(|a_{1}-a_{2}|,|a_{2}-a_{3}|,...,|a_{n}-a_{1}|)\,.}の事を意味する。別の言い方をすれば、まず輪に配列されたn個の異なる正の整数の組があり、各隣合う2つの整数の差の絶対値をとってできた、新たな正の整数が配列された輪の組を意味する。この操作を繰り返してできる数列の組全体も同様にドゥッチ数列と見なす。ドゥッチ数列と言う名称は、その数列の(性質の)発見者でもあるイタリア人数学者の名にちなんで名付けられた。ドゥッチ数列は(海外では)ドゥッチ写像あるいはNナンバー・ゲームとも呼ばれており、これに関する多くの未解決の問題が残されている。外部リンク特性[編集]一回以上の上記の再帰操作後の数列について、どの数列の元の整数も0以上か、または(最初のこれらの操作を始める以前の)初期の数列の各元の整数の最小値以上あるいは最大値以下となる。有限個の元からなるドゥッチ数列にこうした条件で再帰操作を繰り返すうちに、既に以前再帰計算中に現れたものと整数の種類とその配列順序が全く同じ数列がいずれ現れる。そのためドゥッチ数列はその再帰操作に周期性を持つ。nが2のべき乗であれば、有限回の再帰操作でその数列は必ず(0,0,...,0)となる。逆にもしnが2のべき乗でないのであれば、全ての元が0の数列になるか、全ての元が0と1のみからなるか、あるいは異なる2種類の正の整数からなる数列となる(つまり何度再帰操作を繰り返しても全ての元が0とならない)。ドゥッチ数列の一般化としては、各元を整数に限定せず、当然ながら実数に範囲を広げることもできる。この場合、先に書いた2のべき乗に関する全ての元が0となる性質は現れない。q3)のようなドゥッチ数列は有限回の再帰操作で(0,0,0,0)とはならない(但し無限回再帰操作を繰り返すと(0,0,0,0)に収束する)。[2]例[編集]ドゥッチ数列は全ての元が0になるか再帰操作が上記で述べた周期性に入るまでには再帰操作の回数が非常に多くなることもある。4063)から再帰操作を始めた場合、全ての元が0になるのに24回の再帰操作を要する。(0,0,0,0)}以下の5つの元からなるドゥッチ数列は、7回目の再帰計算で二進数となり(2,2,2,4は0,0,0,1に置き換えて計算しても同じ)、16回の操作を経て7回目の結果に戻るのでループし、いわば周期性を持っている。\\\end{matrix}}}また次のような6つの正の整数の元からなるドゥッチ数列、つまり2のべき乗でない数列であっても、有限回の再帰操作で全ての元が0になる場合もある。&000000\\\end{matrix}}}更に2のべき乗の数列にいくつかの条件を与えることにより、再帰操作が2のべき乗のステップで終わり得る。加えて、そうした条件によって2のべき乗の再帰操作で終わるドゥッチ数列の数には法則性があることが予想される。.[3]2進法の場合[編集]再帰操作の過程で全ての元が0と1からなるドゥッチ数列となり、再帰操作が周期性を持つに到った場合、以下のように数列の各元を法が2の合同式に置き換える事ができる。mod2}この事についてはドゥッチ数列の全ての元が0になる場合を証明する際の基礎となる。102という形で、セル・オートマトンとして認識されている。90とも関連性を持つ。102はシェルピンスキーのギャスケットを再生する。[7]関連する概念[編集]ドゥッチ数列は差分方程式の例で、非線形力学、カオス理論、数値解析の分野にも属する。円周等分多項式との関連も指摘されている。現時点ではドゥッチ数列の実践的な応用例はないが、差分方程式のより高度な応用分野との関連付けにより、将来ドゥッチ写像のある形式がそうした応用例を見つけ得る可能性が推測される。2009年1月26日閲覧。(日時は個人設定で未設定ならばUTC)。表示-継承ライセンスの下で利用可能です。追加の条件が適用される場合があります。詳細は利用規約を参照してください。開発者Cookieに関する声明モバイルビュ。