ゆらぎの相関関数とパワースペクトル定量的に宇宙の構造を調べるためには,それを統計的に記述することが必要である。的な構造を特徴づけるために最もよく用いられるものが相関関数,あるいはパワースペクトルである.相関関数ここまで見て来たように、理論的な密度ゆらぎの成長を調べることはできるが、ある一つの場所の密度ゆらぎがいくつであるかという情報にはあまり意味はない。それは単に初期条件がたまたまある場所でどのようであったかということから決まり、空間的にいろいろな点を見ればどのような初期条件も原理的にはあり得るからである。密度ゆらぎが空間的に離れた場所同士でどのように関係しあっているかという統計的な情報の方が宇宙論的に意味のあるものである。密度場がまったくランダムに分布しているならば、空間的に異なる点でのゆらぎは全く関係のないものとなっている。密度場がクラスタリングしているとき、ある場所での密度ゆらぎが大きければ平均的にはその近くの場所での密度ゆらぎも大きいであろう。逆にある場所での密度ゆらぎが小さく負の値となっていれば、平均的にはその近くのゆらぎも小さく負の値となっているであろう。して、クラスタリングが大きければ大きいほど近くの点での密度ゆらぎの積は平均的に大きな値をとるであろう。クラスタリングが全くなければ、この積は各点での平均値の積、すなわちゼロとなる。徴づけるものと考えられる。理論的には、実際に空間的な平均値を考えるよりは、統計的なアンサンブル平均を考えるほうか自然である。これは統計力学においても位相空間における粒子の時間的な平均値を考えるかわりに、統計的には同等な仮想的なサンプルを無限個用意して、それらの間で平均を考えることで理論的な予言が可能になるのと同じことである。統計的に同等な仮想的な宇宙を無限個用意して、それらの間で平均をとることではじめて理論的な予言ができるのである。実際の観測に対応するのはあくまで空間平均であるから、この平均の意味の置き換えは、無限に大きな空間中での平均が統計平均に等しいときにはじめて意味がある。hypothesis)と呼ばれる。この仮説に対する一般的な証明はまだないが、ガウス分布のときにはエルゴード仮説は定理として証明されている。一般の場合には通常、エルゴード仮説は成り立っていると仮定されて理論的な予言がなされる。これは統計力学においても同様である。function)と呼び、(F.6.117)とかく。ここで、であるが、このように相関関数が2点の距離にしかよらないのはもちろん、宇宙が平均的に一様等方だからである。式(6.6.118)から、密度場の相関としては(F.6.118)と書ける。密度場が全くランダムに分布していれば、2点の密度場の積の平均は、各密度場の平均の積に等しいので、確かにとなっている。このことから、相関関数は密度場の2点を取ったときに、お互いの点での密度場の値の影響を受けて、全くランダムな分布からずれている効果を表している。密度ゆらぎの空間積分はゼロであることから、式(6.6.117)においてを極座標で原点のまわりに空間積分することにより(F.6.119)となることがわかる。相関関数は必ずこの性質を満たすものでなければならない。これにより、相関関数はずっと正または負ではありえないことがわかる。比較的近距離で正であったとしてもどこかにゼロ点があり、その先は負になっている。その先ではまた正や負にもなり得る。パワースペクトル相関関数は密度ゆらぎを実空間で直接みた統計的指標であるが,これに対して密度ゆらぎをいったんフーリエ空間に変換してからみたときの統計的指標がパワースペクトルである.密度ゆらぎのフーリエ変換(F.6.120)を考える。すると、フーリエ空間での相関は(F.6.121)となる。変数変換を行って積分することにより、(F.6.122)が導かれる。このように、フーリエ空間の相関には必ずデルタ関数が現れる。この理由は、実空間での相関関数が2点の相対的な位置にしかよらないこと、すなわち並進不変性からきている。デルタ関数以外の部分は極座標において積分することにより(F.6.123)となって、波数ベクトルの大きさにしかよらないことがわかる。これは実空間の相関関数が2点の距離のみにより、相対的な方向にはよらないことからきている。(F.6.124)である。パワースペクトルと実空間の相関関数はお互いに3次元フーリエ変換の関係(F.6.125)(F.6.126)にある。relation)と呼ぶ。密度ゆらぎのフーリエ変換の代わりに、密度場そのもののフーリエ変換によってももちろんパワースペクトルを表すことができる。密度場のフーリエ変換(F.6.127)を考えよう。これは密度ゆらぎのフーリエ変換とは(F.6.128)と結び付いているので、(F.6.129)となる。