数学におけるストーン・ワイエルシュトラスの定理とは、局所コンパクト空間上の連続関数の代数系における部分代数の稠密性に関する定理である。カール・ワイエルシュトラスによって1885年に示されたワイエルシュトラスの近似定理がその原型であり、1937年にマーシャル・ストーンによって大幅に一般化された現在の形の結果が得られた。ワイエルシュトラスの近似定理は、閉区間上のどんな連続関数も多項式関数によって任意の精度で一様に近似できることを述べている。閉じていることの二つが両立していること、を挙げている。Xが実閉区間であるとき多項式関数のなす代数系は上記の条件を共に満たすため、ワイエルシュトラスの近似定理はストーン・ワイエルシュトラスの定理の特別な場合になっている。参考書籍ワイエルシュトラスの近似定理[編集]ワイエルシュトラスが証明したのは以下のような形の近似定理である。満たすようなものが存在する。近似するような多項式たちの係数を与えた。sup-ノルムによってバナッハ環になる。||f||·||g||が成り立っているということである。ワイエルシュトラスの近似定理とは、このバナッハ環の中で多項式関数のなす部分環が稠密であるということをのべている。点を分離すること、であるということをストーンは見いだした。異なるようなものが存在することである。ストーン・ワイエルシュトラスの定理は以下のように述べられる。でない定数関数を含むものとせよ。C(X,R)で稠密であることとは同値である。対し、Aの任意の元が連続になるような最も粗い位相をX上に考えると、上の条件はこの位相がハウスドルフ位相になることと言い換えられる。稠密性とは同値になる。点を分離するので、ストーン・ワイエルシュトラスの定理はワイエルシュトラスの近似定理の拡張になっている。複素の場合のストーン・ワイエルシュトラスの定理[編集]コンパクトハウスドルフ空間上の複素数値連続関数のなす環についても部分環の稠密性をみちびく同様の定理が知られている。部分環で定数関数をふくむものとする。sup-ノルムに関して稠密である。この定理は実の場合のストーン・ワイエルシュトラスの定理と同値になる。上の条件を満たすからである。局所コンパクト空間に対するストーン・ワイエルシュトラスの定理[編集]局所コンパクト空間上の連続関数で無限遠で消えているようなものに対しても同様の稠密性の条件を与える定理が成り立っている。なるようなものがあるかどうか、ということになる。こちらの条件は稠密性の必要条件を与えてもいる。sup-ノルムに関して稠密である。例[編集]ストーン・ワイエルシュトラスの定理の仮定は以下のような場合に満たされている。