的な「向き」ではなくて、特定の二次元平面に付随する向きと大きさを持った量である)。複素数との関係もより明らかになる。存在して、三つの虚数単位を持つ。おいては、基本となるベクトルが相異なる四つの方向を持つから、従って平面を張る線型独立な組は六種類であり、二重ベクトル基底元は六つ存在する。呼ばれるそのような四元数の拡張を用いた回転は、斉次座標系を用いた応用において非常に有効である。三次元の場合に限っては、基底二重ベクトルの数と基底ベクトルの数が一致し、各二重ベクトルを擬ベクトルと同一視することができる。ドルストらはこの広い設定において四元数の占める優位性を以下のように同定した[23]:回転子は幾何代数において自然であり何の不思議もないし、それが含む二重鏡映の情報を容易に理解できる。幾何代数において、回転子とそれが作用する対象は同じ空間に属する。これにより表現を変える必要がなくなり、かつ新しいデータ構造や(四元数に関する線型代数学を要求する)方法を考える必要もなくなる。回転子はベクトル元や他の四元数だけでなく、直線や平面、円、半直線など、この代数の任意の元に普遍的に適用可能である。行ることができて、任意の元に普遍的に作用する。これは、四元数の場合はその軸が原点を通るものに限られるのに対して、回転子は任意の軸の周りでの回転を表現できることを意味する。回転子の示す変換は、特に直接的に解釈することができる。クリフォード代数のさらに詳細な幾何学的描像は幾何代数(英語版)の項を参照せよ。「本質的に」唯一の(非自明な)中心的単純環である。何れかにブラウアー同値(森田同値)であるという意味である。それぞれの代表元とする二つの同値類からなる。ここで、ブラウアー群というのは中心的単純環全体の成す集合を、一方の中心的単純環が他方の中心的単純環の上の全行列環となるという同値関係で割って得られるものであった。アルティン・ウェダーバーンの定理(のウェダーバーンの部分)によって、任意の中心的単純環は何らかの斜体上の行列環となるから、従って四元数体が実数体上で唯一の非自明な多元体であることがわかる。中心的単純環(体上の環であって、それ自身が体同様に非自明な両側イデアルを持たないという意味で単純環であり、かつその中心が基礎体に一致するもの)は、体の拡大の非可換版の類似物であり、一般の環の拡大よりも限定的である。四元数体が実数体上の(同値を除いて)唯一の非自明な中心的単純環であるという事実は、複素数体が実数体上の唯一の非自明な拡大体であることに比肩する。四元数でストアされている、という表現がある。2011年2月26日閲覧。訳、シュプリンガー・ジャパン、2004年11月。4-431-71124-4。訳、丸善出版、2012年9月、新装版。978-4-621-06387-3。訳、シュプリンガー・ジャパン、2001年11月。4-431-70770-0。訳、丸善出版、2012年2月。978-4-621-06207-4。訳、培風館、2006年11月。978-4-563-00369-2。森北出版、2016年11月。978-4-627-05441-7。海鳴社、2007年11月。978-4-87525-243-6。戸惑いgooのお知らせあなたの好きなデザインテーマは1~12月までの季節感テーマのデザインや、環境活動に貢献できる緑のgooなど、好きなデザインテーマを設定しようgooをスタートページに設定しようタイムリーなニュースやメール、天気など、便利な情報が集約!地震や津波など防災情報もお知らせするgooトップページを設定しよう一番安い自動車保険は?《利用者800万人突破》最大21社に無料で一括見積もり。安くなった平均額は30,597円!goo電子書籍特集とある家庭のペットとして暮らす魔王と、その飼い主である少年の物語。ときに隣の家の勇者におびえ――。今日からできる環境貢献。