「カウントできるはずなのにカウントしないで(∞にいっちゃって)、8や10を取りこぼしているのでは?」と思ったのです。これは∞を数のように(対応させた上下で同時に)ぶち当たるものだと考えていたことによるものだと納得しました。「対応していない」で、「同じくらい無限」なのだということで、よくわかりました。みなさんありがとうございました。皆さんはさらに先に行ってるようなので、私ももう少しがんばってみます。正の偶数の中から小さい方から同様に、同じ...Q実数の無限と自然数の無限の違いこんにちは。タイトルの通り、実数の無限と自然数の無限の違いについて教えてくださいませんか?大好き...Q論理的な誤りがあるなら指摘していまnを3以上の自然数、mを自然数とする。24%(47/191)「∞」というのは、ひたすら大きいということを表す「記号」であってある定まった数をさすものではないと思います。従って、∞に∞を対応させるというのは正しくないと思います。対応させることができるという意味で個数がいっしょ(というか同じだけ無限にある;「濃度」がいっしょ)ということなんです。...続きを読む「∞」というのは、ひたすら大きいということを表す「記号」であってある定まった数をさすものではないと思います。従って、∞に∞を対応させるというのは正しくないと思います。対応させることができるという意味で個数がいっしょ(というか同じだけ無限にある;「濃度」がいっしょ)ということなんです。同様の意味で自然数と有理数も同じ「濃度」です。調べてみると面白いと思います。キーワードは「対角線論法」です。一つ一つ結んでいくというイメージを持っています。57%(1014/1775)自然数の話ですね。∞を数だと思ってはいけません。従って∞と∞を対応させるのも間違いです。nと2nを対応付けている訳ですが、nも2nも数であって、∞じゃないですよ。...続きを読む自然数の話ですね。∞を数だと思ってはいけません。従って∞と∞を対応させるのも間違いです。nと2nを対応付けている訳ですが、nも2nも数であって、∞じゃないですよ。64%(34/53)回答ありがとうございます。36%(141/389)「無限論の教室」(野矢茂樹)という本に、面白い解釈が出ていました。カントールの対角線論法は間違いだ、しかし無限という概念は成立し得るというのです。カントールが扱った無限は「実無限」と呼ばれ、この例で言えば自然数がどんなに先に進んでもそれに対応した偶数があらかじめ用意されている......という考え方ですね。...続きを読む「無限論の教室」(野矢茂樹)という本に、面白い解釈が出ていました。カントールの対角線論法は間違いだ、しかし無限という概念は成立し得るというのです。カントールが扱った無限は「実無限」と呼ばれ、この例で言えば自然数がどんなに先に進んでもそれに対応した偶数があらかじめ用意されている......という考え方ですね。それに対して「可能無限」という考え方があって、これは無限に近い数字の対応を考えたときに、はじめてその数字が現れるというように考えます。できるだけ大きな自然数nを考えたとき、それに対するn*2を考えることができる。して無限は「その場で」誕生していく、というような主張です。(考える時間が無限に必要ということにはなりません。いくらでも大きな数を「その場で」考えることができますから)。現在の数学の主流になっている考え方ではありませんが、文系人間のわたしにとってはたいへん解りやすい本でした。哲学者の書いた数学の本というだけでも、ちょっと興味を惹かれませんか。57%(1014/1775)stomachmanです。カントールの「対角線論法」について三人の回答者が触れていらっしゃいますが、ちょっと待って。「対角線論法」は実数の個数がアレフ0より多い事を証明するのに使うのであって、有理数が自然数と同じ個数あることを示すのには関係ないと思いますよ。有理数を数えるには、横軸に分母、縦軸に分子の値を取った平面を考えます。...続きを読むstomachmanです。カントールの「対角線論法」について三人の回答者が触れていらっしゃいますが、ちょっと待って。「対角線論法」は実数の個数がアレフ0より多い事を証明するのに使うのであって、有理数が自然数と同じ個数あることを示すのには関係ないと思いますよ。有理数を数えるには、横軸に分母、縦軸に分子の値を取った平面を考えます。平面上の点(x,y)が(5,3)であれば、その点は3/5を表している、と考える訳ですね。2/2や4/4など、同じ有理数が繰り返し出てきてしまいますが、別のものとして数えてしまいましょう。実際に絵を描いてやってみてくださいね。点(1,1)を数えます。次に(2,1)、(1,2)を数えます。次に(3,1),(2,2),(1,3)を数えます。次に(n,1)(n-1,2),....,(1,n)を数えます。....このように斜めに数えていけば、全ての点を順番に数え上げることができますね。2/2や4/4など、同じ有理数も別のものとして数えてました。有理数の個数≦自然数の個数ということが分かります。1/4,....は明らかに自然数と1:1に対応します。有理数の個数≧自然数の個数ですね。有理数の個数=自然数の個数という結論になります。有理数の個数は自然数の個数と、(ナント)同じなのです。(対角線論法の出番はないんですよ。)ついでですから、対角線論法の話もしましょう。0と1の間の実数を無限小数で書くことにします。0.5の代わりに0.49999....と書く。0と1の間の実数の個数が自然数と同じアレフ0であるならば、それらの実数全部に番号を付けて並べた表が作れる筈です。0.0124821...:さて、ここで一つの実数aを次のようなやり方で作ります。a=0.xxxxxxx....ですが、aの小数点以下1桁目は(1)の小数点以下1桁目とは違う数字にし、aの小数点以下2桁目は(2)の小数点以下2桁目とは違う数字にし、:とやります。すると、aは先ほどの表には出てこない実数になります。表のn番目の数は、n桁目がaとは違っていますからね。全部並べた表の筈なのに、漏れが出てしまう。これは最初の仮定:「もし、0と1の間の実数の個数が自然数と同じアレフ0であるならば」が間違っていた、という事です。0と1の間の実数の個数はアレフ0よりも多いことが分かります。してそういう名前なのか、もうお分かりですね。「カントールの対角線論法が間違い」と決めつけるのはちょっとフェアではありません。数をどのようにして構成するか、つまり数そのものの定義の仕方に依る話であり、ひいてはその数学の基礎としてどんな公理系を採用したか、に依るからです。(ここまで来ると、よほどきちんと説明しないと混乱しちゃいますね。僕の勘違いかな...一応、検索してみたら、下記のHPが見つかりました。そこでは、「斜め数え」が「対角線論法」で、「自然数と有理数はアレフ・ゼロ」の証明となっているようです。僕の勘違いかな...一応、検索してみたら、下記のHPが見つかりました。そこでは、「斜め数え」が「対角線論法」で、「自然数と有理数はアレフ・ゼロ」の証明となっているようです。24%(47/191)No.93959で「対角線論法」という言葉をだしたnikorinです。stomachmanさんの言われたとおりで、対角線論法は実数が可算でないことを示すものでした。誤解、混乱を招いてしまったことをお詫び致します。No.93959で「対角線論法」という言葉をだしたnikorinです。stomachmanさんの言われたとおりで、対角線論法は実数が可算でないことを示すものでした。誤解、混乱を招いてしまったことをお詫び致します。10:40:48回答No.8noname#254わ、すみません。stomachmanさんの解説と同趣旨でした。