長さ・面積・体積の概念の拡張として、一般の集合に対して定義される量。図表・付録は収録させておりません。それぞれの用語は執筆時点での最新のもので、常に最新の内容であることを保証するものではありません。測度そくど直線上の区間I=[a,b]の長さはb-aであるが、これを|I|で表す。直線上の集合Eにつねに長さに相当するような量m(E)を定義できないかという問題がある。そのとき量m(E)(Eの測度という)は理想的には次の性質をもつことが望ましい。このような測度を、すべての集合に定義することはできないことがわかっている。ルベーグは、Eをまず可算個の区間の列{In}で覆い(つまりとする)、を考える。Eのいろいろな覆い方のうち、(*)の最小値をm*(E)で表し、Eの外測度という。(加法性)とは限らない。m*(A)=m*(A∩E)+m*(A∩)が成立する集合Eを可測集合といい(はEの補集合)、m(E)=m*(E)をEの測度と定義する。すると、m*(E)=0ならばEは可測集合、また、開集合や閉集合などの基本的な集合はすべて可測集合になる。このように、測度を可測集合の族Mだけで考えることにすると、測度は前述の(1)~(4)の性質をもつ。測度の概念は次のように抽象化することができる。任意の集合Xをとり、その部分集合のある族Mを考える。Mの要素E∈Mに、負にならない数m(E)が定義されて、これが前に述べた(1)~(3)を満足するとき、E∈Mを可測集合、m(E)をEの測度といい、これらをひとまとめにして{X,M,m}を測度空間という。測度空間が与えられると、そこで定義された関数にルベーグ積分を定義することができるが、ルベーグ積分のよさは、測度空間の完全加法性による。測度空間で、とくに全空間Xが測度1をもつとき、確率空間といい、確率論はここで展開される。最後に、集合Xが位相群のとき、a,b∈Xの積をabと書くとき、前述の(1)から(3)までと、(4)のかわりに、(4)′m(a-1E)=m(E)を要求した測度をハールの測度といい、位相群のうえで解析学をするのに重要な役割をする。Inc.それぞれの解説は執筆時点のもので、常に最新の内容であることを保証するものではありません。【拍子】より...西洋近代の5線記譜法では,視覚的便宜をはかって,拍のまとまりごとに縦線が引かれている。これを小節線bar,bar‐lineといい,これによって仕切られた1区画を小節bar,measureという。一つの小節は拍子の1単位に相当し,原則として小節線のすぐ後の拍(第1拍)が強拍(下拍ともいう)にあたる。...【約数】より...自然数aが自然数bを割りきるとき,aはbの約数であるという。13は52の約数である。aがbの約数であるとき,bはaの倍数である。多項式f,gに対しても,fがgを割りきるとき,fはgの約数であるという。した性質をもつ組(Ω,B,P)を確率空間と呼び,数学的な議論が展開される場となる。ここでPは解析学で測度といわれているものにほかならないが,P(Ω)=1となる特別な測度である。二つのさいを投げたとき,目の出方は6×6=36通りある。...※「測度」について言及している用語解説の一部を掲載しています。収録データは1998年10月に編集製作されたものです。それぞれの用語は執筆時点での最新のもので、常に最新の内容であることを保証するものではありません。本文中の図・表・イラストはご提供しておりません。