定義より明らかなように、正規数の無限小数表示の中には任意の文字列が現れる。デジタルデータを二進数だとみなせば、二進正規数にはあらゆるデータが含まれると考えることができる。逆は成り立たず、任意の文字列が現れるからといって正規とは限らない。場合のみ上記の性質を満たすことを意味する。割合で現れる実数のことである。性質および例[編集]正規数の概念は、1909年にボレルによって導入された[3]。彼は「ほとんど全ての」実数は正規数であることを証明した。可算個のルベーグ零集合の和集合はやはりルベーグ零集合であるから、正規でない数の集合もルベーグ零集合である。この事実から正規数が存在することが従うが、その例は1917年にシェルピンスキーによって初めて与えられた[4]。有理数はいかなる基数に関しても循環小数なので、定義より明らかに正規ではない。非正規数の集合はルベーグ零集合であるのである意味「小さい」が、非可算無限集合であるのでその意味では十分「大きい」とも言える。含まない実数は明らかに非正規であり、そのような数は非可算無限個存在する。チャンパノウン定数0.1234567891011121314151617...は、十進小数表示において自然数が順に連なっている実数である。1933[5])、他の基数に関しては正規か否かわかっていない。正規数の例として人工的に作られたものではない数たちの正規性を示すことは一般には難しい。いった数学的に重要な定数が正規数であるか否かは未だに知られていない。いくつかの傍証によってこれらは正規数であると強く信じられているが、十進小数表示においてそれぞれの数字が無限回現れるか否かさえ知られていない。「無理数かつ代数的数である数は正規数である」と予想した[7]。解決への道のりは遠く、反例も知られていないし、正規である代数的数の例も知られていない。以下、その他の正規数の性質を列挙する。正規列に対して、有限個の文字を加えたり取り除いたり変更したりといった操作をしても、正規列のままである。この事実は文字列の正規性の定義より明らかである。故に正規数の定義において、小数点より前の部分を含めるか否かは本質的ではない。任意の正の数は二つの正規数の積である。これはより一般的な次の事実より導かれる。