検索この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。mechanics)は、一般化座標とその微分を基本変数として記述された古典力学である。フランスの物理学者ジョゼフ=ルイ・ラグランジュが創始した。後のハミルトン力学と同様にニュートン力学を再定式化した解析力学の一形式である。外部リンク概要[編集]ラグランジュ形式の解析力学は最小作用の原理によって構成される。元々はニュートン的な力学の分野において成立したが、電磁気学や相対性理論でも応用することが出来て、これらの分野における基礎方程式(マクスウェル方程式、アインシュタイン方程式)を導き出すことが出来る。量子力学においても、経路積分の方法は最小作用の原理に関連して考え出された方法である。ラグランジュ形式では一般化座標によって記述されており、変数の取り方が任意である。ニュートンの運動方程式はベクトルの方程式であり、デカルト座標以外では煩雑な座標変換が必要となるが、ラグランジュ形式においてはラグランジアンはスカラーであり座標変換が簡単である。実際の計算上でも、例えば長さが一定の振り子などで円周上を運動する場合には、平面内の運動なのでニュートンの運動方程式では2つの方向の2変数が必要となるが、ラグランジュ形式では一般化座標として角度を選ぶことにより1変数の方程式が得られる。ニュートンの運動方程式はラグランジュ形式と等価なので適当な変換により同じ式が得られるが、ラグランジュ形式では直接得られる点で便利である。時刻tに関する微分(偏微分ではない)を意味する)。{q}}}(t),t)}はラグランジアンと呼ばれ、系を特徴付ける量である。一般化座標は実際には起こらない運動の値も取りうるが、現実の運動は最小作用の原理に従い、作用積分が最小値をとるように運動する[1]。q_{i}}}=0}が得られる。これはニュートンの運動方程式と同等である。ラグランジアン[編集]ラグランジアン(Lagrangian)は物理的な力学系の動力学を記述するために用いられる関数である。ラグランジュ関数とも呼ばれる。{q}}},t)=T-V}の形をしている。ラグランジアンはエネルギーの次元を持つスカラーであるが、観測可能な物理量ではなく、その値自体に物理的な意味があるわけではない。{q}},t)}の形でも全く同じ力学系を表す。{q}}_{i}}}}によって定義される。これは併進対称性から導かれる保存量である。q_{i}}}}となる。ニュートンの運動方程式との比較から、右辺は一般化された力と見ることも出来る。ハミルトン形式では一般化座標と一般化運動量によって記述されている。一般化運動量は正準共役量であり、共役運動量や正準運動量と呼ばれることもある。ハミルトン形式との関係[編集]ハミルトン形式とラグランジュ形式はルジャンドル変換を通して等価である。ラグランジアンが退化している場合は、ルジャンドル変換が微分同相写像ではなくなり、ラグランジュ系からハミルトン系へ移行することができなくなる。この退化している場合の処方としてディラックの拘束理論が知られている。ラグランジュ形式による場の理論[編集]特に相対論的な場の理論の場合では、ラグランジュ形式から出発するのが一般的である。その方が相対論的不変性などの対称性が見やすいからである[3]。x)}は特にラグランジアン密度と呼ばれる。具体例[編集]相対論的な粒子系[編集]相対論的な系では、時間は位置と共に4元ベクトルとなるので、時間は力学変数となり、積分の変数ではなくなる。粒子を区別する添え字である。