詳しくは「数学」を見てもらうことになりますが、ベクトル解析は正規直交座標を用いて表す限り、非常に美しい理論体系です。ところが、ベクトル解析は座標変換に弱く、この美しさは正規直交座標以外の座標系を用いた瞬間に崩れてしまいます。等)と座標変換との相性があまりよくないために起こる問題です。座標変換に強い理論が立てられるならそれに越したことはありません。このような背景から生まれた理論が微分形式です。座標変換に強く、さらには任意の次元にまで拡張できる非常に美しい理論体系です。多くの解説書では、微分形式の形式的定義を最初に述べ、そこから出発して、微分形式がベクトル解析や積分方程式の理論をうまく内包していることを示しています。この過程を初めて目にすると、あまりにも美しく完成された理論に驚くかと思います。理論を理解するためにはその泥臭い過程を知ることも重要です。そこでここでは、微分形式の理論に至るまでの泥臭い過程から説明したいと思います。これは、太字で書かれてはいませんが、ベクトルを表しています。uN)と言うように表します。