質問No1211212536のやり直しみたいで恐縮ですが。質問No1211212536のやり直しみたいで恐縮ですが。No1211212536のやり直しみたいで恐縮ですが。高次元の超球(0次元から上を含む)の「超表面積」及び「超体積」の値の求め方及びその値を数学的に論理立て、分りやすく教えてください。URLを貼り付けるだけでなく、回答者自身の理解した説明があれば幸いです。(できるだけ平易に)何次元でも結構ですが3次元で止めない様お願いいたします。21:22:2460pt2次元球がx^2+y^2≦r^2、3次元球がx^2+y^2+z^2≦r^2、のようにあらわされる領域であることを考えると、1次元の球は、x^2≦r^2ということで、1次元直線上にある-x~xの2rの領域ということになるでしょう。ガウス積分とかやると一発なんですが、http://www.geocities.jp/the_cloudy_heaven/laboratory/highsphere/...そのような回答は求められていないようですし、漸化式を出してこうだといっても埒が明きませんので、こつこつ順に積分してVを求めていくことにします。できるだけ平易にと言うことですが、置換積分と三角関数の知識が必要になってしまいました。※途中の計算に間違いがあるかもしれません。式の書き方も結構適当です。x=±rということで、-r~rの領域、Vは2r。y=±√(r^2-x^2)xが0~rで変化する場合、yの幅(つまり2r)は0~2√(r^2-x^2)のように変化。これを積み上げたものが面積(半円)になる。V=2∫[0、r]2√(r^2-x^2)dxこのままだとちょっとつらいので置換積分。倍角の公式から=4∫[0、π/2]r^2*1/2*(1+cos2θ)dθ=2*r^2∫[0、π/2](1+cos2θ)dθ=2*r^2(θ-1/2sin2θ)[0,π/2]=2*r^2*π/2=πr^2以降も同様の考え方で、前の次元のVについてrを√(r^2-x^2)で置き換えて積分する方法を繰り返していきます。3次元、V=2*π∫[0、r](√(r^2-x^2))^2dxxに対応して変化する半径√(r^2-x^2)の円を想定し、それを積み上げることで体積を求めます。V=2*π∫[0、r](r^2-x^2)dx=2*π(r^2x-1/3x^3)[0、r]=2*π(r^3-1/3*r^3)=2*2/3*πr^3=4/3πr^3。4次元:xに対応して変化する半径√(r^2-x^2)の球を想定し、それを積み上げることで超球のVを求めます。...sinの項は引数が0とπの整数倍なので、消える=2*Kr^4*3/8*π/2=Kr^4*3/8*π=4/3*π*r^4*3/8*π=1/2*π^2r^45次元。K(4)=1/2*π^2V=2*K∫[0、r](√(r^2-x^2))^4dx=2*K∫[0、r](r^2-x^2)^2dx=2*K∫[0、r](r^4-2r^2*x^2+x^4)dx=2*K(r^4*x-2/3*r^2*x^3+1/5*x^5)[0、r]=2*K(r^5-2/3*r^5+1/5*r^5)=2*K*r^5*(15/15-10/15+3/15)=2*K*r^5*8/15=k*r^5*16/15=1/2*π^2*r^5*16/15=8/15*π^2*r^56次元。K(5)=8/15π^2V=2*K∫[0、r](√(r^2-x^2))^5dxx=r*sinθとおくと、x=0→θ=0、x=r→θ=π/2。5/16*π=1/6*π^3*r^67次元。K(6)=1/6π^3V=2*K∫[0、r](√(r^2-x^2))^6dx=2*K∫[0、r](r^2-x^2)^3dx=2*K∫[0、r](r^6-3r^4*x^2+3r^2*x^4-x^6)dx=2*K(r^6*x-r^4*x^3+3/5*r^2*x^5-1/7*x^7)[0、r]=2*K(r^7-r^7+3/5*r^7-1/7*r^7)=K*r^7*(32/35)=1/6*π^3*r^7*(32/35)=16/105*π^3*r^7積分はこの辺にして各次元の係数Knの関係を調べて見ます。1/6π^3、16/105π^3という結果になりました。32/35となっています。(2*4*6)/(1*3*5*7)ここまでくると規則性がはっきり見えてきました。