)後者は添字が上に書かれていますが、冪ではありません。添字を上に書くのと下に書くのの違いは後々説明します。1∂∂xifdxiというように、積和の形で表される式が頻繁に現れます。notation)と呼ばれます。先ほどの式はアインシュタインの記法を用いるとdf=∂∂xifdxiと表されます。書くだけでもずいぶん手間がかかるので、これを省略します。座標変換まず、座標変換について説明します。表すことを考えてみます。表されているものとしましょう。微分可能性に関してはとりあえず無限階微分可能と言うことにしておきましょう。以下のような変換ルールが必要になります。等)の座標変換はさらに複雑になるであろうことは容易に想像が付くかと思います。微小変分は、dzdw=det[∂z∂x∂z∂y∂w∂x∂w∂y]dxdyというように行列式で表される形になります。見てみるもはっきり分かる。解析的に解くのにもよく変数変換を用いる。線形変換も、座標変換によって簡単化できる。正準変数の導入で6次元になったり。微分が絡んでいても、ある条件下では座標変換が簡潔に表されます。その最たる例が全微分です。どんな座標系を用いようとも同じ形式で表されます。表すと以下のようになります。∂∂ui∂∂uiとduiの変換規則が真逆なため、打ち消しあうことで結局の所元の形が維持されます。dvi=∂vi∂ujdujなので、df=∂∂vifdvi=∂uj∂vi∂∂ujf∂vi∂ukduk=∂uj∂vi∂vi∂uk∂∂ujfduk=∂uj∂uk∂∂ujfduk=∂∂uifduiとなります。クロネッカーのδ)であることを利用しています。真逆な2つの変換規則が互いに打ち消しあっているというのがポイントなわけですが、このことから次のような発想が生まれます。等の微小変分を省略していましたが、これが間違いだったのではないでしょうか。全微分のように座標変換に対して不変な記述ができたのではないか、という発想です。微分形式というのは、この発想から生まれてくる概念です。変換規則が真逆な2つの物があることを説明しました。個ずつ存在することになります。次元ベクトル空間ai∂∂uiとfiduiを作ることが出来ます。本節ではまず、形式的にこれらのベクトル空間の座標変換について説明します。これらのベクトルが座標変換によってどう変化するかを考えてみましょう。ai∂∂uiの方について考えます。