四元数は結合的で加法の上に分配的な乗法を持つが、その乗法は可換でない。実数体上の非可換結合多元環である。上の結合多元環にはならない。多元体(乗法が可換でないことを除けば可換体と同様の構造)である。三種類であることを述べるものである。八元数の全体)であることを述べる。四元数の全体はまた、合成代数や単位的バナッハ代数の一例でもある。その乗法に関して群を成す。各元を基底ベクトルに持つ。生成するイデアルで割った剰余環になっている。中では加法逆元になる)。幾何は四元数の代数構造に反映される。ベクトルに対する多くの演算は四元数を用いて定義することができるし、それによって四元数的な手法を空間ベクトルから生じる様々なものに適用することができる。電磁気学や3DCGなどにこの方法論が使える。基底の両方の意味で用いる。取り換えることはベクトルを加法的逆元(マイナス)へ写すので、ベクトルの加法的逆元をとることと四元数の共軛をとることとは同じ意味になることに注目しよう。q=b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}}で与えられる。のどのスカラー部にも等しい(これらのベクトル部は何れもことなることに注意)。{1}{2}}(pq^{*}+qp^{*})}という等式も成り立つ。q=(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})i+(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})j+(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})k}と定義される(符号を決めるために向きが必要であることを想起せよ)。ベクトル部とも同じく等しい。{1}{2}}(pq-q^{*}p^{*})}なる等式が成り立つ。{q}}_{v}}が成り立つ。これを見ると、四元数の乗法の非可換性が純虚四元数の乗法からくるものであることが分かり、また2つの四元数が可換となるための必要十分条件がそれらのベクトル部が共線となることなども知れる。行列表現[編集]複素数が行列で表されたのとまったく同様に、四元数も行列で表すことができる。実行列を用いるものである。{\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}}と表現される。四元数のノルム(複素数のノルム同様に、自身とその共軛との積の平方根)は対応する行列の行列式の平方根に一致する[20]。四元数の共軛は、対応する行列のエルミート共軛に対応する。後者の群は量子力学においてスピンを記述するのに重要である(パウリ行列を参照)。=a{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}}で表される。この表現では、四元数の共軛は対応する行列の転置に対応する。四元数のノルムの四乗は対応する行列の行列式に等しい。ブロックに分けたときの区分対角行列に対応する。四元数を、数論におけるラグランジュの四平方和定理(任意の非負整数が四つの整数の平方の和で表せること)の証明に用いることもできる。ラグランジュの四平方和定理は定理それ自体が美しいだけでなく、組合せデザイン(英語版)のような数論以外の数学の分野においても有意な応用を持つ。四元数に基づく証明では四元数全体ではなくその部分環でユークリッドの互除法が使えるフルヴィッツ整数環(英語版)が用いられる。四元数は複素数の対として表現することができる。この側面からは、四元数は複素数の全体にケイリー・ディクソン構成を適用して得られたものということになる。これは、複素数の実数の対として構成を一般化したものである。二元からなる基底をとる。(a+bi)1+(c+di)j}と書くことができる。あるものと定めると、分配律を使って二つのベクトルを掛け算することができる。(a,b,c,d)}で表される。平方根は無数に存在する。四元数解は三次元空間内の単位球面を成すのである。等しいものと仮定する。2ad=0}が成り立つことを意味する。満たすことになるので不可能である。ベクトル(純虚四元数)となることであることがわかる。定義により、このようなベクトルの全体の成す集合は単位球面を成す。ついてはただ一つ)である。平方根のこのような同定はハミルトンが与えている[21]が、他の文献では触れられないことがよくある。おいて三ページを割いて触れている。して、この球面についての別な言明がある。平方根のどの二つをとっても、四元数の中で複素数の相異なる複製を作ることができる。a+bq}によって決定される。単射環準同型(埋め込み)である。対応する埋め込みの像は集合としては同じになる。部分空間に載っていることを見よう。