集合は、最小の無限集合として定義されます。自然数に含まれるものとします。自然数全体の集合をωを使って表します。とも異なる集合が出来ます。異なる集合を作ることが出来ます。後継ぎ(successor)といいます。number)は、この後継ぎを使って定義していきます。3}こうして自然数を集合論的に構築していくことが出来るわけですが、いくつが問題があります。自然数全体を集めたものは集合になるかどうか、また、そのような集合はただ1つに確定するかどうかという問題です。集めたものは集合になるかどうか」ですが、これは「無限集合の公理」によって解決します。x+∈a)]この公理により、後継ぎを使って無限に新しい元を作った物が集合になることが保証されます。直感的にこれが無限に多くの元を含むことは分かると思います。無限集合と呼ぶことにします。(単に「元の数が無限となる(自然数全体と同じか、より大きい濃度を持つ)集合」も無限集合と呼びます。これと区別するために、無限公理を満たすような集合のことを無限系譜と言って区別している教科書もあります。)「自然数全体」というのも無限集合の一種になりますから、これでとりあえず「自然数全体」というのが集合になることは言えます。無限公理を満たすような無限集合は1つとは限りません。したがって、これを「自然数全体の集合」の定義にすることは出来ません。自然数の定義の仕方ですが、概念的な言い方をするならば「最小の無限集合(無限系譜)」として定義します。した手順を述べると、以下のような定義の仕方をします。