matrices)とは、下に挙げる3つの2×2複素行列の組みのことである[1][2]。σ(シグマ)で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって、スピン角運動量の記述のために導入された[3]。座標系によって添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。基本的な性質[編集]パウリ行列は次の性質を満たす[1][2]。パウリ行列の積[編集]パウリ行列の自乗は単位行列に等しい。_{3}^{2}=I}また相異なるパウリ行列同士の積は次の関係を満たす。j)\end{cases}}}が成り立つ。_{ij}I\end{aligned}}}となる。固有値・固有ベクトル[編集]それぞれのパウリ行列は、固有値+1と−1を持つ。={}&&{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\end{alignedat}}}その他[編集]パウリ行列はエルミート行列であり、ユニタリー行列でもある。_{0})&=1\end{aligned}}}である。複素行列の実係数展開[編集]任意の2×2複素行列はパウリ行列(単位行列を含めた4つの行列)の線形結合で書ける。このとき係数は一般に複素数である。任意の2×2エルミート行列をパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数は実数になる。部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル(実ベクトル)はストークスベクトルと呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。}})}が成り立つ[2]。{a}}|}}(a_{1},a_{2},a_{3})}で与えられる単位ベクトルである。基底であることによる。生成子である[1][4][5]。[X_{1},X_{2}]=X_{3},\,[X_{2},X_{3}]=X_{1},\,[X_{3},X_{1}]=X_{2}}を満たす。)}の形で与えることができる。量子力学において、パウリ行列はスピン1/2の角運動量演算子の表現に現れる[1][2]。J_{2}}を満たす。換算プランク定数である。_{ijk}J_{k}}と表すことができる。}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}}を導入すると、これらは上記の角運動量演算子の交換関係を満たしている。あり、スピン1/2の状態を記述する。ガンマ行列の表現[編集]詳細は「ガンマ行列」を参照パウリ行列はガンマ行列の特定の表現を構成するのに用いられる。}I}を満たすものとして、定義される。(j=1,2,3)}を導入すると、これらは上記の反交換関係を満たし、ガンマ行列の表現を与える。これをガンマ行列のディラック表現と呼ぶ。これは次の直積に対する4×4行列表現である。対応づけるのに用いられる[6][7]。満たし、ミンコフスキー内積を保つものから成る。}=1\}}として、定義される[8]。}}={\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&x^{1}+ix^{2}\\x^{1}-ix^{2}&x^{0}-x^{3}\\\end{pmatrix}},}を導入する。